Dimensionamento e pormenorização de elementos estruturais tipo parede com pré-esforço

(1)

i

Dimensionamento e pormenorização de elementos estruturais

tipo parede com pré-esforço

Resumo

Este trabalho tem como objectivo aplicar, num caso prático, uma metodologia de concepção e dimensionamento de estruturas com elementos de parede em que seja necessário pré-esforço.

Com base num projecto recentemente desenvolvido para o novo Hotel Savoy a construir no Funchal, considerou-se uma zona particular que serve de base para este trabalho. Nesta zona do edifício houve a necessidade, por razoes urbanísticas e arquitectónicas, de provocar uma excentricidade no volume dos pisos superiores em relação aos inferiores, tendo-se previsto transversalmente três alinhamentos de parede que têm naturalmente alguma interacção entre si. Estes pórticos surgem, assim, de forma a contrariar as deformações na extremidade da consola global da referida zona através da aplicação de pré-esforço. Realizou-se um estudo para conceber uma solução de traçado de cabos e quantidades de pré-esforço eficaz, na medida em que contraria as deformações de uma forma económica e com um controlo de eventual fendilhação. As verificações para a segurança à rotura são também avaliadas.

A solução concebida revelou-se aceitável, com deformações finais nas extremidades das consolas praticamente nulas e com quantidades de pré-esforço acomodáveis nas paredes, em geral, e nas zonas de cruzamento de cabos e zonas de ancoragens em particular. Relativamente à verificação da segurança à rotura, ilustram-se procedimentos gerais para a sua implementação, verificando-se as zonas com necessidade de mais armadura para além da malha geral adoptada.

Palavras-chave:

projecto

pré-esforço

elementos de parede deformabilidade

(2)

ii

Design and detail of structural elements such as wall elements

with prestressed concrete

Abstract

This paper aims to apply, in a case study, a methodology for design of structures with wall elements where the use of prestressed is required.

Based on a recently developed project for the new Savoy Hotel in Funchal, it was considered a particular part of the structure that serves as basis for this work. In this part of the building there was a need, due to urban and architectural reasons, to cause an eccentricity of the volume on the upper floors relatively to the other floors. Three wall alignments, which have some interaction between them, where predicted. These frame walls were designed, in order to balance the deformation of the global console through the prestress effect. A study to design prestress cables layout and its quantities was done, showing a good result in deformation terms with an economically solution that controls cracking as well.

The final solution proved to be acceptable, with nearly no deflections at the ends of the consoles and prestress quantity easily accommodated in the walls at cables crossing an in the anchoring zones. Regarding the ultimate state limit, the design procedures adopted are shown with steel quantities that led to a safe and easy to apply solution.

(3)

iii

Índice

R

ESUMO I

A

BSTRACT II

ÍNDICE

III

Í

NDICE DE

T

ABELAS V

Í

NDICE DE

F

IGURAS VII

S

IMBOLOGIA X

1 INTRODUÇÃO

1 2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

3 2.1 I

NTRODUÇÃO

3 2.2 A

NÁLISE DE

P

ROBLEMAS DE

E

LASTICIDADE

P

LANA

4 2.2.1 T

EORIA DA ELASTICIDADE PLANA

4 2.2.2 C

ÁLCULO DE SOLUÇÕES APROXIMADAS

AREDE

25

(4)

iv

5 ANÁLISE DO EIXO L

39 5.1 A

NÁLISE INDEPENDENTE DO EIXO

SFORÇO

46 5.1.4 C

OMPARAÇÃO DAS

S

OLUÇÕES

47 6 ANÁLISE GLOBAL

50 6.1 A

NÁLISE DO

E

IXO

L

52 6.2 A

NÁLISE DO

E

IXO

M

55 6.3 A

NÁLISE DO

E

IXO

N

60 6.4 A

NÁLISE DAS QUANTIDADES DE PRÉ

-

ESFORÇO

63 6.5 C

ONSIDERAÇÕES

F

INAIS

64 6.5.1 A

NÁLISE ÀS

D

EFORMAÇÕES

65 6.5.2 A

NÁLISE ÀS

T

ENSÕES

67 6.6 V

ERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS

E

STADOS

L

IMITES

Ú

LTIMOS

69 7 CONCLUSÃO

75 8 BIBLIOGRAFIA

76 ANEXOS

77 A

NEXO

1:

D

IAGRAMAS DE

F

ORÇAS PARA

C

OMBINAÇÃO

Q

UASE

P

ERMANENTE

78 A

NEXO

2:

D

IAGRAMAS DE

F

ORÇAS EM

E

STADO

L

IMITE

Ú

LTIMO

82

(5)

v

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Propriedades usuais de um cordão de pré-esforço . 11 Tabela 2 – Propriedades dos cabos de pré-esforço com diâmetros de bainhas e forças máximas

associadas1. 11

Tabela 3 – Características do aço de pré-esforço. 12

Tabela 4 – Esforços nas zonas indicadas da parede do Eixo L. 41 Tabela 5 – Cargas consideradas na parede do Eixo L, quando considerado isoladamente. 42 Tabela 6 – Acções admitidas nos pisos para determinação das cargas a considerar no pórtico L isolada

para as cargas quase permanentes (ψ2=0.2). 42

Tabela 7 – Esforços nas zonas críticas da parede do Eixo L, para a combinação fundamental de acções

com o modelo isolado. 43

Tabela 8 – Quantidade de armadura nas secções de esforços máximos no elemento do Eixo L

determinados pelo método de elementos finitos. 43

Tabela 9 – Quantidade de armadura nas secções de esforços máximos no elemento do Eixo L

determinados pelo método tradicional. 44

Tabela 10 – Forças de pré-esforço para os cabos da solução com cabos rectos. 45 Tabela 11 – Forças de pré-esforço para o traçado de cabos da solução com cabos curvos. 47

Tabela 12 – Tabela de referência do processo iterativo. 51

Tabela 13 – Deformações obtidas para os traçados de cabos com 1 cabo parabólico e 2 cabos a fazer o

mesmo efeito. 54

Tabela 14 – Deformação relativa da extremidade da consola em cada pórtico para o pré-esforço a

actuar no eixo L. 55

Tabela 15 – Deformação da consola devido a forças de pré-esforço a actuar com ou sem o cabo

número 3. 58

Tabela 16 – Deformação da consola devido a forças de pré-esforço de 1000KN nos cabos com

extremidades em recta ou em parábola. 59

actuar no eixo M. 60

actuar no eixo N. 62

Tabela 19 – Quadro referência para uma força de 1000KN em cada cabo de pré-esforço. 63 Tabela 20 – Forças de pré-esforço finais adoptadas em cada cabo. 64

Tabela 21 – Número de cordões adoptados em cada eixo. 64

Tabela 22 – Deformações nos respectivos pórticos após aplicação do pré-esforço. 65 Tabela 23 – Determinação das zonas referentes ao método de cálculo de armaduras nos pontos

indicados. 70

(6)

vi Tabela 25 – Determinação das zonas referentes ao método de cálculo de armaduras nos pontos da

zona de aberturas. 72

(7)

vii

Índice de Figuras

Figura 1 – Modelo tridimensional do edifício com evidência dos pórticos/parede adoptados. 1 Figura 2 – Crescimento da indústria de betão pré-esforçado nos Estados Unidos e Canadá [11]. 9 Figura 3 – Gráfico tensão-deformação de um aço de pré-esforço. 12 Figura 4 – Fases da vida de um elemento pré-esforçado, por pré-tensão. 14 Figura 5 – Diagrama de tensões num elemento de viga sujeito à aplicação de pré-esforço. 15 Figura 6 – Esquema geral do efeito do atrito nos cabos de pré-esforço. 17 Figura 7 – Diagrama de representação de perdas por reentrada de cunhas. 18 Figura 8 – Comportamento em E.L.U. de uma viga sujeita à flexão. 21

