Interação Flambagem Global Flambagem Local em Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos Sob Compressão Uniforme

Departamento de Estruturas e Edificações

Dissertação de Mestrado

Interação Flambagem Global – Flambagem Local em

Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos

Sob Compressão Uniforme

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós–Graduação em Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil

Mestrando

Warlley Soares Santos

Orientador

Luiz Herkenhoff Coelho

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Interação Flambagem Global – Flambagem Local em

Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos

Sob Compressão Uniforme

COMISSÃO EXAMINADORA

---Prof. Dr. Ing. Luiz Herkenhoff Coelho, UFES (---Prof. Orientador)

---Prof. D. Sc. Walnório Graça Ferreira, UFES (---Prof. Examinador Interno)

---Prof. D. Sc. Francisco Carlos Rodrigues, UFMG (---Prof. Examinador Externo)

Santos, Warlley Soares,

1977-S237i Interação flambagem global – flambagem local em pilares metálicos de

seção I duplamente simétricos sob compressão uniforme / Warlley Soares Santos. – 2002. 120 f. : il.

Orientador: Luiz Herkenhoff Coelho.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Espírito Santo, Centro Tecnológico.

1. Flambagem (Mecânica). 2. Estabilidade estrutural. I. Coelho, Luiz Herkenhoff. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro Tecnológico. III. Título.

CDU: 624 ___________________________________________________________________________

Araújo dos Santos, que sempre me incentivaram.

Gostaria de agradecer a Deus por tudo. Aos meus pais José Soares dos Santos e Maria de Fátima Araújo dos Santos, a meus dois irmãos Welington e Welcius que sempre me apoiaram. Ao meu orientador Luiz H. Coelho, aos professores, especialmente Fernando Musso e Walnório Graça Ferreira. Ao NEXEM (Núcleo de Excelência em Estruturas Metálicas e Mistas – Convênio UFES/CST) pelo incentivo financeiro e aos meus amigos que sempre estiveram ao meu lado. Gostaria de agradecer também ao Sr. Virgílio S. Prates e ao Sr. Antônio Carlos B. Vieira pelo estágio na HEC HANDLE no qual pude obter precioso aprendizado sobre engenharia e principalmente sobre o programa ANSYS. Agradeço à Fátima Nogueira e a todos da Softec por sempre esclarecer as dúvidas relativas ao programa ANSYS.

Ao professor Pedro Augusto Cezar Oliveira de Sá um agradecimento especial pelas horas dispensadas neste trabalho e pelo amigo sincero que sempre foi e será.

Sumário

LISTA DE TABELAS... II LISTA DE FIGURAS... III RESUMO ... V ABSTRACT ...VI

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ... 1

CAPÍTULO 2 ESTADO DO CONHECIMENTO... 3

2.1 INSTABILIDADE DE PILARES METÁLICOS... 3

Introdução... 3

As propriedades dos aços ... 4

Dimensionamento ... 6

Flambagem por flexão ... 7

Flambagem por torção ... 15

Flambagem por flexão e torção ... 16

Flambagem lateral... 17

Flambagem Local ... 20

Distorção da seção ... 27

2.2 INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL... 29

Introdução... 29

Classificação das instabilidades acopladas... 31

Métodos de Análise ... 34

CAPÍTULO 3 MODELO NUMÉRICO ... 39

3.1 CURVA DE FLAMBAGEM ALTERNATIVA... 39

3.2 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES DO MODELO NUMÉRICO... 43

3.3 ESCOLHA DA MALHA... 46

Alguns casos estudados... 49

3.4 ESCOLHA DO MATERIAL... 61

Alguns casos estudados... 62

CAPÍTULO 4 PERFIS LONGOS... 65

FLAMBAGEM GLOBAL... 65

CAPÍTULO 5 PERFIS CURTOS ... 68

5.1 FLAMBAGEM NA ALMA... 69

5.2 FLAMBAGEM NAS MESAS... 71

5.3 INTERAÇÃO FLAMBAGEM NA ALMA E MESA... 73

CAPÍTULO 6 PERFIS INTERMEDIÁRIOS... 77

6.1 INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA... 77

6.2 INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 81

6.3 INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NAS MESAS... 84

CAPÍTULO 7 MÉTODO ALTERNATIVO ... 94

Um exemplo ilustrativo ... 94

CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES... 96

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 100

Lista de Tabelas

Capítulo 4

TABELA 4.1 – COMPRIMENTOS, CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DOS PERFIS LONGOS

... 65

Capítulo 5

TABELA 5.1 – ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS A FLAMBAGEM NA ALMA... 69 TABELA 5.2 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À

FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA 5.1 ... 70 TABELA 5.3 – ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NA ALMA

CUJOS ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DA ALMA ESTÃO ENTRE 0.8 E 1.8... 71

TABELA 5.4 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA 5.3 ... 71 TABELA 5.5 – ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS72 TABELA 5.6 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À

FLAMBAGEM NAS MESAS... 72 TABELA 5.7 – ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS

CUJOS ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DAS MESAS ESTÃO ENTRE 0.8 E 1.8... 73

TABELA 5.8 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS REFERIDOS NA TABELA 5.7 ... 73 TABELA 5.9 – ESPESSURAS DA ALMA E DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À INTERAÇÃO

ENTRE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS... 74 TABELA 5.10 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À

INTERAÇÃO DE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS... 75

Capítulo 6

TABELA 6.1 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA... 77 TABELA 6.2 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIÁRIOS

SUJEITOS À INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA... 78 TABELA 6.3 – REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.2 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) ... 80 TABELA 6.4 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E

FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 81 TABELA 6.5 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIÁRIOS

SUJEITOS À INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 82 TABELA 6.6 – REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.5 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) ... 83 TABELA 6.7 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS, ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS E RESISTÊNCIA ÚLTIMA

RELATIVA DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NAS MESAS... 85 TABELA 6.8 – REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.7 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) ... 90

Capítulo 8

TABELA 8.1 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS PARA COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS NUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/86... 96 TABELA 8.2 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS NUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/86 96

Lista de Figuras

Capítulo 2

FIGURA 2.1. GRÁFICO σ - ε PARA AÇOS NÃO TEMPERADOS... 4

FIGURA 2.2. DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES RESIDUAIS EM SEÇÕES DO TIPO I: 1. W 14X730 [KSI] 2. WW 23X681 [KIPS/IN²] ... 5

FIGURA 2.3. CURVA P−δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS... 8

FIGURA 2.4. CURVA P−δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NÃO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS... 8

FIGURA 2.5. CURVA P−δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E GRANDES DESLOCAMENTOS... 9

FIGURA 2.6. CURVA P−δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NÃO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E GRANDES DESLOCAMENTOS... 9

FIGURA 2.7. CURVA P−δ DE PILARES COM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COMPORTAMENTO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS... 9

FIGURA 2.8. CURVA P−δ DE PILARES COM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COMPORTAMENTO NÃO LINEAR... 9

FIGURA 2.9. CURVA χ −λ TÍPICA... 12

FIGURA 2.10. BANDA DE CURVAS χ −λ ... 12

FIGURA 2.11. FENÔMENO DA FLAMBAGEM LOCAL... 20

FIGURA 2.12. COMPORTAMENTO DE CHAPAS COM E SEM IMPERFEIÇÕES INICIAIS... 22

FIGURA 2.13. CURVA σ −ε ANTES E DEPOIS DA FLAMBAGEM LOCAL... 23

FIGURA 2.14. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES APÓS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA – APOIADA... 23

