Apostila CN APF Equacoes Sistemas ed2005

unesp

CAMPUS DE GUARATINGUETÁ Computação e Cálculo Numérico

Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática – Ed. 2005.

CAPÍTULO 1

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

1.1. Representação de Números num Sistema de Aritmética de Ponto Flutuante

O Sistema Computacional de Aritmética de Ponto Flutuante é utilizado por calculadoras e computadores na representação dos números e execução das operações. Um número qualquer na base β em aritmética de ponto flutuante de t dígitos tem a forma:

e t d d d _β ×β ±(. _{1 2}... ) onde (.d d_{1 2}... )d_t é a mantissa , 0 ≤ dj ≤ β - 1, j = 1, ... t e é um expoente no intervalo [m, M] Observações:

- m, M dependem da máquina utilizada

- um número em aritmética de ponto flutuante está normalizado se d₁≠ 0

- o número máximo de dígitos da mantissa (t) é definido em termos do comprimento da palavra do computador

- dado um número N, sua representação em aritmética de ponto flutuante de t dígitos é efetuada por truncamento ou arredondamento. - erros decorrentes da impossibilidade de se representar um número dado:

"OVERFLOW" SE e > M "UNDERFLOW" SE e < m

Preservamos o máximo de exatidão normalizando todos os resultados.

Ex.: t m M = = − = = 3 4 10 4 β REPRESENTAÇÃO x ARREDONDAMENTO TRUNCAMENTO 1,25 2.71828 -238.15 0.000007 718235.82 0.125 x 10 0.272 x 10 -0.238 x 103 - - 0.125 x 10 0.271 x 10 -0.238 x 103 - -

Uma representação com t dígitos na mantissa é dada estar em precisão simples. Um sistema de precisão dupla é um sistema de aritmética de ponto flutuante com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis para a mantissa

1.2. ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS

ERRO ABSOLUTO: É a diferença entre o valor exato de um número

x e seu valor aproximado x :

EA_X = − x x

Ex.: π ∈ 314 315

(

. , .

)

, π um valor tomado dentro deste intervalo,

EA_π = π π− < 0 01. (limitante superior p/ o módulo do erro)

Ex.:

(

)

x x EA_x = ⇒ ∈ < 2112 9 2112 8 2113 01 . . , . EAy y y < = ⇒ ∈ 0 1 5 3 5 2 5 4 . . ( . , . )

ERRO RELATIVO: É o quociente do erro absoluto pelo valor

aproximado: ER EA x x x x x x = = − Ex.: x ER EA x x EA x x x = ⇒ = < ≅ < − 2112 9 01 2112 9 4 7 10 01 5 . . . , . 1 . 0 02 . 0 3 . 5 1 . 0 3 . 5 < ≅ < = ⇒ = y y y EA y EA ER y

∴ o erro relativo fornece uma indicação do grau de precisão da representação.

1.3. ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Se um dado número x não tem representação finita na base numérica empregada numa máquina, ou se o comprimento da palavra não comporta x, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por truncamento. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de t dígitos (base 10); x pode ser escrito na forma:

. 1 0 1 1 . 0 10 10 + × ≤ < ≤ < × = − x x t e x e x g onde f e g f x Exemplo: 7 . 0 2345 . 0 10 7 . 0 10 2345 . 0 57 . 234 , 4 1 3 = = ⇒ × + × = = = − x x e g f x x t TRUNCAMENTO: O termo ter) pode f que mínimo valor o é 0.1 (pois 10 10 1 . 0 10 10 10 ) 1 | g | (pois 10 10 10 do despreza é 10 x 1 x + − − − − − − = × < × × = = < < × = − = × = ∴ × t e t e e x t e x x x t e t e x x e x t e x f g x EA ER g x x EA f x g ARREDONDAMENTO: Arredondamento simétrico:       ≥ + × < × = − 2 1 , 10 10 2 1 , 10 x t e e x x e x g se f g se f x 1 10 2 1 10 1 . 0 10 2 1 10 10 10 2 1 10 : 2 1 + − − − − − × = × × < × × = = < × = − = < t e t e e x t e x x x t e t e x x x f g x EA ER x g x x EA g Se

(

) (

)

(

)

