Vibração longitudinal de barras de secção variável

(1)

VIBRAÇÃO LOi~GITUDINAL DE BARRAS DE SECÇÃO VARIÁVEL

NELSON BACK

'

TESE SUfüIETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDBNAÇÃO DOS . PROGRAl'i:AS PdS-GHADUADOS DE ENGENHARIA DA UlUVERSI~ DAD3 FEDERAL DO RIO DE JANEIRO.COwO PARTE DOS RE-QUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DE. GRAU DE

MESTRE EM CIÊNCIA

(M.Sc.)

Aprovada por: ; / ,/ /

/

l'.:arço de 1968

!

I.

(2)

II.

AGRADEC Dl'illNTOS

Ao professor Luiz Bevilácqua pela sua dedicada orien-tação. À Escola de Engenharia Industrial da Universidade Federal de Santa Catarina, à Coordenação do Aperfeiçoamento de Pessoal de Ní-vel Superior(CAPES), ao Banco Nacional do Desenvolvimento Econômico

(BKD3), pela oportunidade de realizar êste trabalho. Aos Professô-res do Programa de Engenharia Mecânica da Coordenação dos Programas Pós-Graduados de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janei ·. ro ( COPPE-UFRJ),

(3)

-J'.NDICE AGRADECI1~:ENTOS., •••••••••••••••••• , . , , ~ ••••• ,., •••••• , , •• , •• !l'JDIC~E • ••• -••••• , •••... , , ••••.• , , • , , , , , , , , • , , • • • , , , • • • • • ·, • • • • -..7·-·

,-.-.o

.

,::; Jj.',"4'J..i'\.l , , , , , • , , ~ , • , , , • e , • • , , , , • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • Capítulos: III. II~ III.

I. VIBRJ..ÇÔES LONGI'.é'UDINAIS DE BARRAS UNIFORMES... -1.

1-1. Instituição da equação diferencial de movimento o~ ·1 .,_,. l ·t d" l .

c1 avario ong1 u 1na . . . , • 1.

1-2. Vibração longitudinal da barra uniforme com uma ex

tremidade engastada e a outra livre,,,o,,,... 5.

1-3. Vibração longitudinal da barra com duas

extremida-des livres . . . , . . . . . . . . . . . . . . . 8,

1-4. Vibração longitudinal da barra com duas

extremida-des engastadas . . . e, • • • • • • • • • • • • • ºº •••••••• º. 10.

15. Vibração longitudinal de molas helicoidais cilín

--dric&s •.... · •..•

,,oo•••···

12.

1-6, Vibração longitudinal da barra com uma extremidade

1-7. Vibração longitudinal da barra com u.,115. extremidade

engastada e na outra uma massa... 17.

1-8, Vibrc:ção longitudinal da barra com massa nas duas

. . d d

ext:.."e:ni s es .•••••••••••••••••••.•••••••••••.••••• \ºIfü(.:.ç.i:o 10NGI'rUDIKAL DE BARrtAS D:i, SECÇÃO VARIÁVEL •••••

21. 33,

(4)

2-1. 2-2. Barra 2 -2 e e Barra -2 X com k com n

secçao variando segundo a função f(x) =

X

• •

....

. . .

.

. . .

.

• • o • • • • • • _{•••••••}

secçao variando segundo a função f(x) =

.

. .

.

. .

.

~

.

. . .

.

2-3.

Barra com secçao variando segundo a função f(x) =

kx) 2 ••••••••••••••••• , ••••••••••••••••••••

2-4.

Barra A •

tronco-conica com massa numa extremidade. _•_{• •}

2-5. A •

tTonco-conica _•••

3arra com mola numa extremidade.

III. VIBRJ.ÇI.O LONGITUDii~,;.L DE BARRAS COM SECÇÃO VARIA:VEL (St

RIE D2 FOURIER) •••••••..••••••• " ••••••••..•••••••••••••

3-1.· Instituiç~o do sistema de equaçoes.º •...•••..•.•••

3-2, :2:-:emplo. Barra variável e om uma extremidade

engas-tada e a outra

livreo•···•••o•

l. D e e e • e e e e e e e e e e e e • e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e O e e • PROGR."J,;i,. 2.

...

.

...••...•..••.•...•.••••

J.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o ~ • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ·-· • • • • • • • • • • • • • • . / • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l~OliIEl-:CLA'I·ürtA •••••••••••••• º ••••••••••••••••••••••••••••••• ., RBFERjl{CI.L .. S ••••• o . . . o • • • • • • • • • • • • o • • o • • • • • • • • e • • e IV. 33~ 39.

43.

49.

51.

56. 56,

64.

72.

75, 80. 84, 85, 86. 88.

