Matemática B
10
.
o
ano
v o l u m e 2
Ana Arede Soveral Carmen Viegas Silva
Revisão científica
Professor Doutor
Jaime Carvalho e Silva
(Universidade de Coimbra)Ana Arede Soveral Carmen Viegas Silva
Revisão científica
Professor Doutor
Jaime Carvalho e Silva
(Universidade de Coimbra)Matemática B
Estatística – generalidades ... 6
Objecto da estatística e breve nota histórica ... 6
População e amostra. Recenseamento e sondagem. Variável estatística ... 7
População e amostra ... 7
Recenseamento e sondagem ... 8
Variável estatística ... 9
Estatística descritiva e estatística indutiva... 10
Resumindo... 1 1 A vida da matemática... 12
Actividades práticas E1-E2... 13
Exercícios resolvidos... 16
Exercícios propostos... 17
Organização e interpretação de caracteres estatísticos... 20
Análise gráfica de atributos qualitativos. Determinação da moda... 20
Tabelas de frequências ... 20
Representações gráficas ... 2 1 Determinação da moda ... 23
Análise gráfica de atributos quantitativos. Variáveis discretas e variáveis contínuas. Função cumulativa ... 24
Variáveis discretas ... 24
Variáveis contínuas ... 27
Separador de frequências ... 3 1 Medidas de localização de uma amostra... 32
Moda e classe modal... 32
Média aritmética ... 34
Mediana e classe mediana... 36
Quartis ... 39
Medidas de dispersão de uma amosta ... 4 1 Amplitude total ... 4 1 Variância e desvio padrão ... 4 1 Amplitude interquartis ... 44
Diagrama de extremos e quartis ... 44
Discussão das limitações estatísticas... 46
Resumindo... 48
A vida da matemática... 49
Actividades práticas E3-E5... 50
Exercícios resolvidos... 58
Exercícios propostos... 6 1 Referência às distribuições bidimensionais ... 66
Diagrama de dispersão... 66
Coeficiente de correlação linear e sua variação no intervalo [–1, 1] ... 69
ESTATÍSTICA
MÓDULO INICIAL
GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO
FUNÇÕES E GRÁFICOS – GENERALIDADES. FUNÇÕES POLINOMIAIS
Índice
VOL. 1
Movimentos periódicos.
Funções trigonométricas ... 86
Resolução de problemas que envolvam triângulos . . . 86
Relações entre as razões trigonométricas de uma mesma amplitude de ângulo . . . 94
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares . . . 96
Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45oe 60o* . . . . 97 Resumindo . . . 99 A vida da matemática . . . 100 Actividades práticas T1-T4 . . . 102 Exercícios resolvidos . . . 108 Exercícios propostos . . . 1 1 0 Unidades de medida de ângulos e de arcos . . . 1 1 4 Generalização das noções de ângulo e de arco . . . 1 1 7 Referencial polar no plano . . . 1 1 9 Círculo trigonométrico . . . 1 1 9 Resumindo . . . 125 A vida da matemática . . . 126 Actividades práticas T5-T6 . . . 127 Exercícios resolvidos . . . 1 3 1 Exercícios propostos . . . 132 Redução ao 1.oquadrante . . . . 134 Equações trigonométricas . . . 140 Coordenadas polares* . . . 146
Conversão de coordenadas cartesianas em coordenadas polares e vice-versa* . . 148
Funções trigonométricas . . . 152 Resumindo . . . 1 6 1 A vida da matemática . . . 162 Actividades práticas T7-T10 . . . 163 Exercícios resolvidos . . . 1 7 1 Exercícios propostos . . . 174
de pontos e sua interpretação física... 70
Ideia intuitiva de recta de regressão. Sua interpretação e limitações... 7 1 Resumindo... 73
Actividades práticas E6-E7... 75
Exercícios resolvidos... 78
Exercícios propostos... 80
Calculadoras CASIO FX-9860GII ou FX-9860GII SD
. . . 1 8 1Soluções
. . . 188*Facultativo
MOVIMENTOS PERIÓDICOS.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
ESTATÍSTICA – GENERALIDADES
OBJECTO DA ESTATÍSTICA E BREVE NOTA HISTÓRICA
Para alguns autores a palavra «estatística» teve origem no termo «statistik» (em grego significa «verificar»). Este termo foi usado pela primeira vez por Godofredo Achenwall (1719-1772).
A estatística aparece desde sempre ligada ao Estado e à necessidade de verificar determinadas características de uma população.
Desde o início da civilização que se realizam inquéritos.
O censo mais antigo que se conhece data de 2200 a.C. e foi realizado por ordem do imperador chinês Yao.
Na Babilónia, Nabucodonosor mandou registar em placas de argila todos os seus bens agrícolas.
No antigo Egipto, devido às cheias periódicas provocadas pelo rio Nilo, era neces-sário efectuar registos de propriedades e de bens.
Na Grécia antiga efectuavam-se inquéritos com o fim de lançar impostos.
O Império Romano foi o primeiro «estado» a reunir dados organizados sobre a popu-lação e os bens do Império.
Em Portugal, no reinado de D. Afonso III (1260-1279) realizou-se um dos primei-ros inquéritos «estatísticos», conhecido pelo «Rol dos Besteiprimei-ros do Couto».
À data da elaboração deste manual (2010), o último levantamento estatístico (XIV Recenseamento Geral da População), o Censos 2001, foi realizado pelo Instituto Nacional de Estatística.
Fig. 1 A análise estatística do número de sismos ocorridos em determinada região permite aos engenheiros e arquitectos projectar cidades mais seguras.
Fig. 2 É através dos meios de comunicação social que são divulgados os resultados das sondagens à opinião pública.
Os dados recolhidos são muito importantes, pois têm influência nas decisões dos governantes em assuntos de interesse nacional e local, ao nível da educação, da saúde, do emprego, da economia, etc.
A estatística é a ciência que dispõe de processos próprios para recolher, organizar, classificar, apresentar e interpretar conjuntos de dados. Surge actualmente como um ramo da matemática aplicada, que tem por objectivo extrair informações dos dados recolhidos para obter uma melhor compreensão das situações sob análise.
A palavra «informação» é uma das mais usadas na sociedade actual e a interpretação dessa informação é indispensável para compreender as mudanças no mundo. É cada vez mais importante distinguir a informação correcta e imparcial daquela a que se pode chamar poluição informativa.
Exemplo de um estudo estatístico:
POPULAÇÃO E AMOSTRA. RECENSEAMENTO E SONDAGEM.
VARIÁVEL ESTATÍSTICA
População e amostra
Em estatística, definimos população, ou universo estatístico, como o conjunto de elementos (seres, objectos, etc.) com uma ou mais características em comum acerca das quais pretendemos efectuar um estudo. A população, sendo um conjunto de ele-mentos, pode ser finita ou infinita. Quando é finita, chama-se dimensão da população ao número de elementos que a constitui; unidade estatística é a designação dada a cada elemento que constitui a população.
NOTA
Ao realizar um estudo estatís-tico estamos a:
• informar; • descrever; • prever; • prevenir.
Quanto vale o surf
É uma indústria poderosa, com crescimen-tos na ordem dos 10% nos últimos cinco anos. A crise afectou o mercado das roupas, calçado e acessórios, mas o material técni-co (pranchas, fatos, etc.) técni-continuou em alta. € 5 mil milhõesé quanto vale o mercado dos desportos aquáticos com prancha nos EUA, de acordo com a SIMA (Surf Industry Manufacturers Association).
€ 1691 milhõesé o valor do mercado euro-peu, em 2008, de produtos relacionados com surf, bodyboard, windsurf, wakeboard, kite-board e skimkite-board, de acordo com a empre-sa de estudos de mercado NPD.
€ 304 milhõesEquipamentos técnicos. € 677 milhõesCalçado.
€ 710 milhõesRoupa e acessórios.
Pode não ser possível estudar todas as unidades estatísticas de uma população; por exemplo, num estudo sobre as compras que os europeus efectuam na Internet não seria possível analisar todos os elementos da população, pois a sua dimensão é muito grande! Em casos como estes é mais vantajoso recorrer a uma amostra – um subconjunto finito da população a estudar. As conclusões resultantes da amostra são extensíveis a toda a população. Pelo contrário, quando se pretende realizar um censo, a amostra é toda a população.
Recenseamento e sondagem
Recenseamento ou censo é um estudo estatístico realizado sobre toda a população.
