Roberto Guena de Oliveira
21 de março de 2019
Função de utilidade indireta
Funções dispêndio e demanda compensada
Medidas de variação de bem estar
Exercícios
Equação de Slutsky
Função de utilidade indireta
Funções dispêndio e demanda compensada Medidas de variação de bem estar
Exercícios
Equação de Slutsky
A função de utilidade indireta (V) é definida por
V(p, m) = U(x(p, m))
U(x
1, x
2) = x
a1x
b2Função de demanda:
(x
∗1(p
1, p
2, m), x
∗2(p
1, p
2, m)) = a
a + b m p
1, b
a + b m p
2U(x
1, x
2) = x
a1x
b2Função de demanda:
(x
∗1(p
1, p
2, m), x
∗2(p
1, p
2, m)) = a
a + b m p
1, b
a + b m p
2Função de utilidade indireta:
V(p
1, p
2, m) = a
a + b m p
1 ab a + b
m p
2 bU(x
1, x
2) = x
a1x
b2Função de demanda:
(x
∗1(p
1, p
2, m), x
∗2(p
1, p
2, m)) = a
a + b m p
1, b
a + b m p
2Função de utilidade indireta:
V(p
1, p
2, m) = a
a + b m p
1 ab a + b
m p
2 ba
ab
b m
a+bU(x
1, x
2) = ax
1+ x
2U(x
1, x
2) = ax
1+ x
2Função de demanda:
x
∗(p
1, p
2, m) =
¦
mp1
, 0 © caso p
1< ap
2(x
1, x
2) : p
1x
1+ p
2x
2= m caso p
1= ap
2¦ 0,
pm2
© caso p
1> ap
2U(x
1, x
2) = ax
1+ x
2Função de demanda:
x
∗(p
1, p
2, m) =
¦
mp1
, 0 © caso p
1< ap
2(x
1, x
2) : p
1x
1+ p
2x
2= m caso p
1= ap
2¦ 0,
pm2
© caso p
1> ap
2Função de utilidade indireta:
V (p
1, p
2, m) =
a
pm1
caso p
1< ap
2U(x
1, x
2) = ax
1+ x
2Função de demanda:
x
∗(p
1, p
2, m) =
¦
mp1
, 0 © caso p
1< ap
2(x
1, x
2) : p
1x
1+ p
2x
2= m caso p
1= ap
2¦ 0,
pm2
© caso p
1> ap
2Função de utilidade indireta:
V (p
1, p
2, m) =
a
pm1
caso p
1< ap
2a
pm1
=
pm2
caso p
1= ap
2U(x
1, x
2) = ax
1+ x
2Função de demanda:
x
∗(p
1, p
2, m) =
¦
mp1
, 0 © caso p
1< ap
2(x
1, x
2) : p
1x
1+ p
2x
2= m caso p
1= ap
2¦ 0,
pm2
© caso p
1> ap
2Função de utilidade indireta:
V (p
1, p
2, m) =
a
pm1
caso p
1< ap
2a
pm1
=
pm2
caso p
1= ap
2U(x
1, x
2) = ax
1+ x
2Função de demanda:
x
∗(p
1, p
2, m) =
¦
mp1
, 0 © caso p
1< ap
2(x
1, x
2) : p
1x
1+ p
2x
2= m caso p
1= ap
2¦ 0,
pm2
© caso p
1> ap
2Função de utilidade indireta:
V (p
1, p
2, m) =
a
pm1
caso p
1< ap
2a
pm1
=
pm2
caso p
1= ap
2= am
min{p , ap } .
Função de utilidade:
U(x
1, x
2) = min{ax
1, x
2} Função de demanda:
x(p
1, p
2, m) =
m p
1+ ap
2, am
p
1+ ap
2Função de utilidade:
U(x
1, x
2) = min{ax
1, x
2} Função de demanda:
x(p
1, p
2, m) =
m p
1+ ap
2, am
p
1+ ap
2Função de utilidade indireta:
V(p
1, p
2, m) = min
a m
p
1+ ap
2, am p
1+ ap
2Função de utilidade:
U(x
1, x
2) = min{ax
1, x
2} Função de demanda:
x(p
1, p
2, m) =
m p
1+ ap
2, am
p
1+ ap
2Função de utilidade indireta:
V(p
1, p
2, m) = min
a m
p
1+ ap
2, am p
1+ ap
2= am
p
1+ ap
2.