10 2 1 10 1 . 0 10 2 1 10 10 2 1 10 10 10 2 1 10 2 1 10 1 10 10 10 10 10 10 : 2 1 1 + − − − − − − − − − − − × = × × < × × < + × × ≤ = × ≤ × − = − × = + × − + × = − = ≥ t e t e e x t e t e e x t e x x t e t e x t e t e x t e e x t e x e x x x f f x EA ER x g g f x g f x x EA g Se

RESUMO TRUNCAMENTO EA ER x e t x t < < − − + 10 10 1 ARREDONDAMENTO 1 10 2 1 10 2 1 + − − × < × < t x t e x ER EA Exemplo: 2 4 10 1272 . 0 ? 10 937 . 0 × = = + × = y y x x Solução

A mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para a direita de um número de casas igual à diferença entre os dois expoentes. { x x y x x y x x = = ∴ + = + = − 0 937 10 0 001272 10 0 937 0 001272 10 0 938272 10 4 4 2 4 4 4 . . ( . . ) . resultado exato 1442443 Sistema com t = 4 truncamento x y x arredondamento x y x = + = = + = 0 9382 10 0 9383 10 4 4 . .

Para o caso de arredondamento:

4 1 4 1 5 10 5 10 2 1 10 2 1 10 9841 . 2 9383 . 0 9383 . 0 938272 . 0 ) ( ) ( − + − + − − + = = < = − = + + − + = x x y x y x y x ER t y x Ex.: x x x x 1 2 1 01246 10 0 3290 10 = = ._. −

(

)

) ( 10 1278 . 10 1278 . 10 003290 . 1246 . 10 3290 . 10 1246 . 1 2 1 1 1 1 1 2 1 o truncament x x x x x × = + ∴ × = + = × + × = + − Exemplo: x.y = ? Solução: 6 6 6 6 2 4 10 1192 . 0 . 10 1191 . 0 . 10 1191864 . 0 10 ) 1272 . 0 937 . 0 ( ) 10 1272 . 0 ( ) 10 937 . 0 ( . × = × = ∴ × = × = × = y x ento arredondam y x o truncament x x x y x

O zero em ponto flutuante é, em geral, representado com o menor expoente possível da máquina. O exemplo a seguir ilustra a razão desta necessidade. Exemplo: x x y x x y x x x y x = = ⇒ + = + = ⇒ + = 0 0000 10 01234 10 0 0000 0 001234 10 0 001234 10 0 0012 10 4 2 4 4 4 . . ( . . ) . .

∴ Exemplo de zero de ponto flutuante: 0 0000 10_. 50

x −

1.4. PROPAGAÇÃO DE ERRO

Obtenção de expressões para os erros absoluto e relativo no resultado de cada uma das quatro operações aritméticas, como funções de seus operandos e de seus erros.

(a) Adição (x+y)

) ( ) ( ) ( ) (x EA_x y EA_y x y EA_x EA_y y x+ = + + + = + + + ∴EA_{x y+} = EA_x+EA_y ER EA x y EA x x x y EA y y x y x y x y x y + + = + = +       + +       = . ⇒ ER ER x x y ER y x y x y+ = x ₊ y       + +       . (b) Subtração (x-y) EA_{x y−} = EA_x−EA_y ER ER x x y ER y x y x y− = x ₋ y       − −       . (c) Multiplicação: (x.y) x y. =(x+EA_x).(y+EA_y)=xy+xEA_y+yEA_x+ ∴ ER_{x y.} = x EA. _y+y EA. _x ER x EA y EA x y EA x EA y x y y x x y . . . . = + = + ∴ ER_{x y.} =ER_x+ER_y (d) Divisão (x/y) x y x EA y EA x EA y EA y x EA y EA y x y x y x y = + + = + +       = +  +      − . 1 1 1 1

aproximaç ão do binômio r n nr p r (1+ ) ≅ +1 , / << 1 ∴ ≅ +  −      x y x EA y EA y x y . 1 = x− + − y xEAy y EAx y 2 ∴ ≅ + − ∴ ≅ − x y x y EA y x EA y EA EA y x EA y x y x y x y . . / 2 2 ∴EA y EA x EA y x y x y / . . = −2 ER y EA xEA y y x EA x EA y x y x y x y / . . = −₂ = − ∴ER = EA − x EA y x y x y / ∴ERx y/ =ERx−ERy Exemplo:

Sistema de aritmética de ponto flutuante

t = 4 = 10 β dos representa exatamente meros nú 10 2585 . 0 10 2145 . 0 10 7237 . 0 1 3 4      × = × = × = − z y x

Efetuar as operações e obter o erro relativo no resultado (arredondamento) (a) x + y + z (d) (x y)/z (b) x - y -z (e) x . (y/z) (c) x/y Solução de (b) { w x y z s s = − − 1 2 1 24 34 4 1 4 4 1 10 7237 . 0 10 72369998 . 0 10 ) 00000002 . 0 7237 . 0 ( × = ∴ × = × − = − = s y x s 4 2 4 4 1 2 3 1 4 1 10 7234 . 0 10 7234415 . 0 10 ) 0002585 . 0 7237 . 0 ( 10 2 1 10 2 1 × = ∴ × = × − = − = × = × < ∴ − + − s z s s ERs

ERs ERs s s z 2 1 1 1 = −       − . z s₁−z RA       + 1 4 3 2 ₂ 10 1 7234 . 0 7237 . 0 10 2 1 − _{× + ×} − + < ∴ERs x 3 4 3 2 10 0002 . 1 10 7234 . 0 10 0002 . 1 − − − − × < × = − − ∴ × < z y x ER z y x ERs Exercício:

Supondo que x é representado num computador por x, onde x é

obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=2x e w=x+x.

Respostas: ERu ERw t t < < − + − + 10 10 1 1 Exercício: Idem para u 3x e w = x + x + x Respostas: ERu <₁₀− +t e ERw <4 x − +t 3 10 1 1 Exercício:

Sejam x e y as representações de x e y obtidas por arredondamento

em um computador. Deduza expressões de limite de erro para mostrar

que o limite do erro relativo de u = 3x- y é menor que o limite do erro relativo de w=(x+ +x x)− y.

Respostas:

ERu <2 10x − +t 1 ERw <7₃x10− +t 1

Exemplo:

Solução do item (d) do exemplo anterior:

{ 1 1 1 3 4 1 10 1552 . 0 10 152336 . 0 10 2145 . 0 7237 . 0 ( . / ) . ( 2 1 × = ∴ × = × = = = − s x y x s z y x w s s₂₄₃ 1 6004 . 0 6003868 . 0 10 ) 2585 . 0 1552 . 0 ( 10 2 1 10 2 1 10 2 1 10 2 1 2 1 1 1 2 3 1 3 1 4 1 1 = ∴ = × = = < ∴ × = = × < ∴ − − − + − + − s z s s ERs ERs t

∴ < − + − = − ERs₂ 1 3 3 3 210 1 210 10 ∴( . ) / . ( . ) / x y z ER x y z = < − 0 6004 103

Solução do item (e): w x y z s s = . ( / ) 1 2 123 124 34 4 1 4 1 3 1 10 8298 . 0 10 8297872 . 0 10 ) 2585 . 0 2145 . 0 ( − − − × = × = × = = s z y s 6005 . 0 6005262 . 0 10 ) 8298 . 0 7237 . 0 ( . 2 4 4 1 2 = ∴ = × = = − s x s x s

ERs2= ERs1 RA ERs2 1 3 3

210 1 210 + ∴ < − + − ⇒ < − ERs_{2 10} 3 ∴( . ) /x y _{.( / )}z . ERx y z = < − 0 6005 103

Ex.: implementação com dígito de proteção ou dígito de guarda:

(imediatamente à direita da mantissa do número de menor expoente).

(

)

3 3 2 1 2 2 3 1 10 07467 . 10 03173 . 1064 . 10 3173 . 10 1064 . × = × − = + × − = × = x x x x

com dígito de guarda: x₁₊x_{2 =.7467} x ₁₀2 sem digito de guarda: x₁₊x_{2 =.7460} x ₁₀2

Exemplo:

ivo!

significat

é

não

zero

este

10

6550

.

10

0655

.

10

1976

.

10

2631

.

1 2 1 2 2 1 2 2 2 1

↑

×

=

+

∴

×

=

+

×

=

×

=

x

x

x

x

x

x

x

Exemplo: 99 2 1=.999×10 x =.999×10 x ₁₄₂₄₃

flutuante ponto de Overflow x x₁+ ₂=1.9998×1099⇒" " ∴ (interrupção).

