PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Maria de Fátima Aleixo de Luna
Estudo das Trajetórias Hipotéticas da Aprendizagem de
Geometria Espacial para o Ensino Médio na Perspectiva
Construtivista
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Maria de Fátima Aleixo de Luna
Estudo das Trajetórias Hipotéticas da Aprendizagem de
Geometria Espacial para o Ensino Médio na Perspectiva
Construtivista
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Professor Doutor Armando Traldi Junior.
Banca Examinadora
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___________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
À memória de meu avô Manoel Luiz
Batista, por suas grandes histórias, fé e
perseverança.
Muitos foram os momentos de ausência, mas nunca permitimos estranhamentos. Ao contrário, nos momentos mais difíceis, vocês me retribuíram além de flores, o mais importante: sorrisos e abraços! Demonstraram maturidade, em uma fase de muitas transformações em nossas vidas.
A meus queridos,
Stéfano e Luna
A
GRADECIMENTOS
O presente trabalho é fruto de vivência pessoal e profissional. Diante deste fato, muitas pessoas contribuíram para minha formação. Na impossibilidade de registrar todos os agradecimentos, deixo meu cordial:
Muito obrigada!
Há pessoas que não poderiam deixar de ser citadas, pois estiveram diretamente envolvidas na construção deste projeto que contribuíram significativamente em mais de uma etapa de minha vida.
A Deus, pela vida e, por sempre apresentar caminhos que me levam a continuar na fé, vencer os desafios, inclusive o de vivenciar um curso de mestrado (não foi fácil, mas não impossível).
Ao prof. Dr. Armando Traldi Júnior, orientador e cooperador, que soube ser paciente e dedicado sem perder o rigor, compreendendo minhas limitações, acreditando que elas poderiam ser aprimoradas (muitos foram os “nãos”, porém essenciais à minha formação acadêmica).
À Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires e ao Prof. Dr. Armando Traldi Junior pela coordenação do grupo de pesquisa responsável pela inserção de meu trabalho no projeto, por proporcionar discussões e sugestões que serviram de crescimento, aprendizado e incentivo à realização deste estudo.
Um especial agradecimento aos colegas do curso de mestrado, pela colaboração e incentivo nos momentos mais difíceis.
A Márcia Maioli, por suas sugestões e paciência em observar as atividades.
À Profa. Dra. Rosa Monteiro Paulo e ao Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, por aceitarem o convite para participar da banca examinadora e por suas valiosas contribuições, enriquecendo o estudo.
Ao corpo docente do Curso de Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, pelo empenho e dedicação profissional. Serão eternamente lembrados.
Ao secretário Francisco Olímpio da Silva, por sua organização e atenção as nossas solicitações.
Aos docentes, estudantes e equipe gestora da EE Prefeito Nestor de Camargo, que carinhosamente me permitiram adentrar em seu espaço escolar e vivenciar com eles o desenvolvimento desta pesquisa.
A meus pais, Felisbela e Alfredo, meus pilares de apoio.
A meus irmãos: Mardônio, César, Manoel, João e Bruno, por compreenderem as constantes ausências e pela torcida.
A meus sogros, Cacilda e Aristides, minha permanente gratidão pelo esmero com meus tesouros: Stéfano e Luna.
A meu querido amigo Américo Augusto Barbosa, que constantemente me apoiou, com palavras de incentivo e esperança.
Aos valiosos amigos, Expedito e Valdeci, pela dedicação e paciência ao saberem tolerar as lamentações emergidas de meus desabafos.
Aos professores que ao longo desta jornada tive o prazer de rever: Maria Jesuína Moreira da Costa e Wladimir Nascimento da Silva; e a tantos outros que conheci: Desiree Ziglio, Heliel Ferreira dos Santos, Maria Geovane Queiroz Bispo, Paulo de Melo Pereira e Oliveira da Silva Reis.
A extinta EE “Professor Taro Mizutori” e a todos que por ela passaram, foram muitos anos de convivência e respeito mútuo, aprendendo a trabalhar em equipe (nosso time continua no coração).
A você, prezado docente, que tem a preocupação de aprimorar não apenas seus conhecimentos, mas que também considera a possibilidade de alternativas de trabalho, uma perspectiva de aprender e ensinar.
À professora Ivone Borelli pela atenção e cuidados com a revisão desta pesquisa.
R
ESUMO
O objetivo da presente pesquisa foi verificar a possibilidade de compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e verificar a atuação do professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem. Faz parte do projeto de pesquisa denominado “Construção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem e implementação de Inovações Curriculares em Matemática no Ensino Médio”. A fundamentação teórica apoiou-se nas obras de Simon (1995) a respeito de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA). O estudo realizado foi de natureza qualitativa e envolveu três professores de Matemática da rede pública de São Paulo e suas atuações com 104 alunos da segunda série do Ensino Médio. A partir do Ciclo de Ensino de Matemática desenvolvido por Simon, elaborou-se THAs, buscando a proposição de tarefas que explorassem investigação, uso de tecnologia, contextos do cotidiano e em outras áreas de conhecimento e da própria Matemática. Os dados foram coletados por entrevistas semiestruturadas, questionário e observações em dois diferentes momentos: antes e durante o desenvolvimento das THAs. Verificou-se que, embora as THAs sejam potencialmente ricas, no sentido de produzir situações em que o professor cogite e participe constantemente da (re) organização do planejamento escolar, compreende-se que a THA por si só não garante uma aprendizagem sob perspectivas construtivistas. Desse modo, constatou-se, conforme já mencionado por diferentes autores, que o professor exerce papel fundamental na mediação da construção do conhecimento de seus alunos. Quanto à atuação do professor, considerou-se que esse caminho continua sendo desafiador, no sentido dos docentes estarem dispostos a aproximar-se do universo das pesquisas e formação continuada, apoiando-se em diferentes metodologias e procedimentos didáticos. Em relação aos estudantes, percebeu-se que seu envolvimento apresenta-se mais promissor, quando participa de tarefas que envolvem o uso de tecnologia e manipulação de materiais, particularmente, em relação aos conceitos e procedimentos da Geometria Espacial.
A
BSTRACT
The aim of this research was to investigate the possibility of harmonizing constructivist learning perspective to the planning of education, in collaboration researcher and teacher in the particular geometry of space and check the performance of teachers of mathematics in relation to plan activities education, consistent with a constructivist view of learning. Part of the research project "construction of hypothetical learning trajectories and implementation of curricular innovations in mathematics in high school." The theoretical foundation was based on the works of Simon (1995) about hypothetical learning trajectories (HLT). The study was qualitative and involved three mathematics teachers from the public schools of Sao Paulo and his performances with 104 students in the second year of high school. From the stages of Mathematics developed by Simon, was elaborated HLTs, seeking proposing tasks that explore research, use of technology, everyday contexts and in other areas of knowledge and of mathematics itself. Data were collected through semi-structured interviews, questionnaires and observations at two different times: before and during the development of MASD. It was found that although the MASD are potentially rich in order to produce situations in which the teacher participates cogito is constantly (re) organization of school planning, it is understood that the HLT itself does not guarantee a constructivist learning perspectives. Thus, it was found, as already mentioned by different authors, the teacher plays a fundamental role in mediating the construction of knowledge of their students. The performance of teachers, it was considered that this path is still challenging in the sense of teachers' willingness to approach the world of research and continuing education, relying on different methodologies and didactic procedures. For students, it was felt that their involvement has become more promising, when participating in tasks that involve the use of technology and materials handling, particularly in relation to the concepts and procedures of the Space Geometry.
