DÁLGLIS SHILTON SILVA FERREIRA
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE GRANDES ESCALAS DA
CONVECÇÃO NATURAL EM CAVIDADES ANULARES COM
FONTES E SUMIDOUROS DE CALOR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
DÁLGLIS SHILTON SILVA FERREIRA
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE GRANDES ESCALAS DA CONVECÇÃO
NATURAL EM CAVIDADES ANULARES COM FONTES E
SUMIDOUROS DE CALOR
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para a obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Área de Concentração: Transferência de energia térmica e Mecânica dos fluidos
Orientador: Prof. Dr. Francisco José de Souza Coorientador: Prof. Dr. Elie Luis Martínez Padilla
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Sistema de Bibliotecas da UFU, MG, Brasil.
F383s
2017 Ferreira, Dálglis Shilton Silva, 1982- Simulação numérica de grandes escalas da convecção natural em cavidades anulares com fontes e sumidouros de calor / Dálglis Shilton Silva Ferreira. - 2017.
138 f. : il.
Orientador: Francisco José de Souza. Coorientador: Elie Luis Martínez Padilha.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.
Disponível em: http://dx.doi.org/10.14393/ufu.ufu.di.2018.48 Inclui bibliografia.
1. Engenharia mecânica - Teses. 2. Energia - Transferência - Teses. 3. Calor - Convecção - Teses. I. Souza, Francisco José de, 1973- II. Padilha, Elie Luis Martínez. III. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.
AGRADECIMENTOS
A Deus por tudo em minha vida em especial por manter a esperança na conclusão deste trabalho.
A meu pai, José Domingos Ferreira, que infelizmente faleceu durante a realização desta dissertação, grande poeta, cantor, compositor, jornalista e acima de tudo, exemplo de pai, amigo e companheiro. Te amo meu pai, ao Senhor meu muito obrigado, por todo amor, dedicação e ensinamento.
À minha mãe Marta, pelo enorme coração, carinho, paciência e apoio ao longo da vida. Por não deixar me abater com os problemas, por mostrar a força da fé e a importância do respeito ao próximo. Te amo, muito obrigado por tudo.
À minha querida irmã Jackeline, pessoa singular, extremamente criativa e sonhadora. Obrigado por sempre me mostrar que com fé e coragem poderia superior todos os desafios. Te amo minha irmã, que Deus ilumine sua vida.
Aos meus avós, Calixto e Laudelina, que apesar do pouco ensino, sempre me mostraram a importância do estudo, da educação e do respeito ao próximo. Obrigado por todo apoio e carinho, amo vocês.
À Universidade Federal de Uberlândia (UFU) e a Faculdade de Engenharia Mecânica (FEMEC) pela oportunidade a mim dada de realizar este trabalho em uma instituição de excelência na Engenharia Mecânica e por todo apoio durante a realização deste trabalho.
Ao Professor Elie Luis Martínez Padilla por acreditar no meu trabalho, pela orientação, incentivo, ensinamento e sobretudo amizade adquirida durante estes anos.
Ao Professor Francisco José de Souza, pela orientação acadêmica e apoio, fundamentais na conclusão desta dissertação.
Ao Professor Aristeu da Silveira Neto, pela oportunidade de fazer parte de um grande laboratório de pesquisa como é o Laboratório de Mecânica dos Fluidos (MFLab).
Aos amigos do MFLab que tanto me ajudaram na conclusão deste trabalho, os quais listarei em ordem alfabética: Anderson, Andreia, Alex, Carlos, Douglas, Denise, Diego Mouro, Diego Venturi, Fábio, Fabrízio, Franco, Felipe, Gabriel, João Rodrigo, Jonathas, Lívio, Lucas, Marcos Lourenço, Paulo, Pedro, Rafael Romão, Rafael Sene, Renan, Rodrigo Bassan, Vitor e Túlio. A todos vocês meu muito obrigado.
Ao Luismar, por toda ajuda durante este período, muito obrigado meu amigo.
FERREIRA, D. S. S., Simulação Numérica de Grandes Escalas da Convecção Natural em Cavidades Anulares com Fontes e Sumidouros de Calor. 2017. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Brasil.
Resumo
Atualmente nas indústrias é notória a presença de problemas envolvendo a dinâmica dos fluidos com transferência de energia térmica. Neste contexto, problemas onde a transferência de energia térmica ocorre sobre cilindros aquecidos merece um destaque especial. No presente trabalho objetivou-se desenvolver uma análise numérica tridimensional sobre o problema de transferência de energia térmica por convecção natural em cilindros concêntricos na presença de pares discretos de fonte-sumidouro de energia térmica, com ênfase no estudo do regime estável-instável do escoamento (fluido de trabalho ar). O código numérico foi desenvolvido em coordenadas cilíndricas, discretizado utilizando a técnica dos volumes finitos e esquemas temporais e espaciais de segunda ordem, onde o acoplamento pressão velocidade é feito através do método do passo fracionado. Através dos campos de velocidades, de temperatura e de vorticidade obtidos, verificou-se como a transferência de energia térmica é afetada pelas primeiras instabilidades no regime instável. Foi possível também, evidenciar a desestabilização do escoamento estudado, não sendo necessário para tal o uso de uma malha fina. Além disso, os dados obtidos apresentaram uma excelente concordância com os resultados experimentais da literatura, sobretudo no regime estável.
FERREIRA, D. S. S., Numerical Large-Eddy Simulation of Natural Convection in Annular Cavities with Source and Heat Sinks. 2017. Master’s thesis, Federal University of Uberlândia, Uberlândia, Brazil.
Abstract
In the current industry, is notorious the presence of problems involving fluid dynamics with heat transfer. In this context, problems where the heat transfer occurs over heated cylinders deserves a special attention. The present work study aimed to develop a three-dimensional numerical analysis of the heat transfer by natural convection in concentric cylinders in the presence of discrete heat source-sink pairs, with emphasis on the study of stable-unstable regime flow (air working fluid). The numerical code was developed in cylindrical coordinates, discretized using the finite volume technique and temporal/ spatial schemes of second order, where the pressure-velocity coupling is done through the fractional step method. Through velocity, temperature and vorticity fields, it was found that the heat transfer is affected by the first instabilities in the unstable regime. It was also possible to verify the destabilization of the flow with a thin mesh. Moreover, the data obtained showed an excellent agreement with the experimental data found in the literature, especially in the stable regime.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.11 – Isotermas e linhas de corrente, para os casos C.2.4, C.2.3, C.3.4 e C.3.3,
retirados de Mastiani et al. (2016) ... 24
Figura 3.1 – Nível de modelagem e custo computacional das diferentes metodologias de resolução dos escoamentos turbulentos. ... 34
Figura 3.2 – Espectro de energia cinética turbulenta e número de onda de corte ... 35
Figura 3.3 – Representação do espectro de energia cinética turbulenta referente ao processo de dupla filtragem ... 42
Figura 3.4 – Representação esquemática das fontes, sumidouros e parcela adiabática de calor entre os cilindros concêntricos ... 48
Figura 4.1 – Representação do volume de controle elementar ... 51
Figura 4.2 – Representação da malha utilizada (24x144x34) ... 64
Figura 5.1 – Comparação qualitativa das isotérmicas para o caso de Ra = 4,7x104, = 2,6, presente trabalho (lado esquerdo) e Kuehn e Goldstein (1978) (lado direito) ... 68