FIGURA 2.15. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES APÓS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA – LIVRE... 23

FIGURA 2.16. CONCEITO DE LARGURA EFETIVA... 24

FIGURA 2.17. MODO DE INSTABILIDADE POR DISTORÇÃO EM PERFIS U ENRIJECIDOS E PERFIS RACKS. ... 28

FIGURA 2.18. EROSÃO PRIMITIVA E EROSÃO DERIVADA – INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL (1º MODO) – FLAMBAGEM LOCAL (2º MODO) ... 32

Capítulo 3 FIGURA 3.1. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA – LIVRE E SEUS CORRESPONDENTES GRÁFICOS P−δ ... 47

FIGURA 3.2. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA – APOIADA E SEUS CORRESPONDENTES GRÁFICOS P−δ ... 48

FIGURA 3.3. PERFIL CURTO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA... 50

FIGURA 3.4. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NA ALMA) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS... 50

FIGURA 3.5. PERFIL CURTO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 51

FIGURA 3.6. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NAS MESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS... 52

FIGURA 3.7. PERFIL LONGO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM POR FLEXÃO... 53

FIGURA 3.8. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM POR FLEXÃO) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS... 53

FIGURA 3.9. PERFIL INTERMEDIÁRIO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA... 54

FIGURA 3.10. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS

CONSIDERÁVEIS... 55

FIGURA 3.11. PERFIL INTERMEDIÁRIO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 56

FIGURA 3.12. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS... 57

FIGURA 3.13.PERFIL CURTO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 58

FIGURA 3.14. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS... 59

FIGURA 3.15. PERFIL INTERMEDIÁRIO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS – FLAMBAGEM GLOBAL... 60

FIGURA 3.16. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS... 60

FIGURA 3.17. CURVA σ −ε DE AÇOS CARBONO... 61

FIGURA 3.18. CURVA σ- ε DO AÇO CARBONO COM f 230MPa 0 = ε E N = 12 ... 62

FIGURA 3.19. GRÁFICOS P−δ DOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM GLOBAL) – 1. PERFIL COM IMPERFEIÇÕES FÍSICAS 2. PERFIL SEM IMPERFEIÇÕES FÍSICAS... 64

Capítulo 4 FIGURA 4.1. CURVA DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS... 66

Capítulo 5 FIGURA 5.1.TUBO CURTO – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO – 1. TENSÕES NA DIREÇÃO DA APLICAÇÃO DA CARGA [KN/CM²] 2. TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES [KN/CM²] ... 68

Capítulo 6 FIGURA 6.1. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS – INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA... 80

FIGURA 6.2. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS – INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 84

FIGURA 6.3. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO α... 91

FIGURA 6.4. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO β... 92

Resumo

SANTOS, Warlley Soares. Interação Flambagem Global – Flambagem Local em

Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos Sob Compressão Uniforme. 2002. 120 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade

Federal do Espírito Santo.

Os perfis metálicos comprimidos podem submeter-se à flambagem global, à flambagem das chapas componentes (flambagem local) ou, ainda, à interação entre os dois modos de flambagem. Nos códigos modernos, esta interação é considerada através do método da largura efetiva. Na verificação da barra à flambagem global, sua esbeltez relativa e sua resistência são determinadas com base no conceito de largura efetiva de chapas. Este conceito, no entanto, não representa perfeitamente a influência da flambagem local na resistência da barra.

O propósito do estudo apresentado é demonstrar a possibilidade de se tratar o problema da interação flambagem global – flambagem local em perfis metálicos comprimidos de forma alternativa, dispensando-se a utilização do conceito de largura efetiva.

É apresentado um estudo numérico, baseado no método dos elementos finitos, de perfis metálicos tipo I, duplamente simétricos, sujeitos ao fenômeno da interação flambagem global – flambagem local na compressão. É destacada a influência desta interação na resistência do perfil para diversas relações entre as esbeltezes do perfil e de suas chapas componentes.

Palavras-chaves: instabilidade; flambagem; instabilidades acopladas; perfis

Abstract

SANTOS, Warlley Soares. Overall – Local Interaction Buckling on Compressed

Double Simetrics I Steel Profile. 2002. 120 p. Dissertation (Master Degree in Civil

Engineering) – Federal University of Espírito Santo.

Compressed steel profiles can undergo overall buckling, local buckling or interaction buckling (coupled instability). Modern codes consider this interaction by the effective width method. Bar strength and slenderness are affected by effective width concept in the overall buckling verification. This concept, however, does not represents the local buckling phenomenon perfectly.

The purpose of this work is to show the possibility of the treatment of the interaction buckling by an alternative way, without the effective width concept.

A numeric analysis, by FEM, is present in order to verify the behavior of compressed I steel profile under interaction buckling.

The influence of this interaction in the profile strength for several bar slenderness – plate slenderness rates is pointed out.

Na maior parte das estruturas, os pilares são elementos de fundamental importância. A resistência dos pilares na estrutura que os contêm, pode ser determinista no colapso da mesma como um todo.

Em estruturas metálicas, em geral, o colapso dos pilares ocorre basicamente em condições de instabilidade.

Em 1744, Euler apresentou uma solução do problema de instabilidade de pilares esbeltos constituídos de material infinitamente elástico, simplesmente apoiados (bi–articulados) nas extremidades, de seção constante, sem imperfeições geométricas e físicas, submetidos a compressão simples.

Desde então, muitos estudos têm sido desenvolvidos buscando uma melhor compreensão do problema de instabilidade assim como uma formulação de soluções considerando todos os fatores que afetam o fenômeno.

A instabilidade estrutural pode manifestar-se de distintas formas, denominadas

modos de instabilidade. Assim, em pilares podem ocorrer fenômenos de

instabilidade por flexão, torção, ou flexo–torção das peças como um todo (flambagem global), por distorção da seção, por flexão localizada das chapas componentes do pilar (flambagem local) e inclusive por interação entre dois ou

mais modos de instabilidade.

Em determinados modos de instabilidade, o pilar pode apresentar uma resistência pós–crítica, fazendo com que o colapso ocorra sob tensões superiores à tensão crítica. As tensões superiores ao valor crítico, nestes casos, ocorrem por que, após a flambagem, há uma redistribuição das tensões, o que confere resistência pós–crítica à peça.

A interação entre dois modos de instabilidade pode ocorrer quando suas tensões críticas são coincidentes, ou com valores suficientemente próximos.

Pesquisadores, visando otimizar o dimensionamento, formularam o Principio das

Instabilidades Simultâneas, que consistia em escolher as dimensões da peça de

tal maneira que os possíveis e distintos modos de instabilidade tivessem a mesma tensão crítica sob mesmo esforço solicitante.

Entretanto, este principio somente se aplica a estruturas ideais, ou seja, estruturas que não apresentam imperfeições iniciais. Tais estruturas são inexistentes na prática das construções. Por esta razão, tal principio foi denominado Principio Ingênuo de Otimização.

