Localização. Perspectiva histórica

(1)

Localização

l Decisões de localização envolvem determinar :

Ü Quantas facilidades (tais como: fábricas, portos, depósitos, armazéns, centros de serviço) deve a companhia possuir ?

Ü De que tamanho e onde devem estar elas localizados ?

Ü De tal forma a se alcançar o nível de serviço desejado ao menor custo de distribuição.

l Abordagens

Ü Modelado como um problema de programação matemática;

Ü Usando heurísticas e meta-heurísticas;

Ü Através de estudos de cenários.

Perspectiva histórica

l J.V. Thünen: 1875 - Aspectos determinantes

Ü Preço da terra X Preço de transportar o produto até o mercado

Ü Atividades que podem pagar o maior valor pela terra se localizam mais próximas ao mercado ou ao longo das principais vias de transporte.

l A. Weber: 1909 - Importância da matéria prima no processo de localização

Ü Localização de um centro de distribui ção com o objetivo de minimizar as distâncias ponderadas (pelo peso/volume transportado) percorridas em relação a duas fontes de matéria prima e um mercado consumidor.

Ü Custos de transporte lineares com a distância e com o peso transportado

Ü Processos com perda de peso - localizados próximos a fonte de matéria prima

Ü Com ganho de peso (incluem matérias-primas abundantes em geral) -> próximo ao mercado

consumidor

(2)

Fatores que influenciam a localização

l Proximidade (Custo Logístico);

l Oferta de mão-de-obra (e produtividade);

l Disponibilidade de insumos (energia, transporte, comunicação, água, solo);

l Disponibilidade de financiamentos;

l Tamanho do mercado local;

l Fatores políticos, legais, ambientais e sociais

Ü Taxas regionais;

Ü Regulamentações das operações, poluição, aluguéis;

Ü Barreiras/restrições alfandegárias;

Ü Peculiaridades econômicas e culturais (ex.: restrições à mão-de-obra feminina);

Ü Atitude da comunidade em relação à organização;

Ü Proximidade de shoppings, igrejas, escolas, universidades; tipos de casas; polícia local; saúde;

Ü Proximidade de instituições de ensino de graduação/pós-graduação, oportunidades para pesquisas relevantes

Modelos matemáticos de localização

l Recebem atenção de economistas, geógrafos, profissionais da pesquisa Operacional (PO)

l Enfoque varia de acordo com origem profissional

Ü Enfoque macroeconômico: Economistas, Geógrafos

Ü Enfoque microeconômico: Modelos Normativos (PO) l Modelos normativos

Ü Suprimento de dada área geográfica a partir de centros de distribuição de mercadorias ou serviços;

Ü Objetivo: Determinar número e localização de centros supridores de clientes e respectivas áreas de influência, minimizando custos ou maximizando o lucro, respeitadas restrições operacionais;

Ü Necessário o uso de técnicas e ferramentas sofisticadas para a solução dos modelos matemáticos;

Ü Avanço das tecnologias computacionais vem permitindo o desenvolvimento de

sistemas de fácil utilização pelo usuário leigo.

(3)

Aplicações Práticas de Sistemas de Informações Geográficas com Utilização de Ferramentas da Pesquisa Operacional

- RESOLVER PROBLEMAS DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS E LOCALIZA ÇÃO DE FACILIDADES - APRESENTA ÇÃO DE RESULTADOS EM UM AMBIENTE ESPACIAL

- GERAÇÃO DE RELATÓ RIOS COM DADOS RELEVANTES

APRESENTA ÇÃO DE ROTAS DE ENTREGAS LOCALIZA ÇÃO DE HOSPITAIS E APRESENTA ÇÃO DE ÁREAS DE

INFLUÊNCIA

BASE DE DADOS BASE DE DADOS GEOREDES GEOREDES

MODELOS DE

LOCALIZAÇÃO MODELOS DE ROTEAMENTO

A u t o r e s I n s t i t u i ç ã o E n d e r e ç o E - m a i l W e b L i n k

R O G E R I O P E S S E C A S N A V A M R J - E d 8 - C E P : 2 0 0 9 1 - 0 0 0

p e s s e @ c a s n a v . m a r . m i l . b r h t t p : / / w w w . m a r . m i l . b r / ~ c a s n a v / c a s n a v . h t m R O B E R T O D .