Figura 5.2 – Comparação da Distribuição radial de temperatura nos ângulos 0º, 90º e 270º, presente trabalho, Mastiani et al. (2016) – numérico e Kuehn e Goldstein (1978) - experimental. ... 69
Figura 5.3 – Distribuição do número de Nusselt local para os cilindros interno e externo entre 90º e 270º: presente trabalho e Kuehn e Goldstein (1978) - experimental ... 70
Figura 5.4 – Isotermas e linhas de corrente para o caso com dois pares de fonte e sumidouro, comparação entre o presente trabalho (lado esquerdo) e Mastiani et al. (2016) (lado direito) .. 71
Figura 5.5 – Isotermas e linhas de corrente para o caso com três pares de fonte e sumidouro, comparação entre o presente trabalho (lado esquerdo) e Mastiani et al. (2016) (lado direito) .. 72
Figura 5.6 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C21 ... 88
Figura 5.7 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C22 ... 89
Figura 5.8 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C23 ... 78
Figura 5.9 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C24. ... 78
Figura 5.10 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C31. ... 80
Figura 5.11 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C32 ... 80
Figura 5.12 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C33 ... 82
Figura 5.13 – (a) Linhas de corrente e (b) Campos de temperatura para o caso C34 ... 82
Figura 5.14 – Nusselt Local – casos: C21, C22, C23 e C24: (a) Interno e (b) Externo ... 83
Figura 5.15 – Nusselt Local – casos: C31, C32, C33 e C34: (a) Interno e (b) Externo ... 83
Figura 5.17 – Flutuações do sinal de temperatura referentes a sonda B para os casos contendo dois pares de fonte e sumidouro de calor: (a) C21, (b) C22, (c) C23 e (d) C24 ... 88 Figura 5.18 – Flutuações do sinal de temperatura referentes a sonda B para os casos contendo dois pares de fonte e sumidouro de calor: (a) C31, (b) C32, (c) C33 e (d) C34 ... 85 Figura 5.19 – Comparação da distribuição radial de temperatura média nos ângulos 90º e 345º com os dados experimentais de Fukuda et al. (1990) relativo ao: (a) Ra = 1,7x105, (a) Ra = 3,1x105 e (c) Ra = 5,8x105 ... 86 Figura 5.20 – Representação das sondas utilizadas, localizadas sobre o plano (r, , z/L =1,4). ... 92 Figura 5.21 – Flutuações de temperatura (a) e velocidade radial (b) ao longo do tempo, extraídas na sonda B, para os números de Rayleigh: 6x103, 6,2x103, 6,8x103 e 2x104 ... 92 Figura 5.22 – Flutuações de temperatura (a) e velocidade radial (b) ao longo do tempo, extraídas na sonda C, para os números de Rayleigh: 6x103, 6,2x103, 6,8x103 e 2x104 ... 95 Figura 5.23 – Campos de temperatura e isosuperfície ̅ − � ⁄ �− � = , , para (a) Ra =
6x103, (b) Ra = 6,2x103, (c) Ra = 6,8x103 e (d) Ra = 2x104, no instante t = 40s ... 96 Figura 5.24 – Campos de temperatura nos plano (r, z) em 0º, 90º, 180º e 270º, para (a) Ra = 6x103, (b) Ra = 6,2x103, (c) Ra = 6,8x103 e (d) Ra = 2x104, no instante t = 40s ... 96 Figura 5.25 – Distribuição radial da velocidade média para vários e z/L =1,4, radial (a e b), tangencial (c e d) e axial (e e f), para Ra = 6,2x103 (lado esquerdo) e Ra = 2x104 (lado direito) ... 96 Figura 5.26 – Distribuição radial da viscosidade turbulenta média para vários e z/L =1,4; (a)
Ra = 6,2x103 e (b) Ra = 2x104 ... 101 Figura 5.27 – Campos e isosuperfícies da componente radial da velocidade: ̅̅̅̅ /� = −�
(verde) e ̅̅̅̅ /� =� (amarela), para (a) Ra = 6,2x103, (b) Ra = 6,8x103 e (c) Ra = 2,0x104, no instante t = 40s ... 101 Figura 5.28 – Campos e isosuperfícies da componente tangencial da velocidade: ̅̅̅̅ /� = −�
Figura 5.30 – Campos e isosuperfícies da componente axial da velocidade, para Ra = 2x104: malha 24x144x2, ̅̅̅̅ /� = −� (azul) e ̅̅̅̅ /� =� (amarela) e malha 24x144x34, ̅̅̅̅ /� =� − (azul) e ̅̅̅̅ /� =� (amarela) ... 103
Figura 5.31 – Flutuações do módulo do vetor velocidade, para Ra = 6x105, nas sondas
posicionadas em: (a) = 90º (Sondas A, B e C), (b) = 180º (Sondas D, E e F) e = 270º
(Sondas G, H e I) ... 103 Figura 5.32 – Flutuações da componente radial da velocidade obtidas nas sondas B (a) e E (b), para: Ra = 4x104, Ra = 2x105, Ra = 6x105, Ra = 8x105 e Ra = 1x106 ... 104 Figura 5.33 – Potência espectral das flutuações da componente radial da velocidade obtidas nas sondas B (a) e E (b), para: Ra = 4x104, Ra = 2x105, Ra = 6x105, Ra = 8x105 e Ra = 1x106. ... 107 Figura 5.34 – Flutuações da temperatura obtidas nas sondas B (a) e E (b), para: Ra = 4x104,
Figura 5.44 – Isosuperfícies de viscosidade turbulenta � /� = 0,1 e t = 40s, para: (a) Ra = 4x104, (b) Ra = 2x105, (c) Ra = 6x105 e (d) Ra = 1x106. ... 120 Figura 5.45 – Distribuição radial da viscosidade turbulenta média para Ra = 4x104, Ra = 2x105,
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Propriedades termofísicas do ar ... 10
Tabela 2.2 – Nomenclatura e representação dos casos estudados. ... 11
Tabela 3.1 – Números adimensionais utilizados no equacionamento do presente trabalho ... 30
Tabela 3.2 – Valores das variáveis: �, ��, ��, ��, �� � � da equação genérica Eq.(3.76)....47
Tabela 4.1 – Valores dos termos advectivos (�∅) e difusivos (�∅) da equação genérica Eq.(4.2) ... 52
Tabela 4.2 – Valores dos fluxos de massa nas interfaces ... 56
Tabela 4.3 – Estudo de malha, casos C21 (2 pares) e C31 (3 pares) para Ra = 102. ... 62
Tabela 4.4 – Estudo de malha, casos C21 (2 pares) e C31 (3 pares) para Ra = 105. ... 63
Tabela 5.1 – Número de Nusselt médio global, casos com 2 pares fonte-sumidouro de energia térmica. ... 74
Tabela 5.2 – Número de Nusselt médio global, casos com 3 pares fonte-sumidouro de energia térmica. ... 75
Tabela 5.3 – Diferença de temperatura ∆T correnspondente a varios Ra para os oito casos estudados. ... 76
Tabela 5.4 – Custo computacional de cada segundo físico simulado considerando a malha 32x144x2, � = , e � = , para os casos C24 e C31. ... 90
Tabela 5.5 – Custo computacional de cada segundo físico simulado considerando a malha 24x144x2, � = , e � = , para os casos C24 e C31. ... 90
Tabela 5.6 – Comparação do número de Nusselt global em função do número de Rayleigh. ... 93
LISTA DE SÍMBOLOS
Letras Latinas
A Coeficiente de discretização
B Constante de discretização
Tensor cruzado
Fluxo turbulento cruzado Constante de Smagorinsky
⃗, Coeficiente dinâmico
D Diâmetro do cilindro
Vetor aceleração da gravidade
Gr Número de Grashof (= − / )
L Espaçamento entre cilindros
Tensor de Leonard
Fluxo turbulento de Leonard Comprimento axial
M Número de pontos da malha na direção radial (r)
N Número de pontos da malha na direção tangencial ( )
Nu Número de Nusselt
p Pressão estatística
Pr Número de Prandtl = /
� Número de Prandtl turbulento = /
R Raio do cilindro
r Componente radial do sistema de coordenadas cilíndricas
Raio do cilindro interno Raio do cilindro externo
Taxa de deformação
T Temperatura
Temperatura do cilindro interno Temperatura do cilindro externo
t Tempo
u Velocidade radial
v Velocidade tangencial
w Velocidade axial
z Componente axial do sistema de coordenadas cilíndricas
Z Número de pontos da malha na direção axial (z)
Letras Gregas
Difusividade térmica
� Difusividade térmica efetiva
Difusividade térmica turbulenta Coeficiente de expansão volumétrica
� Delta de Kronecker
Dissipação de energia cinética turbulenta
� Condutividade térmica
Viscosidade dinâmica Viscosidade cinemática
� Viscosidade efetiva
Velocidade angular
� Grandeza genérica de transporte
Propriedade de transporte Tensor de Reynolds sub-malha Fluxo turbulento sub-malha Densidade
Operadores
Diferença finita Derivada parcial
Indicadores