(5)

v.

SUI\!l.A:RI O

O objetivo dêste trabalho resu.~e-se na determinação é.as frequências e dos modos naturais de vibração de barras com sec-çao v:s.r:ável.

A primeira parte, que é u.~ estudo prolongado em bar-:::-ss é.e secção uniforme sob diferentes condições de contÔrno,tem por finalié.ade uma base de comparação dos resultados obtidos posterior-mente.

Na segunda parte sao estudadas determinadas formas

-partic~:ares de variação da secção para as quais é possível obter u ras so:.:.ç:ão analítica de forma convencional. Poucos são êstes casos

que co~sideramos de interêsse prático.

Finalmente obtém-se uma solução para um caso geral u-ma vez que a função de secção da barra admite um desenvolvimento em

série é.e Fourier. Êste método de análise apresenta a grande vanta-gem d.e ::os permitir o cálculo das frequências e dos modos naturais é.e vib~ação para as mais diversas condições de contôrno, desde que i::stit.:.iios a correspondente enerkia cinética e potencial total. E

9ossíva:. constatar a rápida convErgência do método além da grãnde :;:recis2.o dos resultados obtidos no exemplo, principalmente quando g

(6)

1.

CAPITULO I

VIBRAÇÕES LONGITUDINAIS DE BARRAS UNIFORMES

1-1. Instituição da equação diferencial de movimento oscilat6rio lo:.si tudinal.

.

-Para instituirmos a equaçao diferencial de movimento oscilat[rio longitudinal de barras, consideramos uma barra de sec-ção qualquer, como mostra a figura 1-1, podendo, posteriormente,ê~ te estu~o ser aproveitado no capítulo II.

No raciocínio a seguir, considera-se as seguintes hi póteses simplificadoras:

1-1-1. ~=a secção genérica da barra, quando sofre um deslocamento longitu~inal, permanece plana.

1-1-2. C deslocamento lateral das partículas, devido à contração ou dila:ação da barra, não influi no deslocamento longitudinal. 1-1-3. _,_ dimensão longitudinal da barra é grande em relação à di-mensao :::-ansversal e a amplitude de oscilação é pequena •

. -,,.X

i.c----=:·.:....= __

.[}x

'1

L

J

(7)

2.

Na figura 1-1 tem-se:

u

= U(x,t) = deslocamento de uma secçao genérica da barra em mo vimento oscilatório longitudinal;

E= módulo de elasticidade do material; L = comprimento da barra;

f(x) = a função da área transversal .eenérica;

g(x) = a função da massa por unidade de comprimento; F(x,t) = F = a fÔrça que atua numa secção ~enérica.

(

-Para instituir a equaçao diferencial, tomamos por b~ se o princípio de Hamilton· que nos diz que a variação de energia num sistema conservativo é nula, sendo expresso pela seguinte rela çao:

sf:"

_t2 (E - E) dt = O

c p

1

1-1-1

Nesta relação, Ec é a energia cinética do sistema e EP·ª energia potencial num determinado instante, podendo ser expre~ sas pelas seguintes equações:

Ec = 1 ₂

J:

g(x)

( d

_iJU)2 _t _dx 1-1-2 ~ 1

J:

E f(x)

(2.l!)

2dx ..!, =

2

p Ô X 1-1-3

Introduzindo êstes valores na equaçao 1-1-1 e opera.!2

do~ obté~-oe: ·

I

re

2

l-

f

1 ·

êl

u

r (

c1

u)

;

1 e)

u (

'cl

u

J

) r:(x) --- ó -,-,. dx - E f(x) -_-

5 -~)

dx dt=O .,_ ~ é)t 0• uX ~X .I ", _{.,_}

o

1-1-4

(8)

3,

Sabendo que os operadores de diferença e variação

5io intercambiáveis, x e t variáveis independentes, podemos

trans-formar a pri~eira parcela da equação 1-1-4 na seguinte:

~ ~

b (~ ~)

dt

Integrando por partes o segundo membro da Última i-~ualdade, obtemos:

Uma vez que ~U = O para t = t₁ e t = t_{2 ,} tem-se, fi

n:.;.lmente: / t2

'élu

dt = -

t

g(x) vtzSU dt 1 . 1-1-5

~ segunda parcela de 1-1-4, por razoes e operaçoes seir.elllantes :;;ode ser escrita da forma:

f(x) é) éj e) ( C q \

- - - · - ou; _LJ

X é) X dx = Í,

LE

f(x)

sb~_suJo

8

;11 -

Jv~ ~-·,

.. -

-~ x

cJ (""(

1. x )8U) Dx .SUdx

1-1-6 Substituindo os valores de l-1-5 e 1-1-6 em 1-1-4, ott&~-se a eçuaçao seguinte:

( ( r... r ,--:;, l.!J1_,;, ·. '.:\r,

/ -/) t

L / _ -" / ) U

l,)

( )

/ '

---\'°

1. \X --,-:: - g X ) + ,

-

, }

o

ÔX CJA l. '

dx - [E

f(x)

(9)

4.

