divaneaparecidademoraesdantas

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(1)Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Mestrado acadêmico em Matemática. Divane Aparecida de Moraes Dantas. Espaço de Moduli das Configurações de Desargues. Juiz de Fora- MG Março/2012.

(2) Divane Aparecida de Moraes Dantas. Espaço de Moduli das Configurações de Desargues. Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Acadêmico em Matemática, área de concentração: Álgebra, da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre.. Orientador: Profa . Dra . Flaviana Andréa Ribeiro Co-orientador: Profa . Dra . Joana Darc Antonia Santos da Cruz. Juiz de Fora- MG Março/2012.

(3) Dantas, Divane Aparecida de Moraes. Espaço de Moduli das Configurações de Desargues / Divane Aparecida de Moraes Dantas. - 2012 95 f. : il. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2012. 1. Espaços de Moduli. 2. Configurações de Desargues. 3. Quocientes Categóricos. I. Título..

(4) 2.

(5) Agradecimentos. À Deus, por me abençoar e prover tudo o que foi necessário para que mais esse objetivo fosse alcançado. À minha orientadora Flaviana, por todo apoio, amizade e dedicação ao longo desse trabalho. À minha co-orientadora Joana Darc, pela enorme contribuição dada no decorrer de todo o trabalho. A todos os membros da banca que contribuíram para melhorias no meu trabalho. À minha família, pelo carinho, paciência e incentivo. Ao meu namorado Marcelo, por acreditar em mim e principalmente pelo amor e paciência que me dedicou durante a elaboração desse trabalho. Aos amigos que me apoiaram, agradeço por todo o companheirismo e momentos de descontração vividos ao longo desses anos. A todos que de forma direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. A FAPEMIG, pelo apoio financeiro durante o desenvolvimento das atividades de mestrado..

(6) Mais vale o fim de uma coisa do que seu começo. Um espírito paciente vale mais que um espírito orgulhoso. ECLE 07, 08..

(7) Resumo. O principal objetivo do trabalho é estudar os Espaços de Moduli das Configurações de Desargues, e este estudo é baseado no artigo (AVRITZER; LANGE, 2002). Uma configuração de 10 pontos e 10 retas, chamada uma configuração 103 ,obtidas do clássico teorema de Desargues, é chamada uma configuração de Desargues. Muitos espaços de moduli, senão todos, são obtidos algebricamente através das variedades algébricas de quociente, por isso estudamos um pouco de Teoria Geométrica dos Invariantes, ações de grupos algébricos em variedades algébricas e mostramos que existe o quociente categórico de uma variedade algébrica X por um grupo finito G e quando ele é o espaço e moduli grosso. Além disso mostramos que quando a variedade algébrica é afim (resp. quase projetiva) o quociente categórico é uma variedade algébrica afim (resp. quase projetiva). Finalmente, provamos que o quociente categórico(MD , π) de Pˇ 3 pelo grupo finito S5 é o espaço de moduli grosso para as configurações de Desargues. Palavras chaves: Espaços de Moduli. Configurações de Desargues. Quocientes Categóricos..

(8) Abstract. The main aim of this work is to study the moduli space of Desargues configurations and it was based in (AVRITZER; LANGE, 2002). A configurations of 10 points and 10 line of the classic Desargues Theorem is called a Desargues configuration. Many moduli spaces, if not all, are obtained algebraically through the quotient of algebraic varieties. So we have studied a little about Geometric Invariant Theory and actions of algebraic group on varieties. We have showed that there exist the categorical quotient of a algebraic variety X by a finite algebraic group G and that it is a coarse moduli space. Moreover, we have showed that if X is a affine (resp. quasi-projective) the categorical quotient is an affine (resp. quasi-projective) variety Finally, we proved that the categorical quotient (MD , π) of the Pˇ 3 by the algebraic group finite S5 is the moduli space coarse for the Desargues configurations. Keywords: Moduli space. Desargues configurations. Categorical quotients..

(9) Sumário. 1. Introdução. 8. 2. Fibrados Vetoriais. 10. 2.1. Variedades Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.2. Fibrados vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 3. Ações de grupos. 31. 3.1. Grupos algébricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.2. Ações de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.3. Quociente categórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.4. Quociente de variedades afins por grupos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.5. Quociente de variedades quase projetivas por grupos finitos . . . . . . 41. 4. Teoria de Moduli. 47. 4.1. Espaços de Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.2. Moduli das hipersuperfícies de grau d em Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 5. O espaço de Moduli das configurações de Desargues. 64. Referências. 80. Apêndice A - Categorias. 81. Apêndice B - Projetividade e Involução. 83.

(10) 8. 1. Introdução. Espaços de Moduli estão em conexão com os problemas de classificação em geometria algébrica. Os ingredientes básicos de um problema de classificação são uma coleção de objetos. A e uma relação de equivalência ∼ sobre A . O problema é descrever o conjunto de classes de equivalências A / ∼. Quase sempre existe uma noção de "famílias contínuas" de objetos de A , e gostaríamos de colocar em A / ∼ uma estrutura algébrica e geométrica que reflita este fato. Este é o objetivo da teoria de moduli. Os ingredientes básicos para o problema de moduli são uma coleção de objetos A , uma relação de equivalência sobre A e o conceito de família em A / ∼. Espaços de moduli constituem resposta para o problema de moduli. Quem faz geometria algébrica sabe que existem várias linguagens para essencialmente dizer a mesma coisa. Muitos autores, como (MUMFORD; FOGARTY; KIRWAN, 1994), usam a linguagem de esquemas para descrever a teoria de moduli. Neste trabalho damos uma ideia da teoria de moduli usando a linguagem de variedade algébrica apresentada em (NEWSTEAD, 1978) e (ESTEVES, 1997). O objetivo principal deste trabalho é estudar os Espaços de Moduli das configurações de Desargues. Uma configuração de Desargues é formada por 10 retas e 10 pontos obtidos do clássico teorema de Desargues no plano projetivo complexo, que diz: Se dois triângulos A1 B1C1 , A2 B2C2 estão em perspectiva a partir de um ponto X , então os três pares de lados correspondentes dos triângulos se intersectam em três pontos colineares. Reciprocamente, se os lados dos dois triângulos se intersectam em três pontos colineares, então os triângulos estão em perspectiva. (TODD, 1952). No Capítulo 2 apresentamos definições de variedades algébricas como espaços topológicos, fibrados vetoriais e resultados importantes que serão usados no trabalho todo. Como muitos espaços de moduli, senão todos, são obtidos algebricamente através de variedades de quocientes, estudamos um pouco de teoria invariante para encontrar essas variedades. No Capítulo 3 falaremos um pouco dessa teoria, focando em ações de grupos algébricos em uma variedade algébrica e na construção do quociente categórico de uma variedade algébrica X afim (quase projetiva ) por um grupo algébrico finito G que age em X e mostramos que este é uma variedade algébrica afim (quase projetiva)..

(11) 9. No Capítulo 4 estudamos a teoria de moduli, definimos o espaço de moduli fino e o espaço de moduli grosso com a linguagem de categoria e expomos estas definições com alguns resultados sem a linguagem de categoria. Além disso, demonstramos uma importante proposição usada para encontrar os espaços de moduli por meio de quocientes categóricos. E finalmente, no Capítulo 5 apresentamos uma demonstração do Teorema de Desargues e construímos os espaços de moduli das configurações de Desargues utilizando o Capítulo 4 ..

(12) 10. 2. Fibrados Vetoriais. Neste capítulo apresentaremos definições de variedades algébricas como espaços topológicos, fibrados vetoriais e resultados importantes que serão usados no trabalho todo. Além disso, usaremos sempre que o corpo k é algebricamente fechado e Pn = Pn (k) = kn+1 / ∼ .. 2.1 Variedades Algébricas Definição 2.1. Um subconjunto V ⊆ An é dito localmente fechado se V = Z ∩U com Z ⊆ An fechado e U ⊆ An aberto. Definição 2.2. Se X ⊆ An é localmente fechado, uma função f : X → k é dita regular se para P numa vizinhança todo x ∈ X , existem polinômios P e Q em n variáveis tais que Q(x) 6= 0 e f = Q de x. Observação 2.1. O conjunto formado por todas as funções regulares em X formam um anel, que denotamos por A(X ). Definição 2.3. Sejam U ⊆ An e V ⊆ Am subconjuntos localmente fechados. Um morfismo de U em V é uma função ϕ : U → V , dada por ϕ = (ϕ1 , · · · , ϕm ), tal que ϕi é regular em U , para todo i = 1, · · · , m. Definição 2.4. Sejam U ⊆ An ⊆ e V ⊆ Am subconjuntos localmente fechados. Um morfismo ϕ : U → V é um isomorfismo se ϕ é uma função bijetiva e ϕ−1 é um morfismo. Definição 2.5. Um homeomorfismo h : X → Y , de um espaço topológico X sobre um espaço topológico Y , é uma aplicação contínua e biunívoca de X sobre Y , cuja inversa h−1 : Y → X também é contínua. Definição 2.6. Seja V um espaço topológico. Um par ordenado (U, φ) onde U ⊆ V é aberto e φ : U → X é um homeomorfismo com X ⊆ An é um conjunto localmente fechado é dito um sistema de coordenadas. Um atlas algébrico sobre V é uma coleção de sistemas de coordenadas (Ui , φi ) que satisfaz as seguintes propriedades: A1) V =. s [. Ui. i=1. A2) φ j ◦ φ−1 i : φi (Ui ∩U j ) → φ j (Ui ∩U j ) é um isomorfismo..