Num recenseamento tem-se o propósito de recolher dados sobre todos os elementos da população e fazer juízos quantitativos acerca das características estudadas.
No caso de, por diversas razões, não se justificar o recenseamento, então tem sentido aplicar uma sondagem.
Sondagem é um estudo estatístico realizado a partir de uma amostra.
Utilizar uma amostra tem algumas vantagens, tais como:
•mais económico – um estudo sobre toda a população teria custos elevados e é
esse o motivo pelo qual se escolhe uma amostra quando se pretende saber, por exemplo, se determinado produto de consumo está a ser bem aceite pelo mercado ou não;
•mais rápido – em certos casos, estudar toda a população faria com que se perdesse
a actualidade. Imagine-se um estudo sobre a preferência televisiva dos portugueses; quando o estudo terminasse poderiam ser referidos programas que ainda não eram exibidos no início do estudo e outros que já não estariam sequer em exibição;
•prático – se a dimensão da população for muito grande e for possível obter uma
amostra representativa, não se justifica estudar toda a população;
•operacional – quando se pretende estudar, por exemplo, o grau de resistência de
um tijolo não se devem testar todos os tijolos!
As desvantagens da utilização de amostras são poucas e resumem-se, essencial-mente, ao modo como é «escolhida» a amostra. Se esta for escolhida de uma forma incorrecta, os dados analisados não poderão ser generalizados a toda a população.
Existem vários critérios para a formação adequada de uma amostra representativa da população em estudo, como:
•imparcialidade – todos os elementos da população devem ter alguma probabilidade
de serem seleccionados;
•representatividade – tem de ser definida no início do estudo e ser proporcional
às características, tanto qualitativas como quantitativas, da população;
•dimensão – o número de elementos escolhidos para representar a população
deve ser o suficiente e necessário para que seja possível abranger toda a variedade de subgrupos da população;
•aleatoriedade – a escolha da amostra tem de ser aleatória. EXERCÍCIO 1
Pretende fazer-se um estudo sobre o número de irmãos dos alunos do 10.oano de
escolari-dade de uma determinada escola secundária. Indique: 1.1.a população em estudo. 1.2.a unidade estatística. EXERCÍCIO 2 Dê um exemplo de um estudo estatístico no qual deva ser uti-lizada:
2.1.apenas uma amostra. 2.2.uma amostra ou o universo estatístico.
EXERCÍCIO 3 Todos os dias, jornais, revistas e televisão apresentam estudos estatísticos.
Escolha um desses artigos e indique a população estudada.
NOTA A escolha de uma amostra obe-dece a técnicas específicas que constituem o objecto de estudo da teoria de amostragem.
Caderno de Exercícios
Exercícios 1 a 10. Página 48.
Tendo em conta estes critérios, utilizam-se normalmente dois tipos de amostragem:
Amostragem aleatória simples ou sistemática
A amostragem simples consiste em extrair ao acaso, da população, o número de elementos necessários para constituir a amostra.
Por exemplo, numa fábrica com 210 operários pretende fazer-se um estudo sobre o funcionamento do respectivo refeitório. Escolhem-se, ao acaso, 21 elementos para responderem ao inquérito.
A amostragem sistemática consiste em escolher aleatoriamente os elementos da amostra segundo uma certa ordem.
No exemplo da fábrica, escolhe-se o primeiro operário que frequentou o refeitório num determinado dia, em seguida só se escolhe o quinto, depois o décimo, e assim sucessivamente até se obter a amostra pretendida.
Amostragem estratificada
Utiliza-se quando se sabe previamente que a população está dividida em subpopu-lações.
Por exemplo, num estudo sobre o bom ou mau funcionamento dos serviços adminis-trativos de uma escola, não faria sentido ter em conta só as opiniões dos professores sem ter em conta, também, as dos alunos e pais.
Variável estatística
A propriedade ou característica que se pretende estudar é designada por variável
estatística, carácter estatístico ou atributo estatístico.
Numa população podem ser estudados vários atributos.
Por exemplo, num inquérito aos alunos de uma turma podemos estudar: a idade, o número de irmãos, o tempo gasto no percurso casa-escola, o tipo de música preferida, etc. Podemos, então, considerar vários tipos de variáveis que depois de observadas vão constituir os dados estatísticos:
•variáveis qualitativas são as que exprimem uma qualidade, não podendo ser
mensuráveis.
Exemplos: o tipo de leitura preferido; o desporto favorito;
•variáveis quantitativas são as mensuráveis e podem ser:
– discretas: assumem um número finito ou infinito numerável de valores. Exemplos: a idade ou o número de irmãos;
– contínuas: variáveis estatísticas que assumem um número infinito não numerá-vel de valores.
Exemplo: o tempo gasto desde sair de casa até chegar à escola.
Actividade prática E1 EXERCÍCIO 4
Justifique se as amostras que foram usadas nas seguintes situações são «boas» ou «más». 4.1.Para saber o que se pensa-va sobre o desenvolvimento da indústria de calçado em Portu-gal, auscultou-se a opinião das empresas com maior volume de vendas no último ano.
4.2.Um canal televisivo pediu aos telespectadores que no fim de um debate telefonassem para uma de duas linhas telefó-nicas, consoante concordas-sem com o convidado A ou com o convidado B.
EXERCÍCIO 5
Classifique cada uma das seguin-tes variáveis estatísticas como qualitativa ou quantitativa. 5.1.Cor dos olhos.
5.2.Peso de um bebé recém --nascido.
5.3.Local de trabalho. 5.4.Sexo.
5.5.Rendimento mensal de uma família portuguesa.
EXERCÍCIO 6
Das seguintes variáveis estatís-ticas, indique as que são discre-tas e as que são contínuas. 6.1.Peso dos jogadores de uma equipa de futebol.
6.2.Número de espectadores de um concerto de rock. 6.3.Altura dos alunos do 10.o
ano.
6.4.Número de golos marca-dos no escalão principal do cam-peonato nacional de futebol. 6.5.Número de exemplares vendidos da revista «Educação e Matemática».
Exercícios propostos
Exercícios 1 a 3, 5 a 7 e 9 a 12. Páginas 17 a 19.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INDUTIVA
Num estudo estatístico podemos considerar duas fases:
•a estatística descritiva, onde se procura descrever a amostra pondo em evidência as características principais;
•a estatística indutiva, que procura inferir conclusões para todo o universo, ou população em estudo, a partir das conclusões obtidas pela estatística descritiva. Salienta-se a importância de quantificar o erro cometido ao fazer esta inferência. A estatística descritiva é constituída por várias etapas.
Começa-se pela identificação do problema, para ser possível definir o tipo de dados pertinentes para o estudo.
Segue-se a recolha dos dados, que pode ser efectuada por diversos processos, como: observação directa, entrevistas, preenchimento de inquéritos, questionários por telefone ou por correio, etc.
Depois de recolhidos os dados é feita uma análise para excluir valores estranhos que possam conduzir a conclusões erradas, isto é, faz-se a crítica dos dados.
Passa-se à organização e apresentação dos dados.
Por fim, temos a análise e interpretação dos dados e resultados obtidos.
Por exemplo, ao realizar-se um estudo sobre as fontes de emissão de gases com efeito de estufa, e após o tratamento de dados, obteve-se o seguinte gráfico:
Podemos concluir que o sector da energia é o sector com mais responsabilidade quanto ao aquecimento global.
Na estatística indutiva inferimos para toda a população as conclusões retiradas do estudo da amostra. A necessidade de inferência das conclusões deu um novo rumo à estatística indutiva, que, com base na teoria das probabilidades, permite a tomada de decisões prevendo a evolução dos acontecimentos. Por exemplo, segundo a Comissão Europeia, Portugal terá, em 2050, o maior corte no valor das pensões.
Em 2005, o sector da energia
(por exemplo, a sua produção e transformação) e os transportes somaram 72% das emissões de dióxido de carbono, metano e óxidos de azoto em Portugal Resíduos Agricultura Processos industriais Transportes Energia 48% 10% 24% 10% 8%
in Relatório de Estado do Ambiente, 2006 EXERCÍCIO 7
Comente as seguintes afirma-ções:
7.1.«Há três espécies de menti-ras: as mentiras, as mentiras abomináveis e as mentiras esta-tísticas.»
Mark Twain
7.2. «As estatísticas mostram que a maior parte dos acidentes de automóvel ocorre a velocida-des moderadas e que muito poucos acidentes se dão a velo-cidades superiores a 150 km/h. Significará isto que é mais seguro conduzir a alta veloci-dade?»
