SEQ ÄU^ENCIAS E PROGRESS ~OES.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ~AO CARLOS CENTRO DE CI^ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEM ¶ATICA

O ENSINO DA ¶ALGEBRA ELEMENTAR ATRAV¶ES DE SUA HIST ¶ORIA Prof. Jo~ao C.V. Sampaio. sampaio@dm.ufscar.br

SEQ Ä

U^

ENCIAS E PROGRESS ~

OES.

PIT ¶AGORAS E A ESCOLA PITAG ¶ORICA

Pit¶agoras (570-500 a.C.) foi um matem¶atico grego (l¶³der religioso, m¶³stico, s¶abio, prot¶otipo de cientista, ¯l¶osofo e pol¶³tico), fundador da Irmandade ou Ordem Pitag¶orica, uma academia ¶ etico-pol¶³tico-¯los-¶

o¯ca. A palavra Matem¶atica (\aquilo que ¶e aprendido") ¶e cria»c~ao da Ordem Pitag¶orica.

Pit¶agoras nasceu em Samos, uma ilha grega na costa mar¶³tima da atual Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quil^ometros a sudeste de Samos, aprendeu Matem¶atica com Tales (624-546 a.C.), considerado o fundador da Matem¶atica grega. Segundo antigos histori-adores, Pit¶agoras estudou na Babil^onia, onde ¶e prov¶avel que tenha se encontrado com o profeta Daniel.

Em torno de 525 a.C., Pit¶agoras mudou-se para Crotona, uma cidade ao sul da It¶alia, onde fundou a irmandade dos Pitag¶oricos. L¶a casou-se com Teano, provavelmente a primeira mulher matem¶atica da hist¶oria.

Segundo lendas, os membros da Ordem Pitag¶orica tinham uma dieta vegetariana, n~ao vestiam roupas de l~a, usavam uma roupa que os iden-ti¯cava, andavam descal»cos, viviam uma vida simples e acreditavam na reencarna»c~ao.

Os Pitag¶oricos atribu¶³am todas as suas descobertas matem¶aticas a Pit¶agoras. Assim, a demonstra»c~ao do assim chamado Teorema de Pi-t¶agoras (\Num tri^angulo ret^angulo, a soma dos quadrados dos catetos ¶e igual ao quadrado da hipotenusa"), pode ter sido descoberta por algum disc¶³pulo de Pit¶agoras e n~ao pelo mestre. Sabe-se o Teorema de Pit¶agoras j¶a era conhecido antes do seu tempo. O m¶erito da Escola Pitag¶orica ¶e o de ter descoberto sua dedu»c~ao.

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¶

E prov¶avel tamb¶em que Pit¶agoras tenha estudado na ¶India. Sua cren»ca na reencarna»c~ao talvez tenha origem indiana. Um de seus con-tempor^aneos ¶e Buda, e ¶e prov¶avel que Pit¶agoras e Buda tenham se encontrado.

\TUDO ¶E N ¶UMERO"

Os Pitag¶oricos chegaram µa razo¶avel conclus~ao, em seus estudos, de \tudo s~ao n¶umeros." Essa a¯rma»c~ao parece ter sido fortemente in°uen-ciada por uma descoberta importante da Escola Pitag¶orica, a explica»c~ao da harmonia musical atrav¶es de fra»c~oes de inteiros.

Os Pitag¶oricos notaram haver uma rela»c~ao matem¶atica entre as no-tas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de viol~ao distendida, de determinado comprimento, daria uma no-ta. Reduzida a 2/3 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida µa metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os n¶umeros 12, 8 (2/3 de 12) e 6 (metade de 12), segundo Pit¶agoras, estariam em \progress~ao harmônica," sendo 8 a m¶edia harmônica de 12 e 6. A m¶edia harmônica de dois n¶_{umeros a e b ¶e o} n¶_{umero h dado pela f¶ormula 1=h = (1=a + 1=b)=2.}

Pit¶agoras dava especial aten»c~ao ao n¶umero 10, ao qual ele chamava de n¶umero divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez s~ao os v¶ertices da estrela de Pit¶agoras. A estrela de Pit¶agoras ¶e a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pent¶agono regular. O pent¶agono regular era de grande signi¯ca»c~ao m¶³stica para os Pitag¶oricos e j¶a era conhecido na antiga Babil^onia.