(13) 11. Definição 2.7. Uma variedade algébrica é um espaço topológico V munido de um atlas algébrico. Exemplo 2.1. a) Considere An com a topologia de Zariski. Um atlas sobre An é (An , Id), logo An é uma variedade algébrica. b) Seja F um conjunto fechado afim, isto é, F = V (P1 , . . . , Pr ) = {(a1 , . . ., an ) ∈ An ; Pi (a1 , . . ., an ) = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ r}, onde P1 , . . . , Pn ∈ k[X0 , . . ., Xn ] são polinômios. Com a topologia de Zariski induzida de An , F é um espaço topológico e um atlas algébrico sobre F é (F, Id), então F é uma variedade algébrica. c) Se U é um conjunto aberto afim, isto é, U ⊆ An é o complementar de um fechado afim. Com a topologia de Zariski induzida de An , U é um espaço topológico e uma atlas algébrico sobre U é (U, Id), então U é uma variedade algébrica. d) Se V ⊆ An é um subconjunto localmente fechado, então V = Z ∩U onde Z ⊆ An é fechado e U ⊆ An é aberto, então V é espaço topológico com a topologia induzida de An e um atlas sobre V é dado por(Z ∩ A, Id), logo V e uma variedade algébrica. e) Consideremos o espaço projetivo Pn com a topologia de Zariski. Então n Ui = {(x0 : . . . : xn ) ∈ Pn ; xi 6= 0} é um conjunto aberto de P . Além disso a função ˆ . . . , xn é homeomorfismo. Assim φi : Ui → An dada por φi (x0 : . . . : xn ) = xx0i , . . . , 1, xi (φi ,Ui ) para i = {0, 1, . . .n} é um atlas sobre Pn e portanto Pn é uma variedade algébrica.. f) Se V é um conjunto fechado projetivo, isto é, V = V (F1 , . . ., Fl ) = {a ∈ Pn ; Fi (a) = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ l}, onde F1 , . . .Fl ∈ k[X0 , . . ., Xn ]. Observe que V é um espaço topológico com a topologia de Zariski induzida de Pn . Como Pn =. n [. Ui , e V = (. n [. Ui ) ∩V =. i=0. i=0. n [. (Ui ∩V ), um atlas. i=0. sobre V é dado por (Ui ∩ V, φi |Ui ∩V ), onde φi são as funções definidas no exemplo (e). Logo V é uma variedade algébrica. g) Seja V ⊆ Pn uma variedade quase projetiva, isto é, V = F ∩ A, onde F é um fechado de Pn e A é um aberto de Pn . V é um espaço topológico com a topologia de Zariski induzida de. Pn .. n. Como P =. n [. Ui , e. i=0. V = F ∩A∩. n [ i=0. Ui =. n [ i=0. (Ui ∩ F ∩ A),.

(14) 12. então um atlas sobre V é dado por (φi |Ui ∩U∩F ,Ui ∩F ∩A), onde φi são as funções definidas no exemplo (e). Então V é uma variedade algébrica. Definição 2.8. Um morfismo entre variedades algébricas V e W é uma função ϕ : V → W tal que se (Vi , φi ) é um atlas em V e (W j , ψ j ) é um atlas em W , então −1 ψ j ◦ ϕ ◦ φ−1 i : φi (ϕ (W j ) ∩Vi )) → ψ j (W j ). é um morfismo entre conjuntos localmente fechados.. 2.2 Fibrados vetoriais Definição 2.9. Seja V uma variedade algébrica. Um fibrado vetorial E de posto n sobre V é uma variedade E, munida de um morfismo p : E → V , satisfazendo as condições FV1) Existe uma cobertura aberta {Ui }i∈I de V ; FV2) Para cada i ∈ I, existe um isomorfismo ψi : Ui × An → p−1 (Ui ), tal que p(ψi (x, v)) = x para todos v ∈ An e x ∈ Ui ; FV3) Para todo par (i, j) ∈ I ×I, se x ∈ Ui ∩U j , então ψi (x, v) = ψ j (x, Ai, j (x)v) para todo v ∈ An , onde Ai, j (x) é uma matriz n × n. Observação 2.2. Se E é um fibrado vetorial de posto n sobre X , então para todo x ∈ V , a função ψi (x) : An → p−1 (x) definida por ψi (x)(v) := ψi (x, v) é uma bijeção. De fato, se y ∈ p−1 (x) então y = ψi (a, b) com (a, b) ∈ Ui ×An . Como p(y) = x e p(ψi (a, b)) = a, segue que x = a. Logo ψi (x) é sobrejetiva. A injetividade segue diretamente do fato de ψi ser injetiva. Denotaremos y = ψi (x, b) = ψi (x)(b). Além disso, a função ψi (x) define uma estrutura de espaço vetorial em p−1 (x) sobre k. De fato, y1 , y2 ∈ p−1 (x) então y1 = ψi (x)(z1 ) e y2 = ψi (x)(z2). Definimos ( y1 + y2 := ψi (x)(z1 + z2 ) λy1. := ψi (x)(λz1),. onde λ ∈ k.. Observação 2.3. Nas hipóteses da observação anterior, temos ainda que se x ∈ Ui ∩U j , então (ψ j (x))−1 ◦ (ψi (x)) é uma transformação linear. De fato, para cada z ∈ An , temos (ψ j (x))−1 ◦ (ψi (x))(z) = (ψ j (x))−1 (ψi (x, z)). Como ψi (x, z) ∈ p−1 (x) = ψ j (x)(An ), segue que ψi (x, z) = ψ j (x, z1 ) para algum z1 ∈ An e por−1 tanto ψ−1 j ◦ ψi (x, z) = (x, z1 ). Por outro lado ψ j ◦ ψi (x, z) = (x, Ai j (x)z), ou seja, Ai, j (x)z = z1 . Além disso, como. (ψ j (x))−1 ψi (x)(z) = (ψ j (x))−1 (ψ j (x)(z1)) = z1 ,.

(15) 13. então (ψ j (x))−1 (ψi (x)(z)) = Ai, j (x)z. Donde segue a afirmação. Definição 2.10. Se n = 1, então E é dito fibrado em linha. Exemplo 2.2. Fibrado vetorial trivial de posto n. Sejam V variedade algébrica , E = V × An e p : E → V projeção na primeira coordenada. Observe que E é uma variedade, pois o produto de variedades algébricas é uma variedade algébrica e p : E → V é um morfismo, pois a projeção é um morfismo. Seja (Ui , ϕi ) o sistema de coordenadas de V satisfazendo as propriedades (A1) e (A2) da definição 2.6. Então. FV1) V =. l [. Ui .. i. FV2) Observe que p−1 (Ui ) = Ui × An , e defina ψi : Ui × An → p−1 (Ui ) por ψi (x, a) = (x, a), ou seja, ψi = Id e portanto ψi é um isomorfismo, e além disso p ◦ ψi (x, z) = p(x, z) = x. −1 n n FV3) A função ψ−1 j ◦ ψi : (Ui ∩U j ) × A → (Ui ∩U j ) × A é tal ψ j ◦ ψi (x, z) = (x, z), isto é, Ai, j (x) = Id.. Exemplo 2.3. Sejam π : An+1 − {0} → Pn tal que π(x0 , . . ., xn ) = (x0 : . . . : xn ) e E = {(x, v) ∈ Pn × An+1 ; v ∈ π−1 (x) ∪ {0}}. Observe que, π é um morfismo. E é uma variedade algébrica, com a topologia induzida de Pn × An+1 .. De fato, se Ui = {(x0 : . . . xn ) ∈. Pn ; xi. n. 6= 0}, então P × A. n+1. =. n [. (Ui × An+1 ).. i=0. Considere a aplicação ψi : Ui × An+1 → An × An+1 dada por ψi (x, y) = (φi (x), y), onde φi (x0 : . . . : xn ) = (x0 , . . . , |{z} 1ˆ , . . . , xn ) . Portanto (Ui × An+1 , ψi )i=0,1,...n é um sistema de coori. denadas em. Pn × An+1 .. Como E =. n [. E ∩ (Ui × An+1 ) e cada E ∩ (Ui × An+1 ) é aberto em E, para verificarmos que. i=0. E é um fibrado vetorial sobre Pn devemos inicialmente mostrar que (E ∩ (Ui × An+1 ), ψi |E∩(Ui ×An+1 ) ) é um atlas em E. A1) Observe que αi = ψi |E∩(Ui ×An+1 ) : E ∩ (Ui × An+1 ) → ψi (E ∩ (Ui × An+1 )) é homeomorfismo. Precisamos mostrar que ψi (E ∩ (Ui × An+1 )) ⊆ A2n+1 é localmente fechado ( aqui estamos identificando An × An+1 com A2n+1 ). Observe que E ∩ (Ui × An+1 ) = {(x, y) ∈ Ui × An+1 ; y ∈ π−1 (x) ∪ {0}} = = {(x0 : . . . : 1 : . . . : xn ), (λx0, . . . , λ, . . ., λxn ) : λ ∈ k − {0}}.

(16) 14. ˆ . . ., xn ), (λx0, . . . , λ, . . ., λxn ); λ ∈ k − {0}}. Se e que ψi (E ∩ (Ui × An+1 )) = {(x0 , . . . , 1, definimos para cada i ∈ {0, 1, . . ., n} os polinômios Pi j = (X1, . . . , Xn,Y0 , . . . ,Yn ) = Yi X j −Y j , j = 0, . . . , n e i 6= j, então Z (P0 , . . . Pn ) = ψi (E ∩ (Ui × An+1 ) =: Zi . De fato, ˆ . . . , xn ), (λx0 , . . ., λ, . . ., xn )) = λx j − λx j = 0. Pj ((x0 , . . . , 1, ˆ . . ., xn ), (y0, . . . , yn )) ∈ Zi como yi x j = y j , segue que Além disso, se ((x0 , . . . , 1, ˆ . . . , xn ), (y0 , . . . , yn )) = ((x0 , . . . , 1, ˆ . . . , xn ), (yi x0 , . . . , yi , . . ., yi xn )). ((x0 , . . . , 1, Portanto segue a igualdade e ψi (E ∩ (Ui × An+1 )) ⊆ A2n+1 é fechado. A2) A função n+1 α j ◦ α−1 ) → α j (E ∩ (Ui ∩U j ) × An+1 ) i : αi (E ∩ (Ui ∩U j ) × A. é dada por −1 −1 α j ◦ α−1 i = ψ j |E∩(U j ×An+1 ) ◦ ψi |E∩(Ui ×An+1 ) = ψ j ◦ ψi |E∩((Ui ∩U j )×An+1 ) ,. o qual é um isomorfismo. Vamos mostrar que (E, p : E → Pn ) é um fibrado em linha, onde p : E → Pn é a projeção na primeira coordenada. Observe que p−1 (Ui ) = E ∩ (Ui × An+1 ). Além disso, temos que FV1). Pn. =. n [. Ui .. i=0. FV2) Para cada i ∈ {0, 1, . . .n} defina a função βi : Ui × A −→ p−1 (Ui ) = E ∩ (Ui × An+1 ) ((x0 : . . . : 1 : . . . : xn ), λ) 7−→ ((x0 : . . . : xn ), (λx0 , . . ., λ, . . ., λxn )). (a) βi é injetiva. De fato, se βi ((x0 : . . . : 1 : . . . : xn ), λ) = βi (y0 : . . . : 1 : . . . : xn ), µ) então (x0 : . . . : 1 : . . . : xn ) = (y0 : . . . : 1 : . . .yn ) e (λx0 , . . . , λ, . . ., λxn ) = (µy0 , . . ., µ, . . . , µyn ). Logo λ = µ e xi = yi , ∀ i = 1, . . .n. (b) βi é sobrejetiva. Se ((x0 : . . . : xn ), (y0, . . . , yn )) ∈ E ∩ (Ui × An+1 ), então xi 6= 0 e (y0 , . . ., yn ) = (λx0 , . . . , λxn ) para algum λ ∈ k − {0}. Logo ((x0 : . . . : xn ), (y0 , . . ., yn )) = βi ((x0 : . . . : xn ), λ) com ((x0 : . . . : xn ), λ) ∈ Ui × A..