7.3.«Um estudo mostra que numa certa cidade europeia se notou um forte crescimento da população e, simultaneamente, registou-se um notável incre-mento de ninhos de cegonhas. Apoiará este estudo a conhecida crença de que são as cegonhas que trazem os bebés?»
in Martin Gardner, Apanhei-te!, Gradiva (adaptado) Dinamarca Holanda Alemanha Reino Unido Espanha Irlanda Portugal
Previsão das variações de pensões Comparação entre 2008 e 2050, em % -20 -10 -8 -2 +2 +5 +20
Fonte: Comissão Europeia, 2009 Energia e transportes mais poluentes
Actividade prática E2 Caderno de Exercícios Exercício 11. Página 49. Exercícios propostos Exercícios 4, 8 e 13. Páginas 17 a 19.
Previsão das variações em pensões
RESUMINDO
Estatística – generalidades
•População ou universo estatístico é o conjunto de elementos com uma ou mais características
comuns, acerca da(s) qual(quais) se pretende efectuar um estudo.
•Amostra é um subconjunto finito da população.
•Unidade estatística é a designação dada a cada elemento que constitui a população. •Dimensão de uma população finita é o número de elementos da população. •Censo é um estudo estatístico realizado sobre toda a população.
•Sondagem é um estudo estatístico realizado a partir de uma amostra.
•Variável estatística, carácter estatístico ou atributo estatístico é a propriedade ou a característica
sobre a qual se pretende fazer o estudo.
•A estatística descritiva baseia-se essencialmente na recolha, organização, apresentação e inter-pretação de dados.
Etapas de um estudo estatístico:
•A estatística indutiva tem como objectivo a inferência de conclusões para toda a população a
partir do estudo da amostra.
Qualitativas Quantitativas Discretas Contínuas Identificação do problema Variáveis estatísticas População Características populacionais Características amostrais Estudo da amostra Amostra
Produção de dados Estatística descritiva
Estatística indutiva
Recolha
de dados dos dadosCrítica
Organização e apresentação dos dados Análise e interpretação dos dados
«Estatística é o nome da ciência e da arte que trata a inferência incerta, que usa os núme-ros para obter algum conhecimento acerca da natureza e da experiência.»
Warren Weaver (matemático norte-americano)
Muitos estados ordenaram estudos estatísticos para melhor conhecerem a sua população, com o objectivo de lançar impostos ou, também, de conhecer o número de homens de que disporiam caso entrassem em guerra.
Em Londres, John Graunt (1620-1674) faz a primeira recolha organizada de informação sobre a natalidade e a mortalidade na sua cidade.
William Petty (1623-1687) procura igualmente leis quantitativas que traduzam fenómenos sociais e políticos.
Em 1693, Edmond Halley, famoso astrónomo inglês que desenvolvera um grande interesse pela estatística, publica o livro Cálculo dos graus de mortalidade da humanidade, deduzidos de curiosas tabelas dos nascimentos e mortes da cidade de Breslaw, com a intenção de estabelecer o custo das anuidades dos seguros de vida.
Os trabalhos realizados por Graunt, Petty e Halley são a base dos trabalhos estatísticos rea-lizados hoje em dia pelas companhias de seguros.
É o belga Adolphe Quételet quem organiza no seu país natal aquele que é considerado como o primeiro censo de carácter verdadeiramente estatístico. Estabelece o sistema de recensea-mento de 10 em 10 anos, adoptado posteriormente por vários países e ainda hoje utilizado. É ele também que cria, em 1834, a Statistical Society em Londres e quem organiza, em Bru-xelas, a primeira conferência internacional de estatística, no ano de 1853.
Destaquemos ainda, entre outros estatísticos, Karl Pearson (1857-1936), que aplicou a análise estatística ao estudo da hereditariedade e da evolução, e Sir Ronald Fisher (1890-1962), seguidor de Pearson, que deu uma nova dimensão à estatística, sendo considerado um dos fundadores da estatística moderna. Francis Galton utiliza métodos estatísticos diferentes e inicia a estatística indutiva.
Embora Alexandre Herculano (1810-1877) refira, na obra História de Portugal, que foram efectuados vários recenseamentos na Península Ibérica durante a Idade Média, só em 1775 é fundada em Portugal uma instituição com o objectivo de produzir estatísticas oficiais, a que foi dada a designação de Superintendência Geral dos Contrabandos e Descaminhos dos Reais Direitos nestes Reinos e seus Domínios.
Em 1798, por ordem de Pina Manique (1733-1805), é feita uma avaliação populacional impor-tante, mas o primeiro recenseamento geral da população só é realizado em 1864.
O Instituto Nacional de Estatística (INE) surge em 1935 e, desde então, assegura o levantamento estatístico em Portugal. Edmond Halley [1656-1742] Adolphe Quételet [1796–1874]
A VIDA DA MATEMÁTICA
Francis Galton [1822-1911]Utilizou métodos de me-dição das capacidades físicas e mentais dos indi-víduos e desenvolveu téc-nicas estatísticas para analisar os dados recolhi-dos.
Foi Galton quem demons-trou que as impressões digitais de cada pessoa
são únicas. www.matematicaB.TE.ptLinks: Instituto Nacional de Estatística
«O cidadão comum é de tal modo bombardeado com dados, que vão desde o estado da economia até à eficácia de marcas de pastas dentífricas, que, se não possuir noções elementares de estatística, torna-se incapaz de tomar decisões acertadas.»
Martin Gardner (escritor norte-americano)
OBJECTIVOS
Pretende-se com esta actividade aplicar os conhecimentos de estatística a situa-ções da vida real e criticar os resultados de estudos estatís-ticos apresentados por diferentes órgãos de comunicação social.
MATERIAIS
Notícias (de jornais, de revistas, etc.).
EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE
1.A turma deve ser dividida em grupos de dois ou três alunos.
2.Cada grupo deve apresentar uma notícia por si escolhida para ser comentada.
3.Os trabalhos serão divulgados à turma e depois discutidos.
4.Cada grupo deverá ter em conta os seguintes aspectos:
• identificação do problema em estudo; • população a que se refere o estudo;
• se se trata de uma sondagem ou de um censo; • qual a unidade estatística em causa;
• análise do gráfico apresentado: – se é de fácil leitura;
– se é elucidativo;
– se os valores apresentados levam ou não a uma leitura incorrecta.
5.Os trabalhos poderão ser apresentados sob a forma de cartaz, para posterior discussão
com a turma.
Actividade prática
E1
«A matemática é cada vez mais vital para a ciência, a tecnologia e a própria sociedade.»
Peter Lax (matemático húngaro)
OBJECTIVOS
Pretende-se com esta actividade que o aluno aplique todos os conceitos de estatística numa situação do quotidiano. Esta actividade pode ir sendo trabalhada ao longo do tema e à medida que os diversos conceitos vão sendo estudados.
EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE
Para fazer um estudo estatístico é necessário construir um instrumento de recolha de infor-mação. O questionário da página seguinte é disso um exemplo. Depois de fotocopiado, deve ser preenchido pelos alunos da turma.
Outra estratégia possível passa por formar grupos de trabalho dentro da turma, grupos estes que, numa segunda fase, escolhem uma amostra significativa de alunos dos diferentes anos de escolaridade da escola para, assim, fazerem uma recolha e posterior tratamento de dados mais abrangente.
Após o preenchimento do questionário e da recolha de dados, os alunos devem estudar cada uma das variáveis apresentadas no questionário, focando os seguintes pontos:
•população e amostra em estudo;
•classificação da variável escolhida;
•tabelas de frequências relativas;
•representação gráfica;
•caso seja possível, calcular as medidas de localização e de dispersão;
•estudar a existência ou não de correlação linear entre as variáveis.
No final é apresentado um trabalho conjunto com a caracterização da turma.
Actividade prática
Questionário
Nome: ______________________________________________________________________ N.o : _________ Ano: _________ Turma: _________
Data de nascimento: ________________________________________ Idade: _________
Morada: _______________________________________________________________________________________________________________________ E-mail: _______________________________________________________________________________________ Telefone ____________________
1.Em que escola estudou durante o ano lectivo anterior? _______________________________________
2.Vê bem? Sim _____________ Não _____________ Ouve bem? Sim _____________ Não _____________
3.Tem problemas de saúde? Sim _____________ Não _____________ Se sim, diga quais. _______________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________ 4.Quais são as suas disciplinas preferidas? ______________________________________________________________________ 5.Quais são as disciplinas em que tem mais dificuldade? ___________________________________________________
6.Já reprovou alguma vez? Se sim, em que anos escolares? ____________________________________________
7.Se teve alguma(s) negativa(s) no ano lectivo anterior, indique a que disciplina(s).