Para prosseguir, faremos uma análise da equaçao l-l-7, Se tivermos uma extremidade da barra engastada, tem-se nesta que .SU = O e quando a extremidade for livre, a derivada de U em relação

a x é nula, por ser esta isenta de tensões.

Como na maioria das aplicações, em cada extremidade Q

corre= ou outro caso, a equaçao 1-1-7 pode ser escrita da seguin-te f0rma:

"u

õ2

_ul

f(x)

t

X) -

g(x) -é)t1SU dx dt = Ô 1-1-8 Na equação 1-1-8, sendo .SU, dx e d t arbitrários, para que a relação seja válida é necessário que:

" " u é)2u

_e_, (f(x) E 2._ê)· ) - ;,.(x) "t'' = O

dX X e u 4 1-1-9

-

,

-Esta equaçao e a equaçao diferencial do movimento os-cils:.Srio longitudinal dé barras com secção transversal dada pela

·funçS.o f(x) .·

Para o caso em que a secçao da barra é uniforme, as

e g(x) torne.m-se constantes, _{ou seja f(x) =Se}g(x)=m

e~ ~~a Sé a secção transversal, m = M/L sendo Ma massa total. Substituindo êstes valores na equaçao 1-1-9, obtém-se D e;:'..:2ção 1-1-10 que é a do tipo chamada equação de onda , onde a 2= -, ~ / ....

.._, I ••• •

(10)

5.

A seguir apresentaremos diversos casos particulares, sen,:o os três primeiros de grande interêsse para comparar os resul tados a serem obtidos nos casos seguintes dos capítulos I e II~

1-2. Vibração longitudinal da barra uniforme com urna extremidade engastada e a outra livre.

Este caso está mostrado na figura 1-2,onde para

x=O;

a secção é fixa e para x =

L

é livre.

Esta situação nos dá a.s seguintes condições de

cim-tor:.o:

U(O,t)

=

O

O estudo das vibrações livres de sistemas conservati vos resume-se em determinar as frequências e os modos naturais de

vibreação correspondentes.

Para isto é necessário obtermos a solução da equaçao l~l-10. Esta equação admite a solução por separaçao de variáveis sup::;-;do que:

Çé.O êo

U(x,t) = X T 1-2-1

Em 1-2-1, X é somente função da coordenada x e T fun tempo t. Substituindo em 1-1-10, obtém-se a seguinte i~ual _o

-1-2-2

. Como verificamos,cada membro de 1-2-2 é função

deu-Lla

~s

variável,logo,para que ·a igualdade persista em qualquer

tem-po~ ~s.\::bis rG.c:L'Jros deve:;i ser constantes e,por urna análise cuidadQ

(11)

6.

cqu:J.çoes

Introduzindo esta constante em 1-2-2, obtém-se duas diferenciais ordinárias de segunda ordem, que são:

2

d X+ (J..)2X = O

dx2 a 1-2-3

1-2-4

-As equaçoes 1-2-3 e 1-2-4 apresentam, respectivamen-te, as soluções:

X = A cos-%_x + B sen~x 1-2-5

T = C cosÀt + D senAt 1-2-6

I,os;o, a solução geral será da seguinte forma:

U(x,t) = (A cos~x + B sen-1x)(C cosÀt + D senÀt) 1-2-7

-A equaçao 1-2-5 que chamamos de equa.çao normal, é a ',~'-' nos interessa mais, porque , de uma forma geral, define as fre

