AB, AC. 4 cm, 4 cm. 90 m, ABCD, 2 c) 15 3 d) 30 3 e) 90 3 TEOREMA MILITAR LISTA 12 LEI DOS SENOS E COSSENOS PROF. CESAR ANNUNCIATO.

(1)

1. (EsPCEx 2021) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4 cm, 4 cm e 6 cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a

a) 14.

b) 17.

c) 18.

d) 21.

e) 22.

2. (Ufrgs 2020) Na figura abaixo, tem-se um retângulo ABCD, de lados AB=3 e AD=5, e um triângulo equilátero BEC, construído sobre o lado BC.

A medida DE é a) 34 15 2.+ b) 34 15 3.− c) 7.

d) 19.

e) 34 15 3.+

3. (Ufjf-pism 2 2019) Um terreno plano, em forma de quadrilátero ABCD, possui um de seus lados medindo 90 m, os lados AB e CD paralelos e dois ângulos opostos medindo 30 e 60 . Além disso, a diagonal

AC desse terreno forma 45 com o lado CD.

A medida do menor lado desse terreno, em metros, é

a) 45 2 2 b) 45 6

2 c) 15 3 d) 30 3 e) 90 3

(2)

4. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a

a) 3 cm.

b) 2 cm.

c) 5 cm.

d) 6 cm.

5. (Uece 2018) Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são respectivamente 7 m e 5 2 m e se a medida do ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a medida, em metros, do terceiro lado é a) 12.

b) 15.

c) 13.

d) 14.

6. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB=2 cm, BC=1cm e CD=5 cm. Então, o ângulo θ é igual a

a) 15 .

b) 30 . c) 45 . d) 60 .

7. (Eear 2017) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 30 , seu lado oposto a esse ângulo mede

a) R 2 b) R c) 2R d) 2R

3

8. (Upe-ssa 1 2017) João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente, 10 m e 6 m e formam entre si um ângulo de 120 . O terreno será cercado com três voltas de arame farpado.

Se o preço do metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do arame?

Dados:

sen de 120 3

 = 2 cos de 120 1

 = −2 a) R$ 300,00 b) R$ 420,00 c) R$ 450,00 d) R$ 500,00 e) R$ 520,00

(3)

9. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) No pentágono ABCDE da figura, o lado AB mede 3 cm; o lado AE mede 8 cm; o lado CD mede 4 cm e os ângulos

ˆ ˆ

BEC, A e ˆD medem 30 , 60  e 90 respectivamente.

Sendo a área do triângulo BCE igual a 10,5 cm ,² a medida, em cm, do lado DE é

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24

10. (Colégio Naval 2020) Observe a figura a seguir:

Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a distância entre duas ilhas e para isso toma como referência os pontos A e B das ilhas como mostra a figura. Na praia ele marca dois pontos C e D distantes 70 m um do outro. Usando um medidor de ângulos

(teodolito), os ângulos

ACB=38 , BCD =37 , ADC =60 e ADB=53 . É correto afirmar que a distância entre os pontos A e B é:

Dados sen37 =3 5, sen75 =19 20,cos53 =3 5 e 2 =7 5

a) maior do que 70 m e menor do que 75 m.

b) maior do que 75 m e menor do que 80 m.

c) maior do que 80 m e menor do que 85 m.

d) maior do que 85 m e menor do que 90 m.

e) maior do que 90 m e menor do que 95 m.

(4)

AVISO: ALUNOS QUE VISAM EPCAR NÃO NECESSITAM FAZER AS DUAS QUESTÕES 11 E 12!

11. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD. Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o comprimento x do lado AB é igual a

a) d cosβ b) ^sen^{d sen}

(

^{α β}⁺^α

)

c) d senβ d) ^sen^{d cos}

(

^{α β}⁺^α

)

e) ^{d cos 180º}

(

⁻

(

^{α β}⁺

) )

12. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra um paralelogramo ABCD. Se d representa o comprimento da diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o comprimento x do lado AB satisfaz a equação

a) x sen

( )

arctg

cos

α β α β α

 + 

 = +

 

 

b) ^{x sen}

( )

arctg

dcos

α β α α

 + 

 =

 

 

c) ^{x sen}² ²

(

^{α β}⁺

)

⁺^{d cos}² ²^α^{= +}^{1 d}²

d) ^{x sen}² ²

(

^{α β}⁺

)

⁻^{d cos}² ²^α⁼^d²⁺^tg^α

e) ^{x sen}² ²

(

^{α β}⁺

)

⁺^{d cos}² ²^α⁼¹

(5)

GABARITO:

Resposta da questão 1:

[E]