S
UMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA ... 12
I Introdução ... 12
II Problemática ... 15
III Metodologia e procedimentos metodológicos ... 20
Metodologia ... 20
Procedimentos metodológicos ... 20
Definições para a análise de dados ... 21
Desenvolvimento da pesquisa ... 23
IV Cenários da pesquisa ... 24
Caracterização da escola ... 24
Caracterização dos professores colaboradores ... 25
Caracterização dos estudantes ... 28
V Estrutura do trabalho ... 28
CAPÍTULO 1 ... 30
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 30
1.1 O construtivismo epistemológico e a reconstrução da pedagogia da matemática ... 30
1.1.1 Recuperando aspectos da perspectiva construtivista ... 32
1.1.2 Construtivismo e Pedagogia da Matemática ... 34
1.2 Trajetórias(s) hipotética(s) de aprendizagem segundo Simon ... 35
1.2.1 O Ciclo de Ensino de Matemática segundo Simon ... 36
1.2.2 Composição das trajetórias hipotéticas de aprendizagem segundo Simon ... 38
1.2.3 A geração de uma trajetória hipotética de aprendizagem ... 40
1.3 Considerações e reflexões do nosso grupo de pesquisa ... 41
CAPÍTULO 2 ... 56
A CONSTRUÇÃO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL (THA) ... 56
2.1 A construção das THAs ... 56
2.2 Motivações para elaboração da primeira versão das Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem em Geometria Espacial ... 56
2.3 Definições de expectativas para aprendizagem dos estudantes ... 59
2.4 Considerações a respeito do software Poly ... 60
2.4.1 O programa Poly ... 60
2.5 Hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes ... 60
2.6 Composição e elaboração da primeira versão das THAs ... 63
2.6.1 Elaboração da primeira atividade ... 64
2.6.2 Elaboração da Segunda atividade ... 66
2.6.3 Elaboração da Terceira atividade ... 67
2.6.4 Elaboração da Quarta atividade ... 68
2.6.5 Elaboração da Quinta atividade ... 70
2.7 Plano para atividades de aprendizagem ... 71
2.8 Leituras da primeira versão das THAs pelos professores colaboradores ... 72
2.9 Resultados da discussão da THA com o grupo de professores colaboradores e proposição da segunda versão das THAs ... 73
CAPÍTULO 3 ... 76
O DESENVOLVIMENTO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM EM SALA DE AULA E A ATUAÇÃO DOS PROFESSORES E ESTUDANTES ... 76
3.1 Observações e reflexões em relação ao desenvolvimento das THAs em salas de aula ... 77
3.1.1 Organização da classe e “clima” dominante ... 78
3.1.2 Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de aprendizagem ... 79
3.1.3 Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações deles na busca de soluções ... 80
3.1.4 Dificuldades observadas e possíveis causas ... 81
3.1.5 Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares e recursos tecnológicos ... 83
3.1.6 Adequação do tempo previsto para as tarefas ... 84
CAPÍTULO 4 ... 88
NOVOS CONHECIMENTOS DECORRENTES DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM... 88
4.1 Novos conhecimentos dos professores colaboradores – momentos de reflexões do grupo ... 88
4.2 Novos conhecimentos da pesquisadora – reflexões de uma professora-pesquisadora ... 91
4.3 Sugestões para mudanças nas THAs ... 94
CAPÍTULO 5 ... 96
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 96
REFERÊNCIAS ... 100
ANEXOS ... 106
Anexo A – Questionário para os professores colaboradores... 106
Anexo B – Roteiro para observações do desenvolvimento das aulas – O professor em relação às THAs ... 109
Anexo C – Apresentação das atividades das THAs com os respectivos objetivos de aprendizagem... 111
A
PRESENTAÇÃO DA
P
ESQUISA
I Introdução
1Desde 1997, lecionando a disciplina de Matemática, muitas vezes, deparamo-nos com diferentes desafios. Entre eles a escolha de conteúdos e as metodologias de ensino destacaram-se em nossas preocupações. Em relação aos conteúdos, o que mais chamou a atenção foi o da Geometria, visto que durante nossa trajetória como aluno foi o conteúdo menos abordado pelos professores.
Diante do exposto e das inquietações com minha própria formação, em 2006, participamos do curso de Especialização em Educação Matemática para Professores do Ensino Médio oferecido pela Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP em parceria com a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo. O curso possibilitou-nos explorar e conhecer alguns resultados de pesquisa sobre o ensino e aprendizagem de Matemática.
Entre os módulos abordados, destacamos o tema que envolve Geometria que nos proporcionou refletir sobre sua didática e aproximou-nos de teorias e metodologias de trabalho. Isto me levou a ingressar no Programa de Estudos de Pós-Graduados em Educação Matemática, pela mesma instituição.
Desse modo, ao Inserir-me em uma das linhas de pesquisa deste programa “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores”, envolvi-me em discussões sobre as implementações de inovações curriculares ____________
1
em Matemática para o ensino Médio. Em busca de desenvolver propostas didáticas para subsidiar reflexões no processo de ensino e aprendizagem de Matemática, participei do projeto de pesquisa denominado “Construção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem e Implementação de Inovações Curriculares em Matemática no Ensino Médio”, coordenado pelos professores Armando Traldi Júnior e Célia Maria Carolino Pires, que tem como investigação os currículos de Matemática no Ensino Médio.
O projeto compõe-se de um conjunto de pesquisas de mestrado e doutorado que se orientam por algumas referências teóricas comuns. A motivação para o desenvolvimento do projeto derivou da necessidade de propostas de apoio à inovação curricular na área de Matemática, considerando alguns princípios apresentados nas Diretrizes e Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio.
A presente pesquisa tem como objetivo verificar a possibilidade de compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e verificar a atuação do professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem.
Por considerar o termo planificação polissêmico, algumas definições foram pesquisadas nos dicionários2, como por exemplo, “Ato ou efeito de planificar”; “Planejamento”; “submeter a um plano”; “Estabelecer planos para implantação ou execução de serviços”; “Traçar ou desenhar num plano”. Salientamos que, em nossa pesquisa e nas considerações de Simon (1995), o termo planificação de ensino tem um sentido amplo e, relaciona-se à ação de desenvolver (desenhar) um plano de ensino que, em colaboração, professor e pesquisador verifiquem a possibilidade de desenvolver, na perspectiva construtivista, o ensino da Geometria Espacial. Nesse sentido, planificar o ensino potencializa desenhar um contexto vivo e atual do movimento da sala de aula, mostrar possibilidades de trabalhos, envolvendo os principais agentes do processo ensino e aprendizagem: estudantes e professores.