(17) 15 −1 (c) Observe que βi é morfismo e que β−1 i : p (Ui ) → Ui × A, dada por yi −1 , βi ((x0 : . . . : xn ), (y0, . . . , yn )) = (x0 : . . . : xn ), xi. é também um morfismo. FV3) β−1 j ◦ βi : (Ui ∩U j ) × A → (Ui ∩U j ) × A xn x0 ,λ = : ... : 1 : ... : xi xi xj x0 x0 xn xn −1 = βj , λ , . . ., λ, . . ., λ , . . . , λ = : ... : 1 : ... : xi xi xi xi xi x0 x j xi x j xn x j xi xn xi x0 −1 : ... : : ... : 1 : ... : , λ ,...,λ , . . ., λ , . . ., λ = = βj xj xj xj xi x j x j xi xj xi x j x0 xi xn λx j x0 xi xn −1 = βj , = : ... : : ... : 1 : ... : , . . . , , . . . , 1, . . ., xj xj xj xi x j xj xj xj xj x0 xi xn x j x0 xn = : ... : : ... : 1 : ... : ,λ = : ... : : ... : 1 : ... ,λ xj xj x j xi xi xi xi xi xj xj Assim β−1 ◦ β (x, λ) = x, λ i j xi e portanto Ai, j (x) = xi β−1 j ◦ βi. . Portanto E é um fibrado de linha. Este fibrado é denotado por OPn (−1). Definição 2.11. Sejam p1 : E1 → X e p2 : E2 → X fibrados vetoriais. Um homomorfismo de E1 para E2 é um morfismo de variedades algébricas h : E1 → E2 tal que: a) p2 ◦ h = p1 ; b) para todo x ∈ X , h|E1x : E1x → E2x é uma aplicação linear. Um isomorfismo de fibrados vetoriais é um homomorfismo de vibrados vetoriais tal que h é isomorfismo. Definição 2.12. Uma seção s de um fibrado vetorial E é um morfismo s : X → E tal que p ◦ s = idX . Proposição 2.1. A coleção Γ(X , E) de todas as seções de E é um espaço vetorial sobre k. Demonstração. Sejam Ui os abertos de X tais que X =. l [. Ui e as ψi são as funções que sa-. i=1. tisfazem as propriedades FV 1) e FV 2) da Definição 2.9 . Se s ∈ Γ(X , E), como p(s) = idX , segue que (p ◦ s)|Ui = idUi . Se x ∈ Ui , então p(s(x)) = x ∈ Ui e s(x) ∈ p−1 (x) ⊆ p−1 (Ui ). Tome s1 , s2 ∈ Γ(X , E) e suponha que x ∈ X . Como s1 (x) ∈ p−1 (x), segue que s1 (x) = ψi (a, b) para algum (a, b) ∈ Ui × An e x = p(s1 (x)) = p(ψi (a, b)) = a. Da mesma forma, s2 (x) ∈ p−1 (x).

(18) 16. implica s2 (x) = ψi (a′ , b′ ) para algum (a′ , b′ ) ∈ Ui × An e portanto x = a′ . Logo a = a′ . Assim s1 (x) = ψi (x, b) = ψi (x)(b) e s2 (x) = ψi (x, b′ ) = ψi (x)(b′ ), como ψi (x)(b) ∈ p−1 (x) e ψi (x)(b′ ) ∈ p−1 (x), temos que s1 (x) + s2 (x) = ψi (x)(b) + ψi (x)(b′ ) = ψi (x)(b + b′ ) = ψi (x, b + b′ ). Portanto definimos a função (s1 + s2 )|Ui em Ui por (s1 + s2 )|Ui (x) = ψi (x, b + b′ ), onde ψi (x, b) = s1 (x) e ψ(x, b′ ) = s2 (x). De fato, seja x ∈ Ui ∩U j então s1 (x) + s2 (x) = ψi (x, b + b′ ) onde ψi (x, b) = s1 (x) e ψi (x, b′ ) = s2 (x), e s1 (x) + s2 (x) = ψ j (x, c + c′ ), onde ψ j (x, c) = s1 (x) e ψ j (x, c′ ) = s2 (x). Como ψi (x, b) = ψ j (x, c), temos que ψ−1 j ◦ ψi (x, b) = (x, c), e portanto (x, Ai, j (x)b) = (x, c) . Logo Ai, j (x)b = c. De forma análoga mostra-se que Ai, j (X )b′ = c′ , assim ′ ′ ′ ′ ψ−1 j ◦ ψi (x, b + b ) = (x, Ai, j (x)(b + b )) = (x, Ai, j (x)b + Ai, j (x)b ) = (x, c + c ),. ou seja, ψi (x, b + b′ ) = ψ j (x, c + c′ ). Portanto podemos definir s1 + s2 : X → E por s1 (x) + s2 (x) = (s1 + s2 )|Ui (x) se x ∈ Ui . Afirmamos que s1 + s2 é morfismo. De fato, sejam (Ei , αi ) o sistema de coordenadas de E e (Vi , φi ) o sistema de coordenadas de X . Usando os sistemas de coordenadas acima obtemos que s1 + s2 é dada por αi ◦ (s1 + s2 )|Ui ◦ φ−1 i (z) = αi ◦ (s1 + s2 )|Ui (x) = αi (ψi (x, b(x) + c(x))) = αi ◦ ψi ◦ (Id, b + c)(x), para cada z ∈ φi (Vi ∩ (s1 + s2 )−1 |Ui (p−1 (Ui ) ∩ E j )). Como φi e αi são isomorfismos, basta mostrarmos que as funções b e c são morfismos. Para isso observemos que a função −1 −1 αi ◦ s1 ◦ φ−1 i : φi (Vi ∩ (s1 (P (Ui ) ∩ E j )) → Fi. é morfismo e já que αi ◦ s1 ◦ φ−1 i = αi ◦ ψi ◦ (Id, b), segue que (Id, b) é morfismo e portanto b é morfismo. De mesma forma mostra-se que c é morfismo. Observe ainda que p ◦ (s1 + s2 ) = idX , ou seja, s1 + s2 ∈ Γ(X , E). Seja s ∈ Γ(X , E) e λ ∈ K, defina λs|Ui : Ui → p−1 (Ui ) por (λs)(x) = ψi (x, λb) no qual b satisfaz ψi (x)(b) = s(x). De modo análogo ao que foi feito para s1 + s2 , verifica-se que λs está bem definida e é um morfismo. Além disso, como p ◦ (λs)(x) = p ◦ ψi (x, λb) = x, temos que λs ∈ Γ(X , E). Lema 2.2 (Colagem). Sejam V1 , . . .,Vn variedades algébricas. Para cada par (i, j), 1 ≤ i, j ≤ n,.

(19) 17. sejam Ui j ⊆ Vi , Uii = Vi abertos e φi j : Ui j → U ji um isomorfismo. Suponha que: C1) φi j = φ−1 ji e φii = id. C2) ( condição do co-ciclo). Para todo i, j, k ∈ {1, . . ., n} distintos vale que (a) φi j (Ui j ∩Uik ) = U ji ∩U jk . (b) φik |Ui j ∩Uik = φ jk |U ji ∩U jk ◦ φi j |Ui j ∩Uik . Então existe uma variedade V e morfismos ψi : Vi → V tais que: (a) ψi é um isomorfismo sobre um aberto de V ; (b) V = ∪i ψi (Vi ); (c) ψi (Ui j ) = ψi (Vi ) ∩ ψ j (V j ); (d) ψi |Ui j = ψ j |U ji ◦ φi j . Demonstração. Seja W a união disjunta dos Vi ’s. Dados a, b ∈ W , com a ∈ Vi e b ∈ V j , dizemos que a ∽ b em W se, e somente se, a ∈ Ui j , b ∈ U ji e b = φi j (a). Afirmamos que ∽ é uma relação de equivalência. De fato, sejam a, b, c ∈ W : 1. Dado a ∈ W , existe um i tal que a ∈ Vi . Como Uii = Vi e a = id(a) = φii (a), segue que a ∽ a. 2. Se a ∽ b, a ∈ Vi e b ∈ V j , então a ∈ Ui j , b ∈ U ji e b = φi j (a). Como φ ji (b) = φ ji (φi j (a)) = Id(a) = a, então b ∽ a. 3. Se a ∽ b, a ∈ Vi e b ∈ V j , então a ∈ Ui j , b ∈ U ji e b = φi j (a). Além disso, se b ∽ c, c ∈ Vl , então b ∈ U jl , c ∈ Ul j e c = φ jl (b). Logo b ∈ U ji ∩ U jl e c = φ jl (φi j (a)) = φil (a) por C2(b). Resta mostrarmos que c ∈ Uli e a ∈ Uil . Como c = φ jl (b) e b ∈ U ji ∩U jl , então, por C2(a), φ jl (U ji ∩U jl ) = Ul j ∩Uli e c ∈ Ul j ∩Uli . Além disso, como c = φil (a) segue que φli (c) = a, ou seja, a ∈ φli (Ul j ∩Uli ) = Uil ∩Ui j ⊆ Uil . Portanto a ∽ c. Seja V = W / ∽, defina ψ : W → V tal que ψ(a) = a. Dizemos que U ⊆ V é aberto, se e somente se, ψ−1 (U ) é aberto em W , isto é, φ−1 (U ) ∩Vi é aberto em Vi para todo i. Assim V um espaço topológico. Para cada i considere o atlas algébrico (Wi j , αi j ) j de Vi , onde αi j : Wi j → Fi j é um homeomorfismo e Fi j é um conjunto localmente fechado. Seja Wi j = {a ; a ∈ Wi j } e considere a função ϕi j : Wi j → Fi j a 7→ αi j (a). Observe que a função é bem definida, pois na classe de um elemento de Wi j existe um único elemento de Wi j . Afirmamos que ϕi j é um homeomorfismo. De fato, se U ⊂ Fi j é um aberto,.