Nas estruturas reais sabe-se que a interação entre dois modos de instabilidade provoca um novo modo de instabilidade que corresponde a uma carga de colapso geralmente inferior a que se obteria considerando isoladamente os possíveis modos de instabilidade.

Recentemente, o tema da interação tem sido estudado com maior freqüência e contemplado nas versões mais atuais das normas.

A proposta deste trabalho é estudar a instabilidade de pilares metálicos tendo em vista a interação entre flambagem global – flambagem local, utilizando o método dos elementos finitos.

Serão considerados:

• Pilares submetidos a compressão centrada

• Seções do tipo I duplamente simétrica

• Aços carbono comum de média resistência sem tratamento térmico

• Imperfeições geométricas iniciais (deformações iniciais)

• Imperfeições mecânicas (tensões residuais).

Como resultado deste estudo, pretende-se desenvolver procedimentos alternativo para dimensionamento de pilares metálicos suscetíveis à interação entre os modos de flambagem local e o modo de flambagem global.

2.1 Instabilidade de Pilares Metálicos

Introdução

A flambagem estrutural é caracterizada pelo aparecimento, nos elementos estruturais submetidos a tensões de compressão, de grandes deformações decorrentes de pequenas variações do carregamento.

Existem vários tipos de instabilidade, dependendo do tipo da estrutura, do tipo da solicitação a que está submetida e de suas condições iniciais.

Os pilares e chapas, em condições ideais, perdem estabilidade por troca repentina do modo de deformação, caracterizando, assim, o fenômeno conhecido por bifurcação do equilíbrio. O novo modo de deformação não parece, em princípio, compatível com as solicitações. Em condições reais, ou seja, com imperfeições iniciais, não há mudança repentina de modo de deformação e sim uma significativa ampliação das deformações sob pequenos incrementos do valor da carga.

O aparecimento das grandes deformações caracteriza a chamada fase

pós–crítica do comportamento mecânico do pilar ou das chapas. Se a

carga que a peça pode suportar após o inicio da fase pós–crítica cresce com as deformações, a estrutura tem um comportamento pós–crítico

estável. Se ocorre o contrário, apresenta um comportamento pós–crítico instável (Galambos, 1998).

Os fatores que influenciam o modo de instabilidade e a carga crítica são as relações geométricas do elemento estrutural, suas condições de apoio, suas imperfeições iniciais e as características mecânicas do material. Além do que, as estruturas em regime elástico–linear se comportam de

forma distinta das estruturas em regime plástico ou não linear, com relação à instabilidade.

As propriedades dos aços

As características mecânicas dos materiais podem ser obtidas por meio do tradicional ensaio de tração ou de compressão. Os aços carbono comuns apresentam diagramas tensão–deformação idealizados como o que é mostrado na Figura 2.1 (Galambos, 1998).

Figura 2.1. Gráfico σ - ε para aços não temperados

Na Figura 2.1 acima apresenta-se somente a parte inicial dos diagramas,

onde σ é a tensão normal, ε é sua correspondente deformação linear e

y

f é o limite de escoamento do aço. A linha com traço descontinuo de cor

vermelha representa a alteração que pode sofrer o gráfico quando corpos de prova ensaiados possuem tensões residuais.

As tensões residuais surgem nos perfis metálicos como conseqüência do esfriamento irregular, ou por algum aquecimento localizado que possam sofrer estes perfis durante o processo de sua fabricação, ou mesmo durante o processo de conformação a frio.

Na Figura 2.2 mostra-se a distribuição de tensões residuais na seções de dois perfis tipo I, o primeiro laminado e o segundo soldado (Galambos 1998).

σ

ε

y f

Figura 2.2. Distribuição das tensões residuais em seções do tipo I: 1. W 14x730 [ksi] 2. WW 23x681 [kips/in²]

Os aços carbono com tensões residuais diferem dos aços carbono sem tensões residuais por apresentar uma relação tensão–deformação não linear (Galambos, 1998; Olsson, 1998). As relações tensão–deformação destes aços são representadas analiticamente pela fórmula de Ramberg – Osgood (1941), modificada por Hill (1944) e por van der Merwe (1987) (Arnedo et al., 1998; Bredenkamp et al., 1998):

n o f E _      + = 0 0 ε σ ε σ ε (2.1)

ε é a deformação linear especifica, σ é a tensão axial, E é o módulo deo

elasticidade inicial do aço,

0

ε

f é a tensão limite de escoamento

convencional, tal que gera uma deformação residual ε0. Geralmente

% 2 . 0 0 = ε e, portanto, fε₀ = f0.2.

O parâmetro n caracteriza o grau de não–linearidade da relação σ −ε do

aço. Valores distintos de n permitem representar esta relação para outros tipos de metais, por exemplo aço inoxidável (Rasmussen e Rondal, 1998; Rondal, 1998).

O módulo tangente, utilizado, como se verá adiante, para determinar resistência de peças solicitadas, pode determinar-se mediante a seguinte

expressão, obtida a partir da derivada da tensão σ em relação a

deformação ε da equação (2.1) (Bredenkamp et al., 1998; Rondal, 1998)

1 0 0 0 0 −         + = _n o o t f nE f E f E ε ε ε σ ε (2.2) Dimensionamento

O processo analítico tradicional de dimensionamento de pilares metálicos toma em conta a expressão (Galambos, 1998; Richard Liew et al., 1992)

1 ≤ + + yu y xu x u M M M M P P (2.3)

onde P , M e x M são, respectivamente, o esforço axial de compressãoy

e os momentos fletores relativos aos eixos principais da seção ( x e y ),

calculados por análise de segunda ordem. Os valores P , _u M_xu e M_yu são

as respectivas resistências.

Os valores das resistências são esforços limites que, na maioria dos casos práticos, são os esforços críticos de instabilidade.

Os pilares metálicos flexo–comprimidos podem estar sujeitos a modos de instabilidade de três naturezas distintas: a flambagem global, a flambagem local e a distorção da seção (flambagem por distorção).

Os tipos de flambagem global são: flambagem por flexão, por torção e por flexo–torção, devidas à compressão, e a flambagem lateral por flexão e torção, devida à flexão.

Flambagem por flexão

A flambagem por flexão na compressão ocorre, em geral, nos pilares longos duplamente simétricos.

A carga crítica no regime elástico linear, obtida por Euler (1744) para pilares prismáticos ideais é a menor das cargas (Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998; Timoshenko e Gere, 1961):

2 2 x crx EA P λ π = e ₂ 2 y cry EA P λ π = (2.4)

onde x e y são os eixos principais da seção, E é o módulo de

elasticidade do material, A é a área da seção do pilar e λx e λy são os

parâmetros de esbeltez do pilar em relação aos eixos x e y , respectivamente, determinados por

x x x x r L k = λ e y y y y r L k = λ (2.5)

Os coeficientes k e x k são os coeficientes de flambagem, quey

dependem das condições de apoio do pilar nos planos y−z e x−z,

respectivamente, L e x L são os comprimentos destravados do pilary

nestes planos, ou seja, distâncias entre duas seções consecutivas que

têm impedida sua translação em cada plano e r e x r , os raios de giraçãoy

da seção com relação aos seus eixos principais. O eixo z é o lugar geométrico dos centros de gravidade das seções do pilar.

