MAP0216 Introdu¸c˜ao `a An´alise Real 2o Semestre de 2007 Sequˆencias J´a discutimos o conceito de sequˆencia num conjunto

MAP0216 Introdu¸ c˜ ao ` a An´ alise Real

2o Semestre de 2007

Sequˆ encias

J´a discutimos o conceito de sequˆencia num conjunto X, vimos exemplos, definimossequˆencia crescente, sequˆencia decrescente, sequˆencia limitada, etc, e j´a definimos sequˆencia convergente num corpo ordenadoK(ou, mais geralmente, num espa¸co m´etricoM)

Daqui para a frente, quando falarmos em “sequˆencia” estaremos nos re- ferindo a “sequˆencias em R”, exceto quando houver men¸c˜ao expl´ıcita em contr´ario. Um bom exerc´ıcio ´e verificar quais dos resultados fazem sentido e permanecem v´alidos, por exemplo, quando tomarmos sequˆencias emQ, ou num espa¸co m´etricoMarbitr´ario.

Proposi¸c˜ao 1

(a) Sequˆencia (xn)n∈N de n´umeros reais crescente e limitada superiormente converge e seu limite ´ex= sup{xn | n∈N}.

(b) Sequˆencia (xn)n∈N de n´umeros reais decrescente e limitada inferiormente converge e seu limite ´ex= inf{xn |n∈N}.

Teorema 1 Se(x_n)_n∈N´e uma sequˆencia convergente, ent˜ao seu limite ´e ´unico.

Proposi¸c˜ao 2 Se(x_n)_n∈N ´e uma sequˆencia convergente, ent˜ao ela ´e limitada.

Proposi¸c˜ao 3 Se(x_n)_n∈Nconverge paraxent˜ao toda subsequˆencia de(x_n)_n∈N converge parax.

Corol´ario 1 Se uma sequˆencia tem duas subsequˆencias convergentes com limi- tes diferentes, ent˜ao ela n˜ao converge.

Proposi¸c˜ao 4 Se uma sequˆencia monotˆonica tem uma subsequˆencia conver- gente paraxent˜ao ela converge parax.

Proposi¸c˜ao 5 Se uma sequˆencia de n´umeros reais ´e limitada, ent˜ao ela tem uma subsequˆencia convergente.

Proposi¸c˜ao 6 Se toda subsequˆencia de uma sequˆencia converge para x, ent˜ao a sequˆencia converge parax.

Proposi¸c˜ao 7 Uma sequˆencia(xn)_n∈N emRconverge paraxse e somente se a sequˆencia(αn)_n∈N emR+ definida por αn=|xn−x| converge paraα= 0.

Observa¸c˜ao: Note que ferramenta excelente ´e o resultado anterior: quando tivermos um candidato a limite de uma sequˆencia, o problema de saber se ele ´e ou n˜ao o limite pode ser tratado com ferramentas que estudem apenas convergˆencia para zero!

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Corol´ario 2 Uma sequˆencia (an)_n∈N de n´umeros reais converge para 0 se e somente se a sequˆencia(|an|)n∈N converge para 0.

Proposi¸c˜ao 8 (Crit´erio da Compara¸c˜ao)

Sejam(a_n)_n∈N e(b_n)_n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que i. 0≤an ≤bn, ∀n∈N;

ii. (bn)n∈N converge para0.

Ent˜ao(an)n∈N ´e convergente e converge para 0.

Proposi¸c˜ao 9 Sejam(a_n)_n∈N e(b_n)_n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que i. (an−bn)n∈N converge para0;

ii. (bn)n∈N converge parax.

Ent˜ao(an)_n∈N ´e convergente e converge para x.

Teorema 2 (Teorema do Confronto)

Sejam(a_n)_n∈N, (b_n)_n∈N e(x_n)_n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que i. an≤xn≤bn, ∀n∈N;

ii. (an)n∈N converge para x;

ii. (bn)n∈N converge parax.

Ent˜ao(xn)_n∈N ´e convergente e converge parax.