Figura 9 – Viga hiperstática sujeita a pré-esforço. 23

Figura 10 – Forças necessárias para estabelecer o equilíbrio no elemento de placa. 26 Figura 11 – Equilíbrio de forças segundo as direcções de disposição de armadura. 26

Figura 12 – Distribuição das zonas I, II, III e IV. 28

Figura 13 – Equilíbrio de um elemento de placa à compressão. 29 Figura 14 – Círculo de Mohr para um estado de compressão biaxial. 30 Figura 15 – Modelo de viga simplesmente-apoiada com um vão de 10.8m sujeita a 10KN/m. 31 Figura 16 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na viga considerada como exemplo. 32

Figura 17 – Diagrama de forças na secção da viga considerada como exemplo. 32

Figura 18 – Fotomontagem do edifício em estudo. 35

Figura 19 – Modelo tridimensional da zona do edifício em estudo. 36

Figura 20 – Modelo e corte do eixo L. 37

Figura 21 – Modelo e corte do eixo M. 37

Figura 22 – Modelo e corte do eixo N. 38

Figura 23 – Diagrama de Forças F₁₁ [MN/m] no elemento de parede do Eixo L, na modelação conjunta

da estrutura para uma combinação fundamental. 39

Figura 24 – Equivalência entre o momento global e os momentos inferior e superior das consola e o

efeito global de flexão. 40

Figura 25 – Resultantes do diagrama de tensões axiais nas secções indicadas. 41 Figura 26 – Distribuição de cargas no elemento de parede do eixo L. 42 Figura 27 – 1ª solução de traçado de cabos de pré-esforço no eixo L. 44 Figura 28 – Deformada da parede do Eixo L devido ao pré-esforço a actuar isoladamente na consola

inferior. 45

Figura 29 – Traçado do cabo de pré-esforço adoptado e diagrama de forças F₁₁ [MN/m] para a

combinação quase permanente, na parede do Eixo L. 46

Figura 30 – Traçado de cabos da 2ª solução. 47

Figura 31 – Diagramas de Forças F₁₁ [MN/m] antes da aplicação do pré-esforço na parede do Eixo L,

(8)

viii Figura 32 – Diagramas de Forças F₁₁ [MN/m] após a aplicação do pré-esforço na parede do Eixo L, para

uma combinação quase permanente de acções. 48

Figura 33 – Deformada do elemento de parede do eixo L nas soluções inicial e final para uma

combinação quase permanente de acções. 49

Figura 34 – Representação da deformação relativa da consola. 51 Figura 35 – Diagrama de forças F11 e F22 [MN/m] devido a cargas quase permanentes na parede do

eixo L. 52

Figura 36 – 1º Traçado de cabos no eixo L, com um cabo parabólico-recto e um cabo recto vertical no

pilar direito. 53

Figura 37 – Traçado de cabo curvo concebido para o eixo L. 53

Figura 38 – Variação da extremidade do traçado do cabo parabólico. 54

Figura 39 – Solução de traçado de cabos no eixo L. 55

Figura 40 – Zona de descontinuidade no pórtico do eixo M. 56

Figura 41 – Diagramas de forças F11 [MN/m] devido a cargas quase permanentes na direcção

horizontal na parede do Eixo M. 56

Figura 42 – Diagramas de forças F22 [MN/m] devido a cargas quase permanentes na direcção vertical

na parede do Eixo M. 57

Figura 43 – 1ª solução de traçado de cabos na parede do eixo M. 57

Figura 44 – Modelo de encaminhamento das cargas no eixo M. 58

Figura 45 – Extremidade dos cabos curvos em parábola. 59

Figura 46 – Solução de traçado de cabos no eixo M. 60

Figura 47 – Diagrama de forças F11 e F22 [MN/m] devido às cargas quase permanentes na parede do

eixo N. 61

Figura 48 – Solução de traçado de cabos adoptado no eixo N. 62 Figura 49 – Pormenorização do cruzamento de cabos na zona de ligação do eixo M. 65 Figura 50 – Deformada da parede do eixo L para a actuação das cargas permanentes e das forças de

pré-esforço. 66

Figura 51 – Deformada da parede do eixo M para a actuação das cargas permanentes e das forças de

pré-esforço. 66

Figura 52 – Deformada da parede do eixo N para a actuação das cargas permanentes e das forças de

pré-esforço. 67

Figura 53 – Diagrama de forças F11 [MN/m] para a combinação quase permanente no eixo L, após

aplicação do pré-esforço. 68

Figura 54 – Diagrama de forças F11 [MN/m] para a combinação quase permanente no eixo M, após

aplicação do pré-esforço. 68

Figura 55 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na parede do eixo L indicando os pontos para aplicação do

(9)

ix Figura 56 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na parede do eixo L indicando os pontos para aplicação do

(10)

x

Simbologia

Maiúsculas Latinas

A área

operador diferencial de compatibilidade Ac área da secção de betão

Ap área de armadura de pré-esforço

As área de armadura ordinária

operador diferencial de compatibilidade operador diferencial de relações constitutivas E módulo de elasticidade

, módulo de elasticidade do betão após a consideração da fluência

Ecm modulo de elasticidade do betão

Ep módulo de elasticidade da armadura de pré-esforço

F força

vector das forças do elemento

Fc resultante da força de compressão na secção

Fp resultante da força de pré-esforço

Fs resultante da força de tracção na armadura ordinária na secção

I inércia da secção

matriz de rigidez do elemento L comprimento do elemento LN linha neutra

M valor do momento flector

Mh valor do momento flector hiperstático

Msd valor de cálculo do momento flector actuante na secção

N esforço axial

P valor da força de pré-esforço a longo prazo Po valor da força de pré-esforço inicial

W Módulo de flexão elástico

Minúsculas Latinas

a altura entre a resultante de zona comprimida e a armadura traccionada numa secção b largura da secção transversal

d altura útil da secção

(11)

xi e excentricidade do cabo em relação ao centro de gravidade da secção

vector das forças de massa do elemento

fcd valor de cálculo de resistência do betão à compressão

fck valor característico de resistência do betão à compressão

fp0,1k valor característico de cedência de aços de alta resistência

fpk valor característico da resistência de aços de alta resistência

fpyd valor de cálculo de cedência da aços de alta resistência

fyd valor de cálculo de cedência de armadura ordinária

h altura da secção

l comprimento do elemento k desvio angular parasita vector normal exterior esforço axial na direcção x

esforço axial na direcção y

p valor da carga distribuída ao longo de uma viga tensor das tensões numa fronteira T

u coeficiente de atrito

vector dos deslocamentos independentes do elemento x altura da zona comprimida numa secção

Maiúsculas Gregas

Δ

incremento

 vector das funções de aproximação domínio do elemento

Minúsculas Gregas

β soma dos ângulos de desvio δ valor da deformação

vector das deformações independentes do elemento extensão de retracção do betão

extensão da armadura de pré-esforço instantânea

ângulo do campo de compressões coeficiente de Poisson

(12)

xii tensão

tensor das tensões tensão a tempo infinito

ω percentagem mecânica de armadura

φ (t,ti) coeficiente de fluência no intervalo de tempo [t,ti]

φc coeficiente de fluência do betão

Abreviaturas

E.L.U. Estado Limite Último

C.Q.P. Combinação Quase Permanente P.P. Peso Próprio

(13)

1

1 Introdução

No último século, os avanços tecnológicos ao nível da Engenharia Civil e, em particular, na construção foram bastante significativos, apesar de nem sempre reconhecidos pela comunidade em geral. No que diz respeito aos materiais mais “tradicionais” como o betão, houve uma grande inovação através do estudo da sua composição e na descoberta de novos materiais com melhores características que se adaptam a situações muito adversas. Por outro lado, o avanço no campo da informática foi enorme, o que permitiu o desenvolvimento de software de cálculo com potencialidades para analisar situações estruturalmente complexas e ao alcance da generalidade dos projectistas. Estes aspectos são apenas um exemplo das razões porque hoje é possível conceber estruturas que há um século atrás seriam impensáveis, sendo permitida a arquitectos e engenheiros uma muito maior capacidade para desenvolver as suas estruturas. É neste contexto que a execução de projectos com soluções muito diferentes e complexas são possíveis em prazos muito curtos como o caso que serve de base a este trabalho, o Hotel Resort Savoy.

Com base no referido projecto, é neste trabalho estudada uma solução estrutural para viabilizar o projecto de uma zona do referido edifício em que um volume dos pisos superiores tem uma excentricidade face aos restantes. Em termos de concepção estrutural, surgiu a necessidade de criar as condições para rigidificar esta zona no seu conjunto e poder aplicar o pré-esforço de uma forma eficaz, pelo que foram criados três pórticos/parede dispostos como se observa na Figura 1. Verificou-se que, com a aplicação do pré-esforço, existe interactividade entre os vários pórticos tornando esta situação sem uma solução directa e única, necessitando, na sua resolução, de um conjunto de iterações até se obter um bom resultado.

(14)

(15)

3

2 Método dos Elementos Finitos

2.1 Introdução

Em situações correntes de Engenharia Civil, deparamo-nos com problemas complexos, em que uma análise manual de cada zona em separado torna-se uma tarefa difícil e pouco fiável, deste modo, é corrente recorrer a programas de cálculo automático para poder ter a percepção do comportamento global de uma estrutura. A avaliação do comportamento da zona estudada neste trabalho é certamente uma dessas situações em que um modelo global foi essencial na determinação de esforços e deformações, em especial devido à interacção existente entre os elementos de parede da estrutura estudada.

Ferramentas deste tipo utilizam formulações baseadas no método dos elementos finitos. O método dos elementos finitos é um método numérico que permite, hoje em dia, obter uma aproximação da solução de qualquer problema estrutural. Normalmente, no âmbito da Engenharia de estruturas, os problemas têm uma solução analítica “exacta”, mas é conhecido, que mesmo no caso de problemas de elasticidade linear há situações, como em placas ou lajes, em que a solução exacta não pode ser determinada, recorrendo-se, então, a um processo de aproximação obtido com rigor suficiente para um projecto de engenharia. Este tipo de aproximações faz com que os resultados, em termos de esforços e deformações, tenham um erro pequeno quando comparado com a utilidade deste tipo de ferramentas. Dos vários tipos de formulações que podem existir, a mais simples é a de garantir que os deslocamentos são compatíveis entre os nós comuns dos elementos e que, naturalmente, as condições de apoio da estrutura não são violadas.

Para as paredes pré-esforçadas, podemos estudá-los como um problema de placa em que se admite um estado plano de tensão, ou seja, que a parede é uma peça laminar plana e que os esforços estão aplicados no seu plano médio. A espessura da placa é constante e não existem tensões perpendicularmente ao plano da placa tendo-se portanto um problema bidimensional.

(16)

4

2.2 Análise de Problemas de Elasticidade Plana

2.2.1 Teoria da elasticidade plana

Para um dado elemento com um domínio contínuo bidimensional Ω, podemos admitir um campo de deslocamentos

_{! "}, #

, #$ (2.1)

em que ux e uy representam o deslocamento de qualquer ponto do domínio em relação a um

referencial escolhido.

Admitindo como válida a hipótese dos pequenos deslocamentos, podemos definir a relação deformações-deslocamento por

_{! . ,} (2.2)

em que A é um operador diferencial de compatibilidade,

! & ' ' ' () )* 0 0 )*_)# ) )# * )_{* ,}₎ -. (2.3)

e ε o tensor das deformações dado por,

_{! /}

, #

0, #

1. (2.4)

As relações constitutivas ou relações tensão-deformação são dadas por,

_{! .} (2.5)

(17)

5 ! /, #, #

, #

1 (2.6)

e D é um operador que relaciona os dois vectores, dependente do módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson ν. Para o caso de um estado plano de tensão temos,

_! 2

3456/

1 0

0 0 345₈ 61. (2.7) Através destas duas relações (compatibilidade e constitutivas), num elemento sujeito a um carregamento no seu domínio que introduza um campo de deslocamentos u, é possível determinar o campo de tensões nesse mesmo elemento. Ao introduzir mais uma relação fundamental, a relação de equilíbrio, é possível determinar, a partir das forças de massa existentes e/ou de outras forças aplicadas, as tensões que surgem na fronteira do elemento de modo a verificar o equilíbrio global do elemento. Deste modo, podemos definir um vector de forças de massa dado por,

_{! "}, #

, #$ (2.8)

que deve respeitar a equação de equilíbrio

9_{. : ! 0.} (2.9) Do mesmo modo se pode determinar as componentes do tensor das tensões numa fronteira Τ,

! ", #_{, #$} (2.10) numa faceta com normal exterior,

! " , #_{, #$} (2.11)

se se verificarem as equações de equilíbrio definidas por,

(18)

6

2.2.2 Cálculo de soluções aproximadas

A solução exacta de um problema de elasticidade plana satisfaz simultaneamente as condições de compatibilidade, as relações constitutivas e as condições de equilíbrio. Contudo, na maioria das situações correntes, não é possível obter a expressão analítica da solução exacta com um número finito de parcelas. Portanto, é necessário obter uma solução aproximada, sendo a alternativa mais simples a de determinar uma solução que seja compatível, conseguindo-se garantir de forma exacta as relações de compatibilidade, mas não as relações de equilíbrio. Surge assim, o conceito de funções de aproximação ψ (x), tal que,

! Ψ. (2.13) em que d corresponde ao vector de deslocamentos livres do elemento e o vector _{> (x), as} funções que representam a deformada do elemento quando o respectivo deslocamento livre di

toma o valor unitário. Deste modo, quaisquer que sejam os valores do vector d, o campo de deslocamentos é compatível.

