Aula 16 Análise Combinatória. Prof. Arthur Lima. Raciocínio Lógico e Matemática Financeira e Estatística para auditor fiscal do ISS Belo Horizonte

Aula 16 – Análise Combinatória

Raciocínio Lógico e Matemática Financeira e

Estatística para auditor fiscal do ISS Belo

Horizonte

Sumário

SUMÁRIO ...2

ANÁLISE COMBINATÓRIA – PRINCÍPIOS DE CONTAGEM ... 3

PRINCÍPIOFUNDAMENTALDACONTAGEM ... 3

PERMUTAÇÃOSIMPLES ... 7

PERMUTAÇÃOCOMREPETIÇÃO ... 9

PERMUTAÇÃOCIRCULAR ... 12

ARRANJOSIMPLES ... 13

ARRANJOCOMREPETIÇÃO ... 16

COMBINAÇÃO... 16

COMBINAÇÃOCOMREPETIÇÃO ... 20

COMENTÁRIOSADICIONAIS ... 23

QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 25

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 56

GABARITO ... 72

RESUMO DIRECIONADO ... 73

Análise Combinatória – Princípios de Contagem

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Combinações, Arranjos e Permutação

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 pares de tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora, basta imaginar que para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 camisetas, e para cada conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer dos 2 pares de tênis.

O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta multiplicar o número de calças pelo número de camisas e pelo número de tênis, isto é:

Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24

Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto é, 3 possibilidades para o acontecimento “escolha da calça”; 4 para a “escolha da camiseta” e 2 para a “escolha do tênis”).

Vejamos um outro exemplo: quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

Note que precisamos formar números com o formato “ABC”, onde cada letra simboliza um algarismo.

Para a posição A temos 6 opções de algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos é dada pela multiplicação:

6 x 6 x 6 = 216 possibilidades

E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados devem ter os 3 algarismos distintos?

Neste caso, teríamos também 6 opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opções. E para a posição C, restam apenas 4 opções. Assim, teríamos:

6 x 5 x 4 = 120 possibilidades

E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na posição A, depois na posição B, e depois na posição C.

Se o 2 estiver na posição A, teremos números do tipo “2BC”. Para a posição B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do tipo “A2C”, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades. Temos outras 20 possibilidades para números do tipo “AB2”. Ou seja, ao todo temos 60 possibilidades.

Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado apenas multiplicações para chegar no resultado, e neste último exemplo foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber quando somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões “E” e “OU”. Veja como fazer isso:

- no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades para as camisetas E 3 possibilidades para as calças E 2 possibilidades para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2.

- para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo que novamente efetuamos a multiplicação 6 x 5 x 4.

- já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posição OU na segunda posição OU na terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20 possibilidades de ter o 2 na primeira posição com as 20 possibilidades de ele estar na segunda posição e com as 20 possibilidades de ele estar na terceira posição.

Lembrando-se que o “E” remete à multiplicação e o “OU” remete à soma, você dificilmente errará uma questão. Em uma abordagem mais acadêmica, dizemos que:

- o princípio multiplicativo é utilizado no caso de eventos independentes (a escolha da camiseta independe da escolha da calça, que independe da escolha do tênis);

- o princípio aditivo é utilizado no caso de eventos mutuamente excludentes (a presença do 2 em uma posição exclui a possibilidade de ele estar nas demais posições);

Vejamos algumas questões introdutórias:

FUNDATEC – PC/RS – 2018) Considerando um alfabeto com 26 letras distintas e 9 algarismos distintos, quantas placas podem ser construídas com a sequência de duas letras seguidas de 3 algarismos, sendo que as letras podem ser maiúsculas ou minúsculas, como, por exemplo, Ai234, Bb677, ou GG123?

A) 492.804.

B) 676.000.

C) 1.336.608.

D) 1.971.216.

E) 2.704.000.

RESOLUÇÃO:

Como as letras podem ser maiúsculas ou minúsculas, há 52 opções para a 1ª e para a 2ª letra da placa também, e há 9 opções possíveis de algarismos para cada uma das 3 posições da placa ocupadas por algarismos, logo há um total de 52 x 52 x 9 x 9 x 9 = 1.971.216 placas que podem ser construídas.

Resposta: D

FCC – ALESE – 2018) Quatro parlamentares, sendo dois do partido X e dois do partido Y, inscreveram-se para discursar na tribuna em determinada sessão. A ordem dos discursos deverá ser definida de modo que as falas de dois parlamentares do mesmo partido não ocorram uma em seguida da outra. O número de maneiras diferentes de estabelecer a ordem dos discursos respeitando essa condição é igual a

(A) 2.

(B) 4.

(C) 8.

(D) 12.

(E) 16.

RESOLUÇÃO:

Podemos imaginar as 4 posições das pessoas que vão discursar na tribuna:

____ ____ ____ ____

Sabemos que qualquer uma das 4 pessoas pode ser a primeira a discursar. Portanto, temos 4 possibilidades para esta posição:

__4__ ____ ____ ____

A segunda pessoa a discursar não pode ser do mesmo partido da primeira, como afirmou o enunciado. Assim, a segunda pessoa a discursar deve ser uma das 2 que fazem parte do OUTRO partido. Temos apenas 2 possibilidades para a segunda pessoa:

__4__ __2__ ____ ____

A terceira pessoa a discursar só pode ser UMA: a pessoa restante do partido daquela que foi a primeira a discursar. Logo, só temos 1 possibilidade para a terceira casa:

__4__ __2__ __1__ ____

A quarta pessoa a discursar só pode ser UMA: a pessoa restante do partido daquela que foi a segunda a discursar. Logo:

__4__ __2__ __1__ __1__

Podemos multiplicar as possibilidades, obtendo:

4x2x1x1 = 8 formas de organizar Resposta: C

FGV – PREF SALVADOR/BA – 2017) Cinco pessoas de diferentes alturas devem ocupar as cinco cadeiras abaixo para uma fotografia.

O fotógrafo pediu que nem o mais baixo nem o mais alto ocupassem as cadeiras das extremidades.

Respeitando essa condição, o número de maneiras como as pessoas podem se posicionar para a fotografia é a) 12.

b) 18.

c) 24.

d) 36.

e) 72.

RESOLUÇÃO:

Em um total de 5 pessoas, a mais alta e a mais baixa não devem se sentar nas extremidades. Essa é uma RESTRIÇÃO presente no enunciado do exercício, e sempre devemos começar analisando as restrições.

Logo, o número de possibilidades para a 1ª cadeira é 5 – 2 = 3. Escolhida a pessoa da primeira cadeira, restam 5 – 2 – 1 = 2 pessoas para a 5ª cadeira. Assim, já foram escolhidas as duas pessoas para as cadeiras das extremidades. Para a 2ª, 3ª e 4ª cadeiras restam 3 pessoas a serem escolhidas. Podemos colocar qualquer uma das 3 na segunda cadeira, sobrando 2 pessoas disponíveis para a terceira cadeira, e 1 pessoa para a quarta cadeira. Veja:

3 x 3 x 2 x 1 x 2 = 36 possibilidades

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Resposta: D

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas maneiras diferentes podemos sentar essas pessoas?

Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto é, temos 5 possibilidades. Já na segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois necessariamente uma pessoa já estará ocupando a primeira cadeira. Para terceira cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a quarta cadeira, e uma para a última. Veja isso na tabela abaixo:

Cadeira 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Possibilidades de ocupação

5 4 3 2 1

Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o número total de formas de sentar as pessoas:

Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120 possibilidades de arrumação das pessoas, as mesmas 5 pessoas estão presentes. O que torna diferente uma possibilidade da outra é somente a ordem de posicionamento das pessoas.

Esse tipo de problema, onde o objetivo é arrumar “n” elementos em “n” posições distintas (no caso, 5 pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamado de PERMUTAÇÃO SIMPLES. O cálculo da permutação simples de n elementos é dada pela fórmula abaixo:

P(n) = n!

Nesta fórmula, n! significa “n fatorial”. Na matemática, chamamos de fatorial de um número “n” o produto de todos os números inteiros e positivos iguais ou inferiores a n, isto é:

n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1

Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar esta fórmula na questão das cadeiras do cinema, teríamos:

P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas

Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de permutação simples nos problemas onde a ordem de arrumação dos “n” objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar com vários problemas onde a ordem não torna uma possibilidade diferente da outra – e não poderemos resolvê-los de maneira tão simples como a vista aqui.

Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos anagramas podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL?

Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é um anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras distintas entre si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será formado por 6 letras, distribuídas entre 6 posições:

Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

Letras disponíveis

6 5 4 3 2 1

Veja que o total de anagramas será dado por 6!, isto é, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Utilizando a fórmula:

P(6) = 6! = 720 Veja como já foi cobrado:

CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) Os indivíduos S1, S2, S3 e S4, suspeitos da prática de um ilícito penal, foram interrogados, isoladamente, nessa mesma ordem. No depoimento, com relação à responsabilização pela prática do ilícito, S1 disse que S2 mentiria; S2 disse que S3 mentiria; S3 disse que S4 mentiria.

A partir dessa situação, julgue os itens a seguir.

( ) Se os quatro suspeitos tiverem nascido nos estados da Bahia, de Pernambuco, do Rio de Janeiro e de São Paulo, cada um em um estado diferente, e atualmente residirem nesses mesmos estados, ainda que alguns deles possam ter se mudado de um estado para outro, a quantidade de possibilidades de naturalidade e residência dos acusados é inferior a 100.

RESOLUÇÃO:

O número de formas de distribuir as 4 naturalidades (BA, PE, RJ e SP) entre as 4 pessoas (S1, S2, S3 e S4) é dado pela permutação simples das 4 naturalidades, visto que a ordem de distribuição é relevante. Isto é,

P(4) = 4! = 24 possibilidades.

O número de formas de distribuir as 4 opções de residência atual entre as 4 pessoas também é dado pela permutação P(4) = 4! = 24 possibilidades, considerando que cada um está residindo em um estado diferente.

Portanto, o número de possibilidades de distribuição das naturalidades E das residências é dado pela multiplicação 24 x 24 = 576, visto que são escolhas independentes e sucessivas. Item ERRADO.

Resposta: E

FCC – SEFAZ/PE – 2015) A prova de raciocínio lógico de um concurso foi elaborada com 10 questões, sendo 4 fáceis, 3 médias e 3 difíceis. Para criar diferentes versões dessa prova, a organização do concurso pretende trocar a ordem das questões, mantendo sempre as fáceis no início, as médias no meio e as difíceis no final e respeitando as seguintes restrições colocadas pelo elaborador:

− há duas questões fáceis que, por se referirem a uma mesma figura, devem ser mantidas uma após a outra, em qualquer ordem;

− há ainda uma questão média e uma difícil que se referem a um mesmo texto, devendo também ser mantidas uma após a outra, com a média aparecendo primeiro.

Nessas condições, o número de diferentes versões que a organização do concurso poderá criar para essa prova é igual a

(A) 54.

(B) 40.

(C) 24.

(D) 36.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Como duas das quatro questões fáceis precisam ficar juntas, podemos começar tratando essas duas questões como se fossem uma só. Assim, devemos permutar três questões fáceis entre si, totalizando P(3) = 3! = 6.

Precisamos multiplicar esse resultado por 2, afinal as duas questões que devem ficar juntas podem vir em qualquer ordem entre si. Assim chegamos a 2x6 = 12 formas de organizar as questões fáceis. Como uma questão média deve ser seguida obrigatoriamente por uma das questões difíceis, podemos permutar apenas as duas primeiras questões médias, em um total de P(2) = 2! = 2 possibilidades. Da mesma forma podemos permutar apenas as duas últimas questões difíceis entre si, totalizando 2 possibilidades.

Assim, ficamos com 12 formas de permutar as questões fáceis entre si, duas formas de permutar as questões médias entre si, e outras duas formas de permutar as questões difíceis entre si. Como essas permutações são umas das outras, podemos utilizar o princípio multiplicativo obtendo um total de 12x2x2 = 48 formas de montar a prova.

Resposta: E

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

Imagine que você queira calcular o número de anagramas da palavra ARARA. A princípio você usaria a fórmula de permutação simples, como fizemos no caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da letra A e 2 repetições da letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repetições uns dos outros.

Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente trocamos de posição o 2º R com o 2º A. Este mesmo anagrama poderia ter sido construído trocando de posição o 1º R com o 2º A, e, a seguir, colocando o 1º A na última posição. Não podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são idênticos.

Por isso, quando há repetição devemos usar a fórmula da permutação simples, porém dividir o resultado pelo número de permutações de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 vezes e o R repete-se 2 vezes, temos:

(5 ; 3 2) 5! 10 3! 2!

PR e = =

 ^anagramas

Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos com repetição de m e p é dada por:

( ; ) !

! ! PR n m e p n

m p

= 

Veja comigo as questões a seguir:

FCC – SEFAZ/PI – 2015) A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8 letras da palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, as consoantes, as 4 últimas. Conhecendo apenas essas informações, uma pessoa que deseja usar o computador vai digitando todas as possíveis senhas, até acertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo,

(A) 240 tentativas.

(B) 144 tentativas.

(C) 576 tentativas.

(D) 196 tentativas.

(E) 288 tentativas.

RESOLUÇÃO:

Observe que na palavra TERESINA temos quatro vogais, sendo duas repetidas, de modo que o total de permutações entre essas vogais é igual a:

P(4;2) = 4! / 2! = (4 x 3 x 2)/2 = 12

Essa palavra também possui 4 consoantes sem nenhuma repetição de modo que o total de permutações entre essas consoantes é igual a:

P(4) = 4! = 24

Desse modo, como as permutações entre as vogais ocorrem de maneira independente das permutações entre as consoantes, o total de possibilidades que temos é dado pela multiplicação 12 x 24 = 288.

Resposta: E

AOCP – PM/TO – 2018) Considerando o uso da análise combinatória, é correto afirmar que, no total, é possível formar com a palavra TOCANTINS

(A) 20160 anagramas.

(B) 10080 anagramas que começam pela letra T.

(C) 10080 anagramas que terminam com vogal.

(D) 40320 anagramas que contêm as letras TT juntas.

(E) 7560 anagramas que mantêm as vogais juntas.