Variável genérica
̅ Variável filtrada
̅̂ Variável filtrada duas vezes
′ Flutuação da variável
⃗ Vetor
Tensor
∆̅ Comprimento característico do filtro a nível da malha
∆̅̂ Comprimento característico do filtro teste
Índices
r Componente radial
θ Componente tangencial
o Grandeza de referência
P Centro do volume de controle
N,n Ponto central e na face ao norte do volume de controle S,s Ponto central e na face ao sul do volume de controle W,w Ponto central e na face a oeste do volume de controle E,e Ponto central e na face a leste do volume de controle F,f Ponto central e na face a frente do volume de controle B,b Ponto central e na face a traz do volume de controle
t Variável turbulenta
Superíndices
* Grandezas adimensionais
t Tempo precedente
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – Introdução ... 1
1.1 Objetivos ... 6
1.2 Organização ... 6
CAPÍTULO 2 – Modelo Físico e Revisão Bibliográfica ... 8
2.1 Modelo físico ... 8
2.2 Convecção natural em cilindros concêntricos ... 11
2.3 Convecção natural em cavidades na presença de fontes e sumidouros de energia térmica. ... 18
CAPÍTULO 3 – Modelagem Matemática ... 25
3.1 Introdução ... 25
3.2 Equações representativas ... 25
3.2.1 Aproximação de Boussinesq ... 26
3.2.2 Adimensionalização das equações representativas em coordenadas cilíndricas .... 28
3.2.3 Processo de filtragem das equações ... 32
3.3 Metodologia de simulação de grandes escalas ... 34
3.3.1 Equações representativas filtradas ... 36
3.3.2 Modelagem sub-malha dinâmica ... 41
3.3.3 Equações adimensionalizadas e filtradas em coordenadas cilíndricas ... 45
3.4 Condições de contorno ... 48
CAPÍTULO 4 – Modelagem Numérica ... 50
4.1 Introdução ... 50
4.2 Discretização espacial... 51
4.3 Discretização temporal ... 58
4.4 Estabilidade numérica ... 61
4.4.1 Malha numérica ... 62
CAPÍTULO 5 – Resultados ... 67
5.1 Introdução ... 67
5.2 Resultados em duas dimensões ... 68
5.2.1 Validação em duas dimensões ... 68
5.2.2 Análise dos resultados ... 75
5.2.3 Aspectos numéricos e computacionais ... 89
5.3 Resultados em três dimensões ... 91
5.3.1 Validação em três dimensões ... 91
5.3.2 Desestabilização do escoamento - caso (C31) ... 93
5.3.3 Escoamentos em transição - caso (C31) ... 104
5.3.3.1 Espectro de energia ... 118
5.3.3.2 Viscosidade turbulenta ... 120
5.3.3.3 Transferência de energia térmica ... 123
5.3.3.4 Vorticidade ... 125
5.3.4 Nusselt médio global – caso C31 ... 127
5.3.5 Aspectos numéricos e computacionais ... 128
CAPÍTULO 6 – Conclusões e Sugestóes para Trabalhos Futuros ... 129
6.1 Conclusões ... 129
6.2 Sugestões para trabalhos futuros ... 130
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Segundo Bejan (2004) a convecção é definida como sendo o processo de transporte de energia térmica promovido pela movimentação de um fluido. De forma geral a movimentação do fluido e por consequência a transferência de energia térmica por convecção, ocorrerá de duas formas distintas: natural ou forçada. Quando o deslocamento do fluido é promovido através de um agente externo, como por exemplo, por um ventilador (gases) ou uma bomba (líquidos) a convecção é dita forçada. Contudo, quando a movimentação do fluido ocorre sem a intervenção externa, mas sim através de diferenças de massa específica, resultantes de gradientes de temperatura ou concentração ao longo do fluido, sobre a ação de um campo de forças, como por exemplo, o gravitacional, a convecção é chamada de natural (BEJAN; KRAUS, 2003).
A Fig. 1.1 ilustra alguns exemplos onde verifica-se escoamentos promovidos por convecção natural, entre eles: no processo de resfriamento do corpo humano Fig. 1.1a, na ascensão da fumaça proveniente de um queimador de petróleo Fig. 1.1b e na queima dos gases dentro de um balão Fig. 1.1c.
aquecimento ficando mais leve que o ar externo, desta forma, a densidade do balão apresenta-se mais baixa do que a densidade do ar externo a mesmo, e portanto, o balão flutua.
(a) (b) (c)
Figura 1.1 - Representação da convecção natural: (a) ao redor do corpo humano, (b) na ascensão da fumaça em um queimador de petróleo, (c) na expansão do ar aquecido dentro de
um balão. (Fonte: (a) Craven e Settles (2006); (b)
<https://en.wikipedia.org/wiki/Plume_(Fluid_dynamics))>. Acesso: 01/07/2017; (c) <foodieilawyer.com/2010/09/special-occasion-fruit-kabobs-and-balloons/>. Acesso: 17/07/2017).
O estudo do fenômeno de transferência de energia térmica por convecção natural dentro de cavidades anulares ao longo dos anos tem despertado o interesse de vários pesquisadores, devido principalmente a duas vertentes: primeiro a grande aplicabilidade industrial e segundo o interesse teórico em compreender e quantificar corretamente a transição a turbulência nesse tipo de escoamento.
(a) (b)
Figura 1.2 - Permutador de calor: (a) representação do fluxo e (b) exemplo industrial. (Fonte: (a) Adaptada de: <www.directindustry.es/prod/hrs-heat-exchanger/product-90471-1637338.html>. Acesso em 10/05/2017; (b) <www.stainlessconnection.co.za/?product=tube-in-tube-heat-exchangers>. Acesso: 10/07/2017).
Na Fig. 1.2a nota-se que o ar frio ao entrar em contado com a superfície quente do cilindro interno aquece e reduz sua massa específica, gerando um fluxo convectivo dentro da cavidade. Desta forma, o fluido aquecido presente dentro do cilindro interno transfere energia térmica para o ar no interior da cavidade, o qual sai aquecido da mesma. Já a Fig. 1.2b representa um exemplo de um permutador térmico industrial.
menor nos sistemas isolados a gás, devido a convecção entre os cilindros, do que no caso onde o isolamento é sólido e prevalece a condução de calor.
(a) (b)
Figura 1.3 - Cabos de transmissão elétrica isolados a gás: (a) detalhes do interior, (b) representação real de uma linha de transmissão. (Fonte: (a) Adaptada de: <https://www.siemens.com/global/en/home/products/energy/high-voltage/power-transmission-lines/gas-insulated-lines.html>. Acesso em 14/05/2017; (b) <www.innovit.com.cn/blog/online-fault-location-technology-for-gil/#.WW6Wl3Wc2Hs>. Acesso: 14/05/2017).
Vários pesquisadores buscam alternativas para aprimorar a transferência de energia térmica por convecção natural em cavidades anulares, devido a grande aplicabilidade industrial da mesma. Assim, o uso de pares discretos de fontes e sumidouros de energia térmica neste tipo de escoamento, apresenta-se como uma alternativa interessante.
volumes finitos e a metodologia de Simulação de Grandes Escalas (SGE) com modelagem de fechamento da turbulência sub-malha dinâmica.
Segundo Çengel e Ghajar (2012) a maioria dos escoamentos encontrados na prática são turbulentos, assim escoamentos entre cilindros concêntricos na presença de pares de fonte e sumidouro de energia térmica, ocorrerão provavelmente em regime turbulento. De forma geral os escoamentos apresentam três regimes diferentes: Laminar, em transição e turbulento. Na Fig. 1.4, tem-se uma ilustração destes regimes. Na Fig. 1.4, o regime é dito laminar, onde logo no início da pluma térmica ascendente próxima ao cigarro, a fumaça sobe de forma suave e altamente ordenada, apresentando linhas de corrente também lineares ao escoamento. Logo após a fumaça perde gradualmente sua linearidade e as primeiras instabilidades hidrodinâmicas são percebidas, caracterizando o regime de transição à turbulência. Com a evolução das instabilidades no escoamento, o regime turbulento é então alcançado na parte superior da fumaça, onde o comportamento da mesma é extremamente aleatório e imprevissível.