Aplicando a teoria da elasticidade plana, podemos escrever novamente as três relações fundamentais. As deformações correspondem a

_{! . Ψ. ? ! .} (2.14) e,

! @1 00 0

0 1A. (2.15) As tensões são determinadas através de,

_{! . . .} (2.16)

Ao aplicar estas equações a casos práticos, verifica-se que não é possível equilibrar as tensões obtidas e forças de massa com o carregamento imposto no elemento para quaisquer valores de d. No entanto, é possível calcular estes valores que conseguem equilibrar o trabalho das mesmas tensões e forças de massa com o trabalho realizado pelo carregamento através do Principio do Trabalhos Virtuais. Obtém-se assim a seguinte equação matricial,

B 9

(19)

7 Em resumo, podemos escrever esta mesma equação na forma,

(20)

8

3 O Pré-esforço

3.1 Introdução

A técnica de pré-esforço apresenta um campo de aplicação que não se restringe apenas ao betão pré-esforçado. Por exemplo, há séculos que esta técnica é aplicada em barris de vinho, onde barras metálicas são aquecidas previamente para depois comprimir a madeira que constitui os barris, evitando assim a possibilidade de haver fugas de líquido. É interessante notar que este princípio é usado hoje em dia, no pré-esforço de reservatórios em betão estrutural para contribuir para o mesmo efeito, a estanquidade.

Embora tivessem existido diversas tentativas de utilizar a técnica de pré-esforço nas estruturas de betão no final do século XIX, não emergiu como uma solução aceitável até meio século mais tarde, quando o engenheiro francês, Eugene Freyssinet, contrariou com eficiência os fenómenos de fluência e retracção ao longo do tempo, utilizando aços de alta resistência como armadura de pré-esforço. Após a aplicação do pré-esforço, o betão continua a deformar-se com o tempo devido aos fenómenos referidos, podendo chegar a causar um encurtamento total de cerca de 0.7 a 0.8/1000 do seu comprimento. Ora com o aço normal não seria razoável impor à partida, extensões superiores a 1.5/1000 o que implicaria que a maior parte da acção do pré-esforço era perdida devido às perdas por encurtamento do betão ao longo do tempo. Com o aço de alta resistência, por outro lado, conseguem-se extensões impostas da ordem de 7/1000. Deste modo, ao surgir o efeito do encurtamento do betão, a tensão no aço só é afectada numa percentagem da ordem de 10 a 15%.

(21)

9 Figura 2 – Crescimento da indústria de betão pré-esforçado nos Estados Unidos e Canadá [11].

A resistência do betão à tracção é baixa, apenas cerca de 1/12 da resistência à compressão, sendo natural a utilização do aço no betão armado para resolver essa insuficiência num material de grande utilidade face à sua facilidade de moldagem. Assim, nas zonas passíveis de se desenvolverem forças de tracção, são dispostas armaduras formando assim o tradicional betão armado, que, no entanto apresenta várias limitações. O betão que envolve as armaduras não acompanha a sua extensão, surgindo assim, fendas, que deverão ser controladas, mas não podem ser evitadas. Como é conhecido, o betão é pesado e uma parcela importante acaba por não ter uma contribuição significativa para a rigidificação da estrutura, servindo para envolver as armaduras e contribuindo para o peso próprio da estrutura. Assim, torna-se lógico aumentar o rendimento da participação do betão, introduzindo forças internas de tal modo que nas zonas de tracções devido às cargas, se tenha a parcial ou total compressão do material. No betão pré-esforçado as tensões de compressão introduzidas pelos cordões de aço de alta resistência vão contrariar as tensões de tracção devidas às cargas normais de serviço.

(22)

10 feita deixando bainhas para os cabos de pré-esforço, não existindo contacto com o aço. Uma vez endurecido o betão, os cordões de aço são introduzidos nas bainhas e esticados nas extremidades onde são ancorados, transmitindo aí as forças de compressão ao betão.

Um projectista de estruturas em betão estrutural procura a segurança, funcionalidade, durabilidade, economia e estética e para alcançar estes objectivos, o engenheiro deve ter um conhecimento aprofundado dos princípios do comportamento do betão pré-esforçado. A concepção de estruturas deste tipo deve ter em conta três fases distintas, mas que se interligam entre si: a concepção, a análise e o dimensionamento, sendo que a concepção do pré-esforço é a fase mais interessante e criativa de todo este processo. Tendo em conta as limitações de funcionalidade próprias de cada obra, a fase de concepção envolve arte, experiência, conhecimento das técnicas de construção, intuição e criatividade. Na maior parte dos casos, o engenheiro tem em consideração o conhecimento adquirido em experiências passadas como guia para a solução mais eficiente e económica. Na fase de análise, a estrutura é idealizada como um conjunto de elementos estruturais, onde é considerada a actuar a distribuição de cargas aplicadas, sendo avaliadas as deformações, as tensões e as suas resultantes (esforços) identificando-se as zonas de principal preocupação. Nesta fase, é assumido um comportamento elástico linear e a estrutura é analisada com recurso a programas de cálculo automático. Na fase de dimensionamento, é verificada a segurança dos elementos que compõem a estrutura para as diferentes combinações de acções, sendo verificadas as dimensões dos elementos e calculadas as quantidades de armadura necessária, tanto ordinária como de pré-esforço. Neste trabalho, é dada especial atenção à explicação da segunda e terceira fase do processo relativo à estrutura do caso de estudo.

3.2 Características do Aço de Pré-esforço

(23)

11 Tabela 1 – Propriedades usuais de um cordão de pré-esforço 1_.

Tabela 2 – Propriedades dos cabos de pré-esforço com diâmetros de bainhas e forças máximas associadas1.

Os diagramas tensão-deformação de fios de aço de alta resistência usados no pré-esforço mostram que a rotura ocorre entre 4 a 6% de extensão do aço após um patamar de cedência considerável. A tensão última característica, fpk, na maioria dos aços de alta resistência é

compreendida entre 1700MPa a 1900MPa, comparada com a tensão de um aço ordinário de 400MPa a 600MPa, e o módulo de elasticidade toma normalmente valores de 190GPa a 200GPa. Como se observa pelo diagrama da Figura 3, não é claro o início da cedência do aço, pelo que se introduz o conceito de tensão de cedência equivalente. O valor definido para esta tensão é o ponto na curva tensão-deformação que intersecta uma linha com inclinação igual ao módulo de elasticidade e que começa com 0.1‰ da extensão do aço, tal como indica a Figura 3 [8].

1_{Fonte: VSL International, Post-Tensioning System}

Euronorm ASTM Euronorm ASTM

Diâmetro Nominal [mm] 12.9 12.7 15.7 15.2

Área [mm²] 100 98.7 150 140

Massa [kg/m] 0.785 0.775 1.18 1.10

Tensão de Cedência [MPa] 1580 1670 1500 1670

Tensão Máxima [MPa] 1860 1860 1770 1860

Força Pré-esforço Maxima [KN] 186.0 183.7 265.0 260.7 Módulo de Elasticidade [Gpa]

Tipo de Cordão 13 mm (0.5'') 15 mm (0.6'') ≈195 Euronorm ASTM 1 25/30 186 184 2 40/45 372 367 3 40/45 558 551 4 45/50 744 735 6 50/55 1116 1102 7 55/60 1302 1286 12 65/72 2232 2204 18 80/87 3348 3307 19 80/87 3534 3490 22 85/92 4092 4041 31 100/107 5766 5695 37 120/127 6882 6797 43 130/137 7998 7899 55 140/150 10230 10104 13 mm (0.5'') nº de cordões Diâmetro Interno/Externo

Força Pré-esforço Maxima [KN]