RESOLUÇÃO:

A palavra TOCANTINS tem 9 letras, com a repetição de 2 T e 2 N. O total de anagramas é:

P(9; 2 e 2) = 9! / (2!x2!) = (9x8x7x6!)/(2×2) = 9x2x7x6! = 9x2x7x720 = 90.720

Para formar anagramas começando ela pela letra T, devemos permutar as letras OCANTINS, isto é, fazer a permutação de 8 letras com a repetição de 2 N, ficando:

P(8; 2) = 8! / 2! = 8x7x6!/2 = 4x7x720 = 20.160

Para terminar com vogal, temos 3 possibilidades para a última letra. Para as demais letras, devemos permutar as 8 letras restantes, com repetição de 2 T e 2 N, ficando:

P(8, 2 e 2) = 8! / (2!x2!) = 8x7x6!/(2×2) = 2x7x6! = 14×720 = 10.080

Devemos multiplicar este resultado por 3, obtendo 20.240 anagramas terminados por vogal.

Deixando as duas letras T juntas, podemos tratá-las como uma só. Assim, basta fazermos a permutação de 8 (e não 9) letras, com repetição de 2 N, ficando P(8, 2) = 8!/2! = 20.160

Se deixarmos as 3 vogais juntas, podemos tratá-las como uma letra só. Neste caso, ficamos com um total de 7 letras, com a repetição de 2 T e 2 N. A sua permutação é:

P(6, 2 e 2) = 7!/(2!.2!) = 5.040/(2×2) = 1.260

Em cada um desses 1.260 casos, temos que fazer a permutação das 3 vogais entre si, num total de:

P(3) = 3! = 6 Temos então 6×1.260 = 7.560 anagramas.

Resposta: E

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. Entretanto, temos um caso particular de permutação, muito presente em provas de concurso, que é a Permutação Circular.

Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa redonda com 5 lugares? Observe as duas disposições abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa:

Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais (afinal, a pessoa A tem à sua esquerda E, e à sua direita B, e assim sucessivamente). Não podemos contar duas vezes a mesma disposição.

Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa, todas as 5 posições disponíveis são equivalentes. Isto porque não existe uma referência espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da permutação circular de n pessoas, que é:

Pc (n) = (n-1)!

Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao redor de uma mesa será:

Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Note que se houvesse uma posição da mesa com uma cadeira “de ouro”, por exemplo, passaríamos a ter uma orientação espacial em relação a esta cadeira, e deixaríamos de ter uma permutação circular.

Vejamos essa questão:

CESPE – TRE/BA – 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças, igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado um determinado número de buracos que representam números. As metades representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma metade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças, denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe também uma variação de dominó conhecida como double nine, em que as metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peças.

M. Lugo. How to play better dominoes. New York:

Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações).

A partir dessas informações, julgue o item subsequente.

( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas.

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 4 lugares ao redor da mesa nos quais devemos dispor os 4 jogadores. A princípio qualquer um dos quatro lugares tem o mesmo valor. Portanto, estamos diante de um caso de permutação circular de 4 elementos, que é dada por:

Pc(4) = (4 – 1)! = 3! = 6 Portanto, podem se sentar de 6 maneiras distintas. Item correto.

Resposta: C

ARRANJO SIMPLES

Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De quantas formas poderíamos fazer isso?

Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, isto é, 5 possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobrarão duas pessoas em pé, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas é dada pela multiplicação abaixo:

Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60

Um caso como esse, onde pretendemos posicionar “n” elementos em “m” posições (m menor que n), e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua fórmula é dada abaixo:

( , ) !

( )!

A n m n

= n m

−

Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teríamos:

( , ) !

( )!

5! 5! 5 4 3 2 1 (5,3)

(5 3)! 2! 2 1 (5,3) 5 4 3 60

A n m n

n m A

A

= −

   

= = =

− 

=   =

Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos elementos importa, isto é, a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, Daniela e Eduardo. Uma forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria:

Cadeira 1ª 2ª 3ª

Ocupante Beto Daniela Eduardo

Neste caso, Ana e Carlos estão de fora. Outra forma de posicionamento seria:

Cadeira 1ª 2ª 3ª

Ocupante Daniela Beto Eduardo

Veja que, novamente, Ana e Carlos estão de fora. E Eduardo está no mesmo lugar. A única mudança foi a inversão de posições entre Beto e Daniela. Ou seja, uma simples alteração na ordem dos elementos gera uma nova possibilidade de posicionamento. É isso que quero dizer quando afirmo que “a ordem importa” para os casos de Permutação e Arranjo.

Note ainda que podemos usar a fórmula de Arranjo para resolver um problema de Permutação simples.

Isto porque a permutação também é uma ordenação de “n” elementos em “m” posições, porém nos casos de permutação n = m. Sabendo que 0! é, por definição, igual a 1, podemos calcular o número de permutações de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a fórmula de arranjo:

( , ) !

( )!

5! 5! 5 4 3 2 1 (5,5)

(5 5)! 0! 1

(5,5) 120 A n m n

n m A

A

= −

   

= = =

−

= Antes de avançarmos, trabalhe esta questão:

FGV – ICMS/RJ – 2011) Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa).

(A) 18.000.

(B) 90.

(C) 19.

(D) 680.

(E) 18.000.

RESOLUÇÃO:

Veja que podemos resolver essa questão sem uso de fórmulas. Inclusive, isto é o que eu recomendo fazer nas questões sobre arranjo. Temos 10 pessoas disponíveis para a primeira posição e, com isso, sobram 9 pessoas para a segunda colocação, num total de 10x9 = 90 possibilidades.

Podemos pensar também que estamos diante de um arranjo de n = 10 pessoas em m = 2 posições. Na fórmula:

𝐴(𝑛, 𝑚) = 𝑛!

(𝑛 − 𝑚)!

𝐴 (10,2) = 10!

(10 − 2)!

𝐴(10,2) =10𝑥9𝑥8!

(8)!

𝐴(10,2) = 10𝑥9

𝐴(10,2) = 90 Resposta: B

FCC – BB – 2010) Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo.

Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice- Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião?

a) 720 b) 360 c) 120 d) 72 e) 36

RESOLUÇÃO:

O Presidente e o Vice são os únicos que tem lugar fixo. Os 4 membros podem se sentar nas 6 cadeiras disponíveis. Veja que esse é um caso de arranjo: pretendemos posicionar 4 elementos em 6 posições (4 < 6), e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra. Vamos aplicar a fórmula:

( , ) !

( )!

A n m n

= n m

−

A(6, 4) = 6!/2! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 maneiras

Porém o Presidente e o Vice podem trocar de posição entre si, nas duas cabeceiras. Logo, devemos multiplicar essas maneiras por 2.

Total = 360 x 2 = 720 maneiras

Sem utilizar a fórmula de arranjo, você poderia ter pensado que o primeiro dos 4 membros tem 6 cadeiras disponíveis, o segundo tem 5, o terceiro tem 4 e o quarto tem 3, totalizando 6x5x4x3 = 360 formas de eles escolherem suas cadeiras. Feito isso, basta multiplicar por 2 para considerar as permutações possíveis entre o presidente e o vice, chegando a 360x2 = 720 possibilidades.

Resposta: A

ARRANJO COM REPETIÇÃO

Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos utilizá-las para formar placas de carros.

Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras, sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, podemos ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc.

Para calcular o número de arranjos possíveis de “n” elementos em grupos de “m”, e podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do Arranjo com repetição:

A (n, m) = n^m

(leia: “arranjo de n elementos, m a m, é dado por n elevado a m)

Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3) podendo repetir as letras, será possível formar o total de arranjos abaixo:

3

( , ) (4, 3) 4

(4, 3) 64 arranjos A n m nm

A A

=

=

=

Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas, apenas utilizando o princípio multiplicativo. Basta lembrar que você quer montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 4³ = 64 possibilidades.

COMBINAÇÃO

Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5 pessoas, porém agora precisa formar uma dupla para participar de um determinado evento. Quantas duplas distintas é possível formar?

Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por Ana e Beto é igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um problema de Combinação.

Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a duas, é possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo:

(

)

( , )

! !

n n

C n m

m m n m

=   = −

Veja que n m

  

  é uma outra forma de simbolizar “combinação de n elementos, m a m”. Efetuando o cálculo para o exemplo acima, temos:

( )

( )

( , ) !

! !

5 5! 5!

(5, 2)

2 2! 5 2 ! 2! 3!

5 5 4 3 2 1

(5, 2) 10

2 2 1 3 2 1

n n

C n m

m m n m C

C

=   = −

=   = − = 

     

=  =     =

Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos quais seriam as 10 duplas:

- Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo - Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo;

- Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo;

- Daniela e Eduardo.

A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao invés de utilizar a fórmula acima, você pode chegar ao mesmo caso fazendo o seguinte:

CÁLCULO SIMPLIFICADO – Combinação de “N” elementos em grupos de “M”

1. multiplicar os “m” primeiros termos de “n!”

2. dividir esse resultado por m!

No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5! (que são 5 e 4) e dividir por 2!

(2x1):

5 4 20

(5, 2) 10

2! 2

C 

= = =

Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 a 2, é igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 – 2. Da mesma forma, a combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à combinação de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 – 14). Generalizando: a combinação de n elementos, m a m, é igual à combinação de n elementos, (n-m) a (n-m):

n n

m n m

   

  = − 

   

Veja abaixo algumas questões sobre este assunto:

CESPE – ABIN – 2018) Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Godel disputaram, no parque da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero.

A partir dessa tabela, julgue o item subsequente.

( ) A quantidade de maneiras distintas de se formar um time de vôlei com seis integrantes, sendo três homens da família Turing e três mulheres da família Godel, é superior a 700.

RESOLUÇÃO:

Sempre que o objetivo for formar “equipes”, “times”, “grupos”, “comissões” etc. fique atento:

provavelmente estamos diante de um caso de Combinação. Afinal nestes agrupamentos não interessa saber a ordem de escolha dos integrantes, interessa saber apenas quem são os integrantes.

Aqui, devemos fazer combinação de 3 dos 5 homens da família Turing e 3 das 9 mulheres da família Godel.

Então:

C(5,3) = 5!/3!2! = 10 C(9,3) = 9!/3!6! = 84

O total de maneiras será: 10 x 84 = 840. Portanto, superior a 700. Item CORRETO.

Resposta: C

FCC – SEFAZ/MA – 2016) Jair tem 8 primos, dos quais irá convidar 5 para um jantar em sua casa. Ocorre que 2 dos 8 primos só podem ir ao jantar se forem juntos. O total de escolhas diferentes dos 5 convidados que Jair pode fazer para o jantar é igual a

(A) 26.

(B) 36.

(C) 40.

(D) 56.

(E) 30.

RESOLUÇÃO:

Temos duas possibilidades de convite:

1º - incluindo os dois primos que só vão juntos

2º - excluindo os dois primos que só vão juntos

No primeiro caso nós já escolhemos 2 das 5 pessoas que serão convidadas (os 2 primos que vão juntos), faltando escolher apenas 3 das 6 pessoas restantes, num total de:

C(6,3) = (6 x 5 x 4)/3! = 20 possibilidades

No segundo caso nós devemos escolher 5 dos 6 primos (pois estamos desconsiderando os 2 que só vão juntos), totalizando:

C(6,5) = 6!/5! = 6 possibilidades Ao todo temos 20 + 6 = 26 possibilidades.

Resposta: A

CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2018) Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B.

Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 dos 30 passageiros selecionados de modo que pelo menos um deles tenha estado em C é superior a 100.

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 25 passageiros que estiveram APENAS em A ou B, de modo que os outros 5 passageiros estiveram APENAS em C.

Queremos escolher 2 pessoas de modo que pelo menos uma tenha estado em C. Veja que podemos resolver assim:

1- calcular todas as combinações possíveis entre 30 pessoas, em grupos de 2;

2- calcular os casos que NÃO QUEREMOS, ou seja, casos onde as 2 pessoas NÃO tenham estado em C – basta combinar as 25 pessoas que foram somente para A ou B em grupos de 2.

Feitos os dois cálculos acima, basta subtrairmos do total aqueles casos que não queremos, concorda?

Vamos fazer por etapas:

1- O total de maneiras de escolher 2 das 30 pessoas é:

2- Casos que não queremos: o total de formas de escolher 2 das 25 pessoas que foram somente para A ou B (e não foram para C):

Assim, podemos dizer que:

Casos em que alguém foi em C = TOTAL – Casos em que ninguém foi em C Casos em que alguém foi em C = 435 – 300

Casos em que alguém foi em C = 135 Item CERTO.

Resposta: C

COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO

A combinação com repetição ocorre em situações onde devemos distribuir coisas que podem se repetir.

Por exemplo, leia o enunciado dessa questão, mas NÃO tente resolver ainda:

IAUPE – SESC/PE – 2013) Uma lanchonete vende 5 tipos diferentes de sanduíches. De quantos modos, uma pessoa pode comprar 7 sanduíches?

A) 120 B) 130 C) 300 D) 320 E) 330

Perceba que temos um total de n = 5 tipos de sanduíche. Entretanto, faremos uma distribuição de k = 7 sanduíches para uma pessoa. Veja que esses 7 sanduíches podem conter repetições! Por exemplo, imagine que os tipos de sanduíche são A, B, C, D, E. Algumas formas de comprar 7 sanduíches estão abaixo:

- comprar 2 sanduíches A, 2 sanduíches B, zero sanduíches C e D, e 3 sanduíches E.

- comprar 1 sanduíche A, 1 B, 1 C, 3 D e 1 E.

- comprar 7 sanduíches C.

- comprar 3 sanduíches B e 4 sanduíches D.

Veja que é possível repetir tipos de sanduíche, e é possível não comprar NENHUM sanduíche de um determinado tipo. Este é um caso clássico de COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO. Para resolver, utilizamos a fórmula:

𝐶(𝑛 + 𝑘 − 1, 𝑘) =(𝑛 + 𝑘 − 1)!

𝑘!. (𝑛 − 1)!

Nesta fórmula,

- n é o número de TIPOS de elementos a serem distribuídos (neste caso, n = 5 tipos de sanduíche);

- k é o número de elementos que serão distribuídos (neste caso, k = 7 sanduíches).