____________
2
http://houaiss.uol.com.br (acesso em 25/06/2009);
Na expectativa de atingir o objetivo desta pesquisa nossa proposta é elaborar e avaliar trajetórias hipotéticas de aprendizagem (THAs), que consistem em definir os objetivos da aprendizagem dos estudantes, tarefas matemáticas que serão usadas para promover a aprendizagem e levantamento de hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes, conforme formulação de Simon (1995).
Para Simon (1995), a geração de uma THA prima por buscar as formas pelas quais o professor desenvolve seu planejamento para atividades de sala de aula, identificando como o professor interage com as observações dos estudantes, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos conhecimentos.
Assim, consideramos esta investigação relevante, pois poderá contribuir para a melhor compreensão do papel do professor na elaboração e desenvolvimento de atividades e com o processo de ensino e aprendizagem dos estudantes do Ensino Médio em tarefas que envolvem resolução de problemas, investigação, uso de tecnologias, aplicações de conceitos e procedimentos matemáticos a situações do cotidiano e em outras áreas de conhecimento. Este estudo envolveu três professores da rede estadual de ensino e suas atuações com 104 estudantes da segunda série do Ensino Médio.
A elaboração e o desenvolvimento das THAs sobre a Geometria Espacial apoiam-se nas orientações dos PCNEM3, PCNEM+4 e OCEM5, que abordam situações-problema de maneira contextualizada e interdisciplinar. Assim, procuramos algumas pesquisas na área do ensino e aprendizagem de Geometria nos Programas de Pós-Graduados da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC/SP e Universidade de São Paulo – Faculdade de Educação – USP, cuja finalidade é situar o que recomendam as recentes pesquisas nesse campo de atuação Matemática, para formar subsídios na elaboração da primeira versão da Trajetória Hipotética de Aprendizagem.
____________
3
Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 1999. 4
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 2002. 5
II Problemática
Para melhor compreensão de algumas dificuldades relativas ao ensino e aprendizagem de Geometria e sua inserção no currículo, apresentamos um breve histórico, com algumas reflexões curriculares e didáticas. Estas reflexões possibilitaram-nos mostrar alguns dos problemas que favorecem baixo rendimento na aprendizagem dos alunos, entre eles: a ausência do ensino de Geometria, a prática e as escolhas metodológicas dos professores.
Miorim (1998) refere que, com a expulsão dos jesuítas do Brasil (1759) e a estruturação da Reforma Pombalina (1772), inserindo aulas de disciplinas isoladas, como Aritmética, Álgebra e Geometria começam a ocorrer mudanças no ensino brasileiro, especialmente no que se refere ao ensino de Matemática/Geometria.
Ao longo do percurso educacional, houve outras mudanças, como a Reforma Francisco Campos (1931) com a finalidade de possibilitar um ensino mais articulado, unindo Álgebra, Aritmética e Geometria em uma única disciplina: a Matemática. Em contrapartida, na sequência, passamos pela Reforma Gustavo Capanema (1942), que não prosseguiu com as inovações curriculares da época.
Para Pires (2006), as reformas curriculares exerceram um importante papel na história da educação brasileira. O Movimento Matemática Moderna (MMM) foi um dos principais marcos das reformas, ocorrendo alterações curriculares em vários países, inclusive no Brasil, sendo vinculadas por meio de livros didáticos. Na apresentação do programa MMM, conforme a autora citada (p. 19), a divisão era composta por quatro temas: – Relações e funções – Campos numéricos – Equações e inequações e Geometria. Nesse período, embora a Geometria estivesse entre os quatro temas desse programa, a autora assinala que a Geometria e as medidas foram abandonadas, ou melhor, a Geometria era tratada como tema ilustrativo dos conjuntos ou da álgebra (p. 19).
possamos entender um pouco o desencadeamento dos fatos educacionais e suas influências como métodos e a construção do currículo de Matemática.
Também merecem destaque, as afirmações feitas por Almouloud e Mello6 (2000) a respeito do MMM nas décadas de 1960/1970, como sendo um dos fatores que influenciaram a formação inadequada de muitos professores no que tange a aspectos da Geometria. Os autores incluem ainda a formação inicial dos docentes em relação aos cursos de magistério, bem como os de licenciatura e formação continuada, destacando que ainda não houve mudanças significativas nos resultados sobre a aprendizagem dos estudantes e as posturas de novas práticas do ensino de Matematica, disseminando o estudo da Geometria.
Outro aspecto curricular relevante que se discute é o proposto nas Diretrizes Curriculares do Ensino Médio, como por exemplo, a importância da exploração de situações contextualizadas a serem trabalhadas por meio da resolução de problemas. Esta perspectiva de trabalho, embora tenha o apoio teórico e uma série considerável de experiências, é ainda pouco conhecida pela maioria dos professores que recebeu uma formação exatamente na direção oposta.
Os PCNEM enfatizam que o papel da Matemática no Ensino Médio não é apenas formativo (que ajuda a estruturar o raciocínio dedutivo) ou instrumental (ferramenta que auxilia em todas as atividades humanas), mas que ela também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas.
Nesse sentido, o documento destaca a importância do aluno perceber que definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas, com base em outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. Propõem ainda que cabe apresentar ao aluno o conhecimento matemático de modo que ele possa buscar novas informações e instrumentos necessários para que seja possível continuar aprendendo. As diferentes funções da Matemática devem ser discutidas e estimuladas de modo que sejam equilibradamente trabalhadas.
____________
6
Atualmente, as preocupações em torno de aspectos metodológicos, as abordagens do ensino de Geometria e outros temas do curriculo da Matemática, incluíndo a própria prática do professor, vêm sendo refletidas nas várias pesquisas em Educação Matemática.
Apesar de existirem muitas pesquisas na área de Educação Matemática, inclusive focando assuntos geométricos, difundindo a importância de seu ensino, há certo distanciamento na incorporação dos resultados desses trabalhos e menos ainda no que tange ao debate e pesquisa sobre questões curriculares pela comunidade de professores de Matemática.
Para Pires (2009), parte bastante significativa das pesquisas em Educação Matemática que foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas situam-se no campo da Didática da Matemática e inscrevem-se no campo das abordagens construtivistas, colocando o foco na construção dos conhecimentos matemáticos pelos estudantes.
Conforme cita a autora, apoiada em nossas reflexões no grupo de pesquisa, é bastante frequente certo desconforto quanto à discussão sobre “currículo” – entendido como planificação de uma trajetória a ser realizada por alunos, seja ao longo da educação básica ou do ensino superior. Esse desconforto é causado por uma ideia bastante comum de que, em uma perspectiva construtivista, esse percurso deve ser ditado pelos interesses dos alunos e sem definições prévias de conteúdos.
Nesse contexto, consideramos que as questões curriculares podem estar influenciadas pelo processo de ensino e aprendizagem, pois, envolve a postura do professor, sua prática na sala de aula e seu diálogo com os alunos.
Ainda no âmbito da Educação Matemática, temos as questões referentes à mudança da prática do professor.