_________________________________________________________________________________________________________________________________ 8.Quanto tempo demora no trajecto escola-casa? ___________________________________________________________
9.Onde costuma estudar? Casa _____________ Escola _____________
10.Tem quem o ajude nos estudos? _____________ Se sim, quem o ajuda? ________________________________
11.Quantos minutos por dia dedica ao estudo?
[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________ 12.Tem Internet? Sim _____________ Não _____________
13.Se tem Internet, quantos minutos por dia costuma estar «ligado»?
[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________
14.Qual o valor correspondente à soma das suas avaliações nas disciplinas do 3.operíodo no
último ano lectivo? _____________
15.Considera ter um comportamento correcto em sala de aula e no resto do recinto escolar?
Sim ________ Não ________ Caso tenha respondido que não, tente explicar o seu comportamento: ________________________________________________________________________________________________________________________________
16.Considera que a sua turma tem um comportamento correcto na aula? Sim ________ Não ________
Caso tenha respondido que não, apresente sugestões para se evitar a indisciplina:
________________________________________________________________________________________________________________________________ As questões seguintes devem ser respondidas apenas pelos alunos que se encontram no Ensino Secundário.
1.Qual a razão pela qual escolheu o curso que está a frequentar? _______________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.Corresponde às suas expectativas? Sim _____________ Não _____________ Porquê? __________________________ 3.Gostaria de frequentar um curso superior? _________________ Qual? _________________________________________ 4.Que profissão gostaria de ter? ______________________________________________________________________________________
Actividade práticaE2
1.Segundo um estudo efectuado pela DECO a 2314 portugueses, entre os 65 e os 79 anos, as respostas desta população à questão de «Quem gostaria de ter como apoio?» estão representadas no seguinte gráfico. Indique: 1.1.a população em estudo. 1.2.a unidade estatística. 1.3.a variável estatística. Resolução 1.
1.1.A população em estudo é «a população portuguesa», formada por 2314 indivíduos com idades entre 65 e 79 anos.
1.2.A unidade estatística é cada um dos elementos da população de 2314 indivíduos.
1.3.A variável estatística é a indicação de que apoio desejaria cada um dos indivíduos que constituem a população.
2.Justifique por que motivo são falsas as seguintes observações.
2.1.Utiliza-se toda a população para se estudar a percentagem de vitamina C nas embalagens de uma determinada
marca de sumo de frutas.
2.2.É a estatística descritiva que nos permite prever a evolução da população numa determinada cidade.
2.3.O número de moradores por apartamento é uma variável quantitativa contínua.
2.4.A quantidade de água existente no solo por m2é uma variável qualitativa.
Resolução 2.
2.1.Porque não é economicamente viável testar toda a produção da fábrica de sumos, por questões de tempo
e de desperdício do material produzido.
2.2.Porque a estatística descritiva apenas recolhe, organiza e apresenta os dados do estudo estatístico.
2.3.Porque o número de moradores por apartamento é representado por um número inteiro, logo é uma variável
quantitativa discreta.
2.4.Porque a quantidade de água no solo por m2é uma variável que toma valores num intervalo de números
reais, logo é uma variável quantitativa contínua.
Colegas de trabalho Vizinhos Padre Amigos Outros familiares Filhos Cônjuge ou companheiro (% de inquiridos) 8,8 8,5 6,7 6,2 5,5 5,5 5,2 in Proteste, n.o 289, Março de 2008
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Nos exercícios 1 a 4, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1.Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A.Num censo são inquiridos todos os indivíduos da população.
B.O consumo de água de um agregado familiar é uma variável qualitativa.
C.O número de livros existente numa biblioteca é uma variável quantitativa contínua.
D.A nacionalidade dos turistas que gozam férias no Algarve é uma variável quantitativa discreta.
2.Qual das seguintes variáveis pode ser classificada como variável quantitativa contínua?
A.Número de filhos de um casal. C. Tempo de duração de pilhas alcalinas.
B.Clube de futebol preferido. D. Série televisiva preferida.
3.Um centro de saúde pretende saber que percentagem da população da sua região consome, usualmente,
medicamentos sem receita médica.
Qual das amostras seria mais aconselhável?
A.30 pessoas entrevistadas à entrada do centro de saúde.
B.30 jovens que frequentam a escola secundária abrangida pelo centro de saúde.
C.30 pessoas entrevistadas ao acaso num determinado local e num determinado dia.
D.30 pessoas inquiridas à porta das farmácias da zona, em diferentes dias e em diferentes horas.
4.Das seguintes situações, indique em qual delas se recorreu à estatística indutiva.
A.Volume de importações no ano 2010.
B.Despesa pública com a educação em Portugal.
C.Previsão acerca da necessidade de sangue nos hospitais.
D.Número de óbitos por acidente rodoviário no primeiro trimestre do ano de 2010.
5.Para cada um dos seguintes estudos indique se seria mais correcto estudar toda a população ou apenas uma
amostra.
5.1.Resistência de uma peça de vidro ao calor.
5.2.Idade dos professores do distrito de Lisboa.
5.3.Tipo de transporte utilizado nas férias pelos portugueses.
5.4.Número de casamentos celebrados em 2010.
6.Num rastreio médico feito numa faculdade pesaram-se os alunos do curso de Direito.
6.1.Qual a população e qual a unidade estatística?
6.2.Indique a variável estudada e classifique-a.
7.Uma editora decidiu fazer um levantamento sobre as preferências literárias dos jovens.
Foram escolhidas 10 escolas do distrito de Coimbra e em cada escola foram inquiridos 20 alunos.
7.1.Como se chama este tipo de estudo?
7.2.Qual a população e a amostra em estudo?
7.3.Qual o atributo estudado?
7.4.Podem tirar-se conclusões sobre a preferência literária dos jovens portugueses com base neste estudo?
Justifique a sua resposta. Se a resposta foi negativa, diga como procederia.
8.O administrador de uma empresa estava descontente com a produtividade dos colaboradores e marcou uma
reunião para discutir o problema. Na reunião, o representante dos operários referiu: «Os colaboradores tiveram um bom desempenho, a produtividade aumentou 100%.»
O administrador continuou, no entanto, insatisfeito. Comente a situação.
9.Muitas vezes, é pedido aos espectadores de uma determinada estação televisiva que telefonem para uma de duas
linhas telefónicas, consoante concordem ou não com determinada opinião.
9.1.Trata-se de um processo fiável, para tirar conclusões credíveis? Porquê?
9.2.Indique um processo de recolha de dados que pudesse levar a resultados mais credíveis.
10.Segundo um estudo estatístico efectuado pela Gfk Metris a 1042 indivíduos portugueses, as respostas à questão
«Até que ponto acha que será mais feliz daqui a 10 anos?» estão representadas no seguinte gráfico.
10.1.Indique a unidade estatística e a variável em estudo.
10.2.Classifique a variável estudada.
10.3.Quantos indivíduos optaram pela resposta «muito mais feliz»? E quantos não responderam ou não sabiam?
Não sabe/ /Não Responde
Muito mais feliz
Menos feliz 31% 44% 20% 5% Mais feliz in Visão, n.o834, 2009
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11.Observe o seguinte estudo, que envolveu 1039 indivíduos de ambos os sexos, com 15 ou mais anos, residentes em Portugal, e responda às questões que se seguem.
11.1.Este estudo refere-se a um censo ou a uma sondagem? Justifique a sua resposta.
11.2.Qual a unidade estatística e qual a variável em estudo?
11.3.Classifique a variável estudada.
12.Considere a informação dada no seguinte gráfico.
12.1.Classifique a variável em estudo.
12.2.No decorrer de que anos a taxa de desemprego na Zona Euro foi superior à de Portugal?