As diagonais do pent¶agono regular cortam-se em pontos de divis~ao ¶

aurea. O ponto de divis~ao ¶aurea de um segmento AB ¶e o ponto C desse segmento que o divide de modo que a raz~ao entre a parte menor

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e a parte maior ¶e igual µa raz~ao entre a parte maior e o todo, ou seja, AC=CB = CB=AB. Para os antigos gregos, o ret^angulo ¶aureo, isto ¶e, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, ¶e o ret^angulo de maior beleza.

A CRISE NA ESCOLA PITAG ¶ORICA

Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitag¶orica foi a de que dois segmentos nem sempre s~ao comensur¶aveis, ou seja, nem sempre a raz~ao entre os comprimentos de dois segmentos ¶e uma fra»c~ao de n¶umeros inteiros (n¶umero racional).

Essa descoberta foi uma conseqÄuência direta do teorema de Pit¶agoras: se um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa ter¶_{a um comprimento x satisfazendo x}2 = 2, e portanto a raz~ao entre a hipotenusa e um cateto n~ao ser¶a uma fra»c~ao de dois inteiros, j¶a que p2 ¶e um n¶umero irracional.

Isso desgostou profundamente os Pitag¶oricos pois era um assunto in-concili¶avel com a teoria pitag¶orica dos n¶umeros. Somente no s¶eculo IV a.C., Eudoxo, com sua teoria das propor»c~oes, rede¯niu um conceito mais geral de raz~ao entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria, de¯nir-se a raz~ao entre dois segmentos comensur¶aveis ou n~ao.

SEQ ÄU^ENCIAS DE N ¶UMEROS FIGURATIVOS NA ESCO-LA PITAG ¶ORICA.

A primeira seqÄu^encia num¶erica descoberta pelo homem ¶e provavel-mente a seqÄu^encia de n¶_{umeros naturais 1; 2; 3; 4; : : :}

Os Pitag¶oricos tinham por h¶abito atribuir propriedades geom¶etricas aos n¶umeros naturais. Isto deu origem ao conceito de seqÄu^encias de n¶umeros ¯gurativos, que s~ao n¶umeros naturais provenientes da contagem de pontos em certos arranjos geom¶etricos.

N¶umeros triangulares s~ao n¶umeros naturais provenientes da contagem de pontos em arranjos triangulares, como na ¯gura abaixo.

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Assim, os n¶umeros triangulares formam uma seqÄu^encia T1; T2; T3; : : : ; Tn; : : :

onde

T1 = 1; T2 = 3; T3 = 6; T4 = 10; T5 = 15; : : :

Para visualizarmos como esta seqÄu^encia se relaciona com progress~oes aritm¶eticas, consideraremos a seqÄu^encia de arranjos verticais de n¶umeros naturais:

Problemas para aquecimento I

1. Como s~ao obtidos os arranjos de n¶umeros triangulares a partir dos arranjos acima de n¶umeros naturais?

2. A partir da observa»c~ao feita no exerc¶³cio anterior, veri¯que que: (a) O termo geral Tn da seqÄu^encia de n¶umeros triangulares (ou

seja, o \n-¶esimo" n¶umero triangular) ¶e soma dos n primeiros n¶umeros inteiros positivos.

(b) Veri¯que que sendo T1; T2; T3; : : : a seqÄu^encia de n¶umeros

trian-gulares, tem-se

Tn = n(n + 1)₂

Fa»ca isso de duas maneiras:

i. usando de uma esperteza geom¶etrica, justapondo dois n¶ u-meros triangulares, como na ¯gura:

Resposta: Na ¯gura vemos que 2¢ T₄ = 4 ¢ 5. ¶E f¶acil intuir geometricamente que 2¢ T_n _{= n(n + 1).}

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ii. usando a f¶_{ormula da soma dos n primeiros termos de uma} progress~ao aritm¶etica,

Sn = (a1+ an)¢ n

2 A seqÄu^encia

O1 = 1¢ 2; O2 = 2¢ 3; O3 = 3¢ 4; O4 = 4¢ 5; : : :

¶e a seqÄu^encia de n¶umeros oblongos. Ela tem termo geral O_n _{= n(n +} 1). ¶E f¶acil ver que O_n = 2¢ T_n.