(20) 18 −1 −1 como ψ−1 (ϕ−1 i j (U )) = αi j (U ) ∩ Wi j ,então ϕi j (U ) é aberto. Além disso, como V =. ϕi j ◦ ϕ−1 il. S. Wi j e. ϕi j são injetivas, então portanto V é uma variedade algébrica. Defina −1 = αi j ◦ α−1 ψi = ψ|Vi : Vi → V Observe que i j = id|Wi j , logo ϕi j ◦ ψ|Vi ◦ αi j é um morfismo e ψ|V é um morfismo. Assim obtemos = αi j ◦ α−1 il e ϕi j ◦ ψ|V ◦ α−1 ij i. i. (a) ψi é isomorfismo sobre um aberto de V ; (b) segue de (a) (c) provemos que ψi (Vi ) ∩ ψ j (V j ) = ψi (Ui j ); Se y ∈ ψi (Vi ) ∩ ψ j (V j ), então y = ψi (a) = a e y = ψ j (b) = b, onde a ∈ Vi e b ∈ V j . Da igualdade a = b, segue que a ∈ Ui j e portanto ψi (Vi ) ∩ ψ j (V j ) ⊂ ψi (Ui j ). Por outro lado, seja y = ψi (x), x ∈ Ui j ⊂ Vi . Como φi j (x) ∈ U ji ⊂ V j e y = ψi (x) = x = φi j (x) = ψ j (φi j (x)), segue a desigualdade contrária. (d) ψi |U ji = ψ j |Ui j ◦ φi j . De fato, se a ∈ Ui j então ψ(a) = a, φi j (a) ∈ U ji , e ψ(φi j (a)) = φi j (a) = a = φi (a).. Exemplo 2.4. Sejam Vi = D(xi ) × A1 para i = 0, . . ., n e Ui j = D(xi x j ) × A1 , onde D(xi ) = Pn \ Z (xi ) e D(xi x j ) = Pn \ Z (xi x j ). Como V0 , . . . ,Vn são produtos de variedades algébricas, segue que eles são variedades algébricas. Para cada par (i, j), 0 ≤ i, j ≤ n, a função φi j : Ui j → U ji definida por         x0 x1 xi xn    xn     x0   φi j ,t =  : . . . : : : . . . : |{z} 1 : ... : : . . . : |{z} 1 : . . . :  ,t  . xi xi xi xj xj    x j posição i posição j |{z} posição i. é um isomorfismo. Verifiquemos que as variedades algébricas V1 , . . .Vn e os morfismos φi j definidas satisfazem as.

(21) 19. condições do Lema da Colagem. Para ver a Condição C1 suponha que i < j. Então     x  0 1 : ... : φ ji ◦ φi j  : . . . : |{z}  xi posição i. .  x  0 = φ ji  : . . . :  x j .  xj xn    . . . :  , λ = xi xi   |{z}. posição j. . .  xi xn    . . . : |{z} 1 : . . . :  , λ = xj xj   posição j |{z}. posição i. . .  xj xn    . . . :  , λ . xi xi   |{z}.  x  0 1 : ... : =  : . . . : |{z}  xi posição i. posição j. Logo φ ji ◦ φi j = IdUi j . Analogamente φi j ◦ φ ji = IdU ji e portanto φi j = φ−1 ji . Observe agora que, φi j (Ui j ∩Uik ) = D(xi x j xk ) × A1 = U ji ∩U jk . Além disso, se x ∈ Ui j ∩Uik então

(22) φ jk

(23). . . .  x0 : . . . : 1 : . . . : xn  , λ = |{z} xi xi posição i   

(24) x0 xn 1 = φ jk

(25) U ∩U  : . . . : |{z} : . . . :  , λ = ji jk xj xj posição j    x0 xn =  : . . . : |{z} 1 : . . . :  , λ = xk xk posição k   

(26) x0 xn = φik

(27) U ∩U  : . . . : |{z} 1 : . . . :  , λ . ij ik xi xi. U ji ∩U jk.

(28) ◦ φi j

(29). Ui j ∩Uik. posição i. Portanto as condições (a) e (b) de C2 são satisfeitas.. Seja V a variedade algébrica dada pelo Lema da Colagem. Afirmamos que V é um fibrado em linha sobre Pn . De fato, sejam ψi os morfismos dados pela colagem dos Vi′ s, isto é, ψi satisfazem as propriedades i), ii), iii) e iv) do Lema da Colagem. Para cada i considere a função pi : ψi (Vi ) → D(xi ) definida por pi (ψi (x, λ)) = x. Se y ∈ ψi (Vi ) ∩ ψ j (V j ) = ψi (Ui j ), então.

(30) 20. y = ψi (( xx0i : . . . : 1 : . . . : . xn xi ), λ),. e. .     x x x x n n 0 0 pi ψi  : . . . : |{z} 1 : . . . :  , λ =  : . . . : |{z} 1 : ... :  = xi xi xi xi posição i posição i       x0 x0 xn xn =  : . . . : |{z} 1 1 : . . . :  = p j ψ j  : . . . : |{z} : . . . :  , λ . xj xj xj xj posição j. posição j. Portanto, pi (y) = p j (y) e podemos definir uma função p : V → Pn por p|ψi (Vi ) := pi . Observemos agora que são validas as propriedades de fibrados vetoriais. FV1) Pn =. n [. D(xi ). i=0. FV2) ψi : D(xi ) × A → p−1 i (D(xi )) é um isomorfismo tal que pi (ψi (x,t)) = x. FV3) ψ−1 j ◦ ψi (x, λ) = (x, Ai, j (x)λ). Para a condição FV 3, considere ((x0 : . . . : xn ), λ) ∈ Ui j então    −1  x0 : . . . : 1 : . . . : xn  , λ = ψ−1 j ◦ ψi ((x0 : . . . : xn ), λ) = ψ j ◦ ψ j ◦ φi j |{z} xi xi posição i xn x0 −1 , λ = ((x0 : . . . : xn ), λ) e Ai, j (x) = 1. = ψj ◦ ψj : ... : xj xj Exemplo 2.5. Os fibrados OPn (d) de Serre. Sejam Vi = D(xi ) × A1 para i = 0, . . . , n e Ui j = D(xi x j ) × A1 , onde D(xi ) = Pn \ Z (xi ) e D(xi x j ) = Pn \ Z (xi x j ). Como V0 , . . . ,Vn são produtos de variedades algébricas, segue que eles são variedades algébricas. Fixe d > 0. Para cada par (i, j), 0 ≤ i, j ≤ n, e considere o isomorfismo φi j : Ui j → U ji definido por φi j ((x0 : . . . : xn ),t) =. . xi (x0 : . . . : xn ), xj. d ! t. um isomorfismo. Vamos ver que as φi j ’s define um fibrado vetorial. Para ver a Condição C1 suponha que i < j. Então d ! ai t = φi j ◦ φ ji ((a0 : . . . : an ),t) = φi j (a0 : . . . : an ), aj d d ! aj ai = (a0 : . . . : an ), t = ((a0 : . . . : an ),t) ai aj e assim φi j ◦ φ ji = Id. Analogamente, φ ji ◦ φi j = Id..

(31) 21. Observe agora que φi j (Ui j ∩Uik ) = D(xi x j xk ) × A1 = U ji ∩U jk . Além disso, se x ∈ Ui j ∩Uik então.  . .  x0 : . . . : 1 : . . . : xn  ,t  = |{z} xi xi posição i    d

(32) xi xn x0 .t  = = φ jk

(33) U ∩U  : . . . : |{z} 1 : ... : , ji jk xj xj xj posição j    d d xj x0 xn xi .t  = =  : . . . : |{z} 1 : ... : , xk xk xk xj posição k   

(34) x0 xn = φik

(35) U ∩U  : . . . : |{z} 1 : . . . :  , λ . ij ik xi xi.

(36) φ jk

(37) U. ji ∩U jk.

(38) ◦ φi j

(39) U. i j ∩Uik. posição i. Portanto as condições (a) e (b) de C2 são satisfeitas. Pelo Lema da Colagem existe uma variedade V := OPn (d) e ψi : Vi → V que são morfismos satisfazendo as condições i), ii), iii) e iv). Queremos mostrar que (V, p : V → Pn ) é um fibrado em linha. Para cada i defina pi : ψi (Vi ) → Pn por pi (ψi ((x0 : . . . : xn ),t) = (x0 : . . . : xn ). Como ψi são isomorfismos, então pi está bem definida. Se x ∈ ψi (Vi ) ∩ ψ j (V j ) = ψi (Ui j ), então x = ψi ((x0 : . . . : xn ),t), onde xi x j 6= 0, d !! xi p j (ψi (x)) = p j (ψ j ◦ φi j (x)) = p j ψ j (x0 : . . . : xn ), .t = (x0 : . . . : xn ) = p j (ψ j (x)). xj Consideremos a função p : V → Pn definido por p|ψi (Vi ) := pi . Como pi é morfismo para cada i, segue que p é um morfismo. Observemos agora que são validas as propriedades de fibrados vetoriais. (a) Pn =. n [. D(xi ), onde D(xi ) são abertos afins;. i=0. (b) ψi : D(xi ) × A1 → p−1 (D(xi )) é isomorfismo; Para mostrar que ψi é um isomorfismo, basta verificarmos que p−1 (D(xi )) = ψi (Vi ). Para isso se x ∈ p−1 (D(xi )), então p(x) ∈ D(xi ) e x ∈ ψ j (V j ) para algum j. Como p(x) = p(ψ j ((a0 : . . . : an ),t)) = (a0 : . . . : an ) ∈ D(xi x j ) = Ui j , temos que ((a0 : . . . : an ),t)) ∈ D(xi x j ) × A, e da relação ψ j (Ui j ) = ψi (Vi ) ∩ ψ j (V j ), segue que x ∈ ψi (Vi ), ou seja, p−1 (D(xi )) ⊆ ψi (Vi ). Já que ψi (Vi ) ⊆ p−1 (D(xi )), segue que.