• não decrescente em relação à renda;
• não decrescente em relação à renda;
• não crescente em relação aos preços;
• não decrescente em relação à renda;
• não crescente em relação aos preços;
• quase convexa: quaisquer p
0> 0, m
0> 0, p
1> 0, m
1> 0 e 0 < α < 1, se V(p
0, m
0) ≥ V(p
1, m
1), então
V αp
0+ (1 − α)p
1, αm
0+ (1 − α)m
1≤ V(p
0, m
0);
• não decrescente em relação à renda;
• não crescente em relação aos preços;
• quase convexa: quaisquer p
0> 0, m
0> 0, p
1> 0, m
1> 0 e 0 < α < 1, se V(p
0, m
0) ≥ V(p
1, m
1), então
V αp
0+ (1 − α)p
1, αm
0+ (1 − α)m
1≤ V(p
0, m
0);
• se ela for diferenciável,
x
∗(p, m) = −
∂V(p,m)
∂pi
(Identidade de Roy)
Considere p ˆ ≫ 0 e m ˆ quaisquer.
Considere p ˆ ≫ 0 e m ˆ quaisquer.
Denote x ˆ = x
∗( ˆ p, m) ˆ de sorte que V( ˆ p, m) = ˆ U(ˆ x).
Considere p ˆ ≫ 0 e m ˆ quaisquer.
Denote x ˆ = x
∗( ˆ p, m) ˆ de sorte que V( ˆ p, m) = ˆ U(ˆ x).
Para qualquer outro vetor de preços p ≫ 0, se a renda
for dada por m = p · x, ˆ V(p, p · x) ˆ ≥ U(ˆ x) = V ( ˆ p, m)). ˆ
Considere p ˆ ≫ 0 e m ˆ quaisquer.
Denote x ˆ = x
∗( ˆ p, m) ˆ de sorte que V( ˆ p, m) = ˆ U(ˆ x).
Para qualquer outro vetor de preços p ≫ 0, se a renda for dada por m = p · x, ˆ V(p, p · x) ˆ ≥ U(ˆ x) = V ( ˆ p, m)). ˆ Assim, p ˆ resolve o problema de minimizar V(p, m) dada a restrição m = p · x. ˆ
O lagrangeano desse problema é
L = V(p, m) − λ (p · x ˆ − m)
As condições de mínimo de primeira ordem devem ser verificadas para p = ˆ p:
∂
∂p
iL = 0 ⇒ ∂
∂p
iV( ˆ p, m) + λ ˆ x
i= 0, para i = 1, . . . , L e
∂
∂m
L = 0 ⇒ ∂
∂m V( ˆ p, m) − λ = 0 Combinando as duas, obtemos
x
∗( ˆ p, m) = ˆ ˆ x = −
∂V(ˆp,m)ˆ
∂pi
A condição de mínimo de segunda ordem também deve ser atendida em p = ˆ p.
Esta requer, que a função objetivo, V(p, m) seja localmete quase-convexa no ponto p, ˆ m. ˆ
Como esse resultado é válido para quaisquer p ˆ ≫ 0 e m > 0, a função de utilidade indireta é globalmente quase convexa.