Se o pilar tem comportamento não linear, seja pela existência de tensões residuais, seja pelo fato do material entrar no regime plástico, a carga crítica, obtida por Engesser (1898) e confirmada por Shanley (1947), é a

menor das seguintes (Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998; Timoshenko e Gere, 1961): 2 2 x t crx A E P λ π = e ₂ 2 y t cry A E P λ π = (2.6)

onde E é o módulo tangente do material._t

As curvas P−δ representativas dos comportamentos linear e não linear

do pilar são as mostradas nas Figura 2.3 e Figura 2.4, respectivamente, considerando grandes deformações e pequenos deslocamentos. Nestes

gráficos, P é o esforço axial de compressão, δ é o deslocamento lateral

máximo de flexão das seções do pilar e P é a carga crítica de_cr

flambagem.

Figura 2.3. Curva P−δ de

pilares sem deformações iniciais e com comportamento

linear considerando grandes deformações e pequenos

deslocamentos

Figura 2.4. Curva P−δ de

pilares sem deformações iniciais e com comportamento não linear

considerando grandes deformações e pequenos

deslocamentos

As curvas P−δ representativas dos comportamentos linear e não linear

do pilar são as mostradas nas Figura 2.5 e Figura 2.6, considerando, grandes deformações e grandes deslocamentos.

δ δ

P P

cr

Figura 2.5. Curva P−δ de pilares sem deformações

iniciais e com comportamento linear considerando grandes deformações e grandes deslocamentos Figura 2.6. Curva P−δ de

pilares sem deformações iniciais e com comportamento não linear

considerando grandes deformações e grandes

deslocamentos

Considerando agora, grandes deformações apenas e as deformações

iniciais, as curvas P−δ são mostradas nas Figura 2.7 e Figura 2.8 por

meio de linha sólida, onde e é o máximo deslocamento lateral inicial._i

Figura 2.7. Curva P−δ de

pilares com deformações iniciais e comportamento linear considerando grandes

deformações e pequenos deslocamentos

Figura 2.8. Curva P−δ de

pilares com deformações iniciais e comportamento

não linear considerando grandes deformações e pequenos

deslocamentos

As deformações iniciais, portanto, diminuem a resistência à flambagem por flexão de pilares e a resistência a qualquer outro modo de instabilidade.

Sabendo que as deformações iniciais e as tensões residuais tornam difícil a obtenção de uma solução analítica, a carga de dimensionamento de

P δ cr P máx P P δ cr P P δ P δ cr P Pcr i e ei

pilares prismáticos comprimidos requer fórmulas empíricas. Existem, essencialmente, quatro processos para obtenção destas fórmulas (Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998):

a) o processo baseado em fórmulas empíricas obtidas a partir de

testes em colunas de dimensões e material usuais, que é muito limitado, pois os resultados somente são aplicáveis aos pilares que tenham as mesmas características dos pilares ensaiados

b) o processo baseado no estado limite de plastificação, que

determina a resistência de um pilar comprimido como sendo a carga que produz uma tensão igual ao limite de escoamento do material, considerando a flexão elástica do pilar com deformações iniciais submetido a cargas centradas ou excêntricas

c) o processo baseado na teoria do módulo tangente, que

considera o comportamento não linear do pilar, entretanto sem levar em conta, de forma explícita, as deformações iniciais e tampouco as eventuais excentricidades da carga

d) o processo baseado na máxima resistência, que consiste em

obter fórmulas que são ajustes numéricos de curvas P_u −λ obtidas

por meio de análises numéricas e/ou experimental, da carga última Pu

de uma amostra representativa de pilares, geometricamente

imperfeitos e contendo tensões residuais; a carga última P é o_u

carregamento crítico real de flambagem, se supõe-se que o colapso ocorre em condições de instabilidade.

O processo de dimensionamento baseado na máxima resistência é o mais atual e utilizado pelas versões mais recentes das normas. Mesmo assim, pode-se recorrer, em muitos casos, aos demais processos, com resultados satisfatórios.

O processo baseado no estado limite de plastificação foi originado pela

obtenção da Curva de Perry, uma curva Pu −λ obtida por meio da

consideração de um pilar com comportamento elástico–linear, comprimido de forma centrada e com uma imperfeição geométrica senóidal, e a Curva

da Secante, que considera o pilar carregado excentricamente (Bjorhovde,

1992). Ambas as curvas foram utilizadas durante muitos anos no processo de dimensionamento de pilares metálicos comprimidos. Em determinadas condições, a fórmula da secante pode ser utilizada adequadamente para perfis formados a frio comprimidos.

A teoria do módulo tangente determina a resistência do pilar com base na aplicação da expressão (2.6) mencionada anteriormente. Este processo é recomendado para pilares de aço inoxidável (Berg, 1998; Bredenkamp et al., 1998; Galambos, 1998). Por outro lado, os estudos experimentais realizados com o propósito de provar a validade deste procedimento, foram desenvolvidos sobre peças que haviam sido tratadas previamente com o objeto de reduzir as imperfeições geométricas iniciais e as tensões residuais. Evidentemente, tal forma de proceder dá lugar à obtenção de resultados experimentais muito próximos dos teóricos. A norma norte– americana ANSI/ASCE-8-90, para aços inoxidáveis, utiliza a teoria do módulo tangente, com base no comportamento não linear do material e em resultados experimentais. Por outro lado, o Eurocódigo 3 (ENV 1993-1-1, 1996) utiliza uma curva obtida a partir do processo baseado na máxima resistência.

Em geral, a curva Pu −λ é substituída por outra equivalente, do tipo

λ χ − , onde y u y u f P P σ χ = = (2.7)

é a resistência ultima relativa (adimensional) do pilar, e

e y e y f P P σ λ= = (2.8)

é sua esbeltez relativa. Nestas expressões, P é a carga limite dey

escoamento do pilar, σu é a tensão última ou tensão crítica real de

flambagem e P e e σe são, respectivamente, a carga e a tensão críticas do

pilar ideal (regime elástico linear).

Para aços carbono, esta curva tem o aspeto mostrado na Figura 2.9 e muitas são as fórmulas que tem sido enunciadas para representá-la.

Figura 2.9. Curva χ −λ típica

Beer e Schultz (1970) e Bjorhovde (1972) demonstram que a influência das imperfeições iniciais é distinta para distintos tipos de seções e de

aços, fazendo-se, então, necessário várias curvas χ −λ para representar

toda a gama de possibilidades práticas.

Estas curvas estão dentro de uma banda, como se mostra na Figura 2.10.

Figura 2.10. Banda de curvas χ −λ

1 χ λ 0 Curva de Euler r λ 0 χ χ λ 0

Curvas limites da banda

0

Para fins práticos, são escolhidas algumas curvas representativas de partes da banda, com o propósito de determinar a carga crítica de dimensionamento dos pilares correspondentes.

As mais importantes fórmulas representativas destas curvas são as que foram desenvolvidas por Bjorhovde (1972), conhecidas como as curvas

do SSRC – Structural Stability Research Council, e as que foram

desenvolvidas por Beer, Schultz, Jacquet e Sfintesco (1970), conhecidas como as curvas do ECCS – European Convention for Constructional

Steelwork (Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998).