G A L V Ã O C O P P E - U F R J

C x . P : 6 8 5 0 7 / C E P : 2 1 9 4 5 - 9 7 0

g a l v a o @ p e p . u f r j . b r h t t p : / / w w w . p o . u f r j . b r / p r o j e t o /

Localização de Facilidades

Conceitos Básicos Conceitos Básicos ØØO GeoRedesO GeoRedesutilizautilizaténicas ténicas de otimização de otimização

para resolver e apresentar soluções para para resolver e apresentar soluções para problemas

problemas de localização emde localização emum ambiente um ambiente SIG.

SIG.

ØØSistemaSistemaaberto que pode ser customizado aberto que pode ser customizado pelo cliente de acordo com suas pelo cliente de acordo com suas necessidades.

necessidades.

Algoritmos para solução de problemas de localização Algoritmos para solução de problemas de localização Ø

Ø O sistema pode solucionar problemas de:O sistema pode solucionar problemas de:

Ø

ØLocalização não-Localização não-capacitada (Galvãocapacitada (Galvão&&RaggiRaggi, , 1989),

1989),que utiliza:que utiliza:

ØØMétodo das 3Método das 3--fases:fases:

ØØAlgoritmoAlgoritmoPrimal-Primal-dual;dual;

ØØOtimização Otimização por por subgradiente;subgradiente;

ØØBranchBranch--andand--bound.bound.

Ø

ØLocalização Hierárquica em 3-Localização Hierárquica em 3-Níveis (Galvão, Níveis (Galvão, Espejo

Espejo & Boffey& Boffey, , 2000).2000).

Modelo de Localização Hierárquica em 3 Modelo de Localização Hierárquica em 3--NíveisNíveis

Ø

Ø Localização de Localização de unidadesunidadesperinatais perinatais no Município do no Município do Rio de Janeiro utilizando dados reais do Rio de Janeiro utilizando dados reais do Censo de Censo de 1995.

1995.

Ø

Ø Objetivo:Objetivo:auxiliarauxiliaras autoridades de saúde na as autoridades de saúde na redução

redução dadamortalidade infantil no município.mortalidade infantil no município.

Ø

Ø 33níveis de facilidades são níveis de facilidades são localizadaslocalizadaspelo modelo:pelo modelo:

ØØUnidades Unidades Básicas;Básicas;

ØØMaternidades;Maternidades;

ØØCentros de Centros de Neonatologia.Neonatologia.

Modelos de localização de facilidades Modelos de localização de facilidades

Ø

ØLocalização de Localização de escolas.escolas.

Ø

ØObjetivo:Objetivo:minimizarminimizara distância média percorrida a distância média percorrida pelos

pelos alunos até as alunos até as escolas.escolas.

Localização de

Localização de Unidades Básicas de Saúde, Unidades Básicas de Saúde, Maternidades e Centros

Maternidades e CentrosNeonataisNeonatais

Exemplo do uso de Modelo Localização Hierárquica Exemplo do uso de Modelo Localização Hierárquica

em 3

em 3--níveis no Município do Rio de Janeironíveis no Município do Rio de Janeiro Localização de Facilidades

Localização de Facilidades Perinatais Perinatais no no Município do Rio de Janeiro Município do Rio de Janeiro

Saída de Saída de RelatórioRelatório

(4)

Exemplos de Modelos Normativos

l MODELOS MINISOMA

Ü Minimizam distância total percorrida no sistema de distribuição (Custo médio de entrega)

l MODELOS MINIMAX

Ü Minimizam custo de entrega a clientes de localização menos favorecida

l MODELOS DE COBERTURA (EMERGÊNCIA)

Ü Maximizam número de usuários que podem ser alcançados em tempo inferior a um valor crítico pré-determinado

Classificação dos problemas de localização

l Por força diretriz

Ü Fatores econômicos (custos): plantas e armazéns

Ü Receitas (lucro): varejistas

Ü Acessibilidade: serviços - hospitais, caixas automáticos, ...