Note que a quase convexidade da função de utilidade
indireta não depende de qualquer hipótese de
p
1m
b
p ˆ
1m ˆ
p
1m
b
p ˆ
1m ˆ
x ˆ
1= x
1(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ x ˆ
2= x
2(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
x ˆ
1= x
1(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ x ˆ
2= x
2(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2p ˆ
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
x ˆ
1= x
1(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ x ˆ
2= x
2(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2p ˆ
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
ˆ x
1x ˆ
1= x
1(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ x ˆ
2= x
2(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ
bc
V ( p
1, p ˆ
2, m ) = ˆ u
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2p ˆ
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
ˆ x
1x ˆ
1= x
1(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ x ˆ
2= x
2(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ
bc
V ( p
1, p ˆ
2, m ) = ˆ u
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2p ˆ
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
ˆ x
1x ˆ
1= x
1(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ x ˆ
2= x
2(ˆ p
1, p ˆ
2, m) ˆ
V(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+bV(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+b∂
∂p
1V(p
1, p
2, m) = − a a
ap
a+11b p
2 b m a + b
a+bV(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+b∂
∂p
1V(p
1, p
2, m) = − a a
ap
a+11b p
2 b m a + b
a+b∂
∂m V (p
1, p
2, m) = (a + b) a
p
1 ab p
2 bm
a+b−1(a + b)
a+bV(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+b∂
∂p
1V(p
1, p
2, m) = − a a
ap
a+11b p
2 b m a + b
a+b∂
∂m V (p
1, p
2, m) = (a + b) a
p
1 ab p
2 bm
a+b−1(a + b)
a+b−
∂
∂p1
∂
= a
a + m m
p = x
∗1(p
1, p
2, m)
V(p
1, p
2, m) = am
p
1+ ap
2V(p
1, p
2, m) = am p
1+ ap
2∂
∂p
1V(p
1, p
2, m) = − am
(p
1+ ap
2)
2V(p
1, p
2, m) = am p
1+ ap
2∂
∂p
1V(p
1, p
2, m) = − am (p
1+ ap
2)
2∂
∂m V(p
1, p
2, m) = a
p
1+ ap
2V(p
1, p
2, m) = am p
1+ ap
2∂
∂p
1V(p
1, p
2, m) = − am (p
1+ ap
2)
2∂
∂m V(p
1, p
2, m) = a p
1+ ap
2−
∂
∂p1
∂
∂m
= m
p
1+ ap
2= x
∗1(p
1, p
2, m)
Função de utilidade indireta
Funções dispêndio e demanda compensada
Medidas de variação de bem estar Exercícios
Equação de Slutsky
x para uma consumidora de modo a minimizar o custo com a aquisição dessa cesta,
p · x
atendendo a um requisito de utilidade mínima U(x) ≥ u ¯
e às condições de consumo não negativo,
x ≥ 0.
O lagrangeano do problema é
L = p · x − λ[U(x) − u] ¯ − X
Li=1
μ
ix
iAssumindo não saciedade local, as condições de 1 ª ordem implicam
U(x) = ¯ u e
λ = UMg
i+ μ
ip
i, i = 1, . . . , L
Caso na solução x
i, x
j> 0, UMg
ip
i= UMg
jp
j⇒ UMg
iUMg
j= p
ip
jCaso na solução x
i= 0 e x
j> 0, UMg
ip
i≤ UMg
jp
j⇒ UMg
iUMg
j≤ p
ip
jCurvas de isocusto x
2x
1Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
=
c
0Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
= c
0tan =−pp1 2
Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
= c
0tan =−pp1 2
p
1x
1
+ p
2x
2
=
c
1Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
= c
0tan =−pp1 2
p
1x
1
+ p
2x
2
= c
1p1x1 +p
2x 2=
c2
Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
= c
0tan =−pp1 2
p
1x
1
+ p
2x
2
= c
1p1x1 +p
2x 2=
c2
Solução x
2x
1Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
= c
0tan =−pp1 2
p
1x
1
+ p
2x
2
= c
1p1x1 +p
2x 2=
c2
Solução x
2x
1U(x
1, x
2) = ¯ u
Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
= c
0tan =−pp1 2
p
1x
1
+ p
2x
2
= c
1p1x1 +p
2x 2=
c2
Solução x
2x
1U(x
1, x
2) = ¯ u
b
h
1h
2Curvas de isocusto x
2x
1p
1x
1
+ p
2x
2
= c
0tan =−pp1 2
p
1x
1
+ p
2x
2
= c
1p1x1 +p
2x 2=
c2
Solução x
2x
1U(x
1, x
2) = ¯ u
b
h
1h
2| TMS | =
pp12
Sejam h
1(p, u), . . . , h
L(p, u) as funções que geram as quantidades ótimas de bens para o problema de
minimização de gastos. Elas são chamadas funções de demanda compensadas ou funções de demanda
hicksianas dos bens, 1, . . . , L.