(40) 22. p−1 (D(xi )) = ψi (Vi )). (c) ψ−1 j ◦ ψi (x, λ) = (x, Ai, j (x)λ). Se ((x0 : . . . : xn ), λ) ∈ Ui j , então ψi ((x0 : . . . : xn ),t) = ψ j ◦ φi j (x0 : . . . : xn ),t) ψ−1 j ◦ ψi ((x0. d : . . . : xn ),t) = φi j ((x0 : . . . : xn ),t) = (x0 : . . . : xn ), xxij .t .. Logo, basta considerarmos Ai j (x) =. d xi xj. .. Proposição 2.3. O conjunto dos polinômios homogêneos de grau d em n + 1 variáveis é isomorfo ao conjunto Γ(Pn , OPn (d)) de todas as seções do fibrado vetorial OPn (d) . Demonstração. Nesta demonstração manteremos as notações do Exemplo 2.5. Para cada polinômio homogêneo F de grau d defina siF : D(xi ) → ψi (Vi ) por siF (x) = ψi (x, F(x)/xdi ). Observemos que siF está bem definida pois se (x0 : . . . : xn ) = (y0 : . . . : yn ), então existe um t 6= 0 tal que (y0 , . . ., yn ) = t(x0 , . . ., xn ) e F(y0 , . . . , yn ) F(tx0, . . . ,txn) t d F(x0 , . . ., xn ) F(x0 , . . ., xn ) = = = . (txi)d ydi t d xdi xdi Já que para cada x ∈ D(xi x j ) vale a relação siF (x) =. ψi. . F(x) x, d xi. . = ψ j ◦ φi j. . F(x) x, d xi. . = ψj. . xi x, xj. d. F(x) xdi. !. j. = sF (x),. podemos considerar a função sF : Pn → V definida por sF |D(xi ) := siF . Ainda temos que, se x ∈ D(xi ), então F(x) i = x, p(s(x)) = p(sF )(x) = p ψi x, d xi ou seja, sF ∈ Γ(Pn , OPn (d)). Considere a função. φ : {F ∈ k[X0 , . . ., Xn ] ; F é homogêneo de grau d } −→ Γ(Pn ,V ) F 7 → − sF . São válidas as seguintes propriedades: 1. φ é injetiva. De fato, se siF (x) = siG (x) ∀ x ∈ D(xi ), então ψi (x, F(x)/xdi ) = ψi (x, G(x)/xdi ). Como ψi é injetiva, segue que F(x)/xdi = G(x)/xdi ∀ x ∈ D(xi ) e F(x) = G(x) ∀ x ∈ D(xi ). Observemos que da irredutibilidade de Pn e da igualdade Pn = (Pn \ D(xi )) ∪ Z (F − G), segue que Z (F − G) = Pn e portanto F = G..

(41) 23. 2. φ é linear. Sejam F e G polinômios homogêneos de grau d. (F + G)(x0 , . . ., xn ) i = sF+G (x0 : . . . : xn ) = ψi (x0 : . . . : xn ), xdi F(x0 , . . ., xn ) G(x0 , . . ., xn ) = ψi (x0 : . . . : xn ), + = xdi xdi G(x0 , . . ., xn ) F(x0 , . . . , xn ) + ψi (x0 : . . . : xn ), = = ψi (x0 : . . . : xn ), xdi xdi. = (siF + siG )(x0 : . . . : xn ).. Logo sF+G = sF + sG , ou seja, φ(F + G) = φ(F) + φ(G). Além disso, φ(λF) = λφ(F), pois si(λF) (x0. : . . . : xn ) = ψi. . λF(x0 , . . . , xn ) (x0 : . . . : xn ), xdi. 3. φ é sobrejetiva. Se s ∈ Γ(Pn , OPn (d)), então função regular em An , onde φi :. h :=. D(xi ).

(42).

(43) π2 ◦ ψ−1 i ◦ s

(44) D(xi ). Para cada. p ∈ An. aberta U p ⊆. An. . é morfismo. Logo h := h ◦ φ−1 i é uma. xi−1 xi+1 x0 xn xi , . . . , xi , xi , . . . xi. existem polinômios f p , g p ∈ k. de p tais que h|Up : U p →. = λsiF (x0 : . . . : xn ).. An. −→. (x0 : . . . : xn ) 7−→. . A1. h. . .. xi−1 xi+1 x0 xn xi , . . . , xi , xi , . . . xi. i. e uma vizinhança. é dada por h p = f p /g p . Pelo Teorema da. Base de Hilbert ((KUNZ, 1985) capítulo 1, seção 2) o ideal I := h g p | p ∈ An i é finitamente gerado, ou seja, existem elementos p1 , . . . , ps ∈ An tais que I = h g p1 , . . ., g ps i. Além disso, como Z (I ) = 0/ segue do Teorema dos Zeros de Hilbert ((SHAFAREVICH, 1995), apêndice 6, proposição 1) que 1 ∈ I , isto é, existem polinômios xi−1 xi+1 xn x0 ,..., , ,... h1 , . . . , hs ∈ k xi xi xi xi s. tais que 1 = ∑ g pi hi . Multiplicando a igualdade acima por h obtemos a relação h = Portanto. i=1. s. ∑ f pi hi.. i=1.

(45) 24. . x0 xi−1 xi+1 xn h(x0 : . . . : xn ) = h : ... : :1: : ... = xi xi xi xi xi−1 xi+1 xn xi−1 xi+1 xn x0 −1 x0 ,..., , ,... =h , . . ., , ,... = = h φi xi xi xi xi xi xi xi xi s x0 Fi (x0 , . . . , xn ) x0 xi−1 xi+1 xn xi−1 xi+1 xn , = ∑ f pi hi = ,..., , ,... ,..., , ,... l x x x x x x x x x i i i i i i i i i=1 i onde Fi é um polinômio homogêneo de grau l nas variáveis x0 , x1 , . . . , xn . Podemos supor que xi não divide Fi . Consideremos que l π2 ◦ ψ−1 i ◦ s|D(xi ) = Fi /xi , com xi não dividindo Fi , m π2 ◦ ψ−1 j ◦ s|D(x j ) = Fj /x j , com x j não dividindo Fj .. Na interseção D(xi ) ∩ D(x j ) temos que s(x) = ψi. . Fi (x) x, l xi. . = ψj. ou seja, Fi (x) −1 ψ j ◦ ψi x, l = xi Donde segue que . xi x, xj e. d. Fi (x) xli. !. =. ! Fj (x) , x, m xj ! Fj (x) . x, m xj Fj (x) x, m xj. !. xdi Fi (x) Fj (x) . = m , em D(xi ) ∩ D(x j ). xj xdj xli. Logo xdi xmj Fi = xdj xli Fj em D(xi ) ∩ D(x j ). Como Pn é irredutível, obtemos a igualdade de polinômios xdi xmj Fi = xdj xli Fj . Como xli não divide Fi xmj , então xli divide xdi . Da mesma forma mostra-se que xmj divide xdj . Logo xid−l Fi = xd−m Fj := F. Agora basta observarmos j que s = sF = φ(F).. Definição 2.13. Sejam π : Y → X um morfismo e E um fibrado vetorial sobre X , definimos π∗ E = {(y, v) ∈ Y × E; π(y) = p(v)}. Observação 2.4. Sejam Z ⊆ An fechado e △ : Z → Z × Z ⊆ An × An dada por △(z) = (z, z). Então △(Z) é fechado em An × An . De fato, como Z é fechado então Z = Z (F1 , . . . , Fm ), onde F1 , . . . , Fm ∈ K[X0 , . . .Xn ], então △(Z) = Z (F1 , . . . , Fm , X0 −Y0 , . . . Xm −Ym ), assim Z × Z é fechado..

(46) 25. Observação 2.5. Sejam Z ⊆ An um subconjunto fechado e U ⊆ An o aberto definido por U = An − Z (F1 , . . . , Fk ), onde F1 , . . . , Fk são polinômios em n variáveis. Se x ∈ Z ∩U , então x∈ / Z (F1 , . . . , Fk ) e portanto existe l ∈ {1, . . ., k} tal que Fl (x) 6= 0. Portanto x ∈ ZFl = Z ∩ D(Fl ). Donde segue que Z ∩U tem uma cobertura formada por abertos principais. Observemos agora que abertos principais são variedades afins. De fato, sejam Z ⊆ An um subconjunto fechado e Q um polinômio em n variáveis. Consideremos a função ϕ : ZQ −→ An+1 definida por ϕ(x) = (x, Q(x)−1 ). Observando que ϕ(ZQ ) = {(x,t) ∈ An |tQ(x) = 1} e que ϕ é um isomorfismo sobre sua imagem, segue que ZQ é uma variedade afim. Se X é uma variedade algébrica e (U, φ) é um atlas algébrico de X , satisfazendo as propriedades A1) e A2) da Definição 2.6. Por definição φ(U ) é um conjunto localmente fechado, logo ele pode ser coberto por abertos afins. A imagem inversa destes abertos afins, por φ, determinam uma cobertura de U por abertos afins. Segue portanto que X possui uma cobertura afim. Proposição 2.4. Se E é fibrado vetorial sobre X , então π∗ E = {(y, x) ∈ Y × E; π(y) = p(v)} é um fibrado vetorial sobre Y . Demonstração. π∗ E. P2. /. E. P1. P. . Y. π. /. . X. 1) Primeiramente precisamos mostrar que π∗ E ⊆ Y × E é uma variedade algébrica. Para isso provaremos que π∗ E é localmente fechado. Seja X uma variedade algébrica qualquer e △ : X → X × X dada por △(x) = (x, x). Afirmamos que △(X ) é localmente fechado em X × X . Se X = ∪iUi é uma cobertura de X por abertos principais, então △(X ) ⊆ ∪(Ui ×Ui ) e △(X ) = ∪△(Ui ) é fechado em ∪(Ui ×Ui ), pois △(X ) ∩ (Ui ×Ui ) = △(Ui ). Assim temos que △(X ) ∩ (∪i (Ui ×Ui )) = ∪i (△(X ) ∩ (Ui ×Ui )) = ∪i (△(X ) ∩ (Ui ×Ui )) = = ∪i △(Ui) = ∪i △(Ui ) = ∪i (△(X ) ∩ (Ui ×Ui )) = △(X ) ∩ (∪i(Ui ×Ui )) = △(X ). Se φ : Y × E → X × X é o morfismo definido por φ(y, v) = (π(y), p(v)), F = △(X ) e U = ∪(Ui ×Ui ), então φ−1 (F ∩U ) = φ−1 (F)∩φ−1 (U ) = π∗ E, ou seja, π∗ E é localmente fechado. Portanto π∗ E é uma variedade algébrica. 2) Considere o morfismo p1 : π∗ E → Y dado por p1 (y, v) = y. Sejam {Ui }i∈I a cobertura aberta de X satisfazendo a condição FV 1) da Definição 2.9 e ψi as funções que satisfazem as condições FV 2) e FV 3) para o fibrado E. S. FV1) Observe que Y = π−1 (Ui ) é uma cobertura aberta de Y . Queremos demonstrar −1 −1 −1 −1 −1 ∗ que p−1 1 (π (Ui )) = (π (Ui ) × p (Ui )) ∩ π E. Se (a, b) ∈ p1 (π (Ui )), então.