As curvas do SSRC podem ser representadas pela expressão

    _{− −} = ₂ 2 2 4 2 1 λ β β λ χ (2.9) onde β =1+α

(

)

e α é o parâmetro de imperfeição, um coeficiente numérico que define

três curvas representativas de partes da banda.

Uma expressão equivalente à (2.9) é utilizada pela norma canadense

CSA Standard S16.1-94. As normas norte-americanas AISC-1993 e AISI-1996 utilizam uma fórmula distinta, mas, também baseada na expressão

do SSRC.

Com base na formulação do ECCS, o Eurocódigo 3 (ENV 1993-1-1, 1996) utiliza a expressão 2 2 1 λ φ φ χ − + = (2.11)

onde

[

(

)

]

1 _{α λ λ}

φ = + − + (2.12)

e α é, também, um parâmetro de imperfeição, diferente para cada uma

das curvas de flambagem consideradas.

Rondal e Maquoi (1978, 1979) demonstraram que as curvas do ECCS e do SSRC podem ser consideradas como uma curva de Perry, por meio da escolha adequada do parâmetro de imperfeição (Gioncu, 1998; Rondal,

1998). De fato, a curva de Perry, escrita em função das variáveis χ e λ

pode ser representada pela expressão

(

)

(

)

1

1 (2.13)

onde η é um parâmetro que leva em contas as imperfeições do pilar.

Escolhendo-se adequadamente o parâmetro η, esta expressão dá origem

a expressão do SSRC.

Rasmussen e Rondal (Rasmussen e Rondal, 1998) propõem uma formulação geral para todos os tipos de pilares metálicos, considerando a geometria, seus processos de fabricação e os materiais que os constituem (aços de todo tipo, alumínio, etc.). A formulação se baseia na expressão (2.1), de Ramberg – Osgood, e na expressão (2.11),

entretanto, generalizando os valores de φ e de λ por meio das seguintes

expressões

(

)

onde η α

[

(

)

]

β ₋

−

= 1 (2.16)

O parâmetro η é o parâmetro geral de imperfeição,

o

E

σ é a tensão crítica

do pilar ideal obtida trocando E por E e o α , β, λo e λ1 são valores que

dependem do tipo de material metálico e que são definidos pelos parâmetros

0

ε

f , E e n da expressão (2.1) de Ramberg – Osgood. Em_o

suma, o parâmetro η é função de

0

ε

f , E e n .o

Flambagem por torção

A flambagem por torção em peças metálicas submetidas à compressão ocorre com maior freqüência em perfis abertos duplamente simétricos, com as mesas largas e com baixa rigidez à torção.

Neste caso, a carga crítica em regime elástico linear, obtida por Wagner (1929) para pilares prismáticos ideais é (Rhodes, 1992; Timoshenko e Gere, 1961)

( )

onde I é o momento polar de inércia da seção relativo ao seu centro deo

cisalhamento, G é o módulo de elasticidade transversal do material, ou

seja G=E 2

(

)

(Saint Venant) da seção, C é sua constante de empenamento, _ω k é oz

parâmetro de flambagem por torção do pilar, que depende de suas

condições de apoio, e L é seu comprimento._z

Para pilares prismáticos com imperfeições iniciais, a carga crítica pode ser

determinada mediante curvas do tipo χ −λ, considerando P_e =P_crz na

Flambagem por flexão e torção

A flambagem por flexão e torção em peças submetidas a compressão ocorre em perfis abertos com baixa rigidez à torção, assimétricos ou monossimétricos, nos quais o centro de gravidade não coincide com o centro de cisalhamento (perfis formados a frio).

A carga crítica em regime elástico linear, obtida por Kappus (1937), é a menor dentre as soluções da equação (Rhodes, 1992; Timoshenko e Gere, 1961)

(

)

(

)

(

)

[

(

)

(

)

]

onde x e o y são as coordenadas do centro de cisalhamento da seçãoo

em relação aos eixos principais centrais, P é a carga crítica decr

flambagem por flexão e torção, e P , crx P e cry P são as cargas críticascrz

indicadas em (2.4) e (2.17).

Por outro lado, em determinadas estruturas metálicas, perfis formados a frio monossimétricos podem estar submetidos a compressão excêntrica. A carga crítica de flambagem, neste caso, é a solução da equação (Timoshenko e Gere, 1961)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

[

]

na qual e e x e são as excentricidades da carga nas direções x e y ,y

respectivamente, e β_x e β_y são obtidos por meio das seguintes

(

)

∫

(

)

_∫

Observa-se que a equação (2.18) é um caso particular da equação (2.19), fazendo-se ex =ey =0.

Para pilares prismáticos com imperfeições iniciais, a carga crítica pode ser

determinada mediante curvas do tipo χ −λ, considerando, na expressão

(2.8), um valor de P igual à solução da equação (2.18) ou (2.19). Este ée

o procedimento habitual das principais normas de estruturas metálicas.

Flambagem lateral

As peças fletidas ao redor de seu eixo de maior inércia podem estar sujeitas a um modo de flambagem por flexão e torção caracterizado por uma torção associada a uma flexão lateral na direção normal ao plano das cargas.

O momento fletor crítico ideal em regime elástico linear de uma barra prismática bi–rotulada, submetida a momento fletor constante segundo o eixo principal de maior inércia (eixo x ) e com rigidez no plano de flexão muito superior a rigidez no plano normal é (Timoshenko e Gere, 1961):

= +     ± − = cry crz o x cry x cry crx P P A I P P M 2 2 2 β β         + +       ± − = 2 2 2 2 2 2 2 π λ β β λ π ω EA GI I C EA T y x x _(2.22) onde y r L = λ (2.23)

L é comprimento de barra compreendido entre seções impedidas de

deslocar-se na direção normal ao plano das cargas e r é o raio dey

giração da seção em relação ao eixo de menor inércia y .

Para numerosas seções transversais de peças metálicas submetidas a

flexão em torno do eixo de maior inércia x , tem-se que β_x =0. Nestes

casos (Nethercot, 1992),         + ± = ₂ 2 1 λ π λ π ω y T T crx I GI EAC EAGI M (2.24)

Se as condições de carregamento e apoio são gerais, pode-se utilizar a seguinte fórmula aproximada (Galambos, 1998):

        + +       ± − = 2 2 2 2 2 2 2 2 π λ β β λ π ω EA GI I C k EA C M T y yz x x b crx (2.25)

onde C é um coeficiente que leva em conta a variação da carga e dos_b

momentos fletores ao longo do comprimento da barra,

z y yz k k k = e y y r L k = λ (2.26) e (2.27)

Em regime não linear, o momento fletor crítico pode ser calculado substituindo-se, na fórmula (2.25), E por E e t G por Gt =Et

[

(

)

]

Este é um procedimento aproximado, pois, em geral, a rigidez longitudinal

A

Et (ou EtIy) varia de forma distinta da rigidez à torção GtIT e, portanto,

o valor de E não é o mesmo para o cálculo da rigidez (Timoshenko et

O procedimento baseado na utilização do módulo tangente, para obter o

momento crítico mediante a expressão (2.25), substituindo E por E , ét

recomendado para dimensionamento de vigas de todo tipo de aço (Galambos, 1998; Bredenkamp et al., 1998).

