A Methodology for Optimization of Unbalanced Distribution Systems

(1)

Abstract— This paper presents a new method for the optimization of three-phase electrical systems, the proposed method can be used in transmission, distribution and joint studies of transmission-distribution systems. The proposed methodology is based on the three-phase currents injection method and primal dual interior point method. This document presented the mathematical models of electric components, operative constraints and some objective functions. In the results some cases are presented to show the efficiency of the proposed method.

Keywords— Three-phase optimal power flow, current injection method, primal-dual interior point method, unbalanced operation.

I. INTRODUÇÃO

SETOR elétrico brasileiro tem passado por muitas transformações. A mudança do modelo cooperativo para o modelo competitivo gerou novas filosofias de operação e planejamento dos sistemas elétricos, envolvendo geração, transmissão e distribuição. A necessidade de operar os sistemas elétricos de forma otimizada, reduzindo as perdas elétricas, melhorando o rendimento e maximizando os lucros, sempre obedecendo aos limites definidos pelos órgãos regulatórios, tem se tornado uma diretriz praticamente obrigatória.

Dessa forma, aumenta a importância da utilização de ferramentas para otimização de sistemas elétricos para determinar uma condição ótima de operação (função objetivo), mas sempre obedecendo às restrições operativas e de suportabilidade de equipamentos.

Em 1984 Karmarkar publicou um trabalho utilizando um Método de Pontos Interiores (MPI) para solucionar problemas de programação linear [1], desde então vários trabalhos foram publicados utilizando o método proposto por Karmarkar para resolver problemas de otimização não-linear.

Alguns trabalhos que modelaram o problema do FPO utilizando o MPI [2-4] alcançaram excelentes resultados na otimização de índices de desempenho dos sistemas elétricos de potência (SEP). Em [4] o problema do FPO foi modelado utilizando coordenadas retangulares, alcançando bons

L. R. Araujo, Federal University of Juiz de Fora, MG, Brazil, leandro.araujo@ufjf.edu.br

D. R. R. Penido, Federal University of Juiz de Fora, MG, Brazil, debora.rosana@ufjf.edu.br

S. Carneiro Jr, Federal University of Rio de Janeiro, RJ, Brazil, sandoval@coep.ufrj.br)

J. L. R. Pereira, Federal University of Juiz de Fora, MG, Brazil, jluiz@ieee.org)

resultados. Em [5] foi proposta uma metodologia para a vetorização de problemas de FPO, a qual apresentou bom desempenho em computadores com arquiteturas que utilizam processamento paralelo.

Em [6] foram analisadas diversas variantes de parametrização dos AG para a minimização de perdas elétricas. Em [7] foi proposto um método baseado em colônia de formigas para otimização de topologias relacionadas às redes de distribuição. Outra metodologia baseada em AG para balanceamento de cargas foi proposta em [8]. Em [9] foi proposto um modelo para o planejamento integrado de redes primárias e secundárias de energia elétrica. Um estudo visando à adequada localização de uma fonte de geração distribuída em um sistema de distribuição foi apresentado em [10].

Métodos baseados em MPI para a otimização de sistemas de distribuição foram propostos em [11] e [12], estes métodos apresentaram como vantagem um baixo esforço computacional.

Em [13] e [14] são apresentadas metodologias de fluxo de potência baseadas no método de injeção de correntes que utilizam o método de Newton-Raphson para a solução de sistemas trifásicos desequilibrados. Com base nestes trabalhos, e em várias outras análises, verificou-se que soluções obtidas utilizando ferramentas monofásicas para resolver problemas de natureza trifásica desequilibrada não retratam a condição real de operação dos sistemas elétricos desequilibrados e podem não ser suficientes dependendo do nível de detalhamento e do propósito do estudo a ser realizado.

Verificando vários dos últimos trabalhos de otimização publicados na literatura, embora tenham sido desenvolvidos para sistemas de distribuição, suas formulações utilizam abordagem monofásica ou de seqüência positiva, e portanto não permitem representar adequadamente os desequilíbrios e assimetrias que são comuns nos sistemas de distribuição, podendo levar a resultados imprecisos ou até mesmo incorretos na otimização, por exemplo, (i) a corrente máxima em uma das fases pode ser maior que a corrente apresentada em representações por sequência positiva; (ii) não é possível verificar os problemas advindos do desequilíbrios de tensão na abordagem por sequência; (iii) os transformadores OLTC e os reguladores podem apresentar controle de tapes independentes entre as fases que não podem ser modelados em várias metodologias; (iv) no novo contexto das redes inteligentes haverá injeções de potência monofásicas, como as células fotovoltaicas, e estes efeitos não podem ser corretamente representados em ferramentas monofásicas.

