REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS COM GANHOS VARIANTES PARA UMA CLASSE DE SISTEMAS DE CONTROLE VIA REDE
Vitor M. Moraes∗, Tanisia C. Foletto∗, Eugênio B. Castelan∗, Ubirajara F. Moreno∗ ∗Grupo de Controle de Sistemas Mecatrônicos - GSM, Departamento de Automação e Sistemas - DAS,
Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC 88040-900, Florianópolis, SC, Brasil
Emails: {rattus, tanisia, eugenio, moreno}@das.ufsc.br
Abstract— Control systems through communication networks may have the performance impaired due to delays in the exchange of information between the components of the control system. In this article, closed-loop control and stability issues are treated, assuming as basic requirements some desired caracteristics about temporal behavior of the networked control system. The proposed results are applied to stability analysis and state-feedback control synthesis with variable gains, both described in terms of linear matrix inequalities. A numerical example and simulation are presented to demonstrate the efectiveness of the proposed methods. Keywords— networked control system, linear matrix inequalities, robust stability.
Resumo— Sistemas controlados através de redes de comunicação podem ter seu desempenho prejudicado devido aos atrasos ocorridos durante a troca de informações entre os componentes do sistema de controle. Este artigo apresenta um estudo da estabilidade em tais sistemas, onde os atrasos são variantes no tempo e ocorrem de forma aleatória. Os resultados propostos são aplicados a análise de estabilidade e síntese de controladores por realimentação de estados com ganhos variantes, ambos descritos em termos de desigualdades matriciais lineares. De forma a expandir estes resultados, uma restrição relacionada ao desempenho temporal é acrescentada. Um exemplo numérico e simulação são apresentados, validando o método proposto.
Palavras-chave— sistema de controle via rede, inequações matriciais lineares, estabilidade robusta. 1 Introdução
Um sistema controlado via rede (NCS, do in-glês Networked Control System) é aquele no qual os dispositivos responsáveis pelo controle de algum processo trocam informações entre si utilizando mensagens enviadas através de uma rede de co-municação. Neste tipo de sistema, problemas de desempenho podem ocorrer devido aos atrasos na entrega dessas mensagens, por vezes ocasionando até a perda de estabilidade.
Tais atrasos estão diretamente relacionados às características da rede utilizada. Em instalações industriais e demais aplicações onde são neces-sárias algumas garantias de sistemas em tempo real, normalmente são utilizadas redes determinís-ticas, assim, se os processos que acessam a rede fo-rem adequadamente escalonados, todos os
deadli-nes serão cumpridos. Isto significa que em regime
normal de funcionamento não ocorrem perdas de pacotes, o atraso é limitado e estes limites são co-nhecidos.
Atualmente, o estudo de sistemas de controle via rede tem sido amplamente explorado na lite-ratura, principalmente na busca de técnicas me-nos conservadoras para análise de estabilidade e projeto de controladores (Zhang et al., 2001; Kim et al., 2003; García-Rivera and Barreiro, 2007; Yan et al., 2007; Gao et al., 2008; Kao and Lin-coln, 2004). Outros trabalhos exploram técni-cas de projeto considerando-se a influência da rede (Årzén et al., 2000; Kim et al., 2009; Perez et al., 2006; Santos et al., 2007), utilizando para
isto algumas métricas de desempenho, como mar-gem de jitter (Cervin et al., 2004) e Qualidade de Controle (Martí et al., 2002).
Em Baillieul and Antsaklis (2007) e Ge et al. (2007) podem ser encontrados históricos e discus-sões relacionadas às pesquisas sobre NCS e pro-blemas a serem resolvidos. Um desses propro-blemas envolve a modelagem do sistema, também discu-tida em Dritsas et al. (2007), e que pode ser con-siderada como uma das fontes de conservadorismo devido à representação utilizada para caracterizar os atrasos. Em Hetel et al. (2006) é apresentado um modelo misto de sistema politópico e restrição por norma na intenção de reduzir esse conserva-dorismo.