Algumas normas, no entanto, utilizam curvas do tipo sugeridas por SSRC

e por ECCS, que consideram as imperfeições iniciais. Os parâmetros χ e

λ são determinados por meio das expressões

p u M M = χ e e p M M = λ (2.28) e (2.29)

onde M é o momento fletor último ou momento fletor crítico real deu

flambagem, M é o momento de plastificação total da seção, e p M é oe

momento fletor crítico da peça ideal (regime elástico linear).

O código AISC-1993 utiliza a equação (2.25) para determinar o momento crítico em regime elástico e a seguinte reta para determinar o momento crítico em regime plástico (Galambos, 1998):

(

) (

₍

)

₎

onde M é o momento limite de flambagem elástica da seção,r

determinado com base na tensão residual máxima de compressão que

supostamente atua na seção, λp é o parâmetro de flambagem no qual a

seção mais solicitada da viga plastifica antes da flambagem e λ_r é o

parâmetro de flambagem determinado a partir da condição M_e =M_r,

Os resultados experimentais indicam que o procedimento sugerido pelo

AISC é o que oferece melhores resultados. A não consideração de

deformações iniciais é compensada pelo conservadorismo das hipóteses do processo (Galambos, 1998).

Flambagem Local

A flambagem local é o fenômeno de instabilidade de elementos estruturais bidimensionais, como as chapas componentes dos pilares metálicos. Ocorre, em geral, em pilares curtos comprimidos, fletidos ou flexo– comprimidos. Os elementos submetidos a este modo de instabilidade sofrem translações normais ao seu plano médio, como mostra a Figura 2.11.

Figura 2.11. Fenômeno da Flambagem Local

Os esforços normais e os momentos fletores críticos em regime elástico linear em pilares ideais podem ser obtidos a partir da tensão crítica elástica de flambagem local em chapas comprimidas. Esta tensão e o modo de deformação das chapas dependem da geometria da chapa e de suas condições de apoio.

A tensão crítica elástica de flambagem local, obtida por Bryan (1891), para chapa apoiada – apoiada, e por Timoshenko (1907), para chapa apoiada – livre, pode ser escrita de forma similar à expressão de Euler (Dubas e Gehri, 1986; Galambos, 1998; Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 1992; Timoshenko e Gere, 1961):

(

)

onde k é o coeficiente de flambagem local, que depende, basicamente,

da relação a b da chapa, das condições de apoio e do tipo de solicitação.

Nesta expressão, ν é o coeficiente de Poisson, a o comprimento da

chapa, b sua largura e t sua espessura.

(

)

é a rigidez à flexão da chapa,

t b ch = λ e

(

)

são, respectivamente, sua esbeltez e seu parâmetro equivalente de esbeltez ou esbeltez reduzida.

Em regime não linear, a obtenção da tensão crítica de flambagem local não é simples, pois a substituição, na expressão (2.31), do módulo E pelo

módulo tangente E , obtido em um ensaio de tração, não é corretot

porque o estado tensional na chapa não é igual ao estado tensional a que se submete um corpo de prova ensaiado à tração (Timoshenko e Gere, 1961). No primeiro caso, tem-se um estado biaxial de tensão em lugar do estado simples tensão.

Bleich (1952) propôs substituir, na fórmula (2.31), o módulo E por E η,

para chapas submetidas a compressão uniforme, onde

E E_t

=

η (2.35)

sendo E o módulo tangente obtido no ensaio à tração. Este_t

1998). Outros valores de η são sugeridos, sempre em função do módulo tangente e/ou do módulo secante (Dubina, 1996; Rondal, 1998).

A expressão (2.31) pode, portanto, ser generalizada para placas em regime linear ou não linear, como

(

)

As chapas têm um comportamento pós–crítico distinto do comportamento

pós–crítico das barras prismáticas. As curvas qualitativas P−δ , com e

sem deformações iniciais, são mostradas na Figura 2.12 (Dubas e Gehri, 1986). A linha contínua indica o comportamento da chapa com deformações iniciais e a descontínua, seu comportamento sem estas deformações.

Figura 2.12. Comportamento de chapas com e sem imperfeições iniciais Como se pode observar na Figura 2.12, as chapas possuem resistência pós–crítica. Seu comportamento pós–crítico, por outro lado, é caracterizado também por uma perda de rigidez e por uma redistribuição de tensões.

Ensaios de compressão em materiais elástico – lineares mostram tal perda de rigidez por meio do chamado módulo aparente de elasticidade

ap

E , como mostrado na Figura 2.13.

δ

i e P

Figura 2.13. Curva σ −ε antes e depois da flambagem local

A nova distribuição de tensões pode ser obtida do estudo da flambagem local a partir da hipótese das grandes deformações (Timoshenko e Gere, 1961). As tensões não mais se distribuem uniformemente na seção, podendo, inclusive, surgir tensões de tração em alguns pontos. As máximas tensões de compressão ocorrem nas bordas apoiadas. Em geral, a nova distribuição de tensões tem o aspecto mostrado na Figura 2.14, para chapa apoiada - apoiada, e na Figura 2.15, para chapa apoiada

– livre, onde b é a largura da chapa e σ_y,máx é a máxima tensão de

compressão na seção, na direção da carga aplicada (Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 1992).

Figura 2.14. Distribuição de tensões após flambagem local em chapas apoiada –

apoiada

Figura 2.15. Distribuição de tensões após flambagem local em chapas apoiada –

livre

Devido a esta redistribuição de tensões, uma carga aplicada P≥P_cr é igual

à resultante das tensões equivalentes de von Mises e maior, portanto, que

a resultante da componente de tensão σ_y na sua direção.

1 tgθ = E 2 tgθ = ap E 1 θ 2 θ cr σ σ cr ε ε máx , y σ y b x máx , y σ y b x

Logo, supondo σy constante ao longo da espessura, a força resultante na

direção da carga aplicada, na seção crítica da chapa sob flambagem é

P tdx R=

∫

0

(2.37)

onde βn ≤1 é um fator, função de Pcr P, que representa a perda relativa

de resistência à compressão da chapa em conseqüência da flambagem local (Queiroz, 1993; Timoshenko e Gere, 1961).

Supondo-se a tensão σ_y constante e igual ao seu máximo valor σ_y,máx,

medido nas bordas apoiadas da chapa, porém atuando somente em trechos próximos a estas bordas, conforme indica a Figura 2.16, pode-se escrever máx y ef tb R= σ _, (2.38)

onde b é a chamada largura efetiva da chapa, dada por_ef

máx y n ef t P b , σ β = (2.39)

expressão esta obtida das expressões (2.37) e (2.38).

Figura 2.16. Conceito de Largura Efetiva

Admitindo-se o colapso da chapa sob a ação da carga P , σy,máx passa a

ser a sua tensão última. Situação eqüivalente se obteria se a chapa não se

máx y, σ máx y, σ 2 ef b 2 ef b máx y, σ máx y, σ ef b chapa bi–apoiada

chapa com uma borda apoiada e

submetesse à flambagem sob tensão constante e igual à tensão última

máx y,

σ . Nestas circunstâncias, se teria o estado simples de tensão e

máx y máx y bt A P= σ _, = σ _, (2.40)

Comparando-se (2.40) com (2.39), obtém-se

b

b_ef =β_n (2.41)

que representa, portanto, a largura que deveria ter a chapa para não flambar sob tensão constante e inferior a σ_y,máx.

