MAP0216 Introdu¸ c˜ ao ` a An´ alise Real
2o Semestre de 2007
Sequˆ encias
J´a discutimos o conceito de sequˆencia num conjunto X, vimos exemplos, definimossequˆencia crescente, sequˆencia decrescente, sequˆencia limitada, etc, e j´a definimos sequˆencia convergente num corpo ordenadoK(ou, mais geralmente, num espa¸co m´etricoM)
Daqui para a frente, quando falarmos em “sequˆencia” estaremos nos re- ferindo a “sequˆencias em R”, exceto quando houver men¸c˜ao expl´ıcita em contr´ario. Um bom exerc´ıcio ´e verificar quais dos resultados fazem sentido e permanecem v´alidos, por exemplo, quando tomarmos sequˆencias emQ, ou num espa¸co m´etricoMarbitr´ario.
Proposi¸c˜ao 1
(a) Sequˆencia (xn)n∈N de n´umeros reais crescente e limitada superiormente converge e seu limite ´ex= sup{xn | n∈N}.
(b) Sequˆencia (xn)n∈N de n´umeros reais decrescente e limitada inferiormente converge e seu limite ´ex= inf{xn |n∈N}.
Teorema 1 Se(xn)n∈N´e uma sequˆencia convergente, ent˜ao seu limite ´e ´unico.
Proposi¸c˜ao 2 Se(xn)n∈N ´e uma sequˆencia convergente, ent˜ao ela ´e limitada.
Proposi¸c˜ao 3 Se(xn)n∈Nconverge paraxent˜ao toda subsequˆencia de(xn)n∈N converge parax.
Corol´ario 1 Se uma sequˆencia tem duas subsequˆencias convergentes com limi- tes diferentes, ent˜ao ela n˜ao converge.
Proposi¸c˜ao 4 Se uma sequˆencia monotˆonica tem uma subsequˆencia conver- gente paraxent˜ao ela converge parax.
Proposi¸c˜ao 5 Se uma sequˆencia de n´umeros reais ´e limitada, ent˜ao ela tem uma subsequˆencia convergente.
Proposi¸c˜ao 6 Se toda subsequˆencia de uma sequˆencia converge para x, ent˜ao a sequˆencia converge parax.
Proposi¸c˜ao 7 Uma sequˆencia(xn)n∈N emRconverge paraxse e somente se a sequˆencia(αn)n∈N emR+ definida por αn=|xn−x| converge paraα= 0.
Observa¸c˜ao: Note que ferramenta excelente ´e o resultado anterior: quando tivermos um candidato a limite de uma sequˆencia, o problema de saber se ele ´e ou n˜ao o limite pode ser tratado com ferramentas que estudem apenas convergˆencia para zero!
1
Corol´ario 2 Uma sequˆencia (an)n∈N de n´umeros reais converge para 0 se e somente se a sequˆencia(|an|)n∈N converge para 0.
Proposi¸c˜ao 8 (Crit´erio da Compara¸c˜ao)
Sejam(an)n∈N e(bn)n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que i. 0≤an ≤bn, ∀n∈N;
ii. (bn)n∈N converge para0.
Ent˜ao(an)n∈N ´e convergente e converge para 0.
Proposi¸c˜ao 9 Sejam(an)n∈N e(bn)n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que i. (an−bn)n∈N converge para0;
ii. (bn)n∈N converge parax.
Ent˜ao(an)n∈N ´e convergente e converge para x.
Teorema 2 (Teorema do Confronto)
Sejam(an)n∈N, (bn)n∈N e(xn)n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que i. an≤xn≤bn, ∀n∈N;
ii. (an)n∈N converge para x;
ii. (bn)n∈N converge parax.
Ent˜ao(xn)n∈N ´e convergente e converge parax.
Teorema 3 Sejam(an)n∈N e(xn)n∈N sequˆencias de n´umeros reais tais que (a)(an)n∈N converge para 0;
(b) (xn)n∈N ´e limitada.
Ent˜ao a sequˆencia (anxn)n∈N ´e convergente e converge para 0.
Teorema 4 Sejam(an)n∈N e(bn)n∈N sequˆencias de n´umeros reais e sejaα∈ R.
(a) Se (an)n∈N converge para aent˜ao a sequˆencia (αan)n∈N ´e convergente e converge para αa.
(b) Se (an)n∈N e (bn)n∈N convergem respectivamente para a e b ent˜ao a sequˆencia (an+bn)n∈N ´e convergente e converge para a+b.
(c) Se (an)n∈N e (bn)n∈N convergem respectivamente para a e b ent˜ao a sequˆencia (anbn)n∈N ´e convergente e converge para ab.
(d) Sebn6= 0, ∀n∈Ne se(an)n∈Ne(bn)n∈Nconvergem respectivamente para ae b, e se al´em dissob6= 0ent˜ao a sequˆencia(an/bn)n∈N ´e convergente e converge para a/b.
2
Proposi¸c˜ao 10 Seja (xn)n∈N uma sequˆencia de n´umeros reais convergente parax.
Se xn ≥0,∀n∈N ent˜ao x≥0.
Teorema 5 (Teorema da Permanˆencia do Sinal)
Seja (xn)n∈N uma sequˆencia de n´umeros reais convergente parax.
Se x >0 ent˜ao existe n0∈N tal quexn>0,∀n≥n0.
3
Sequˆ encias de Cauchy
Espa¸cos m´etricos s˜ao conjuntos munidos de uma distˆancia. Mais especifica- mente,
Um conjunto X munido de uma fun¸c˜ao d: X×X → R (x, y) → d(x, y) satisfazendo
i. d(x, y)≥0, ∀x, y∈X, ii. d(x, y) = 0 =⇒x=y,
iii. d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y), ∀x, y, z∈X,
´e dito um espa¸co m´etrico. A fun¸c˜ao d´e chamada distˆancia.
Exemplos de espa¸cos m´etricos:
(a) X =K, ondeK ´e um corpo ordenado, com a distˆancia d(x, y) :=|x−y|
(distˆancia usual).
(b) X = R2 com a distˆancia d(x, y) = p
(x1−y1)2+ (x2−y2)2 (distˆancia usual).
(c)X =K2com a distˆanciad(x, y) =p
(x1−y1)2+ (x2−y2)2, ondeK´e um corpo ordenado (distˆancia usual).
Defini¸c˜ao 1 Seja(xn)n∈N uma sequˆencia num espa¸co m´etricoX e sejax∈X. Dizemos que (xn)n∈N converge parax se dado >0 existe n∈N tal que sen≥n ent˜ao d(xn, x)< .
(Se X =R, observe que no final da ´ultima linha est´a escrito|xn−x|< , poisd(xn, x) =|xn−x|.)
Defini¸c˜ao 2 Seja (xn)n∈N uma sequˆencia num espa¸co m´etrico X.
Dizemos que (xn)n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy se dado > 0 existe n∈Ntal que se m, n≥n ent˜aod(xn, xm)< .
(SeX =R, observe que no final da ´ultima linha est´a escrito|xn−xm|< , poisd(xn, xm) =|xn−xm|.)
Proposi¸c˜ao 11 Toda sequˆencia (xn)n∈N convergente num espa¸co m´etrico ´e uma sequˆencia de Cauchy.
Teorema 6 (Completude deRpor sequˆencias de Cauchy) Toda sequˆencia de Cauchy em R´e convergente.
Prova: Decorre de:
1. Toda sequˆencia de Cauchy ´e limitada.
2. Toda sequˆencia limitada emR tem subsequˆencia convergente.
3. Se uma sequˆencia de Cauchy tem subsequˆencia convergente (parax) ent˜ao ela ´e convergente (parax)
4