Outro fator importante nesta classe de siste-mas diz respeito às informações trocadas entre os componentes do sistema de controle, que em uma implementação básica seriam apenas valores amostrados pelos sensores e sinais de controle cal-culados pelos controladores. No entanto outras informações também podem ser úteis. Como mos-trado em Nilsson (1998) e Martí (2002), a utiliza-ção de mensagens com estampas de tempo podem ser de interesse em se tratando de desempenho em malha fechada, pois permite a utilização de infor-mações temporais, correspondentes aos instantes de ocorrência de eventos do sistema, pelo contro-lador.
Motivado pelo trabalho apresentado em He-tel et al. (2007), no presente artigo é proposto um método para análise de estabilidade e síntese de controle por realimentação de estados a ganhos
Controlador
x(t)
estampa de tempo estampa de tempoxk
uk u(t) Rede de Comunicação Processo Atuador Sensor
Figura 1: Estrutura de um sistema de controle via rede.
variantes dependente do próprio atraso ocorrido entre os eventos do sistema, por isso estampas de tempo são utilizadas. Os cálculos para obtenção dos resultados são descritos em termos de desi-gualdades matriciais lineares (LMI, do inglês
li-near matrix inequality) (Boyd et al., 1994).
O texto está organizado da seguinte forma: na seção 2 são apresentadas as características do sis-tema de controle via rede em questão, além disso, sua respectiva formulação matemática e proble-mas de modelagem são discutidos. Na seção 3 são mostrados alguns conceitos preliminares que re-sultam na proposta para análise de estabilidade. A seção 4 apresenta resultados para síntese de um controlador a ganhos variantes, utilizando reali-mentação de estados. Na seção 5 um exemplo nu-mérico e simulação são apresentados.
Notações: A′ corresponde à matriz transposta
de A. I corresponde a uma matriz identidade de di-mensão apropriada. ∗ corresponde a blocos simétricos.
diag(A, B) é uma matriz bloco diagonalA 0
0 B
.
2 Formulação do Problema
Nesta seção são comentadas algumas caracte-rísticas de um sistema de controle via rede, cuja topologia básica pode ser vista na figura 1, onde as setas indicam o sentido da troca de informa-ções entre os componentes. Nas subseinforma-ções, a for-mulação matemática correspondente a este NCS é apresentada.
Para este sistema, admite-se que o processo é linear e invariante no tempo (LTI) e sua dinâ-mica pode ser descrita por equações no espaço de estados:
˙x(t) = M x(t) + N u(t) (1) com x(t) ∈ ℜn, u(t) ∈ ℜm, M ∈ ℜn×n e N ∈ ℜn×m. Com relação aos componentes do sistema de controle e utilização da rede de comunicação, são consideradas as seguintes características de funcionamento:
• o sensor realiza a leitura dos estados da planta uma vez a cada intervalo de tempo T , en-viando logo em seguida uma mensagem ao controlador contendo as informações amos-tradas e uma estampa de tempo do instante da amostragem;
• o atuador funciona como um segurador de ordem zero, e sempre que recebe uma men-sagem do controlador atualiza o valor do si-nal de controle aplicado à planta utilizando a nova informação e envia para o controlador uma mensagem com a estampa de tempo do instante da atuação;
• o controlador é digital e tem seu funciona-mento regido a eventos, sendo dois possíveis:
i) recebimento de uma mensagem proveniente
do atuador; ii) recebimento de uma mensa-gem proveniente do sensor. O primeiro im-plica no cálculo do próximo sinal de controle a ser aplicado, enquanto que o segundo faz com que o controlador envie ao atuador este novo valor, previamente calculado.
• o protocolo utilizado para a comunicação é determinístico e os processos que acessam a rede são escalonados de forma a garantir que todos os deadlines sejam sempre respeitados. Adicionalmente, quando o sistema é de dimen-são n > 1, o funcionamento torna-se um pouco mais complexo. Deve-se acrescentar uma das se-guintes condições para o funcionamento do con-trolador: i) envio do sinal de controle ao atuador quando do recebimento da primeira mensagem de amostragem do período atual; ou ii) envio do si-nal de controle ao atuador apenas quando todas as amostragens referentes ao período atual forem recebidas. Observa-se que a metodologia proposta neste artigo é válida em ambas as condições, de-vido às garantias de escalonabilidade e entrega das mensagens (rede determinística) e à estrutura da lei de controle utilizada.