l Pelo número de facilidades

Ü Facilidade única

Ü Múltiplas facilidades l Pelo espaço de soluções

Ü Contínuo: localização no plano

Ü Localização em redes l Pelo horizonte de tempo

Ü Estático

Ü Dinâmico

l Por função objetivo

Ü Problemas minisoma

Ü Problemas minimax

Ü Problemas de recobrimento

(5)

Técnicas de solução

l Métodos Exatos (Soluções Ótimas)

Ü Programação Linear (PL)

Ü Programação Inteira (PI)

Ü Métodos para a solução de problemas de otimização combinatória l Métodos Heurísticos (Soluções Aproximadas)

Ü Métodos apropriados a problemas específicos

Ü Métodos análogos a processos físicos/da natureza; Metaheurísticas:

Ü Simulated Annealing, Algoritmos Genéticos; Busca Tabu; Busca Dispersa

Ferramentas utilizadas

l “Pacotes” computacionais desenvolvidos para uso comercial:

Ü CPLEX, LINDO (Programação Linear, Inteira, Quadrática)

Ü MINOS (Programação Não-Linear)

l Códigos computacionais desenvolvidos para problemas específicos

Ü Desenvolvidos em universidades e centros de pesquisa

Ü Desenvolvidos em empresas de grande porte

l Centro

Ü Centros de emergência - MIN -MAX

Problemas simples de localização

l Anticentro

Ü Atividades indesejáveis - MAX-MIN l Mediana

Ü Centros de distribuição - MIN - SOMA

1 2 3 4 5 6 7 8 ^{Min +} ^{Max +} S+

1 ⁰ ¹⁸ ⁴⁵ ²⁷ ⁸¹ ⁵⁴ ³⁶ ⁹⁰ ¹⁸ ^{90 351} 2 ⁴² ⁰ ²¹ ⁴⁹ ³⁵ ²⁸ ¹⁴ ⁵⁶ ¹⁴ ^{56 245} 3 15 35 0 50 20 25 55 30 15 55 230 4 32 64 40 0 16 56 24 48 16 64 280 5 30 42 54 18 0 24 48 36 18 54 252 6 ²⁴ ⁴⁴ ³⁶ ⁴⁸ ³² ⁰ ⁵⁶ ²⁸ ²⁴ ^{56 268} 7 ²¹ ³⁶ ⁴⁸ ⁷² ⁴² ⁵⁷ ⁰ ²⁴ ²¹ ^{72 300} 8 96 48 88 72 40 80 64 0 40 96 488

Min

+ 15 18 21 18 16 24 14 24

Max

- 96 64 88 72 81 80 64 90

S- 260 287 332 336 266 324 297 312

(6)

Modelos de localização MiniMax - Problema dos P -centros

l Problema dos P-centros: minimizar a distância máxima do cliente (mais desfavorecido ) a um dos p-centros.

l Problema inverso (Cobertura):

achar o menor número de centros e sua localização de tal modo que todos os clientes estejam

localizados a uma distância menor que uma distância crítica - pré- estabelecida de pelo menos um dos centros.

l Aplicações práticas: centros de atendimento de emergência

( )

{ }

( ^S ^j ) ^{ ^d ^{( )} ⁱ ^j ^}

d

p S

j S d v

Min Max Min

p p

S i p

p

p j J

j S

, ,

onde

,

∈

=

 



 



6 6 4

8 2

2 Modelos de localização MiniSoma

l Modelo de custo do transporte x Volume x Distância (TVD)

l Modelo do centro de gravidade

Depósito Localidade Transporte Volume Distância TVD

1 10 2 30 600

A 2 12 4 22 1056

3 10 5 9 450

Soma 2106

B 1 10 2 25 500

2 12 4 26 1248

3 10 5 7 350

Soma 2098

Análogo Mecânico

(7)

Método do centro de gravidade - MCG

Direção Localidade Transporte Volume Distância TDV

A 5 10 73 3650

X B 8 2 95 1520

C 4 8 118 3776

Soma 8946/98 = 91,3

A 5 10 22 1100

Y B 8 2 41 656

C 4 8 84 2688

Soma 4444/98 = 45,3

W C

B

A

1 1 8 9 5

7 3 8 4

4 1

2 2

MCG - Facilidade única

( ) ( )

( ^, ^fator ) ^coordenada ^de ^escala ^s ^dos ^pontos ^de ^demanda

/ / /

/

facilidade a

até i ponto do distância

i ponto no volume

i ponto o para e transport de

taxa

e transport de

total custo onde

2 2

−

− +

−

=

∑ ∑ ∑ ∑

∑

i i

i

i i i i

i i i i i

i i i i

i i i i i

i i i

i i i i

y x K

Y y X x K d

d V T

d y V Y T

d V T

d x V T X

d V T CT

d

V

T

CT

Min

(8)

l Processo de Solução

1. Determine as coordenadas (x,y) para os pontos de demanda, bem como os volumes e taxas;

2. Obtenha uma solução inicial aproximada pela fórmula do centro de gravidade, omitindo o termo da distância;

3. Usando a solução obtida no passo 2 calcule as distâncias di ; 4. Com as distâncias di calculadas recalcule as coordenadas do centro.

5. Repita os passos 3 e 4 até que as coordenadas do centro não se alterem (significativamente)

6. Calcule o custo total para o melhor centro.

∑ ∑ ∑ ∑

=

i i i

i i i i

i i i

i i i i

V T

y V Y T

V T

x V X T

0 0

MCG - Facilidade única

MCG - Facilidade única - Exemplo

Ponto Vi Ti Xi Yi

1 2000 0.05 3 8

2 3000 0.05 8 2

3 2500 0.075 2 5

4 1000 0.075 6 4

5 1500 0.075 8 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 X

Y

Ponto Vi Ti Xi Yi ViTi ViTiXi ViTiYi

1 2000 0.05 3 8

2 3000 0.05 8 2

3 2500 0.075 2 5 4 1000 0.075 6 4 5 1500 0.075 8 8

ViTi ViTiXi ViTiYi di ViTi/di ViTiXi/di ViTiYi/di ViTidi 100,0 300,0 800,0

150,0 1200,0 300,0 187,5 375,0 937,5 75,0 450,0 300,0 112,5 900,0 900,0 625,00 3225,00 3237,35

5,16 5,18

(9)

MCG - Facilidade única – Hipóteses (Limitações)

l Os volumes demandados são assumidos como concentrados em um único ponto, enquanto na realidade eles estão dispersos em uma grade área. O centro de gravidade da área de mercado é assumido como ponto de demanda, podendo levar a erros no custo de transporte para os pontos reais de demanda.

l O modelo de centro de gravidade encontra a localização do centro baseando- se nos custos variáveis. No modelo não é feita distinção entre diferentes custos de instalação, ou mesmo de operação dos armazéns em diferentes regiões.

l Os custos de transporte são considerados lineares com a distância e com o volume transportados, entretanto as taxas reais de transporte nem sempre são lineares

l O modelo considera rotas diretas e em linha reta entre o centro e os pontos de demanda. Isto é raramente verdadeiro, uma vez que não leva em conta o sistema viário existente. O fator de proporcionalidade (K) é usado para aproximar distâncias em linha reta para distâncias em estradas ou ruas.

Múltiplas facilidades

l Definição do Problema

Ü Dados:

ü O conjunto de clientes a serem atendidos,

ü O conjunto de localizações possíveis para os depósitos,

ü As capacidades dos depósitos, ü A demanda dos clientes,

ü Os custos de instalação e alocação

Cliente

Depósito Fechado

Depósito Aberto l Obter:

Ü Quantos depósitos usar ?

Ü Onde localizá-los ?

Ü Quais clientes alocar a cada depósito?

(10)

MCG - M últiplas facilidades

i facilidade

pela servido e' j cliente o s e 1 Z

i facilidade a

até j cliente do distância d

j cliente do volume V

j cliente do para e transport de

taxa T

e transport de

total custo CT

: onde

ij ij j j

=

( )

( ^x ^x i ^, ^, ^y ^y i ) ^coordenada ^coordenada ^s ^s ^das ^dos ^facilidade ^pontos ^de ^s ^demanda

j j

−

escala de fator

−

( ) ( ² ) ² K /

/ /

/

j i j

i ij

j j j ij ij

j j j j ij ij

i

j j j ij ij

j j j j ij ij

i

y y x

x K d

d Z V T

d Z y V T y

d Z V T

d Z x V T x

− +

−

=

∑ ∑ ∑

∑

∑∑

=

i j

ij ij j

j V d Z

T CT

Min

MCG - M últiplas facilidades

l Método de localização - alocação adaptativo

1. Determine as coordenadas (x,y) para os pontos de demanda, bem como os volumes e taxas;

2. Escolha uma posição inicial para cada facilidade (solução inicial);

3. Usando a solução inicial calcule as distâncias dij;

4. Aloque cada cliente ao depósito mais próximo e calcule o custo total inicial;

5. Com as distâncias dij calculadas re-calcule as coordenadas das facilidades;

6. Re-calcule as distâncias dij, re-aloque cada cliente ao depósito mais próximo e re-calcule o custo total;

7. Repita os passos 5-6 até que o custo total não se altere significativamente e guarde esta solução;

8. Escolha nova posi ção inicial para cada facilidade e repita os passos 3-7 um número de vezes pré-determinado.

9. Escolha a melhor das soluções encontradas.

(11)

MCG - M últiplas facilidades

l O método converge para ótimos locais (à medida que cresce o número de depósitos cresce também o número de ótimos locais).

l Atualmente não existe método eficiente para garantir que o ótimo global foi alcançado. Para cada tentativa, com solução inicial diferente, um ótimo local é obtido. Testes disponibilizados na literatura indicam que uma boa solução inicial geralmente leva a boas soluções finais (tanto mais efetivo quanto maior o número de depósitos) .

l A função custo é achatada perto do ótimo; o método portanto leva a resultados robustos.

l Extensões:

Ü Inclusão de custos de transporte da fábrica para os depósitos, ü Lineares,

ü Lineares por trecho,

ü Independentes da distância, (dependentes do distrito no qual o depósito está localizado)

Ü Inclusão de custos operacionais dos depósitos (dependentes da localização)

MCG - M ú

ltiplas facilidades

Fábrica - Depósito D e p ó s i t o - C l i e n t e Pontos de Localização

0,75

R$ R$ 1,00 D e p ó s i t o 1 Depósito 2 Depósito 3

C u s t o T O T A L X Y X Y X Y

341,8275

R $ 5,68 4,56 1,57 4,67 1,99 0,84

D i s t â n c i a à F á b r i c a 7,29 4,93 2,16 A l o c a ç ã o d o s C l i e n t e s