(47) 26. p(b) = π(a) = π(p1 (a, b)) ∈ Ui . Assim (a, b) ∈ (π−1 (Ui ) × p−1 (Ui )) ∩ π∗ E. Por−1 −1 −1 ∗ tanto p−1 1 (π (Ui )) ⊆ (π (Ui ) × p (Ui )) ∩ π E. Para a inclusão contrária, tome (a, b) ∈ (π−1 (Ui ) × p−1 (Ui )) ∩ π∗ E, então p1 (a, b) = a ∈ π−1 (Ui ), ou seja, (a, b) ∈ −1 p−1 1 (π (Ui )). Donde segue a igualdade. −1 FV2) Defina φi : π−1 (Ui ) × An → p−1 1 (π (Ui )) por φi (y, v) = (y, ψi (π(y), v)).. i) φi é injetiva. Sejam (y1 , v1 ), (y2 , v2 ) ∈ π−1 (Ui ) × An tais que φi (y1 , v1 ) = φi (y2 , v2 ). Da igualdade (y1 , ψi (π(y1 ), v1 )) = (y2 , ψi (π(y2 ), v2 )) e da injetividade de ψ, segue que y1 = y2 e v1 = v2 . ii) φi é sobrejetiva. −1 −1 −1 ∗ Se (a, b) ∈ p−1 1 (π (Ui )) = (π (Ui ) × p (Ui )) ∩ π E, então p(b) ∈ Ui e exitem x ∈ Ui e v ∈ An tais que b = ψi (x, v) e p(b) = p(ψi (x, v)) = x. Como (a, b) ∈ π∗ E, então p(b) = π(a) e assim x = π(a). Portanto (a, b) = φi (a, v).. iii) φi é um isomorfismo. O fato de π ser um morfismo, implica que π|π−1(Ui ) é um morfismo e como id é um. morfismo, segue que (π|π−1(Ui ) ◦ (p1 , p2 ), p2 ) é um morfismo. Sendo ψi um morfismo, segue que ψi ◦ (π|π−1(Ui ) , id) é um morfismo e φi = (p1 , ψi ◦ (π|π−1(Ui ) , id)) −1 é um morfismo. Observe ainda que φ−1 i = (p1 , p2 ◦ ψi ◦ p2 ) que por sua vez é um morfismo.. FV3) Observe que −1 −1 φ−1 j ◦ φi (y, v) = φ j (y, ψi (π(y), v)) = (y, p2 ◦ ψ j (ψi (π(y), v)) = (y, Ai, j (π(y))v),. tal que Ai, j (π(y)) é dada na relação ψ−1 j ◦ ψi (y, v) = (y, Ai, j (y)v).. Observação: π∗ E é um fibrado sobre Y do mesmo posto de E e é chamado de fibrado induzido. Proposição 2.5. Seja E um fibrado vetorial sobre X . Se s é uma seção de E então π∗ s : Y → π∗ E dada por π∗ s(y) = (y, s(π(y))) é uma seção de π∗ E. Demonstração. Temos que π∗ s(y) = (y, s(π(y))), então p(s(π(y))) = (p ◦ s)(π(y)) = π(y), assim π∗ s(y) ∈ π∗ E. Já que, π∗ s = (id, s ◦ π) e s, π e Id são morfismos, então s ◦ π é um morfismo e desse modo, π∗ s é um morfismo. Além disso, p1 (π∗ s)(y) = p1 (y, s ◦ π(y)) = y. Definição 2.14. Se s é uma seção de fibrado vetorial E sobre X , então a seção π∗ s de π∗ E é chamada de seção induzida..

(48) 27. Proposição 2.6. A aplicação φ : Γ(X , E) → Γ(Y, π∗ E) dada por φ(s) = π∗ s é linear. Demonstração. Sejam {Ui }i∈I a cobertura aberta de X satisfazendo a condição FV 1) da Definição 2.9 e ψi as funções que satisfazem as condições FV 2) e FV 3) para o fibrado E. Sejam s1 e s2 duas seções do fibrado vetorial E. Tome y ∈ π−1 (Ui ). Como p1 (π∗s j (y)) = y, segue −1 −1 ∗ que π∗ s j (y) ∈ p−1 1 (y) ⊆ p1 (π (Ui )), logo π s j (y) = φi (y, v j ) = (y, ψi (π(y), v j ) = (y, s ◦ π(y)), onde j = 1, 2 e φi foi definida na demonstração 2.4. Donde segue que, ψi (π(y), v) = (s ◦ π)(y).. (π∗ s1 + π∗ s2 )(y) = φi (y, v1 + v2 ) = (y, ψi (π(y), v1 + v2 )). Além disso, π∗ (s1 + s2 )(y) = (y, (s1 + s2 )(π(y)) = (y, ψi (π(y), v1 + v2 )). Portanto π∗ (s1 + s2 ) = π∗ s1 + π∗ s2 , isto é, φ(s1 + s2 ) = φ(s1 ) + φ(s2 ). Observemos ainda que, λπ∗ s1 (y) = φi (y, λv1) = (y, ψi (π(y), λv1)) = (y, (λs1)(π(y)) = π∗ (λs1)(y), ou seja, φ(λs1) = λφ(s1). Definição 2.15. Sejam X uma variedade algébrica e E um fibrado vetorial sobre X . Dada uma seção s ∈ Γ(X , E). Seja Z (s) = {x ∈ X ; s(x) = 0}, então Z (s) ⊆ X é fechado e é chamado variedade de zeros de s. Definição 2.16. Sejam X uma variedade algébrica e E um fibrado vetorial em linha sobre X . Dizemos que uma coleção {s1 , . . . , sk } ⊆ Γ(X , E) gera E se X =. k [. Xsk , ou seja, ∀x ∈ X existe. i=1. si tal que si (x) 6= 0, onde Xsk = X − Z (sk ). Proposição 2.7. Uma coleção {s1 , . . ., sk } ⊆ Γ(X , E) gera E se p−1 (x) =< s1 (x), . . . , sk (x) > para todo x ∈ X . Demonstração. (⇒) Sejam {Ui }i∈I a cobertura aberta de X satisfazendo a condição FV 1) da Definição 2.9 e ψi as funções que satisfazem as condições FV 2) e FV 3) para o fibrado E. Suponha que x ∈ Ui e y ∈< s1 (x), . . . , sk (x) >, então existem λ1 , . . . , λk tais que y =. k. ∑ λisi(x).. i=1 k. k. i=1. i=1. Assim y = ∑ λi ψi (x,ti ) = ψi (x, ∑ λi vi ), onde ψ j (x, vi ) = si (x). Segue que k. p(y) = p(ψi (x, ∑ λiti )) = x, i=1. ou seja, y ∈ p−1 (x). Portanto < s1 (x), . . ., sk (x) >⊆ p−1 (x). Seja y ∈ p−1 (x), então y = ψi (x, λ).

(49) 28. e existe j tal que s j (x) 6= 0. Além disso existe β ∈ k − {0} tal que s j (x) = ψi (x, β). Já que λ λ s j (x) = ψi x, β = y, β β então y ∈< s1 (x), . . ., sk (x) > . (⇐) Seja x ∈ X tal que si (x) = 0 para todo i, então p−1 (x) =< 0 >. Logo p−1 (x) ≃ {x} × 0, o que é uma contradição, pois p−1 (x) ≃ {x} × A1 . Assim existe si tal que si (x) 6= 0, ou seja, k [. x ∈ Xsi . Assim X ⊆. Xsi , como Xsi ⊆ X para todo i, então X = ∪ki=1 Xsi .Portanto {s1 , . . . sk }. i=1. gera E. Definição 2.17. Se existe uma coleção {s1 , . . . , st } ⊆ Γ(X , E) de seções que geram E, dizemos que E é gerado por suas seções globais. Exemplo 2.6. A coleção {sxd , . . . , sxdn } de seções Γ(X = Pn , OPn (d)) gera OPn (d). Basta mostrarmos que Pn ⊆. n [. i=1. 0. Xs d . Seja (a0 : . . . : an ) ∈ Pn , então ai 6= 0 para algum i. Portanto xi. adi sxd (a0 : . . . : an ) = ψi (a0 : . . . : an ), d = ψi ((a0 : . . . : an ), 1) 6= 0. i ai Assim (a0 : . . . : an ) ∈ Xs d e xi. Pn. ⊆. n [. Xsxd .. i=0. i. Proposição 2.8. Seja X uma variedade algébrica. Existe uma bijeção do conjunto dos morfismos φ : X → Pn para a coleção de (n + 1) seções {s0 , . . . , sn} ⊆ Γ(X , L) de um fibrado vetorial em linha L tal que {s0 , . . . , sn } gera L. Demonstração. Sejam ϕ : X → Pn um morfismo, L = ϕ∗ OPn (1) um fibrado em linha sobre X e ϕ∗ sxi seções de X . Afirmamos que {ϕ∗ sx0 , . . ., ϕ∗ sxn } gera L. Para verificarmos isso basta mostrarmos que X ⊆. n [. Xϕ∗sxi . Seja x ∈ X , então podemos supor que ϕ(x) = (x0 : . . . : xn ) com. i=0. xi 6= 0 para algum i. Logo ϕ∗ sxi (x) = (x, sxi (ϕ(x))) = (x, sxi (x0 : . . . : xn )) = xi = (x, ψi ((x0 : . . . : xn ), 1)) 6= 0 = x, ψi (x0 : . . . : xn ), xi e portanto x ∈ X. ϕ∗ sxi. . Então X ⊆. n [. Xϕ∗ sxi .. i=0. Seja f a aplicação que leva os morfismos ϕ : X → Pn na coleção de seções {s0 , . . ., sn } como descrita acima..

