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Instituto de Matemática e Estatística, UFF Dezembro de 2012

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(1)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Provas com Diagramas

em Matem´

atica Discreta

Parte I – Conjuntos

Renata de Freitas e Petrucio Viana

(2)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Sum´

ario

• Motiva¸c˜ao • Diagramas gerais

• Diagramas numerados completos

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(4)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplos

Para todos os conjuntos A, B, C , D, temos que:

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

M. Stone

(1903 - 1989)

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

J. Venn

(1834 - 1923)

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas

´

Algebra Conjuntos Diagramas

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas gerais

• Diagramas gerais s˜ao diagramas que representam todas as possibilidades de pertinˆencia de elementos de um universo a um determinado n´umero de subconjuntos deste universo. • Em um diagrama geral os conjuntos s˜ao representados por

curvas conexas, simples e fechadas do plano. Nos casos mais simples, estas curvas s˜ao representadas por c´ırculos ou elipses.

n˜ao conexas n˜ao simples n˜ao fechada • Chamamos de regi˜ao m´ınimaa cada regi˜ao do plano

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas gerais

Diagrama geral para 1 conjunto:

U A

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas gerais

Diagrama geral para 2 conjuntos:

U

A B

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas gerais

Diagrama geral para 3 conjuntos:

U

A B

C

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas gerais

Para qualquer n ∈ N∗, sempre existe um diagrama geral para n conjuntos. Estes diagramas podem ser dif´ıceis de desenhar, quando n ≥ 4.

http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC.html

Proposi¸c˜ao

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas numerados completos

Umdiagrama numerado completo para n conjuntos ´e um diagrama geral para n conjuntos no qual cada regi˜ao m´ınima est´a rotulada com um dos n´umeros 1, 2, 3, . . . , 2n.

(15)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas numerados completos

Diagrama numerado completo para 1 conjunto:

U A

1

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas numerados completos

Diagrama numerado completo para 2 conjuntos:

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas numerados completos

Diagrama numerado completo para 3 conjuntos:

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas numerados completos

Diagramas numerados completos podem ser usados para:

1. provar que uma inclus˜ao verdadeira, para todos os conjuntos;

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 1

Para todos os conjuntos A e B,

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 2

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(22)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Completude e corretude

Teorema

Para qualquer inclus˜ao X ⊆ Y entre termos da ´Algebra de conjuntos com vari´aveis A1, . . . , An, temos que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

1. Para todos os conjuntos A1, . . . , An, temos que X ⊆ Y .

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

G. Boole

(1815 - 1864)

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

A. De Morgan

(1806 - 1871)

(25)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

L´ogica Algebra´ Conjuntos Diagramas

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Completude e corretude

Prova (ideia)

Baseada no conceito de forma normal (disjuntiva) da L´ogica Proposicional.

• Defini¸c˜ao deforma normal para termos de AC. • Correspondˆencia entre r´otulos associados a termos e

formas normais de termos.

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Decidibilidade

Teorema

(28)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas numerados

Umdiagrama numerado para n conjuntos ´e um diagrama numerado completo para n conjuntos ou um diagrama

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Diagramas numerados

Diagramas numerados podem ser usados para:

1. provar que uma inclus˜ao ´e consequˆencia de um conjunto de inclus˜oes;

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Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 3

Para todos os conjuntos A e B,

(31)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 3

Para todos os conjuntos A e B,

(32)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 4

Para todos os conjuntos A, B e C ,

(33)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 4

Para todos os conjuntos A, B e C ,

(34)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 5

Para todos os conjuntos A, B, C e D,

(35)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 5

Para todos os conjuntos A, B, C e D,

(36)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 6

Para todos os conjuntos A, B, C e D,

(37)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 6

Para todos os conjuntos A, B, C e D,

(38)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Exemplo 6

Para todos os conjuntos A, B, C e D,

(39)
(40)

Diagramas em Matem´atica Discreta Parte I – Conjuntos Renata de Freitas e Petrucio Viana Perspectiva hist´orica Diagramas gerais Diagramas numerados completos Diagramas numerados

Referˆ

encias

• Diagrams Conference http://www.diagrams-conference.org/ • Euler Diagrams Workshop

Visualization and Reasoning with Euler Diagrams

on

Facebook

• Grupo de L´ogica Matem´atica do IME-UFF http://www.uff.br/grupodelogica

Referências

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