Uma outra seqÄu^encia interessante de n¶umeros ¯gurativos catalogada por Pit¶agoras e seus disc¶³pulos ¶e a seqÄu^_{encia Q}₁_{; Q}₂_{; Q}₃_{; : : : de n¶umeros} quadrados

Problemas para aquecimento II

1. Escreva os os primeiros termos da seqÄu^encia de n¶umeros quadrados correspondentes µas ¯guras acima.

2. Veri¯que atrav¶es de exemplos, bem como tambem geometricamente, que cada n¶umero quadrado ¶e a soma de dois n¶umeros triangulares consecutivos.

3. Mostre algebricamente que se Tn ¶e o n-¶esimo n¶umero triangular,

ent~ao Tn + Tn¡1 = n2 4. Observe as igualdades 12 = 1 22 = 1 + 2 + 1 32 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 42 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1

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e deduza a f¶ormula

1 + 2 + 3 +¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1) + n + (n ¡ 1) + ¢ ¢ ¢ + 3 + 2 + 1 = n2 de duas maneiras

(a) Atrav¶es do uso da f¶ormula da soma de uma progress~ao ge-om¶etrica

(b) Geometricamente, justapondo convenientemente os arranjos ge-om¶etricos de n¶umeros naturais vistos acima.

Os gnomons (nada a ver com gnomos) eram n¶umeros catalogados pelos Pitag¶oricos, com con¯gura»c~oes geom¶etricas como na ¯gura abaixo. Eram representados geometricamente como o ponteiro e a sombra de um antigo rel¶ogio de sol (da¶³ o nome dado a esses n¶umeros):

Mais problemas para aquecimento III

1. Fa»ca desenhos mostrando como a soma dos primeiros gnomons ¶e sempre um quadrado.

2. Veri¯que que os gnomons G1; G2; G3; : : : formam uma progress~ao

aritm¶etica. Por que nome s~ao conhecidos os n¶umeros dessa pro-gress~ao? Resposta: S~ao conhecidos como inteiros ¶³mpares positivos. 3. Qual ¶e a express~_{ao do termo geral G}_n dessa progress~ao? Resposta:

Gn = 2n ¡ 1.

4. Jo~aozinho adora somar progress~oes aritm¶eticas (acho que ele est¶a biruta). Atrav¶es desse seu estranho passatempo, Jo~aozinho veri¯cou que

1 = 12 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32

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1 + 3 + 5 + 7 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

Jo~_{aozinho ¯cou descon¯ado de que a soma dos n primeiros n¶}umeros ¶³mpares ¶_{e sempre n}2. Usando a f¶_{ormula da soma dos n primeiros} termos de uma progress~ao aritm¶etica, veri¯que que Jo~aozinho est¶a certo.

Os n¶umeros pentagonais tamb¶em eram catalogados pelos Pitag¶oricos, com con¯gura»c~oes geom¶etricas como na ¯gura abaixo.

Alternativamente, eles podem ser mais facilmente desenhados pelas con¯gura»c~oes apresentadas abaixo.

Mais problemas para aquecimento IV

1. De acordo com a segunda representa»c~ao geom¶etrica dada aos n¶ ume-ros pentagonais, cada n¶umero pentagonal ¶e a soma de um n¶umero quadrado com um n¶umero triangular. Com essa interpreta»c~ao, de-termine a f¶_{ormula de P}_n_{, o n-¶esimo n¶umero pentagonal. Teste} sua f¶_{ormula para n = 1, 2, 3 e 4, para ver se est¶a ok. Resposta:} Pn = 3n2₂¡n

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PROGRESS ~OES NO EGITO ANTIGO.