(50) 29. 1. Injetividade de f Queremos mostrar que se f (ϕ) = f (γ), então ϕ = γ, onde ϕ e γ são dois morfismos. Suponha que ϕ∗ sxi = γ∗ sx j , então ϕ∗ sxi (x) = γ∗ sx j (x) ∀x ∈ X . Se ϕ(x) ∈ D(xk ) e γ(x) ∈ D(xl ), então (γ(x)) j (ϕ(x))i ∗ ∗ ϕ sxi (x) = x, ψk ϕ(x), e γ sx j (x) = x, ψl γ(x), , (ϕ(x))k (γ(x))l (γ(x)) (ϕ(x)) e portanto ψk ϕ(x), (ϕ(x)) i = ψl γ(x), (γ(x)) j . Já que k. l. (ϕ(x)) j (γ(x)) j (ϕ(x))i −1 ϕ(x), Al,k (ϕ(x)) = ψl ◦ ψk ϕ(x), = γ(x), (ϕ(x))k (ϕ(x))k (γ(x))l. então ϕ(x) = γ(x). Portanto ϕ = γ. 2. Sobrejetividade Sejam {s0 , . . ., sn } ⊂ Γ(X , L) seções que geram um fibrado em linha L sobre X , {Ui }i∈I a cobertura aberta de X satisfazendo a condição FV 1) da Definição 2.9 e ψi as funções que satisfazem as condições FV 2) e FV 3) para o fibrado E. Então. S. j (Xsi ∩U j ) = Xsi. ψ. j / p−1 (U j ) KKK KK K p π KKKK K% . U j × A1. Uj. Seja x ∈ U j ∩ Xsi para cada k ∈ {0, 1, . . .n} sk (x) ∈ p−1 (U j ) e existe tik (x) ∈ A1 e x ∈ U j tal que ψ j (x,tik (x)) = sk (x). Defina ϕi j : Xsi ∩U j → Pn por ϕi j (x) = (t0 j (x) : t1 j (x) : . . . : tn j (x)). (a) Como x ∈ Xsi , temos si (x) 6= 0 e portanto ti j (x) 6= 0; (b) seja x ∈ (Xsi ∩ U j ) ∩ (Xsl ∩ Ur ) então si (x) 6= 0, sl (x) 6= 0, ti j (x) 6= 0, tlr (x) 6= 0. Sabemos que si (x) = ψ j (x,ti j (x)) e sl (x) = ψr (x,tlr (x)), então ψ−1 r ◦ ψr (x,ti j (x)) = (x, Ar j (x)ti j (x)). Assim podemos observar que ψr (x,t0r ) = s0 (x) e ψ j (x,t0 j (x)) = s0 (x), então ψ−1 r ◦ ψ j (x,t0 j (x)) = (x,t0r (x)) donde segue que (x, Ar j (x)t0 j (x)) = (x,t0r (x)) e Ar j (x)t0 j (x) = t0r (x), seguindo o mesmo raciocínio para s1 , . . ., sn temos que (t0r (x) : . . . : tnr (x)) = (Ar j (x)t0 j : . . . : Ar j (x)tn j (x)) = (t0 j (x) : . . . : tn j (x)) e portanto ϕi j |Xsi ∩U j ∩Ur = ϕlr |Xsl ∩U j ∩Ur.

(51) 30. Observe que para x ∈ Xsi ∩U j temos ψ j (x,ti j (x)) = si (x), então −1 −1 ψ−1 j ◦ ψ j (x,ti j (x)) = ψ j ◦ si (x) e π2 (x,ti j (x)) = π2 ◦ ψ j ◦ si (x). assim ti j = π2 ◦ ψ−1 j ◦ si é um morfismo, pois si e π2 são morfismo e ψ j é um isomorfismo. Assim definindo ϕ : X → Pn por ϕ|Xsi ∩U j = ϕi j , segue que ϕ é um morfismo..

(52) 31. 3. Ações de grupos. 3.1 Grupos algébricos Definição 3.1. Um grupo algébrico é uma variedade algébrica G munida de uma estrutura de grupo tal que as funções: 1) m : G × G → G, onde m(g1 , g2 ) := g1 g2 , 2) i : G → G, onde i(g) = g−1 são morfismos. Definição 3.2. Um morfismo de grupos algébricos G e H é uma aplicação regular de variedades algébricas ϕ : G → H satisfazendo: 1) ϕ(a, b) = ϕ(a).ϕ(b) para todo a, b ∈ G. 2) ϕ(eG ) = eH . Dentre os grupos algébricos, os mais importantes em aplicações são os grupos ditos clássicos, obtidos como subconjunto do conjunto Mn := { matrizes de tamanho n × n com entradas em k e n ∈ N} Veremos a seguir que o conjunto Mn tem uma estrutura de variedade algébrica afim. Considere as entradas de uma matriz A = (ai j ) de tamanho n × n como coordenadas, em 2. alguma ordem previamente escolhida, de um vetor (. . . : ai j : . . .) ∈ An . Temos portanto uma 2 bijeção entre Mn e An que define em Mn uma estrutura de variedade algébrica afim. Exemplo 3.1. Considere GLn (k) := {A ∈ Mn ; det(A) 6= 0}. Usando a identificação anterior 2 vemos que GLn (k) = An − Z (H), onde H = det(. . ., Xi j , . . .) =. ∑ εσX1σ(1) X2σ(2) . . . Xnσ(n),. σ∈Sn.

(53) 32. σ é uma permutação de n elementos, εσ é o sinal da permutação σ e Xi j , ∀ i = 1, . . ., n e 2. ∀ j = 1, . . ., n, são as coordenadas de An . Considere a aplicação GLn (k) × GLn (k). m:. →. GLn (k) n. ((a11 . . . . , ann ), (b11 , . . ., bnn )) 7→ (. . .,. ∑ aik bk j , . . .). k=1. | {z }. entrada (i, j) 2. 2. Tomando Xi j e Ykl como coordenadas afins de An × An , vemos que n. Fi j (. . ., Xi j , . . .) =. ∑ XikYk j ∈ k[X11, . . . , Xnn,Y11 , . . .,Ynn ]. k=1. ∀ i = 1, . . . , n , ∀ j = 1, . . .n e ∀ k = 1, . . . n e que m((X11. . . . , Xnn ), (Y11 , . . . ,Ynn )) = (. . ., Fi j (. . ., Xi j , . . .), . . .). | {z } entrada (i, j). Portanto m é uma multiplicação regular.. Segue da regra de Cramer, que o elemento (i, j) da matriz A−1 denotado por (A−1 )i j , é dado por i+ j (A−1 i j ) = (−1). det(Bi j ) , det(A). onde Bi j é a submatriz de A obtida eliminando-se a sua j−ésima linha e a i-ésima coluna. Como i+ j (A−1 i j ) = (−1). det(Bi j ) 1 ∈ A(GLn (k)) = k[. . ., Xi j , . . . , ][ ], det(A) det(. . ., Xi j , . . .). temos que a aplicação i:. GLn (k) → GLn (k) (. . ., ai j , . . .) 7→ (. . ., (A−1 )i j , . . .). é regular. Logo GLn 9k) é um grupo algébrico. Exemplo 3.2. Seja SLn = {A ∈ Mn ; det(A) = 1}. Por definição SLn (k) é um subconjunto fechado de GLn (k). Além disso, se A, B ∈ SLn (k) então m(A, B) ∈ SLn (k) e i(A) ∈ SLn (k). Logo SLn (k) é grupo algébrico. Exemplo 3.3. Considere PGLn (k) := GLn (k)/ ∼, onde A ∼ B em GLn (k), se e somente se, existe λ ∈ k − 0, tal que A = λB. Considere a aplicação m :. PGLn (k) × PGLn (k). −→. ((a11 : . . . : ann ), (b11 : . . . : bnn )). 7→. PGLn (k) n. (. . . :. ∑ aik bk j : . . .). k=1. | {z }. entrada (i, j).

(54) 33. m está bem definida, pois dados (a11 : . . . : ann ) = A e (b11 : . . . : bnn ) = B em GLn (k) , então n. 0 6= det(A).det(B) = det(AB) e AB = (. . . :. ∑ aik bk j : . . .).. k=1. | {z }. entrada (i, j). Além disso se λ(a11 : . . . : ann ) ∈ PGLn (k) e ν(b11 : . . . : bnn ) ∈ PGLn (k), então m((λa11 : . . . : λann ), (νb11 : . . . : νbnn )) = (. . . :. n. ∑ λνaik bk j : . . .) = (. . . :. k=1. |. {z. }. entrada (i, j). em PGLn (k). 2. n. ∑ aik bk j : . . .).. k=1. | {z }. entrada (i, j). 2. Se Xi j e Y ji são coordenadas de An × An . Então n. Fi j =. ∑ XikYk j ∈ k[X11, . . ., Xnn,Y11 , . . . ,Ynn ]. k=1. é polinômio homogêneo de grau 2, para todo i = 1, . . . , n, j = 1, . . .n e k = 1, . . .n e m((. . . : Xi j : . . .), (. . . : Yi j : . . .)) = (. . . : Fi j : . . .). Logo, m é aplicação regular. A aplicação i([A]) = [A−1 ] em PGLn(k) coincide com a aplicação i :. PGLn (k) −→ PGLn (k) −1 (. . . : akl : . . .) 7−→ (. . . : Ai j (. . . : akl : . . .) : . . .). que também é regular pois. ∑. A−1 i j (. . . : Xkl : . . .) =. ˆ . . . Xnσ(n) ∈ k[X11 , . . ., Xnn ] εσ X1σ(1) . . . Xiσ(i). σ∈Sn ,σ(k)6= j,. ˆ ∀k∈{1,...,i,...,n}. é polinômio homogêneo.. 3.2. Ações de grupo. Definição 3.3. Uma ação de um grupo algébrico G em uma variedade X é uma aplicação regular ϕ : G×X → X que satisfaz 1) ϕ(e, x) = x, ∀ x ∈ X . 2) ϕ(g, ϕ(h, x)) = ϕ(gh, x), ∀ x ∈ X ∀ g, h ∈ G..