Do conceito de largura efetiva surgiu o chamado Método da Área Efetiva, que consiste em se determinar a resistência relativa da peça comprimida

de acordo com a expressão (2.7), χ =Pu Py, com

máx y ef u A P = σ _, (2.42) onde

( )

∑

é a área efetiva A da seção transversal, ou seja, a área calculada comef

base nas larguras efetivas das chapas componentes da peça e Py =Afy.

Isto é, y máx y ef f A A σ . χ = (2.44)

Em pilares curtos submetidos somente à flambagem local, o colapso da chapa corresponde à plastificação da seção efetiva, isto é, se realiza

quando σy,máx = fy. Nestas circunstâncias, tem-se, de acordo com a expressão (2.44), A A_ef = χ (2.45)

von Kármán (1932) sugeriu a seguinte fórmula para determinar a largura efetiva (Galambos, 1998; Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 1992)

(

)

Estudos posteriores foram desenvolvidos com base na teoria das grandes deformações resultando em fórmulas mais eficientes para o dimensionamento. Jombock e Clark (1962) enumeraram algumas delas (Galambos, 1998).

Winter (1947) formulou uma expressão para determinar a largura efetiva para chapa apoiada – apoiada, que considera imperfeições iniciais. Após sofrer pequenas modificações para todo tipo de chapas, tal expressão ficou uma generalização (Galambos, 1998)

t kE kE b máx y máx y ef        − = , , 209 . 0 1 95 . 0 σ σ (2.47)

Esta fórmula é utilizada por AISI –1996.

A norma brasileira NBR 8800/86 usa uma equação semelhante à (2.47) mudando apenas os coeficientes numéricos.

Outro conceito que se pode enunciar a partir da observação da redistribuição de tensões na chapa é o conceito de tensão média, que consiste em considerar-se a tensão

máx , y ef m b b σ σ = (2.48)

constante ao longo de toda largura efetiva da chapa (Galambos, 1998).

Em geral, o dimensionamento de peças comprimidas e fletidas sujeitas à flambagem local de seus elementos se baseia na determinação de resistências relativas A A P P Q ef y u = = ou p ef p u W W M M Q= = (2.49) e (2.50)

Nestas expressões, A é a área efetiva da seção, ef W é seu móduloef

resistente elástico efetivo à flexão, ambos determinados a partir das

larguras efetivas de suas chapas componentes, e W é seu módulop

resistente plástico à flexão (Rhodes, 1992). Nas expressões (2.49) e (2.50) se considera σ_y,máx = f_y.

Curvas Q−λ, com λ definido por (2.8) ou por (2.29), poderiam ser

usadas para dimensionamento.

Distorção da seção

A distorção da seção é um modo de instabilidade que pode ocorrer tanto na compressão como na flexão de perfis de paredes finas com seções abertas (por exemplo: os perfis formados a frio usuais), principalmente aqueles de aço de altas resistência (Galambos, 1998; Hancock, 1998).

Este modo de instabilidade se caracteriza por uma distorção da seção, ou seja, por movimentos relativos entre as mesas e a alma (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998). A Figura 2.17 ilustra este modo de instabilidade.

Figura 2.17. Modo de Instabilidade por distorção em perfis U enrijecidos e perfis Racks.

Os primeiros estudos relativos à distorção foram desenvolvidos por Desmond, Peköz e Winter (1981), que propuseram considerá-la, no dimensionamento, por meio da verificação da flambagem local com

redução do parâmetro k da equação (2.31). Este método foi incorporado

pela norma AISI-1986 (Galambos, 1998; Hancock, 1998).

Lau e Hancock (1987), para seções comprimidas e Hancock (1995), para seções fletidas, apresentaram fórmulas para determinação da tensão crítica elástica de distorção, com base em modelos onde a mesa é tratada como um elemento comprimido, restringido por molas e apoios simples que representam a rigidez da alma e submetido à flambagem por flexo– torção (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998; Galambos, 1998; Hancock, 1998). Estas fórmulas lhes permitiram sugerir um procedimento

de dimensionamento baseado em uma curva do tipo χ −λ, conhecida

como parábola de Johnson, e em uma expressão derivada de (2.47), que é utilizado na norma australiana (Galambos, 1998; Hancock, 1998).

Algumas alterações às fórmulas de Hancock e Lau foram propostas por Charnvarnichbonkarn e Polyzois (1992) e por Davies e Jiang (1996), com

o objetivo de generalizá-la ou obter mais precisão nos resultados (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998; Galambos, 1998).

As seções submetidas à distorção apresentam resistência pós–crítica, entretanto os procedimentos até agora propostos não a consideram (Galambos, 1998; Hancock, 1998).

Este tipo de instabilidade, diferente de todos os outros, pode ser analisado com mais precisão pela Teoria Geral de Vigas (Davies, 1998; Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998) mas sua utilização prática para o dimensionamento de peças com modos de instabilidade por distorção não foi ainda implementada (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998).

2.2 Interação entre Flambagem Local e Global

Introdução

O início da chamada Teoria Geral da Estabilidade Elástica é creditado a Koiter (1945). Esta teoria explica o comportamento de sistemas mecânicos contínuos do ponto de vista da estabilidade, incluindo a fase pós–crítica e a interação entre distintos modos de instabilidade.

A partir do trabalho inicial de Koiter, foram desenvolvidos outros trabalhos, destacando a formulação de Budiansky (1974), baseada na energia potencial de deformação, associando o equilíbrio da estrutura a valores estacionários do funcional da energia, e associando a teoria geral de estabilidade elástica à Teoria do Caos, estabelecida por Thom (1975) (Pignataro, 1996).

A Teoria do Caos proporciona um método matemático universal de estudo das descontinuidades, das mudanças bruscas e das súbitas trocas qualitativas em sistemas evolutivos, o que inclui, portanto, as instabilidades estruturais, tanto simples quanto acopladas (Gioncu, 1998).

Entretanto, a complexidade de muitos dos problemas de estabilidade impedem, até o momento, alcançar uma solução teórica geral. Deste modo, deve-se recorrer a outros métodos de análise a fim de obter soluções para problemas práticos. Adiante, os principais métodos serão abordados.

Na primeira metade do século XX, a principal preocupação dos pesquisadores foi a influência das imperfeições na instabilidade. As soluções eram, em muitos casos, difíceis de serem alcançadas devido à ocorrência simultânea de dois ou mais modos de instabilidade.

Inicialmente, se pensava que a escolha de parâmetros mecânicos e geométricos que permitissem a ocorrência simultânea de vários modos de instabilidade era um critério adequado de otimização. Baseando-se nesta idéia, Bleich (1952) e Shanley (1967) formularam e difundiram o chamado

Principio das Instabilidades Simultâneas (Gioncu, 1998).