Os gregos acreditavam que a Matem¶atica havia se originado no antigo Egito. J¶a os eg¶³pcios acreditavam que a Matem¶atica foi dada a eles pelo deus Thoth.

Dois papiros famosos s~ao as principais fontes de informa»c~ao sobre a Matem¶atica do Egito antigo. S~ao eles o Papiro Rhind e o Papiro de Moscou. O Papiro de Moscou ¶e do ano 1850 a.C.. Em 1893 foi comprado pelo russo V.S. Golenishev e levado para Moscou. O Papiro Rhind foi escrito em torno de 1650 a.C. por Ahmes, um escriba (es-critor de papiros) eg¶³pcio. Nessa ¶epoca, Jos¶e governava o Egito. Este papiro foi adquirido em 1858, em Luxor, Egito, por Alexandre H. Rhind e posteriormente, em 1865, comprado pelo Museu Brit^anico.

Parece que o Papiro Rhind ¶e baseado num papiro ainda mais antigo. ¶E uma colet^anea de problemas resolvidos de matem¶atica elementar, muitos deles ¶uteis ao cotidiano do antigo Egito. ¶E curioso notar, no entanto, que muitos dos problemas do Papiro Rhind constituem puro entretenimento matem¶atico.

Progress~oes aritm¶eticas e geom¶etricas no Papiro Rhind Dentre os problemas resolvidos no Papiro Rhind encontram-se os seguintes problemas de progress~oes aritm¶eticas. Discuta a utilidade dess-es problemas no dia a dia dos eg¶³pcios.

1. (Problema 40 do Papiro Rhind) Divida 100 p~aes dentre 5 pessoas de modo que as partes recebidas estejam em progress~ao aritm¶etica e que 1₇ da soma das tr^es maiores partes seja igual µa soma das duas menores partes. [Sugest~ao facilitadora: Represente as 5 partes por x¡2r; x¡r; x; x+r; x+2r, onde x ¶e o termo central da progress~ao e r a raz~ao dela.] Resposta: As partes recebidas formam uma progress~ao aritm¶_{etica de primeiro termo a}₁ _{= 5=3 e raz~ao 55=6, sendo iguais} portanto a 5=3; 65=6; 20; 175=6; 115=3.

2. (Problema 64, adaptado) 10 medidas de milho s~ao distribu¶³das a 10 pessoas, formando uma seqÄu^encia de medidas de tal modo que cada pessoa, a partir da segunda, recebe 1=8 a menos que a pessoa precedente. Determine essas medidas.

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termos, de raz~_{ao 1=8, cuja soma dos termos ¶e igual a 10 (medidas),} sendo portanto uma progress~ao de primeiro termo 7/16 e raz~ao (da-da) 1/8.

O problema que segue ¶e provavelmente a mais antiga refer^encia a uma progress~ao geom¶etrica de que se tem not¶³cia na Hist¶oria da Matem¶atica.

3. (Problema 79 do Papiro Rhind, adaptado) Numa aldeia eg¶³pcia h¶a sete casas. Em cada casa, h¶a sete gatos. Para cada gato, h¶a sete ratos. Para cada rato, h¶a sete espigas de trigo. Em cada espiga, h¶a sete gr~aos.

(a) Quantos gr~aos h¶a ao todo, nas sete casas?

(b) Casas, gatos, ratos, espigas e gr~aos, quantos objetos s~ao ao todo?

AQUILES E A TARTARUGA

No s¶eculo 5 a.C., no sul da It¶alia viveu o grego Zen~ao de El¶eia. Zen~ao era um ¯l¶osofo que rejeitava a id¶eia de que existem in¯nitos n¶umeros naturais, de que numa linha reta h¶a in¯nitos pontos, e assim por diante. Naquela ¶epoca, para mostrar que o conceito de in¯nito n~ao ¶e um conceito v¶alido, Zen~ao criou alguns argumentos, conhecidos hoje como \paradoxos de Zen~ao".

Alguns desses argumentos trazem µa tona o conceito de soma de uma progress~ao geom¶etrica. Estas s~ao talvez as primeiras progress~oes geo-m¶etricas que aparecem na Hist¶oria da Matem¶atica ap¶os a progress~ao geom¶etrica do Problema 79 do Papiro Rhind.