13.Elabore um pequeno texto sobre a importância da estatística no nosso dia-a-dia, realçando o recurso ao censo ou
à sondagem. Igual 13,7% Inglaterra 25,4% Portugal 15,6% Suécia 26,1% Portugal 25,2% NS/NR 38,0% Portugal 22,9% Brasil 33,5% Igual 9,5% Igual 10,0% NS/NR 38,0% NS/NR 37,0% Igual 9,6% EUA 36,1% Portugal 17,3% NS/NR 48,3% in Visão, n.o 842, 2009 Portugal
Zona Euro (média)
9% 8,1% 9,3,% 10,2% 9,1% 8,8% 7,5,% 7,7,% 2005 2006 2007 2008 2009 2010
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Se compararmos com Portugal, em que países há mais liberdade?
Evolução da taxa de desemprego
ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO
DE CARACTERES ESTATÍSTICOS
ANÁLISE GRÁFICA DE ATRIBUTOS QUALITATIVOS.
DETERMINAÇÃO DA MODA
Tabelas de frequências
Numa determinada editora realizou-se um estudo com o objectivo de analisar a distribuição de vendas das suas revistas temáticas.
Obteve-se a seguinte tabela defrequências absolutas e de frequências relativas:
O valor de N é o número total de efectivos, isto é, é a soma dos valores de fi , quando i varia desde 1 até k .
Escreve-se: N =
Σ
ki = 1fi (lê-se «somatório de índice i dos valores de fi , quando i
varia desde 1 até k »).
Distribuição de 269 244 exemplares Número de exemplares xi Frequência absoluta fi Frequência relativa fri (%) Surfágua 55 719 21 Surf Júnior 81 002 30 Passeatas 30 331 11 Ecofin 47 279 18 Pequenotes 37 976 14
Beleza & Moda 16 937 36 N = 269 244
RECORDAR Frequência absoluta (ou
efec-tivo) de um valor xi é o número
de vezes que esse valor xi se
regista quando se realiza um determinado estudo estatístico numa população. Designa-se por fi.
A soma de todos os efectivos é igual à dimensão finita, N , da população:
N = f1+ f2+ … + fk
Sendo fia frequência absoluta
do valor da variável xi, e sendo
N a dimensão da população, a
frequência relativa de xi é
dada pelo quociente: fri = ᎏ N fi ᎏ Actividade prática E3 NOTA O símbolo Σ é a maiúscula da letra «sigma» do alfabeto grego.
Para construir uma tabela de frequências relativas, basta dividir a frequência absoluta do valor da variável pelo número total de efectivos.
Assim, como o somatório das frequências absolutas é igual à dimensão da popula-ção, também a soma das frequências relativas é igual a 1 ou a 100%, consoante sejam determinadas na forma decimal ou percentual.
Representações gráficas
Torna-se mais fácil compreender e interpretar uma distribuição se apresentarmos os dados graficamente.
Considerando ainda o exemplo relativo à distribuição dos exemplares vendidos pelas revistas, temos as seguintes representações gráficas:
Gráficos de barras
No eixo horizontal assinalam-se os dados estatísticos e no eixo vertical as respecti-vas frequências absolutas ou relatirespecti-vas, conforme o caso.
Desenham-se as barras com a altura directamente proporcional ao efectivo ou à frequência relativa. As barras têm todas a mesma largura e podem ser construídas tanto na vertical, como na horizontal, tendo em atenção a escala dos eixos.
Número de e xemplar es vendidos Revistas Surfágua
Surf Júnior Passeatas
Ecof in Pequenotes Beleza e Moda 100 000 80 000 55 719 81 002 30 331 47 279 37 976 16 937 60 000 40 000 20 000
Número de exemplares vendidos Revistas Pequenotes Ecofin Passeatas Surf Júnior Surfágua 16 937 37 976 47 279 30 331 81 002 55 719 Beleza e Moda EXERCÍCIO 1* Calcule o valor de: 1.1. 4
Σ
i = 0(i + 2) 1.2. 3Σ
m = –2(m – 1) EXERCÍCIO 2Numa escola, foi pedido aos 95 alunos de Desporto do 10.oano
que indicassem a modalidade desportiva que praticam (ape-nas uma), obtendo-se a seguinte tabela:
2.1.Elabore uma tabela de frequências relativas.
2.2.Represente as frequên-cias relativas através de um gráfico de barras. Modalidades Número de alunos Futebol 41 Basquetebol 17 Andebol 9 Hóquei 12 Ginástica 16 *Facultativo
Distribuição de 269 244 exemplares por seis revistas
Gráficos circulares
A amplitude (ai) de cada sector circular é directamente proporcional ao valor da fre-quência absoluta (fi) ou da frequência relativa (fri) e determina-se do seguinte modo:
N —— 360o ou seja a i= ᎏNfᎏ × 360i o fi —— ai a1= 0,21 × 360 76o a2= 0,30 × 360 108o a3= 0,11 × 360 40o a4= 0,18 × 360 65o a5= 0,14 × 360 50o a6= 0,06 × 360 21o Pictogramas
Num pictograma faz-se corresponder um símbolo a um certo número de efectivos, que é repetido tantas vezes quantas as necessárias para representar as frequências res-pectivas.
Distribuição de 269 244 exemplares por seis revistas
Representa 15 000 exemplares Surfágua Surf Júnior Passeatas Ecofin Pequenotes Beleza e Moda Surfágua 21% 30% 11% 18% 14% 6% Surf Júnior Passeatas Ecofin Pequenotes Beleza e Moda EXERCÍCIO 3 Com as classificações obtidas num teste de Matemática pelos 28 alunos de uma turma, o pro-fessor construiu o seguinte grá-fico de barras:
3.1.Elabore uma tabela de frequências absolutas. 3.2.Construa um gráfico cir-cular. Insuf. Suf. Bom M. Bom 18 46 25 11 0 20 40 60fri(%) xi EXERCÍCIO 4 Segundo o INE, o número de edifícios concluídos entre 2004 e 2007 são os que constam na seguinte tabela:
Escolha um símbolo sugestivo e construa um pictograma relati-vo à distribuição dada. Este tipo de representação é o mais ade-quado a esta distribuição? Jus-tifique a sua resposta.
Ano Número de edifíciosconstruídos 2004 44 647 2005 45 308 2006 40 966 2007 36 576 Classificação no teste de Matemática Exercícios propostos Exercícios 6, 7 e 8. Página 62. Caderno de Exercícios Exercícios 1, 3, 4 e 7. Página 53.
Determinação da moda
Se observarmos com atenção as tabelas de frequências dadas no exemplo sobre a
dis-tribuição dos exemplares vendidos pelas revistas (pág. 20), notamos que a Surf Júnior tem
a maior frequência, ou seja, é a moda da distribuição.
•Se ocorrem duas modas, a distribuição diz-se bimodal.
•Se existirem mais do que duas modas, diz-se multimodal ou plurimodal.
•Se não existir moda, a distribuição diz-se amodal (todas os valores da variável têm a
mesma frequência).
Por exemplo, num estudo feito sobre atendimento ao consumidor obtiveram-se os seguintes gráficos:
Em relação às grandes superfícies, a moda é «mau». No estudo feito com incidência em lojas do tipo tradicional, temos duas modas: «mau» e «medíocre».
25 grandes superfícies 30 lojas do tipo tradicional
Muito bom Medíocre Mau Bom Bom Médio Medíocre Mau Médio 1 3 3 3 15 5 7 9 9 Proteste in , n.o 293, Julho/Agosto 2008 EXERCÍCIO 5
Indique a moda de cada uma das seguintes distribuições.
5.1. 5.2. 5.3. Naturalidade Efectivos Coimbra 31 Lisboa 72 Porto 50 Setúbal 42 Clubes de futebol Efectivos Benfica 8 Braga 4 Porto 8 Sporting 6
A moda, Mo , é o dado estatístico que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é aquele que tem maior frequência.
0 2 4 6 8
Bom Suf. Insuf.
Número de alunos
A moda, Mo , é o dado estatístico que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é aquele que tem maior frequência.
Atendimento ao consumidor
Classificação de um teste
Caderno de Exercícios
Exercício 2. Página 53.
N.ode faltas xi Freq. absoluta fi Freq. relativa fri(%) 0 5 17 1 9 31 2 8 28 3 3 10 4 3 10 5 1 4 N = 29
ANÁLISE GRÁFICA DE ATRIBUTOS QUANTITATIVOS.
VARIÁVEIS DISCRETAS E VARIÁVEIS CONTÍNUAS.
FUNÇÃO CUMULATIVA
Como já foi referido, as variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. Para cada tipo é necessário aprofundar um pouco os nossos conhecimentos.