A utilização de uma rede de comunicação, para troca de informações entre os componentes desse sistema, implica em um atraso de tempo τ entre os instantes de medição e atuação. Este atraso pode ser decomposto em duas parcelas τ = τsc+ τca. A primeira, τsc, correspondente ao tempo gasto no envio da mensagem do sensor para o controlador, e a segunda, τca, ao tempo gasto no envio da mensagem do controlador para o atuador.
Estas parcelas também incluem o tempo de espera, ocorrido quando eventualmente a rede já está ocupada no momento que algum componente tenta acessá-la. Como essas esperas são variantes no tempo, o mesmo acontece com τ. Apesar disso, devido às características definidas para a rede, o atraso é limitado por 0 < τmin ≤ τ ≤ τmax ≤ T ,
assumindo um deadline igual ao período de amos-tragem.
Também considera-se a sincronização de reló-gios entre os componentes do sistema de controle, possibilitando ao controlador utilizar as informa-ções temporais, obtidas através das estampas de tempo, para o cálculo de um sinal de controle de-pendente do parâmetro τ.
2.1 Modelagem do NCS com Atraso
Neste tipo de sistema, onde deseja-se proje-tar um controlador digital, faz-se necessário, ini-cialmente, representar o processo a ser controlado em tempo discreto (Franklin et al., 1997), para só então aplicar alguma técnica de projeto. No pre-sente artigo é utilizado um modelo discretizado no tempo com relação ao período de amostragem. Dessa forma, as equações do sistema (1) em tempo discreto ficam: xk+1= Adxk+ Bduk (2) onde Ad = eM T, Bd = Z T 0 eM sds N. Além disso, é preciso considerar o efeito oca-sionado pelo atraso τ, referente às trocas de men-sagens através da rede de comunicação, no valor do sinal de controle aplicado durante este período, isto é, para o intervalo de tempo t ∈ [kT, (k+1)T ], o valor de u(t) corresponde à:
u(t) = ( uk−1, t ∈kT, kT + τk uk, t ∈kT + τk, (k + 1)T (3) Isto implica em uma representação um pouco mais complexa (Åström and Wittenmark, 1997):
xk+1= Adxk+ Γ1uk−1+ Γ0uk (4) onde Γ0= Z T −τk 0 eM sds N Γ1= Z T T −τk eM sds N = B d− Γ0 representam incertezas exponenciais, dependentes do parâmetro τk.
2.2 Representação Politópica Adicionada de In-certeza Limitada por Norma
Como mostrado recentemente em Hetel et al. (2006), fazendo uso da teoria de conjuntos con-vexos, as matrizes incertas do sistema em tempo discreto (4) podem ser expressas em uma forma politópica adicionada de uma incerteza limitada por norma.
Para isso, deve-se inicialmente reescreveer a incerteza exponencial em uma série de Taylor (Franklin et al., 1997)1: Γ0(τk) = ∞ X i=1 Mi−1 i! (T − τk) iN (5)
e a partir desta, uma aproximação de ordem h:
Γh 0(τk) = h X i=1 Mi−1 i! (T − τk) iN. (6)
Considerando então as seguintes notações:
φ1= αhI .. . αI I φ2= αhI .. . αI I · · · φh+1= αhI .. . αI I onde α = T − τmax e α = T − τmin, existe um po-litopo de matrizes que envolve (6) e cujos vértices são dados por:
Γh0i= h Mh−1 h! · · · M 2! I 0 i φiN para i = 1, . . . , h + 1. Assim, é possível reescre-ver a aproximação como uma combinação convexa desses vértices: Γh 0(τk) = h+1 X i=1 µi(τk)Γh0i (7) ondePh+1 i=1µi(τk) = 1, µi(τk) > 0 ∀i = 1, . . . , h + 1.
Os valores de ponderação µi(τk), na equação (7), correspondem à solução para o sistema linear:
1 1 · · · 1 1 α α · · · α α α2 α2 · · · α2 α2 .. . ... ... ... ... αh αh · · · αh αh µ1k µ2k .. . µ(h+1)k = 1 αk α2 k .. . αh k onde αk= T − τk.
