Aula 03 Descontos. Prof. Arthur Lima. Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para Auditor Fiscal do ICMS RJ

Aula 03 – Descontos

Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para Auditor Fiscal do ICMS RJ

Prof. Arthur Lima

Sumário

DESCONTOS ... 3

INTRODUÇÃOÀSOPERAÇÕESDEDESCONTO ... 3

DESCONTOSIMPLES ... 4

Desconto racional simples (por dentro) ... 4

Desconto comercial simples (por fora, bancário) ... 6

DESCONTOCOMPOSTO ... 9

Desconto racional composto (por dentro) ... 9

Desconto comercial composto (por fora, bancário) ... 10

NOÇÕESADICIONAISSOBREOPERAÇÕESDEDESCONTO ... 12

Desconto “por dentro” e “por fora” ... 12

Taxa efetiva da operação de desconto ... 12

QUESTÕES DA BANCA FCC COMENTADAS ... 17

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ...49

GABARITO ... 62

RESUMO DIRECIONADO ... 63

Descontos

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

A operação de desconto simples: racional (por dentro), comercial (por fora) e bancário. 5. Equivalência entre taxa de juro e taxa de desconto. 10. Desconto composto: racional e comercial.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

INTRODUÇÃO ÀS OPERAÇÕES DE DESCONTO

Imagine que você é proprietário de um comércio e recebeu de um cliente um cheque “pré-datado” para pagamento de uma venda efetuada. O cheque, no valor de R$1000,00, tem data de vencimento para daqui a 3 meses. Entretanto, você precisa renovar o estoque de seu comércio, motivo pelo qual precisa de dinheiro agora – e não daqui a 3 meses. Pensando assim, você vai ao banco, que se oferece para ficar com o cheque, aguardando a data correta de depósito, e te adiantar o valor em dinheiro. O banco não fará essa operação “de graça”. Para isso, o gerente te informa que será cobrada a taxa de desconto simples de 5% ao mês. Assim, o banco não te entregará R$1000,00, mas sim R$850,00. Isto é, ao efetuar a operação, o seu título (no caso, um cheque) sofreu o desconto de R$150,00, que é a remuneração do banco por ter antecipado 850 reais para você.

Nesta situação, temos um título de crédito (cheque) com um determinado valor nominal N = 1000 reais (também conhecido como “valor de face” ou “valor futuro”) e prazo de vencimento t = 3 meses. Esse título sofre uma operação de desconto, cuja taxa de desconto simples é j = 5% ao mês. Como resultado, você recebe apenas o valor atual (ou “valor presente”) do título, isto é, A = 850 reais, e o banco retém o valor do desconto D = 150 reais.

O exemplo acima tem o intuito de auxiliá-lo a entender em que consiste uma operação de desconto, muito comum no comércio que trabalha com recebimentos a prazo (cheques “pré-datados”, duplicatas, notas promissórias etc.) mas precisa do dinheiro à vista para poder manter o seu negócio funcionando (pagar salários, impostos, comprar mercadorias etc.). Repare que o desconto é, em sua essência, uma operação inversa à aplicação de juros sobre um investimento. Nos próximos tópicos veremos as operações de desconto cobradas

Para começar, saiba esses conceitos fundamentais:

- valor nominal (N ou VF): é o valor do título na data do seu vencimento. Também é conhecido como valor futuro, ou valor de face (pois é o valor que está escrito no título). Em nosso exemplo, N = 1000 reais.

- valor atual (A ou VP): é o valor do título na data da operação de desconto, também conhecido como valor presente, valor líquido ou valor descontado do título. Em nosso exemplo, A = 850 reais.

- desconto: é a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título de crédito

D = N – A isto é D = VF – VP

De agora em diante vamos conhecer as principais modalidades de OPERAÇÕES DE DESCONTO, ok?

DESCONTO SIMPLES

O desconto simples é aquele correspondente ao regime de juros simples. Existem duas formas principais de cálculo do desconto simples de um título de crédito: o desconto racional e o desconto comercial.

Desconto racional simples (por dentro)

Em uma operação de desconto racional simples (também conhecido como desconto “por dentro”), a relação entre o valor nominal (N), valor atual (A) e a taxa de desconto (d) e o prazo de antecipação de resgate do título (t) é dada por:

N = A x (1 + d x t)

Veja que é bem fácil decorar esta fórmula, pois ela lembra M = C x (1 + j x t). Basta substituir o montante pelo valor nominal (N), o capital pelo valor atual (A), e a taxa de juros pela taxa de desconto (d).

Utilizando a fórmula acima, podemos calcular qual seria o valor atual (A) daquele cheque do exemplo dado acima. Lembrando que o valor nominal era N = 1000, a taxa de desconto era d = 5% ao mês e o prazo de antecipação t = 3 meses, temos:

A = 1000 / (1 + 0,05 x 3) A = 1000 / 1,15

A = 869,56

Isto é, se o banco tivesse utilizado o desconto “por dentro”, você receberia, naquele momento, R$869,56.

Em outras palavras, o valor atual do seu cheque seria de R$869,56, apesar de seu valor de face ser R$1000,00.

O valor do desconto seria:

D = N – A D = 1000 – 869,56

D = 130,44 reais

Assim, o banco teria ganho R$130,44 para ficar com o seu cheque, aguardando a data de vencimento do mesmo para poder sacar o valor de 1000 reais.

Veja essa questão:

CESPE – CAGE/RS – 2018) No regime de juros simples, um título com valor nominal de R$ 38.290,20 vence em 6 meses. A taxa de juros usada na negociação é de 24% ao ano e o resgate do título será feito dois meses antes de seu vencimento. Considerando o desconto racional, assinale a opção correspondente ao cálculo correto do valor a ser resgatado nessa situação.

A) 38.290,20₄ 1 0,24

12

 + 

 

 

B) 0,24

38.290,20 1 2 12

 

 −  

C) 38.290,20 1 0,24 2 12 x +

D) 38.290,20 1 0,24 4 12 x +

E) 38.290,20₂ 1 0,24

12

 + 

 

 

RESOLUÇÃO:

A taxa de desconto é de 24% ao ano. Como o ano tem 12 meses, podemos dizer que 𝑑 =^24%

12 =^0,24

12 ao mês.

Temos valor nominal N = 38.290,20 reais, e o prazo de antecipação é t = 2 meses. Assim, o valor atual (de resgate) na fórmula do desconto racional é:

N = A x (1 + d x t)

𝐴 = 𝑁

1 + 𝑑 × 𝑡 Substituindo os valores conhecidos:

A = 38.290,20 1 + ^0,24

12 x 2 Resposta: C

Desconto comercial simples (por fora, bancário)

Em uma operação de desconto comercial simples (desconto “por fora simples” ou “bancário simples”), a relação entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) de um título é dada por:

A = N x (1 – d x t)

Utilizando a fórmula acima, também podemos calcular qual seria o valor atual (A) daquele cheque do exemplo dado acima:

A = 1000 x (1 - 0,05 x 3) A = 1000 x (0,85)

A = 850

Veja que o gerente do banco provavelmente se referia a esse desconto. Assim, você recebeu R$850,00.

Este é o valor atual do seu cheque, apesar de seu valor de face ser R$1000,00. O valor do desconto foi:

D = N – A D = 1000 – 850

D = 150

Assim, o banco efetuou um desconto de R$150,00 para ficar com o seu cheque, aguardando a data de vencimento do mesmo.

A propósito, é possível calcular diretamente o valor do DESCONTO COMERCIAL SIMPLES por meio da fórmula:

D = N x d x t Em nosso exemplo, como N = 1000 reais, d = 5% e t = 3, temos:

D = 1000 x 0,05 x 3 D = 150 reais

Veja que, no exemplo, eu apenas mencionei “desconto simples”, não explicitando se o desconto foi racional ou comercial. Em várias questões de sua prova ocorrerá o mesmo. Diante desta situação, você deve se lembrar que o desconto comercial também é chamado desconto bancário, isto é, típico de operações efetuadas pelos bancos. Assim, não sendo mencionado que o desconto a ser aplicado é o racional, você deve usar o desconto comercial / bancário / por fora.