Vamos agora resolver a questão juntos:

IAUPE – SESC/PE – 2013) Uma lanchonete vende 5 tipos diferentes de sanduíches. De quantos modos, uma pessoa pode comprar 7 sanduíches?

A) 120 B) 130 C) 300 D) 320 E) 330

RESOLUÇÃO:

Estamos diante de um caso de combinação com repetição, visto que temos n = 5 tipos de produtos que devem ser distribuídos em grupos de k = 7 produtos, ou seja, vai haver repetição de tipos. Aplicando a fórmula da combinação com repetição:

𝐶(𝑛 + 𝑘 − 1, 𝑘) =(𝑛 + 𝑘 − 1)!

𝑘!. (𝑛 − 1)!

𝐶(5 + 7 − 1, 7) =(5 + 7 − 1)!

7!. (5 − 1)!

𝐶(5 + 7 − 1, 7) = (11)!

7!. (4)!

𝐶(5 + 7 − 1, 7) =11𝑥10𝑥9𝑥8𝑥7!

7!. (4)!

𝐶(5 + 7 − 1, 7) =11𝑥10𝑥9𝑥8 (4)!

𝐶(5 + 7 − 1, 7) =11𝑥10𝑥9𝑥8 4𝑥3𝑥2𝑥1

𝐶(5 + 7 − 1, 7) =11𝑥10𝑥9 3

𝐶(5 + 7 − 1, 7) = 11𝑥10𝑥3

𝐶(5 + 7 − 1, 7) = 330 Resposta: E

Vamos exercitar com mais uma questão sobre combinação com repetição:

IADES – CFA – 2010) Uma floricultura vende orquídeas de 4 cores diferentes (vermelha, azul, amarela e branca). Aproveitando o Dia dos Namorados, a floricultura resolveu fazer uma oferta relâmpago: o cliente pode escolher 6 orquídeas e pagar apenas por 4 delas. De quantas maneiras diferentes um cliente pode aproveitar essa promoção:

a) 15 b) 21 c) 45 d) 84

RESOLUÇÃO:

Veja que temos n = 4 tipos de cores, e vamos pegar k = 6 elementos (orquídeas). Naturalmente, podemos repetir as cores das orquídeas. Estamos diante de um caso de combinação com repetição, cuja fórmula é:

𝐶(𝑛 + 𝑘 − 1, 𝑘) =(𝑛 + 𝑘 − 1)!

𝑘!. (𝑛 − 1)!

𝐶(4 + 6 − 1, 6) =(4 + 6 − 1)!

6!. (4 − 1)!

𝐶(4 + 6 − 1, 6) = (9)!

6!. (3)!

𝐶(4 + 6 − 1, 6) =9𝑥8𝑥7𝑥6!

6!. (3)!

𝐶(4 + 6 − 1, 6) =9𝑥8𝑥7 (3)!

𝐶(4 + 6 − 1, 6) =9𝑥8𝑥7 3𝑥2𝑥1

𝐶(4 + 6 − 1, 6) = 3𝑥4𝑥7

𝐶(4 + 6 − 1, 6) = 84 Resposta: D

COMENTÁRIOS ADICIONAIS

Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações, gostaria de gastar mais um tempinho reforçando as diferenças entre estas ferramentas. Como você verá ao longo dos exercícios, é essencial saber diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutação ou combinação, para só então resolvê-lo.

Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a seguinte pergunta:

A ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma escolha/disposição diferente da outra?

Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) à disposição, e o seu objetivo é formar equipes de 3 soldados. Veja que a equipe formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos soldados B, A, C, que também é igual à equipe formada pelos soldados C, B, A, e assim por diante. Isto é, a ordem de escolha dos soldados não é relevante, não torna uma escolha diferente da outra.

Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é diferente da fila B-A-C que é diferente da fila C-B-A, e assim por diante. Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posição do primeiro colocado com a do último, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou seja, torna uma escolha diferente da outra.

Feita a pergunta, você tem duas possibilidades:

- se a ordem NÃO É RELEVANTE: utilizar a fórmula de combinação. Isto é muito comum em questões onde o objetivo é formar equipes, grupos, comissões etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), concorda?

- se a ordem É RELEVANTE: utilizar o princípio fundamental da contagem (aquela multiplicação simples), que se resume nas fórmulas de arranjos e permutações. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, concorda? Dependendo do caso, você precisa fazer alguns ajustes, como no caso de haver repetição. Isto é:

- se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n é o número de repetições (ou usar direto a fórmula da permutação com repetição);

- se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por n!, s!, t! etc. (conforme o número de itens se repetindo).

Caso 2 soldados fossem “idênticos”, de tal modo que não fosse possível diferenciá-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes conseguiríamos formar? Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo? Portanto, o número de filas seria 5x4x3/2! .

E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda? Aí teríamos a permutação circular, que é dada por (n-1)!, ou seja, 4! = 24.

Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que você dispõe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila.

- Quantas filas de 3 soldados você consegue? 5x4x3 = 60

- E quantas filas com os 5 soldados você consegue? 5x4x3x2x1 = 120

O primeiro caso é um arranjo, o segundo uma permutação. A diferença é que a permutação SEMPRE envolve TODOS os elementos disponíveis (você calcula quantas formas possíveis de dispor os 5 elementos possíveis), já o arranjo não envolve todos os elementos (para cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, concorda?)

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões comentadas pelo professor

1.

Quatro parlamentares, sendo dois do partido X e dois do partido Y, inscreveram-se para discursar na tribuna em determinada sessão. A ordem dos discursos deverá ser definida de modo que as falas de dois parlamentares do mesmo partido não ocorram uma em seguida da outra. O número de maneiras diferentes de estabelecer a ordem dos discursos respeitando essa condição é igual a

(A) 2.

(B) 4.

(C) 8.

(D) 12.

(E) 16.

RESOLUÇÃO:

Podemos começar com um parlamentar do partido X (2 possibilidades), depois um do partido Y (2 possibilidades), depois mais um do partido X (1 possibilidade) e mais um do partido Y (1 possibilidade), totalizando 2 x 2 x 1 x 1 = 4 formas de organizar as falas.

Veja que podemos começar com um parlamentar do partido Y, em seguida X, depois Y e depois X novamente, ficando com mais 2 x 2 x 1 x 1 = 4 formas.

Ao todo, temos 8 maneiras de organizar.

Resposta: C

2.

Sílvia tem 13 blusas diferentes e 7 saias diferentes. Ela vai pegar uma das blusas e uma das saias para se vestir.

O total de possibilidades diferentes que Sílvia tem para se vestir é igual a:

(A) 119.

(B) 42.

(C) 91.

(D) 20.

(E) 71.

RESOLUÇÃO:

Veja que Sílvia tem duas escolhas independentes e sucessivas a serem realizadas:

•escolha da blusa – 13 possibilidades

•escolha da saia – 7 possibilidades

Nestes casos, o total de formas de se vestir é dado pela multiplicação das possibilidades: 7 x 13 = 91 formas de se vestir.

Resposta: C

3.

Jair tem 8 primos, dos quais irá convidar 5 para um jantar em sua casa. Ocorre que 2 dos 8 primos só podem ir ao jantar se forem juntos. O total de escolhas diferentes dos 5 convidados que Jair pode fazer para o jantar é igual a

(A) 26.

(B) 36.