~

~~~~cias e os modos naturais de vibração.

Levando as condições de contÔrno, anteriormente cita ... s, _&' _{equaçao 1-2-7, obtém-se:}

A= O e cos~L = O

~~e isto seja verdadeiro, deveremos ter a igualdade:

1 i -- ( i· + 1) 1f - ~

(12)

'T'""'"" 1

1

~1

1 1

i

1

~,

1

1.

f

q

· 1

t

1

(13)

s.

A equaçao 1-2-8 é a chamada equaçao de frequencias. - A •

da qual obtemos as difer·entes frequências fundamentais, fazendo i= 0,1,2,J, •••

Substituindo o valor de Ai na equação 125,obtém -se a equação que define o modo natural correspondente dado pela

seguinte equaç-ã-o:

1-2-9

Fazendo em 1-2-9, i = 0,1,2 tem-se, na figura 1-2,as frequências e os modos naturais correspondentes.

Com os resultados obtidos, podemos escrever que aso lução particular da equação 1-2-7 para o presente é dado por:

-Ui (x, t) = sen 1±-(i + ª)x[ci coi'~(i + ~)t + Di sen-q(i +

~)~

1-2-10 Para a solução mais geral do caso tem-se a seguinte equaçao:

U(x,t) TT ( • 1)

frc

11a ( . 1) t D 11a ( .

2

1)

tJ

sen

₁

1 + ~ xLi cos-i:; 1 +

₂

+ i sen-

₁

1 + ~

1-2-11

1-J, Vibração longitudinal da barra com duas extremidades livres.

tste caso estd mostrado na figura 1-J, e, por serem. as duas extremidades livres, tem-se as seguintes condições de con-tôrno:

U(O,t)=O _X

Introduzindo estas condições na equaçao 1-2-7, obtém-se, respectiv~ t:ente, as equações de frequências, modos naturais de vibração -e a

(14)

_:~( -. . . . . :::'..:...:.:...~::j;: :"::T

., >Li

·.:é2é:!.:é2;_;_~"'"s-'"'7"-::-f'º:'-;-"'ci-c

0 -: ~:."~. •":

H

:

T. :i: J::· s'-+===

l-d-f+·fh

. . . 1. ··:.:::· --. -··.' .... '--'-+-"•-,Ci.

=

t

·e:·: ... :

' .•• ; .•.. -, .~ .J/~-.:L

' _. :· ~ •. :..: .. . . . -, ' . ---~.-.

(15)

10. soluçao geral:

1-.3-1

1-.3-2

U(x,t)

1-.3-.3

,,

Na figura 1-.3 tem-se ainda o gráfico dos três pri-meiros modqs naturais e as frequências correspondentes.

1-4. Vibração longitudinal da barra com duas extremidades

engasta-de.so

-Como mostra a figura 1-4, sendo as secçoes das extr~ m!iades engastadas, as coLdiçÕes de cont;rno serão dadas pelas

se-Qüintes relaçies:

U(O,t) = O _U(L,t) ₌ _O

Procedendo de forma análoga aos casos anteriores, ou seja, introduzindo as condições de cont;rno na equação 1-2-7,ob~km

se: 1-4;.1 1-4-2 "(v _{u -~'}t) 1-4-3

(16)

--·---·-~- ··-~· .... , -·- -·-· .... ::.I~!i'.11~ \1 i: ! ::::. · 1 · - - i . . . ' .. . ··,- ··,:::· .-·-1--... '·- . . . \. -- . . ! . ·-., .. : . -_ _. ·---·--· i ... . : -· .. : .. _..:. ·-····-···--[ ·_::_·.::_~::_. ··.1 ·.:1:· ···i.· ... ·:1: .. . ::!:· ·::.·\ ;T~: .... ::::;;\:_:;:. T·· .1::·:1:· t:~~~

(17)

10. solução geral: i~

VE

s'

= ~, -J.J m 1-3-1 1-3-2 (X) \ :iii "( U(x, t) =

L

cos-y;=-; Ci i=J. é A

Na figura

1-3

tem-se ainda o gráfico dos tres pri-meiros modos naturais e as frequ~ncias correspondentes.

1-4.

Vibração longitudinal da barra com duas extremidades

engasta-das.

-Como mostra a figura 1-4, sendo as secçoes das extr~

- A

-engastadas, as co~diçoes de contorno serao dadas pelas

se-cru.intes relações:

seja~

se:

U(O,'c) = O U(L,t) = O

Procedendo de forma análoga aos casos anteriores, ou introduzindo as condições de contôrno na equação 1-2-7,obt-.ém

'

-.

/'•' ser.~:.-~ L,

-ee;usçoes, sao,

1-4-2

1-4-3

respectivamente, a equaçao

-

__ de

(18)

----0- - - : -_1-- ,--:-:.=p:---· 1- ..

···,r-p=·,.:-j .... , .

J .•• ,r·;1:-·, 1 ... , . --1 - ·-: :c:S:1-,-:-,~1--:-:1---::r-;-;r;-·1----,,

! ~

.!.~:'i_;: '.-·· {_:/:-

/i::J_'.;

~

..

·:;.J( ·-:-~:~ ... /:::· :/~

:~1~~Jt' J:-~·~

r)-l]7_ .:.~ .. )

~~~-HJ~H~;+.(~:}l{~;]i~•}-1:

~

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·r::-'~::u ·

1 _

..

!: __

i.: . .!..:.'. _: ,··::1 :.:·:::r.· 1:· ·: I :-:~t:.: 1 .:· :;;; ·i _l·:·•r::·:::!T:;1!,i· /· ,,;,;.·r ..