A fórmula abaixo relaciona o desconto por dentro com o desconto por fora, quando é aplicada a mesma taxa de desconto “d”:

Df = Dd x (1 + d x t)

No nosso exemplo, vimos que Df = 150 e Dd = 130,44, para d = 5% ao mês e t = 3 meses. Veja que, de fato, Df = Dd x (1 + d x t)

150 = 130,44 x (1 + 0,05 x 3) 150 = 150

Veja uma questão em que utilizamos essa fórmula:

FCC – PREF TERESINA/PI – 2016) O valor recebido, na data de hoje, por uma empresa que descontou um título de valor nominal de R$ 23.650,00 que vence daqui a 4 meses é igual a R$ 21.285,00. Sabe-se que foi utilizada a operação do desconto comercial simples a uma taxa de desconto mensal igual a i. Caso fosse utilizada a operação do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto mensal igual a i, verifica-se que o valor do desconto, em R$, seria de

a) 2.200,00.

b) 2.365,00.

c) 2.150,00.

d) 2.050,00.

e) 2.250,00.

RESOLUÇÃO:

Foram dados N = 23650, A = 21285 e t = 4 meses. O desconto é o comercial simples (por fora). Logo:

A = N x (1 – d x t) 21285 = 23650 x (1 – d x 4)

21285/23650 = 1 – 4d 0,9 = 1 – 4d

4d = 0,1 d = 0,025 = 2,5%

O valor do desconto é Df = N – A = 23650 – 21285 = 2365 reais.

Para achar o desconto racional simples (por dentro), a uma mesma taxa d = 2,5%am e t = 4 meses, podemos usar a fórmula que relaciona os dois descontos:

Df = Dd x (1 + d x t) 2365 = Dd x (1 + 4d) 2365 = Dd x (1 + 4x0,025)

2365 = Dd x (1 + 0,1) Dd = 2365/1,1 Dd = 2150 reais Resposta: C

Antes de conhecermos o Desconto Composto, verifique se você compreendeu a teoria sobre Desconto

CESPE – SEDUC/AL – 2018) Com relação a matemática financeira, cada um dos itens a seguir apresenta uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada.

() Um título de valor nominal igual a R$ 5.300 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 24% ao ano, sem cobrança de taxas administrativas. Nesse caso, o valor descontado foi de R$ 5.000.

() Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o valor descontado foi igual a R$ 16.000.

RESOLUÇÃO:

() Um título de valor nominal igual a R$ 5.300 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 24% ao ano, sem cobrança de taxas administrativas. Nesse caso, o valor descontado foi de R$ 5.000.

A fórmula do desconto comercial simples é:

A = N x (1 – d x t)

Sabe-se que N = 5300, t = 3 meses e d =24% aa = 2 % ao mês. Pede-se o valor descontado do título, ou seja, o valor atual:

A = 5300 x (1 – 0,02 x 3) A = 5300 x (1 – 0,06)

A = 5300 x (0,94) A = 4982 reais Item ERRADO.

() Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o valor descontado foi igual a R$ 16.000.

A fórmula do desconto racional simples é dada por:

N = A x (1 + d x t)

Sabe-se que N = 20800, t = 6 meses e d =5 % ao mês. Pede-se o valor descontado (A):

20800 = A x (1 + 0,05 x 6) 20800 = A x 1,3 A = 16000 reais Item CORRETO.

Resposta: E C

DESCONTO COMPOSTO

Em muitos casos o desconto dado pelo banco numa operação como esta segue o regime de juros compostos. Se isso ocorre, temos uma operação de desconto composto, que também se divide em racional ou comercial.

Desconto racional composto (por dentro)

Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é dada por:

N = A x (1 + d)^t

Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo exemplo que trabalhamos acima, teríamos:

A = 1000 / (1 + 0,05)³ = 1000 / 1,05³ A = 863,83 reais

Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no regime de desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu vencimento, você receberá R$863,83. O desconto será de:

D = 1000 – 863,83 = 136,16 reais

FCC – TRE/PR – 2017) A Cia. Só Queijos adquiriu um imóvel para ser pago em 5 parcelas iguais de R$ 8.000,00, vencíveis em 30, 60, 90, 120 e 150 dias, respectivamente, após a data da compra. Após pagar a terceira parcela, a Cia. verificou que possuía condições financeiras de quitar as demais parcelas nesta mesma data. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada era 4% a.m., o valor que a Cia. Só Queijos desembolsou para quitar o imóvel, após pagar a terceira parcela, foi ,desprezando-se os centavos, em reais,

(A) 15.088,00.

(B) 13.413,00.

(C) 15.052,00.

(D) 15.099,00.

(E) 15.040,00.

RESOLUÇÃO:

Veja que na data t = 3 meses (noventa dias) serão adiantadas as prestações vencíveis em t = 4 e t = 5 meses.

Podemos adiantá-las usando o desconto racional composto (regime que utiliza os juros compostos citados no enunciado), lembrando que, neste regime:

N = A x (1 + d)^t isto é, A = N / (1+d)^t

A quarta parcela será paga com antecedência de t = 1 mês (afinal, ela deveria ser paga no 4º mês, mas agora será paga no 3º mês). O seu valor nominal é de N = 8000 reais. Aplicando a taxa de d = 4%am, temos:

A4 = 8.000 / (1+4%)¹ A4 = 8.000 / 1,04 A4 = 7692,30 reais

A quinta parcela será paga com antecedência de t = 2 meses (do 5º para o 3º mês). Temos:

A5 = 8.000 / (1+4%)² A5 = 8.000 / 1,0816

A5 = 7.396,44

Portanto, os valores a serem pagos para antecipar a 4ª e 5ª parcelas, quitando o imóvel, somam:

A4 + A5 = 7692,30 + 7396,44 A4 + A5 = 15.088,74 reais Resposta: A

Desconto comercial composto (por fora, bancário)

Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é dada por:

A = N x (1 – d)^t

Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo exemplo que trabalhamos acima, teríamos:

1000 (1 0,05)3

857,37 A

A

=  −

=

Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no regime de desconto comercial composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu vencimento, você receberá R$857,37. O desconto foi de:

D = 1000 – 857,37 = 142,62

Teste o seu aprendizado a respeito de desconto composto:

FCC – ARCE – 2012) Uma pessoa tem com um certo credor a seguinte dívida:

Hoje ela combinou com esse credor substituir esses títulos por dois outros, de valores nominais iguais entre si, um a vencer daqui a 4 meses e o outro daqui a 5 meses. Se, nessa transação, vão utilizar juros compostos à taxa de 6% ao mês, o valor nominal de cada um desses novos títulos, segundo o critério do desconto composto racional, será de, aproximadamente,

(A) R$ 2.000,75.

(B) R$ 2.002,64.

(C) R$ 2.004,53.

(D) R$ 2.006,21.

(E) R$ 2.008,98.

RESOLUÇÃO:

Lembre-se que só podemos comparar VALORES ATUAIS, pois eles estão na mesma data (t = 0). Os três títulos originais devem ter valor atual igual aos dois títulos novos. Só assim podemos dizer que são equivalentes (de modo a poder efetuar a troca). Calculando o valor atual dos títulos originais, temos:

A = N / (1+d)^t

A1 = 1000 / 1,06² = 889,99 A2 = 1200 / 1,06³ = 1007,54 A3 = 1500 / 1,06⁴ = 1188,14

Assim, o valor atual desses 3 títulos soma A = 3085,67 reais. Os títulos novos terão valor nominal igual a N, e vencimentos em 4 e 5 meses. Assim, seus valores atuais podem ser expressos por:

A1 = N / 1,06⁴ = 0,792N A2 = N / 1,06⁵ = 0,747N A soma de seus valores atuais também deve ser 3085,67 reais. Logo,

3085,67 = 0,792N + 0,747N 3085,67 = 1,539N N = 3085,67 / 1,539

N = 2004,9 reais (aproximadamente) Resposta: C

NOÇÕES ADICIONAIS SOBRE OPERAÇÕES DE DESCONTO

Desconto “por dentro” e “por fora”

Agora que você já teve uma visão geral das modalidades de descontos simples e compostos, racionais e comerciais, gostaria de tecer mais alguns comentários que vão te auxiliar a entender e memorizar as fórmulas de desconto racional/por dentro e desconto comercial/por fora. Veremos ainda alguns detalhes adicionais que podem ser cobrados em sua prova.