L. R. Araujo, Member, IEEE, D. R. R. Penido, Senior Member, IEEE, S. Carneiro Jr., Fellow, IEEE and J. L. R.

Pereira, Senior Member, IEEE

A Methodology for Optimization of Unbalanced Distribution Systems

O

(2)

Buscando melhorar os resultados de otimização de sistemas de distribuição, criou-se uma formulação trifásica para otimização de sistemas elétricos desequilibrados, denominada Fluxo de Potência Ótimo Trifásico (FPOT), que será apresentada neste trabalho, onde resultados iniciais foram apresentados em [15] e [16]. Salienta-se que embora a principal aplicação da metodologia proposta seja a otimização de sistemas desequilibrados, ela também pode ser utilizada para simulação de sistemas equilibrados.

O FPOT é baseado na aplicação da técnica de pontos interiores primal-dual à modelagem do fluxo de potência trifásico, onde as equações são formuladas como injeções de correntes em coordenadas retangulares e o conjunto de equações não lineares é resolvido aplicando o método de Newton-Raphson.

II. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR

Um problema de otimização não-linear sujeito a restrições de igualdade e/ou desigualdade pode ser definido conforme (1).

( )

^x

f min s.a

( ) ( )

max min

0 0

x x x

x h

x g

≤

= (1)

Sendo que f(x) é uma determinada função a ser otimizada, x são as variáveis de estado do sistema ou variáveis primais, g(x)=0 são as restrições de igualdade, h(x)≤0 são as restrições de desigualdade e xmin≤x≤xmax são as restrições de canalização das variáveis do problema.

A técnica utilizada neste trabalho para solucionar o problema de otimização é similar ao MPI considerado em [2].

III. FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO TRIFÁSICO (FPOT) A. Estrutura Básica

Para solucionar o problema do fluxo de potência ótimo na metodologia proposta (FPOT), considerou-se a modelagem trifásica dos componentes dos sistemas elétricos utilizando as equações de injeções de correntes nas fases das barras onde os componentes encontram-se conectados. Estas equações são escritas em coordenadas retangulares, sendo que como variáveis primais (x) tem-se as partes real e imaginária das tensões nodais (VRe e VIm), as injeções de potência ativa e reativa (P e Q), os tapes dos transformadores OLTC (a) e as variáveis auxiliares.

A forma estrutural da matriz Hessiana (∇²L(x, λ)) utilizada na metodologia proposta é apresentada em (2), as posições assinaladas por X representam matrizes reais de dimensão 6x6. Por exemplo, na posição relativa ao cruzamento da linha

( )

V,λ^abc_Rek com a coluna ( )V,λ^abcImk tem-se uma matriz real 6x6 conforme estrutura apresentada em (3).

(2)

( )V,λ^abcRek, ( )V,λ^abc_Imk =

a

V_Imk ^b

V_Imk ^c

V_Imk ^c Imk

λ

b Imk

λ

a Imk

λ

a

V_Rek a Rek

λ

b

V_Rek b Rek

λ

c

V_Rek c Rek

λ

(3)

Onde:

(

^P^,^Q

)

^abc ⁼

[

^P^k^a ^Q^k^a ^P^k^b ^Q^k^b ^P^k^c ^Q^k^c

]

(

V

)

^abck

[

V^ak ^a k V^bk ^b k V^ck ^c k

]

Re Re Re Re Re Re

,λRe = λ λ λ

(

V

)

^abck

[

V^ak ^a k V^bk ^b k V^ck ^c k

]

Im Im Im Im Im Im

,λIm = λ λ λ

k o índice da barra a qual pertence a variável.

O vetor independente ∇L(x, λ) é constituído por derivadas de primeira ordem da função de Lagrange em relação às variáveis primais e as duais λ do problema.

Nas próximas seções serão apresentados os modelos matemáticos dos componentes implementados no FPOT, algumas restrições e funções objetivo formuladas, e o algoritmo do método proposto. Todos os modelos baseiam-se nas equações de injeção de correntes nas barras onde encontram-se conectados os componentes, as quais são escritas em coordenadas retangulares. Por questões de espaço, as derivadas das equações que compõem a matriz Hessiana e o vetor independente do método não serão apresentadas.

Detalhes adicionais são apresentados em [15].

B. Linhas, Cabos e RLC

As linhas trifásicas, os cabos e os equipamentos formados por resistências, indutâncias e capacitâncias (denominados RLC), são representados por um circuito π equivalente a parâmetros concentrados no FPOT, conforme ilustrado na Figura 1.

abc abc

k

k jI

I_Re + _Im ^abc ^abc

m

m jI

I_Re + _Im

Figura 1. Modelo de linhas, cabos e RLC.

(3)

Os elementos G^abc, B^abc e Bdabc representam matrizes reais de dimensão 3x3 construídas a partir dos parâmetros das linhas, cabos ou RLC. Para modelar cada um destes componentes, conectado entre dois nós k e m, constrói-se a equação matricial apresentada em (4).













⋅













−

=













abc abc abc abc

abc t abc abc

abc

abc abc t abc

abc

abc abc abc

t abc

abc abc abc

abc t

m m k k

Im Re Im Re

Re Im Re Im

V V V V

B G

G B G

B

B G B

G

G B G

B

I I I I





 (4)

Onde:

Btabc = B^abc + Bdabc

]′

[ Im Re

abc abc

k

k I

I e ^[ÎÎmâbc^m Î^Reâbc^m^]^′ são vetores reais de dimensão 6x1 relativos as partes real e imaginária das contribuições do componente para as injeções de correntes trifásicas nas fases a, b e c das barras k e m.

]′

[ Re Im

abc abc

k

k V

V e ^[^V^Reâbc^m ^VÎmâbc^m^]^′ são vetores reais de dimensão 6x1 relativos as partes real e imaginária dos fasores de tensão nas fases a, b e c das barras k e m.

As contribuições de uma linha, cabo ou RLC para a função de Lagrange são apresentadas em (5).

c c b b a a

c c b b a a linha

m m m m m m

k k k k k k

I I

I

I I

I

I I

I

I I

I L

Im Re Im Re Im Re

Re Im Re Im Re Im

Im Re Im Re Im Re

Re Im Re Im Re Im

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

=

(5)

Onde:

m m k

k Re Im Re

Im ,λ ,λ eλ

λ representam os multiplicadores de Lagrange correspondentes as equações de injeções de corrente nas fases a, b e c das barras k e m.

Pode-se verificar que as contribuições para a matriz Hessiana das linhas, cabos e RLC têm valores constantes e iguais aos elementos correspondentes de suas matrizes admitância nodal (Ybarra) mostrados em (4).

C. Cargas

No FPOT as cargas do sistema elétrico são especificadas por suas contribuições de injeções de correntes nas barras em que se encontram conectadas. Estas contribuições para uma carga do tipo ZIP, conectada em uma barra k, são dadas por (6) para a conexão em estrela. As contribuições das cargas conectadas em delta são dadas por (7).











 + +

= ^∗∗ ^∗ r^∗zc r r k k

ic r r k r k sc r

r V S

V S V V I S

k ,

, ,

Re Re











 + +

= ^∗∗ ^∗ ^∗rzc a r k k

ic r r k r k sc r

r V S

V S V V I S

k ,

, ,

Im Im (6)

( ) ( )

_^









 + −

− + −

= − ^∗

∗

∗ s rszc

k r s k k r k

ic rs s k r k s k r k

sc

rs rs V V S

V V

S V V V V

I_Re_k Re S ^, ^, _,

( ) ( )

_^









 + −

− + −

= ∗^∗− ∗ ^∗ s rs^∗zc

k r s k

k r k

ic rs s k r k s k r k

sc rs

rs V V S

V V

S V V V V

I_Im_k Im S ^, ^, _,

(7)

Onde:

Sr,sc , Sr,ic , Sr,zc – Carga aparente (potência, corrente e impedância constante) da fase r da barra k.