Figura 1.4 – Visualização dos regimes, laminar, em transição e turbulento, verificados na ascensão da fumaça proveniente de um cigarro. (Fonte: Adaptada de: <www.if.ufrj.br/~ginette/cursos/fit122/2011_01/programa/fluidos/escoamento.html>. Acesso: 18/07/2017.
Caracterizar corretamente cada regime de trabalho influencia diretamente no projeto e utilização de sistemas energéticos mais eficientes e menos poluentes. Neste contexto a experimentação numérica, através da Metodologia de Simulação de Grandes Escalas e a modelagem Sub-Malha Dinâmica utilizada para o fechamento da turbulência, apresenta-se como uma ferramenta viável e importante na predição da transição à turbulência em
Turbulento
escoamentos complexos, como visto no escoamento promovido por convecção natural dentro de cavidades anulares contendo fontes e sumidouros de energia térmica.
1.1 Objetivos
O principal objetivo desta dissertação é caracterizar a transição à turbulência em escoamentos promovidos por convecção natural em cavidades anulares preenchidas com ar, na presença de pares discretos de fonte e sumidouro de energia térmica, através da adequação do código numérico CCCil3D ao problema em questão, usando a metodologia de simulação de grandes escalas com modelo de fechamento sub-malha dinâmico. Outro foco do presente trabalho consiste em analisar termicamente os oito arranjos de pares de fonte e sumidouro de energia térmica, identificando a melhor configuração, com relação à transferência de energia térmica global dentro da cavidade.
1.2 Organização
Esta dissertação está estruturada em seis capítulos, os quais serão comentados nos parágrafos a seguir.
No capítulo I tem-se a introdução ao tema estudado, compreendendo as motivações, os objetivos, bem como a organização do mesmo.
O capítulo II o modelo físico é apresentado e analisado, em seguida, tem-se a revisão bibliográfica da convecção natural entre cilindros concêntricos na presença de fontes e sumidouros de energia térmica, sendo que, dois tópicos foram abordados: no primeiro destacou-se os principais trabalhos encontrados na literatura sobre convecção natural em cilindros concêntricos e no segundo os trabalhos relativos a convecção natural em cavidades anulares na presença de fonte e sumidouros de calor.
Sub-Malha Dinâmica utilizada para o fechamento da turbulência. Por fim, as condições de contorno são demonstradas.
O capítulo IV corresponde a modelagem numérica, todo o procedimento de discretização das equações representativas em coordenadas cilíndricas utilizando o Método dos Volumes Finitos é apresentado. Também comenta-se sobre a estabilidade numérica, malha numérica e passo de tempo automático (Critério CFL), utilizados nesta dissertação.
O capítulo V apresenta os resultados obtidos, dois grupos são evidenciados: o primeiro compreendendo os resultados em duas dimensões (2D) e o segundo em três dimensões (3D), respectivamente. Em 2D a validação da metodologia numérica é feita de duas formas, primeiro comparando os resultados obtidos entre cilindros concêntricos, na ausência de pares de fonte e sumidouro de energia térmica e segundo comparando os resultados obtidos já considerando os pares de fontes (cilindro interno) e sumidouros (cilindro externo) de energia térmica. Em 3D, devido à falta de trabalhos contendo fontes e sumidouros de energia térmica em cavidades anulares cilíndricas, validou-se os resultados comparando-os ao caso clássico de convecção natural entre cilindros concêntricos na ausência de fontes e sumidouros de energia térmica. Visando caracterizar a transição à turbulência, em cavidades anulares contendo pares de fonte e sumidouro de energia térmica, bem como, a influência do número e a localização destes pares sobre a transferência de energia térmica, analisou-se os casos propostos por Mastiani et al. (2016) em duas e em três dimensões para uma ampla faixa de Rayleigh.
CAPÍTULO II
MODELO FÍSICO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Este capítulo abordará dois temas principais. Num primeiro instante apresenta-se o problema físico da convecção natural entre cilindros concêntricos na presença de pares discretos de fontes e sumidouros de energia térmica, considerando configurações com dois e três pares, respectivamente. Em seguida é demonstrada uma revisão dos principais trabalhos presentes na literatura sobre convecção natural entre cilindros concêntricos e sobre a convecção natural em cavidades contendo pares discretos de fontes e sumidouros de energia térmica.
2.1 Modelo físico
A Fig. 2.1 ilustra o modelo físico estudado, correspondente a um exemplo contendo três pares de fontes (vermelho) e sumidouros de energia térmica (azul), distribuídos ao longo dos cilindros interno e externo respectivamente. Cada fonte e sumidouro de energia térmica terão respectivamente, 60 graus de arco. Na Fig. 2.1a têm-se a visualização frontal do modelo físico, onde Th e Tc, representam as temperaturas das fontes e dos sumidouros de energia térmica, sendo que Th é superior a Tc e Ri e Ro correspondem aos raios do cilindro interno e externo, respectivamente. Na Fig. 2.1b o modelo físico é demonstrado em perspectiva, ressaltando as três dimensões do mesmo, bem como as fontes de calor representadas em vermelho ao longo do cilindro interno e os sumidouros em azul ao longo do cilindro externo, L representa o espaçamento entre os cilindros, L = Ro – Ri e Lax corresponde ao comprimento axial da cavidade cilíndrica.
(a) (b) Figura 2.1 – Representação do problema físico estudado.
O sistema de coordenadas cilíndrico ( , , �) foi empregado. Visando a adequação do problema aos resultados da literatura, definiu-se dois parâmetros em função das características geométricas, o primeiro denominado relação de raios ( ) e razão de aspecto ( ), como segue:
= (2.2)
Utilizou-se ar como fluido de trabalho, cujas propriedades termodinâmicas dispostas na Tab. 2.1, corresponde a um número de Prandt (Pr) igual a 0,7074. A equação correspondente a
Pr encontra-se ilustrada na Tab. 3.1, no Capítulo III.
Tabela 2.1 – Propriedades termofísicas do ar
Propriedade Termofísica Símbolo Valor Unidade
Viscosidade cinemática 0,0000162 m²/s
Difusividade térmica 0,0000229 m²/s
Coeficiente de expansão volumétrica 0,00335 1/K
Condutividade térmica � 0,026238 W/mK
Como mencionado no Capítulo I, o presente trabalho teve como norte os oitos arranjos de pares de fonte e sumidouro de energia térmica, propostos por Martiani et al. (2016), sendo quatro casos contendo dois pares e quatro casos contendo três pares, respectivamente. Visando simplificar a identificação de cada caso, adotou-se a mesma nomenclatura utilizada pelo autor, ou seja, nomeou-se os casos da seguinte maneira: Primeiro tem-se a letra C referente à palavra caso, acrescida de dois números, o primeiro número correspondente o número de pares e o segundo número a configuração ou arranjo destes pares distribuídos nos dois cilindros. Todos os casos estudados, assim como, sua identificação são representados na Tab. 2.2.
Tabela 2.2 – Nomenclatura e representação dos casos estudados. 2 pares
Fonte-Sumidouro
3 pares Fonte-Sumidouro Caso Representação Caso Representação
C21 C31
C22 C32
C23 C33
C24 C34
2.2 Convecção natural em cilindros concêntricos
térmica global, contudo, Beckmann (1931) utilizou ar, hidrogênio e dióxido de carbono como fluidos e Kraussold (1934) usou água e óleo. Coeficientes de transferência de energia térmica e perfis de temperatura radiais, para ar, água e silicone, também foram obtidos experimentalmente por Liu et al. (1961). Grigull e Hauf (1966) utilizaram a interferometria Mach-Zehnder na obtenção de dados do coeficiente de transferência de energia térmica local sobre o cilindro interno abragendo nove configurações diferentes de relações de diâmetro.