Euronorm ASTM 1 30/35 265 261 2 45/50 530 521 3 45/50 795 782 4 50/55 1060 1043 6 60/67 1590 1564 7 60/67 1855 1825 12 80/87 3180 3128 18 95/102 4770 4693 19 95/102 5035 1953 22 110/117 5830 5735 31 130/137 8215 8082 37 140/150 9805 9646 43 150/160 11395 11210 55 170/180 14575 14339 15 mm (0.6'') nº de cordões Diâmetro Interno/Externo

(24)

12 Figura 3 – Gráfico tensão-deformação de um aço de pré-esforço.

As dimensões dos fios variam entrem 2mm a 8mm de diâmetro. Os cordões são normalmente conjuntos de 7 fios entrelaçados em hélice e têm diferentes diâmetros dependendo dos fios utilizados, estando usualmente compreendidos entre 8mm a 18mm. No estudo apresentado neste trabalho, foi utilizado o aço A1860/1670 com cordões de 1.5cm2_{de área.}

Tensão Última (fpk) Tensão de Cedência (fp0,1k) Módulo de Elasticidade (E)

1860 MPa 1670 MPa 195 GPa

Tabela 3 – Características do aço de pré-esforço.

Para um aço com estas características, é possível conhecer a força máxima que cada cordão é capaz de mobilizar,

! D G 1860 D 10J_{D 1.5 D 10}4L_{! 279P} _(3.1)

No entanto, sabemos que é conveniente limitar a força de pré-esforço a aplicar nos cabos a 0,75fpk ou 0,85fp,01,k para que se disponha de uma reserva em relação ao início da cedência do

aço, existindo indicação da regulamentação nesse sentido. Por outro lado, se tivermos em conta perdas de tensão nos cabos, cerca de 10% para perdas instantâneas e 20% para perdas diferidas (apresentadas com mais pormenor nos capítulos seguintes), podemos estimar a tensão última em cada cordão de pré-esforço a longo prazo,

! 1860 D 10J_{D 0.75 D 0.80 D 0.90 Q 1000 RST} _(3.2)

logo, a força útil de um cordão é da ordem de,

(25)

13 Este valor é um dado de base que nos facilita a avaliação expedita das quantidades de pré-esforço, nomeadamente na definição do número de cordões e/ou cabos, uma vez determinada a força de pré-esforço necessária para um dado traçado de cabos.

3.3 Análise Elástica de Vigas com Pré-esforço

A função do pré-esforço é melhorar a resposta do elemento às acções externas. O pré-esforço produz um sistema de forças internas auto-equilibradas constituído por forças de tracção nos cabos de pré-esforço e forças de compressão no betão. Devido a este sistema auto-equilibrado, a concepção e o dimensionamento do betão pré-esforçado torna-se especial face à utilização de outras possíveis soluções. No betão pré-esforçado, é necessário ter em conta todos as fases da aplicação do pré-esforço, pois pode haver situações condicionantes a quando da aplicação do pré-esforço. Existem então, várias limitações durante as fases de vida de um elemento a pré-esforçar (ver Figura 4 para o caso de um elemento pré-tensionado):

a) Aplicação da força no cabo: é necessário limitar a tensão máxima no aço de pré-esforço e verificar as tensões transmitidas pela ancoragem.

b) Análise do estado de tensão inicial: é necessário verificar quando o nível de cargas aplicadas é baixo e o valor de pré-esforço elevado, antes das perdas, se os estados limites em termos de tensões ou aberturas de fendas são respeitados.

c) Durante a vida útil da estrutura: é necessário verificar que, após os fenómenos de fluência e retracção e outras perdas de tensão, a estrutura tem um comportamento adequado sem exibir deformações e fendilhação excessivas.

(26)

14 Figura 4 – Fases da vida de um elemento pré-esforçado, por pré-tensão.

(27)

15 O método normal para avaliar o valor de pré-esforço é considerando-o como uma acção separada das outras acções permanentes aplicadas no elemento. A Figura 5 representa os diagramas de tensões num elemento de viga, devido à aplicação do pré-esforço, ao efeito das cargas e à sua sobreposição para obter as condições de tensão final na altura do elemento.

Figura 5 – Diagrama de tensões num elemento de viga sujeito à aplicação de pré-esforço.

Ao definir-se o critério que todas as fibras da secção em questão não estejam traccionadas, a força necessária para puxar o cabo é o da descompressão. Para tal usamos a seguinte expressão, _UV. W U V XY 0 (3.4) onde,

• W é o módulo de flexão elástico • A é a área da secção

• e é a excentricidade da força P • P é a força de pré-esforço nos cabos

A expressão é facilmente explicada, pois a tensão na fibra mais traccionada tem de ser compensada pela tensão imposta pelo cabo de pré-esforço, avaliando-se assim a força necessária a ter no cabo. O facto de se igualar a zero garante a não existência de tracções na secção.

(28)

16

3.4 Perdas de Tensão

Geralmente denomina-se por perdas de tensão de pré-esforço à diferença entre a força no cabo de pré-esforço no momento da sua aplicação e a força exercida no mesmo cabo em qualquer outro momento da vida da estrutura.

As perdas de tensão nos cabos de pré-esforço constituem um inconveniente que tem de ser tido em consideração. Efectivamente, será necessário aplicar uma força de pré-esforço inicial superior, para que se consiga a força desejável a longo prazo. Logo, o dimensionamento de um elemento de betão pré-esforçado é efectuado com base na avaliação da tensão no betão após as perdas de força nos cabos. É, assim, essencial para o cálculo, efectuar uma previsão das perdas de que permita o correcto dimensionamento.

Diferenciaremos as perdas instantâneas das perdas diferidas ao longo do tempo para poder ter em conta o valor inicial da força de pré-esforço, como descrito anteriormente de uma forma simplificada.

3.4.1 Perdas Instantâneas

3.4.1.1 Atrito nos cabos

(29)

17 Figura 6 – Esquema geral do efeito do atrito nos cabos de pré-esforço.

Sendo µ o coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha e P a força de tensão nas armaduras, temos que,

_{S ! UZ. S. [} (3.5)

_GS_S _{! UZ. [} (3.6)

resolvendo a equação obtemos,

_{S ! S}_\_{. ]}4^_[. (3.7) Assim resulta que para uma força P0 numa extremidade, a força em qualquer ponto do traçado

a uma distância x será,

(30)

18

3.4.1.2 Reentrada de cunhas

Quando os cordões são pré-esforçados por pós-tensão, no momento de fixar os cabos nas ancoragens, a tensão é transferida ao betão. Inevitavelmente, existe sempre um pequeno escorregamento na extremidade dos cordões que ficam fixos à ancoragem que varia entre 5mm a 8mm. As perdas de tensão deste tipo não afectam mais do que uma pequena extensão do comprimento dos cabos de pré-esforço, pois o atrito entre o cabo e a bainha impede que este fenómeno se desenvolva a partir de uma certa distância ω dada por,

_{∆c ! B ∆}_\d (3.9) em que L é o comprimento do cabo e Δε a variação de extensão nos cabos.

A perda de tensão na extremidade é determinada através da seguinte expressão,

_{∆S ! 2 e f} (3.10) onde p é a perda por atrito por metro linear ou o declive do diagrama representado de seguida.

Figura 7 – Diagrama de representação de perdas por reentrada de cunhas.