Srs,sc , Srs,ic , Srs,zc – Carga aparente (potência, corrente e impedância constante) entre as fases r e s da barra k.

r

Vk – Fasor de tensão da fase r da barra k (ou s).

r r

k

k I

I_Re , _Im – Partes real e imaginária da corrente injetada na fase r da barra k.

rs rs

k

k I

I_Re , _Im – Partes real e imaginária da corrente injetada nas fases r e s da barra k, sendo ^rs ^r ^s

k k

k I I

I_Re = _Re − _Re ^e

s r rs

k k

k I I

I_Im = _Im − _Im

{

^a ^b ^c

}

s r, ∈ , ,

O conjunto de parcelas para a função de Lagrange, correspondente às contribuições de uma carga é apresentado em (8), o qual é obtido associando-se os multiplicadores de Lagrange correspondentes as equações (6) e (7).

c c b b a a

c c b b a a carga

k k k k k k

I I

I

I I

I L

Im Re Im Re Im Re

Re Im Re Im Re Im

λ λ λ

λ λ

λ

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

= (8)

D. Transformadores

A modelagem e o tratamento das contribuições dos transformadores para o FPOT é semelhante ao que é realizado para linhas. O diagrama unifilar do transformador é apresentado Figura 2.a. Destaca-se que o cálculo do circuito π equivalente do transformador, que é representado pela Figura 2.b é feito pelo conjunto de equações (9) e detalhes adicionais podem ser encontrados em [17]. Outra diferença em relação ao modelo de Linhas e RLCs consiste que os tapes dos transformadores podem ser considerados variáveis de otimização.

1

abc: a

trafo

Y

abc abc

k

k jI

I_Re + _Im ^abc ^abc

m

m jI

I_Re + _Im

Figura 2. (a) Unifilar do transformador - (b) Modelo de transformador.

(4)

Onde:

( )

(

^abc

)

^trafo

abc

trafo abc

abc abc

trafo abc abc

a a a a

Y C

Y B

Y A

−

=

−

=

= 1

1

abc abc

abc a a

a_min ≤ ≤ _max

(9)

Sendo:

a^abc – Representam os tapes das fases a, b e c do transformador. Atenta-se para o fato desta variável ser limitada entre valores máximos e mínimos. Esta restrição de canalização também gerará contribuições adicionais para a formulação do modelo.

As contribuições de injeções de correntes trifásicas nos nós das fases a, b e c das barras k e m de um transformador podem ser calculadas conforme as expressões (10) e (11), a partir das quais podem ser tomadas as partes real e imaginária das injeções de corrente.

(

^k^abc ^m^abc

)

^abc ^k^abc

abc abc

k A V V B V

I = − + (10)

(

^m^abc ^k^abc

)

^abc ^m^abc

abc abc

m A V V C V

I = − + (11)

As contribuições para a função de Lagrange relativas aos transformadores são apresentadas nas equações (12) e (13), sendo as parcelas desta última equação correspondentes as contribuições das restrições de canalização dos tapes.

c c b b a a

c c b b a a trafo

m m m m m m

k k k k k k

I I

I

I I

I

I I

I

I I

I L

Im Re Im Re Im Re

Re Im Re Im Re Im

Im Re Im Re Im Re

Re Im Re Im Re Im

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

=

(12)

( )

(

( )

^r

( ))

^r

r r r r c b a r

r r r r rest

trafo

s s

s a a π

s a a π L

2 1

2 max 2

, ,

1 min 1

,

log

log μ

μ +

+ +

−

+

−

=



=

(13)

E. Máquinas e Subestações

As contribuições das máquinas e subestações para o FPOT são semelhantes às contribuições das cargas. Porém, os valores de geração de potência ativa e reativa em cada fase podem ser considerados variáveis de otimização e devem ser limitados entre valores mínimos e máximos, conforme apresentado no conjunto de equações (14).

r r

r P P

P_min≤ ≤ _max

r r

r Q Q

Q_min≤ ≤ _max ⁽¹⁴⁾

As contribuições para a função de Lagrange relativas a um gerador conectado a uma barra k são apresentadas nas equações (15) e (9), sendo a última correspondente às restrições de canalização de potência ativa e reativa geradas.

c c b b a a

c c b b a a gerador

k k k k k k

I I

I

I I

I L

Im Re Im Re Im Re

Re Im Re Im Re Im

λ λ λ

λ λ

λ

⋅ +

⋅

+

⋅ +

⋅

= (15)

( )

(

( )

( ) ( )

( )

^r^q

( ))

^r^q

r q r r r

q

r q r r r

q

r p r

p

r p r r r

p c b a r

r p r r r

p rest

gerador

s s

s Q Q π

s s

s P P π

s P P π L

, 2 ,

1

, 2 max ,

2

, 1 min ,

1

, 2 ,

1

, 2 max ,

2 , ,

, 1 min ,

1 ,

log log

μ μ

+

+ +

−

+

−

+ +

−

+

−

=



=

F. Restrições de Tensão

O método de injeção de correntes que é uma das bases do FPOT utiliza como variáveis de estado as partes real e imaginária da tensão nodal (V_Re e V_Im) e não o módulo e o ângulo (v e θ). Assim, na metodologia proposta, para restringir entre limites (vmin e vmax) os módulos das tensões nodais torna- se necessária à criação de uma variável auxiliar. Esta nova variável, denominada vmod, tem seu valor especificado pela equação (16) e é limitada conforme a equação (17). A utilização do valor ao quadrado teve como objetivo simplificar as equações a serem derivadas.

2 Im 2 Re

mod V _k V _k

v = + (16)

2 max mod 2

min

v v

v ≤ ≤

⁽¹⁷⁾

As contribuições relativas as equações (16) e (17) para a função de Lagrange do FPOT são apresentadas em (18). Para cada variável auxiliar criada para limitar módulo de tensão deve ser criada uma variável dual (λv) com objetivo de inserir a nova equação na função de Lagrange.

( )

^v

( )

^v^v

v

v v

v rest

v

s s

s v v π

V V v

L k k

, 2 ,

1

, 2 2 max mod , 2

, 1 2 min mod , 1

2 Im 2 Re mod mod,

log

log μ

μ

λ

+

+ +

−

+

−

+

⋅

−

=

(18)

A barra de referência angular do sistema geralmente possui uma defasagem entre os ângulos das tensões das fases de 120 graus. No FPOT o conjunto de equações definido para representar estas barras é apresentado em (19).

180 0 tan 120

180 0 tan 0

Re Im

=



 



− 

=



 



−

−

=



 



− 

π π π

c c

b b

a a

k k

V V

(19)

Para cada equação de fixação de referência angular cria-se um multiplicador de Lagrange (λ).

G. Restrições de Corrente

As restrições de correntes em circuitos têm como objetivo garantir que as correntes por fase nos equipamentos estejam confinadas dentro de limites de segurança e suportabilidade dos mesmos. No método proposto o módulo da corrente é limitado por (20). Para evitar o aumento da dimensão do sistema linear a ser resolvido, as restrições de correntes só são

(5)

ativas quando um circuito tiver sua corrente violada após um determinado número de iterações. O tratamento destas restrições é o mesmo das restrições de tensão.

2 Im 2 Re

mod^r

(

^r

) (

^r

)

k

I

i = +

2 max mod 2

min

i i

i ≤

^r

≤

⁽²⁰⁾

H. Funções Objetivo

As funções objetivo representam um índice de desempenho que se deseja otimizar, podem ser representadas por uma variável ou por uma função de várias variáveis. A seguir serão descritas resumidamente apenas algumas das funções objetivo que foram formuladas no FPOT.

Mínimo Custo de Geração de Potência Ativa

Esta função é utilizada para minimizar o custo da geração de potência ativa total do sistema, expresso como função da potência ativa gerada pelas unidades. A função custo de geração geralmente é representada por uma função linear ou por uma quadrática conforme a considerada no FPOT e apresentada em (21).

 

Ω

∈ = 







 + +

=

i p r abc r i

i i r i

iP P

O F

} , , {

. 2

. α β γ (21)

Onde:

Ωp – Conjunto das máquinas cuja potência ativa é controlável.

αi, βi, γi – Parâmetros de custo de geração de potência ativa na máquina i.

r

Pi – Potência ativa gerada na fase r da máquina i.

Mínimo Custo de Geração de Potência Reativa

Esta função é utilizada para minimizar o custo da geração de potência reativa total do sistema. A função custo de geração é representada por uma função quadrática conforme apresentada em (22).

 

Ω

∈ = 





= 

i q r abc r i iQ O

F

} , , {

2

2 . 1

. δ (22)

Onde:

Ωq – Conjunto das máquinas cuja potência reativa é controlável.