A função h(p, u) = (h
1(p, u), . . . , h
L(p, u)) é denominada,
função de demanda compensada.
A função dispêndio, notada por e(p, u), é a função que
determina o gasto ótimo associado ao problema de
minimização de gasto. Ela é definida por
A função dispêndio, notada por e(p, u), é a função que determina o gasto ótimo associado ao problema de minimização de gasto. Ela é definida por
e(p, u) = p · h(p, u)
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1p
01m
0x
01b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1p
01m
0x
01b b
p
01m
0 bx
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1p
01m
0x
01b b
p
01m
0 bb
p
01x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
p
11b
m
1x
11b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
p
11b
m
1x
11b
p
11m
1 bb
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
p
11b
m
1x
11b
p
11m
1 bb
b
p
11x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b b b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb b b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb bb b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb
b b
b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb bb b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb bb b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb bb b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
b bb b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
bbb b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
bbb b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
bbb b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
bb b b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1b
bb b b
b b
b
b
x
1u(x
1, x
2) = u
∗p
1p
1p
01m
0x
01b
p
11b
m
1x
11b b
p
01m
0 bbp
11m
1 bb
p
01h (p , 1, u
∗)
b
b
p
11 bV(p, e(p, u)) = u
V(p, e(p, u)) = u
e(p, V(p, m)) = m
V(p, e(p, u)) = u
e(p, V(p, m)) = m
x
∗(p, e(p, u)) = h(p, u)
V(p, e(p, u)) = u
e(p, V(p, m)) = m
x
∗(p, e(p, u)) = h(p, u)
h(p, V(p, m)) = x(p, m)
V(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+bV(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+bFunção dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u
V(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+bFunção dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u a
p
1 ab p
2 be(p
1, p
2, u) a + b
a+b= u
V(p
1, p
2, m) = a
p
1 ab
p
2 b m a + b
a+bFunção dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u a
p
1 ab p
2 be(p
1, p
2, u) a + b
a+b= u e(p
1, p
2, u) = (a + b)u
a+b1 p
1
a+ba p
2
a+bbA função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
min{p
1, ap
2}
A função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
min{p
1, ap
2} Função dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u
A função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
min{p
1, ap
2} Função dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u ae(p
1, p
2, u)
min{p
1, ap
2} = u
A função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
min{p
1, ap
2} Função dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u ae(p
1, p
2, u)
min{p
1, ap
2} = u e(p
1, p
2, u) = u
a min{p
1, ap
2}.
A função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
p
1+ ap
2A função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
p
1+ ap
2Função dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u
A função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
p
1+ ap
2Função dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u ae(p
1, p
2, u)
p
1+ ap
2= u
A função de utilidade indireta V(p
1, p
2, m) = am
p
1+ ap
2Função dispêndio:
V(p
1, p
2, e(p
1, p
2, u)) = u ae(p
1, p
2, u)
p
1+ ap
2= u e(p
1, p
2, u) = u
a (p
1+ ap
2)
1. Não decrescente em relação aos preços.
1. Não decrescente em relação aos preços.
2. Homogênea de grau 1 em relação aos preços:
e(αp
1, αp
2, u) = αe(p
1, p
2, u), α > 0
1. Não decrescente em relação aos preços.
2. Homogênea de grau 1 em relação aos preços:
e(αp
1, αp
2, u) = αe(p
1, p
2, u), α > 0
3. Crescente em relação à utilidade.
1. Não decrescente em relação aos preços.
2. Homogênea de grau 1 em relação aos preços:
e(αp
1, αp
2, u) = αe(p
1, p
2, u), α > 0 3. Crescente em relação à utilidade.