Para começar: por quê as fórmulas N = A x (1 + dxt) e N = A x (1 + d)^t nos fornecem o desconto por dentro?

E por quê as fórmulas A = N x (1 – d x t) e A = N x (1 – d)^t nos fornecem o desconto por fora?

Para responder a essas perguntas, é interessante que você visualize a figura abaixo:

Como o valor atual é sempre inferior ao nominal, podemos imaginar que aquele está contido no interior deste. O desconto “por dentro” é aquele que parte de dentro para fora. Isto é, parte-se de um valor atual A que, se multiplicado pelo fator de acumulação de capital (1+dxt) ou (1+d)^t, conforme o caso, leva ao valor nominal N após o período “t”, à taxa “j”. É por isto que:

N = A x (1 + dxt), no desconto simples “por dentro”

N = A x (1 + d)^t, no desconto composto “por dentro”

Já o desconto “por fora” é aquele que parte de fora para dentro. Assim, parte-se de um valor nominal N que, se multiplicado pelo fator de redução (1 – d x t) ou (1 – d)^t, conforme o caso, leva ao valor atual A após o período “t”, à taxa “d”. É por isto que:

A = N x (1 – dx t), no desconto simples “por fora”

A = N x (1 – d)^t, no desconto composto “por fora”

Acredito que assim fica mais fácil distinguir as fórmulas de desconto “por dentro” e “por fora”.

Taxa efetiva da operação de desconto

Imagine que você foi ao banco e descontou um cheque de R$10.000 que venceria em 3 meses. O gerente do banco te disse que a taxa de desconto comercial era de 5% ao mês, e com isso te pagou R$8.500, afinal:

A = N x (1 – d x t) = 10.000 x (1 – 0,05 x 3) = 8500 reais Você pode pensar o seguinte:

“Não tem problema eu receber só R$8.500 agora. Afinal, se eu pegar esse dinheiro hoje e aplicar num investimento que renda 5% ao mês, daqui a 3 meses eu volto a ter R$10.000”

Esse raciocínio é ERRADO! Veja quanto você teria se aplicasse os 8.500 reais por 3 meses a 5%am:

M = C x (1 + jxt) = 8500 x (1 + 0,05x3) = 9775 reais Perceba que, daqui a 3 meses, você teria MENOS que os 10.000 reais originais.

Por que isso acontece?

Isso ocorre porque, embora o gerente do banco tenha dito que aplicaria uma taxa de desconto comercial de 5% am, na verdade ela aplicou uma taxa efetiva de desconto MAIOR do que essa! Isso mesmo!

Se você quiser descobrir qual é a taxa efetivamente utilizada na operação, basta utilizar a fórmula do desconto RACIONAL. Se substituirmos os valores nominal N = 10000, atual A = 8500 e o prazo t = 3 meses, na fórmula do desconto racional simples, descobriremos qual foi a taxa realmente empregada pelo banco:

N = A x (1 + d x t) 10.000 = 8.500 x (1 + d x 3)

1,1764 = 1 + 3d d =0,0588 = 5,88%am

Portanto, o gerente disse que utilizou uma taxa comercial de 5% am mas, na verdade, ele empregou uma taxa efetiva de 5,88%am! Veja que, se pegarmos os 8.500 reais e aplicarmos por 3 meses a 5,88%am, chegaremos de volta aos 10.000 reais:

M = C x (1 + jxt) = 8500 x (1 + 0,0588 x 3) = 10.000 reais

O que podemos aprender deste exemplo?

- LIÇÃO 1: a taxa de desconto comercial é MENOR do que a taxa efetivamente empregada na operação;

- LIÇÃO 2: a taxa efetivamente empregada na operação é aquela obtida por meio do desconto RACIONAL;

- LIÇÃO 3: a partir da operação de desconto, é possível calcular a taxa efetiva utilizando a fórmula de desconto RACIONAL.

A taxa efetivamente empregada na operação também é chamada de taxa de juros da operação.

Portanto, sempre que o enunciado de uma questão sobre descontos mencionar explicitamente uma taxa de JUROS, ela está falando da taxa efetiva, ou melhor, está falando da taxa de desconto RACIONAL.

É possível calcular rapidamente a taxa efetiva de uma determinada operação de desconto comercial.

Temos, para isso, as seguintes fórmulas:

- se o desconto comercial for SIMPLES:

𝟏 𝒅𝒄− 𝟏

𝒅𝒓= 𝒕 - se o desconto comercial for COMPOSTO:

𝟏 𝒅𝒄− 𝟏

𝒅𝒓= 𝟏

Veja que a única diferença entre as fórmulas está do lado direito da igualdade. Em nosso exemplo, tínhamos a taxa de desconto comercial SIMPLES dc = 5%am, e o prazo da operação era de t = 3 meses. Assim, podemos descobrir a taxa efetiva da operação, isto é, a taxa de desconto racional simples (dr):

1 𝑑𝑐− 1

𝑑𝑟= 𝑡 1

0,05− 1 𝑑𝑟 = 3 100

5 − 1 𝑑𝑟 = 3 20 − 1

𝑑𝑟= 3 20 − 3 = 1

𝑑𝑟 17 = 1

𝑑𝑟 𝑑𝑟 = 1

17= 0,0588 = 5,88%𝑎𝑚

Compreendeu? Em síntese, o gerente do banco falou que a taxa seria de 5%am mas, na realidade, ele empregou uma taxa de 5,88%am em seu cálculo!

Se a operação fosse de desconto comercial COMPOSTO, usaríamos a segunda fórmula, ficando com:

1 𝑑𝑐− 1

𝑑𝑟= 1 1

0,05− 1 𝑑𝑟 = 1 100

5 − 1 𝑑𝑟 = 1 20 − 1

𝑑𝑟= 1 20 − 1 = 1

𝑑𝑟 19 = 1

𝑑𝑟

𝑑𝑟 = 1

19= 0,0526 = 5,26%𝑎𝑚

Repare que, novamente, a taxa efetiva (5,26%) é SUPERIOR à taxa de desconto comercial (5%).

1. Desconto racional (por dentro)

• calculado sobre o valor atual;

• a taxa efetiva é a própria taxa de desconto.

2. Desconto comercial (por fora)

• calculado sobre o valor nominal;

• a taxa efetiva é MAIOR que a taxa de desconto.

Resolva comigo essas questões:

CESPE – CAGE/RS – 2018) Um comerciante contratou um estagiário, estudante universitário, para cuidar dos registros das informações financeiras no sistema da loja. O banco do qual o comerciante é cliente oferece o serviço de desconto de cheques, cobrando a taxa de desconto comercial simples de 7,5% ao mês. Todavia, o sistema da loja só registra a taxa efetiva dessas operações. Nessa situação, se o comerciante depositar um cheque no valor de R$ 100 para ser descontado com antecedência de 1 mês, a taxa efetiva registrada pelo sistema da loja será

A inferior a 6,5%.

B superior a 6,5% e inferior a 7,5%.

C superior a 7,5% e inferior a 8,5%.

D superior a 8,5% e inferior a 9,5%.