Ao desenvolver uma pesquisa a respeito da mudança da prática de ensino de Matemática, com professores da Rede Pública, em cursos de formação continuada sobre sua atuação como professor universitário, Hiratsuka (2004) entrevistou professores e analisou seus discursos com intenção de apresentar categorias que lhe permitiram interpretar a respeito do processo da origem da mudança da prática do professor.
O autor ressalta que:
A mudança da prática do professor é um tema importante e muito presente, pois vários trabalhos desenvolvidos nesse campo buscam apresentar ou subsidiar alternativas metodológicas para a mudança da prática dos professores, e mesmo certos trabalhos das áreas de filosofia e epistemologia têm por objetivo fundamentar ações de mudança da prática (tradicional), a qual é associada a um quadro problemático, até de fracasso, do ensino da Matemática. (HIRATSUKA, 2004, p. 22)
Nesse aspecto, Hiratsuka afirma que:
De qualquer forma, é o professor, e somente ele, quem se impõe a tarefa de mudar. Somente uma escolha consciente, de um homem livre, poderá levá-lo a vencer a insegurança e a superar os obstáculos próprios da conquista de uma prática não habitual. Ele fará a escolha por si, mas não sozinho. Estará no mundo coexistindo com outras pessoas. Dessa forma, poderá ser importante, para a sua decisão, um relacionamento Eu/Outro, estabelecido com uma pessoa através de um diálogo genuíno, em que haja respeito mútuo. Pessoa que poderá discutir sobre Educação como algo maior do que o processo de ensino e que poderá discutir sobre a mudança, prestar-lhe um apoio próximo e, portanto, ser muito significativo nas suas escolhas e na vivência da modificação da prática de ensino. (HIRATSUKA, 2004, p. 42)
Em contrapartida, entendemos que mudanças de qualquer natureza, não acontecem imediatamente; assim a necessidade de mudar requer antes de tudo, estabelecer novos hábitos e adaptações na própria metodologia de trabalho do professor.
Em face dessas e outras questões a respeito do currículo de Matemática, da formação de professores e da prática docente temos como objetivo de pesquisa: verificar a possibilidade de compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e, verificar a atuação do professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem. Sendo assim, propomos as seguintes questões de pesquisa:
a) Como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial?
III Metodologia e Procedimentos Metodológicos
Apresentamos nesta seção a descrição de nossa metodologia de pesquisa, bem como os procedimentos metodológicos que permitiram observar e coletar dados, aproximando-nos da dinâmica do desenvolvimento das THAs em sala de aula.
Metodologia
Em relação aos tipos de metodologia de pesquisa, Bogdan e Biklen (1994) consideram como pesquisa qualitativa quando apresenta as seguintes características: a fonte direta de dados é o ambiente natural – no caso da investigação realizada a coleta de dados foi feita na própria escola onde os professores trabalham; a investigação é descritiva. Neste estudo, buscamos descrever todas as observações. Assim, consideramos nossa pesquisa de natureza qualitativa e o interesse do investigador é mais no processo do que no produto.
Procedimentos Metodológicos
Bogdan e Biklen (1994) descrevem que na Investigação Qualitativa, uma das estratégias mais representativas é a “observação participante”, processo pelo qual o investigador insere-se ou já faz parte do grupo das pessoas que pretende estudar e tenta conhecê-las, permitindo que elas o conheçam, e realiza registro escrito mais próximo possível do que observa.
Para Dencker e Viá (2001), pesquisar implica observar de forma sistemática e controlada a realidade, procurando revelar todos os seus aspectos sem, contudo, apoiar-se em ideias preexistentes. Diante da impossibilidade de descrever a totalidade das ações, o que define a observação sistemática é a finalidade, porém o principal critério da observação deve ser a relevância do fato.
professor/aluno e, o terceiro momento, após o desenvolvimento das atividades, que foram influenciadas pelas interações dos estudantes, professores e pesquisadora.
O segundo instrumento utilizado para a coleta de dados foi a entrevista, que apresenta o caráter de complementar os dados colhidos pela observação, na medida que permite obter elementos pessoais mais detalhados de cada sujeito de estudo, como suas concepções, ideias, perspectivas e as interpretações das suas vivências profissionais (Patton, 1987 apud Traldi, 2006).
As entrevistas realizadas tiveram o objetivo de coletar, de maneira informal, dados em relação à prática pedagógica, conhecimentos tecnológicos e diálogos a respeito das concepções dos professores colaboradores com a finalidade de aproximar as relações profissionais, na expectativa de criar um ambiente favorável ao diálogo permitindo, assim, melhor interação entre docentes e capturar suas ideias e reflexões em relação à prática docente dos envolvidos no processo.
O terceiro instrumento de coleta de dados foi o questionário7 distribuído aos três professores, complementando nossas observações e registros baseados nas entrevistas, permitindo obter informações a respeito da formação acadêmica, tempo de magistério, cursos que frequentou ou frequenta e sobre o modo como entendem o processo de ensino e aprendizagem, envolvendo temas geométricos.
Dessa forma, estruturamos a coleta de dados do estudo realizado que se configurou pela triangulação, que, de acordo com André (1995), significa combinar diferentes fontes de dados, métodos de coleta e perspectivas de investigação. É percebida como uma estratégia para enriquecer a validade da pesquisa, proporcionar ao pesquisador a possibilidade de construir explicações dos fenômenos sociais a partir dos quais as evidências emergem.
Definições para a análise de dados
Para Bogdan e Biklen (1994), iniciar a análise de dados é começar o processo de busca e organização sistemática dos dados coletados. Em nosso ____________
7
trabalho, os dados foram colhidos por meio das observações, entrevistas e questionários. Na análise, o objetivo é compreender o que foi reunido no quadro teórico, visando à compreensão do problema de pesquisa e responder às questões de investigação.
A análise pode acontecer em diferentes momentos do estudo, isto é, concomitantemente à coleta de dados ou após a mesma (BOGDAN E BIKLEN, 1994). Em nossa pesquisa, os dados foram coletados, em sua maioria, antes da análise.
Com a finalidade de responder às questões de pesquisa e, tendo clareza de que a preocupação com o processo é muito maior do que o produto, ressaltamos que o interesse maior da investigação não foi a elaboração das THAs, bem como constatar seu funcionamento mas sim verificar a atuação do professor em relação aos objetivos de aprendizagem, metodologias de trabalho, enfim, sua prática docente. Assim, decidimos observar e descrever a atuação do professor em relação às THAs, com proposição de relatar os acontecimentos o mais próximo possível da realidade da sala de aula.
Para melhor compreensão em relação às observações do desenvolvimento das THAs pelos professores, algumas categorias foram sintetizamos no quadro-resumo a seguir:
Unidade de Observação: O professor em relação às THAs
Campo de Observação Categorias de Observação
O professor em relação às THAs
1) Organização da classe e “clima” dominante
2) Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de aprendizagem
3) Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações deles na busca de soluções
4) Dificuldades observadas e possíveis causas
5) Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares e recursos tecnológicos
6) Adequação do tempo previsto para as tarefas
Desenvolvimento da Pesquisa
O desenvolvimento da presente pesquisa foi organizado em três fases:
Fase 1: preparação para o estudo: encontros e discussões no grupo de pesquisa, revisão bibliográfica referente s pesquisas sobre o ensino e aprendizagem de Geometria Espacial.