Koiter e Skaloud (1962) questionaram este critério mostrando que modos de instabilidade acoplados podem apresentar grande sensibilidade às imperfeições geométricas iniciais (Pignataro, 1996). Além do mais, se dois ou mais modos de instabilidade ocorrem simultaneamente, o comportamento pós–crítico pode ser instável, mesmo que o comportamento de cada um dos modos isoladamente seja estável (Gioncu, 1998; Pignataro, 1998). O principio das instabilidades simultâneas somente se aplica nas estruturas ideais. Por esta razão, Thompson (1972) o chamou princípio ingênuo de otimização. Sua utilização nas estruturas reais incrementa a influência desfavorável das imperfeições geométricas (Gioncu, 1998).

Na segunda metade do século XX, a principal preocupação dos pesquisadores foi a interação dos modos de instabilidade em peças com imperfeições. Como foi dito anteriormente, o problema é muito complexo e ainda se busca soluções consistentes (Gioncu, 1998; Pignataro, 1996).

Como a distribuição das imperfeições é aleatória, o estudo da instabilidade requer um abordagem estatística. Por outro lado, aspectos estatísticos da interação entre modos de instabilidade não foram investigados suficientemente. A principal dificuldade é, justamente, a aleatoriedade das imperfeições (Pignataro, 1996).

A maioria dos estudos considerou apenas interações simples (um modo de flambagem global com um modo de flambagem local). Entretanto, é necessário investigar também as interações múltiplas (Pignataro, 1998).

Classificação das instabilidades acopladas

Algumas maneiras de classificar as instabilidades acopladas têm sido sugeridas por diferentes pesquisadores (Gioncu, 1998; Dubina, 1996; Dubina, 1998). Entretanto, o tipo de interação que interessa, do ponto de vista do dimensionamento, é a chamada interação não linear de

dimensionamento, ou seja, a interação entre dois modos distintos de

instabilidade, provocada pela escolha de dimensões apropriadas e levando em conta a influência das imperfeições iniciais.

Existem outros tipos de interação como as chamadas interação natural e

interação linear inata. A primeira pode ocorrer, por exemplo, em chapas

retangulares comprimidas. Estas chapas podem submeter-se a cargas superiores à carga crítica de flambagem local elástica, devido ao seu comportamento pós–crítico estável que lhe confere resistência pós– crítica. Para um determinado valor da carga ocorre uma mudança repentina de deformada (troca de número de ondas) provocada pela interação do primeiro modo com o segundo modo de instabilidade.

A segunda é a interação produzida quando dois modos de instabilidade se acoplam na origem, independentemente da existência de imperfeições iniciais. É o caso da flambagem por flexo–torção em peças monossimétricas comprimidas. Trata-se de uma interação entre

flambagem por flexão e flambagem por torção, que pode ocorrer normalmente sem deformações iniciais.

Tal como foi exposto anteriormente, uma estrutura sem imperfeições iniciais perde sua estabilidade pela bifurcação do equilíbrio e uma estrutura com imperfeições perde a estabilidade quando a carga alcança

um valor limite correspondente a uma tangente horizontal na curva P−δ .

A diferença entre a carga crítica de bifurcação e a carga limite representa a chamada erosão da carga crítica.

Existe a erosão primitiva, que é conseqüência dos efeitos das imperfeições nos modos de instabilidade tomados isoladamente, e a

erosão derivada, resultante da interação entre vários modos de

instabilidade, (Gioncu, 1998). A Figura 2.18 ilustra estes conceitos.

Figura 2.18. Erosão Primitiva e Erosão Derivada – Interação Flambagem Global (1º modo) – Flambagem Local (2º modo)

Numa coluna sem imperfeições sujeita somente à flambagem global, o colapso se dá por bifurcação do equilíbrio quando a carga de compressão

atinge o valor Pcr,Euler indicado na Figura 2.18. Se a coluna está sujeita à

flambagem local, surge deslocamentos laterais a partir da carga de valor

Pcr,Bryan, também indicado na Figura 2.18, que crescem com o acréscimo

da carga até um valor limite.

1º modo 2º modo interação sem imperfeições com imperfeições erosão primitiva erosão derivada P δ u P Pcr,Bryan Pcr,Euler

Na coluna com imperfeições, os deslocamentos laterais existem desde o inicio do carregamento, crescendo consideravelmente quando a carga se aproxima do valor crítico Pcr,Euler ou Pcr,Bryan, conforme esteja sujeitas à

flambagem global ou local, respectivamente.

Se estas cargas críticas são suficientemente próximas, ocorre a interação, que se caracteriza pelo surgimento de grandes deslocamentos laterais sob carga significativamente inferior a estas (Pu).

Assim, pode-se compreender que a interação não linear não existe sem imperfeições iniciais.

Esta interação faz com que a estrutura seja mais sensível às imperfeições. A erosão é máxima se as cargas críticas dos modos de instabilidade são iguais (Gioncu, 1998).

Para peças comprimidas, se P é a carga última, nas quais ocorre o_u

colapso por modos simultâneos de instabilidade, e P é a carga críticacr

ideal, igual para os dois modos, pode-se escrever que

(

)

u P

P = 1−ψ (2.51)

onde ψ é o fator de erosão. Este parâmetro foi introduzido como uma

medida da erosão (Dubina, 1996; Dubina, 1998).

Segundo a intensidade da erosão, Gioncu (1994) sugeriu a seguinte classificação das interações (Gioncu, 1998; Dubina, 1996; Dubina, 1998):

• Interação fraca, se 1ψ ≤0. ,

• Interação moderada, se 0.1<ψ ≤0.3,

• Interação forte, se 0.3<ψ ≤0.5 e

Esta classificação, segundo Gioncu, deve ser utilizada na escolha do método de dimensionamento da estrutura. Interações fracas podem ser consideradas simplesmente por meio de adequados parâmetros de segurança no dimensionamento. As moderadas podem ser tratadas com métodos simples utilizados no dimensionamento de estruturas submetidas a modos de instabilidade não acoplados e as fortes e muito fortes requerem métodos especiais.

O uso da classificação de Gioncu não é simples por que são muitos os fatores dos quais depende a intensidade da erosão. Entretanto, em geral, as interações comuns às barras comprimidas e/ou fletidas estão incluídas na categoria de interações fortes a muito fortes, exigindo, portanto, métodos especiais de dimensionamento.

Métodos de Análise

Uma interessante classificação dos métodos de análise da interação entre modos de instabilidade foi proposta por Dubina (Dubina, 1996). Segundo esta classificação, os métodos podem ser:

• Teóricos ou analíticos: Aqueles que se baseiam na teoria do

comportamento pós–crítico da peça; buscam soluções exatas e, em geral, não geram fórmulas práticas para dimensionamento.

• Semi – analíticos: Aqueles em que a simulação da instabilidade da

peça é feita por meio das equações clássicas não lineares da mecânica estrutural e a flambagem local é considerada utilizando o conceito de largura efetiva da chapa.

• Semi – empíricos: Aqueles em que a consideração da interação é

obtida da modificação das curvas χ −λ por meio da utilização das

propriedades geométricas reduzidas das seções; estas propriedades reduzidas são obtidas a partir das larguras efetivas das chapas.

• Numéricos: Aqueles realizados a partir de uma discretização

completa em elementos da estrutura ou das chapas componentes das peças; estão entre eles: