2.1 Vetores e Escalares

Uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta pode se deslocar em apenas dois sentidos. Podemos arbitrar o seu movimento como positivo em um destes sentidos e negativo no outro. Para uma partícula que se movimenta em três dimensões, no entanto, um sinal de mais ou um sinal de menos não é mais suficiente para definir a direção e o sentido do movimento. No lugar dos sinais devemos usar um vetor.

Um vetor possui módulo, direção e sentido, e os vetores seguem certas regras (vetoriais) de combinação, que examinaremos neste capítulo. Uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui módulo, direção e sentido e, portanto, pode ser representada por um vetor. Como exemplos de algumas grandezas físicas que são grandezas vetoriais podemos citar o deslocamento, a velocidade e a aceleração.

Nem todas as grandezas físicas envolvem direção e sentido. Temperatura, pressão, energia, massa e tempo, por exemplo, não “apontam” para nenhum lugar. Chamamos tais grandezas de escalares, e lidamos com elas usando as regras da álgebra elementar. Um único valor, com um sinal (como em uma temperatura de –40°F), especifica um escalar.

A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento, ou mudança de posição. Um vetor que representa um deslocamento é chamado de vetor deslocamento.

Na figura 2.1a, as setas de A para B, de A´ para B´ e de A´´ para B´´ possuem o mesmo módulo, direção e sentido. Portanto, elas especificam vetores deslocamento idênticos e representam a mesma mudança de posição para a partícula.

Figura 2.1 (a) Todas as três setas possuem o mesmo módulo, direção e sentido e, conseqüentemente, representam o mesmo deslocamento. (b) Todas as três trajetórias que ligam os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento.

Um vetor deslocamento não nos diz nada a respeito da trajetória que a partícula realmente segue. Na figura 2.1b, por exemplo, todas as três trajetórias que ligam os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento, o da fig. 2.1a. Vetores deslocamento representam apenas o efeito resultante do movimento, não o movimento propriamente dito.

2.2 Somando Vetores Geometricamente

Suponha que, como no diagrama vetorial da figura 2.2a, uma partícula se mova de A para B e depois de B para C. Podemos representar seu deslocamento resultante (independente de qual seja seu deslocamento real) por dois vetores deslocamento sucessivos, AB e BC. O deslocamento resultante destes dois deslocamentos é um único deslocamento de A para C. Chamamos de AC a soma (ou resultante) vetorial dos vetores AB e BC. Esta soma não é a soma algébrica usual.

Na figura 3.2b, redesenhamos os vetores da figura 2.2a e mudamos a maneira de representa- los para a forma que usaremos daqui por diante, que consiste em usar uma seta sobre um símbolo, como em aG

.

Figura 2.2 (a) AC é a soma vetorial dos vetores AB e BC. (b) Os mesmos vetores com novos símbolos.

Se quisermos indicar apenas o módulo do vetor (uma grandeza que não possui sinal nem direção), usaremos o símbolo, como em a, b e s.

Podemos representar a relação entre os três vetores da figura 2.2b com a equação vetorial b

a s G G

G = + 2.1 que diz que o vetor sG

é o vetor soma dos vetores aG e bG

. O símbolo + na equação 2.1 e as palavras

“soma” e “somar” possuem significados para vetores diferentes dos que eles têm na álgebra usual porque eles envolvem módulo, direção e sentido.

A figura 2.2 sugere um procedimento para se somar vetores bidimensionais aG e bG geometricamente. (a) Faça um esboço no papel do vetor aG

em alguma escala conveniente e com o ângulo verdadeiro. (2) Faça um esboço do vetor bG

na mesma escala, com a sua origem na extremidade do vetor aG

, novamente com o ângulo verdadeiro. (3) O vetor soma sG

é o vetor que se estende da origem de aG

até a ponta de bG .

A soma de vetores, definida desta maneira, possui duas propriedades importantes. Primeiro, a ordem da soma é irrelevante. Somar aG

com bG

fornece o mesmo resultado que somar bG

com aG (figura 2.3); ou seja,

a b b

a G G G

G+ = + (lei comutativa) 2.2

Figura 2.3: Os dois vetores a e b podem ser somados tanto numa ordem como na outra.

Segundo, quando há mais do que dois vetores, podemos agrupa-los em qualquer ordem ao fazermos a soma deles. Portanto, se quisermos somar os vetores a, b e c, podemos somar aG

com bG primeiro e depois somar a sua soma vetorial com cG

. Podemos também somar bG

com cG

primeiro e depois somar essa soma com aG

. Obtemos o mesmo resultado de uma maneira ou de outra, como mostrado na figura 2.4. Ou seja,

( )

( )

Figura 2.4: Os três vetores aG , bG

e cG

podem ser agrupados de qualquer maneira ao serem somados.

O vetor bG

− é um vetor com o mesmo módulo de bG

, mesma direção, mas sentido contrário (veja a figura 2.5), é também chamado de vetor oposto. Somando os dois vetores da figura 2.5, obteríamos

( )

b+ −G =

G .

Figura 2.5: Os vetores aG e bG

possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos contrários.

Portanto, somar bG

− tem o mesmo efeito que subtrair bG

. Usamos esta propriedade para definirmos a diferença entre dois vetores: seja dG aG bG

−

= . Então,

( )

a b a

dG G G G G

− +

=

−

= (subtração de vetores) 2.4 ou seja, acharmos o vetor diferença dG

somando o vetor bG

− ao vetor aG

. A figura 2.6 mostra como isso é feito geometricamente.

Figura 2.6: (a) Vetores aG , bG

e bG

− . (b) Para subtrair o vetor bG

do vetor aG

, some o vetor bG

− ao vetor aG .

2.3 Componentes de Vetores

A soma algébrica de vetores pode ser tediosa. Uma técnica mais organizada e mais fácil envolve álgebra, mas exige que os vetores sejam colocados em um sistema de coordenadas retangulares. Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano da página, como na figura 2.7a.

O eixo z aponta para fora da página (sai na direção perpendicular à página) e passa pela origem; por enquanto ignoramos este eixo e tratamos apenas de vetores bidimensionais.

Uma componente de um vetor é a projeção do vetor sobre um eixo. Na figura 2.7a, por exemplo, ax é a componente do vetor aG

sobre o (ou ao longo do ) eixo x e ay é a componente ao longo do eixo y. Para acharmos a projeção de um vetor ao longo de um eixo, desenhamos linhas perpendiculares partindo das duas extremidades do vetor (origem e ponta) até o eixo, como mostrado. A projeção de um vetor sobre um eixo x é a componente x; analogamente, a projeção sobre o eixo y é a componente y. O processo de achar as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor (em componentes).

Uma componente de um vetor possui o mesmo sentido (ao longo de um eixo) que o vetor.

Na figura 2.7, ax e ay são ambos positivos porque aG

se estende no sentido positivo dos dois eixos.

(Observe as pequenas pontas de seta nas componentes, para indicar o seu sentido). Se tivéssemos que inverter o vetor aG

, então as duas componentes seriam negativas e as duas pontas de setas apontariam no sentido negativo de x e de y.

Figura 2.7 (a) As componentes ax e ay do vetor aG

. (b) As componentes não se alteram se o vetor for transladado, contanto que o módulo e a orientação sejam mantidos. (c) As componentes formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor.

A decomposição do vetor bG

na figura 2.8 produz uma componente positiva bx e uma componente negativa by.

Figura 2.8: A componente de bG

sobre o eixo x é positiva e a componente sobre o eixo y é negativa.

Em geral, um vetor possui três componentes, embora no caso da figura 2.7a a componente ao longo do eixo z seja nula. Como as figuras 2.7a e b mostram, se você transladar um vetor sem mudar sua direção e seu sentido suas componentes não se alterarão.

Podemos achar as componentes de aG

na figura 2.7a geometricamente a partir do triângulo retângulo da figura:

θ

= θ

=acos e a asen

a_{x y} , 2.5 onde θ é o ângulo que o vetor aG

faz com o sentido positivo do eixo x, e a é o módulo de aG . A figura 2.7c mostra que aG

e suas componentes x e y formam um triângulo retângulo. Ela também mostra como podemos reconstruir um vetor a partir das suas componentes: dispomos essas componentes da origem para a extremidade. Então completamos um triângulo retângulo com o vetor que forma a hipotenusa, da extremidade de uma componente para a extremidade da outra componente. Essa é a conhecida regra do paralelogramo.

Uma vez decomposto um vetor nas suas componentes ao longo de um conjunto de eixos, as próprias componentes podem ser usadas no lugar do vetor. Por exemplo, aG

na figura 2.7a é dado (completamente determinado) por a e θ. Ele também pode ser dado pelas suas componentes ax e ay. Os dois pares de valores contêm a mesma informação. Se conhecermos um vetor em notação de componentes (ax e ay) e quisermos que ele seja expresso em módulo e direção (a e θ), podemos usar as equações



 



=  θ

⇒

= θ

+

=

− x 1 y x

y 2 y 2 x

a tg a a

tg a

e a a a

2.6

para transforma-lo.

No caso mais geral de três dimensões, precisamos de um módulo e de dois ângulos (digamos a, θ e φ) ou três componentes (ax, ay e az) para especificar um vetor.

Exemplo 2-1. Um pequeno avião parte de um aeroporto em um dia de céu encoberto sendo depois avistado a uma distância de 215 km, na direção nordeste a 22° a partir da direção norte. A que distância a leste e a norte do aeroporto está o avião quando ele é avistado?

Figura 2.9: Exemplo 2-1. Um avião decola de um aeroporto na origem e depois é avistado em P.

Solução: Nos dão o módulo (215 km) e o ângulo (22° para leste a partir da direção norte) de um vetor e precisamos achar as componentes deste vetor. Desenhamos um sistema de coordenadas xy com o sentido positivo de x voltado para leste e o de y voltado para o norte (figura 2.9). Por conveniência, colocamos a origem no aeroporto. O vetor deslocamento do avião dG

aponta da origem para onde o avião foi avistado.

Para acharmos as componentes de dG

, usamos a equação 2.5 com θ = 68° (=90°-22°):

dx = d cos θ = (215 km) (cos 68°) = 81 km dy = d sen θ = (215 km) (sen 68°) = 199 km Assim, o avião está a 81 km ao leste e a 199 km ao norte do aeroporto.

Exemplo 2-2. A equipe de 1972 que fez a ligação do sistema de cavernas de Mammoth-Flint Cave foi da Entrada Austin, no sistema de Flint Ridge, até Echo River, na Mammoth Cave (figura 2.10a), viajando efetivamente 2,6 km na direção oeste, 3,9 km na direção sul e 25 m para cima. Qual foi o vetor deslocamento da equipe desde a partida até a chegada?

Solução: Temos as componentes de um vetor tridimensional e precisamos determinar o módulo do vetor e dois ângulos para especificarmos a direção e o sentido do vetor. Primeiro desenhamos as componentes como na figura 2.10b. As componentes horizontais (2,6 km para oeste e 3,9 km para o sul) formam os catetos de um triângulo retângulo horizontal. O deslocamento horizontal da equipe forma a hipotenusa do triângulo, e seu módulo dh é dado pelo teorema de Pitágoras:

(

) (

)

d_h = ² + ² =

Figura 2.10: Exemplo 2-2. (a) Parte do sistema de cavernas de Mammoth_Flint, com o percurso da equipe de espeleologistas desde a Entrada Austin até Echo River indicado em linha mais escura. (b) As componentes do deslocamento total da equipe e seu deslocamento horizontal dh. (c) Uma vista lateral mostrando dh e o vetor deslocamento total da equipe dG

.

Também do triângulo horizontal da figura 2.10b, vemos que este deslocamento horizontal está dirigido para o sudoeste, fazendo com a direção oeste um ângulo θh dado por

km, 6 , 2

km 9 , tgθ_h = 3

então

°

=



 



= 

θ 56

km 6 , 2

km 9 , arctg 3

h ,

que é um dos dois ângulos que precisamos para especificarmos a direção do deslocamento total.

Para incluirmos a componente vertical (25 m = 0,025 km), consideramos agora uma vista lateral da figura 2.10b, olhando para o noroeste. Obtemos a figura 2.10c, na qual a componente vertical e o deslocamento horizontal, dh, formam os catetos de outro triângulo retângulo. Agora o deslocamento total da equipe forma a hipotenusa daquele triângulo, com um módulo d dado por

(

) (

)

d= ² + ² = ≈ .

Este deslocamento está dirigido para cima a partir do deslocamento horizontal fazendo um ângulo

. 3 , km 0 69 , 4

km 025 , arctg 0

v = °

 



=  θ

Assim, o vetor deslocamento da equipe tinha um módulo igual a 3,7 km e fazia um ângulo de 56°

para o sudoeste a partir do oeste e um ângulo de 0,3° para cima. O movimento vertical resultante era, obviamente, insignificante comparado com o movimento horizontal. Entretanto, esse fato não seria nenhum consolo para a equipe, que teve que subir e descer escalando inúmeras vezes para atravessar a caverna. O percurso que eles percorreram foi na verdade bem diferente do vetor deslocamento que simplesmente aponta em linha reta da partida para a chegada.

Revisão para a solução de Problemas

1. Ângulos – Graus e Radianos

Ângulos medidos a partir do sentido positivo do eixo dos x são positivos se eles forem medidos no sentido anti-horário e negativos se medidos no sentido horário. Por exemplo, 210° e –150° são o mesmo ângulo.

Ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos (rad). Você pode relacionar as duas medidas lembrando-se de que um círculo completo é equivalente a 360° e a 2π rad. Se fosse preciso converter, digamos, 40° em radianos, você escreveria

rad 70 , 360 0

rad

40 2 =

°

° π

2. Funções Trigonométricas

Você precisa conhecer as definições das funções trigonométricas usuais – seno, cosseno e tangente – porque elas fazem parte da linguagem da ciência e da engenharia. Elas são dadas na figura 2.11 em uma forma que independe de como se nomeiam os vértices do triângulo.

Você também deveria ser capaz de esboçar como as funções trigonométricas variam com o ângulo, como na figura 2.12, a fim de ser capaz de decidir se um resultado obtido usando uma calculadora é razoável. Mesmo saber os sinais das funções nos vários quadrantes pode ser útil.

3. Funções Trigonométricas Inversas

Quando as funções trigonométricas inversas arc sen, arc cos e arc tg são obtidas em uma calculadora, você deve considerar se a resposta que você obtém é razoável, porque existe normalmente outra resposta possível que a calculadora não fornece. A faixa de operação para uma calculadora ao obter cada função trigonométrica inversa é indicada na figura 2.12. Como um exemplo, arc sen 0,5 possui os ângulos associados de 30° (que é exibido pela calculadora) e 150°. Para ver os dois valores, desenhe uma reta horizontal passando por 0,5 m na figura 2.12a e observe onde ela intercepta a curva do seno.

Como você distingue uma resposta correta? É através da análise dos sinais das componentes x e y, e através da localização do vetor resultante no quadrante correto.

Figura 2.11: Um triângulo usado para definir as funções trigonométricas.

Figura 2.12: Três curvas úteis que não se deve esquecer. A faixa de operação de uma calculadora para obter funções trigonométricas inversas é indicada pelos trechos mais escuros das curvas.

4. Medindo o Ângulo de Vetores

As equações para cos θ e sen θ na equação 2.5 e a equação para tg θ na equação 2.6 são válidas somente se o ângulo for medido em relação ao sentido positivo do eixo x. Se ele for medido em relação a alguma outra direção, então as funções trigonométricas da equação 2.5 podem ter que ser trocadas uma com a outra, e a razão na equação 2.6 pode ter que ser invertida. Um método mais seguro consiste em converter o ângulo dado em um que seja medido a partir do sentido positivo do eixo x.

2.4 Vetores Unitários

Um vetor unitário é um vetor que possui um módulo exatamente igual a 1 e que aponta em uma direção particular. Ele não possui nem dimensão nem unidade. Seu único propósito é apontar – ou seja, especificar uma direção e sentido. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, y e z são chamados de iG

, jG e kG

, (figura 2.13). A disposição dos eixos da figura 2.13 é chamada de sistema de coordenadas dextrogiro. O sistema permanece dextrogiro se ele for girado rigidamente até uma nova orientação.

Figura 2.13: Os vetores unitários Gi , Gj

e kG

, definem as direções e sentidos de um sistema de coordenadas dextrogiro.

Vetores unitários são muito úteis para expressar outros vetores; por exemplo, podemos expressar aG

e bG

das figuras 2.7 e 2.8 como

j a i a

aG _xG _yG +

= 2.7 j

b i b

bG _xG _yG +

= 2.8 Estas duas equações estão ilustradas na figura 2.14. As grandezas a_xGi ea_yGj

são vetores e são chamados de componentes vetoriais de aG

. As grandezas ax e ay são escalares e são chamadas de componentes escalares de aG

(ou, como antes, simplesmente de componentes).

Figura 2.14: (a) As componentes vetoriais do vetor aG

. (b) As componentes vetoriais de vetor bG .

(

) (

) (

)

d=− + + 2.9 2.5 Somando Vetores Componente a Componente

Usando um esboço, podemos somar vetores geometricamente. Outra forma de somar vetores é combinando as suas componentes, eixo a eixo.

Para começar, considere a expressão

b a r G G

G = + 2.10 que diz que o vetor rG

é o mesmo que o vetor (aG+bG). Se isso é verdade, então cada componente de Gr

deve ser igual à componente correspondente de (aG bG + ):

x x

x a b

r = + 2.11

y y

y a b

r = + 2.12

z z

z a b

r = + 2.13 Em outras palavras, dois vetores devem ser iguais se as suas componentes correspondentes forem iguais. As equações 2.10 a 2.13 nos dizem que, para somar os vetores aG ebG

, devemos (1) decompor os vetores nas suas componentes escalares; (2) combinar estas componentes escalares, eixo a eixo, para obtermos as componentes da soma rG

; e (3) combinar as componentes de rG para obtermos o próprio rG

. Temos uma escolha no passo 3. Podemos expressar rG

em notação de vetor unitário (como na equação 2.9) ou na notação de módulo ângulo (como na resposta do exemplo 2- 2).

Este procedimento para somar vetores pelas componentes também se aplica à subtração de vetores. Lembre-se de que uma subtração como dG aG bG

−

= pode ser reescrita como uma soma

( )

a dG G G

− +

= .Para subtrair simplesmente somamos aG

com bG

− componente a componente, para obtermos

x x

x a b

d = − , d_y =a_y −b_y, e d_z =a_z −b_z, onde dG d_x Gi d_y Gj d_z kG

+ +

= .

Exemplo 2-3. A figura 2.15 mostra três vetores:

( ) ( )

( ) ( )

(

)

,j m 9 , 2 i m 6 , 1 b

,j m 5 , 1 i m 2 , 4 a G G

G G

G

G G G

−

=

+

−

=

−

=

a) Qual é o seu vetor soma rG

, também mostrado na figura?

b) Ache o módulo e a direção do vetor rG .

Figura 2.15 Exemplo 2-3. O vetor Gr

é a soma vetorial dos outros três vetores.

Solução: a) Podemos somar três vetores componente a componente, eixo a eixo. Para o eixo x, somamos as componentes x de aG,bG ecG

para termos a componente x de rG :

x x x

x a b c

r = + +

. m 6 , 2 0 m 6 , 1 m 2 , 4

r_x = − + =

Analogamente para o eixo y,

y y y

y a b c

r = + +

. m 3 , 2 m 3 , 2 m 9 , 2 m 5 , 1

r_y =− + − =−

Escrevendo rG

em notação de vetor unitário:

(

) (

)

r G G

G = − .

b) Da equação 2.6, o módulo é dado por

(

) (

)

r= ² + − ² ≈

e o ângulo é =− °



 



=  −

θ 41

6 , 2

3 , arctg 2

onde o sinal negativo significa que o ângulo é medido no sentido horário.

2.6 O Produto Escalar

O produto escalar dos vetores aGebG

da figura 2.16, define um produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar.

aG

aG−bG

θ

bG

Figura 2.16: O produto escalar entre dois vetores.

O produto escalar dos vetores aGebG é





θ

⊥

= =

⋅ abcos , casocontrário

b a se ou 0 b ou a se ,

b 0 aG G

2.14 onde a é o módulo de aG

, b é o módulo de bG

e θ é o ângulo entre aG ebG

ou, mais corretamente, entre as direções de aGebG

).

Quando dois vetores estão em notação de vetor unitário, podemos escrever seu produto escalar como

(

) (

)

b

aG G _x G _y G _z G _x G _y G _z G + +

⋅ + +

=

⋅ 2.15

Como os vetores unitários são perpendiculares entre si, aplicando a definição de produto escalar teremos que

0 k i

0 j i

1 i i

=

⋅

=

⋅

=

⋅ G G

G G

G G

0 k j

1 j j

0 i j

=

⋅

=

⋅

=

⋅ G G

G G

G G

1 k k

0 j k

0 i k

=

⋅

=

⋅

=

⋅ G G

G G

G G

2.16

Dessa forma teremos

z z y y x

xb a b a b

a b

aG⋅G = + +

2.17

Exemplo 2-4: Qual é o ângulo θ entre aG 3,0Gi 4,0Gj

−

= e bG 2,0Gi 3,0kG +

−

= ?

Solução: O ângulo entre as direções de dois vetores está incluído na definição do seu produto escalar



 



=  ⋅ θ

⇒ θ

=

⋅ ab

b arccos a cos

b a b a

G G G G

Primeiro vamos calcular o módulo dos vetores separadamente.

( ) ( )

(

) ( )

00 , 5 0 , 4 0

, 3 a

2 2

2 2

= +

−

=

=

− +

=

Depois, calculamos o produto escalar

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 , 6 b a

k 0 , 3 j 0 , 4 i 0 , 2 j 0 , 4 k 0 , 3 i 0 , 3 i 0 , 2 i 0 , 3 b a

k 0 , 3 i 0 , 2 j 0 , 4 i 0 , 3 b a

−

=

⋅

⋅

− +

−

⋅

− +

⋅ +

−

⋅

=

⋅

+

−

⋅

−

=

⋅ G G

G G G

G G

G G

G G G

G G

G G

G G

Dessa forma,

( )( )



 −

=

θ 110

61 , 3 00 , 5

0 , arccos 6

2.7 O Produto Vetorial O produto vetorial de aG ebG

, escrito como aG bG,

× produz um terceiro vetor cG

cujo módulo é dado por

θ

=

×

= a b absen

c G G

2.18 onde θ é o menor dos ângulos entre aGebG

. Se aGebG

forem paralelos ou antiparalelos (mesma direção mas em sentidos contrários), 0

b aG×G =

.

A direção de cG

é perpendicular ao plano formado pelos vetores aG ebG

. A figura 2.17a mostra como se determina a direção e o sentido de cG aG bG,

×

= com o que é conhecido como a regra da mão direita.

Figura 2.17. Ilustração da regra da mão direita para produtos vetoriais. (a) Gire o vetor aG

em direção ao vetor bG com os dedos da sua mão direita. Seu polegar esticado mostra a direção e o sentido do vetor cG aG bG

×

= . (b) Vê-se que aG bG

× é o contrário de bG aG

× .

A ordem da multiplicação vetorial é importante. Na figura 2.17b, estamos determinando a direção e sentido de cG aG bG,

×

= então os dedos estão dispostos para deslocarem bG

em direção a aG descrevendo o menor ângulo. O polegar acaba na mesma direção mas no sentido contrário ao produto anterior, e assim devemos ter cG cG

−

′= , ou seja

( )

a

b G G G

G× =− × 2.19 Em outras palavras, a lei comutativa não se aplica a um produto vetorial.

Na notação de vetor unitário, escrevemos

(

) (

)

b

aG G _xG _yG _zG _xG _yG _zG + +

× + +

=

× 2.20 que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva; ou seja, cada componente do primeiro vetor deve ser multiplicada vetorialmente por cada componente do segundo vetor.

Ou, matricialmente

b k b

a deta b j

b a deta b i

b a deta b a

y x

y x z

x z x z

y z

y G G G

G G

+

−

=

× 2.21

Na figura 2.18 apresentamos um dispositivo prático para lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com estes três vetores unitários que determinam o sistema cartesiano. Associando estes vetores a três pontos distintos de uma circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto vetorial de dois vetores sucessivos quaisquer é o vetor seguinte.

Figura 2.18: Esquema para determinar os seis possíveis produtos vetoriais de vetores unitários.

Assim, teremos as seguintes possibilidades

j k i

k j i

0 i i

G G G

G G G

G G

−

=

×

=

×

=

×

i k j

0 j j

k i j

G G G

G G

G G G

=

×

=

×

−

=

×

0 k k

i j k

j i k

=

×

−

=

×

=

× G G

G G G

G G G

2.22

Expandindo a equação 2.20 ou desenvolvendo os determinantes na equação 2.21, obteremos o mesmo resultado

(

)

(

)

(

)

b

aG G _{y z y z} G _{x z z x} G _{x y x y} G

− +

−

−

−

=

× 2.23

Exemplo 2-5: Na figura 2.19, o vetor aG

está contido no plano xy, possui um módulo igual a 18 unidades e aponta em uma direção a 250° do sentido positivo de x. Além disso, o vetor bG

possui um módulo igual a 12 unidades e aponta no sentido positivo da direção z. Qual é o produto vetorial

b a c G G

G = × e qual é a direção do vetor cG

?

Figura 2.19: Exemplo 2-5. O vetor cG

(no plano xy) é o produto vetorial dos vetores aG bG

× .

Solução: Quando temos dois vetores na notação módulo ângulo, achamos o módulo do seu produto vetorial (ou seja, o vetor que resulta de tomarmos o seu produto vetorial) com a equação 2.18. Aqui isso significa que o módulo de cG

é

c = a b sen θ = (18)(12)(sen 90°) = 216.

Com dois vetores na notação módulo ângulo achamos a direção e o sentido do seu produto vetorial com a regra da mão direita da figura 2.17. Imagine que você disponha os dedos da sua mão direita ao redor de uma reta perpendicular ao plano formado por aG ebG

(a reta na qual cG

é mostrado) de tal forma que os seus dedos desloquem aG atébG

. Seu polegar esticado então dá a direção e o sentido de cG

. Assim, como mostrado na figura 2.19, cG

pertence ao plano xy. Como a sua direção é perpendicular à direção de aG

, ele faz um ângulo a partir do sentido positivo da direção x de 250° − 90° =160°

( )

( ) ( ) ( )

i 3

c= × − + × + − × − + − ×

De acordo com as definições de produto vetorial de vetores unitários da equação 2.22, teremos

( )

( ) ( )

6

c G G G

G = + − + − −

Portanto

k 8 j 9 i 12

c G G G

G =− − −

Esse vetor é perpendicular tanto a aG

quanto a bG

, um fato que você pode verificar mostrando que 0

a c⋅G =

G e cG⋅bG =0

; ou seja, não há nenhuma componente de cG

nem ao longo da direção de aG nem de bG

.

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Dois pontos no plano xy têm as coordenadas cartesianas (2,0 , -4,0) e (-3,0 , 3,0), com as distâncias em metro. Determinar:

a) a distância entre os dois pontos e b) as coordenadas polares dos dois pontos

R: a) 8,60 m b)4,47 m a 29,7° e 4,24 m a 135°

2. As coordenadas polares de um ponto são r = 5,50 m e θ = 240°. Quais as coordenadas cartesianas deste ponto? R: (-2,75 m, -4,76 m)

3. Um ponto se localiza num plano pelas coordenadas polares r = 2,5 m e θ = 35°. Achar as coordenadas x e y deste ponto, admitindo que os dois sistemas de coordenadas tenham a mesma origem. R: (2,05 m, 1,43 m)

4. Uma mulher caminha 250 m na direção 30° a leste do norte e depois 175 m para o leste.

a) Usando métodos gráficos, determine o seu deslocamento resultante a partir do ponto inicial.

b) Compare o módulo do deslocamento com a distância total que a mulher percorreu.

R: Módulo: 370 m Distância total: 425 m

5. Um topógrafo, para estimar a largura de um rio, procede da seguinte forma: visa uma árvore, na outra margem, que está numa direção perpendicular ao rio; depois, anda 100 m ao longo da margem, e visa, de novo, a mesma árvore. O ângulo de visada é de 35° em relação a sua linha- base. Qual a largura do rio? R: 70,0 m

6. Uma pessoa, ao longo de uma passagem circular, com 5 m de raio, percorre meia circunferência.

a) Achar o módulo do vetor deslocamento.

b) Qual a distância percorrida pela pessoa?

c) Qual o módulo do deslocamento se a pessoa percorrer a circunferência inteira?

R: a) 10,0 m b) 15,7 m c) 0

7. O carro de uma montanha-russa anda 200 ft na horizontal e depois sobe por uma rampa de 135 ft, que faz ângulo de 30° com a horizontal. Depois desce uma ladeira de 135 ft, num ângulo de 40° para baixo. Qual o seu deslocamento, em relação ao ponto de partida, ao atingir o final do movimento? Usar uma técnica gráfica. R: 421 ft a 357°

8. Um vetor tem uma componente x de –25 unidades e uma componente y de 40 unidades. Achar o módulo e a direção deste vetor. R: 47,2 unidades a 122°

9. Dois vetores são dados por A 3i 2 jG = G− G

e BG = − −Gi 4 jG

. Calcular:

a) A BG + G

; b) A BG −G

; c) A BG +G d) A BG −G

e) a direção de A BG +G

e A BG −G . R: a) 2i 6 jG− G

b) 4i 2 jG+ G

c) 6,32 d) 4,47 e) 288° e 26,6°

11. Três vetores têm as orientações que aparecem na figura ao lado, com A =20, B =40 e C =30 unidades. Achar:

a) as componentes x e y do vetor resultante e b) o módulo e a direção do vetor resultante.

R: a) 49,5 e 27,1 b) 56,4 a 28,7°

12. Uma pessoa caminha seguindo a trajetória que aparece na figura abaixo. A caminhada tem quatro etapas retilíneas; ao findá-la, qual será o vetor deslocamento dessa pessoa medido em relação ao ponto inicial? R: 240m a 237°

13. Duas pessoas puxam um burrico empacado, como mostra a figura abaixo, vista de um helicóptero. Sabendo que F1 = 120 N e faz um ângulo de 60° com o eixo dos x positivos e que F2 = 80 N e que faz um ângulo de 75° com o eixo dos x negativos, achar:

a) a expressão vetorial e o módulo da força única equivalente às duas forças indicadas e

b) a expressão vetorial e o módulo da força que uma terceira pessoa teria que aplicar ao burrico para tornar a força resultante igual a zero.

R: a) j39,3Gi 181,2G

+ e 185,4 N b) 39,3Gi 181,2Gj

−

− e 185,4 N

14. Um paralelepípedo retângulo tem as dimensões a, b e c, conforme figura abaixo.

a) Achar a expressão vetorial para o vetor da diagonal da face RG₁

. Qual o módulo desse vetor?

b) Achar a expressão vetorial do vetor diagonal do paralelepípedo RG₂

. Qual é o módulo desse vetor?

R: a) RG₁ =ai bjG+ G

e RG₁ = a²+b²

b) RG₂ =ai bj ckG+ +G G

e RG₁ = a²+b²+c²

15. Um ponto P se descreve pelas coordenadas (x,y) num sistema cartesiano de coordenadas, conforme aparece na figura ao lado. Mostrar que (x´, y´), as coordenadas desse ponto no sistema de coordenadas x´, y´, que faz um ângulo α com o sistema inicial, estão relacionadas com (x,y) pelas expressões

x´ x cos= α+y senα e

y´= −x senα+y cosα

17. Um vetor aG

de módulo 10 unidades e outro vetor bG

de módulo 6 unidades fazem entre si um ângulo de 60°. Calcule:

a) o produto escalar dos dois vetores e b) o módulo do produto vetorial a bG×G

. R: a) 30 b) 52

18. Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como

x y z

a a i a j a k= G+ G+ G G

e

x y z

b b i b j b kG= G+ G+ G Mostre que

x x y y z z

a b a bG⋅ =G +a b +a b 19. Determine as componentes e o módulo de G Gr a b c= − +G G

se a 5,0 i 4,0 j 6,0 kG= G+ G− G , bG= −2,0 i 2,0 j 3,0 kG+ G+ G

e c 4,0 i 3,0 j 2,0 kG= G+ G+ G

. Calcule também o ângulo entre rG e o sentido positivo dos z. R: a) 11i 5 j 7kG+ G− G

b) 120°

20. Mostre que para os vetores aG

e bG

do problema 19,

(

) ⁽

⁾ (

)

a b i a bG× =G G −a b +Gj a b −a b +k a bG −a b . 21. O vetor aG

está no plano yz, faz um ângulo de 63° com o eixo + y, tem uma componente z positiva e seu módulo vale 3,20 unidades. O vetor bG

está no plano xz, faz um ângulo de 48°

com o eixo + x, tem uma componente z positiva e seu módulo vale 1,40 unidades. Calcule:

a) a bG⋅G b) a bG×G

e c) o ângulo entre aG

e bG . R: a) 2,97 b)1,51i 2,67 j 1,36kG+ G− G

c) 48°