Cliente X Y C u s t o Distância

D e p . / C l i e n t e C u s t o D i s t â n c i a

D e p . / C l i e n t e C u s t o D i s t â n c i a D e p . / C l i e n t e

Depósito A l o c a d o (δij) M e n o r

Custo

1 1,33 8,89 R$ 1 1 , 6 0 6,14 R $ 7,92 4,23 R $ 9,69 8,08 2 R $ 7,92

2 1,89 0,77 R$ 1 0 , 8 3 5,36 R $ 7,61 3,91 R $ 1,74 0,12 3 R $ 1,74

3 9,27 1,49 R$ 1 0 , 1 9 4,73 R $ 1 2 , 0 3 8,33 R $ 8,93 7,31 3 R $ 8,93

4 9,46 9,36 R$ 1 1 , 5 7 6,11 R $ 1 2 , 8 8 9,18 R $ 1 2 , 9 5 1 1 , 3 3 1 R $ 1 1 , 5 7

5 9,20 8,69 R$ 1 0 , 8 9 5,42 R $ 1 2 , 3 2 8,63 R $ 1 2 , 2 8 1 0 , 6 6 1 R $ 1 0 , 8 9

6 7,43 1,61 R$ 8,90 3,43 R $ 1 0 , 3 1 6,61 R $ 7,12 5,50 3 R $ 7,12

7 6,08 1,34 R$ 8,71 3,25 R $ 9,30 5,61 R $ 5,74 4,12 3 R $ 5,74

8 5,57 4,60 R$ 5,58 0,12 R $ 7,70 4,00 R $ 6,81 5,19 1 R $ 5,58

9 6,70 2,77 R$ 7,53 2,06 R $ 9,17 5,47 R $ 6,71 5,09 3 R $ 6,71

1 0 8,99 2,45 R$ 9,39 3,93 R $ 1 1 , 4 4 7,75 R $ 8,80 7,19 3 R $ 8,80

1 1 8,93 7,00 R$ 9,53 4,06 R $ 1 1 , 4 2 7,72 R $ 1 0 , 9 0 9,28 1 R $ 9,53

1 2 8,60 0,53 R$ 1 0 , 4 4 4,98 R $ 1 1 , 8 5 8,16 R $ 8,24 6,62 3 R $ 8,24

1 3 4,01 0,31 R$ 1 0 , 0 4 4,57 R $ 8,69 5,00 R $ 3,71 2,09 3 R $ 3,71

1 4 3,34 4,01 R$ 7,87 2,41 R $ 5,59 1,89 R $ 5,06 3,45 3 R $ 5,06

1 5 6,75 5,57 R$ 6,93 1,47 R $ 8,95 5,26 R $ 8,33 6,71 1 R $ 6,93

1 6 7,36 4,03 R$ 7,23 1,76 R $ 9,52 5,83 R $ 7,87 6,25 1 R $ 7,23

1 7 1,24 6,69 R$ 1 0 , 3 9 4,92 R $ 5,74 2,05 R $ 7,51 5,90 2 R $ 5,74

1 8 3,13 1,92 R$ 9,14 3,67 R $ 6,86 3,16 R $ 3,19 1,57 3 R $ 3,19

1 9 8,86 8,74 R$ 1 0 , 7 1 5,25 R $ 1 2 , 0 5 8,35 R $ 1 2 , 0 9 1 0 , 4 7 1 R $ 1 0 , 7 1

2 0 4,18 3,74 R$ 7,18 1,71 R $ 6,47 2,77 R $ 5,25 3,64 3 R $ 5,25

2 1 2,22 4,35 R$ 8,93 3,47 R $ 4,42 0,73 R $ 5,13 3,52 2 R $ 4,42

2 2 0,88 7,02 R$ 1 0 , 8 6 5,39 R $ 6,14 2,45 R $ 7,90 6,28 2 R $ 6,14

2 3 8,53 7,04 R$ 9,24 3,77 R $ 1 1 , 0 5 7,35 R $ 1 0 , 6 3 9,01 1 R $ 9,24

2 4 6,49 6,22 R$ 7,31 1,84 R $ 8,85 5,16 R $ 8,63 7,02 1 R $ 7,31

2 5 4,53 7,87 R$ 8,97 3,50 R $ 8,06 4,36 R $ 9,09 7,47 2 R $ 8,06

2 6 4,46 7,91 R$ 9,03 3,56 R $ 8,04 4,34 R $ 9,11 7,49 2 R $ 8,04

2 7 2,83 9,88 R$ 1 1 , 5 0 6,03 R $ 9,06 5,36 R $ 1 0 , 7 0 9,08 2 R $ 9,06

2 8 3,39 5,65 R$ 8,00 2,54 R $ 5,76 2,07 R $ 6,63 5,01 2 R $ 5,76

2 9 0,75 4,98 R$ 1 0 , 4 1 4,95 R $ 4,57 0,87 R $ 5,94 4,32 2 R $ 4,57

3 0 7,55 5,79 R$ 7,70 2,23 R $ 9,78 6,09 R $ 9,06 7,45 1 R $ 7,70

3 1 8,45 0,69 R$ 1 0 , 2 3 4,76 R $ 1 1 , 6 4 7,95 R $ 8,08 6,47 3 R $ 8,08

3 2 3,33 5,78 R$ 8,11 2,65 R $ 5,78 2,08 R $ 6,74 5,12 2 R $ 5,78