Variáveis discretas
A directora de uma turma do 10.oano resolveu fazer um estudo estatístico sobre o
número de faltas dadas pelos alunos durante o 1.operíodo.
Construiu a respectiva tabela de frequências absolutas e relativas:
Para apresentar os dados de um modo mais sugestivo elaborou os seguintes gráficos:
0 0 2 2 0 4 2 1 1 0 1 5 2 2 3 1 1 1 4 3 4 0 2 3 1 1 2 1 2 0 0 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 Número de faltas fi Número de faltas xi Frequência absoluta fi Frequência relativa fri(%) 0 5 17 1 9 31 2 8 28 3 3 10 4 3 10 5 1 4 N = 29 1: Edit 1: Plot1 ON Type X List : L1 Freq. : L2 9: ZoomStat
Estas instruções, bem como todas as outras que oportunamente surgirão, referem --se à utilização da cal-culadora Texas TI-84 Plus Silver Edition.
Nas páginas 181 a 187 é apre-sentado um conjunto de procedimentos relativos à utilização das calculado-ras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD. STAT 2nd Y = ENTER ENTER 2nd 2nd 1 2 ZOOM GRAPH NOTA Em alguns casos, as variáveis discretas podem ser analisadas agrupando os dados, nomeada-mente se se apresentarem sem valores repetidos ou com mui-tos valores.
Calculadoras Casio
Página 181.
Frequências acumuladas e função cumulativa
Para responder a questões do tipo: «Quantos alunos faltaram menos de três vezes?» ou «Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais?» torna-se útil
estudar a frequência absoluta acumulada, Fi , ou a frequência relativa
acumu-lada, Fri . Exemplifiquemos, em primeiro lugar, utilizando as frequências absolutas.
O cálculo é feito da seguinte maneira:
Define-se a frequência absoluta acumulada, Fi , como a soma dos efectivos cor-respondentes aos valores da variável desde o primeiro até ao valor de ordem i .
Gráfico de barras das frequências absolutas acumuladas:
Do mesmo modo se calculam as frequências relativas acumuladas, conforme se verifica na tabela seguinte:
F1= f1 F2= f1+ f2 F3= f1+ f2+ f3 F4= f1+ f2+ f3+ f4 F5= f1+ f2+ f3+ f4+ f5 F6= f1+ f2+ f3+ f4+ f5+ f6= N 0 0 1 2 3 Número de faltas 4 5 5 10 15 20 25 30 35 Fi Número de faltas xi Frequência absoluta fi Frequência relativa fri(%) 0 5 5 1 9 14 2 8 22 3 3 25 4 3 28 5 1 29 N = 29 1: Edit Para a frequência acumulada:
Para a frequência relativa:
STAT Calculadoras Casio Página 181. xi fri(%) Fri(%) 0 17 17 1 31 48 2 28 76 3 10 86 4 10 96 5 4 100
Podemos agora responder às questões atrás colocadas.
•Quantos alunos faltaram menos de três vezes?
R: 22 alunos (5 + 9 + 8), o que corresponde ao valor F2 .
•Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais?
R: 14% (100 – 86), que corresponde à diferença para 100% da frequência relativa
acumulada em 3 (F3).
Tendo em conta as frequências absolutas acumuladas do exemplo anterior, pode-se definir uma função F : IR → IR , do seguinte modo:
Esta função F denomina-se função cumulativa. Repare-se que a cada valor da
variável, xi, corresponde a respectiva frequência acumulada. Recorrendo à calculadora gráfica, representemos esta função:
A função cumulativa pode ser definida tanto com frequências absolutas acumula-das como com frequências relativas.
Generalizando:
⎧
0 se x 0⎪
5 se 0 x 1⎪
14 se 1 x 2 F(x) =⎨
22 se 2 x 3⎪
25 se 3 x 4⎪
28 se 4 x 5⎩
29 se x 5 EXERCÍCIO 6 No stand de carros usados «Ancar», estão à venda 45 auto-móveis de anos diferentes. Organizaram-se os dados do seguinte modo:Defina a função cumulativa e represente-a graficamente.
Número
de anos 1 2 3 4 5
fi 8 15 10 7 5
EXERCÍCIO 7 O gerente de um clube de alu-guer de filmes, com o objectivo de saber se ao longo de um mês o número de DVD alugados se alternava significativamente, organizou os dados relativos ao mês anterior do seguinte modo:
7.1.Quantos DVD foram alu-gados nas primeiras duas sema-nas?
7.2.Qual a percentagem de DVD que foram alugados nas primeiras três semanas? 7.3.Alugaram-se mais DVD na primeira quinzena ou na segunda quinzena? Semana fi Fi 1.a 634 634 2.a 582 1216 3.a 503 1719 4.a 554 2273 N= 2273
Dada uma variável estatística que toma os valores x1 , x2 , ..., xk, com as res-pectivas frequências absolutas acumuladas F1 , F2 , ..., Fk, chama-se função cumulativa F à função real de variável real assim definida:
⎧
0 se x x1⎪
F1 se x1 x x2⎪
F2 se x2 x x3⎪
F (x ) =⎨
·⎪
·⎪
·⎪
Fk – 1se xk – 1 x xk⎩
Fk se x xk Exercícios propostos Exercícios 10 e 12. Páginas 63 e 64.Variáveis contínuas
Tendo em vista mostrar aos alunos como é importante possuírem uma boa estima-tiva do peso de um objecto, a professora de Matemática resolveu levar para a aula os objectos da fotografia em baixo: um abre-cartas e um pisa-papéis.
Cada aluno pegou nos objectos e estimou o respectivo peso em gramas.
A variável estatística «peso» é uma variável contínua e, face aos diferentes valores estimados pelos alunos, foi necessário agrupar os dados em classes. A dimensão da amostra foi de 58 valores, sendo o menor valor de 200 gramas e o mais elevado de 595 gramas.
Existem várias fórmulas de determinação do número de classes a considerar, embora não haja consenso entre os especialistas.
Na nota ao lado são apresentados alguns exemplos. Ao longo do desenvolvimento deste tema, utilizaremos a fórmula apresentada por Velleman.
Então, de acordo com esta fórmula, sendo N = 58 o número de classes será
58 7,6 , isto é, 8 classes; a professora decidiu-se pelas seguintes classes: [200, 250[ , [250, 300[ , [300, 350[ , [350, 400[ , [400, 450[ , [450, 500[ , [500, 550[ , [550, 600[
Ao fazê-lo deste modo, teve em conta os seguintes aspectos:
•as classes são representadas por intervalos em que o extremo esquerdo é fechado e o direito aberto (existem outras opções);
•as classes têm a mesma amplitude (à diferença entre os extremos dos intervalos
dá-se o nome de amplitude da classe);
•a reunião de todas as classes abrange todos os valores da amostra;
•o número de classes depende do valor mínimo e do valor máximo das
observa-ções efectuadas.
*Facultativo
Actividade prática E4
NOTA*
Seja N o número de observa-ções e k o número de classes a considerar.
• Truman L. Kelley construiu a seguinte tabela:
• Velleman sugere a fórmula: k = N se Nⱖ 25 e k = 5 se N⬍ 25 • Sturges sugere N⬎ 2k
Como se verifica, as opiniões divi-dem-se! N K 5 2 10 4 25 6 50 8 100 10 200 12 500 15 1000 15
À média dos extremos de cada classe chama-se marca da classe. Esta é o repre-sentante da classe, um elemento necessário para o uso da calculadora e para a cons-trução de tabelas.
A professora construiu então a seguinte tabela de frequências absolutas e relativas:
Para melhor interpretar os resultados utilizam-se diferentes tipos de gráficos, como o gráfico circular (pouco usado neste tipo de variáveis) ou o histograma.
Histograma
Quando se estuda uma variável contínua é frequente representar os dados através
de um histograma.
O histograma é constituído por rectângulos, tantos quantas as classes definidas, em que a base corresponde à amplitude da classe e a altura é proporcional à frequência da respectiva classe. Não há espaços entre os rectângulos.
0 200 250 300 350 400 450 500 550 600 Peso (g) Número de alunos 10 5 8 2 17 14 9 14 9 5 2 1 15 20
Classes Marca da classe Frequência absoluta Frequência relativa
[200, 250[ 225 2 0,03 [250, 300[ 275 8 0,14 [300, 350[ 325 17 0,29 [350, 400[ 375 14 0,24 [400, 450[ 425 9 0,16 [450, 500[ 475 5 0,09 [500, 550[ 525 2 0,03 [550, 600[ 575 1 0,02 N = 58 Histograma: NOTA No âmbito do Programa, só estu-damos distribuições em que as classes têm a mesma amplitude.