E superior a 9,5%.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a taxa efetiva é a taxa de desconto RACIONAL. Temos uma taxa de desconto comercial simples dc = 7,5%am e estamos falando de operações com t = 1 mês de antecedência. Podemos, portanto, encontrar a taxa efetiva (ou taxa de desconto racional simples) dr da seguinte forma:

1/dc – 1/dr = t 1/0,075 – 1/dr = 1 1 / (75/1000) – 1/dr = 1

1000/75 – 1/dr = 1 1000/75 – 75/75 = 1/dr

925/75 = 1/dr dr = 75/925

dr = 0,081 dr = 8,1% ao mês Resposta: C

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Um título foi pago 8 meses antes do seu vencimento, com desconto racional simples à taxa de 20%. Se o desconto fosse comercial, a taxa que deveria ser adotada para produzir um desconto de igual valor é:

a. ( ) Maior que 7,75%.

b. ( ) Maior que 7,5% e menor que 7,75%.

c. ( ) Maior que 7,25% e menor que 7,5%.

d. ( ) Maior que 7% e menor que 7,25%.

e. ( ) Menor que 7%.

RESOLUÇÃO:

A relação entre o desconto comercial (dc) e o desconto racional (dr) que produzem o mesmo efeito, no regime simples, é:

1/dc – 1/dr = t

Sabemos que a taxa racional é dr = 20% am, e o prazo de antecipação é t = 8 meses. Substituindo esses valores na fórmula:

1/dc – 1/0,20 = 8 1/dc – 5 = 8

1/dc = 13 dc = 1/13 dc = 0,0769

dc = 7,69%

Resposta: B

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões da banca FCC comentadas

1.

A Cia. Só Queijos adquiriu um imóvel para ser pago em 5 parcelas iguais de R$ 8.000,00, vencíveis em 30, 60, 90, 120 e 150 dias, respectivamente, após a data da compra. Após pagar a terceira parcela, a Cia. verificou que possuía condições financeiras de quitar as demais parcelas nesta mesma data. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada era 4% a.m., o valor que a Cia. Só Queijos desembolsou para quitar o imóvel, após pagar a terceira parcela, foi ,desprezando-se os centavos, em reais,

(A) 15.088,00.

(B) 13.413,00.

(C) 15.052,00.

(D) 15.099,00.

(E) 15.040,00.

RESOLUÇÃO:

Veja que na data t = 3 meses (noventa dias) serão adiantadas as prestações vencíveis em t = 4 e t = 5 meses.

Podemos adiantá-las usando o desconto racional composto (regime que utiliza os juros compostos citados no enunciado), lembrando que, neste regime:

A = N / (1+j)^t

Assim, o valor a ser pago pela quarta e quinta parcelas (que serão adiantadas em 1 e 2 meses, respectivamente), é:

A = 8.000 / (1+4%)¹ + 8.000 / (1+4%)² A = 8.000 / 1,04 + 8.000/1,0816

A = 7692,30 + 7.396,44 A = 15.088,74 Resposta: A

2.

O valor recebido, na data de hoje, por uma empresa que descontou um título de valor nominal de R$ 23.650,00 que vence daqui a 4 meses é igual a R$ 21.285,00. Sabe-se que foi utilizada a operação do desconto comercial simples a uma taxa de desconto mensal igual a i. Caso fosse utilizada a operação do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto mensal igual a i, verifica-se que o valor do desconto, em R$, seria de

a) 2.200,00.

b) 2.365,00.

c) 2.150,00.

d) 2.050,00.

e) 2.250,00.

RESOLUÇÃO:

Foram dados N = 23650, A = 21285 e t = 4 meses. O desconto é o comercial simples (por fora). Logo:

A = N x (1 – i x t) 21285 = 23650 x (1 – i x t)

21285/23650 = 1 – 4i 0,9 = 1 – 4i

4i = 0,1 O valor do desconto é Df = N – A = 23650 – 21285 = 2365 reais.

Para achar o desconto racional simples (por dentro), a uma mesma taxa i e t = 4 meses, podemos usar a fórmula que relaciona os dois descontos:

Df = Dd x (1 + i x t) 2365 = Dd x (1 + 4i) 2365 = Dd x (1 + 0,1)

Dd = 2365/1,1 Dd = 2150 reais Resposta: C

3.

Uma duplicata é descontada 6 meses antes de seu vencimento em um banco que adota uma taxa de desconto de 5% ao trimestre para qualquer operação de desconto. Verifica-se que o valor do desconto com a utilização do desconto racional composto supera o valor do desconto com a utilização do desconto racional simples em R$ 50,00. Caso a opção seja pela utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, então, (A) R$ 2.200,00.

(B) R$ 2.425,50.

(C) R$ 2.275,50.

(D) R$ 2.505,75.

(E) R$ 2.250,00.

RESOLUÇÃO:

Seja N o valor nominal da duplicata. No desconto racional composto, temos:

N = Ac (1 + j)^t N = Ac (1 + 5%)²

N = 1,1025Ac Ac = N / 1,1025 No desconto racional simples,

N = As (1 + j x t) N = As (1 + 5% x 2)

N = 1,10As As = N / 1,10

Como a diferença entre os descontos é de 50 reais, podemos dizer que:

Dc = N – Ac = N – N/1,1025 Ds = N – As = N – N/1,10

Como a diferença entre os descontos é 50 reais, então o maior desconto (Dc) é igual ao menor (Ds) mais 50 reais:

Dc = Ds + 50

N – N/1,1025 = N – N/1,10 + 50 – N/1,1025 = – N/1,10 + 50

N/1,10 – N/1,1025 = 50 N – 1,10.N/1,1025 = 50x1,10

N – 1,10.N/1,1025 = 55 1,1025N – 1,10N = 55x1,1025

0,0025N = 60,6375 N = 60,6375 / 0,0025

N = 606375 / 25 N = 606375 / 25 N = 24.255 reais No desconto comercial simples, teríamos:

D = N x j x t D = 24.255 x 0,05 x 2

D = 24.255 x 0,10 D = 2.425,50 reais Resposta: B

4.

A taxa de desconto utilizada em um banco para as operações de desconto de títulos é de 24% ao ano. Se um título é descontado neste banco 3 meses antes de seu vencimento, verifica-se que o valor do desconto comercial simples supera o valor do desconto racional simples em R$ 73,80. O valor atual do título, considerando o desconto comercial simples, é igual a

(A) R$ 19.768,20 (B) R$ 20.238,20 (C) R$ 20.285,20 (D) R$ 20.332,20 (E) R$ 20.426,20 RESOLUÇÃO:

Temos t = 3 meses e j = 2%am (ou 24% ao ano). Assim, Desconto comercial simples (DCS):

A = N x (1 - j x t) D = N - A D = N - N x (1 - j x t) D = N - N x (1 - 0,02 x 3)

D = N - N x 0,94 D = 0,06xN Desconto racional simples (DRS):

A = N / (1 + j x t) A = N / (1 + 0,02 x 3)

A = N / 1,06 A = 0,9434N

D = N - A D = N - 0,9434N D = 0,0566038N Foi dito que:

DCS = DRS + 73,80 Logo,

0,06N = 0,0566038N - 73,80 0,06N - 0,0566038N = 73,80

0,0033962N = 73,80 N = 73,80 / 0,0033962

N = 21.730 reais Portanto, o valor atual do título no DCS é:

A = 21.730 x (1 - 0,02 x 3) A = 21.730 x (0,94) A = 20.426,20 reais Resposta: E

5.

Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi

(A) R$ 3.965,00 (B) R$ 9.285,00 (C) R$ 3.035,00 (D) R$ 3.500,00 (E) R$ 3.830,00 RESOLUÇÃO:

Sendo M o valor nominal do segundo título, podemos dizer que o do primeiro é 2M, ou seja, o dobro. Assim, temos os valores atuais:

A1 = N x (1 – j x t) = 2M x (1 – 4% x 3) = 2M x 0,88 = 1,76M

A2 = N / (1 + j x t) = M / (1 + 4% x 3) = M / 1,12 = 0,89M (aproximadamente) Os descontos são tais que:

D1 + D2 = 1215 (N1 – A1) + (N2 – A2) = 1215 (2M – 1,76M) + (M – 0,89M) = 1215

0,35M = 1215 M = 3471,43 reais Logo, a diferença entre os valores líquidos é:

A1 – A2 = 1,76M – 0,89M =

0,87M = 0,87 x 3471,43 =

3020,14 reais

(aproximadamente o valor da alternativa C) Resposta: C

6.

