Encontrando autovalores e autovetores da matriz A

(1)

Autovalores e Autovetores

´

Algebra Linear BC1425

UFABC

Agosto/2016

´

Algebra Linear BC1425 (UFABC) Autovalores e Autovetores Agosto/2016 1 / 1

Autovalores e Autovetores

Pergunta

Seja T :V →V um operador linear

Quais vetoresv ∈V são levados por T num múltiplo escalar dev ? Ou seja, quais vetores v são tais que

T(v) =λv

para λ um escalar ?

´

Motiva¸c˜

ao:

1 Seja _T :_R2 →_R2 a reflex˜ao em rela¸c˜ao ao eixo _x.

◮ Qualquer vetorv sobre o eixox é levado porT (reflexão em rela¸cão ao eixo x) nele mesmo, ou seja,T(v) =v.

Observe quev é múltiplo deT(v). Geometricamentev é paralelo aT(v).

◮ Qualquer vetorusobre o eixoy é levado porT (reflexão em rela¸cão ao eixo x) no vetorT(u) =−u.

Observe queué múltiplo deT(u). Geometricamenteué paralelo aT(u).

◮ Qualquer vetorw= (x,y) que não está nos eixos coordenados é levado porT (reflexão em rela¸cão ao eixo x) no vetorT(w) = (x,−y). Observe quew não múltiplo deT(w).

Geometricamentew n˜ao ´e paralelo aT(w).

2 Seja _T :_R2 →_R2 a rota¸c˜ao de 90o no sentido anti-hor´ario.

◮ Nenhum vetor v não nulo é levado porT (rota¸cão de 90o no sentido anti-horário) num vetorT(v) que seja paralelo av.

Observa¸c˜

ao

1 Como _T(0V) = 0V, ent˜ao

T(0V) =λ·0V,

onde λ´e um escalar.

2 Estamos interessados em determinar vetores_v n˜ao-nulos tais que

(2)

Autovalores e Autovetores

Defini¸c˜ao

T :V →V operador linear

Dizemos que o escalar λ´e um autovalor deT se existe um vetor

v ∈V n˜ao-nulo tal que

T(v) =λv

O vetor n˜ao-nulov ´e chamadoautovetordeT associado a λ.

O conjunto dos autovetores de T associados a λ, acrescidos do vetor nulo, ou seja

Eλ={v ∈V : T(v) =λv}

´e chamadoautoespa¸co de λ.

Observa¸c˜ao: Eλ ´e um subespa¸co vetorial deV.

´

Exemplo

Seja T :R2 →R2 um operador linear definido por

T(x,y) = (x+ 2y,4x + 3y)

e seja o vetor

v = (1,2).

Como

T(v) =T(1,2) = (5,10) = 5(1,2) = 5v,

ou seja,

T(v) = 5v

ent˜ao v = (1,2) ´e um autovetor deT associado ao autovalorλ= 5.

´

Exemplos

1 Aplica¸c˜ao Identidade: _I :_R2→_R2 definida por _I(_x_,_y) = (_x_,_y)

◮ autovalor: λ= 1

◮ autoespa¸co associado: E₁ =R2

2 Reflex˜ao relativa ao eixo_x: _T :_R2→_R2 definida por

T(x,y) = (x,−y)

◮ autovalores: λ=−1 eλ= 1 ◮ autoespa¸cos associados: E

−1=ger((0,1)) eE1=ger((1,0)).

3 Rota¸c˜ao de 90o anti-hor´ario: T :_R2 →_R2 definida por

T(x,y) = (−y,x)

◮ N˜ao tem autovalores.

´

Observa¸c˜

oes

1 O autovetor _v associado ao autovalor _λ não é único

2 Qualquer múltiplo escalar de um autovetor, também é um autovetor.

3 Os autovalores e autovetores nos d˜ao informa¸c˜oes importantes sobre a

natureza do operador T.

´

(3)

Autovalores e Autovetores de uma Matriz

Seja A∈Mn(R). Sabemos que a aplica¸c˜ao matricial TA :R

n →Rn

definida por

TA(v) =A·v

´e uma transforma¸c˜ao linear.

Seλ ´e um autovalor deTA, ent˜ao existe um vetorv ∈R n

n˜ao-nulo tal que

TA(v) =λv,

ou seja,

A·v =λ·v

Dizemos então, queλé um autovalor da matriz A, e que o vetor coluna não-nulo v é o autovetor de Aassociado a λ.

Assim, encontrando os autovalores e os autovetores da matrizA, encontramos os autovalores e os autovetores da transforma¸c˜aoTA.

´

Encontrando autovalores e autovetores da matriz

_A

De

A·v =λ·v

temos que

(A−λI)·v =0, (1)

onde I ´e a matriz identidade e 0´e o vetor coluna nulo.