Desse modo, a matriz incerta original pode ser reescrita como uma soma:
Γ0(τk) = h+1 X i=1
µi(τk)Γh0i+ ∆Γ0(τk)
onde ∆Γ0(τk) representa uma incerteza residual e
pode ser tratada como uma restrição por norma (Garcia et al., 1994):
∆Γ0(τk)
≤ ξ0. (8)
Esta definição possibilita o cálculo de um li-mitante superior ξ0a partir de (Hetel et al., 2007):
ξ0= sup τmin≤τ ≤τmax
kΓ0(τ ) − Γh0(τ )k
1Apenas os cálculos referentes à matriz incertaΓ0 são
mostrados; as equações correspondentes à Γ1 podem ser
Assim, o sistema discreto incerto expresso na forma politópica adicionada de incertezas limita-das por norma fica:
xk+1= Adxk+ h+1 X i=1 µi(τk)Γh1i+ ∆Γ1(τk) ! uk−1 + h+1 X i=1 µi(τk)Γh0i+ ∆Γ0(τk) ! uk. 2.3 Sistema Aumentado
Considere o sistema politópico representado no espaço de estados aumentado:
zk+1= A(τk)zk+ Bvk+ E∆(τk)zk (9) onde zk =x′k u
′ k−1 u′k
′ é o vetor de esta-dos aumentado, com dimensão zk ∈ ℜp, p= n +
2m, vk = uk+1, vk ∈ ℜm, B ∈ ℜp×m, E ∈ ℜp×n, A(τk) =Ph+1 i=1 µi(τk)Ai, com Ai∈ ℜp×p, e Ai= Ad Γh1i Γh0i 0 0 I 0 0 0 , B = 0 0 I ∆(τk) =0 ∆Γ1(τk) ∆Γ0(τk) , E = I 0 0 O sinal de controle é dado por uma realimen-tação de estados com ganhos variantes, depen-dente do parâmetro τk. Para essa lei de controle, como τk somente pode ser calculado após o final do k-ésimo ciclo medição-atuação, define-se a se-guinte relação: vk= uk+1= K(τk) zk (10) onde K(τk) = h+1 X i=1 µi(τk)Ki.
Particionando a matriz de ganhos tal que: Ki=Kxi K1i K0i
o sistema em malha fechada pode ser escrito como:
zk+1=
H(τk) + E∆(τk)zk (11)
onde H(τk) = Ph+1i=1 µi(τk)Hi, e matrizes Hi da-das por: Hi= Ad Γh1i Γh0i 0 0 I Kxi K1i K0i
Observe que a componente ∆(τk) corresponde às incertezas residuais das aproximações e, por-tanto, pode ser representada como uma restrição por norma, do mesmo modo que em (8):
∆(τk)
≤ γ (12)
onde γ pode ser calculado por:
γ= sup τmin≤τ ≤τmax 0 Γ1(τ ) − Γh1(τ ) Γ0(τ ) − Γh0(τ ) (13) 3 Resultados Preliminares
Os resultados apresentados nesta seção foram desenvolvidos motivados pelo trabalho de Hetel et al. (2007), e referências neste; mas fazendo uso:
i) da estruturação da incerteza residual através da
matriz E; ii) de um critério de desempenho tem-poral para malha fechada; iii) da possibilidade de determinação de ganhos dependentes de parâme-tro.
Considere o sistema aumentado em malha fe-chada (11) e uma Função de Lyapunov Depen-dente de Parâmetro (FLDP):
V(zk, τk) = zk′P(τk)zk (14) com P(τk) = Ph+1i=1 µi(τk)Pi, Pi = Pi′ > 0, Pi ∈ ℜp×p.
Definição 1 Seja λ ∈ (0, 1]. O sistema é
assin-toticamente estável, com um coeficiente de contra-ção λ, se:
∆V(zk, τk) = V(zk+1, τk+1) − λV(zk, τk) < 0 (15)
∀zk∈ ℜp, z 6= 0 e ∀τk∈ [τmin, τmax].