Um título é descontado em um banco 5 meses antes de seu vencimento com a utilização do desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 36% ao ano. Caso este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 36% ao ano, o correspondente valor atual superaria o valor atual anterior em R$ 517,50. O valor do desconto apurado com a utilização da operação de desconto racional simples é

(A) R$ 3.500,00 (B) R$ 3.300,00 (C) R$ 3.350,00 (D) R$ 3.400,00 (E) R$ 3.450,00 RESOLUÇÃO:

Sendo N o valor nominal deste título, A o valor atual, j a taxa de desconto e t o prazo de antecipação em relação ao vencimento do título, a fórmula do desconto comercial simples nos diz que:

A = N x (1 - j x t) Com as informações dadas, temos:

A1 = N x (1 – 3% x 5) A1 = 0,85N

Repare que eu usei a taxa j = 3% ao mês, que é equivalente a 36% ao ano no regime simples (basta dividir por 12, que é o número de meses em um ano). Fiz isso porque o prazo foi dado em meses.

No caso do desconto racional simples, a fórmula é:

N = A x (1 + j x t) N = A2 x (1 + 3% x 5)

N = A2 x 1,15 A² = N / 1,15

A2 = 0,8695N

O enunciado disse que caso este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, o correspondente valor atual (A2) superaria o valor atual anterior (A1) em R$517,50. Ou seja,

A2 = A1 + 517,50 0,8695N = 0,85N + 517,50 0,8695N – 0,85N = 517,50

0,0195N = 517,50 N = 26538,46 reais

Portanto, no caso da operação de desconto racional simples temos o valor nominal N = 26538,46 reais, e o valor atual:

A2 = 0,8695N = 0,8695 x 26538,46 = 23075,19 reais Assim, o valor do desconto apurado seria:

D = N – A D = 26538,46 – 23075,19

D = 3463,27 reais

Temos, aproximadamente (pois fizemos alguns arredondamentos), a resposta da alternativa E.

Observação: Existe uma maneira mais fácil de resolver essa questão. Bastaria lembrar da relação entre os dois tipos de descontos (seja Dc e Dr os descontos comercial e racional):

Dc = Dr x (1 + n.t) Sabemos que:

Ac = N - Dc Valor atual para desconto racional:

Ar = N - Dc A diferença entre ambos é de 517,50. Logo:

N – Dr = 517,5 + (N – Dc) Dr = Dc – 517,5 Dc = Dr + 517,5 Dr + 517,5 = Dr x (1 + 3% x 5)

Dr + 517,5 = Dr x 1,15 0,15Dr = 517,5 Dr = 3450 reais Resposta: E

7.

Dois títulos, com a soma de seus valores nominais igual a R$ 48.100,00, são descontados em um banco 4 meses antes de seus vencimentos. O primeiro título foi descontado por meio de uma operação de desconto comercial simples e o segundo título foi descontado por meio de uma operação de desconto racional simples. Verificou- se que a soma dos respectivos valores atuais apresentou um valor igual a R$ 43.500,00. Se, em ambos os casos, a taxa de desconto considerada foi de 2,5% ao mês, o valor do desconto do título de maior valor nominal foi, em R$, igual a

(A) 2.600,00.

(B) 2.500,00.

(C) 2.250,00.

(D) 2.400,00.

(E) 2.100,00.

RESOLUÇÃO:

Como a soma de seus valores nominais é igual a R$ 48.100,00, podemos dizer que se o valor nominal do primeiro título é N, o do segundo título será de 48100 – N. Da mesma forma, como a soma dos valores atuais é 43500, podemos dizer que se o valor atual do primeiro título é A, o do segundo é 43500 – A. O prazo de vencimento é t = 4 meses, e a taxa de desconto é j = 2,5%am. Assim:

- O primeiro título foi descontado por meio de uma operação de desconto comercial simples:

A = N x (1 – j x t) A = N x (1 – 0,025 x 4)

A = 0,9N

- O segundo título foi descontado por meio de uma operação de desconto racional simples:

48100 – N = (43500 – A) x (1 + 0,025 x 4) 48100 – N = (43500 – 0,9N) x 1,10

48100 – N = 47850 – 0,99N 250 = 0,01N N = 25000 reais Portanto,

A = 0,9N = 0,9 x 25000 = 22500 reais 48100 – N = 48100 – 25000 = 23100 reais 43500 – A = 43500 – 22500 = 21000 reais Assim, o valor do desconto do título de maior valor nominal foi:

D = 25000 – 22500 = 2500 reais Resposta: B

8.

Um agente deseja descontar hoje um título com vencimento para daqui a 30 dias e tem as seguintes opções:

Banco I: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples racional.

Banco II: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples comercial.

Banco III: taxa de 4% ao mês, operação de desconto composto racional.

Banco IV: taxa de 3,5% ao mês, operação de desconto simples racional.

Para obter o maior valor líquido, ele deve optar pelo Banco (A) III ou IV.

(B) IV.

(C) III.

(D) II.

(E) I.

RESOLUÇÃO:

Temos o prazo de antecipação t = 1 mês para todos os casos. Calculando o valor atual em cada opção, temos:

- Banco I: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples racional.

N = A x (1 + 0,03 x 1) A = N / 1,03 = 0,971N - Banco II: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples comercial.

A = N x (1 – 0,03 x 1) A = 0,97N

- Banco III: taxa de 4% ao mês, operação de desconto composto racional.

N = A x (1 + 0,04)¹ A = N / 1,04 = 0,961N - Banco IV: taxa de 3,5% ao mês, operação de desconto simples racional.

N = A x (1 + 0,035 x 1) A = N / 1,035

A = 0,966N

Portanto, o maior valor atual (ou valor líquido) é obtido no banco I, sendo igual a 0,971N.

Repare que não seria necessário efetuar todos esses cálculos. Para obter a opção de maior valor líquido, basta buscar aquela onde o desconto é menor. Sabemos que quanto menor é a taxa, menor é o desconto, o que nos deixaria apenas entre as opções I e II. Dentre elas, sabemos que o desconto comercial é maior que o racional (não é à toa que os bancos preferem o desconto comercial!), de modo que o menor desconto é o racional, aplicado pelo banco I.

Resposta: E

9.

Maria fará um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar depois de dois meses. As opções possíveis de empréstimo são:

Opção A: juros simples de 5% ao mês.

Opção B: juros compostos de 4% ao mês, capitalizados mensalmente.

A melhor opção para Maria, e o quanto ela gastará a menos que na outra opção são, respectivamente, (A) B e R$ 176,00.

(B) A e R$ 85,00.

(C) A e R$ 200,00.

(D) B e R$ 184,00.

(E) B e R$ 120,00.

RESOLUÇÃO:

Calculando os montantes nos dois casos temos:

- Opção A: juros simples de 5% ao mês.

M = 10000 x (1 + 5% x 2) = 11000 - Opção B: juros compostos de 4% ao mês, capitalizados mensalmente.

M = 10000 x (1 + 4%)² = 10816 Assim, B é a melhor opção. A diferença de gasto é 11000 – 10816 = 184 reais.

Resposta: D

10.

Considere uma compra pública de medicamentos, licitada por uma prefeitura, no valor de R$ 1.300.000,00 (um milhão e trezentos mil reais), a ser quitada em até quatro meses após a entrega. O fornecedor oferece desconto em caso de quitação antecipada da compra. Considerando-se uma taxa de desconto de 0,5% a.m., o desconto racional simples praticado, caso o pagamento total se realize em dois meses após a entrega dos medicamentos, é, em R$, de

(A) 13.000,00.

(B) 12.935,39.

(C) 12.903,15.

(D) 12.835,45.

(E) 12.871,30.

RESOLUÇÃO:

Caso o pagamento ocorra 2 meses após a entrega, estarão faltando t = 4 – 2 = 2 meses para o vencimento da dívida de valor nominal N = 1.300.000 reais. Considerando a taxa de j = 0,5%am, e desconto racional simples, temos:

N = A x (1 + j x t) 1300000 = A x (1 + 0,5% x 2)

A = 1.287.128,71 reais O desconto é de:

D = N – A

D = 1.300.000 – 1.287.128,71 D = 12.871,28 reais Resposta: E

11.