Vários trabalhos experimentais utilizaram a fumaça como traçador em cavidades preenchidas com ar, na obtenção de fotografias qualitativas do escoamento padrão, entre eles: Liu et al. (1961), Mack e Bishop (1968), Bishop et al. (1968), Powe et al. (1969) e Dyko et al. (1999).
Utilizando fumaça de tabaco Bishop et al. (1968) conseguiram visualizar o escoamento do ar dentro da cavidade, para uma faixa do número de Grashof (Gr) entre 290 a 2,7 x 106, equivalente a uma diferença de temperatura entre os cilindros de 2,8 a 55°C. Dados da amplitude, do período e do comprimento de onda do escoamento foram obtidos, sendo apresentada uma correlação baseada no número de Gr, a qual prediz o início do escoamento oscilatório dentro da cavidade. Na Fig. 2.2 tem-se a representação experimental dos padrões do escoamento, devido à convecção natural entre cilindros concêntricos, fotografados por Bishop et al. (1968).
(a) (b) (c)
Figura 2.2 – Representação experimental material da convecção natural entre cilindros concêntricos considerando diferentes relações de raios. (Fonte: Bishop et al. (1968)).
Powe et al. (1969) investigaram experimentalmente as estruturas do escoamento convectivo desenvolvido por convecção natural entre cilindros concêntricos, considerando um total de seis conjuntos de cilindros, com diferentes variações de temperaturas e pressões entre os cilindros, os quais resultaram em experimentos abragendo a seguinte faixa de número de Grashof (Gr): ≤ ≤ , .
Kuehn e Goldstein (1978) estudaram experimentalmente a convecção natural entre cilindros concêntricos preenchidos com nitrogênio pressurizado, considerando 2,2 x 102≤ Ra≤ 7,7 x107 e relação de raios igual a 2,6. Os coeficientes de troca de calor local e global, bem como a distribuição de temperatura foram obtidos. Os autores verficaram que a desistabilização do escoaemento ocorre na pluma térmica acima do cilindro interno, a partir de Ra = 2x105, sendo que, com o aumento do número de Rayleigh o escoamento entra em regime turbulento. Outro fato interessante observado por eles, diz respeito, a existência simultânea de duas zonas distintas dentro da cavidade, uma com características turbulenta, localizada na parte superior e a outra com estável ou laminar, na parcela inferior da mesma.
avaliados. Os resultados numéricos monstraram-se bastante próximos as fotografias obtidas experimentalmente utilzando trançador, como descrito na Fig. 2.3.
(a) (b) Figura 2.3 – Representação experimental material da convecção natural em cavidades anulares inclinadas: (a) linhas de corrente e (b) resultado experimental. (Fonte: Takata et al.(1984)).
Tsui e Tremblay (1984) estudaram numericamente a convecção natural transiente entre dois cilindros horizontais isotérmicos. Usando o método de Diferenças Finitas e formulação função corrente-vorticidade, os autores resolveram as equações de Navier-Stokes e da conservação da energia, onde a discretização das equações de vorticidade e da energia foi realizada através da metodologia ADI (do inglês Alternating Direction Implicit) e para a equanção de função corrente utilizou-se o método de Sobre-Relaxação Sucessiva SOR. Valores do Nusselt local transiente interno e externo, bem como isotermas e linhas de correntes foram obtidos considerando números de Grashof (Gr) entre 1x103 e 9x104 e três relações de diâmetros: 1,2, 1,5 e 2,0, respectivamente.
Vários autores abordaram tridimensionalmente a convecção natural entre cilindros concentricos horizontais, entre eles: Fusegi e Farouk (1986), Fukuda et al. (1990), Vafai e Effefagh (1991), Vafai e Desai (1993), Kumar (1988) e Yuan (2015).
= 0,721, relação de raios = 1,6, relação de diâmetros = 1 e Ra 103 e 104. Neste trabalho evidenciou-se a grande influência dos efeitos de parede final neste tipo de escoamento, não retratados pela abordagem em duas dimensões. Além disso, resultados tridimensionais das velocidades, isotermas e da trajetória de uma particula de fluido dentro da cavidade, foram demonstrados. Assim como relatado experimentalmente por Tanaka et al. (1984).
Em seu trabalho Fukuda et al. (1990) promoveram uma análise numérica tridimensional da convecção natural entre cilindros concêntricos, utilizando DNS (Direct Numerical Simulation)
e esquema “explicit leap-frog”. Visando esclarecer a transição do fluxo laminar a turbulento,
perfis de velocidade e temperatura, bem como, as características turbulentas foram obtidas para Ra = 4 x 103 a Ra = 6 x 105 e comparados com dados experimentais, obtidos através de anemômetro de fio quente e termopares. Os resultados numéricos demonstram uma boa concordância com os experimentais, sobretudo no comportamento dos perfis médios de temperatura e velocidade, exceto para o caso de Ra elevado, onde os autores acreditam que a aproximação de Boussinesq não deva ser adequada. À medida que o Ra aumenta, o padrão do escoamento muda, passando de estável ou laminar a transicional e posteriormente a turbulento. Esta tendência foi bem retratada pela simulação DNS, contudo devido à limitação da malha, as características turbulentas foram superestimadas. Conforme mostra a Fig. 2.4, a seguir:
Labonia e Guj (1998) estudaram experimentalmente a convecção natural dentro de cavidades anulares, visando sobretudo compreender como ocorre o processo de transição do regime laminar para o turbulento, típico de cabos de transmissão elétrica isolados a gás. Desta forma o estudo foi conduzido dentro das seguintes condições: , � < Ra < , � e relação de raios = 0,68, características de cabos de transmissão a longa distância e subestações de energia. Dados qualitativos e quantitativos foram obtidos utilizando interferometria, fumaça e anemometro de fio quente.
Em seu trabalho Dyko et al. (1999) estudaram númerica e experimentalmente a estabilidade de escoamentos promovidos por convecção natural dentro de cavidades anulares com moderadas e grandes relações de raio. Eles utilizaram a teoria linear e o método da energia na analise da estabilidade dos escoamentos. O número de Rayleigh crítico, ou seja, o número a partir do qual o escoamento torna-se instável foi obtido através da analise da estabilidade linear, já o método da energia, forneceu o número de Rayleigh subcrítico, definido pelo o autor como sendo o valor no qual a condição necessária para a estabilidade global do escoamento é atingida.
Vários autores concentraram em analisar a influência da adição de nanofluidos sobre a transferência de energia térmica promovida por convecção natural entre cilindros concêntricos, entre eles: Abu-Nada (2008), Putra (2003).
Resolvendo numericamente as equações de Navier-Stokes e a equação da energia utilizando a técnica dos volumes finitos Abu-Nada (2008) estudou a influência da adição de nanofluidos à base de água sobre a transferência de energia térmica promovida por convecção natural entre cilindros concêntricos, abrangendo uma ampla faixa de frações de volume de nanopartículas de Cu, Ag, Al2O3 e TiO2 para vários números de Rayleigh. Eles constataram que para altos valores de Ra e razões de aspecto (L/D) elevadas a adição de partículas de nanofluido com elevada condutividade causam um aumento significativo na transferência de energia térmica global. O mesmo comportamento é observado para baixos Ra adicionando nanopartículas com elevada condutividade térmica. Contudo, para Ra intermediários a transferência de energia térmica reduz ao adicionar nanopartículas com baixa condutividade, principalmente para L/D = 0,4.
ampla faixa de números de Rayleigh (Ra) foi simulada, considerando os seguintes parâmetros: relação de raios ( ) igual a 2 e razão de aspecto ( igual a 2,8. A transição à turbulência é sugerida no seguinte intervalo: , < ≤ , . Conforme verifica-se na Fig.2.1, através das iso-superfícies instantâneas para a temperatura adimensional (0,25 – transparente e 0,65 – escura) os mecanismos físicos para a transição à turbulência são dependentes da movimentação da pluma térmica. Na Fig. 2.5a, relativa ao Ra = 1,1 x 105 ,nota-se que a pluma térmica movimenta-se de forma períodica ao longo do eixo axial, contudo as instabilidades aparecem basicamente na parte superior da cavidade, com o aumento do Ra para 3,1 x 105, Fig. 2.5b, o escoamento perde sua característica periódica e torna-se cada vez mais instável e irregular, onde verifica-se o aparecimento de instabilidades também na parte inferior da cavidade. Para números de Rayleigh superiores a Ra = 5,8 x 105 o escoamento torna-se turbulento, e a pluma térmica apresenta-se de forma totalmente desordenada e com instabilidades mais fortes e aleatórias. Os autores também analizaram e compararam os campos médios de temperatura e velocidades com os dados apresentados na literatura, obtendo uma boa concordância. A influência das instabilidades na transferência de energia térmica foi quantificada, através dos valores dos números de Nusselt médio e local.