3 3 6,27 3,66 R$ 6,54 1,08 R $ 8,50 4,81 R $ 6,75 5,13 1 R $ 6,54

3 4 7,31 1,61 R$ 8,84 3,37 R $ 1 0 , 2 0 6,51 R $ 7,00 5,38 3 R $ 7,00

3 5 6,37 7,02 R$ 8,02 2,55 R $ 9,04 5,35 R $ 9,19 7,58 1 R $ 8,02

3 6 7,23 7,05 R$ 8,39 2,93 R $ 9,84 6,14 R $ 9,74 8,13 1 R $ 8,39

3 7 1,68 6,45 R$ 9,89 4,42 R $ 5,48 1,78 R $ 7,24 5,62 2 R $ 5,48

3 8 3,54 7,06 R$ 8,75 3,29 R $ 6,79 3,10 R $ 8,03 6,41 2 R $ 6,79

3 9 7,67 4,17 R$ 7,49 2,03 R $ 9,82 6,12 R $ 8,20 6,59 1 R $ 7,49

4 0 2,20 1,12 R$ 1 0 , 3 6 4,90 R $ 7,30 3,61 R $ 1,97 0,35 3 R $ 1,97

4 1 3,57 1,99 R$ 8,80 3,33 R $ 7,04 3,35 R $ 3,57 1,96 3 R $ 3,57

4 2 7,34 1,38 R$ 9,06 3,59 R $ 1 0 , 3 4 6,64 R $ 7,00 5,38 3 R $ 7,00

4 3 6,58 4,49 R$ 6,37 0,90 R $ 8,71 5,02 R $ 7,48 5,87 1 R $ 6,37

4 4 5,00 9,00 R$ 9,95 4,49 R $ 9,22 5,53 R $ 1 0 , 3 2 8,70 2 R $ 9,22

4 5 6,63 5,23 R$ 6,62 1,16 R $ 8,79 5,09 R $ 8,01 6,39 1 R $ 6,62

4 6 5,89 8,06 R$ 8,97 3,50 R $ 9,19 5,49 R $ 9,82 8,21 1 R $ 8,97

4 7 1,13 5,25 R$ 1 0 , 0 7 4,60 R $ 4,42 0,73 R $ 6,11 4,49 2 R $ 4,42

4 8 1,90 8,35 R$ 1 0 , 8 2 5,35 R $ 7,39 3,70 R $ 9,13 7,51 2 R $ 7,39

4 9 1,74 1,37 R$ 1 0 , 5 4 5,07 R $ 7,00 3,30 R $ 2,20 0,58 3 R $ 2,20

5 0 9,39 6,44 R$ 9,62 4,16 R $ 1 1 , 7 1 8,02 R $ 1 0 , 9 0 9,28 1 R $ 9,62

(12)

MCG - M últiplas facilidades

Localização no Plano

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 EIXO X

EIXO Y

Clientes 1 depósito 3 depósitos 4 depósitos

Múltiplas facilidades – Problema das p-medianas

l Encontrar a localização de p facilidades em uma rede de modo que o custo total seja minimizado. O custo de servir a demanda do cliente localizado no nó i é dado pelo produto da demanda do cliente i pela distância entre o nó i e a facilidade mais próxima a ele.

l Teorema (Hakimi, 1965): Pelo menos uma das soluções ótimas do problema das p-medianas consiste em localizar as p facilidades sobre os nós da rede.

{ ^0,1 } ⁱ ⁼ ^1, ^..., ^n; ^j ⁼ ^1, ^... ^, ^m.

,

m , ...

1,

= j n;

..., 1,

= i , 0

,

n , ...

1,

= i

, 1

:

1 1

∈

≤

−

=

∑

∑ ∑

=

= =

j ij

m

j j m

j ij

n

i m

j

ij ij i

y x

P y

x

a sujeito

x d h Z

Minimizar

(13)

Múltiplas facilidades – Problema das p-medianas

l Algoritmo guloso

Localize: primeira facilidade na localização ótima da 1-mediana

Localize: próxima facilidade na localização ótima da 1-mediana (mantendo a localização das anteriores fixa)

Melhoria : Use um algoritmo de melhoramento (substituição de vértices, ou busca na vizinhança)

Foram localizadas as P facilidades ?