Lema 2 (Estabilidade Robusta) Seja λ ∈ (0, 1] e considere que a incerteza ∆(τk) satisfaz a restrição (12). Então o sistema incerto em malha fechada (11) é robustamente assintoticamente es-tável, com um coeficiente de contração λ, se existe uma matriz simétrica positiva definida P(τk) e uma matriz U(τk) tais que:
−λP(τk) + γ2I −(E∆(τk))′(E∆(τk)) 0 0 P(τk+1) + He 0 U(τk) H(τk) + E∆(τk) −I <0. (16)
Demonstração: De acordo com a FLDP definida e utilizando (11) e (15), a estabilidade robusta do sistema em malha fechada é garantida se2:
H + E∆′P+H + E∆ − λP < 0, ∀ E∆′
E∆ − γ2I ≤ 0 (17)
2Por simplicidade de notação os termos(τ
k) serão
omi-tidos nas próximas equações e os termos(τk+1) serão
A desigualdade (17) pode ser reescrita na forma: I H+ E∆ ′ −λP 0 0 P+ I H+ E∆ <0, ∀ E∆′ E∆−γ2I ≤0 (18)
Assim, fazendo uso do Lema da Projeção (vide Apêndice) e da extensão II proposta em (Pipeleers et al., 2009), define-se: X = (H +
E∆) −I,
Z =−λP 0
0 P+
eV =0 I, de tal
modo queVN′ ZVN<0seja equivalente a P > 0.
Então, (18) é equivalente à: −λP 0 0 P+ + He 0 U H+ E∆ −I <0, ∀ E∆′ E∆−γ2I ≤0 (19)
onde U = U ∈ ℜp×p corresponde a uma matriz auxiliar.
Finalmente, se verificada a restrição por norma (Dorato and Vlack, 1987):
E∆′ E∆ − γ2I ≤ 0, e fazendo: −λP 0 0 P+ + He 0U H+ E∆ −I − E∆′ E∆ − γ2I 0 0 0 <0 (20)
a desigualdade (16) também é verificada. 2
3.1 Análise de Estabilidade
Considerando a condição de estabilidade determi-nada pelo Lema 2, define-se uma condição em ter-mos de LMI para análise da estabilidade robusta do sistema em malha fechada como descrita pelo Corolário 3.
Corolário 3 (Análise de Estabilidade) Seja λ ∈ (0, 1] e γ calculado por (13). O sistema (11)
é robustamente assintoticamente estável, com um coeficiente de contração λ, se existem matrizes simétricas positivas definidas Pi ∈ ℜp×p e uma matriz U ∈ ℜp×p, que verificam:
−λPi+ γ2I Hi′U′ 0 ∗ Pj− U − U′ U E ∗ ∗ −E′E < 0 (21) para i, j = 1, . . . , h + 1.
Demonstração: Para cada j, multiplicando cada desigualdade correspondente por µi, para i = 1, . . . , h + 1, e realizando a combinação convexa correspondente e, em seguida, multiplicando cada desigualdade restante por µj, para j = 1, . . . , h+1,
também realizando a combinação convexa corres-pondente, obtém-se: −λP + γ2I H′U′ 0 ∗ P+− U − U′ U E ∗ ∗ −E′E < 0 (22) Pré- e pós- multiplicando (22) porI 0 ∆′ 0 I 0 e sua transposta, respectivamente, obtém-se: −λP + γ2I − (E∆)′(E∆) H+ (E∆)′
U′
∗ P+− U − U′
< 0 (23) Esta última relação garante a verificação da desigualdade (16) para um caso particular, onde a matriz auxiliar dependente de parâmetro U cor-responde a uma matriz auxiliar U constante. Isto
conclui a demonstração. 2
4 Realimentação de Estados Nesta seção é apresentado um método para cálculo dos ganhos de realimentação de estados dependentes de parâmetro, K(τk), que estabiliza o sistema aumentado (9). A obtenção de ganho constante também é mostrada, sendo deduzida a partir do primeiro caso.