3.4.1.3 Deformação instantânea do betão

(31)

19 primeiros cabos já aplicados. Estas perdas são, no entanto, pouco significativas e podem ser calculadas com recurso à seguinte expressão,

_{∆S !}_V_._V_{. ∑}h.∆ i

ij (3.11)

onde,

• Ecm (t) representa o módulo de elasticidade do betão

• h !k43_8k, onde n é o numero de cabos de pré-esforço idênticos na mesma secção • ∆ representa a tensão no betão devido ao carregamento e ao pré-esforço após

perdas.

3.4.2 Perdas Diferidas

3.4.2.1 Fluência

A resposta do betão depende da história do carregamento. Se a tensão no betão se mantiver no tempo, a extensão vai aumentando, correspondendo esta deformação à fluência, que é bastante significativa nas estruturas pré-esforçadas em que o betão se encontra, em princípio, totalmente comprimido.

A extensão total que o fenómeno da fluência introduz no betão é difícil de estimar com um grande rigor, a menos que sejam efectuadas ensaios específicos para casos especiais em obra, pelo que há que admitir, em geral, desvios de cerca de ±30% [11]. Por este facto, muitas vezes recorre-se a avaliações aproximadas sem utilizar as diferentes expressões existentes, mais complexas, de cálculo daquele efeito.

A forma normalmente utilizada para estimar as deformações devido a este fenómeno baseia-se na alteração do módulo de elasticidade, com base no coeficiente de fluência φ(t,ti). Este

coeficiente é o rácio entre a extensão do betão t dias após o início do carregamento e a extensão do betão no tempo ti em que a tensão foi aplicada e depois mantida constante. Deste

modo obtemos a seguinte relação,

(32)

20 Ao contribuir para o encurtamento do betão, a fluência, provoca uma diminuição da tensão na armadura de pré-esforço, por um efeito semelhante ao já referido na questão da deformação instantânea do betão. De forma a evitar a determinação do coeficiente de fluência para cada caso específico, utiliza-se um valor aproximado para o coeficiente de fluência e a expressão seguinte para determinar a perda de força de pré-esforço por fluência,

∆S !

U

S

.

S

. l

_i

.

_iji (3.13)

3.4.2.2 Retracção

A menos que o betão seja mantido em água ou num ambiente com a 100% de humidade, o betão perde água e reduz o seu volume com o tempo. Este é o fenómeno da retracção do betão que é fortemente dependente da quantidade de água presente na mistura e com a qualidade dos agregados que compõem o betão, sendo que quanto mais duros e densos forem os agregados, menor é a absorção, logo menor é a retracção.

Tal como no fenómeno da fluência, a retracção corresponde a um encurtamento do betão e a uma consequente diminuição de tensão nas armaduras de pré-esforço. A sua determinação pode ser efectuada com recurso à seguinte expressão,

∆S ! UV. V. (3.14)

3.4.2.3 Relaxação das armaduras

O aço de pré-esforço está sujeito a um nível elevado de tensões de tracção ao longo da sua vida útil apresentando alguma relaxação. Este fenómeno implica uma perda de tensão no aço quando submetido a uma extensão constante. O nível de relaxação das armaduras depende bastante do tipo de aço utilizado (alta ou baixa relaxação) e do nível de tensão aplicado. Existem várias classes de aço definindo o tipo de relaxação, onde é normal considerar valores de perdas limitados.

(33)

21

3.5 Análise de Secções em Estado Limites Último

Como referido no anteriormente, para a combinação quase permanente de acções, excluindo as zonas de introdução das forças de pré-esforço, os elementos de betão pré-esforçado devem manter-se sem fendas. Contudo, para níveis de acção superiores, mesmo em serviço, é possível o aparecimento de fendas e o comportamento passa a ter características diferentes. Na secção fendilhada, o betão deixa praticamente de ter contribuição para a resistência do elemento e surge depois, um estado em que o equilíbrio é estabelecido unicamente pela força de compressão no betão e as forças de tracção nas armaduras, quer de pré-esforço quer armaduras ordinárias (ver Figura 8). A verificação da segurança à rotura, com níveis de fiabilidade adequados, constitui, como se sabe, uma questão fundamental, em qualquer obra (fase d) referida anteriormente).

Figura 8 – Comportamento em E.L.U. de uma viga sujeita à flexão.

Considera-se que o momento aplicado a uma dada secção atinge a capacidade resistente se a zona comprimida exceder a capacidade resistente do betão ou a parte traccionada exceder a capacidade das armaduras ordinárias ou de pré-esforço. É para essa situação que é avaliada a resistência da secção tirando partido da capacidade máxima dos matérias e dimensionada a armadura ordinária a adoptar numa secção pré-esforçada. O equilíbrio de forças e de momentos permite encontrar a solução para as duas incógnitas. Vejamos então,

_!_._q (3.15)

_!_._q (3.16)

(34)

22 Por equilíbrio de forças,

_!_: (3.18)

É possível escrever a equação do equilíbrio de momentos em relação ao ponto de aplicação das armaduras de pré-esforço e considerando que a distância entre as armaduras ordinárias e de pré-esforço é desprezável,

_R_q_!_{. T} (3.19)

em que,

_{T !}_{U 0.4} (3.20)

Deste modo, é possível escrever o seguinte sistema de equações,

; _R! : q! . T< s t ! . q: . q !R_Tq < sR_{T !}q . q: . q G uv! wvx y 4uz.{z|x {|x (3.21)

Refere-se que a força de pré-esforço aplicada nos cabos está contida no valor _._q, tal que, _._q _!_._:_{. Δ} (3.22) em que,

_{S !}_. (3.23)

e

(35)

23 É de salientar, ainda, que se se considerar a força de pré-esforço como uma acção sobre a estrutura de betão, a verificação da segurança é estabelecida de forma equivalente, considerando do lado da resistência apenas o termo _{. Δ}, que corresponde à parcela que é mobilizada na rotura para além da força de pré-esforço. É para esta situação que é verificada a segurança à rotura de um elemento de parede, considerando as tensões e deformações que o pré-esforço introduz, surgindo um estado de tensão devido à acção das cargas da estrutura e ao pré-esforço. Tal como se verificará no subcapítulo 3.7, é possível encontrar uma metodologia capaz de verificar a segurança à rotura em elementos de parede e dimensionar as armaduras para uma situação como esta.

3.6 Efeito de Estruturas Hiperstáticas

Em qualquer estrutura pré-esforçada, isostática ou hiperstática, a acção do pré-esforço pode ser avaliada considerando os efeitos das forças concentradas nas ancoragens e as forças radiais devido à curvatura do traçado. Se a estrutura é isostática, o pré-esforço não tem nenhuma influência sobre as reacções de apoio da estrutura, que são só função das cargas exteriores. Resulta, portanto, que o efeito do pré-esforço pode ser compreendido de maneira muito simples, em função da excentricidade do cabo.

Pelo contrário, numa estrutura hiperstática, o pré-esforço, ao querer introduzir deformações à estrutura, provoca reacções de apoio que é necessário ter em consideração na avaliação do estado de tensão do betão. Consideraremos, por exemplo, a viga hiperstática indicada na Figura 9. Se a convertermos numa viga isostática, suprimindo o apoio central, o pré-esforço provocará uma deformação, que depende do traçado de cabos, gerando na zona de apoio central uma flecha. Atendendo à estrutura em causa, verificamos que o sistema só será compatível com as ligações ao exterior se considerarmos reacções de apoio que levem a que a flecha no apoio central seja nula. Estas reacções são auto-equilibradas e denominam-se de reacções hiperstáticas devendo a sua acção somar-se à acção isostática referida anteriormente.