(a) (b) (c)
Figura 2.5 – Movimentação da pluma térmica para diferentes números de Ra. (Fonte: Padilla e Silveira-Neto (2008)).
interna foram propostas: cilíndrica, elíptica, quadrada e triangular. Campos de velocidade e temperatura foram apresentados através das linhas de corrente e isotermas. Uma correlação para o número de Nusselt foi proposta incorporando a radiação térmica. Eles também destacam que a superfície de radição e a presença de quinas e grandes espaçamentos na parte superior da cavidade incrementam a taxa de transferência de energia térmica.
Figura 2.6 – Linhas de corrente para quatro diferentes configurações para a geometria interna em cavidades anulares. (Fonte: Yuan et al. (2015))
2.3 Convecção natural em cavidades na presença de fontes e sumidouros de
energia térmica.
O uso de pares discretos de fontes e sumidouros de energia térmica em cavidades anulares vem crescendo em diversos seguimentos industriais, principalmente por apresentarem-se como sendo um mecanismo de transferência de energia térmica silencioso, de boa segurança e baixo custo. Tais características são extremamente desejáveis em diversos projetos, como por exemplo, na refrigeração de micro componente eletrônicos, no armazenamento de alimentos, no armazenamento de energia térmica, no projeto de reatores nucleares, entre outros. Via de regra, em cavidades anulares, a convecção natural apresenta-se como sendo o mecanismo dominante na transferência de energia térmica. Certamente, a presença de pares discretos de fontes e sumidouros de energia térmica, modifica dinâmica e termicamente o comportamento do escoamento, Segundo Mastiani et al. (2016) o aprimoramento na transferência de energia térmica, pode ser alcançado, controlando-se o tamanho, a disposição, a intensidade e a localização destes pares dentro da cavidade.
do tamanho da fonte, localização, razão de aspecto e as condições de contorno para convecção natural, desenvolvida em cavidades retangulares preenchidas com ar. Constantando que o tamanho da fonte e sua localização são dois parâmetros que influenciam fortemente na transferência de energia térmica, pois modificam o fluxo e o campo térmico.
Diversos autores estudaram a convecção natural, nas mais variadas configurações, por exemplo, cavidades retangulares horizontais contendo fontes discretas de calor são encontradas em: Mahaney et al. (1989), Mahaney et al. (1990), Sezai e Mohamad (2000) e Bazylak et al. (2006), já cavidades retangulares verticais na presença de fontes de calor, foram abordadas: Keyhani et al. (1988), Chadwick et al. (1991) e Ishihara et al. (2000).
(a) (b) (c)
Figura 2.7 – Esquema de cavidade retangular contendo uma fonte discreta de calor (a); linhas de corrente (parte superior) e isotermas (parte inferior), para Ra = 105 considerando fonte de calor quadrada (b) e retangular (c). (Fonte: Sezai e Mohamad (2000)).
Chadwick et al. (1991) estudaram numericamente e experimentalmente a convecção natural em cavidades retangulares verticais, contendo ar, na presença de fontes de calor. Experimentalmente os autores utilizam interferometria Mach-Zehnder para visualizar os campos de temperatura dentro da cavidade, bem como, determinar o comportamento local e médio da transferência de energia térmica. Diversas configurações foram consideradas, com uma única fonte ou contendo várias, constatando que as maiores taxas de transferência de energia térmica ocorrem quando as fontes de calor encontram-se próximas a base da cavidade.
Figura 2.8 – Ilustração das circulações esperadas alternando-se os pares de fonte e sumidouro de energia térmica. (Fonte Deng (2008)).
A convecção natural também é verificada em cavidades anulares contendo fontes discretas de calor, como por exemplo, verticalemente em: Sankar e Do (2010), Sankar et al. (2011) e Sankar et al. (2012) e horizontalmente em: Mastiani et al. (2015) e Mastiani (2016).
Figura 2.9 – Representação da cavidade anular vertical contendo duas fontes de calor. (Fonte Sankar e Do (2010)).
Em seu trabalho Sankar et al. (2011), analisou a convecção natural em um anel poroso aquecido com fluxo de calor constante, através das equações de Darcy Brinkman estendidas. Eles identificaram que os efeitos de porosidade com relação a transferência de energia térmica tonam-se importantes somente para altos valores do número de Darcy.
Visando compreender o efeito da localização e do tamanho de fontes com fluxo constante de calor sobre a convecção natural em cavidades anulares verticais, Sankar et al. (2012), analisou numericamente o comportamento de uma única fonte de calor, localizada na parede interna da parede, sendo o topo e a base da cavidade, bem como as demais partes do cilindro interno mantidos com uma temperatura inferior. Segundo os autores a máxima transferência de energia térmica é obtida quando a fonte é disposta no meio da parede interna. Também relataram que a localização da fonte de calor afeta significativamente a dinâmica e a transferência de energia térmica.
disposição dos pares de fontes ao longo do cilindro interno, ocasiona efeitos significativos tanto na dinâmica do escoamento quanto no campo térmico, refletindo, portanto na taxa de fusão do material. A Fig. 2.10, ilustra este processo, onde a Fig. 2.10a representa o caso com a melhor taxa de fusão e a Fig. 2.10b o caso com o pior desempenho.
Na Fig. 2.10 do lado esquerdo tem-se a representação de cada caso, ao centro o campo térmico somada as linhas de corrente e a direita a fase de fusão frontal, onde a cor vermelha representa a parcela líquida (derretida) e em azul a parte sólida. Nota-se que a localização das fontes logo abaixo do centro da cavidade no caso C.3, promove o aparecimento de duas células de recirculação, as quais auxiliam no processo advectivo de calor e na fusão do material.
(a)
(b)
Figura 2.10 – Disposição das fontes (a), campo térmico e linhas de corrente (b) e fase de fusão frontal (c). (Fonte: Mastiani et al. (2015)).
pares de fonte e sumidouro de energia térmica e quatro casos contendo três pares, distribuídos em configurações ou arranjos distintos dentro da cavidade anular. Analisou-se o efeito do número, tamanho e disposição dos arranjos dentro da cavidade. Os dados como linhas de corrente, isotermas, números de Nusselt locais e médios foram apresentados. Segundo os autores, os casos contendo dois pares de fonte e sumidouro de energia térmica, apresentaram valores mais expressivos em relação ao número de Nusselt médio do que os casos contendo três pares. Constataram também que o aumento no tamanho da fonte e do sumidouro de energia térmica ocasiona um decaimento no número de Nusselt local. Outro fato ressaltado é que a maior troca térmica é observada quando os pares encontram-se arranjados colinearmente dentro da cavidade. Na Fig. 2.11, têm-se isotermas e linhas de corrente, relativas a quatro arranjos distintos, sendo os casos C.2.4 e C.3.4 (colineares) e, portanto, com melhor desempenho energético entre os demais.
Figura 2.11 – Isotermas e linhas de corrente, para os casos C.2.4, C.2.3, C.3.4 e C.3.3, retirados de Mastiani et al. (2016).
Conforme mencionado por Mastiani et al. (2016) e Sankar et al. (2012), apesar da vasta literatura sobre convecção natural em cavidades contendo fontes discretas de calor, a maioria dos autores se restriguem as configurações tradicionais, cavidades retangulares e quadradas, ficam as demais, como as anulares, ainda pouco exploradas, sobretudo, tridimensionalmente, como é a proposta do presente trabalho.