◮ Sedet(A−λI)6= 0, o sistema (1) s´o tem a solu¸c˜ao trivial.

◮ Sedet(A−λI) = 0, o sistema (1) tem infinitas solu¸c˜oes.

Observemos que quando desenvolvemos det(A−λI) obtemos um

polinˆomio na vari´avel λ, ou seja,

p(λ) =det(A−λI)

Este polinômio é chamado polinômio caracter´ısticoda matriz A.

´

Encontrando as ra´ızes dep(λ)encontramos os autovalores deA.

Resolvendo (1) para cada λ encontrado, determinamos o autoespa¸co

Eλ, formado pelos vetores n˜ao-nulos que s˜ao autovetores deA

associados a λ.

Usando o wolframalpha

1

Podemos usar o wolframalpha para encontrar autovalores e autovetores de uma matriz A.

Use o comando eigenvaluese descreva a matriz por linhas separando cada entrada da linha da matriz por v´ırgula, como nos seguintes exemplos:

A=

−3 4

−1 2

eigenvalues{{−3,4},{−1,2}}

A= 



4 0 1 2 3 2 1 0 4





(4)

Exemplos

(1) A=

−3 4

−1 2

Autovalores:

polinˆomio caracter´ıstico:

p(λ) =det(A−λI) =det

−3−λ 4

−1 2−λ

=λ2+λ−2

ra´ızes dep(λ):

λ2+λ−2 = (λ+ 2)(λ−1) = 0 ⇒

(

λ= 1

λ= −2

´

Autovetores:

λ= 1

E1 =

x y

(A−I)

x y

=

0 0

=

x y

−4 4

−1 1

x y

=

0 0

=

x y

x =y

=

x

1 1

Ent˜ao

E1=ger

1 1

Observa¸cão: Um autovetor correspondente àλ= 1 é v = (1,1)

´

λ=−2

E₋2 =

x y

(A+ 2I)

x y

=

0 0

=

x y

−1 4

x y

=

0 0

=

x y

x = 4y

=

y

4 1

Ent˜ao

E−2 =ger

4 1

Observa¸cão: Um autovetor correspondente àλ=−2 év = (4,1)

´

(2) A= 



4 0 1 2 3 2 1 0 4





Autovalores:

polinˆomio caracter´ıstico:

det(A−λI) =−(λ−3)2(λ−5)

ra´ızes dep(λ) :

λ= 3 e λ= 5

´

(5)

Autovetores: λ= 3

E3 =

     x y z  

(A−3I)   x y z  =   0 0 0      =      x y z    

1 0 1 2 0 2 1 0 1

    x y z  =   0 0 0      =      x y z  

x =−z

   =      −z y z      =    y   0 1 0 

+z   −1 0 1      ´

Ent˜ao

E3=ger

    0 1 0  ,   −1 0 1    

Observa¸cão: Os autovetores correspondentes àλ= 3 são

v1= (0,1,0) e v2= (−1,0,1)

´

λ= 5

E5 =

     x y z  

(A−5I)   x y z  =   0 0 0      =      x y z    

−1 0 1

2 −2 2

1 0 −1

    x y z  =   0 0 0      =      x y z  

x − z = 0

y − 2z = 0

   =      α 2α α      =    α   1 2 1      Ent˜ao

E5=ger

  1 2 1  

(6)

Observa¸c˜

oes ao Exemplo 2

1 Como _p(_λ) =−(_λ−3)2(_λ−5) dizemos que

◮ λ= 3 temmultiplicidade alg´ebrica2.

◮ λ= 5 temmultiplicidade alg´ebrica1.

2 Como _{dim E}₃ = 2 e_{dim E}₅ = 1, dizemos que

◮ λ= 3 temmultiplicidade geom´etrica2

◮ _λ= 5 tem_{multiplicidade geom´}_etrica1.

´

Exerc´ıcios

1 Seja _T :_R2 →_R2 definida por_T(_x_,_y) = (2_x + 2_y_,_x+ 3_y)

(i) Encontre a matriz canˆonica deT, ou seja, [T].

(ii) Econtre os autovalores e os autoespa¸cos correspondentes de [T].

2 Para o Exemplo 1, encontre os autovalores de A2. Quais os autovalores de A10 ?

3 Seja _T :_R3 →_R3 definida por_T(_x_,_y_,_z) = (_x +_z_,_y +_z_,_x +_y)

(i) Encontre a matriz canˆonica deT, ou seja, [T].

(ii) Econtre os autovalores e os autoespa¸cos correspondentes de [T].

4 Sem fazer contas, encontre os autovalores da matriz

A= 

  

2 0 0 0

−1 −1 0 0

3 0 3 0

5 7 5 −2



  

´