4.1 Ganhos Variantes
Proposição 4 (Estabilização) Seja λ ∈ (0, 1] e γ calculado por (13). Se existem matrizes
simé-tricas positivas definidas Qi ∈ ℜp×p e matrizes S ∈ ℜp×p e Y i ∈ ℜm×p, que verificam: −λQi S′A′i+ Yi′B′ 0 γS′ ∗ Qj− S − S′ E 0 ∗ ∗ −E′E 0 ∗ ∗ ∗ −I < 0 (24)
para i, j = 1, . . . , h + 1, então os ganhos de reali-mentação de estados dados por
Ki= YiS−1 (25) são tais que o sistema em malha fechada (11) é assintoticamente estável.
Demonstração: Suponha que seja encontrada uma resposta factível para as LMIs (24). De −S − S′< 0, tem-se que S é invertível. Definindo U = S−1′ e P
i = U QiU′, e pré- e pós- multipli-cando as desigualdades por diag(U, U, I, I) e sua transposta, respectivamente, e aplicando o com-plemento de Schur, obtém-se:
−λPi+ γ2I Hi′U ′ 0 ∗ Pj− U − U′ U E ∗ ∗ −E′E < 0 (26) para i, j = 1, . . . , h + 1, que corresponde à (21).2
Tabela 1: Valores numéricos mínimos obtidos para o coeficiente de contração. T = 90ms, τmax= 85ms T = 80ms, τmax= 78ms T = 60ms, τmax= 50ms
h λK λK(τk) λK λK(τk) λK λK(τk)
1 não factível não factível não factível não factível não factível 0,9823
2 não factível não factível não factível 0,9807 0,8993 0,8664
3 0,8862 0,7832 0,8646 0,7667 0,7929 0,6947
4 0, 8814 0, 7755 0, 8619 0, 7611 0, 7927 0, 6936
4.2 Ganho Constante
Para o cálculo de ganho constante:
K(τk) = K, ∀τk∈ [τmin, τmax] (27) também são utilizadas as LMIs (24), porém subs-tituindo as matrizes Yi por uma matriz Y cons-tante para todos os vértices do politopo. Dessa forma, o ganho é obtido por:
K = Y S−1. (28)
5 Exemplo e Simulação
Para ilustrar o método proposto neste artigo, é utilizado, como exemplo, um sistema consis-tindo de um pêndulo invertido sobre um carro (Martí, 2002) e um controlador digital se comu-nicando com o atuador e sensores através de uma rede CAN (ISO 11898: 1993 ), com taxa de trans-missão de dados de 250Kbps e pacotes com tama-nho de 108bits.
Os resultados desta seção foram obtidos com auxílio das seguintes ferramentas computacionais:
i) Yalmip (Löfberg, 2004) e Sedumi (Sturm, 1999)
para resolução das LMIs; e ii) True-time (Cervin et al., 2003) para simulação do sistema de controle via rede.
As equações do sistema no espaço de estados são dadas por:
˙θ ˙ω ˙x ˙v = 0 1 0 0 (M +m)·g M ·l 0 0 0 0 0 0 1 −m·g M 0 0 0 · θ ω x v + 0 − 1 M ·l 0 1 M u(t) onde M = 2kg, m = 0, 1kg, l = 0, 5m e g = 9, 81m/s2.
De acordo com a taxa de transmissão e o tamanho de pacotes, o intervalo de tempo mí-nimo, entre os instantes de medição e atuação, é de τmin = 2, 16ms. Além disso, para a simula-ção, uma interferência é gerada de forma aleató-ria, ocasionando atrasos na comunicação através da rede.