Figura 9 – Viga hiperstática sujeita a pré-esforço.

(36)

24

_{R ! S D ]} (3.25)

sendo, P, o esforço normal de pré-esforço e, e, a excentricidade da aplicação de P ao centro de gravidade da secção.

Num sistema hiperstático, pelo contrário, temos adicionalmente o momento hiperstático de pré-esforço, como foi descrito anteriormente, tal que,

_{R ! S D ] : R}_~ (3.26)

3.7 Aplicação do Pré-esforço em Elementos de Parede

O tipo de estrutura a ser analisada neste trabalho, em especial, os elementos de parede, não se podem considerar como elementos de peça linear, pelo que tendo em conta os princípios gerais atrás referidos, há que os adaptar às características destes elementos. De facto, por um lado, as peças não dispõem de uma geometria baseadas nos princípios de peça linear e, por outro, são altamente hiperstáticas. Sendo assim, uma análise ao traçado de cabos e às quantidades de pré-esforço necessário não é simples de avaliar, sendo que o auxílio de ferramentas de cálculo automático pode ser bastante útil, mesmo em fases preliminares do estudo.

Em elementos com estas características, após a definição de um traçado de cabos, o efeito do pré-esforço não pode ser calculado através da análise de secções. Por outro lado, os efeitos de cada traçado de cabos na resposta da estrutura são mais difíceis de perceber. É por este motivo que se recorre, em geral, nestas situações, à escolha do traçado de cabos de pré-esforço e do seu valor através de procedimentos iterativos.

(37)

25

3.7.1 Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos em

Elementos de Parede

Numa estrutura de betão armado é necessário que todas as zonas tenham um dimensionamento consistente de tal forma que o rigor exigido seja equivalente. Utilizando os modelos correntes de dimensionamento de vigas, pilares, lajes, etc. não é possível generalizá-los a zonas de descontinuidades como recantos, aberturas ou situações de geometria complexa como as que temos no caso de estudo, sem discutir a forma e o modelo mais adequado de dimensionamento. Normalmente recorre-se à experiência e prática do engenheiro projectista para resolver estes casos, quer seja com o desenvolvimento de modelos simples de escoras e tirantes ou, mais directamente, por metodologias de verificação de segurança aplicadas aos resultados da distribuição de tensões obtidas admitindo comportamento elástico.

Nestes casos, temos que avaliar as forças de tracção que se possam mobilizar e calcular as quantidades de armadura necessárias. Para verificar as tensões no betão, calculam-se as tensões de compressão nas zonas de maior tensão e comparam-se com as admissíveis para cada combinação de acções. Há que adoptar, em geral, todas as disposições gerais de pormenorização de armaduras em estruturas de betão armado, como por exemplo, a verificação da quantidade mínima de armadura, a verificação de empalmes, o espaçamento de armaduras, etc.

No caso do pré-esforço, este vai introduzir uma deformação e um estado de tensão na estrutura de betão, pelo que iremos considerá-lo no dimensionamento da estrutura como uma acção sobre o betão armado, provocando efeitos isostáticos e hiperstáticos. Por outro lado, o aço dos cabos de pré-esforço pode ser considerado como armadura ordinária na parcela disponível entre a sua capacidade resistente e a força de pré-esforço aplicada como referido no subcapítulo 3.5. Deste modo, uma estrutura com cabos de pré-esforço só irá necessitar de armadura ordinária, para alem dos valores considerados como mínimos, nas zonas onde a reserva de resistência dos cabos de pré-esforço não garantirem a segurança aos estados limites últimos.

(38)

26 Estando um elemento de parede sujeito a um estado plano de tensão como o indicado na Figura 10, compreende-se que as direcções principais de tensão não são coincidentes com os eixos x e y (segundo os quais se pretende dispor as armaduras) devido à presença de efeitos de corte segundo aquelas direcções. Num elemento, a colocação das armaduras é feita, em geral, segundo direcções ortogonais, pelo que na maioria das situações não se verifica a coincidência entre estas e as direcções principais de tensão. Seria ideal dispor os varões segundo as direcções principais de tracção, o que naturalmente não é prático. Desta forma, é necessária uma metodologia que possibilite calcular armaduras orientadas nas direcções ortogonais para estados de tensão cujas direcções principais não coincidam com estes eixos.

Figura 10 – Forças necessárias para estabelecer o equilíbrio no elemento de placa.

Figura 11 – Equilíbrio de forças segundo as direcções de disposição de armadura.

(39)

27 resultante de forças nas armaduras e as resultantes de tensão na faceta respectiva segundo os eixos x e y [9], tal que,

_; sin ! sin : cos

cos ! cos : sin < (3.27)

_{s ;}! : cot

! : tan < (3.28)

em que _{é, portanto, o ângulo do campo de compressões.}

Deste modo, o cálculo das armaduras para uma situação com tracções nas duas direcções faz-se faz-segundo as faz-seguintes expressões,

X * X (3.29)

O ângulo do campo de compressões é arbitrário, no entanto é possível determinar o ângulo para o qual a área total de armadura é mínima,

! * : * ! : : cot : tan _q (3.30)

Derivando a equação 3.30, concluímos que o ângulo que minimiza a armadura é θ = 45º, que simplifica a equação 3.28, pois para este valor de θ tem-se que,

_;! : ||

! : ||< (3.31)

Refira-se que se considera o módulo da força de corte, pois as armaduras são independentes deste sinal. Com estas expressões é possível conhecer os valores dos esforços para os quais necessitamos de armadura de tracção. De acordo com a expressão (3.32) é possível determinar os valores da relação entre os esforços de tracção e de corte para os quais é necessária armadura em ambas as direcções,

(40)

28 Do mesmo modo, podemos determinar os valores para os quais apenas é necessária armadura numa direcção. Então,

Se _{! 0,} ; 0 ! : || cot ! : || tan < G t cot !4k |5| ! U 5 6 k 0 < G k |5|

3 k |5| * (3.33) Se _{! 0,} ; _{0 !}! : || cot : || tan < G t ! U 5 6 k 0 tan !4k |5| < G k |5|

k3 |5| * (3.34)

As expressões (3.32) a (3.34) definem os limites entre as zonas I, II, III e IV. O gráfico da Figura 12 ilustra a região de valores das equações descritas, sendo que a zona I corresponde aos valores que verificam o sistema (3.32), a zona II em que apenas é necessária armadura segundo a direcção y e a zona III em que se dispõe armadura apenas na direcção x. A zona IV corresponde à região de valores de força para os quais não é necessária armadura.

Figura 12 – Distribuição das zonas I, II, III e IV.

(41)

29 Apresentam-se, em seguida, as expressões para determinar a força de compressão para as diversas zonas com base na Figura 13.

Figura 13 – Equilíbrio de um elemento de placa à compressão.

Considerando o equilíbrio segundo x tem-se que,

cos U cos : sin ! cos

_G _!_U_{: tan} (3.35) e substituindo Fx pela equação (3.28),

_G _{! tan : cot} (3.36) Aplicando a equação (3.36) às respectivas zonas, temos para a zona I que,

!_sincos (3.37)

Por outro lado, considerando θ = 45º,

_{! 2. ||} (3.38)

Para a zona II,

(42)

30 Para a zona III,

tan ! 4k_|5|G i!

