Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: ´Algebra Linear II
Prof. Anna Regina Corbo
1. Espa¸co Vetorial: chamamos de Espa¸co Vetorial qualquer estrutura matem´atica que satisfa¸ca 8 axiomas como: associatividade, comutatividade, existˆencia de elemento neutro na adi¸c˜ao, elemento sim´etrico, distributividade e elemento neutro na multiplica¸c˜ao.
Os elementos de um espa¸co vetorial s˜ao denominados vetores e os n´umeros reais de escalares.
2. Subespa¸co Vetorial: s˜ao subconjuntos de um Espa¸co Vetorial que funcionam de maneira autˆonoma. Algebricamente, isto significa que se H ´e um subespa¸co ent˜ao:
1) O elemento neutro do espa¸co de origem est´a contido no subespa¸co H.
2) Se u e v est˜ao em H ent˜aou+v est´a em H, isto ´e, ao somar vetores deste conjunto, o vetor resultado permanece no conjunto.
3) Seu ´e um vetor de H, ent˜ao todo m´ultiplo de uest´a em H.
3. Combina¸c˜ao Linear: Geometricamente, uma combina¸c˜ao linear ´e o modo de descrever um vetor qualquer v ∈ V como o resultado ´unico de uma soma de m´ultiplos de outros vetores.
De modo mais rigoroso, considere os vetores v1, v2,· · · , vn de um espa¸co vetorial V. Um vetor v ∈ V est´a escrito como combina¸c˜ao linear dos vetores acima quando existem k1, k2,· · · , kn tais que k1·v1+k2·v2+· · ·+kn·vn.
Ex: O vetor (-1, -1) ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores (1,2) e (3,5), pois:
(−1,−1) = 2·(1,2) + (−1)·(3,5)
Dado um conjunto de vetores, o conjunto de TODAS as combina¸c˜oes lineares destes vetores forma um subespa¸co vetorial de V, denominado Subespa¸co Vetorial Gerado. Observe que existem infinitas possibilidades de combina¸c˜oes lineares para um qualquer conjunto fixo de vetores.
4. Vetores Linearmente Independentes (LI): um conjunto ´e dito Linearmente Independente (LI) quando a ´unica forma de se chegar ao elemento neutro 0V do espa¸co vetorial V via com- bina¸c˜ao linear ´e multiplicando todos os vetores envolvidos por 0.
Algebricamente, dado um conjunto de vetores v1, v2,· · · , vn em V dizemos que eles s˜ao LI quando k1·v1+k2·v2+· · ·+kn·vn= 0V se e somente sek1 =k2 =· · ·=kn= 0.
Ex: O conjunto de vetores {(1,3),(4,2)} ´e LI pois a ´unica maneira de se obter (0,0) ´e fazendo 0·(1,3) + 0·(4,2) = (0,0).
5. Vetores Linearmente Dependentes (LD): um conjunto ´e dito Linearmente Dependente (LD) quando existe pelo menos um vetor que N ˜AO precisa ser multiplicado por zero para que a combina¸c˜ao linear chegue no elemento neutro 0V do espa¸co vetorialV.
Ex: O conjunto de vetores{(1,3),(2,6)} ´e LD pois 2·(1,3) + (−1)·(2,6) = (0,0).
6. EXERC´ICIO:
1. Seja W ⊆R4 o conjunto de todos os vetores da forma {(s+ 3t, s−t,2s−t,4t)} onde s, t∈R.
a) Mostre que W ´e um subespa¸co de R4.
b) Existe interpreta¸c˜ao geom´etrica para este subespa¸co? Em caso positivo, qual?
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