1.5. REPRESENTAÇÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

a) decimal flutuante Notação utilizada:

x f f e = ≤ < . 10 1 10 1 f mantissa e característica : :    ento arredondam ER o truncament ER t x t x 1 1 10 2 1 10 + − + − < < b) máquina binária x f f e = ≤ < . 2 1 2 1 Porquê f ≥ 1 2 para base 2? Ex.: Considere-se o decimal 30:

) ( 2 46875 . 0 30 ) ( 2 9375 . 0 30 6 5 b ou a × = × =

Optando-se por (a):

9375 . 0 16 1 8 1 4 1 2 1 1111 . 0 1110 . 0 0 2 0 0 . 1 2 5 . 0 50 . 1 2 75 . 0 75 . 1 2 875 . 0 875 . 1 2 9375 . 0 = + + + →         = × = × = × = × = × x Optando-se por (b): 0.467875 x 2 = 0.9375 . 1o dígito = 0 ER arredondamento ER truncamento x t x t < < − − + 2 2 1 c) sistema hexadecimal x f f e = ≤ < . 16 1 16 1 ER x arredondamento ER x truncamento x t x t < < − − 8 16 16 16

Exercício: obter as expressões dos erros relativos para os sistemas

binário e hexadecimal.

Diz-se que um computador digital tem uma precisão de t dígitos se há t dígitos na mantissa no número de ponto flutuante. A precisão está relacionada com o número de algarismos significativos. Também se diz que um computador tem t dígitos significativos se, quando os números são truncados, o limite do erro relativo é 10− +t 1.

Exemplo: IBM 360 e 370

mantissa com 6 dígitos hexadecimais p = ? (dígitos significativos) sist. decimal = 10− +td 1₌10− +p 1 sist. hexadecimal = _{16 16}− _{=16 16}−6 ₌₁₆−5 x x th ∴₁₀− +p1=₁₆−5

(

)

7 10 ln 16 ln 5 1 10 ln 16 ln 5 1 16 ln 5 10 ln 1 ≅ ⇒ + = − = + − − = + − p p p p

Exercício: computador binário com 27 bits na mantissa; p = ?

(dígitos decimais significativos).

Apêndice ao capítulo: breves considerações sobre sistemas de numeração

A tabela a seguir sumariza algumas das características de algumas bases de sistemas de numeração:

BASE DÍGITOS DENOMINAÇÃO

2 8 10 16 0,1 0,1,2,...,7 0,1,2,...,7,8,9 0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F, binário octal decimal hexadecimal

Considere-se inicialmente o número 2526 (base 10), denotado aqui por 2526₁₀ Este número pode ser escrito em termos de potências da base como:

2526_{10 =}2 103₊5 102 ₊2 101₊6 100

x x x x

Mudança de uma base para outra

Para conversão de um número da base 10 para qualquer uma das outras bases, divide-se o número pela base, anotando-se o quociente e o resto. Caso o quociente seja diferente de zero, este deverá ser dividido pela base, anotando-se os novos valores de quociente e resto. O processo deve ser continuado até que se obtenha um quociente igual a 0. O número, na base de interesse, terá como dígitos os restos obtidos, justapostos em ordem contrária à de geração.

Exemplo: Converter 29₁₀ para os sistema binários, octal e hexadecimal. 29 2 (1) 14 2 29₁₀ =11101₂ (0) 7 2 (1) 3 2 (1) 1 2 (1) 0 29 8 (5) 3 8 2910 =358 (3) 0 29 16 (13) 1 16 2910 = D 1 16 (1) 0

Para conversão da representação nas bases 2, 8 e 16, para a base 10, basta utilizar a representação do número em termos de potência das bases, como ilustrado no exemplo a seguir.

Ex.: mostrar como são convertidos as representações 11101₂, 35₈ e 10₁₆ para base 10

(

)

(

)

(

)

11101 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 29 35 3 8 5 8 29 10 1 16 13 16 29 2 4 3 2 1 0 10 10 8 1 0 10 16 1 0 10 = + + + + = = + = = + = x x x x x x x x x

Para conversão da representação na base 2 para as bases 8 e 16, basta agrupar os bits da representação binária em conjuntos de

(

)

(

)

3 23₌8 4 24₌16

e bits, respectivamente, como ilustrado no

exemplo a seguir.