1: ##_|_|2

##

||

(3.40)

A verificação da segurança ao esmagamento do betão nas bielas de compressão é, então, feita comparando o valor da tensão de compressão actuante, indicado pelas expressões relativas às referidas zonas, com o valor resistente da tensão de compressão no betão. De acordo com a ENV 1992-1-1, na secção 4.3.2.4 relativa a secções sujeitas a esforços de corte, a tensão de compressão no betão deve ser limitada por um factor de eficácia _{para a ter em conta a perda} de resistência do betão fendilhado, tal que,

_{! 0.7 U}

8\\ 0.5 (3.41)

Deste modo, a tensão de compressão resistente a ser considerada, deve ser a seguinte,

_{! .}_q (3.42)

Para a zona IV, temos um estado de compressão biaxial, pelo que é necessário recorrer ao círculo de Mohr para determinar os esforços máximos de compressão indicados por nI e nII na

Figura 14.

Figura 14 – Círculo de Mohr para um estado de compressão biaxial.

De acordo com a Figura 14, através do conhecimento dos valores nxx, nyy e ν, é possível

determinar os valores das tensões principais máximas,

(43)

31 _!k4k

8 (3.44)

_{! :} (3.45)

_{! U} (3.46) Na verificação da segurança de elementos que se encontrem na zona IV, deixa de haver a necessidade de considerar o factor de diminuição da resistência do betão à compressão, pois não existe, em princípio, fendilhação, tomando-se como valor admissível o valor da tensão resistente do betão à compressão fcd.

A metodologia apresentada permite analisar cada elemento de uma estrutura, mas tal processo pode tornar-se ineficiente, se tiver de ser aplicado a todos os pontos de uma parede e, ainda, de difícil julgamento em termos de solução de pormenorização a adoptar. Torna-se assim importante definir as zonas onde há necessidade de avaliar as quantidades de armadura e assumir, de forma segura, que estas são suficientes para todo o elemento. Relativamente às zonas II e III, é importante salientar que apesar de, em termos de segurança à rotura não ser necessária armadura, é natural a colocação de armaduras de distribuição na direcção perpendicular. No exemplo prático seguinte ilustra-se o tipo de verificação a estabelecer e algumas das dificuldades associadas a este procedimento

3.7.1.1 Ilustração da metodologia

Como ilustração simples do principio de utilização de uma distribuição de tensões elásticas na avaliação da segurança ao Estado Limite Último, utilizaremos uma viga simplesmente-apoiada com 10.8m e secção quadrada de 0.30m x 0.50m sujeita a uma carga de 10KN/m, comparando-a com a formulação corrente.

Figura 15 – Modelo de viga simplesmente-apoiada com um vão de 10.8m sujeita a 10KN/m.

(44)

32 Figura 16 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na viga considerada como exemplo.

O diagrama mostra tracções na zona inferior da viga e compressões na face superior, tal como se esperaria. A força resultante será dada pela resultante do diagrama de tracções na zona mais solicitada, ou seja, a meio vão. Como estamos perante uma situação de flexão pura, o diagrama será linear com a linha neutra a meio da secção e o valor máximo de tensão positiva e negativa iguais,

Figura 17 – Diagrama de forças na secção da viga considerada como exemplo.

Conhecendo a força por metro dada pelo programa de cálculo automático, estamos em condições de determinar o momento provocado pela carga aplicada a meio vão da viga através do módulo de flexão elástico do betão W,

(45)

33 ! 3456.4 D 0.25 2* ! 437.4P (3.49) Numa viga com estas condições de apoio, na secção de meio vão, o campo de tensões tem a direcção coincidente com o eixo da viga, pelo que o esforço de corte toma um valor nulo e a componente nyy não é significativa,

; ! ! 437.4P_{! 0} < (3.50) Deste modo, a área de armadura necessária considerando um aço A500NR seria de,

!

(3.51)

¥_{435000 ! 10.05ij}437.4 8

É importante notar, que neste método, estamos a considerar a armadura disposta no ponto da resultante das forças de tracção, ou seja, admitir as armaduras dispostas a 1/3 de metade da altura da viga, a partir da face sua inferior.

Para comparação e apreciação dos resultados, se se efectuasse o mesmo cálculo de acordo com o cálculo corrente de armadura de vigas em flexão teríamos sucessivamente,

_R

!

eD¦₈2

!

A translação do posicionamento dos pisos superiores e a necessidade de ter uma largura disponível, da ordem dos 15 metros para cada piso, fez com que os pisos superiores ficassem em consola, com cerca de 6 m. É normal, então, que o equilíbrio global deste conjunto e a sua deformabilidade tenham de ser analisados com detalhe especial.

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37 dimensionamento do pré-esforço. O primeiro pórtico, eixo L, situa-se num dos extremos do bloco e engloba a parede menos alta que liga apenas dois pisos, o piso inferior do bloco e a sua cobertura, tendo 2 aberturas para janelas (ver Figura 20). O pórtico M, sensivelmente no meio, envolve três pisos da zona saliente, apresentando uma altura superior ao pórtico L (ver Figura 21). Finalmente, o eixo N, adjacente ao núcleo de elevadores e à restante estrutura do hotel, apresenta uma parede que certamente irá ter menores deformações devido à sua localização, perto de zonas mais rígidas (ver Figura 22). A designação dos eixos, com letras de L a N, é uma consequência da denominação dos eixos no projecto de arquitectura. Nas figuras referidas, a geometria dos pórticos e a sua modelação é de fácil compreensão, sendo de notar que, devido a exigências funcionais do hotel houve que considerar as aberturas indicadas, algumas com vãos significativos. Em anexo, são também apresentadas as plantas principais do edifício nesta zona.

Figura 20 – Modelo e corte do eixo L.

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38 Figura 22 – Modelo e corte do eixo N.

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5 Análise do Eixo L

A estrutura do eixo L, o primeiro dos 3 pórticos apresentados no capítulo anterior, é uma parede em consola com duas aberturas. A opção pela análise do comportamento deste pórtico independentemente da estrutura global, como considerado no subcapítulo 5.1, é importante para ajudar a responder ao desafio que é proposto neste trabalho, pois trata-se de uma tipologia estrutural especial. O estudo isolado desta parede, com aberturas, permite uma melhor compreensão do comportamento dos outros pórticos.

Figura 23 – Diagrama de Forças F₁₁ [MN/m] no elemento de parede do Eixo L, na modelação conjunta da estrutura para uma combinação fundamental.

Antes da consideração do modelo independente, analisaram-se os resultados do modelo conjunto da estrutura tendo-se constatado, desde logo, que a estrutura do eixo L apresenta importantes tracções na zona mais superior e compressões na zona mais inferior, tal como demonstra o diagrama de forças da Figura 23, onde é possível identificar facilmente essas zonas. Neste diagrama, as zonas comprimidas estão representadas a vermelho e as traccionadas a azul. Estas tensões já eram esperadas, já que, considerando esta parede como um modelo de viga em consola, é natural que surja uma resultante de tracções na zona superior e outra de compressões na zona inferior devido, ao momento negativo global que se gera no encastramento.