δ

i– Parâmetro de custo de geração de potência reativa na máquina i.

r

Qi – Potência ativa gerada na fase r da máquina i.

Mínimas Perdas de Potência Ativa

Esta função é utilizada com o objetivo de minimizar as perdas totais de potência ativa no sistema, sendo consideradas as perdas em todos os ramos, conforme se pode observar na equação (23).

( )



∈Ω + + + + +

=

ij c

c ji c ij b ji b ij a ji a

ij P P P P P

P O

F. . ₍₂₃₎

Onde:

Ωc – Conjunto de ramos do sistema.

Pij, Pji – Fluxo de potência ativa nos ramos i-j e j-i.

Para o FPOT foram definidas várias outras funções objetivo que não serão aqui descritas, mas são apresentadas em [15].

I. Algoritmo de solução

O algoritmo de solução do FPOT, que utiliza o MPI, é apresentado a seguir:

1. Inicializar as variáveis primais e duais.

2. Montar a função Lagrangeana (Função objetivo mais as contribuições para a função Lagrangeana das equações de cada componente e das restrições).

3. Calcular os termos da matriz Hessiana e do vetor independente (derivadas da função Lagrangeana em relação as variáveis primais e duais do problema).

4. Solucionar o sistema de equações.

5. Calcular os passos primais e duais.

6. Atualizar as variáveis do problema.

7. Atualizar o parâmetro barreira.

8. Realizar o teste de otimalidade:

Se ( μ < εμ , |g(z)| < ε ) PARE Senão VOLTE ao passo 2.

Onde ε e εμ são os máximos erros aceitos. Os valores inicial e final utilizados para o parâmetro barreira foram de 5 e 5x10^-5 respectivamente e a tolerância de convergência foi de 1x10^-4.

Os passos 5, 6 e 7 do algoritmo de solução do FPOT são executados conforme o procedimento descrito em [2].

IV. RESULTADOS

A metodologia proposta neste trabalho foi implementada C++ e nesta seção serão descritos alguns resultados obtidos com o FPOT em aplicações de geração, transmissão e distribuição utilizando alimentadores teste do IEEE [18-19].

A. Sistemas de Geração e Transmissão A.1 Sistema IEEE14

O diagrama do sistema teste IEEE14 barras é apresentado na Figura 3. O sistema possui dois geradores e três compensadores síncronos.

Como o FPOT trabalha com variáveis de fase, os parâmetros das linhas de transmissão foram convertidos em dados trifásicos de acordo com a equação (24), nota-se que neste caso, a rede continua equilibrada. Os custos e os limites de potência ativa e reativa de cada máquina do sistema são apresentados na Figura 3. As tensões em todas as barras foram limitadas entre [0,95 e 1,05] p.u.

1

2 2 0

2 2

1 1

1 1 1 0

0

0 0

0 0 1

1

1 1

1 ⁻

−

+ 













































=

a a

a a Z

Z Z a a

a

abc a

Z (24)

Onde: Z₀ = 3Z+; Z_- = Z+ e a = 1∟120⁰

(6)

A metodologia descrita em [2] foi implementada para comparações com o FPOT. A função objetivo utilizada foi o mínimo custo de geração ativa e reativa (21). Ambas as metodologias convergiram em 11 iterações e com resultados idênticos. O valor final da função objetivo foi 702,44 p.u..

Para testar a operação desequilibrada, a rede continuou equilibrada, a carga total do sistema permaneceu a mesma, mas um pequeno desequilíbrio foi introduzido entre as fases.

As potências ativa e reativa da fase c foram reduzidas em 5%

e as potências ativa e reativa das fases a e b foram aumentadas em 2,5%.

O sistema passou a apresentar desequilíbrios entre as fases e nenhuma fase apresentou o mesmo perfil de tensão que o equivalente de sequência positiva. Ressalta-se ainda que mesmo as fases a e b possuindo o mesmo carregamento os níveis de tensão foram diferentes em algumas barras, isto é explicado pelos acoplamentos mútuos entre as fases a, b e c que são considerados no FPOT. O resultado para a função objetivo considerando o desequilíbrio da carga foi de 723,53 p.u. e as perdas foram aumentadas de 3%, estes resultados são uma consequência direta da correta representação da operação desequilibrada, sendo mais realística que as representações baseadas em sequência positiva.