(C) 40.

(D) 56.

(E) 30.

RESOLUÇÃO:

Temos duas possibilidades de convite:

1º - incluindo os dois primos que só vão juntos 2º - excluindo os dois primos que só vão juntos

No primeiro caso nós já escolhemos 2 das 5 pessoas que serão convidadas (os 2 primos que vão juntos), faltando escolher apenas 3 das 6 pessoas restantes, num total de:

C(6,3) = (6 x 5 x 4)/3! = 20 possibilidades

No segundo caso nós devemos escolher 5 dos 6 primos (pois estamos desconsiderando os 2 que só vão juntos), totalizando:

C(6,5) = 6!/5! = 6 possibilidades Ao todo temos 20 + 6 = 26 possibilidades.

Resposta: A

4.

A prova de raciocínio lógico de um concurso foi elaborada com 10 questões, sendo 4 fáceis, 3 médias e 3 difíceis.

Para criar diferentes versões dessa prova, a organização do concurso pretende trocar a ordem das questões, mantendo sempre as fáceis no início, as médias no meio e as difíceis no final e respeitando as seguintes restrições colocadas pelo elaborador:

− há duas questões fáceis que, por se referirem a uma mesma figura, devem ser mantidas uma após a outra, em qualquer ordem;

− há ainda uma questão média e uma difícil que se referem a um mesmo texto, devendo também ser mantidas uma após a outra, com a média aparecendo primeiro.

Nessas condições, o número de diferentes versões que a organização do concurso poderá criar para essa prova é igual a

(A) 54.

(B) 40.

(C) 24.

(D) 36.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Como duas das quatro questões fáceis precisam ficar juntas, podemos começar tratando essas duas questões como se fossem uma só. Assim, devemos permutar três questões fáceis entre si, totalizando P(3) = 3! = 6.

Precisamos multiplicar esse resultado por 2, afinal as duas questões que devem ficar juntas podem vir em qualquer ordem entre si. Assim chegamos a 2x6 = 12 formas de organizar as questões fáceis. Como uma questão média deve ser seguida obrigatoriamente por uma das questões difíceis, podemos permutar apenas as duas primeiras questões médias, em um total de P(2) = 2! = 2 possibilidades. Da mesma forma podemos permutar apenas as duas últimas questões difíceis entre si, totalizando 2 possibilidades.

Assim, ficamos com 12 formas de permutar as questões fáceis entre si, duas formas de permutar as questões médias entre si, e outras duas formas de permutar as questões difíceis entre si. Como essas permutações são umas das outras, podemos utilizar o princípio multiplicativo obtendo um total de 12x2x2 = 48 formas de montar a prova.

Resposta: E

5.

A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8 letras da palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, as consoantes, as 4 últimas. Conhecendo apenas essas informações, uma pessoa que deseja usar o computador vai digitando todas as possíveis senhas, até acertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo,

(A) 240 tentativas.

(B) 144 tentativas.

(C) 576 tentativas.

(D) 196 tentativas.

(E) 288 tentativas.

RESOLUÇÃO:

Observe que na palavra TERESINA temos quatro vogais, sendo duas repetidas, de modo que o total de permutações entre essas vogais é igual a:

P(4;2) = 4! / 2! = (4 x 3 x 2)/2 = 12

Essa palavra também possui 4 consoantes sem nenhuma repetição de modo que o total de permutações entre essas consoantes é igual a:

P(4) = 4! = 24

Desse modo, como as permutações entre as vogais ocorrem de maneira independente das permutações entre as consoantes, o total de possibilidades que temos é dado pela multiplicação 12 x 24 = 288.

Resposta: E

6.

A tabela a seguir mostra a pontuação obtida pelas cinco empresas que participaram da concorrência pública para a construção das dez estações de uma linha de metrô.

De acordo com as regras do edital da concorrência, somente as empresas com mais de 150 pontos seriam consideradas aprovadas. Além disso, o edital determinava que as dez estações seriam distribuídas entre as empresas aprovadas proporcionalmente ao número de pontos que cada uma delas obteve. Sabendo que as dez estações são iguais, o número de maneiras diferentes de distribuí-las entre as empresas aprovadas, de acordo com as regras do edital, é igual a

(A) 7560.

(B) 5040.

(C) 2520.

(D) 1260.

(E) 3780.

RESOLUÇÃO:

Observe que apenas as três primeiras empresas fizeram mais de 150 pontos. Somando os pontos dessas empresas temos um total de 500 + 300 + 200 = 1000 pontos. A distribuição das estações é feita de maneira proporcional ao número de pontos de cada empresa. Assim, as quantidades de estações com cada empresa são:

Empresa I = (500/1000) x 10 = (1/2) x 10 = 5 estações Empresa II = (300/1000) x 10 = (3/10) x 10 = 3 estações Empresa III = (200/1000) x 10 = (2/10) x 10 = 2 estações

Para saber de quantas formas podemos distribuir as cinco estações da primeira empresa, basta fazermos a combinação das 10 estações em grupos de 5:

C(10,5) = (10x9x8x7x6) / (5x4x3x2x1) C(10,5) = (10x9x8x7) / (5x4)

C(10,5) = (2x9x2x7) C(10,5) = 252

Após distribuirmos as cinco estações da primeira empresa, sobram outras cinco estações para escolhermos 3 para a segunda empresa:

C(5,3) = (5x4x3) / (3x2x1) C(5,3) = (5x4) / (2x1)

C(5,3) = 5x2 C(5,3) = 10

Após distribuirmos essas três estações da segunda empresa, sobram as duas estações da terceira empresa. Ou seja, para esta última empresa temos apenas uma possibilidade.

As possibilidades de distribuição das estações entre as empresas qualificadas totalizam: 252 x 10 x 1 = 2520.

Resposta: C

7.

Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a

(A) 18 (B) 24 (C) 36 (D) 48 (E) 72

RESOLUÇÃO:

O número de possibilidades de um professor pegar duas turmas é dado por combinação de quatro turmas, duas a duas:

C(4;2) = 6 possibilidades

Restam duas turmas para serem distribuídas para dois professores: mais 2 maneiras de distribuir essas turmas restantes. Total, portanto, de 6 x 2 = 12 possibilidades.

Como são 3 professores que podem assumir duas turmas, o número total de possibilidades será: 3 x 12 = 36 possibilidades.

Resposta: C

8.

Sidnei marcou o telefone de uma garota em um pedaço de papel a fim de marcar um posterior encontro. No dia seguinte, sem perceber o pedaço de papel no bolso da camisa que Sidnei usara, sua mãe colocou-a na máquina de lavar roupas, destruindo assim parte do pedaço de papel e, consequentemente, parte do número marcado. Então, para sua sorte, Sidnei se lembrou de alguns detalhes de tal número:

- o prefixo era 2204, já que moravam no mesmo bairro;

- os quatro últimos dígitos eram dois a dois distintos entre si e formavam um número par que começava por 67.

Nessas condições, a maior quantidade possível de números de telefone que satisfazem as condições que Sidnei lembrava é

a) 24.

b) 28.

c) 32.

d) 35.

e) 36.

RESOLUÇÃO:

Os últimos quatro dígitos devem formar um número par que começa por 67. Ou seja, um número do tipo 67XY.