Sim

Não

P-Medianas: Exemplo

(14)

P-Medianas: Exemplo

P -Medianas: Exemplo

(15)

P-Medianas: Exemplo

(16)

Múltiplas facilidades - Problema de localização capacitada

l Formulação de Programação Matemática

{ } ^0,1 ⁱ ⁼ ^1, ^..., ^n; ^j ⁼ ^1, ^... ^, ^m.

,

m , ...

1,

= j n;

..., 1,

= i ,

0 m , ...

1,

= j ,

n , ...

1,

= i

, 1

:

1 1

1 1 1

∈

≤

−

≤

=

+

=

∑

∑ ∑

=

= =

j ij

j n

i

ij i m

j

ij

m

j

j j n

i m

j

ij ij

y x

b x

a x

a sujeito

y v x

c Z

Minimizar

Problema de localização de varejistas / serviços

l Fatores importantes

Ü Dados demográficos

ü População base na área local ü Renda potencial na área

Ü Acessibilidade e fluxo de tráfego ü Número e tipo de veículos ü Número e tipo de pedestres

ü Disponibilidade de transporte de massa ü Acesso a vias principais

ü Nível de congestionamento ü Qualidade das vias de acesso

Ü Estrutura do varejo

ü Número e porte dos competidores na área ü Número e tipo de lojas da área

ü Complementaridade das lojas da vizinhança ü Proximidade de áreas comerciais

ü Promoções conjuntas de comerciantes locais

(17)

Problema de localização de varejistas / serviços

l Fatores importantes

Ü Características locais

ü Número de vagas de estacionamento ü Distância das áreas de estacionamento ü Visibilidade

ü Tamanho e forma do terreno ü Condições das edificações

Ü Fatores legais e de custo ü Tipo de zoneamento ü Taxas locais ü Custos de aluguel

ü Custos de operação e manutenção ü Cláusulas restritivas no contrato ü Regulamentos locais

Problema de localização de varejistas / serviços

l Modelo dos Fatores Ponderados

P e s o F a t o r N o t a

N o t a p o n d e r a d a

8 p r o x i m i d a d e c o m p e t i d o r e s 5 4 0

5 á r e a d e v e n d a s 3 1 5

8 n ú m e r o d e v a g a s 1 0 8 0

7 p r o x i m i d a d e c o m p l e m e n t a r e s 8 5 6

6 m o d e r n i d a d e 9 5 4

9 f a c i l i d a d e d e a c e s s o 8 7 2

3 t a x a s l o c a i s 2 6

3 s e r v i ç o s c o m u n i t á r i o s 4 1 2

8 v i s i b i l i d a d e 7 5 6

Í n d i c e t o t a l 3 9 1

(18)

Exemplo de problema de localização

l Uma ONG de atendimento médico internacional quer localizar clínicas para atendimento diário (pacientes não-internados) em uma área rural da África. Os custos de construção e outras considerações de caráter médico sugerem que devem ser construídas uma ou mais clínicas. Dado que os deslocamentos são difíceis para os pacientes nesta região, a proximidade determina a escolha da clínica pelo paciente. Consequentemente, o fator preponderante para a localização da(s) clínica(s) tem por base a distância total ponderada (número de pacientes vezes distância da clínica) viajada em uma base anual pelos pacientes. A Figura 1 mostra a localização dos povoados a serem servidos pela(s) clínica(s) e o número anual estimado de pacientes que buscarão atendimento na(s) clínica(s).

Estima -se que o custo de deslocamento de um paciente é de aproximadamente R$ 0,75 por km (note que após o atendimento o paciente tem que retornar ao seu povoado). Esta estimativa está baseada em tempo de trabalho perdido, custos diretos de viagem e outros custos indiretos.

a) Qual a melhor localização para uma única clínica?

b) Se for decidido localizar 2 clínicas, qual a melhor localização para as mesmas? Esta localização corresponde ao ótimo matemático? (Justifique)

c) Uma clínica custa aproximadamente R$ 500.000,00 por ano em termos de custos de equipamentos e pessoal. Este total é pago com fundos da ONG e subsídios governamentais. Em termos puramente econômicos, justifica-se a construção de uma segunda clínica? A partir de que custo de deslocamento a construção de uma segunda clínica se justifica? (Mostre as memórias de cálculo em que se baseiam suas respostas)