Calculadoras Casio
Página 181.
Estimativa do peso de dois objectos
Estimativa do peso de dois objectos
NOTA No gráfico ao lado, o símbolo introduzido no eixo hori-zontal significa que a parte omi-tida do gráfico foi eliminada por não conter nada de relevante.
Se assinalarmos o ponto médio do lado superior de cada rectângulo e os unirmos sequencialmente através de segmentos de recta, obtemos uma linha poligonal: o
polí-gono de frequências.
Frequências acumuladas e função cumulativa
Assim como para as variáveis discretas, também para as variáveis contínuas têm muito interesse as frequências acumuladas, tanto as absolutas como as relativas.
Determinam-se utilizando um processo semelhante ao já apresentado para as variá-veis discretas.
Observando com atenção a tabela (designada por tabela de frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas), podemos afirmar que, por exemplo, 70% dos alu-nos estimaram o peso dos objectos em mealu-nos de 400 g, ou que apenas 5% dos alualu-nos estimaram o peso em 500 g ou mais.
O peso real dos objectos era de 300 g! 0 5 2 8 17 14 9 5 2 1 10 15 20 Peso (g) 200 250 300 350 400 450 500 550 600 Número de alunos Classes Frequência absoluta Frequência absoluta acumulada Frequência relativa (%) Frequência relativa acumulada (%) [200, 250[ 2 2 3 3 [250, 300[ 8 10 14 17 [300, 350[ 17 27 29 46 [350, 400[ 14 41 24 70 [400, 450[ 9 50 16 86 [450, 500[ 5 55 9 95 [500, 550[ 2 57 3 98 [550, 600[ 1 58 2 100 NOTA
É habitual considerar-se uma classe de igual amplitude e com frequência zero, no início e no final, para completar o polí-gono, pois, assim, a área com-preendida entre o polígono e o eixo das abcissas é igual à soma das áreas das barras.
Não é necessário representar o histograma para desenhar o polígono, pois basta unir os pontos cuja abcissa corres-ponde à marca da classe e a ordenada à frequência da classe respectiva.
EXERCÍCIO 8
Um treinador resolveu registar o tempo, em segundos, que os seus 26 atletas demoraram a percorrer duas pistas de atle-tismo.
Obteve os seguintes valores:
8.1. Depois de organizar os dados em classes, com limite inferior de 150 e amplitude 25, construa uma tabela de fre-quências absolutas e relativas. 8.2. Represente a distribuição através de um histograma. 295 280 272 270 215 199 190 185 176 260 261 260 176 228 226 181 220 178 210 180 221 155 179 205 220 175
Estimativa do peso de dois objectos
Caderno de Exercícios
Exercício 11. Página 56.
NOTA O processo indicado para a cons-trução da função cumulativa é um exemplo. Existem outros.
EXERCÍCIO 9 Uma fábrica produz tubos de PVC com 10 cm de diâmetro. Para controlar o bom funciona-mento da máquina são efectua-das com regularidade medições do diâmetro de 28 tubos, selec-cionados ao longo do dia, acei-tando-se uma margem de erro de 0,5 mm.
Num determinado dia, os resul-tados, em milímetros, foram os seguintes:
9.1.Organize os dados em seis classes, considerando o limite inferior da primeira classe 99,0 e a amplitude 0,5. Construa a tabela de frequências relativas (simples e acumuladas) e o gráfico da respectiva função cumulativa.
9.2.Indique a percentagem de tubos cujo diâmetro é inferior a 10 cm.
9.3.Tendo em conta os resul-tados obtidos, considera que a máquina precisa de uma afina-ção ou que está em boas condi-ções de funcionamento? 101,8 100,3 99,3 99,4 101,1 100,2 100,4 99,7 100,5 100,0 99,9 99,8 100,3 99,4 99,8 100,2 99,3 101,1 101,3 99,7 99,8 100,2 99,9 100,0 100,5 99,3 100,5 100,1
O polígono de frequências absolutas acumuladas obtém-se unindo os vértices superiores direitos dos rectângulos que formam o histograma correspondente às fre-quências acumuladas.
Estamos agora em condições de definir a função cumulativa, utilizando a tabela
de frequências absolutas ou relativas acumuladas. Para tal, é preciso considerar que:
•antes do limite inferior da primeira classe, a frequência acumulada é 0, logo
podemos considerar o ponto (200, 0) ;
•no limite inferior da segunda classe, a frequência acumulada é a frequência acumu-lada da classe anterior e corresponde ao ponto (250, 2) ;
•no limite inferior da terceira classe, a frequência acumulada é a frequência acu-mulada da segunda classe, logo, o ponto (300, 10) pertence ao gráfico da fun-ção, e assim sucessivamente.
Temos, assim, determinados os seguintes pontos: (200, 0) ; (250, 2) ; (300, 10) ; (350, 27) ; (400, 41) ; (450, 50) ; (500, 55) ; (550, 57) ; (600, 58) .
Marcamos os pontos num sistema de eixos e em seguida unimo-los.
A partir do ponto (600, 58) continua-se com uma linha horizontal, pois 58 é o valor máximo da frequência acumulada no presente caso. Antes de se atingir o ponto (200, 0) procedemos de forma semelhante, pois a frequência acumulada é 0 .
O gráfico construído a partir das frequências relativas acumuladas teria um aspecto idêntico.
Função cumulativa Estimativa do peso de dois objectos
Separador de frequências
Além das tabelas já estudadas existe outra forma de apresentar os dados, conhecida como separador de frequências ou, usando o termo inglês, stem and leaf (caulee --folhas). Vejamos como se procede.
A seguir encontram-se listadas as idades de 30 compradores de um determinado modelo de automóvel:
Os dados podem ser ordenados da seguinte forma:
20 21 23 24 24 25 25 27 27 27 28 28 29 31 32 32 33 34 35 35 36 38 38
41 41 42 43 43 50 54
O caule representa o dígito (ou dígitos) da ordem de maior grandeza, no presente caso, o algarismo das dezenas.
As folhas representam o algarismo das unidades. Podem escrever-se por ordem crescente ou decrescente.
Na primeira linha temos o 2 como algarismo das dezenas e 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8 e 9 como algarismos das unidades, ou seja, os valores: 20, 21, 23, 24, 24, 25, 25, 27, 27, 27, 28, 28 e 29.
Continua-se com o mesmo processo para as restantes linhas.
Esta tabela permite:
•uma melhor percepção do aspecto global dos dados sem perda de informação,
contrariamente ao que acontece nas classes;
•imaginar facilmente o gráfico representativo da distribuição;
•verificar até que ponto a distribuição é simétrica;
•verificar se existem concentrações ou lacunas de dados. 35 38 24 27 50 28 20 42 54 32 31 35 27 28 21 25 33 34 23 43 32 41 36 24 27 43 41 38 29 25 Caule Folhas 2 3 4 5 0 1 1 0 1 2 1 4 3 2 2 4 3 3 4 4 3 5 5 5 5 7 6 7 8 7 8 8 8 9 EXERCÍCIO 10
Com os resultados do último teste de Matemática efectuado pela turma e numa escala de 0 a 20:
10.1.desenhe um diagrama de caule-e-folhas dos resultados obtidos.
10.2.divida os valores obtidos em classes e desenhe o respec-tivo histograma.
10.3.represente graficamente a respectiva função cumulativa.
MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO DE UMA AMOSTRA
As medidas de localização são valores ou parâmetros estatísticos da amostra que, por si só, dão indicações importantes sobre as características da distribuição em estudo.
De entre as medidas de localização, destacam-se as que representam os dados pelos seus valores centrais, designadas por medidas de tendência central, das quais estudaremos: a moda, a média e a mediana.
É de salientar que o estudo destas medidas já foi iniciado em anos anteriores.
Moda e classe modal
Como já foi referido aquando do estudo das variáveis qualitativas, a moda, Mo, designa o dado estatístico mais frequente da distribuição.
Nas variáveis quantitativas surge a necessidade de considerar se os dados estão ou não agrupados por classes.
No caso de não estarem agrupados por classes, o processo para determinar a moda mantém-se.
Se os dados se apresentam agrupados por classes, define-se classe modal como sendo aquela que aparece com maior frequência.
