MATRIZES E DETERMINANTES

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MATRIZES E DETERMINANTES

QUESTÕES

CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021

SANDRO CURIÓ

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Há muitos anos, grandes professores se juntaram e construíram um lar para acolher concurseiros de todo o Brasil. Naquela época, fomos inovadores, com metodologia diferenciada, didática e brincadeiras. Criamos muitas novidades, como pré-provas, questões comentadas em vídeo, assinatura de cursos – realmente quebramos muitos paradigmas.

Essa receita foi o que levou à aprovação de dezenas de milhares de alunos do Brasil todo, nos mais diferentes concursos.

Hoje, esses mesmos professores se juntaram para uma nova proposta, um novo formato. Muito mais condizente com os tempos atuais, onde as relações são virtuais. Entendemos que os cursos de hoje oferecem apenas aulas gravadas, sem foco, sem experiência, sem interação, sem emoção.

É com esse desafio que nasce o Concurseiro Live! Não é à toa que escolhemos um nome onde o concurseiro é o protagonista, e não apenas um mero espectador.

Temos a certeza de que, mais uma vez, vamos mudar a maneira de como se preparar para um concurso público, e o resultado disso será demonstrado como todos os demais – aprovando as primeiras colocações – dessa vez, no concurso do Banco do Brasil.

SOBRE O CONCURSEIRO LIVE

Vem com a gente?

@concurseirolive Concurseiro Live Concurseiro Live

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Olá friend!

Sou Sandro Curió, professor de matemática e vou te contar um pouco da minha história.

Minha paixão pela matemáticacomeçou no Colégio Naval onde estudei por 3 anos e concluí o ensino médio.

Cheguei a fazer Escola Naval por 2 anos, mas o sonho de ser professor falou mais alto, foi onde decidi cursar licenciatura na UFF, onde me formei.

Em 2018 criei nas redes sociais o Dicas de Mat, com o objetivo de mudar a vida de muitos friends pelo Brasil.

Meu principal objetivoera desmistificar a matemática mostrando que ela pode ser aprendida de forma fácil e acessível a todos.

E assim surgiu o Método Curió, onde ensino com uma didática única, de fácil entendimento e rápida absorção. Conquistando a cada dia mais fãs que se identificam com a minha forma alegre de ensinar e evoluem aprendendo com o meu método inovador.

Sempre juntos rumo ao topo!

PROF. SANDRO CURIÓ

Onde me encontrar?

@dicasdemat Dicasdemat Sandro Curió

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MATRIZES E DETERMINANTES

QUESTÕES DA BANCA

QUESTÃO 01 - CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior

Seja A uma matriz quadrada invertível. Considere as matrizes A² e A³ definidas por A² = A . A e A³ = A . A . A, onde. indica a operação de multiplicação usual de matrizes.

Se det(A² ) - 2 . det(A) = 0, então o determinante det(A³) é igual a:

a) 0 b) 2√2 c) 6 d) 8 e) 64

QUESTÃO 02 - CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro Civil

Duas matrizes, P e Q, são quadradas de ordem 3 e tais que det P = k e det Q = k 2 . Qual é o determinante de (2P).(Q 2)?

a) 16 K⁵ b) 8 K⁵ c) 8 K³ d) 4 K³ e) 2 K³

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CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021

QUESTÃO 03 - CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Petróleo Jr Considere a equação matricial AX = B. Se A= e B=

então a matriz X é a)

b) c)

d) e)

QUESTÃO 04 - CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Analista de Comercialização e Logística

Qual o valor de x/y, considerando que o determinante da matriz A, representada acima, é nulo?

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/5 e) 4/5

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7 CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021

QUESTÃO 05 - CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Engenheiro de Petróleo Jr Considere as matrizes

Denotando por A^t a matriz transposta de A, a matriz (A^t A) – (B + B^t) é:

a)

b)

c)

d)

e)

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QUESTÃO 06 - CESGRANRIO - 2010 – ELETROBRÁS - Economista

As matrizes B e sua transposta B’ foram multiplicadas, conforme a expressão matricia abaixo:

O valor de x é a) -1

b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

QUESTÃO 07 - CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Técnico de Administração

Considere três fazendas (f₁, f₂ e f3) que produzem os mesmos tipos de grãos (g₁, g₂ e g₃). A matriz M = (m_ij)_3x3 apresenta as quantidades de cada tipo de grão, em toneladas, produzidas pelas três fazendas em 2009. Cada elemento m_ij indica a quantidade de grãos gi produzida pela fazenda f_j.

a) produção total de grãos da fazenda f₁ foi maior do que a da fazenda f3. b) produção do grão g₁ da fazenda f3 foi menor do que nas demais.

c) produção do grão g₃ foi maior do que a do grão g2 na fazenda f2.

d) fazenda f₃ produziu 31 toneladas a mais do grão g2 do que a fazenda f2. e) fazenda f2 produziu, ao todo, 478 toneladas de grãos.

QUESTÃO 08 - CESGRANRIO - 2006 - Petrobras - Administrador O determinante da inversa da matriz

a) - 3 b) -1/3 c) -1/4 d) 1/4

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GABARITO - QUESTÕES DA BANCA

1 - [D]

2 - [B]

3 - [B]

4 - [C]

5 - [C]

6 - [C]

7 - [A]

8 - [E]

QUESTÕES EXTRAS

QUESTÃO 01

Dois jogadores, A e B, disputaram a final de um torneio de xadrez em dois jogos. Em cada partida, se ocorresse empate, cada jogador ganharia 1 ponto, caso contrário, o vencedor ganharia 2 pontos e o perdedor perderia 1 ponto. As matrizes que indicaram a pontuação obtida por cada jogador tinham, ambas, a seguinte estrutura:

A B

0 1ºjogo 2ºjogo 0

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥

No caso do jogador A, sua matriz de pontuação foi:

A B A

B 0 1

−1 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

Se a matriz de pontuação do jogador B era igual a matriz resultante da multiplicação matricial 0 1

−1 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥i X Y Z W

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥,então x+y+z+w é igual a a) 0.

b) 2.

c) 1.

d) 3.

e) –1.