____ 1. ____ , • ~e;.!-;:-,--;--; .. . - - - ~ - -; ~ . ' '. ·1 ··1 . . . . ' · 1 . ,·,, . . , . . . , . . . . _: .1~·: ~ .. : ...

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11

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.. (· i,"~'-1~~~~,,.~u;-~1-r~~:~,i.~:i :

t::11

,,~,, ,;;;;;fr~:l_:mim

'.W : ,,:

••• _• _• _{• .•} • _• ₁' 1 i ' • • ' \ ; , • •• ! ' '' . • 1 " ' ' • • •• • - l --' .. / • . ' '' • l -• ! 1 • ·t . 1 · - .. .--' --r

---L · :._--· .. -:-- -:-

t. '

-l--.

·r :; ::

J-. :---

-0:: ;- . :--; :

'--t· ..

·:-+--L .

' · ' - • ' 1 • j ' j I t. • Í:.:~:~.::I.' _{1 '}_{·i . ,.. .} _' 1 ] . , . , . , j ' 1 ] 'J . ! ···---.---·---~-- --. 1 ·; --~ r::-:- ; _ .. ; ~ ·.:,· ; . : ·, . ' ' - l ··: l ·.: :· : ' J: 1 1 ' '.,' 1 ' ' • . 1· ,. ' 1 .. . .. .. ' . ' '... 1-- 1 '···1' 1 .. , ····-=-·--

-:-~r-.. ---·-···, ... · .···· ' .... ··.·. ,····: ... '.-·-__ . . · . '"·-··· .. _,:· .... ' -::):.:.1: ;: ... ' . -, .. : :: .... : : . ' . I ' ..••• ···, ·_. ·_ .• /_·_·:· :-::.:: . . ··t. ··:· .

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, ... '·-··---·-·--·· ..-:::.-:--.-_~-· . ~ i .. ~. -:- ;_: ,. __ ·:'":.,_.:·::····::;:d·' "i'-". -_: ··i· ::::: 1: .. -; ! ' . i :·.,:·~ .. ;: .

(19)

12.

freçu~ncias, modos naturais de vibraçio e a soluçio geral.

Parai= 1,2,3 tem-se, ne. figura 14, os três pri

-:~aires ~odes naturais de vibraçio e as frequências correspondentes.

:-5.

Vibraç~o longitudinal de molas helicoidais cilíndricas •

. Para dete:tminar as fraciuências de vibração longi tudi

.-,::.: ....:.e ;:: .. olas helicoidais cilíndricas, basta que transfo::cmemos esta

::.olc:. ::~·..:.=ia barra unifo::c-ffie equivalente e B.pli·que:nos os resul taàos

~os t~~3 exemplos anterio~eso Esta eouivalência se resume em deter

_.

-:::inar o valor da constante a, Para a mola helicoidal cilíndrica.· ,

constante de mol~

D =.di~metro m~dio da espira·

o • A

d~ 01ametro do fio C.e arame

~ , C.e espiras

..

= numero

G = rr.:óculo de ela.stiCidad.c transvers5.l do maller1aJ. + . ,

T . o f

-4.u e. e.e o:rrnaçao que sofre a barra e a mola ao

lo~gitud.ir..al P, pode-se escrever a seguinte

? :: _{- - · - - =}.:=:

s

/~'Ij

--.--

_..

-.--8 J_;.y-.L

ti~a2cs o ssgui~~e valer:

E S = · ; . · -8_...,7"\j ,. ""' ~4 T G ... .u 1-5-1 cc=;ri~e~to da mola,tes-se: 1-5-2

(20)

lJ.

Em que)º

_,,

é o pêso específico do material e g a acele

·rfiçao da gravidade.

A :;:,e.rtir dos valo:r·es de 1-5-1 e 1-5-2 obtd:m-se o

va-lor êe a, ou seja:

2

a = g . G d2 -.. 2 L

2 .,,., D4 _d _n2 .,,, 2 _n _1-5-J

Com base nos exemplos anteriores, tem-se as equaçoes

da frequências de vibraç;o longitudinal de molas helicoidais cilín

dricsss para os seguintes casos:

1-5-1. ~ola. helicoidal cilíndrica com as extremidades livres.

rd/s _1-5-4

1-5-2. Uola helicoidal cilíndrica co~ as extremidades engastadas.