Teorema 3 Sejam(an)n∈N e(xn)n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que (a)(an)n∈N converge para 0;

(b) (xn)_n∈N ´e limitada.

Ent˜ao a sequˆencia (anxn)_n∈N ´e convergente e converge para 0.

Teorema 4 Sejam(an)n∈N e(bn)n∈N sequˆencias de n´umeros reais e sejaα∈ R.

(a) Se (a_n)_n∈N converge para aent˜ao a sequˆencia (αa_n)_n∈N ´e convergente e converge para αa.

(b) Se (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N convergem respectivamente para a e b ent˜ao a sequˆencia (a_n+b_n)_n∈N ´e convergente e converge para a+b.

(c) Se (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N convergem respectivamente para a e b ent˜ao a sequˆencia (anbn)_n∈N ´e convergente e converge para ab.

(d) Seb_n6= 0, ∀n∈Ne se(a_n)_n∈Ne(b_n)_n∈Nconvergem respectivamente para ae b, e se al´em dissob6= 0ent˜ao a sequˆencia(an/bn)_n∈N ´e convergente e converge para a/b.

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Proposi¸c˜ao 10 Seja (xn)_n∈N uma sequˆencia de n´umeros reais convergente parax.

Se xn ≥0,∀n∈N ent˜ao x≥0.

Teorema 5 (Teorema da Permanˆencia do Sinal)

Seja (x_n)_n∈N uma sequˆencia de n´umeros reais convergente parax.

Se x >0 ent˜ao existe n₀∈N tal quex_n>0,∀n≥n₀.

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Sequˆ encias de Cauchy

Espa¸cos m´etricos s˜ao conjuntos munidos de uma distˆancia. Mais especifica- mente,

Um conjunto X munido de uma fun¸c˜ao d: X×X → R (x, y) → d(x, y) satisfazendo

i. d(x, y)≥0, ∀x, y∈X, ii. d(x, y) = 0 =⇒x=y,

iii. d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y), ∀x, y, z∈X,

´e dito um espa¸co m´etrico. A fun¸c˜ao d´e chamada distˆancia.

Exemplos de espa¸cos m´etricos:

(a) X =K, ondeK ´e um corpo ordenado, com a distˆancia d(x, y) :=|x−y|

(distˆancia usual).

(b) X = R² com a distˆancia d(x, y) = p

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)² (distˆancia usual).

(c)X =K²com a distˆanciad(x, y) =p

(x1−y1)²+ (x2−y2)², ondeK´e um corpo ordenado (distˆancia usual).

Defini¸c˜ao 1 Seja(xn)_n∈N uma sequˆencia num espa¸co m´etricoX e sejax∈X. Dizemos que (xn)_n∈N converge parax se dado >0 existe n∈N tal que sen≥n ent˜ao d(xn, x)< .

(Se X =R, observe que no final da ´ultima linha est´a escrito|xn−x|< , poisd(xn, x) =|xn−x|.)

Defini¸c˜ao 2 Seja (x_n)_n∈N uma sequˆencia num espa¸co m´etrico X.

Dizemos que (x_n)_n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy se dado > 0 existe n∈Ntal que se m, n≥n ent˜aod(x_n, x_m)< .

(SeX =R, observe que no final da ´ultima linha est´a escrito|x_n−x_m|< , poisd(x_n, x_m) =|x_n−x_m|.)

Proposi¸c˜ao 11 Toda sequˆencia (xn)_n∈N convergente num espa¸co m´etrico ´e uma sequˆencia de Cauchy.

Teorema 6 (Completude deRpor sequˆencias de Cauchy) Toda sequˆencia de Cauchy em R´e convergente.

Prova: Decorre de:

1. Toda sequˆencia de Cauchy ´e limitada.

2. Toda sequˆencia limitada emR tem subsequˆencia convergente.

3. Se uma sequˆencia de Cauchy tem subsequˆencia convergente (parax) ent˜ao ela ´e convergente (parax)

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