Os argumentos de Zen~ao

Zen~ao produziu alguns argumentos para mostrar que, se h¶a in¯nitos pontos numa linha, ent~ao qualquer movimento ¶e imposs¶³vel! Um dos seus argumentos ¶e explorado nos problemas abaixo.

1. Um ponto m¶ovel se move em linha reta, com a ¯nalidade de per-correr 2 unidades de comprimento. Num primeiro est¶agio de seu movimento, o ponto percorre uma dist^ancia igual a 1 unidade de comprimento. No segundo est¶agio, percorre uma dist^ancia igual a

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1=2, totalizando 1 + 1=2. No terceiro est¶agio percorre mais 1=4, depois mais 1=8, e assim por diante.

(a) Que dist^ancia ter¶a percorrido o ponto ap¶os 10 est¶agios do seu movimento? Resposta: Ter¶a percorrido uma dist^ancia de 1 +

1

2 + 14 + : : : + 219 = 1¡(1=2) 10

1¡(1=2) = 2¡ (1=2)11 unidades.

(b) Que dist^ancia ter¶a percorrido o ponto ap¶_{os n est¶agios do seu} movimento? Resposta: 2¡ (1=2)n+1 unidades.

Recordemo-nos de que a soma dos n primeiros termos de uma progress~ao geom¶etrica de raz~_{ao q ¶e dada por}

Sn = a1(1¡ q

(n¶umero de termos)₎

1¡ q =

a1(1¡ qn)

1¡ q onde a1 ¶e o primeiro termo.

Zen~ao argumentava que ¶e imposs¶³vel ao ponto m¶ovel atravessar um n¶umero in¯nito de intervalos e, sendo assim, o ponto poder¶a percorrer somente uma dist^ancia de comprimento 2¡ (1=2)n+1, que ¶e menor que 2. Assim sendo, o ponto nunca percorrer¶a as duas unidades de comprimento.

No entanto, ao argumento de Zen~ao podemos contrapor que, embora o n¶umero de intervalos percorridos pelo ponto seja in-¯nito, a soma das dist^ancias percorridas ¶e ¯nita.

(c) Qual ¶e a soma total das dist^ancias percorridas pelo ponto? Re-sposta: 2

2. Aquiles e uma tartaruga est~ao disputando uma corrida ao longo de uma linha graduada. Aquiles come»ca em 0 e a tartaruga come»ca em 1. Aquiles desloca-se a uma velocidade constante, duas vezes mais r¶apido que a tartaruga. Isto signi¯ca que, em cada intervalo de tempo, a tartaruga percorre metade da dist^ancia percorrida por Aquiles naquele intervalo. Quando Aquiles chega ao ponto 1, a tartaruga encontra-se em 1 + 1₂. Quando Aquiles chega ao ponto

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1 + 1₂, a tartaruga encontra-se no ponto 1 + 1₂ + 1₄, e assim por diante.

A partir da observa»c~ao acima, Zen~ao argumenta que Aquiles nunca alcan»car¶a a tartaruga, pois Aquiles ter¶a sempre in¯nitos pontos a percorrer para alcan»car a tartaruga.

A¯nal, Aquiles alcan»car¶a ou n~ao a tartaruga? Se voc^e acha que sim, a que dist^ancia do seu ponto de partida?

Resposta: A solu»c~ao ¶e dada usando conceitos de cinem¶atica elemen-tar. Como a velocidade v de Aquiles ¶e constante, o deslocamento de Aquiles, medido a partir do ponto 0, ¶_{e dado por d}₁ _{= v ¢ t,} onde t ¶e o tempo decorrido desde o in¶³cio da corrida, enquanto que o da tartaruga, tamb¶em medido a partir do marco 0, ¶e dado por d2 = 1 + (v₂) ¢ t. No instante em que Aquiles encontra a tartaruga,

temos d1 = d2, e ent~ao t = 2_v. Nesse instante, d1 = d2 = 2. Portanto,

Aquiles encontra a tartaruga a 2 unidades de onde partiu.