- !ir) rd/s

! /--,::--;;2 . ,

) ô" 1-5-5

1-5-3~ }fala heliccitsl cilíndrica com uma extx·e~idsde en;astada e

\ , d ,,, = (i + ·2":) -2·-.J. D n r::::-;:, (o'; ,·, · ;

,

₁

--· -

ra s 12

3'

1-5-6

- ~-" _{co~ u~a e~tre~idnda}

A

.:.s:e c::,::--;c est& r:ost::'.'·.:ido ú&. fi.::::ura 1-5

(21)

te::-14

.-:e ;ia:r·a condições de contôrno as ·seguintes:

Para x = O, U(O,t) = O a secção está engastada.

Para

A=

L, tem-se o equilíbrio entre a fôrça da barra e da mola ~ue é traduzido pela seguinte equação:

E S Ux(L,t) = - K U~L,t)

Introd~zindo estas du2s condições de contôrno na e-quaçao 1-2-7, e por lli~a série de trahsformações, obtém-se a seguig te equação de frequencias:

ct sen Z + Z cos Z = O 1-6-1

Da eq_uaç&o pode-se tira~ diferentes valores Z ql~e a set~sfaze~ e a parti_r d~stes as freçuencias naturais de ~ vi-~raç~o lons~~udinal9 onde Z = ~ 1/a e~= K 1/~ S sendo a relaç~o

2es cc~stantes de Gola.

Na tabela l est~o cslculedos os cinco prine1ros valo

res ae L, que·satisfaze~ a equsç~o 1-6-1, de onde pote-se calcular

,.

::s c~:responder:tes f:"'0q'...:.e:i.1cis.s p2..r2 dife:::.."e:::tes valo:res .de ct.

os vs.1.ores e:-:tre-O te~1-se o C?iSO quar..d.o . -_. -. -,._

...

~· - ,.. 'Y' ·.-_ ."' __ , 1, ,;.:, •• i -~ ..:.: •• t

(22)

15.

?resent~ndo no presente caso ·uma rápida convergência, mesmo

usan-do par2.. a pesquisa das raízes um passo· relativamente grande

estS :r.:.ostrado no programa 1.

como

TABELA 1

o, eco

l ___

o_,_0_0_2-il ___ o_· _, _o_o_,,""'! _ _ _ o_, _o_c_s-i! ___ o_· _, _0_1_G_], ____ o....:..., _0_3_2 f

fz

₁ _í:;2[ 1,57207! 1,57334 1,57587! 1,5so92[ 1,590511 J

z

₂

---3""":-,

/-2-i'===L=: _,-7=_1-. _-4·:,=ic\=1:!

11

·===L=· _,--=í _1-_3-_-c:-=4:,===4=' _.-7:_1-

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=< =-=· _9-_-::., _--'7;[

1 ~·

i ::':

! 5'

;2 [

7 '85424' 7, 35449 7, 85500 7, 85682 f 7, 355051

\"''""~1---',---'1---+---+1---'---:.,

1::.L

!

7"/2 1 lô,99576 10,9]59!1 10,99630! lG,99703! 10,S:;i'é:,4'31 . :O , _- _~vr·!~.J _.

!

_l ' i 7 _1,61051! _1,54GJol _1,_7l3651 _1,241921 _2,0366711 _2,293sol ,-~'-- _ _ _ _ _ J, _ _ _ _ _ • - - - ~ - - - ~ - - ' - . - - - ' - - - · _ _

__.11

! 7 '· 72;;::;,:,-).] /· 7)..:'.:!'1-::.f .:..1 r;rc·Gri:;J l Q!P,?::::ll_ /; q17rcPil e:: r-,01r_; 1'

\ .... -,

j,_;') -t·~ . . / / [ -r~, .,./.,1! •'JI V . / ! ,,c:-..., .... ./

1 ,,_.,- --', ..,1,u.,1•rC.1.1

r~-i

7 - , - ' • ' '7 '"'· --, ' ? ,, i - 1 --7---.,-,-4-~-!lf---7,-":1-.l-,'-J_<;_:,_· t'----7---3---"-:j:---I

1

1 --'·~'3--,--_'_'_'°_·c_c: ___ :__,'_I ___

'_'_º_'_u_-_~'-.·,-1

---'-C-ib-·0-.),\;_ _ _ _ ·::~-_..,_..,+--'-•_'J_l_::,_,_' ...__º_,_l_O_l_· ~-·2 r

11,co720!