Na tabela 1 são mostrados os valores mínimos para o coeficiente de contração para os quais as LMIs (24) são factíveis, representados por λK(τk)
no caso de ganhos variantes, e λK no caso de ga-nhos constantes. Verifica-se que, para cada uma
das três condições, os controladores a ganhos va-riantes apresentam melhor desempenho temporal, e que o aumento da ordem de aproximação para o cálculo das matrizes incertas implica em meno-res valomeno-res de λ. Também é válido observar que, ganhos variantes permitem obter soluções factí-veis em casos onde isto não foi possível para ga-nho constante. Finalmente, pode-se salientar que, neste exemplo, para h > 3 não ocorre melhora sig-nificativa nos valores do coeficiente de contração. Os valores destacados na tabela 1 correspon-dem aos utilizados nas simulações, isto é: período de amostragem T = 80ms, com atraso máximo τmax= 78ms, aproximação de ordem h = 3 e co-eficiente de contração: i) λK(τk) = 0, 7667; e ii)
λK = 0, 8646. No primeiro caso, realimentação de estados com ganhos variantes, os resultados obti-dos foram:
K1= [116, 96 25, 98 7, 93 10, 54 − 1, 31 − 0, 45]
K2= [116, 87 25, 96 7, 93 10, 53 − 0, 31 − 1, 45]
K3= [116, 74 25, 93 7, 91 10, 52 − 0, 08 − 1, 68]
K4= [116, 66 25, 91 7, 90 10, 50 − 0, 05 − 1, 71]
No segundo caso, realimentação de estados com ganho constante, obteve-se:
K=76, 41 16, 91 1, 72 3, 52 −0, 51 −0, 83 .
É interessante observar que nas matrizes Ki os ganhos relativos aos estados do sistema a con-trolar são similares, enquanto que os ganhos as-sociados à uk−1 e uk são diferentes. Isto se deve, fundamentalmente, à hipótese de invariância no tempo do sistema a controlar.
O comportamento dos estados x(t) durante o período de simulação, para uma condição inicial
x0 =0, 08 0 0 0
, é mostrado na figura 2, na
qual também pode ser observado que o sistema controlado por uma realimentação de estados com ganhos variantes, representado pelas linhas contí-nuas, converge mais rapidamente. Isto já era es-perado devido ao valor obtido para o coeficiente de contração.
Observa-se que o melhor desempenho tempo-ral obtido com a utilização de um controlador a ganhos variantes implica em um maior esforço do atuador, como pode ser visto na figura 3. Deve-se ressaltar que a Deve-sequência de atrasos ocorrida durante o período da simulação foi a mesma em ambos os casos, e pode ser observada na figura 4.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0,7 0 0,7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0,4 0 0,4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0,6 0 0,6 0 0.1 tempo (s) estados do sistema x(t)2 x(t)3 x(t)4 x(t)1
Figura 2: Dinâmica dos estados do sistema, (— Kτk, – – K).
Figura 3: Sinal de controle.
0 10 20 30 40 50 60 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 ciclo medição-atuação atraso de tempo (s) , τk
Figura 4: Atrasos ocorridos durante simulação.
6 Conclusão
Neste trabalho foi estudado o problema de es-tabilidade em uma classe de sistemas de controle via rede, sendo propostos resultados, em termos de LMIs, para análise de estabilidade e síntese de controle por realimentação de estados a ganhos variantes, onde estes são dependentes do atraso ocorrido devido à utilização da rede de comuni-cação para troca de informações entre os compo-nentes do sistema de controle. A validade dos mé-todos apresentados foi demonstrada a partir de um exemplo e simulação. Para trabalhos futuros, deseja-se expandir os resultados descritos, consi-derando atrasos maiores que o período de
amos-tragem, incluindo condições para quando há per-das de pacotes, e o projeto de um compensador dinâmico de saída.
Apêndice
Neste apêndice apresenta-se uma versão do Lema da Projeção (Gahinet and Apkarian, 1994) para o caso de matrizes dependentes de parâme-tros.
Lema 5 (Lema da Projeção) Dada uma
ma-triz simétrica Z(τ ) ∈ ℜpxp e duas matrizes X (τ ) e V(τ ) com p colunas; existe uma matriz U (τ ) que satisfaz:
X′(τ )U (τ )V(τ ) + V′(τ )U′(τ )X (τ ) + Z(τ ) < 0 se e somente se as seguintes inequações, projeções em relação a X (τ ), são satisfeitas:
XN′ (τ )Z(τ )XN(τ ) < 0 V′
N(τ )Z(τ )VN(τ ) < 0
onde XN(τ ) e VN(τ ) são matrizes arbitrárias cu-jas colunas formam uma base do espaço nulo de
X (τ ) e V(τ ), respectivamente. Agradecimentos
Os autores agradecem ao Conselho Nacio-nal de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo auxílio financeiro fornecido.
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