Temos a seguinte situação:

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, vem:

2 2 2

6 4 4 2 4 4 cos 36 32 32cos

cos 1 8

θ θ

θ

= + −  

= −

Aplicando agora a lei dos cossenos no triângulo AMC, obtemos:

2 2 2

2

x 2 4 2 2 4 1 8 x 20 2

x 22 cm

 

= + −    − 

= +

 =

[E]

Tem-se que DCE=150 , pois BCD=90 e

BCE=60 . Logo, sendo AB=CD e BC=CE, pela Lei dos Cossenos, temos

2 2 2

2 2

DE CD CE 2 CD CE cosDCE 3 5 2 3 5 cos150

9 25 2 3 5 3 2 34 15 3.

= + −   

= + −    

 

= + −    − 

 

= +

A resposta é DE= 34 15 3.+ Resposta da questão 3:

[D]

Calculando:

90 AC 2 1 90

DAC AC 90 AC 45 2

sen 45 sen 30 2 2 2

BC AC 3 2 90

ABC BC 45 2 BC 30 3

sen 45 sen 60 2 2 3

  =   =   = =

 

  =   =   = =

 

[C]

Se o lado do quadrado ABCD mede 1cm, então sua diagonal mede 2 cm. Daí, como C é ponto médio de

AE, vem CE= 2 cm. Ademais, sendo ACDˆ =45 , temos DCEˆ =135 e, portanto, pela Lei dos Cossenos, encontramos

2 2 2 2

DE 1 ( 2) 2 1 2 cos135 DE 5 DE 5 cm.

= + −      =

 =

[C]

Seja x a medida do terceiro lado. Logo, pela Lei dos Cossenos, encontramos

2 2 2

2 2

x 7 (5 2) 2 7 5 2 cos135 x 49 50 2 35 2 2

2 x 169

x 13.

= + −     

 

= + −   − 

 

= 

=

[C]

Calculando:

( ) ( )

2 2 2

2 2

2

AC 2 1 AC 5

AD 2 6 AD 40

5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20

10 2

cos cos 45

10 2 2

θ θ

θ θ θ

= + → =

= + −    →  =

= → = → = 

[B]

Seja a medida do lado do triângulo que é oposto ao ângulo de 30 . Pela Lei dos Senos, tem-se que

2R R.

sen30 =  =



[C]

(6)

2 2 2 2 1 2

a 10 6 2 10 6 cos 120 a 136 120 a 196 a 14 2

Perímetro 10 6 14 30 m

3 voltas 90 m custo 5 90 450 reais

= + −      = −  −  =   → =

 

= + + =

=  =  =

[B]

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABE, temos

2 2 2 2 1

BE 3 8 2 3 8 cos 60 BE 9 64 2 24 2 BE 7cm.

= + −      = + −  

 =

Desse modo, como a área do triângulo BCE é igual a 10,5 cm ,2 vem

1 7 CE sen30 10,5 CE 6cm.

2    =  =

Por conseguinte, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos

2 2 2

DE =6 −4 DE= 20 cm.

[C]

Pelos dados do enunciado, dado a soma dos ângulos internos de um triângulo, podemos obter os seguintes ângulos:

Aplicando a lei dos senos no triângulo ACD, temos:

AC 70 AC 70

AC 35 6 m sen 60 sen 45 3 2

2 2

AD 70 AD 70

AD 95 m sen75 sen 45 19 2

20 2

=  =  =

 

=  =  =

 

Analogamente no triângulo BCD, vem:

BD 70 BD 70

BD 84 m

3 1

sen37 sen30

2 5

=  =  =

 

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABD, chegamos a:

2 2 2

2

x 95 84 2 95 84 cos53 x 9025 7056 15960 3

5 x 6505

x 80,65 m

= + −    

= + − 

=

 

[B]

BDAˆ ( alternos internos) BADˆ 180 ( )

α

α β

=

=  − +

Aplicando o Teorema dos senos no triângulo ABD, temos:

( )

(

^d

)

^sen^x

sen 180 α β = α

 − +

Lembrando que sen(180 −(α β+ ))=sen(α β+ ), temos:

d sen x sen( )

α α β

= 

+

[B]

Aplicando o Teorema dos cossenos no triângulo ABD, temos:

(7)

d x sen(180 ( )) sen

x sen( )

sen d

α β α

α α β

 − + =

 +

=

Dividindo os dois membros por cos ,α obtemos:

sen x sen( ) cos d cos

x sen( )

tg d cos

x sen( ) arctg

d cos

α α β

α α

α α β

α α α β

α

 +

= 

 +

 

=   

 +

 

=   