PROBLEMAS DE CONTAGEM Lista de Exerc´ıcios 3 - MAT1514
1. Sobre permuta¸c˜oes das letrasA, B, C, D, E, F.
a) De quantas maneiras distintas podemos permutar as 6 letras?
b) Em quantas as letrasA e B aparecem juntas, em qualquer ordem?
c) Em quantas a letra A aparece em primeiro lugar ou aF em ´ultimo?
d) Em quantas A aparece antes de B?
e) Em quantas E n˜ao ´e a ´ultima letra?
2. Uma fila de cadeiras no cinema tem 20 poltronas. De quantos modos 6 casais podem sentar nessas poltronas de modo que nenhum marido se sente separado da mulher?
3. Quantos s˜ao os n´umeros Naturais de 4 d´ıgitos que possuem pelo menos 2 d´ıgitos iguais?
4. Um ˆonibus parte com 6 pessoas e p´ara em 10 pontos diferentes. Supondo que to- dos passageiros tˆem igual probabilidade de saltar em qualquer parada, determine a probabilidade de que dois passageiros n˜ao desembarquem na mesma parada.
(A probabilidade de ocorrer determinado evento ´e a raz˜ao entre o n´umero de casos favor´aveis e o n´umero de casos poss´ıveis.)
5. Em uma elei¸c˜ao o candidato A obteve a votos e B obteve b votos. Sabendo-se que a > b, qual a probabilidade de A estar sempre a frente de B na apura¸c˜ao?
(Lembre-se que a probabilidade de ocorrer um evento ´e dada pela raz˜ao entre o n´umero de casos favor´aveis e o n´umero de casos poss´ıveis.)
6. Numa prova, um estudante deve responder exatamente 7 quest˜oes de um total de 10 quest˜oes.
a) Quantas escolhas ele tem?
b) E se entre as 7 quest˜oes deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 quest˜oes?
7. De quantos modos podemos escolher 7 pessoas incluindo pelo menos 3 mulheres, em um grupo de 8 homens e 5 mulheres?
8. Um pai compra 7 presentes diferentes (entre os quais, um videogame e um rel´ogio para dar a seus trˆes filhos).
a) De quantos maneiras ele pode dividir os 7 presentes entre os filhos, se decide 2 presentes ao filho mais velho, 2 presentes ao filho do meio e 3 presentes ao mais novo?
b) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes, se al´em da divis˜ao 2 ao mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, ele resolve dar pelo menos um entre o videogame e o rel´ogio ao filho mais velho?
c) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes, se, al´em da divis˜ao 2 ao mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, ele decide dar exatamente um entre: videogame e o rel´ogio ao filho mais velho?
9. Se vocˆe possui 3 bilhetes de uma loteria para a qual se vendeu n bilhetes e existem 5 prˆemios. Em quantas configura¸c˜oes de resultados poss´ıveis para essa loteria vocˆe ganha pelo menos um prˆemio?
10. Quantos n´umeros inteiros entre 1 e 100 000 tˆem soma dos algarismos igual a 6.
11. Suponha que distribui-se n bolas em n caixas. Qual a probalbilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
12. 63 127 candidatos compareceram a uma prova do vestibular (25 quest˜oes de m´ultipla escolha com 5 alternativas por quest˜ao). Considere a afirma¸c˜ao:
”Pelo menos dois candidatos responderam de modo indˆentico as k primeiras quest˜oes da prova”.
Qual o maior valor dek par ao qual podemos garantir que a afirma¸c˜ao acima ´e verdadeira?
13. Se os alunos A e B et˜ao entre n colegas dispostos aleatoriamente em uma fila qual ´e a probabilidade de que haja exatamente k alunos entre eles?
14. Considere o experimento em que N bolas idˆenticas s˜ao distribu´ıdas aleatoria- mente emN urnas numeradas de 1 a N.
a) Forne¸ca um espa¸co amostral para este experimento.
b) Determine a probabilidade de que exatamente uma urna esteja vazia.
15. Trˆes dados honestos s˜ao lan¸cados. Dado que os resultados s˜ao todos distintos, qual ´e a probabilidade de que um deles seja igual a um.