Na distribuição que considera a estimativa do peso de dois objectos (pág. 28), a classe
modal é o intervalo [300, 350[ , pois é a classe que tem maior frequência.
Para a distribuição que relaciona o número de faltas dadas pelos alunos de uma turma durante o 1.operíodo, representada na tabela seguinte, indique o valor da moda.
Resolução
A moda é «1 falta», pois é o dado mais frequente. Exemplo 1 Número de faltas xi Frequência absoluta fi 0 5 1 9 2 8 3 3 4 3 5 1 N = 29 EXERCÍCIO 11 Indique a moda de cada uma das seguintes distribuições. 11.1.
11.2.
EXERCÍCIO 12 Observando o seguinte gráfico, relativo ao número de televiso-res por televiso-residência dos alunos de uma turma do 10.oano,
indi-que a respectiva moda.
xi 10 12 13 14 15 fi 4 5 8 10 6 xi 45 47 50 53 54 fi 3 10 7 10 3 0 5 10 15 20 4 Número de alunos 3 2 1 Número de televisores por residência
A tabela seguinte representa o tempo, em minutos, que 28 alunos de uma turma do 10.oano
gastaram na utilização do computador durante um certo fim-de-semana. 2.1.Indique a respectiva classe modal.
2.2.Estime, geometricamente, o valor da moda.
Resolução
2.1.A classe modal é o intervalo [ 180, 210[ , pois é a classe com maior frequência absoluta.
2.2.Com uma razoável aproximação, o valor da moda pode ser estimado geometricamente do seguinte modo:
•constrói-se o histograma relativo à distribuição;
•determina-se a classe modal;
•unem-se os vértices superiores do rectângulo representativo da classe modal com os vértices das classes contíguas, de forma a encontrar o ponto de intersecção;
•baixa-se a perpendicular do ponto encontrado para o eixo horizontal, determinando-se assim, aproximadamente, o valor da moda.
Neste exemplo, o valor da moda está entre 180 e 195.
A determinação da moda é importante, pois indica o dado estatístico ou classe de maior frequência, o que é pertinente, por exemplo, para estudos de mercado.
No entanto, é uma medida limitativa. Por si só, não dá muita informação sobre a distribuição na sua globalidade. Exemplo 2 Classes (tempo em min) Frequência absoluta [90, 120[ 2 [120, 150[ 5 [150, 180[ 6 [180, 210[ 12 [210, 240[ 3 N = 28 EXERCÍCIO 13
Durante uma semana regista-ram-se os pesos, em quilogra-mas, dos bebés nascidos numa clínica:
3,4 2,1 4,0 2,7 2,8 2,6 3,0 3,1 2,7 3,5 2,6 3,8 3,2 2,4 2,5 3,2 13.1.Agrupe os dados em qua-tro classes e construa uma tabe-la de frequências absolutas. 13.2.Indique a classe modal. NOTA*
Existe uma fórmula para deter-minar a moda quando os dados estão agrupados por classes. Apesar de não fazer parte do Programa, apresentamo-la por curiosidade:
Mo= li+ × a
em que:
li→ limite inferior da classe modal;
di + 1→ diferença entre a
fre-quência da classe modal e a frequência da classe seguinte à classe modal; di – 1→ diferença entre a fre-quência da classe modal e a frequência da classe anterior à classe modal; a→ amplitude da classe modal. No exemplo 2: li= 180 ; di + 1= 12 – 3 = 9 di – 1= 12 – 6 = 6 ; a = 210 – 180 = 30 Assim: Mo= 180 + 9 + 6 6 × 30 ⇔ ⇔ Mo 192 di – 1 di + 1+ di – 1 *Facultativo
Tempo gasto no computador
Exercícios propostos Exercício 2. Página 61. Caderno de Exercícios Exercício 6. Página 54.
Média aritmética
Das três medidas de tendência central, a mais utilizada é a média aritmética, ou
valor médio, x . Esta medida tem em conta todos os valores observados e determina
--se de duas formas:
1. Caso os dados x1, x2 , …, xN(N dados) não estejam agrupados por classes:
x = = Caso os dados se repitam, a expressão anterior é equivalente a:
x = = em que cada fi é a frequência absoluta do valor xi .
2. Para os dados agrupados por classes, considera-se: x =
em que xi é a marca da classe de ordem i e fi a respectiva frequência absoluta. x1+ x2+ … + xN ᎏᎏN
Σ
N i = 1xi ᎏN x1f1+ x2f2+ … + xmfm ᎏᎏᎏNΣ
m i = 1xifi ᎏNΣ
m i = 1xifi ᎏNNum ginásio registou-se o número de praticantes de aeróbica durante duas semanas:
41; 38; 42; 35; 35; 35; 36; 38; 36; 42; 35; 36. Determine a média de praticantes.
Resolução
Organizam-se os dados:
Calcula-se a respectiva média:
x = 37,4
A média é de, aproximadamente, 37 praticantes por sessão. 35 × 4 + 36 × 3 + 38 × 2 + 41 + 42 × 2
ᎏᎏᎏᎏᎏ
12 Exemplo 3
Número de praticantes Efectivos
35 4 36 3 38 2 41 1 42 2 EXERCÍCIO 14 Indique a média de cada uma das seguintes distribuições. 14.1. 14.2. xi 10 12 13 14 15 fi 4 5 8 10 6 xi 45 47 50 53 54 fi 3 10 7 10 3 NOTA Só para variáveis quantitativas faz sentido determinar a média x.
NOTA Se utilizarmos a frequência relativa temos que:
x =
Σ
m
i = 1fri xi
NOTA A média pode tomar um valor diferente de todos os valores observados na distribuição.
Algumas considerações sobre a média
•A média é uma medida influenciada por qualquer alteração num dos valores
observados, sendo muito sensível a valores externos (altos ou baixos).
Por exemplo, ao efectuar a média das seguintes idades: 30, 25, 33, 45 e 60, obtemos:
x = = 38,6
Basta alterar substancialmente apenas um destes valores para a média sofrer tam-bém uma grande alteração.
Mude-se, por exemplo, o valor 25 para 85, e a média alterar-se-á para x = 50,6 .
•A média de dois conjuntos de dados pode ser semelhante, não reflectindo distri-buições idênticas. É preciso ter cuidado, pois pode dar uma informação incorrecta em relação aos dados observados.
Por exemplo: numa cidade, A , registaram-se as seguintes temperaturas máximas (em °C) ao longo de uma semana:
25, 26, 24, 25, 27, 26 e 28
A média é x = 25,9
Na cidade A , a média da temperatura máxima é de, aproximadamente, 26 ºC. Numa outra cidade, B , registaram-se as temperaturas máximas (em °C) de:
18, 21, 22, 33, 19, 34, 36 A média das temperaturas nesta cidade é dada por:
x = 26,1
ou seja, aproximadamente 26 ºC, como na cidade A . As duas cidades têm as mesmas características meteorológicas? Claro que não, pois as amplitudes térmicas são muito diferentes.
25 + 30 + 33 + 45 + 60 ᎏᎏᎏ 5 24 + 25 × 2 + 26 × 2 + 27 + 28 ᎏᎏᎏᎏ 7 18 + 19 + 21 + 22 + 33 + 34 + 36 ᎏᎏᎏᎏ 7
A tabela ao lado representa a distância, em metros, alcançada por um atleta de alta competição no lançamento do dardo, ao longo de uma semana de treino. Determine a distância média alcançada pelo atleta.
Resolução
A média aritmética dos lançamentos do atleta é dada por:
x = 87,7
O atleta atingiu nos seus lançamentos a distância média de aproximadamente 87,7 metros. 80 × 4 + 84 × 27 + 88 × 20 + 92 × 18 + 96 × 6
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ
75 Exemplo 4
Classes da classeMarca Efectivos [78, 82[ 80 4 [82, 86[ 84 27 [86, 90[ 88 20 [90, 94[ 92 18 [94, 98[ 96 6 N = 75 EXERCÍCIO 15
Num agregado familiar de três pessoas, o rendimento mensal é constituído pelos salários (em euros): 1345, 796 e 595. 15.1.Determine o salário médio. 15.2.Imagine que todos os salá-rios são sujeitos a um aumento de 8%. Qual passará a ser a média? Que conclusão pode tirar deste exemplo?
Nota: Considere-se uma
distri-buição de média –x . Se multi-plicarmos por k todos os valores observados, a média desta nova distribuição, –xf , é tal que –xf= k –x .