Para este número ser par, Y deve ser um algarismo par. As possibilidades para Y são 0, 2, 4, 6 e 8. Como 6 já está presente em 67, sobram 4 opções possíveis para Y.

Por sua vez, X deve ser um número distinto de 6, 7 e Y, sobrando 7 algarismos possíveis. Desta forma, temos 7 x 4 = 28 possibilidades para completar o número restante.

Resposta: B

9.

Suponha que, para sacar certa quantia de sua conta em um caixa eletrônico, um correntista do Banco do Brasil deve lembrar-se de uma senha numérica de seis dígitos e de um código de três letras. Florêncio, cliente do

Banco do Brasil, pretendia usar o caixa eletrônico para fazer um saque, entretanto, lembrava-se apenas de algumas características de sua senha numérica e do respectivo código de letras:

- os três primeiros dígitos eram 455 e os três últimos correspondiam a um número ímpar de três algarismos distintos entre si;

- o código de letras era composto das letras H, J e K, não necessariamente nessa ordem.

O total de senhas que têm essas características é:

a) menor que 1 000.

b) ímpar.

c) quadrado perfeito.

d) divisível por 7.

e) maior que 2 000.

RESOLUÇÃO:

Os três últimos dígitos formavam um número ímpar (portanto, temos apenas 5 possibilidades para o último algarismo), de dígitos distintos entre si (assim, sobram 9 possibilidades para o primeiro dígito e 8 para o segundo). Ao todo temos 9 x 8 x 5 = 360 possibilidades de formá-lo.

O número de permutações das letras H, J e K é de 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades.

Assim, o total de senhas com as características descritas é de 360 x 6 = 2160.

O enunciado não deixou claro se "total de senhas" é senha numérica, código de letras ou a união de ambos. A intenção da banca era saber de quantas maneiras diferentes o caixa poderia ser acessado. Porém, por erros de terminologia, a questão foi anulada.

Resposta: E

10.

Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo.

Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice- Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião?

a) 720

b) 360 c) 120 d) 72 e) 36

RESOLUÇÃO:

O Presidente e o Vice são os únicos que tem lugar fixo. Os 4 membros podem se sentar nas 6 cadeiras disponíveis. Veja que esse é um caso de arranjo: pretendemos posicionar 4 elementos em 6 posições (4 < 6), e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra. Vamos aplicar a fórmula:

( , ) !

( )!

A n m n

= n m

−

A(6, 4) = 6!/2! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 maneiras

Porém o Presidente e o Vice podem trocar de posição entre si, nas duas cabiceiras. Logo, devemos multiplicar essas maneiras por 2.

Total = 360 x 2 = 720 maneiras Resposta: A

11.

Marli colocou cada um dos 6 objetos diferentes em uma prateleira do móvel, representado abaixo, de modo que a arrumação de um dia nunca era a mesma dos dias anteriores. Ela conseguiu fazer isso durante

a) mais de 2 anos.

b) mais de 1 ano e meio e menos de 2 anos.

c) mais de 1 ano e menos de 1 ano e meio.

d) mais de 6 meses e menos de 1 ano.

e) menos de 6 meses.

RESOLUÇÃO:

O número de permutações desses 6 objetos é P(6) = 6! = 720. Usando uma arrumação por dia, podemos cobrir quase 720 dias, ou seja, quase dois anos. Temos isso na alternativa B.

Resposta: B

12.

Um programa de televisão convida o telespectador a participar de um jogo por telefone em que a pessoa tem que responder SIM ou NÃO em 10 perguntas sobre ortografia. O número máximo de respostas diferentes ao teste que o programa pode receber é

a) 2048.

b) 1024.

c) 512.

d) 200.

e) 20.

RESOLUÇÃO:

Cada uma das 10 perguntas tem 2 possibilidades de resposta. Assim, o número de maneiras diferentes de se responder o questionário é:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2¹⁰ = 1024 Resposta: B

13.

Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo.

Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice- Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião?

a) 720

b) 360 c) 120 d) 72 e) 36

RESOLUÇÃO:

Observe que, antes de alguém se sentar, não há qualquer referência na mesa que permita distinguir uma cabeceira da outra. Assim, é preciso “sentar” primeiro uma das pessoas (presidente ou vice) em uma das cabeceiras para, só então, a mesa passar a ter alguma referência espacial. Por isso, não devemos contar com 2 possibilidades para a primeira cabeceira. Simplesmente devemos colocar ali um dos líderes, deixando a outra cabeceira para o restante.

Agora sim as cadeiras laterais são distintas entre si, pois podem estar à esquerda ou à direita do presidente, mais próximas ou mais afastadas dele. Assim, só devemos permutar as 4 pessoas restantes entre as 6 cadeiras laterais. Para isso, duas cadeiras ficarão vazias. É como se tivéssemos 4 pessoas e mais 2 “vazios”. Portanto, basta efetuar a permutação de 6, com repetição de 2 “vazios”, que nos dá: PR (6, 2) = 6! / 2! = 360.

As 360 permutações laterais são INDEPENDENTES das 2 permutações das cabeceiras. Assim, ao todo temos 360 x 2 = 720 formas de arranjar as pessoas na mesa.

Resposta: A

14.

Seja X a diferença entre o maior número inteiro com 4 algarismos distintos e o maior número inteiro com 3 algarismos. Assim sendo, é correto afirmar que X é um número

a) par.

b) divisível por 3.

c) quadrado perfeito.

d) múltiplo de 5.

e) primo.

RESOLUÇÃO:

O maior inteiro com 4 algarismos distintos é 9876. E o maior inteiro com 3 algarismos é 999. Assim, temos 9876 – 999 = 8877

Esse número é divisível por 3, permitindo marcar a alternativa B.

Resposta: B

15.

Das 30 moedas que estão no caixa de uma padaria, sabe-se que todas têm apenas um dos três valores: 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se as quantidades de moedas de cada valor são iguais, de quantos modos poderá ser dado um troco de 1 real a um cliente, usando-se exatamente 12 dessas moedas?

a) Três.

b) Quatro.

c) Cinco.

d) Seis.

e) Sete.

RESOLUÇÃO:

Podemos simplesmente listar as possibilidades:

Moedas de 25 Moedas de 10 Moedas de 5

2 0 10

1 4 7

0 8 4

Veja que em todos os casos usamos exatamente 12 moedas, e a soma foi 1 real, respeitando a condição do enunciado.

Resposta: A

16.

Cinco pessoas de diferentes alturas devem ocupar as cinco cadeiras abaixo para uma fotografia.

O fotógrafo pediu que nem o mais baixo nem o mais alto ocupassem as cadeiras das extremidades.

Respeitando essa condição, o número de maneiras como as pessoas podem se posicionar para a fotografia é a) 12.

b) 18.

c) 24.

d) 36.

e) 72.

RESOLUÇÃO:

Em um total de 5 pessoas, amais alta e a mais baixa não devem se sentar nas extremidades. Logo, o número de possibilidades para a 1ª cadeira é 5 – 2 = 3. Escolhida a pessoa da primeira cadeira, restam 5 – 2 – 1 = 2 pessoas para a 5ª cadeira. Assim, já foram escolhidas as duas pessoas para as cadeiras das extremidades. Para a 2ª, 3ª e 4ª cadeiras restam 3 pessoas a serem escolhidas. Pelo princípio da contagem, veja as possibilidades totais:

3 x 3 x 2 x 1 x 2 = 36 possibilidades 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Resposta: D

17.