Fase 2: elaboração da trajetória hipotética de aprendizagem pela pesquisadora, ou seja, definição de objetivos de aprendizagem, indicação das hipóteses sobre a aprendizagem dos alunos e escolha das tarefas; discussão da trajetória hipotética de aprendizagem no grupo de pesquisa; entrevistas com os professores colaboradores do projeto; apresentação da trajetória hipotética de aprendizagem com os três professores do Ensino Médio; avaliação dos professores das THAs, com base em seu conhecimento docente;
Fase 3: desenvolvimento das THAs em três salas de aula pelos professores colaboradores, com observação direta da pesquisadora. Entrevista com os três professores do ensino médio, buscando a avaliação do desenvolvimento das THAs, na interação com os alunos. Discussão com os três professores a respeito de possíveis mudanças nas THAs; finalização da pesquisa; escrita da dissertação e elaboração das considerações finais.
Conforme as etapas de organização citadas acima, o construto das THAs sobre Geometria Espacial foi fruto de encontros e discussões com o grupo de pesquisa e desenvolvido com base nos objetivos de aprendizagem dos estudantes.
cinqüenta minutos cada, foram acompanhadas por registros escritos, com base no roteiro de observações8 realizadas pela pesquisadora.
IV Cenário da Pesquisa
A seguir descrevemos o cenário do projeto de pesquisa, caracterizando a escola, professores e estudantes.
Caracterização da escola
O desenvolvimento das THAs ocorreu em uma escola da rede estadual de ensino situada na zona oeste de São Paulo, embora a escola tenha quase 15 anos de existência, atualmente, está locada em um novo prédio, situado em um polo industrial, na qual compartilha9 o espaço físico com uma escola da rede municipal de ensino. Localizada a 26 km do centro da grande metrópole, tem 2000 metros quadrados de área construída, distribuídos em 17 salas de aulas, um laboratório para ciências físicas, biológicas e químicas, uma sala de informática (em reforma), uma biblioteca, uma cozinha, pátio e quadra esportiva.
Possui o total de 984 estudantes, distribuídos em dois períodos: vespertino (240) e noturno (744), contemplando o ensino para Jovens e Adultos (ENCEJA – Ensino Fundamental e Médio) e o Ensino Médio Regular. A faixa etária dos estudantes varia entre 14 a 60 anos. Atende estudantes da própria comunidade e da cidade vizinha por fazer divisa com outro município.
Nosso foco de observação no desenvolvimento das THAs foi apenas das três salas do segundo ano do Ensino Médio Regular. Duas destas salas no período vespertino e uma no noturno.
____________
8
Anexo B. 9
Caracterização dos professores colaboradores
O questionário10 elaborado teve o objetivo de conhecer um pouco a opinião desses professores a respeito do ensino e aprendizagem da Geometria Espacial e sua importância no currículo, sua formação acadêmica; os aspectos metodológicos de trabalho; os conhecimentos dos softwares matemáticos e sua aplicação em sala de aula.
Para melhor organização na identificação de informações deste trabalho, nomeamos os professores como P1, P2 e P3. Estes professores colaboradores da pesquisa pertencem à mesma unidade escolar. A seguir, relatamos a descrição dos professores colaboradores no desenvolvimento da THA:
Professor P1
O professor P1 tem 23 anos de magistério, é do gênero masculino, 47 anos de idade. É graduado em Ciências com habilitação plena em Matemática, já trabalhou 15 anos em uma escola particular de ensino. Cursou Pedagogia e costuma frequentar oficinas de Matemática na Universidade de São Paulo (USP); já participou de capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.
Segundo o professor, sua metodologia de trabalho, em geral, é “tradicional”, utiliza-se de aula expositiva para abordar os conteúdos. Enriquece suas aulas com solicitação de pesquisas relacionadas aos vários temas da Matemática. Costuma desenvolver atividades em sala de aulas, distribuindo os estudantes em duplas e, outras vezes, em grupo. Exige que cada estudante registre suas aulas e respectivas atividades. Como suporte ás aulas, usa o livro didático, apostila da escola particular onde trabalhou e a revista fornecida pela Secretaria de Educação.
O professor, diz que “[...] costuma abordar o conteúdo de Geometria Espacial, dando ênfase à diferenciação de Geometria plana da espacial e procura esclarecer sua necessidade para entender seu uso na sociedade”. Em relação a desenvolver atividades que abordem resolução de problemas, P1 afirma utilizar-se de situações que envolvam embalagens, casas, carros e outros.
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Em relação ao uso de softwares, o professor refere que nunca empregou este recurso nas aulas de Matemática, e fica empolgado em saber que este projeto possibilita o uso de um software.
O professor acrescenta que o ensino da Geometria, em geral, é deixado de lado, e que a aprendizagem dos estudantes em relação a esses temas é restrita, o que dificulta novas aprendizagens. Isso se agrava quando os alunos chegam ao Ensino Médio, não tendo pré-conhecimentos para avançar nos conteúdos. Assim muitos estudantes apresentam deficiência básica em conhecimento sobre Geometria plana.
Professor P2
O professor P2 tem 10 anos de magistério, é do gênero feminino, 45 anos de idade. Sua graduação é plena em Matemática, e a maior experiência é no Ensino Fundamental, tendo pouca vivência no Ensino Médio. Nunca participou das capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.
A professora considera que sua metodologia de trabalho é baseada em aulas expositivas, apresentação de conceitos matemáticos, seguidos de exemplos e exercícios para abordar os conteúdos. Costuma distribuir os estudantes em grupos para desenvolverem pesquisas relacionadas aos temas abordados em sala de aula, em forma de seminários. Para P2, o livro didático e a revista fornecida pela Secretaria de Educação são seus principais recursos para lecionar Matemática.
Quanto aos recursos tecnológicos, a professora cita que nunca utilizou este recurso nas aulas de Matemática e que seus conhecimentos nessa área são restritos. Disponibiliza-se para conhecê-los de forma a complementar suas aulas de Matemática.
A professora ainda relata que “[...] provavelmente seus alunos terão algumas dificuldades em desenvolver as atividades propostas, devido o ensino da Geometria não ter prioridade nos conteúdos matemáticos abordados pela grande maioria dos professores. E refere: “[...] Estou disposta a enfrentar o desafio de desenvolver uma THA sobre esse conteúdo. Você vai me ajudar?”.
Diante desta declaração, disponibilizei algumas horas para esclarecimentos quanto às dúvidas que a professora por ventura teria.
Professor P3
O professor P3 tem 23 anos de magistério, é do gênero feminino, 48 anos de idade. Sua graduação é plena em Matemática e Física, além de ter cursado o técnico em Construção Civil, já participou das capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.
Segundo a professora, sua metodologia de trabalho é baseada em aulas expositivas, ressalta que “[...] a aula expositiva é só um dos recursos de trabalho e que as aulas devem ser o momento de diálogos, exercícios, criatividade e trabalho coletivo na elaboração do conhecimento”.
Caracterização dos estudantes
Os estudantes envolvidos neste projeto de pesquisa são matriculados na segunda série do ensino médio e com idade entre 15 e 23 anos. Duas turmas desses jovens estudantes pertencem ao período diurno e uma em período noturno. São jovens que, na sua grande maioria não têm vínculo empregatício. Durante as observações da pesquisadora no desenvolvimento das atividades, descobriu que entre esses jovens apenas um deles frequenta o curso técnico em edificações no período oposto ao curso do Ensino Médio. Em relação ao período diurno há um total de 28 alunos em cada sala, no período noturno, esse número é de 48 alunos.
V Estrutura do Trabalho
Com o objetivo de situar a leitura, bem como a evolução desta pesquisa, destacamos a seguir os pontos principais dos cinco capítulos deste estudo.
No primeiro capítulo, enfatizamos a apresentação da fundamentação teórica que norteia a pesquisa, incluindo um levantamento de pesquisas que abordam o ensino e aprendizagem sobre o tema Geometria, que auxiliou de sobremaneira na elaboração das THAs.
O segundo capítulo, apresentamos o processo da construção das THAs, justificando a escolha dos objetivos de aprendizagem, incluindo as hipóteses das aprendizagens dos estudantes.
O terceiro capítulo refere-se à descrição das observações do desenvolvimento das trajetórias hipotéticas de aprendizagem durante as aulas. Na sequência, apresentamos à leitura das THAs pelos professores colaboradores.
No quarto capítulo, procurou-se identificar os novos conhecimentos, tanto dos professores, como da pesquisadora.
C
APÍTULO
1
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E PESQUISAS SOBRE
GEOMETRIA ESPACIAL
Inicialmente, neste capítulo, apresentaremos algumas reflexões sobre o “construtivismo epistemológico”, ao qual, Simon (1995) faz referência. Em seguida, ilustramos uma síntese da teoria desenvolvida pelo pensador. Estas reflexões surgiram de nossas discussões, quando da leitura do texto (traduzido pelo nosso grupo de pesquisa). Além disso, destacamos algumas revisões bibliográficas no que tange ao ensino e aprendizagem de Geometria, tendo como finalidade, situarmos, o que recomendam as recentes pesquisas nesse campo de atuação matemática.
1.1 O construtivismo epistemológico e a reconstrução da pedagogia
da Matemática
Para Simon (1995), o “construtivismo epistemológico tem sido fonte de pesquisas no ensino da Matemática e tem oferecido uma base para recentes esforços de uma reforma na Educação Matemática”. No entanto, considera que embora o construtivismo tenha potencialidade para sustentar mudanças no ensino da Matemática, é necessário formular modelos de ensino baseados no construtivismo11.
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Pires (2009) relata que o autor discute “a tensão criativa entre a meta dos professores para o ensino e o compromisso de ser sensível ao pensamento matemático dos seus alunos”. Adiciona em suas reflexões alguns temas, a saber:
a) as atividades de ensino estruturadas e implementas, tendo como ponto central a consideração do pensamento/entendimento dos alunos; b) o planejamento do ensino, gerado a partir de uma trajetória hipotética de aprendizagem dos alunos; c) a formação continuada dos professores, apoiada em reflexões sobre trajetórias hipotéticas de aprendizagem de seus alunos, num processo de permanente elaboração (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009, p. 74).
Simon ressalta que a perspectiva construtivista no ensino tem sido foco para muitos dos estudos empíricos e referenciais teóricos na Educação Matemática e, como resultado, tem contribuído para inovações nas reformas do ensino da Matemática, como é o caso, nos Estados Unidos da América, das proposições do NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática.
Pires (2009) ressalta que, no entender de Simon,
Embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de Matemática caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma ‘Pedagogia da Matemática’ baseada na visão construtivista é um desafio considerável, no qual a comunidade de Educação Matemática tem apenas começado a trabalhar (PIRES, 2006, p. 75).
Na opinião de Simon, o construtivismo pode contribuir com importantes caminhos para o ensino da Matemática em sala de aula, embora não estipule um modelo particular.
Nessa seqüência, Pires explicita: ao referir-se à ‘Pedagogia da Matemática’, Simon explica que o termo pedagogia tem a intenção de significar todas as contribuições para a Educação Matemática na sala de aula. Dessa maneira, o autor inclui não apenas um trabalho multifacetado do professor, mas também o currículo a ser construído e o desenvolvimento de materiais de ensino.
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem, Simon busca situar sua posição em relação às perspectivas construtivistas e às relações entre construtivismo e pedagogia da Matemática que destacaremos a seguir.
1.1.1 Recuperando aspectos da perspectiva construtivista
Para Pires (2009), um ponto importante no texto de Simon é a recuperação de aspectos da perspectiva construtivista. Para Simon, o interesse na difusão do construtivismo entre teóricos da Educação Matemática, pesquisadores e praticantes tem moldado o discurso para diferentes pretensões do construtivismo.
De expressões como “Construtivismo Radical” e “Construtivismo Social” derivam algumas orientações, caracterizando a existência de uma diversidade de perspectivas epistemológicas semelhantes dentro dessas categorias. Conseqüentemente, parece importante uma descrição aprofundada da perspectiva construtivista na qual nossa pesquisa está baseada. (SIMON, 1995, p. 4).
Do ponto de vista de Simon, a maior parte das informações que dividem os recentes debates epistemológicos sobre o conhecimento, é, fundamentalmente, as que o identificam, como um processo social e as que o tomam como um processo cognitivo.
A posição radical do construtivismo focaliza a construção individual para obter, desse modo, uma perspectiva cognitiva ou uma perspectiva psicológica. Embora a interação social seja vista como um contexto importante para o conhecimento, o foco está na reorganização cognitiva individual. Em contrapartida, a epistemologia com orientação sociocultural vê a construção mental como um processo socialmente determinado; o conhecimento individual origina-se da dimensão social. Para a perspectiva social, o conhecimento localiza-se na cultura, insere-se num sistema – que é maior que a soma de suas partes. (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009, p. 76)
Ao referir-se aos trabalhos de Cobb (1989), Simon lembra que, para esse autor, a coordenação das duas perspectivas construtivistas é necessária para entender a aprendizagem em sala de aula. Ela não está somente no social ou na dimensão cognitiva, mas, preferencialmente, na combinação da análise dessas duas perspectivas.
Simon formula uma analogia à luz das teorias psíquicas:
Nenhuma teoria em particular acena um enfoque suficiente para caracterizar dados psíquicos. Porém cada teoria tem construído uma contribuição significativa para basear teoricamente a pesquisa; considerando ser um enfoque particular e considerando ser um enfoque que acena também para cada teoria em particular, coordena a descoberta que se origina de cada perspectiva moldada para avanços neste campo. (SIMON, 1995, p. 6).
Para o autor, a organização do desenvolvimento do conhecimento em sala de aula parece uma análise particular coordenada, baseada nas perspectivas psicológicas (cognitivas) e sociológicas. A análise psicológica da aprendizagem da Matemática em sala de aula foca-se no conhecimento individual da Matemática, seu entendimento para o outro, e seu senso de funcionamento na aula de Matemática. A análise sociológica toma como ponto de partida o conhecimento e as normas sociais da sala de aula. As “normas sociais” referem-se àquilo que está entendido como a construção do conhecimento com efetiva participação dos alunos nas aulas de Matemática. Incluem as expectativas que os membros da comunidade têm sobre professores e alunos, os conceitos dos meios utilizados para a elaboração da aula de Matemática e o caminho utilizado para validar a aula de Matemática.
1.1.2 Construtivismo e Pedagogia da Matemática
No entender de Simon (1995), a aprendizagem é como um processo de construção individual e social mediado por professores com a concepção de um trabalho estruturado – no qual se entende a aprendizagem dos alunos. Compreender o desenvolvimento da aprendizagem é extremamente útil e tal fato leva à questão de como o construtivismo poderia contribuir para a reconstrução de uma Pedagogia da Matemática.
Novamente, Simon faz referência a autores como Wood, Cobb e Yackel para os quais os professores devem ter como finalidade a construção de uma prática que capacite seus alunos a percorrerem o caminho da aprendizagem matemática. Este é o desafio fundamental que deve fascinar os professores de Matemática, o que implica a necessidade de reconstruir meios para fazer conhecer a Matemática na escola e, desse modo, meios para ensinar Matemática.
Simon pondera mais uma vez que se o construtivismo é uma teoria epistemológica, ela não define uma orientação particular de ensino. O desenvolvimento do conhecimento está presente no professor ou no ensino realizado. Não existe uma simples função que mapeie a metodologia de ensino dentro de princípios construtivistas. Ou seja: o construtivismo epistemológico não determina a apropriação ou inapropriação de estratégias de ensino.
Bauerfied, citado por Simon (apud PIRES, 2009), considera a construção cognitiva, de natureza essencialmente humana e a processual emergente dos temas, regularidades e normas entrecruzando Matemática, interação social – para trazer a cognição e o social juntos – não podem ser construídas com simples sumários prescritivos de ensino. Assim, não há referências a respeito da operacionalização de uma perspectiva construtivista social, sem contradizê-la. Comumente é usada a denominação “ensino construtivista”. No entanto, o construtivismo não oferece uma noção de como resolver os problemas de ensino ou de como efetivá-los.
Pires destaca sua concordância com Simon, quando ele considera excessivamente simplista aproveitar a conexão do construtivismo para o ensino com a romântica noção de “deixar os alunos sozinhos e eles construirão seu conhecimento matemático”. Ou então: “Colocar alunos em grupos e deixá-los socializar o modo como eles resolvem seus problemas”. E lembra que nas experiências educacionais brasileiras idéias como estas foram veiculadas de forma maciça e ocasionaram grandes problemas no que se refere ao papel do ensino e do professor.
Em sua experiência com alunos, Simon relata que se perguntava: “Como poderia entender o pensamento daqueles estudantes e como poderia trabalhar com eles para verificar se seriam capazes de desenvolver raciocínios mais poderosos? O autor conclui que, nessas experiências com alunos, ficou bem nítida a relação entre o projeto de atividades do professor e a consideração do pensamento que os alunos podem trazer em sua participação nessas atividades – que conduzem à formulação da ideia das trajetórias hipotéticas de aprendizagem.
1.2 Trajetória(s) hipotética(s) de aprendizagem segundo Simon
Simon (1995) defende a ideia de que a consideração do objetivo da aprendizagem, as atividades de aprendizagem e o pensamento e conhecimento dos estudantes são elementos importantes na construção de uma trajetória hipotética de aprendizagem – parte chave do que ele denomina Ciclo de Ensino de Matemática.
No que se refere ao conhecimento dos professores de Matemática, além das hipóteses sobre o conhecimento dos alunos, outros diferentes saberes profissionais intervêm, como por exemplo, teorias de ensino sobre Matemática; representações matemáticas; materiais didáticos e atividades; e teorias sobre como os alunos constroem conhecimentos a respeito de um dado assunto – saberes estes derivados da pesquisa em literatura e/ou da própria experiência docente.
continuamente), durante o estudo de um conceito matemático particular. Quando os alunos começam a comprometer-se com as atividades planejadas, os professores deveriam “comunicar-se” com as observações dos alunos, nas quais eles formatam novas ideias sobre esse conceito. Assim, o ambiente de aprendizagem envolveria resultados da interação entre o professor e os alunos e o modo como eles se engajam em um conteúdo matemático.
Simon refere-se a um comentário de Steffe (1990): um professor pode propor uma tarefa; mas, como os alunos constroem suas tarefas e suas experiências é que vão determinar seu potencial de aprendizagem. Assim, por exemplo, se um aluno dá uma resposta a um problema elaborado pelo professor e no entendimento do professor não foi uma compreensão adequada sobre os conceitos ou procedimentos envolvidos, isso deve resultar em um novo objetivo de ensino sobre o assunto. Temporariamente, este objetivo substitui o original.
Em suas experiências, a discussão na sala de aula impulsionou Simon a reexaminar diversos conhecimentos para favorecer a elaboração do seu “mapa conceitual”, destaca que o termo “mapa”, neste contexto, é usado para enfatizar que o conhecimento do professor serve como um mapa que traduz como ele se empenha na construção da compreensão dos alunos e identifica o potencial de aprendizagem.
O autor também ressalta o que observou em relação aos alunos que mudou sua perspectiva sobre o conhecimento dos alunos e a concepção matemática envolvida (seu mapa interno). Esta reorganização de perspectivas contribuiu para modificar seus objetivos, planos para atividades de ensino e aprendizagem que havia elaborado anteriormente.
1.2.1 O Ciclo de Ensino de Matemática segundo Simon
Figura 1. Ciclo de ensino de Matemática abreviado (Simon, 1995)
Quanto às hipóteses sobre o conhecimento dos alunos para enfatizar que não temos acesso direto ao conhecimento deles, Simon destaca que:
Como professor, minha concepção do conhecimento matemático dos alunos, está estruturada pelo meu conhecimento da Matemática em questão. Convenientemente, o que observei no gosto pelo pensamento matemático dos alunos e meu entendimento das idéias matemáticas envolveram interconexões. Estes dois fatos são interessantes na esfera do ensino do professor. (SIMON, 995, p. 29).