G S

Geradores Compensadores Síncronos

3 2

1

5

4 6

7 8 9

11 10

14 13

12

G G

S S S

P: [0, 300] MW | $1 Q:[sem limite] | $5

P: [0, 100 ] MW | $3 Q:[-40, 50] Mvar | $5

P: não gera Q:[0, 40] Mvar | $3 P: não gera

Q:[-6, 24] Mvar | $1

P: não gera Q:[-6, 24] Mvar | $1

Figura 3. Sistema Teste IEEE14.

B. Sistemas de Distribuição

B.1 Sistema IEEE34 com geração distribuída

O diagrama unifilar do sistema IEEE34 é mostrado na Figura 4. Este é um sistema com poucas barras e pouco carregado, mas as distâncias entre as barras de cargas são bastante longas. Dois geradores trifásicos de 725 kVA e 480V foram conectados nas barras 848 e 890 através de transformadores de 750 kVA do tipo Yaterrado-Yaterrado. Os custos e limites de geração de potência ativa e os limites de geração reativa são apresentados na Tabela I. A função objetivo utilizada foi a minimização do custo de geração potência ativa.

Figura 4. Sistema IEEE 34.

TABELA I IEEE34–DADOS DE GERAÇÃO

Fonte Pmin | Pmax

(kW)

Qmin | Qmax

(kvar) α β γ

Sub-800 0 | 1000 -1000 | 1000 0 2 0

G1-848 0 | 660 Não gera 0 1 0

G2-890 0 | 660 Não gera 0 1 0

Para mostrar o efeito dos tapes e da geração distribuída no sistema IEEE34 foram simulados três casos: (a) os reguladores de tensão não estão ativados, os geradores G1 e G2 não estão ativos e a tensão da subestação foi ajustada em 1,05 p.u.; (b) os reguladores de tensão estão ativados, os geradores G1 e G2 não estão ativos; (c) os reguladores de tensão não estão ativados, os geradores G1 e G2 estão ativos.

Os resultados dos casos (a) e (b) são apresentados na Figura 5, onde o perfil de tensão do caso (b) apresenta o sufixo “-O”.

0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06

800 802 806 808 810 812 814 914 850 816 818 820 822 824 826 828 830 854 856 852 952 832 858 864 834 860 836 840 862 838 842 844 846 848 888 890

Phase A Phase B Phase C Phase A-O Phase B-O Phase C-O

Tensão (p.u.)

Figura 5. Resultados do caso IEEE 34 - (a) e (b).

TABELA II

RESULTADOS DOS REGULADORES

Regulador Tape a Tape b Tape c

814 1,0881 1,0289 1,0414

852 1,0947 1,0865 1,0901

Pode ser visto na Figura 5, que o caso (a) apresenta um perfil de tensão bastante desequilibrado e que existem diversos pontos em que as tensões são inferiores a 0,90 p.u..

Após a otimização houve uma melhora sensível no nível de tensão, em compensação houve um aumento de geração de potência ativa, pois grande parte das cargas é do tipo

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impedância e corrente constante, logo a potência demandada aumenta com a tensão. Na Tabela II são apresentados os valores dos tapes dos reguladores após a otimização.

Na Figura 6 é apresentado o perfil de tensão do caso (c), nota-se que todas as barras possuem tensão superior a 0,95 p.u., mesmo sem os reguladores, porém só com a ação dos geradores não foi possível reduzir o desequilíbrio de tensão conforme ocorreu em (b). Na Tabela III são apresentados os resultados da geração, nota-se que os geradores G1 e G2 despacharam o limite de potência ativa, pois seu custo de geração é inferior ao custo da potência ativa na subestação, conseguindo com isto uma redução nas perdas ôhmicas ativas no sistema.

0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06

800 802 806 808 810 812 814 914 850 816 818 820 822 824 826 828 830 854 856 852 952 832 858 864 834 860 836 840 862 838 842 844 846 848 888 890 948 990

Phase A Phase B Phase C

Barras

Tensão (p.u.)

Fase A Fase B Fase C

Figura 6. Resultados do caso IEEE 34 com geração distribuída - (c).