Uma pessoa tem com um certo credor a seguinte dívida:

Hoje ela combinou com esse credor substituir esses títulos por dois outros, de valores nominais iguais entre si, um a vencer daqui a 4 meses e o outro daqui a 5 meses. Se, nessa transação, vão utilizar juros compostos à taxa de 6% ao mês, o valor nominal de cada um desses novos títulos, segundo o critério do desconto composto racional, será de, aproximadamente,

(A) R$ 2.000,75.

(B) R$ 2.002,64.

(C) R$ 2.004,53.

(E) R$ 2.008,98.

RESOLUÇÃO:

Os 3 títulos originais devem ter valor atual igual aos 2 títulos novos. Só assim podemos dizer que são equivalentes (de modo a poder efetuar a troca). Calculando o valor atual dos títulos originais, temos:

A1 = 1000 / 1,06² = 889,99 A2 = 1200 / 1,06³ = 1007,54 A3 = 1500 / 1,06⁴ = 1188,14

Assim, o valor atual desses 3 títulos soma A = 3085,67 reais. Os títulos novos terão valor nominal igual a N, e vencimentos em 4 e 5 meses. Assim, seus valores atuais podem ser expressos por:

A1 = N / 1,06⁴ = 0,792N A2 = N / 1,06⁵ = 0,747N A soma de seus valores atuais também deve ser 3085,67 reais. Logo,

3085,67 = 0,792N + 0,747N N = 2004,9 reais (aproximadamente) Resposta: C

12.

Um título de valor nominal R$ 1.100,00 vai ser descontado à taxa de 5% ao mês, 2 meses antes do vencimento.

Sejam:

V1: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto simples comercial;

V2: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto simples racional e V3: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto composto racional.

É verdade que (A) V1 < V2 < V3 (B) V1 < V3 < V2 (C) V1 < V3 = V2

(D) V1 + V2 = R$ 1.999,00 (E) V3 − V2 = R$ 0,03

RESOLUÇÃO:

Temos N = 1100 reais, j = 5% ao mês, t = 2 meses. Vejamos qual seria o valor atual do título (ou valor líquido a ser recebido) para cada tipo de desconto solicitado pelo enunciado:

V1 = 1100 x (1 – 0,05 x 2) = 990 reais

V2 = 1100 / (1 + 0,05 x 2) = 1000 reais V3 = 1100 / (1 + 0,05)² = 997,7 reais Logo, V1 < V3 < V2.

Resposta: B

Obs.: veja que ordenar V2 e V3 seria fácil, não necessitando efetuar cálculos. V2 é maior que V3, afinal (1 + 0,05 x 2) deve ser menor que (1 + 0,05)² , pois em juros compostos o fator é maior para a mesma taxa de juros e tempo (desde que t > 1). Entre V1 e V2 também seria fácil ordenar, pois o desconto comercial é mais gravoso que o desconto racional (e, portanto, V1 < V2) – não é por outro motivo que os bancos preferem o desconto comercial...

13.

Dois títulos de valores nominais iguais são descontados, na data de hoje, com uma taxa de desconto de 2% ao mês. O primeiro título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento segundo uma operação de desconto comercial simples. O segundo título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento segundo uma operação de desconto racional simples. Se o valor presente do segundo título apresentou um valor de R$ 20.000,00, então a soma dos valores dos descontos dos dois títulos é igual a

(A) R$ 2.400,00.

(B) R$ 2.896,00.

(C) R$ 3.100,00.

(D) R$ 3.304,00.

(E) R$ 3.392,00.

RESOLUÇÃO:

O segundo título tem t = 3 meses, j = 2% ao mês, A = 20000 reais, desconto racional simples. Assim, N = A x (1 + j x t)

N = 20000 x (1 + 0,02 x 3) = 21200 reais

O primeiro título tem este mesmo valor nominal N = 21200 reais. Além disso, tem j = 2% ao mês, t = 4 meses, desconto comercial simples. Logo,

A = N x (1 – j x t)

A = 21200 x (1 – 0,02 x 4) = 19504 reais Os valores dos descontos são obtidos subtraindo N – A para cada título. Assim,

Segundo título: D = 21200 – 20000 = 1200 reais Primeiro título: D = 21200 – 19504 = 1696 reais Somando os descontos, temos 2896 reais.

Resposta: B

14.

Um título de valor nominal igual a R$ 28.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento com uma taxa de desconto de 18% ao ano. A operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Na mesma data, outro título de valor nominal igual a R$ 30.000,00 foi descontado, com uma taxa de desconto de 18% ao ano, também com a utilização da operação de desconto comercial simples. Se o valor presente correspondente do segundo título supera o valor presente correspondente do primeiro título em R$ 560,00, então o número de meses antes do vencimento em que o segundo título foi descontado é igual a

(A) 4.

(B) 5.

(C) 6.

(D) 7.

(E) 8.

RESOLUÇÃO:

O primeiro título tem N = 28000 reais, t = 3 meses para o vencimento, j = 18% ao ano, desconto comercial simples. Em juros (e descontos) simples, sabemos que taxas proporcionais são equivalentes. Assim, j = 18% ao ano corresponde a j = 1,5% ao mês (basta dividir por 12). O valor atual do título é:

A = 28000 x (1 – 0,015 x 3) = 26740 reais

O valor presente do segundo título supera este em 560 reais. Ou seja, é igual a A2 = 26740 + 560 = 27300 reais.

Sobre este segundo título, também sabemos que N = 30000 reais, j = 18% ao ano (1,5% ao mês), desconto comercial simples. Portanto,

A = N x (1 – j x t) 27300 = 30000 x (1 – 0,015 x t)

0,91 = 1 – 0,015t t = 6 meses Resposta: C

15.

Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, foram descontados hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de seus valores nominais é R$5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$5.005,00. O maior dos valores nominais supera o menor deles em:

a) R$ 1.502,50 b) R$ 1.484,00

c) R$ 1.417,50 d) R$ 1.215,50 e) R$ 1.195,00 RESOLUÇÃO:

Sabemos que, no caso do desconto racional composto, a relação entre o valor nominal e o valor atual de um título é dada por:

(1 )

A N

= j +

O primeiro título tem vencimento em 30 dias (t = 1 mês), e o segundo em 60 dias (t = 2 meses), e ambos têm taxa j = 5% ao mês. Assim, podemos dizer que:

= ¹

1 1,05

A N → N₁= A₁1,05

e

= ² = ²

2 2

(1,05) 1,1025

N N

A →N₂ =A₂1,1025 Foi dito ainda que a soma dos valores nominais é de 5418 reais, ou seja:

N1 + N2 = 5418 → 1,05A1 + 1,1025A2 = 5418 E a soma dos valores líquidos recebidos, ou valores atuais, é de 5005 reais:

A1 + A2 = 5005 → A2 = 5005 – A1

Com essas duas equações, podemos obter os valores de A1 e A2, substituindo esta expressão encontrada na última equação na anterior:

1,05A1 + 1,1025 (5005 – A1) = 5418 1,05A1 + 5518,01 – 1,1025 A1 = 5418

A1 = 1905 Com isso, temos:

A2 = 5005 – A1 = 5005 – 1905 = 3100

=  =  =

1 1 1,05 1905 1,05 2000,25 N A

=  =  =

2 2 1,1025 3100 1,1025 3417,75 N A

Portanto, N2 – N1 = 1417,5, ou seja, o maior valor nominal supera o menor em 1417,5 reais.

Resposta: C

Em uma mesma data, uma empresa desconta dois títulos da seguinte maneira:

I. O primeiro título, de valor nominal igual a R$ 25.000,00, foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês.

II. O segundo título foi descontado 2 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês.

Sabe-se que para o primeiro título considerou-se a operação de desconto comercial simples e para o segundo título a de desconto racional simples. Se a soma dos respectivos valores atuais foi igual a R$ 43.000,00, então o valor nominal do segundo título é igual a

(A) R$ 21.000,00.