11,0lSSCj ll,C-'.-1911 11,087671 ll,176SOJ

. - ~ . - - - , - - - , 1 -- - - + - ~ - - - + - - - + - - - J i · · r. . 1 t ·, :..,:.-.: 1 !. ~ -, t.6?? 1 1 't 1::;~?sl' i .1 i ... 7':!00 ·1: 1 t: 1 ?u'""o11l , .A ?7c< .. 6 j' . • • - , 1 - , '-'-! --,·~ _.,,...I'-..- - , , - _.1LU - ~ ~'- .,1..:.... 1 • .1----~ . ' - . / v L 1 ' . J .:..., ' :---. 'i -_~-_'- -· _'_... .--~-" .,, ... ..:.'-.! -· ' : ,. ·. :' ,..., r: 1 - - , - _1,,,,·J..;f CJ ".J :. ' ll., _,c..,,-16'"".!li _.., _...- l? ?nC7-''·' ·1? "':J'7<<-1I 1 <-:, ... vJ1\.,! -'j.)1_:.._.1,; ' f._~;~: i. '

(23)

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:-;J/L{f

i\:

_; ______ _ -: ·- --., -· .. :..:..:.:....:...:....:.. ·---·:-: :::::,.

(24)

te csso é. dado por:

y = B.

.. i l

17.

1-6-.2

logo

À,

= Z. a/L, fazendo para

e-~ l

L = lOOcr:, E.

l = 2, a equaçao dos modos naturais de vibração

~or~:~-se a segui~te:

l-ó-3

C::::: os dados anteriores e para d-= 4,096 tem-se, na

fi6~~a 1-5 os gr{ficoe dos tr~s primeiros modos naturais de

vibra-.-.. -...

!.'c:.v

---- e

:-, ~- . -. ·":

- o

é

c0;n o e.aso d2. barra com lL"TIB. extremidade engasta,':a e

·-·~-~ cc.s-'--~ = ~.-; , . -- CC. A coútor:coj te:-r,-se: fo:cçs.s -u· / e "') = -.- \.. ~ ~ t., . .

-c-:.:.::.c.:._ç:0es de.:ib

-·..-,e, ,

__

B·~UéÇ&O relação 1-2-7 conclui

(25)

18.

Z senZ - cl cosZ = O

' - d

., a equaço.o e A / m J,

fr·equencias na qual o..= lVl- é a relação

1-7-1 de ,-·r_::;:,:-'= 3 8

da equaçao 1-7-1 está mostrado na tabela 2 ,. c: .. ie tem- . ..>.::--os cinco nrimeiros valores de Z que satisfazem a e _.

.

-~-i:I~

de frequ~nci2s a partir dos quais pode-se calcular as

cor-res;:~de~tes frequ~ncias naturais para diferentes valores de~.

Na solução da equação 1-7-1 foi experiment2.do o :né-~ccê.c- .::a l-~e~la Falsi s. bem como o lJewton _{Raphson? os quais nao·e.}

Os ve.lores da tabele. 2 fo:r·an; 9btid9s empregando o

:-:ro~::.."2.:112. 2 Q1;.8 utiliza a sub:rot:in.a RT}:IT, cuja lista6em esta

a-i\a ts.t0l2. 2:. r:o caso decl= O:: o valer de Z nulo r.:c..o

vsle:r ... do, _f:reouê:.'J

.

-o val-or

-z

= 11 _{, a barra se} _Co~Porta _co30 _se A

IOS-.JJcE ~2.tu:rsis c2 vibreç~o do presente caso

J

dado per:

" = .!.:•_,

z ..

S&l:-b: .

-. ; J..-;,) es~so ::cst::·a~0s os _, .!.'i 2):·&ficos - 2 ~ 0 ê.os l-7-2 C.cs -;- -.-._.::. e _..._ _...

-s20

(26)

cor:.-19.

·<cr·~·,üos cor:, os modos naturais de vibração da barra com uma extremi-.. ~20 ensastada e a outra livre.

TABELA 2

o,osl

0,16 · - - , 1

!

'

i (( 1 0,00 0,01₁ 0,02

I

0,04-j 1 1 < . · : +

-o'

ou-·O"'v:u' !, O "'vc,co-:.:! \J- 1,~nc::;! ...,•.,,..,,....,.,....~ , _ , ..1..1-....;.JJ ~ .... ~7,,_,...1..,. V'i.i..';):.:jO<:J! 0,279131 0~38964

---~---+---~--~---J---~--

' i \ l 3,766851 J '01 r

s

l

T:I

3~14477[ 3;147951 3tl5427I 1 - - - · · ' ; i \ l f ~_1../ .... 0 '•· ?'·' 1 6 2ot7c·: 6"256"!71 6 2'"º"1 1 l :_, "":', ---'_' _\ 1 .. _ _

,_v_.

_,_j+-! _ _ , _ _ ·_+!-:.;_'-__ •_'-'_-'_-.;_-_' ; +

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l

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6,295891

6 JOº~"

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1

,; 1 9,4 ?J'..il :!,4<.'. 7VI :i,'+-7v~ 1 9,433261 9~4~172

1

12,57273! 12,57909J

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1

o

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.

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(27)

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,.

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··:).' / ___ ....

(28)

.21.