TABELA III

IEEE34–RESULTADOS DOS GERADORES

Fonte Pa

(kW) Pb

(kW) Pc

(kW) Qa

(kvar) Qb

(kvar) Qc

(kvar)

Sub 238 174 128 465 380 320

G1-848 220 220 220 --- --- ---

G2-890 220 220 220 --- --- ---

Este caso possui cargas e linhas desequilibradas, impedâncias mútuas em linhas de transmissão, ramais bifásicos e trifásicos, bem como equipamentos de controle com ajuste independente entre as fases e geração distribuída.

Deste modo, salienta-se que este caso não poderia ser corretamente analisado por ferramentas monofásicas.

B.2 Sistema IEEE37

O sistema IEEE37 barras, apresentado na Figura 7, é um sistema totalmente conectado em delta, sendo bastante desequilibrado e com todos os cabos subterrâneos, deste modo, algumas metodologias podem encontrar problemas para tratar sistemas deste tipo pelo reduzido valor de aterramento do sistema.

A metodologia proposta mostrou-se robusta e eficiente para simular este caso, não apresentando nenhum problema de convergência. Na Figura 8 apresenta-se o perfil de tensão para uma otimização de mínimas perdas, onde custo das perdas ativas foi de 1 p.u.. Nota-se que neste caso as fases estão relativamente equilibradas.

799

701 742

705 702 713 704 720

707 722

744 703 729

728 727

706

725 718

714

730

709 731 708

732

775 733 736

734 710

735

737 738 711 741

740

724 712

Figura 7. Sistema IEEE 37.

0,95 1 1,05

700 705 710 715 720 725 730 735 740 Barras

Tensão (pu) ^A

B C

Figura 8. Resultados do sistema IEEE37.

V. CONCLUSÕES

Neste trabalho foi desenvolvida uma metodologia (FPOT) para o cálculo do fluxo de potência ótimo para sistemas de distribuição desequilibrados. A metodologia utiliza o método primal-dual de pontos interiores como ferramenta de otimização e o método de injeção de correntes trifásicas em coordenadas retangulares na modelagem dos componentes.

O FPOT apresenta como vantagem, em relação a outros métodos, a facilidade de formação e atualização da matriz Hessiana, a qual tem grande parte de seus elementos iguais aos seus correspondentes da matriz admitância nodal, sendo muitos elementos nulos ou com valores constantes durante o processo de solução. Isto foi considerado na implementação do método, melhorando o desempenho computacional, especialmente quando aplicado a sistemas trifásicos. A metodologia proposta foi implementada em C++ utilizando Modelagem Orienta da Objetos (MOO).

Considera-se como a grande vantagem da metodologia proposta a possibilidade de uma modelagem mais completa do sistema, por exemplo, representação de assimetrias, operação desequilibrada, consideração de mútuas, modelagens detalhadas de transformadores, representação de diversas configurações de cargas, linhas monofásicas, bifásicas ou trifásicas e outros equipamentos.

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[19] [Online]. IEEE Test Cases (2013), http://www.ee.washington.edu/

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Leandro Ramos de Araujo (M’2009) possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Juiz de Fora (1993), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Juiz de Fora (2000) e doutorado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Rio de Janeiro/COPPE (2005). Professor adjunto da Universidade Federal de Juiz de Fora. Atua nos seguintes temas: Metodologias de análise e síntese de sistemas de distribuição e industriais e programação computacional.

Debora Rosana Ribeiro Penido (S’1999; M'2009; SM'2013) possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Juiz de Fora (2002), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Juiz de Fora (2004) e doutorado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Rio de Janeiro/COPPE (2010). Professora adjunto da Universidade Federal de Juiz de Fora. Atua nos seguintes temas: Modelos de componentes, metodologias de análise de sistemas de distribuição e planejamento de sistemas de transmissão.

Sandoval Carneiro Jr. (M'1978; SM’1991; F 2010) possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Católica de São Paulo (1968), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Rio de Janeiro/COPPE (1971) e doutorado em Engenharia Elétrica pela University of Nottingham, England (1976). Professor emérito da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Atua nos seguintes temas: Transitórios eletromagnéticos, modelos e ferramentas de análise de sistemas de distribuição.

Jose Luiz Rezende Pereira (M'1985; SM’2005) possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Juiz de Fora (1975), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Rio de Janeiro/COPPE (1978) e doutorado em Engenharia Elétrica pela UMIST, UK, England (1988). Professor titular da Universidade Federal de Juiz de Fora. Atua nos seguintes temas: Planejamento e operação de sistemas de distribuição e transmissão.