(B) R$ 21.500,00.

(C) R$ 22.000,00.

(D) R$ 22.500,00.

(E) R$ 23.000,00.

RESOLUÇÃO:

Sobre o primeiro título, sabemos que:

- N1 = 25000 reais,

- t = 4 meses de antecipação, - j = 2% ao mês,

- desconto comercial simples.

Logo, seu valor atual (A1) é:

A1 = N1 x (1 – j x t)

A1 = 25000 x (1 – 0,02 x 4) = 23000 reais Como a soma dos valores atuais dos títulos é 43000 reais, então:

A1 + A2 = 43000 23000 + A2 = 43000

A2 = 20000 reais Sobre este segundo título, sabemos ainda que:

- t = 2 meses de antecipação - j = 2,5% ao mês

- desconto racional simples

Assim, seu valor nominal é dado por:

N2 = A2 x (1 + j x t)

N2 = 20000 x (1 + 0,025 x 2) = 21000 reais

Resposta: A

17.

Um título de valor nominal igual a R$ 24.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Outro título é descontado 2 meses antes de seu vencimento também a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Sabe-se que o valor atual do primeiro título é igual ao valor atual do segundo título. Se nas duas operações utilizou-se o desconto comercial simples, então o valor do desconto do segundo título é (A) R$ 940,00.

(B) R$ 1.065,00.

(C) R$ 1.190,00.

(D) R$ 1.315,00.

(E) R$ 1.440,00.

RESOLUÇÃO:

Sobre o primeiro título, temos:

- N1 = 24000 reais,

- t = 3 meses de antecipação, - j = 2% ao mês,

- desconto comercial simples.

Assim, seu valor atual é:

A1 = N1 x (1 – j x t) = 24000 x (1 – 0,02 x 3) = 22560 reais

Sabe-se que o valor atual do primeiro título é igual ao valor atual do segundo título. Portanto, A2 = A1 = 22560 reais. Além disso, sobre o segundo título sabemos:

- t = 2 meses de antecipação, - j = 2% ao mês,

- desconto comercial simples.

Logo, seu valor nominal é dado por:

A2 = N2 x (1 – j x t) 22560 = N2 x (1 – 0,02 x 2)

N2 = 23500 reais E o desconto dado no segundo título é:

D2 = N2 – A2 = 23500 – 22560 = 940 reais Resposta: A

18.

Uma duplicata no valor de R$ 6 900,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Considerando que a taxa anual de desconto comercial simples foi de 48%, então, se o valor atual dessa duplicata era X reais, é correto afirmar que

(A) X ≤ 5 700.

(B) 5 700 < X ≤ 5 800.

(C) 5 800 < X ≤ 5 900.

(D) 5 900 < X ≤ 6 000.

(E) X > 6 000.

RESOLUÇÃO:

Temos N = 6900 reais, t = 3 meses, j = 48% ao ano. Podemos dizer que j = 4% ao mês, pois em juros simples a taxa proporcional é também a taxa equivalente. Desta forma, o valor atual X é dado por:

A = N x (1 – j x t) X = 6900 x (1 – 0,04 x 3)

X = 6072 reais Portanto, X > 6000 reais.

Resposta: E

19.

Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00, pelos 120 dias de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de 20%, o valor atual do título era de:

(A) R$ 7 600,00.

(B) R$ 8 200,00.

(C) R$ 9 800,00.

(D) R$ 10 200,00.

(E) R$ 10 500,00.

RESOLUÇÃO:

Temos um desconto D = 700 reais, prazo de antecipação t = 1/3 ano (120 dias, utilizando a convenção do ano comercial de 360 dias) e j = 20% ao ano. Assim,

D = N – A 700 = N – A

N = 700 + A A = N x (1 – j x t) A = (700 + A) x (1 – 0,20 x 1/3)

A = 653,33 + 0,9333A A = 9795,09 reais Resposta: C

20.

Um título de valor nominal igual a R$ 25.200,00 é descontado 75 dias antes de seu vencimento e seu valor atual é igual a R$ 24.444,00. Sabe-se que a operação foi a de desconto comercial simples e utilizou-se a convenção do mês comercial. A taxa anual de desconto desta operação foi de

a) 14,4%.

b) 15,6%.

c) 16,8%.

d) 18,0%

e) 19,2%.

RESOLUÇÃO:

O enunciado informa que N = 25200 e A = 24444. Diz ainda que t = 75 dias. Considerando a convenção do mês comercial (30 dias), temos t = 75/30 = 2,5 meses. Desta forma, na operação de desconto comercial simples,

A = N x (1 – j x t) 24444 = 25200 x (1 – j x 2,5)

j = 1,2% ao mês

No regime de juros simples, a taxa proporcional é a própria taxa equivalente. Assim, a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês é:

12 x 1,2% = 14,4% ao ano Resposta: A

21.

O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente é igual a

a) 12%

b) 15%

c) 18%

d) 20%

e) 24%

RESOLUÇÃO:

O enunciado diz que o desconto (D) é igual a 2,5% do valor nominal (N). Isto é, D = N – A

2,5% x N = N – A A = 0,975N

Além disso, é sabido que t = 50 dias, ou melhor, t = 50/360 ano (uma vez que é pedida a taxa anual – note que consideramos o ano comercial de 360 dias, como disse o enunciado). Deste modo, considerando o desconto comercial simples, temos:

A = N x (1 – j x t) 0,975N = N x (1 – j x 50/360)

0,975 = 1 – j x 50/360 j x 50/360 = 0,025

j = 0,18 = 18%

Resposta: C

22.

Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

a) R$ 21.780,00 b) R$ 21.600,00 c) R$ 20.702,00 d) R$ 19.804,00 e) R$ 19.602,00 RESOLUÇÃO:

O enunciado diz que A = 20000 reais, j = 10% ao ano, t = 2 anos, desconto racional composto. Assim, o seu valor nominal é:

N = A x (1 + j)^t = 20000 x (1 + 10%)² = 24200 reais

Se este título tivesse sido descontado segundo o desconto comercial composto, teríamos:

A = N x (1 – j)^t = 24200 x (1 – 10%)² = 19602 reais

Resposta: E

23.

Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

(A) R$ 21.780,00 (B) R$ 21.600,00 (C) R$ 20.702,00 (D) R$ 19.804,00 (E) R$ 19.602,00 RESOLUÇÃO:

Vendo a primeira parte do enunciado, temos um título com valor atual A = 20000, se descontado 2 anos antes do vencimento (t = 2 anos) com a taxa j = 10% ao ano. Com a fórmula do desconto racional composto, conseguimos o valor nominal N:

20000 2

(1 0,1) 24200

N N

= +

=

Portanto, o valor nominal do título é 24200 reais. Se o desconto fosse dado através da fórmula do desconto comercial composto, teríamos:

2

(1 )

24200 (1 0,1) 19602

A N j

A A

=  −

=  −

=

Resposta: E

24.

Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de

(A) R$ 42.160,80.

(B) R$ 41.529,60.

(C) R$ 40.664,40.

(D) R$ 39.799,20.

(E) R$ 38.934,00.

RESOLUÇÃO:

O primeiro título tem j = 18% ao ano, t = 2 meses = 2/12 anos, e A = 21000. Assim, usando a fórmula do desconto racional simples (conforme mencionado no enunciado):

1 A N

= j t + 

21000

1 0,18 2 12

= N

+ 

N = 21630

O segundo título tem valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro (21630), ou seja, tem N = 43260.

Sabemos ainda que, neste caso, t = 5 meses e j = 2% ao mês. O valor atual, segundo a fórmula de desconto comercial simples (conforme mencionado no enunciado), é:

(1 )

A=N − j t

43260 (1 0,02 5) 38934

A=  −  =

Resposta: E

25.

Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira:

Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ 21.000,00.

Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples.

Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a

(A) R$ 1.260,00.

(B) R$ 1.268,80.

(C) R$ 1.272,60.