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QUESTÃO 02

Um professor aplica, durante os cinco dias úteis de uma semana, testes com quatro questões de múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz.

3 2 0 1 2 3 2 4 1 2 2 2 2 3 2 3 2 4 1 0 0 2 0 4 4

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as quantidades de questões acertadas pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica, respectivamente, enquanto que as colunas de 1 a 5 indicam os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, respectivamente, em que os testes foram aplicados.

O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na a) segunda-feira.

b) terça-feira.

c) quarta-feira.

d) quinta-feira.

e) sexta-feira.

QUESTÃO 03

Dadas as matrizes A= 1 3 2 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ e B= 0 1 1 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ ,o produto A·B é a matriz a) 3 7

2 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ b) 4 7

2 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ c) 3 7

0 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ d) 4 4

0 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

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QUESTÃO 04

A matriz A_ij(2 × 3) tem elementos definidos pela expressão a_ij = i³ – j². Portanto, a matriz A é a) 0 −3 −8

7 4 −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

b) 0 7 26

−3 4 23

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

c) 0 −3

7 4 26 23

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

d) 0 7

−3 4

−8 −1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟ e) 0 −1 −2

1 0 −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

QUESTÃO 05

Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 × 2, onde cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por exemplo, se a resolução de A ·B for igual a

1 13 15 18

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ , logo a mensagem recebida é amor.

Dessa forma, se a mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz B= 1 −1 2 1

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥, então a matriz A é

a) −8 7

−8 10

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ b) −6 6

−7 11

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ c) −8 5

−7 11

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ d) −6 −7

6 11

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

(12)

QUESTÃO 06

Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3,

A= 1 a 1 b 1 a 2 b 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a

a) 0.

b) 2.

c) 5.

d) 10.

QUESTÃO 07

Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é definida por a_ij= i−j, se i>j (−1)^i+j, se i≤j

⎧⎨

⎪

⎩⎪

Então det(A^-1) é igual a a) 4.

b) 1.

c) 0.

d) 1 4 e) 1 2 QUESTÃO 08

Observe a matriz:

3+t −4 3 t−4

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

(13)

GABARITO COMENTADO - QUESTÕES EXTRAS:

Resposta da questão 1:

[E]

Se a matriz de pontuação do jogador A foi 0 1

−1 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ , então houve empate no 1º jogo e B venceu o 2º jogo. Daí, segue que a matriz de pontuação do jogador B foi 0 1

2 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ . Portanto, temos

0 1

−1 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥i x y z w

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥= 0 1 2 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ ⇔ z w

−x −y

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥= 0 1 2 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

⇔

x=−2 y=0 z=0 w=1

⎧

⎨⎪⎪

⎩

⎪⎪

A resposta é x + y + z + w = −1.

[A]

Seja a_ij cada elemento da matriz dada, em que i e j denotam, respectivamente, a linha e a coluna em que aij se encontra.

Logo, vem a_i1

i=1

∑5 ⁼³⁺³⁺²⁺³⁺⁰⁼^11,

a_i2

i=1

∑5 ⁼²⁺²⁺²⁺²⁺²⁼^10,

a_i3

i=1

∑5 ⁼⁰⁺⁴⁺²⁺⁴⁺⁰⁼^10,

a_i4

i=1

∑5 ⁼¹⁺¹⁺³⁺¹⁺⁴⁼¹⁰^e

a_i5

i=1

∑5 ⁼²⁺²⁺²⁺⁰⁺⁴⁼^10.

Portanto, o teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na segunda-feira.

(14)

[C]

Do enunciado, temos:

A·B= 1 3 2 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥i 0 1 1 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ A·B= 1⋅0+3⋅1 1⋅1+3⋅2

2⋅0+0⋅1 2⋅1+0⋅2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ A·B= 3 7

0 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ Resposta da questão 4:

[A]

a_ij=i³-j²

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥= (1³−1²) (1³−2²) (1³−3²) (2³−1²) (2³−2²) (2³−3²)

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥= 0 −3 −8 7 4 −1

⎡

⎣⎢ ⎤

[B]

Com os dados do enunciado, pode-se escrever:

x y z w

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥i 1 −1 2 1

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= 6 12 15 18

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ x y

z w

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥= −6 6

−7 11

⎡

⎣⎢ ⎤

[D]

Desde que 2 + a = a + b +1= b + 4, temos a = 3 e b = 1. Logo, vem detA= 1 3 1

1 1 3 2 1 2 ^Chió

(15)

[D]

A=

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥ a₁₁=(-1)¹⁺¹=1

a₁₂=(-1)¹⁺²=-1 a₁₃=(-1)¹⁺³=1 a₂₁=2-1=1 a₂₂=(-1)²⁺²=1 a₂₃=(-1)²⁺³=-1 a₃₁=3-1=2 a₃₂=3-2=1 a₃₃=(-1)³⁺³=1 Então,

A= 1 −1 1 1 1 −1 2 1 1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ detA= 1 −1 1

1 1 −1 2 1 1

=4

det(A⁻¹)= 1 detA=1

4 Resposta da questão 8:

[A]

Tem-se que 3+t −4

3 t−4 =0⇔(t+3)(t−4)+12=0

⇔t(t−1)=0

⇔t=0 ou t=1.

Portanto, como 1> 0, segue que a resposta é 1.