O autor faz uma referência a Stefe (1990) para o qual, usando seu próprio conhecimento matemático, os professores de Matemática devem interpretar a linguagem e as ações de seus alunos e tomar decisões sobre os possíveis conhecimentos matemáticos destes e sua possibilidade de aprendizagem. Para
Conhecimento do Professor
Trajetória Hipotética de Aprendizagem
Objetivo do professor para a aprendizagem dos alunos
Plano do professor para atividades de aprendizagem
Hipóteses do professor sobre o processo de ensino aprendizagem dos alunos
Constituição interativa nas atividades de sala de aula Avaliação do
Simon, trata-se da meta da aprendizagem do professor para seus alunos que possibilita uma direção para uma trajetória hipotética de aprendizagem:
Usaremos o termo trajetória hipotética de aprendizagem tanto para fazer referência ao prognóstico do professor, como para o caminho que possibilitará o processamento da aprendizagem. É hipotética porque caracteriza a propensão a uma expectativa. O conhecimento individual dos estudantes ocorre de forma idiossincrática, embora freqüentemente em caminhos similares. O conhecimento do indivíduo tem alguma regularidade (cf. Steffe, Von Glaserfield, Richards e Cobb, 1983), que em sala de aula adquire com atividades matemáticas freqüentes em métodos prognósticos, e que muitos dos alunos em uma mesma sala de aula podem se beneficiar das mesmas tarefas matemáticas.
(SIMON, 1995, p. 34)
Desse modo, Simon considera que a trajetória hipotética de aprendizagem dá ao professor a possibilidade de construir seu projeto de decisões, baseado em suas melhores suposições de como o conhecimento poderia ser processado.
1.2.2 Composição da trajetória hipotética de aprendizagem, segundo Simon
Uma trajetória hipotética de aprendizagem – THA – é composta por três componentes:
1. o objetivo do professor com direções definidas para a aprendizagem de seus alunos;
2. as atividades de ensino e
3. o processamento hipotético de aprendizagem (uma suposição de como o pensamento e o entendimento dos alunos será colocado em ação no contexto de aprendizagem das atividades).
Para Simon, a trajetória hipotética de aprendizagem pressupõe a importância da relação entre a meta pretendida e o raciocínio sobre decisões de ensino e a hipótese sobre esse percurso. Para ele, o desenvolvimento de um processo hipotético de aprendizagem e o desenvolvimento de atividades dessa aprendizagem tem uma relação simbólica. A geração de ideias para atividades de aprendizagem é subordinada à hipótese do professor sobre o desenvolvimento do pensamento e a aprendizagem de seus alunos. A escolha da palavra “trajetória” é significativa para designar um caminho. Simon convida a uma analogia:
Façamos uma analogia: considere que você tenha decidido viajar ao redor do mundo para visitar, na seqüência, lugares que você nunca tinha visto. Ir para a França, depois Havaí, depois Inglaterra, sem uma série de itinerário a seguir. Antes, você adquire conhecimento relevante para planejar sua possível jornada. Você faz um plano. Você pode inicialmente planejar toda a viagem ou uma única parte dela. Você estabelece sua viagem de acordo com seu plano. No entanto, você deve fazer constantes ajustes, por causa das condições que irá encontrar. Você continua a adquirir conhecimento sobre a viagem e sobre as regiões que você deseja visitar. Você muda seus planos a respeito da seqüência do seu destino. Você modifica o tamanho e a natureza de sua visita, de acordo com o resultado da interação com as pessoas no decorrer do caminho. Você adiciona os destinos à sua viagem e que não eram de seu conhecimento. O caminho que você utilizará para viajar é sua “trajetória”. O caminho que você antecipa em algum ponto é a sua “trajetória hipotética”. (SIMON, 1995, p. 5)
Trajetória Hipotética de Aprendizagem
Objetivo do professor para a aprendizagem dos alunos
Plano do professor para atividades de aprendizagem
Hipóteses do professor sobre o processo de aprendizagem dos
1.2.3 A geração de uma trajetória hipotética de aprendizagem
Conforme explica Pires (2009), para Simon (1995) a geração de uma THA prioriza buscar a forma pela qual o professor desenvolve seu planejamento em atividades de sala de aula, mas também ajuda a identificar como o professor interage com as observações dos alunos, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos conhecimentos.
Esta experiência pela essência da sua construção social é diferente das primeiras antecipações dos professores. Simultaneamente ocorre uma construção social de atividades em sala de aula e a modificação das idéias e conhecimento do professor, que ele vai construir em função do que está acontecendo ou do que aconteceu na sala de aula. (SIMON, 1995, p. 6)
O diagrama da Figura 1, mostrado anteriormente, indica que a avaliação do pensamento do aluno (com constantes idas ao modelo de ensino apresentado), pode trazer muitas adaptações a respeito de qualquer conhecimento do professor, o que possibilita uma nova ou modificada trajetória hipotética de aprendizagem.
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Figura 2. Ciclo de ensino de Matemática. Os domínios do conhecimento do professor e
avaliação do conhecimento dos alunos (SIMON, 1995, p. 137).
Conforme Simon, a modificação da trajetória hipotética de aprendizagem não é alguma coisa que somente ocorre durante o planejamento entre aulas.
O professor está constantemente comprometido em ajustar a trajetória de aprendizagem que “hipotetizou”, para melhor refletir seu aumento de conhecimento. Ele está constantemente percebendo a extensão das modificações e transformações que podem ser construídas por algum ou todos os componentes da trajetória hipotética de aprendizagem: o método, as atividades e o processamento hipotético da aprendizagem. (SIMON, 1995 apud, PIRES, 2009, p. 84)
1.3 Considerações e reflexões de nosso grupo de pesquisa
Em seu artigo, Pires (2009) apresenta uma síntese de algumas das reflexões feitas em nosso grupo de pesquisa.
contribuições das pesquisas na área de Educação Matemática podem contribuir para a organização de um ensino que potencialize boas situações da aprendizagem dos alunos, o grupo encontrou no trabalho de Simon elementos importantes:
1) Sua posição ao afirmar que as visões construtivistas da aprendizagem têm dado sustentação a fundamentos teóricos na pesquisa de campo da Educação Matemática; e
2) Dar pistas importantes para que os professores possam compreender e antecipar a forma de construção dos conhecimentos matemáticos de seus alunos.
O grupo considera particularmente importante o alerta de Simon no sentido de que o construtivismo também aponta um desafio para a Educação Matemática, como desenvolver modelos de ensino em que a construção de conhecimento seja tomada como perspectiva teórica.
Simon (1995) adverte também que a Educação Matemática não produzirá métodos com ideias fixas ou plataformas para as ações docentes, e as estruturas metodológicas deverão sempre suportar transformações experimentais. O Ciclo de Ensino Matemático retrata uma visão das resoluções construídas pelo professor, a respeito do conteúdo e das tarefas, modeladas pelo encontro de uma perspectiva do construtivismo social com o desafio das aulas de Matemática. Nesse ciclo, são particularmente importantes, algumas premissas:
a) O pensamento/entendimento dos estudantes é especialmente considerado e tem o lugar central na formatação e implementação de instruções. O pensamento/entendimento é um processo contínuo do conjunto de dados e hipóteses construídas.
b) O conhecimento do professor envolve-se simultaneamente com o crescimento do conhecimento do aluno. Como os alunos estão aprendendo Matemática, o professor está aprendendo sobre Matemática, também aprendendo e ensinando a respeito do pensamento matemático dos seus alunos.