(D) R$ 1.276,40.

(E) R$ 1.278,90.

RESOLUÇÃO:

O exercício disse para usar o mês comercial, isto é, com 30 dias. Portanto, o primeiro título tem valor atual A = 21000, prazo de vencimento t = 1,5 mês (isto é, 45/30) e taxa de desconto j = 2% ao mês. Seu valor nominal, segundo a fórmula de desconto racional simples, é:

21000

1 0,02 1,5 21630

N N

= + 

=

Portanto, o desconto foi D = N – A = 21630 – 21000 = 630 reais.

O segundo título tem o mesmo valor nominal, isto é, N = 21630; prazo de vencimento t = 2 meses (isto é, 60/30) e taxa de desconto j = 1,5% ao mês. Seu valor atual, segundo a fórmula de desconto comercial simples, é:

21630 (1 0,015 2) 20981,10

A=  −  =

Portanto, o desconto foi D = N – A = 21630 – 20981,10 = 648,9 reais.

Somando os dois descontos, temos um total de 630 + 648,9 = 1278,9 reais.

Resposta: E

26.

Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ 31.900,00. Considere que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de

(A) R$ 33.000,00.

(B) R$ 33.600,00.

(C) R$ 32.900,00.

(D) R$ 32.600,00.

(E) R$ 32.800,00.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos uma duplicata de valor atual A = 31900, taxa de desconto comercial simples j = 2% ao mês e prazo para vencimento t = 50 dias, ou melhor, t = 50/30 meses (considerando o mês comercial de 30 dias). Portanto, o valor nominal é:

31900 (1 0,02 50 / 30) 31900

33022,77 0,966

N N

=  − 

= =

Temos, aproximadamente, o resultado da letra A.

Resposta: A

27.

Uma duplicata é descontada em um banco 40 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples. O valor atual desta duplicata é igual a 97% de seu valor nominal. Considerando a convenção do ano comercial, tem-se que a taxa anual de desconto utilizada foi de

(A) 15%.

(B) 18%.

(C) 21%.

(D) 24%.

(E) 27%.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos t = 40 dias, ou melhor, 40/360 ano (veja que fiz essa mudança porque o exercício quer a taxa anual).

Sendo N o valor nominal, o enunciado diz que o valor atual A é igual a 97% de N, isto é, A = 0,97N. Assim, na fórmula de desconto comercial simples, temos:

(1 )

0,97 (1 40 )

360 0,97 1 1

9

0,27 27% ao ano

A N j t

N N j

j j

=  − 

=  − 

= − 

= =

Resposta: E

28.

Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias.

I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50.

II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples.

Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de

(A) R$ 27.200,00 (B) R$ 27.800,00 (C) R$ 28.000,00 (D) R$ 28.160,00 (E) R$ 28.401,60

RESOLUÇÃO:

A partir dos dados do desconto efetuado no banco A, podemos calcular o valor nominal do título, para em seguida descobrir o valor atual que seria recebido no banco B. Veja:

→ BANCO A: j = 2% ao mês, t = 1,5 mês (45 dias), A = 28178,50 reais, desconto comercial simples.

A = N x (1 - j x t) 28178,50 = N x (1 – 2% x 1,5)

N = 29050 reais

→ BANCO B: N = 29050 reais, j = 2,5% ao mês, t = 1,5 mês, desconto racional simples.

N = A x (1 + j x t) 29050 = A x (1 + 2,5% x 1,5)

A = 28000 reais Resposta: C

29.

Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

(A) R$ 40.000,00 (B) R$ 36.000,00 (C) R$ 34.000,00 (D) R$ 32.000,00 (E) R$ 30.000,00 RESOLUÇÃO:

No caso do desconto racional composto, temos A = 25000 reais, t = 2 anos e j = i. Portanto, N = A x (1 + j)^t

N = 25000 x (1 + i)²

No caso do desconto comercial composto, temos A = 23040, t = 2 anos e j = i. Logo, A = N x (1 – j)^t

23040 = N x (1 – i)² Substituindo N por 25000 x (1 + i)² nesta última equação, temos:

23040 = [25000 x (1 + i)²] x (1 – i)² 23040 = 25000 x [(1 + i) x (1 – i)]²

23040 = 25000 x (1 – i²)² (1 – i²)² = 0,9216

(1 – i²) = 0,96 i² = 0,04 i = 0,2 = 20%aa

Desta forma, podemos utilizar uma das equações de desconto para obter o valor de N:

23040 = N x (1 – 20%)² 23040 = N x 0,8²

N = 36000 reais Resposta: B

30.

Uma duplicata é descontada em um banco 45 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples, apresentando um valor atual igual a R$ 20.055,00. Com a utilização de uma operação de desconto racional simples, a uma taxa de juros de 40% ao ano, o valor atual teria sido de R$

20.000,00. Considerando o ano comercial em ambos os casos, a taxa de juros anual correspondente à operação de desconto comercial simples foi de

(A) 36%

(B) 48%

(C) 24%

(D) 45%

(E) 30%

RESOLUÇÃO:

Observe que t = 45 dias, ou melhor, t = 45/360 ano (considerando o ano comercial de 360 dias). O enunciado disse que, se utilizarmos a taxa de desconto racional simples j = 40% ao ano, então o valor atual é A = 20000.

Calculando o valor nominal, temos:

1 20000

1 0,40 45 360 21000

A N

j t N

N

= + 

=

+ 

=

Portanto, o título tem valor nominal N = 21000. Se, na operação de desconto comercial simples, com o mesmo prazo t = 45/360 ano, o valor atual foi A = 20055, podemos calcular a taxa de juros aplicada assim:

(1 )

20055 21000 (1 45 ) 360 0,955 1 0,125

0,36 36% ao ano

A N j t

j j

j

=  − 

=  − 

= − 

= =

Resposta: A

31.

Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado no dia primeiro de junho e no último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse período, as taxas de inflação foram, respectivamente:

Junho: 2%

Julho: 2,5%

A taxa real desse investimento, nesse período, foi de (A) 6,32%

(B) 6,00%

(C) 5,50%

(D) 5,00%

(E) 4,50%

RESOLUÇÃO:

A taxa aparente deste investimento é dada por:

11082,30 = 10000 x (1 + jn) jn = 0,10823 = 10,823%

A inflação acumulada é:

(1 + i) = (1 + 0,02) x (1 + 0,025) 1 + i = 1,0455

i = 0,0455 = 4,55%

Portanto, a taxa real do investimento é:

(1 + jreal) = (1 + 10,823%) / (1 + 4,55%) jreal = 6%

Resposta: B

32.

Uma empresa desconta em um banco um título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19 800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior i (i > 0), o valor que a empresa receberia seria de R$ 20 000,00. O valor nominal deste título é de

(A) R$ 21 800,00 (B) R$ 22 000,00 (C) R$ 22 400,00 (D) R$ 22 800,00 (E) R$ 24 000,00 RESOLUÇÃO:

Temos um título com valor atual A = 19800 reais e prazo para o vencimento de t = 4 meses. Seja N o valor nominal deste título e i a taxa de juros praticada. Assim, utilizando a fórmula do desconto comercial simples, temos:

A = N x (1 – j x t) 19800 = N x (1 – 4i)

Se aplicássemos o desconto racional simples, o valor recebido seria A = 20000 reais. Ou seja, N = A x (1 + j x t)

N = 20000 x (1 + 4i)

Podemos substituir N, na equação 19800 = N x (1 – 4i), pela expressão encontrada logo acima, ou seja, 20000 x (1 + 4i). Fazendo isso, temos:

19800 = N x (1 – 4i) 19800 = 20000 x (1 + 4i) x (1 – 4i)

19800 = 20000 x (1– 16i²) 0,99 = (1 – 16i²)

16i² = 1 – 0,99 i² = 0,01 / 16

i = 0,1 / 4 i = 0,025 = 2,5% ao mês Assim, o valor nominal deste título é dado por:

N = 20000 x (1 + 4i) N = 20000 x (1 + 4 x 0,025)

N = 22000 reais Resposta: B