C.2.3
CAPÍTULO III
MODELAGEM MATEMÁTICA
3.1 Introdução
Neste capítulo é apresentada a formulação matemática do problema da convecção natural em cilindros concêntricos preenchidos com ar na presença de pares discretos de fontes e sumidouros de energia térmica. Todo o equacionamento necessário para representar o fenômeno proposto neste trabalho tem por base as equações fundamentais de transporte: equação da conservação da massa; equação do balanço da quantidade de movimento e equação do balanço de energia.
Os escoamentos são caracterizados como sendo newtonianos e incompressíveis, sendo a variação da massa específica modelada através da aproximação de Boussinesq. Utiliza-se a Simulação de Grandes Escalas (SGE) para modelar a transição à turbulência através do Modelo Sub-Malha Dinâmico.
3.2 Equações representativas
As equações representativas do presente estudo são:
= (3.1)
Equação do Balanço da Quantidade de Movimento
+ ( )= − + + [ + ] (3.2)
Equação do Balanço de Energia
+ ( )= [ ] (3.3)
3.2.1 Aproximação de Boussinesq
A aproximação de Boussinesq para a convecção natural pressupõe que a massa específica do fluido seja constante em todos os termos das equações do balanço de massa, do balanço da quantidade de movimento e do balanço da energia, com exceção do termo referente as forças gravitacionais na equação da conservação do balanço da quantidade de movimento.
Gebhart (1973) e Gebhart, et al. (1988) tratam a pressão estática local do fluido (p) como sendo a soma de duas componentes, onde a primeira componente corresponde a pressão relativa ao movimento do fluido ( ) e a segunda representa a pressão do fluido em repouso ( ). Assim:
= + (3.4)
Sendo a pressão do fluido em repouso pr calculada por:
= − , (3.5)
− + = (− + ) (3.6)
Substituindo as Eq. (3.4) e Eq. (3.5) na Eq. (3.6), tem-se:
− + = [− + − ] (3.7)
Na Eq.(3.7) o termo g ρ − ρ representa as forças gravitacionais. Conforme comentado, a aproximação de Boussinesq considera a massa específica como sendo constante em todos os termos das equações fundamentais de transporte, exceto para o termo das forças gravitacionais na equação do balanço da quantidade de movimento. Já é de conhecimento científico, que a mudança no valor da massa específica tem como principal agente a expansão térmica do fluido. Segundo Arpaci e Larsen (1984), a massa específica ρ no termo das forças
gravitacionais, para baixos valores da razão (Δρ /ρ0) pode ser representada por:
= − ∆ (3.8)
Sendo ρ0 a massa específica tomada à temperatura ambiente e β uma propriedade termodinâmica conhecida como coeficiente de expansão volumétrica do fluido a pressão constante, definida por:
= − ( ) (3.9)
É importante ressaltar que a aproximação só é aplicável para variações de massa específica pequenas, ou seja, quando ∆ ≪ .
Substituindo a Eq.(3.8) na Eq.(3.7) e organizando os termos, fica:
− + = − ( ) − ∆ (3.10)
+ ( )= − ( ) − ∆ + [ + ] (3.11)
3.2.2 Adimensionalização das equações representativas em coordenadas
cilíndricas
A adimensionalização das equações de conservação é uma etapa importante, pois generaliza a solução do problema estudado e possibilita sua comparação com outros trabalhos da literatura. Nas Eqs. (3.12) a (3.20) têm-se as quantidades adimensionais utilizadas no presente trabalho:
Velocidades
Radial
∗= (3.12)
Tangencial
∗= (3.13)
Axial
∗= (3.14)
Temperatura
∗= −
Pressão
∗= (3.16)
Tempo
∗= (3.17)
Raio
∗ = (3.18)
Viscosidade Turbulenta Efetiva
�∗= + (3.19)
Difusividade Turbulenta Efetiva
�∗= � + (3.20)
Tabela 3.1 - Números adimensionais utilizados no equacionamento do presente trabalho.
Nome Sigla Equação
Número de Prandtl � � =
Número de Grashof Gr = −
Número de Rayleigh Ra = �
Número de Nusselt
Local Interno = [ ]
̅ | =
Número de Nusselt
Local Externo = [ ]
̅ | =
Número de Nusselt
Médio Interno ̿̿̿̿ ̿̿̿̿ = ∫ ∫ �
���
�
Número de Nusselt
Médio Externo ̿̿̿̿ ̿̿̿̿ = ∫ ∫ �
���
�
Número de Nusselt
Substituindo as respectivas variáveis adimensionais presentes na Tab. 3.1 nas equações de conservação Eq.(3.1), Eq.(3.3) e Eq.(3.11), para as três dimensões em coordenadas cilíndricas, obtêm-se:
Equação da Conservação da Massa
∗
∗ ∗
∗ + ∗
∗
+ �∗∗= (3.21)
Equação do Balanço da Quantidade de Movimento
Direção Axial ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ + �∗ ∗∗ = − �∗∗+ ∗ ∗( ∗ ∗ ∗ ∗) + (3.24) + ∗ ( �∗ ∗ ) + �∗( �∗ ∗ �∗) + ∗ ∗( �∗ ∗ ∗ �∗) + ∗ ( �∗ ∗ �∗)
Equação do Balanço de Energia
∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ + �∗ ∗∗ = ∗ ∗( �∗ ∗ ∗ ∗) + (3.25) + ∗ ( �∗ ∗ ) + �∗( �∗ ∗ �∗)
3.2.3 Processo de filtragem das equações
Sabe-se que a solução numérica das equações de Navier-Stokes requer uma elevada capacidade de processamento e armazenamento de dados. Mesmo com todo avanço alcançado nas últimas décadas na área da computação, o tratamento numérico de escoamentos em transição e turbulentos ainda apresentam dificuldades, isso se deve principalmente a não linearidade das equações de Navier-Stokes, geradoras de uma ampla faixa de escalas turbulentas espaciais e temporais. Segundo Härtel (1996), as escalas maiores são responsáveis pela maior parte da difusão turbulenta do escoamento, ao passo que, as menores escalas são responsáveis pela transformação da energia cinética. Uma boa simulação numérica visa sobre tudo fornecer resultados fisicamente significativos, desta forma ambos os efeitos devem ser considerados.
numericamente. Portanto, a malha deve ser suficientemente refinada para a solução das menores escalas do espectro, resultando no campo completo do escoamento turbulento, tridimensional, transiente, carregando apenas a modelagem de fechamento de Stokes, possuindo somente os erros da aproximação numérica. Todavia, a utilização prática da DNS limita-se aos escoamentos com baixo ou moderado número de Reynolds, ReL, pois o número
mínimo de pontos de discretização necessários para uma perfeita resolução espacial do escoamento é proporcional a ReL9⁄ (Silveira-Neto, 2002).
Como já visto, à turbulência é qualificada por um grande número de escalas temporais e espaciais, que aumentam rapidamente com o número de Reynolds. Sendo assim, o uso da DNS torna-se inviável do ponto de vista prático e as Simulações via Equações Médias de Reynolds (RANS, do inglês Reynolds Averaged Navier-Stokes) e Simulação de Grandes Escalas (LES, do inglês Large Eddy Simulation) apresentam-se como alternativas melhores de predição numérica. Estas técnicas fazem à decomposição das equações representativas em um campo médio ou filtrado e um campo de flutuações.
Ao promover a decomposição das equações de Navier-Stokes ocorre o aparecimento de momentos de segunda ordem ou mais, os quais envolvem flutuações, ou seja, haverá mais incógnitas que equações. Esta situação é conhecida como o problema de fechamento da turbulência. Este problema é o maior motivador das pesquisas nesta área, ou seja, busca-se promover melhores modelos de turbulência que solucionem o problema de fechamento. Métodos experimentais e a simulação direta são instrumentos utilizados neste esforço, para validar as modelagens propostas (REZENDE, 2009).
Figura 3.1 - Espectro de energia cinética turbulenta e número de onda de corte. (Fonte: Adaptada de Silveira-Neto, 2002).