PROGRESS ~OES NO FOLCLORE DA MATEM ¶ATICA ² Carl Friedrich Gauss, alem~ao, ¶e universalmente considerado

como o maior matem¶atico do s¶eculo 19. Conta uma lenda que o professor de Gauss, na escola elementar, teria passado µa classe, para mant^e-la ocupada, a tarefa de somar todos os n¶umeros inteiros de 1 a 100. Gauss, ent~ao com 10 anos de idade, colo-cou quase que imediatamente sua lousa sobre a escrivaninha do irritado professor. Este surpreendeu-se ao ver que a resposta estava correta: 5 050.

Carl havia calculado mentalmente a soma da progress~ao ar-itm¶etica 1 + 2 + 3 +¢ ¢ ¢ + 98 + 99 + 100 observando que 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101

e assim por diante. Como ao todo ser~ao somados 50 pares de n¶umeros, a soma pedida ¶e igual a 50¢ 101 = 5 050

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² Conta uma lenda que o jogo de xadrez foi inventado para diver-tir um imperador, o qual ¯cou t~ao encantado com o jogo que pediu ao inventor que escolhesse sua recompensa. Este pediu ao rei que lhe pagasse 1 gr~ao de trigo na primeira casa do tab-uleiro, 2 gr~aos na segunda casa, 4 na terceira, 8 na quarta e assim por diante, dobrando o n¶umero de gr~aos para cada casa sucessiva do tabuleiro. O rei sorriu ao ouvir o pedido modesto. Mas seu sorriso desapareceu na manh~a seguinte quando ouviu, do seu secret¶ario de ¯nan»cas, que ele, o rei, teria que pagar

1 + 2 + 4 + 8 +¢ ¢ ¢ + 263 = 264 ¡ 1

gr~aos, ou seja, 18 446 744 073 709 551 615 gr~aos de trigo.

Havendo aproximadamente 100 gr~aos num cent¶³metro c¶ubico, e portanto 100 000 000 gr~aos por metro c¶ubico, seriam necess¶arios 184 467 440 737; 1 metros c¶ubicos para comportar todo o trigo. Talvez 2 000 000 de vag~oes de trem pudessem transportar o car-regamento, constituindo um trem dando mil voltas em torno da Terra.

² Assumindo que cada gera»c~ao corresponde a 25 anos, isto ¶e, que pais geram seu primeiro ¯lho aos 25 anos, quantos ascendentes, pais, av¶os, bisav¶os, triav¶os, etc., estar~ao na ¶arvore geneal¶ogica de um brasileiro, no anivers¶ario de 500 anos do descobrimento do Brasil? E num per¶³odo de 650 anos?

Resposta: 500_{=25 = 20 gera»c~oes.}

2 pais + 4 av¶os + 8 bisav¶os + 16 triav¶_{os + : : : + 2}20 \cabral-av¶os"perfazem

2+4+8+¢ ¢ ¢+220 = 2(1¡2_1¡220) = 2(220¡1) = 2 097 150 ascendentes. J¶a num per¶³odo de 650 anos, ou seja de 26 gera»c~oes, o n¶umero de ascendentes de uma pessoa totaliza 134 217 726.

Refer^encias utilizadas para a confec»c~ao do presente texto:

1. Anglin, W.S.

Mathematics: A Concise History and Philosophy Springer, New York, 1994.

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2. Boyer, C.B.

Hist¶oria da Matem¶atica

Editora Edgard BlÄucher, S~ao Paulo, 1968. 3. Bunt, L.N.H. et alii

The Historical Roots of Elementary Mathematics Dover, New York, 1988.

4. Gullberg, J.

Mathematics From The Birth of Numbers W.W. Norton and Co., New York, 1996. 5. Ronan, C.A.

Hist¶oria Ilustrada da Ci^encia da Universidade de Cambridge, vol. 1 C¶³rculo do Livro, S~ao Paulo, 1987.

6. Smith, D.E.

History of Mathematics, vol. II Dover, New York, 1953.

7. Stillwell, J.

Mathematics and Its History Springer-Verlag, New York, 1989.