-S. Vibraç~o lon;itudinal da barre com messe nas duas

extremida-

~r-..,, .... , ....

... r, ·:- ,;) ·:•

····-·

_,_

. .__ ..

l'-ia fif_·ura 1-7 tem-se t:Iilá ba.rra de comprimento

L,mas-li;ste caso, para condiç~es de cont3rno, tem-se:

U '..;...J.\

.,o ./-'

' V ) V 0

E S U (L,t) =

X L2 U.,. ... o o (L, t)

SE: levar:c1os ests.s condições d.a

G. \ 2 /i. _ ... , ... 1 2 f. .!.

'

·-,'. .:J e: cs~·.,__ ~ cc:.r~to:rno ne. " -D'-.). L) D . : ; , ; , . . ü -a 1-8-l ' equaç2.o J.. 1-8-3 1-8-4

s~bstituindo o v2lor de~~~ i;ualdade J em

1-8-l-S-5

,

-

.-.;,,.-~-::· ç . OS·,.::..,:.:.:. . . :;::.s t"i -CE,

\7(:_c-::·2 .:.~:

-.

, ).; L,,_ =.; --·,"·--- .:_.i - . ; _,_ ..,_ "'' ,• .. .._·:.:.

(29)

22.

TABELA 3

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A _I'~ 00l _{1,,,, ·._,,' :'} o·

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-(' .-,,1 o.,oc7·G_P~I, -:, 1,~~771 r:... ,..., ... .,.,...,(' ~. ~ ...

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'-.l.-.1-/ 10.,.., . / 9 - " T 4 . 1 v,é.._-::;.:..:-1r..) V,;:...:...-t.i...) j _,,~-'"'~ ..1 O,c- ..,/(·_ - - - · - - - ' - - - ~ - ' - - - ; - - - ~ - - - :

c .. _.•~;'_,!I u" 1!,•,q-JI J •1, 7orJj _6,2"·o'l~/

o

_"'120'.'₁ J , _c:111 e. _2·~7c~₁

- - S-,1.,_;J ! ; -;/_; / :; U _, ~ . ..!..; -''-l t ; L . , / - - - ' v , - U ; V 1 ·1 i

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r: .... r_;t 1 r, :03c.2\ ~ ic.../.?71 6,.2Rsr:.)1t v" ???r.--J 1 , ') 1::::.)7 _1.1 ~ _291:") 1 ' - ' ' \.,f "] ,.. .,• ' - ' J j ..,1 ~ _,/ ' ; - . ; :, - ~ • 5 ·- •- - '- ; .,) )o - t 1-" V ) .... _;.. ...J l -- - ·-C) l.·: . _.::. / __ .__ .. ' ' ls,5S7E<~1 ' 7 ~,C:;5525 {

(30)

.23. (continuação)

-~

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i

O, 02 0,19967 .)$J..').!;.

~

_{'-·27! 6,289551}1 1 C,24!;141 _{3,16058 6,29272} ' . , 1 1 6,295891 1

º~º4

0 ?Aê.1.-1.1 _{3, lb058j} r ?O??? 1 _{0,28190 3,16ris51}

1 t - " T ' - ' ' o~ - .,1- -; ₁ 1 0

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,1--31 3 , .,.,, oi 6 ~oaor 1

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,~9q-' O 9 j_,.~uv "..,. o_..,. _{o,....,.) ...}:5

1 i -O~

641

1 6 3P,Ó?QI _{., ".1?731} 1 r,, 7fi"r1 .... f 3 - - ' ) ' 7 ( ' \ " f - 7rr:/'

I

6,38928 1 U,. )..,..Oj ! V:;, <-rVV) ~-.)..);I.Jí , 'i u~ - 1 ...) '...) • - 1 1 _1,2sl l O cf;ccoAÍ

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/1

9 ' 'V..- i 0:;CJ ~ 1

'~

.. \... 1 i 1 1 :;.u,2,;. 1,4.t,1501 4,31797 7,241231 _4,32224 _7,24383

20,4sl

1,51c.:;2j 4,500521 7,505371 1,52221! i,50476 7,50793 ' ' , ' f _ _ ; _ ' ' -' I ~ / " \ f 1 i.: v· i, :;v l 1 ·21~ 9"2 j ~.-:-:, e_.-:_ ..!.'-' .. ,:'.,V-; i C-J

!

l,546011 4,60478 7,67144, l,55E:.'.,Ji !:,60901! 7,673991 l ~ 57390! 1-8-6

(31)

l ~ l

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'-'1

o,oo(

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":,- .., -

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0,344131

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0,081 0,39735!

0,161 0,483531

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TABELA 3

(continuação)

.

o,os

z

_'? _r

z

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