Conforme visto a metodologia LES representa uma alternativa interessante tanto em nível de modelagem quando comparado a RANS, quanto em custo computacional quando comparada a DNS. Esta técnica baseia-se na resolução direta das grandes escalas e na modelagem das pequenas escalas. Entre as características deste tipo de metodologia destaca-se: a possibilidade da mesma em predizer a transição de escoamentos laminares a turbulentos bem como, a sua aplicabilidade em problemas de engenharia, devido ao fato de não trabalhar
com valores médios do escoamento como é feito em RANS (“elevado nível de modelagem”) e
não resolver completamente todos os graus de liberdade como é feito em DNS (elevado custo computacional).
Desta forma nota-se que a metodologia LES representa uma importante ferramenta para solução de escoamentos transicionais e turbulentos.
3.3 Metodologia de simulação de grandes escalas
A simulação de grandes escalas teve como início os trabalhos do meteorologista Smagorinsky (1963), o qual propôs simular apenas as grandes escalas dos escoamentos atmosféricos e modelar as menores escalas. Assim, os maiores turbilhões ou estruturas do escoamento, responsáveis pela maior parte do transporte energético e de quantidade de movimento linear são resolvidos diretamente da solução das equações representativas filtradas,
RANS
LES
DNS Nível de
Modelagem
100 %
0 %
baixo alto Extremamente Alto
Custo
ao passo que, as menores estruturas, mais homogêneas e isotrópicas, portanto, menos afetadas pelas condições de contorno, são modeladas. Segundo Silveira-Neto (2002) a modelagem das pequenas escalas tende a apresentar um caráter mais universal, ou seja, menos dependentes do tipo de escoamento simulado, quando comparada com as metodologias baseadas no conceito de média.
Através do processo de filtragem das equações representativas e separação das escalas, a metodologia LES separa as grandes escalas (baixas frequências) das pequenas escalas (altas frequências) em uma determinada frequência de corte ou número de onda de corte , que é baseada no tamanho da malha de discretização utilizada. Conforme a Fig. 3.2 (Silveira-Neto, 2002) onde têm-se a variação do espectro de energia cinética turbulenta E(k).
Figura 3.2 - Espectro de energia cinética turbulenta e número de onda de corte. (Fonte: Adaptada de Silveira-Neto, 2002).
Desta forma, após a filtragem as variáveis pertencentes às equações representativas são separadas em duas partes, a primeira conhecida como grandes escalas, representadas pela barra acima da variável f̅ �⃗⃗, t e a segunda como sub-malha, representadas pelo apóstrofo acima da variável f′ �⃗⃗, t :
⃗, = ̅ ⃗, + ′ ⃗, (3.26)
E(k)
k Ec (Parte
Sub-malha)
�� Ec (Parte Calculada
3.3.1 Equações representativas filtradas
Conforme mencionado em LES, cada variável pertencente às equações governantes é decomposta em duas partes: uma referente às grandes escalas do escoamento, representadas pela barra acima da variável f̅ �⃗⃗, t e a outra relativa às escalas sub-malha, representadas pelo apóstrofo acima da variável f′ �⃗⃗, t . Sendo que, o espectro de energia total (Fig. 3.2) é a soma das duas escalas conforme a Eq.(3.26). A separação das escalas ocorre através do processo de filtragem que é definido como sendo a integral de convolução envolvendo a função a ser filtrada ƒ e uma função filtro apropriada G.
Sendo assim, a parte filtrada, relativa às grandes escalas fica:
̅ ⃗, = ∫ ⃗, ⃗ − ′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗′ (3.27)
Segundo Silveira-Neto (2002) a função filtro G pode ser definida de várias maneiras, entre elas tem-se a função filtro por volume definida por:
⃗ = { ∆⁄ ,, | ⃗| > ∆⁄ , | ⃗| ≤ ∆⁄ (3.28)
sendo ∆ o tamanho característico do filtro, cujo valor indica a frequência de corte da filtragem. Para o caso especial em que o delta é igual ao tamanho da malha, nota-se que, o processo de filtragem é confundido com a filtragem imposta pela discretização, pois no interior de um volume de discretização todas as variáveis se mantêm constantes.
Após utilizar o filtro nas equações governantes, conforme feito por (Silveira-Neto, 2002), obtêm-se:
̅
= (3.29)
+ (̅̅̅̅̅)= [ ] (3.31)
Através do sistema de equações anterior modela-se o transporte das variáveis u̅i e T̅.
Contudo os termos não lineares aparecem na forma de dois produtos filtrados, fato que torna o sistema impossível de solução. Uma alternativa para resolver este problema decompor as escalas, utilizando-se a Eq.(3.26), tal decomposição modificará somente o termo não linear ou de transporte convectivo destas equações, assim:
̅̅̅̅̅ = ̅ + ′ (̅ + ′)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ ̅̅̅̅̅̅ + ′̅̅̅̅̅̅̅ + ̅ ′̅̅̅̅̅̅ + ′ ′̅̅̅̅̅̅̅ (3.32)
̅̅̅̅̅ = (̅ + ′) ̅ + ′̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ ̅̅̅̅̅̅ + ′̅̅̅̅̅̅ + ̅ ′̅̅̅̅̅ + ′ ′̅̅̅̅̅̅ (3.33)
Nota-se que mesmo após a decomposição as Eq.(3.32) e Eq.(3.33) ainda apresentam termos dependentes de dois produtos filtrados. Conforme Silveira-Neto (2002) estes termos devem ser expressos em função do produto das variáveis filtradas, o que é feito utilizando um tensor e um fluxo turbulento, adicionais. Caracterizados por:
Tensor de Leornad
= ̅ ̅̅̅̅̅̅ − ̅ ̅ (3.34)
Fluxo Turbulento de Leonard
� = ̅ ̅̅̅̅̅̅ − ̅ ̅ (3,35)
Substituindo o Tensor de Leonard na Eq. (3.32) e o Fluxo Turbulento de Leonard na Eq. 3.33, tem-se:
̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ + ′̅̅̅̅̅̅ + ̅ ′̅̅̅̅̅ + ′ ′̅̅̅̅̅̅ + � (3.37)
Após todas as considerações, os dois termos são escritos em função do produto das variáveis filtradas e de alguns tensores e fluxos adicionais, definidos por:
Tensor de Reynolds Sub-Malha
= ′ ′̅̅̅̅̅̅̅ (3.38)
Tensor Cruzado
= ′̅̅̅̅̅̅̅ − ̅ ′̅̅̅̅̅̅ (3.39)
Fluxo Turbulento Sub-Malha
= ′ ′̅̅̅̅̅̅̅ (3.40)
Fluxo Turbulento Cruzado
� = ̅ ′̅̅̅̅̅ − ′ ′̅̅̅̅̅̅ (3.41)
Substituindo estes tensores e fluxos nas Eq. 3.36 e Eq. 3.37, obtém-se:
̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ + + + (3.42)
̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ + � + + � (3.43)
estes tensores ainda continuam sem importância significativa podendo, portanto, serem desprezados, da mesma forma que os fluxos, turbulento cruzado e de Leonard.
Substituindo as Eq.(3.42) e Eq.(3.43), já eliminando os tensores cruzados e de Leonard e os fluxos turbulento cruzado e de Leonard nas Eq.(3.30) e Eq.(3.31), as equações filtradas ficarão:
̅
= (3.44)
+ ̅ ̅ = − ̅ − ∆̅ + [ ̅ + ̅ ] − (3.45)
+ (̅̅̅̅̅)= [ ] − (3.46)
Mesmo após toda manipulação algébrica e simplificações efetuas nas equações representativas Eq.(3.44) a Eq.(3.46), necessita-se modelar dois termos para o fechamento do sistema de equações são eles: o tensor de Reynolds malha ( ) e o fluxo turbulento sub-malha (θ). Estes termos representam o transporte turbulento de quantidade de movimento e de calor entre as grandes escalas e as escalas sub-malha. A modelagem destes termos é feita usualmente através da chamada hipótese de Boussinesq:
= − ̅ + � (3.47)
= ̅ (3.48)