Armando, Bárbara, Carlos e Deise foram ao cinema e vão ocupar quatro poltronas consecutivas em uma fila.

Armando e Carlos não querem sentar um ao lado do outro. Nessas condições, o número de maneiras diferentes que eles podem ocupar as quatro poltronas é

(A) 24.

(B) 18.

(C) 15.

(D) 12.

(E) 8.

RESOLUÇÃO:

O total de formas de as quatro pessoas se sentarem é dado pela permutação P(4) = 4! = 24.

Destes casos, devemos tirar aqueles em que Armando e Carlos se sentam juntos. Para isso, podemos considera- los como uma única pessoa, de modo que o total é de 3 pessoas, e o número de permutações é P(3) = 3! = 6.

Devemos ainda multiplicar este valor por 2, chegando a 12 casos, pois Armando e Carlos podem permutar entre si.

Desta forma, temos um total de 24 permutações, das quais 12 NÃO nos interessam (pois Armando e Carlos estão juntos), sobrando 24 – 12 = 12 casos que nos interessam.

Resposta: D

18.

No primeiro turno do campeonato piauiense de futebol 6 times participam, mas somente 4 chegam às semifinais. O número de possibilidades diferentes para o conjunto dos 4 times que estarão nas semifinais é:

a) 10;

b) 12;

c) 15;

d) 18;

e) 30.

RESOLUÇÃO:

Sempre que o objetivo for formar “times”, “grupos”, “comissões” etc. fique atento: provavelmente estamos diante de um caso de Combinação. Afinal nestes agrupamentos não interessa saber a ordem de escolha dos integrantes, interessa saber apenas quem são os integrantes.

Nesse caso, temos 4 times que podem ser selecionados dentre 6 times. Logo, o número de maneiras diferentes serão:

C(6,4) = 6!/4!2! = (6 x 5)/2 = 30/2 = 15 Portanto, existem 15 possibilidades diferentes para 4 times estarem na final.

Resposta: C

19.

João tem 5 processos que devem ser analisados e Arnaldo e Bruno estão disponíveis para esse trabalho. Como Arnaldo é mais experiente, João decidiu dar 3 processos para Arnaldo e 2 para Bruno. O número de maneiras diferentes pelas quais João pode distribuir esses 5 processos entre Arnaldo e Bruno é:

(A) 6;

(B) 8;

(C) 10;

(D) 12;

(E) 15.

RESOLUÇÃO:

O número de formas de escolher 2 dos 5 processos para entregar a Bruno é dado pela combinação de 5 elementos em grupos de 2, ou seja,

C(5,2) = 5 x 4 / 2! = 20 / 2x1 = 20 / 2 = 10 possibilidades

Note que para cada uma dessas 10 possibilidades de Bruno temos uma única possibilidade para Arnaldo (receber os 3 processos restantes). Assim, ao todo temos apenas 10x1 = 10 possibilidades de fazer a distribuição.

Resposta: C

20.

João coordena as 5 pessoas da equipe de manutenção de uma empresa e deve designar, para cada dia, as pessoas para as seguintes funções:

• uma pessoa da equipe para abrir o prédio da empresa e fiscalizar o trabalho geral;

• duas pessoas da equipe para o trabalho no turno da manhã, deixando as outras duas para o turno da tarde.

O número de maneiras diferentes pelas quais João poderá organizar essa escala de trabalho é:

(A) 10;

(B) 15;

(C) 20;

(D) 30;

(E) 60.

RESOLUÇÃO:

Existem 5 formas para escolher a primeira pessoa, que abre o prédio. Feito isso, devemos escolher 2 das 4 pessoas restantes para o turno da manhã, o que nos dá um total de possibilidades de C(4,2) = 4x3/2! = 6. Após isso, sobra uma única possibilidade para o turno da tarde, que são as duas pessoas restantes.

Assim, o total de possibilidades é de 5 x 6 x 1 = 30.

Resposta: D

21.

A sigla de Assembleia Legislativa do Estado da Bahia é "ALBA". Embaralhando as letras de ALBA, o número de sequências diferentes que podem ser formadas com essas mesmas 4 letras é

a) 4.

b) 6.

c) 8.

d) 10.

e) 12.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos 4 letras a serem permutadas, sendo que duas são iguais (A). Aplicando a fórmula da permutação com repetição, fica:

P: 4!/2! = 4.3.2.1/2.1 = 12 sequências diferentes Resposta: E

22.

Em um escritório há 6 tarefas básicas diferentes que devem ser cumpridas pelos funcionários: atender ao público, protocolar, arquivar, digitar, expedir documentos e fazer a manutenção dos computadores. Sabe‐se que cada funcionário do escritório está capacitado para executar exatamente duas dessas tarefas e, para cada duas tarefas, há um único funcionário capacitado a executá‐ las. O número de funcionários desse escritório é

(A) 6.

(B) 12.

(C) 15.

(D) 24.

(E) 30.

RESOLUÇÃO:

Se existem 6 tarefas distintas, podemos combiná-las duas a duas de 15 maneiras, pois:

C(6,2) = 6 x 5 / 2 = 15

Assim, como para cada conjunto possível de 2 tarefas há um funcionário que é capaz de executá-las, são necessários 15 funcionários para cobrir todas as possibilidades de “duplas” de tarefas.

Resposta: C

23.

Deseja‐se arrumar as cinco letras da sigla TCE‐BA nos cinco retângulos da figura a seguir, de modo que as vogais fiquem na linha de cima e as consoantes na linha de baixo.

O número total de maneiras de se fazer esta arrumação é (A) 4.

(B) 6.

(C) 12.

(D) 18.

(E) 24.

RESOLUÇÃO:

Temos 2 vogais e 3 consoantes. Assim, temos 2 x 1 = 2 possibilidades de ordenar as vogais A e E, e temos 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades de ordenar as consoantes T, C, B. Ao todo temos 2 x 6 = 12 possibilidades de ordenar as letras.

Resposta: C

24.

Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa).

(A) 18.000.

(B) 90.

(C) 19.

(D) 680.

(E) 18.000.

RESOLUÇÃO:

Temos 10 opções para o primeiro lugar e 9 restantes para o segundo lugar, totalizando 10 x 9 = 90 possibilidades.

Resposta: B

25.

Num curso de pós-graduação, Marcos, Nélson, Osmar e Pedro são candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Serão escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar podem ser formadas?

a) 24.

b) 18.

c) 16.

d) 12.

e) 6.

RESOLUÇÃO:

Observe que temos 4 pessoas e devemos escolher 2 para a dupla. A uma primeira vista você poderia pensar na combinação C(4,2). Ocorre que a ordem de escolha É RELEVANTE, pois uma pessoa será o representante e a outra será o auxiliar. Assim, devemos usar o arranjo, que leva em conta a ordem de escolha! Temos, portanto:

( , ) !

( )!

A n m n

= n m

−

A(4,2) = 4!/2! = 4 x 3 = 12 escolhas possíveis Resposta: D