(55) 34. Exemplo 3.4. O grupo PGLn+1 (k) age em Pn da seguinte maneira ϕ :. PGLn+1 × Pn. −→. Pn n+1. ((a11 : . . . : a(n+1)(n+1) ), (b1 : . . . : bn+1 )) 7−→ (. . . :. ∑ ai j b j : . . .). j=1. É fácil ver ver que ϕ é regular, que ϕ(e, x) = x e que ϕ(g, ϕ(h, x)) = ϕ(gh, x). Definição 3.4. Dada uma ação de um grupo algébrico G sobre uma variedade X e um ponto x ∈ X , definimos o estabilizador de x como sendo a subvariedade fechada Gx := {g ∈ G; ϕ(g, x) = x} ⊆ G; e a órbita de x como sendo o conjunto. O (x) := {ϕ(g, x); g ∈ G} ⊆ X . Definição 3.5. Dizemos que um subgrupo Y ⊆ X é invariante pela ação de G, ou G-invariante, se ϕ(g,Y ) = Y para todo g ∈ G. Observação 3.1. Toda órbita é G-invariante. De fato, sejam x ∈ X e Y = O (x). Dado y ∈ Y temos que y = ϕ(g, x) para algum g ∈ G. Para cada g1 ∈ G, temos que ϕ(g1 , y) = ϕ(g1 , ϕ(g, x)) = ϕ(gg1 , x) ∈ Y. Portanto ϕ(g1 ,Y ) ⊆ Y . Reciprocamente, ∀ y ∈ Y , temos y = ϕ(g1 , g−1 1 y) ∈ ϕ(g,Y ). Logo ϕ(g,Y ) = Y , para todo g1 ∈ G. Além disso, é verdade também que se Y ⊆ X é invariante então O (y) ⊆ Y para todo y ∈ Y . Definição 3.6. Dizemos que G age transitivamente sobre um subconjunto G-invariante Y ⊆ X se Y é uma órbita. Suponha que G é um grupo algébrico agindo em uma variedade algébrica X . Para qualquer f ∈ A(X ) e g ∈ G, definimos a função f g : X → k por: f g (x) = f (gx). ′. ′. É fácil ver que f gg = ( f g )g e f e = f . Além disso, para qualquer g ∈ G a aplicação f → f g é um automorfismo de k-álgebras de A(X ). Dessa maneira temos que a aplicação definida a seguir é uma ação G em A(X ) σ : G × A(X ) → A(X ) (g, f ) → f g ..

(56) 35. Denotaremos por A(X )G o seguinte conjunto { f ∈ A(X ); f g = f , ∀ g ∈ G}.. 3.3 Quociente categórico Definição 3.7. Seja G um grupo agindo em uma variedade algébrica X . Um quociente categórico de X por G é um par (Y, π), onde Y é uma variedade algébrica e π é um morfismo tal que:(HARRIS, 1995) i) π é constante nas órbitas; ii) (Propriedade Universal). Para toda variedade Z e qualquer morfismo ρ : X → Z, constante nas órbitas, existe um único morfismo f : Y → Z tal que f ◦ π = ρ X ρ. . π. /Y !f. Z. Proposição 3.1. O quociente categórico é único a menos de isomorfismo. Demonstração. Suponhamos que existam (π,Y ) e (π′ ,Y ′ ) satisfazendo as condições da Definição (3.7). Então existe uma única f tal que f ◦ π′ = π e uma única g tal que g ◦ π = π′ . Vamos mostrar que f ◦ g = IdY ′ e g ◦ f = IdY . De fato, como f ◦ π′ = π então g ◦ f ◦ π′ = g ◦ π = π′ = IdY ◦ π′ ⇒ g ◦ f = IdY . Analogamente, g ◦ π = π′ implica f ◦ g ◦ π = f ◦ π′ = π e f ◦ g = IdY ′ . Portanto Y é isomorfo a Y ′. π. /Y ? g ′ π f ′. X. Y. π. / ? Y π !IdY . X. Y. X π′. π′ / ′ ~> Y. ~~ ~~ ~ ~~ !IdY ′. Y′. Notação: Algumas vezes denotaremos Y por X /G, quando (Y, π) for o quociente categórico de X por G. Definição 3.8. Se π−1 (y) consiste de uma única órbita para todo y ∈ Y , chamamos (Y, π) de um espaço de órbitas. Definição 3.9. Seja G um grupo agindo em duas variedades X e Y . Dizemos que um morfismo φ : X → Y é um G-morfismo se φ(gx) = gφ(x) para todo g ∈ G, x ∈ X . Quando a ação de G em Y for trivial, isto é, quando gy = y, para todo g ∈ G e para todo y ∈ Y , chamaremos um G−morfismo, de G−invariante..

(57) 36. Lema 3.2. A definição de quociente categórico é local no seguinte sentido: se π : X → Y é um morfismo e {Ui }i∈I é uma cobertura aberta para Y com a propriedade que para cada (Ui , πi ) é um quociente categórico de Ui por G, onde πi = π|π−1(Ui ) , então (Y, π) é o quociente categórico de X por G. Demonstração. Sejam π : X → Y um G-morfismo e {Ui }i∈I uma cobertura aberta de Y como no enunciado.Para mostramos que (Y, π) é o quociente categórico de X por G primeiro veremos que π é constante nas órbitas. Seja x ∈ X = ∪i∈I π−1 (Ui ). Então x ∈ π−1 (Ui ) para algum i e π(x) = πi (x) = πi (gx) = π(gx), para todo g ∈ G, pois πi é constante nas órbitas. Agora devemos mostrar que dado um morfismo f : X → Z constante nas órbitas, existe um único morfismo ϕ : Y → Z tal que ϕ ◦ π = f . Para isso, considere o seguinte diagrama πi π. #_ ?U i GG pp p GG p GG ppp f pppϕi f |π−1 (U ) GGG p p # wppp i. π−1 (Ui ) . . /. X. /Y o. Z. Como (Ui , πi ) é um quociente categórico de π−1 (Ui ) por G, existe um único morfismo ϕi : Ui → Z tal que ϕi ◦ πi = f |π−1 (Ui ) . Se mostrarmos que ϕi e ϕ j coincidem em Ui ∩U j teremos que a apli-. cação ϕ : Y → Z definida por ϕ|Ui = ϕi é um morfismo e que ϕ ◦ π = f . Mas dado y ∈ Ui ∩U j temos que y = π(x) para algum x ∈ π−1 (U j ) ∩ π−1 (Ui ), então ϕi (y) = ϕi (πi (x)) = f (x) e ϕ j (y) = ϕ j (π j (x)) = f (x).. Logo ϕi (y) = ϕ j (y), para todo y ∈ Ui ∩ U j . Observe que se x′ ∈ π−1 (U j ) ∩ π−1 (Ui ) é outro elemento tal que y = π(x′ ), então ϕi (y) = ϕi (πi (x′ )) = f (x′ ) e ϕ j (y) = ϕ j (π j (x′ )) = f (x′ ). A unicidade de ϕ segue da unicidade das ϕi ′s. Observação 3.2. Quando o quociente categórico (Y, π) de X por G existe e Y é um espaço de órbitas, o homomorfismo π∗ : A(Y ) → A(X ) é um isomorfismo sobre A(X )G. De fato, Y espaço de órbitas implica que π é sobrejetiva e que π∗ é um homomorfismo injetor. Devemos mostrar que π∗ (A(Y )) = A(X )G, seja f ∈ A(Y ). Então (π∗ f )(gx) = f (π(gx)) = f (π(x)) = (π∗ f )(x). Logo, π∗ (A(Y )) ⊆ A(X )G. Para mostrarmos a inclusão contrária, seja f ∈ A(X )G . Como (π,Y ) é o quociente categórico e f : X → k é constante nas órbitas, existe uma única f ′ : Y → k tal que f ′ ◦ π = f , ou seja, f = π∗ ( f ′ ), com f ′ ∈ A(Y )..

(58) 37. 3.4 Quociente de variedades afins por grupos finitos Nesta seção mostraremos que se X for uma variedade algébrica afim e G um grupo finito agindo em X , então o espaço de órbitas de X por G existe e será uma variedade algébrica afim. Pela Observação 3.2 devemos mostrar inicialmente que A(X )G é uma álgebra finitamente gerada e, pelo que mostraremos a seguir, veremos que esta condição é necessária e suficiente. De fato, se A(X )G for uma k-álgebra finitamente gerada, existem a1 , . . . , an ∈ A(X )G tais que A(X )G = k[a1 , . . ., an ] = {P(a1, . . . , an ); P ∈ k[T1 , . . . , Tn ] é um polinômio }. Assim, podemos definir o homomorfismo sobrejetor ϕ : k[T1 , . . ., Tn ] −→ A(X )G = k[a1 , . . ., an ] P(T1 , . . ., Tn ) 7−→ P(a1 , . . . , an ) tal que k[T1 , . . ., Tn ]/(ker ϕ) ≃ A(X )G. Se ker ϕ := I e Y = Z (I) ⊆ An , então pelo Teorema dos Zeros de Hilbert, o ideal da variedade Y , denotado por UY , e definido por. UY = {F ∈ k[z0 , . . . , zn ]; F(a) = 0 ∀ a ∈ Y }, é tal que UY = I e A(Y ) = k[T1 , . . . , Tn ]/UY ≃ A(X )G . Neste caso, Y será o candidato a quociente categórico. Teorema 3.3. Seja X uma variedade algébrica afim e G grupo finito agindo em X . Então A(X )G é uma k-álgebra finitamente gerada. Demonstração. Sejam UX o ideal da variedade X e A(X ) = k[X1, . . . , Xn]/UX . Observe que podemos escrever A(X ) = K[Y1 , . . .,Ym ]/UX com m ≥ n, onde G age em Xi por permutação, ou g seja, {Y1 , . . .Ym } = {Xi ; g ∈ G e i = 1, . . ., n}. Seja ψ : k[Y1 , . . . ,Ym ] −→ G. . k[Y1 , . . . ,Ym ]. UX. G. P 7−→ P g. g. Onde P ∈ k[Y1 , . . .Ym ]G é tal que Pg (Y1 , . . . ,Yn ) := P(Y1 , . . .,Ym ) = P(Y1 , . . . ,Ym ) para todo g ∈ G. Afirmamos que ψ é sobrejetora. 1 De fato, dado P ∈ (k[Y1 , . . . ,Yn ]/UX )G , considere Q = |G| ∑g∈G Pg ∈ k[Y1 , . . . ,Ym ]. Se g′ ∈ G então !g′ ′ ′ 1 1 1 Qg = Pg = Pgg = ∑ ∑ ∑ Pg = Q, |G| g∈G |G| (g′ g)∈G |G| g∈G.