4. Côncava em relação aos preços
1. Não decrescente em relação aos preços.
2. Homogênea de grau 1 em relação aos preços:
e(αp
1, αp
2, u) = αe(p
1, p
2, u), α > 0 3. Crescente em relação à utilidade.
4. Côncava em relação aos preços 5. Lema de Shephard:
∂e(p,u)∂p1
= h
i(p, u)
Para qualquer p, p · x ˆ ≥ e(p, u), ou seja, ˆ
g(p) = e(p, u) ˆ − p · x ˆ ≤ 0.
Para qualquer p, p · x ˆ ≥ e(p, u), ou seja, ˆ g(p) = e(p, u) ˆ − p · x ˆ ≤ 0.
Como g( ˆ p) = 0, então p ˆ maximiza g( ˆ p), portanto, deve valer a condição de 1 ª ordem
∂g( ˆ p)
∂p
i= 0
Para qualquer p, p · x ˆ ≥ e(p, u), ou seja, ˆ g(p) = e(p, u) ˆ − p · x ˆ ≤ 0.
Como g( ˆ p) = 0, então p ˆ maximiza g( ˆ p), portanto, deve valer a condição de 1 ª ordem
∂g( ˆ p)
∂p
i= 0 ⇒ ∂e( ˆ p)
∂p
i− x ˆ
i= 0
Para qualquer p, p · x ˆ ≥ e(p, u), ou seja, ˆ g(p) = e(p, u) ˆ − p · x ˆ ≤ 0.
Como g( ˆ p) = 0, então p ˆ maximiza g( ˆ p), portanto, deve valer a condição de 1 ª ordem
∂g( ˆ p)
∂p
i= 0 ⇒ ∂e( ˆ p)
∂p
i− x ˆ
i= 0 ⇒ ∂e( ˆ p)
∂p
i= ˆ x
iPara qualquer p, p · x ˆ ≥ e(p, u), ou seja, ˆ g(p) = e(p, u) ˆ − p · x ˆ ≤ 0.
Como g( ˆ p) = 0, então p ˆ maximiza g( ˆ p), portanto, deve valer a condição de 1 ª ordem
∂g( ˆ p)
∂p
i= 0 ⇒ ∂e( ˆ p)
∂p
i− x ˆ
i= 0 ⇒ ∂e( ˆ p)
∂p
i= ˆ x
i= h
i( ˆ p, u).
Para qualquer p, p · x ˆ ≥ e(p, u), ou seja, ˆ g(p) = e(p, u) ˆ − p · x ˆ ≤ 0.
Como g( ˆ p) = 0, então p ˆ maximiza g( ˆ p), portanto, deve valer a condição de 1 ª ordem
∂g( ˆ p)
∂p
i= 0 ⇒ ∂e( ˆ p)
∂p
i− x ˆ
i= 0 ⇒ ∂e( ˆ p)
∂p
i= ˆ x
i= h
i( ˆ p, u).
Também deve valer a condição de 2 ª ordem, o que
p
1m
b
p ˆ
1m ˆ
x ˆ
1= h
1(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ x ˆ
2= h
2(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ
p
1m
b
p ˆ
1m ˆ
x ˆ
1= h
1(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ x ˆ
2= h
2(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
x ˆ
1= h
1(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ x ˆ
2= h
2(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2p ˆ
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
x ˆ
1= h
1(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ x ˆ
2= h
2(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2p ˆ
2x ˆ
2b
p ˆ
1m ˆ
ˆ x
1x ˆ
1= h
1(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ x ˆ
2= h
2(ˆ p
1, p ˆ
2, u) ˆ
bc
h ( p
1, p ˆ
2, u ˆ )
p
1m
m = p
1x ˆ
1+ ˆ p
2x ˆ
2p ˆ
2x ˆ
2b