Ex.: obter as representações nas bases 8 e 16 para o número 11101₂

{{ 011101 11101 35 2 2 5 2 2 3 2 8 2 0 1 0 ⇒ = + = + = 0001 1101 11101 1 2 2 2 13 2 1 2 16 3 2 0 0 123 123 ⇒ = + + = = D

Os exemplos a seguir ilustra a conversão de números fracionários, de base 10 para base 2.

Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0 6875. 10 0.6875 x 2 = 0.375 x 2 = 0.75 x 2 = 0.50 x 2 = 0.00 x 2 = 1. 0. 1. 1. 0. 375 75 50 00 00 ∴0 6785. ₁₀ =01011. ₂

Observar que a conversão para a base 10 segue o mesmo esquema apresentado para inteiros, ou seja:

(

)

01011₂ 1 21 0 2 2 1 23 1 24 0 6875

10 10

. = − + − + − + − = .

x x x x

Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0.1₁₀

0.1 x 2 = 0.2 0.2 x 2 = 0.4 0.4 x 2 = 0.8 0.8 x 2 = 1.6 0.6 x 2 = 1.2 0.2 x 2 = 0.4 0.4 x 2 = 0.8 0.8 x 2 = 1.6 0.6 x 2 = 1.2 . 01.₁₀ =0 00011001100. ...

Notar que o número 01.₁₀ não tem representação exata na base 2.

CAPÍTULO 2

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES INTRODUÇÃO

Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um número ρ que anule uma determinada função F(x), isto é, F(ρ ) = 0. Este número ρ é chamado de raiz da equação F(x) = 0 ou zero da função y= F(x).

Classificação:

(i) eq. algébricas: Ex.: x4₋₅x3₊₆x2₊₄x_{− = 8 0} (ii) eq. transcendentes: Ex.: xsenx+(x2+₄)ex =cosx Etapas no cálculo de uma aproximação para a raiz:

(i) isolamento da raiz: determinação de um intervalo [a,b] o menor

possível contendo uma e somente uma raiz da equação F(x) = 0

(ii) melhoramento do valor da raiz aproximada até o grau de exatidão

requerido.

EQUAÇÕES TRANSCENDENTES

2.1.1 ISOLAMENTO DE RAÍZES - MÉTODO GRÁFICO

Uma raiz real de uma equação F(x) = 0 é a abscissa de qualquer ponto no qual a função y = F(x) intercepta o eixo 0x:

Ex.: seja y = F(x) = ex - senx - 2 -2 -1 1 2 3 4 -1 -0.5 0.5 1

Como se observa, para esta equação, ρ ≅1.06.

Pode-se também identificar duas funções g(x) e h(x) a partir da função F(x), impondo-se a condição de que F(x) = g(x) - h(x). Constroem-se os gráficos de y1 = g(x) e de y2 = h(x). Estes se interceptam num ponto cuja abscissa é x = x0:

⇒ g(x0) - h(x0) = F(x0) = 0 ⇒ ρ = x0

Exemplo: isolar todas as raízes da equação

{ ₁₄₂₄₃ ) ( ) ( 2 2 ) 1 (sen 1 sen ) ( x h x g x x x x x F + − = − − = Gráfico de _{( )} 2 x x g = : -2 -1 1 2 1 2 3 4

Gráfico de h(x) = sen x + 1: -2 -1 1 2 0.5 1 1.5 2 Gráficos de g(x) e h(x) superpostos: -2 -1 1 2 1 2 3 4

Como se observa, há duas raízes reais, localizadas nos seguintes intervalos: ) 2 , 1 ( 2 ) 0 , 1 ( 1∈ − ρ ∈ ρ e . Exercício:

Localize, graficamente, as raízes das equações abaixo:

0 3 2 ) 0 2 ) 0 1 log ) 0 3 9 ) 0 ) cos( 4 ) 3 2 = − = − = − = + − = − x e x tg x d x x c x x b e x a x x

2.1.2 GRAU DE EXATIDÃO DA RAIZ

Uma vez isolada uma raiz num intervalo [a,b] passa-se a calculá-la através de métodos numéricos. Estes métodos fornecem uma seqüência {xi}de aproximações cujo limite é a raiz exata ρ.

TEOREMA: Seja ρ uma raiz isolada exata e ρ uma raiz aproximada

da equação F(x)=0, com ρ e ρ pertencentes ao intervalo [a,b] e

. b] [a, intervalo no x todo para , 0 ) ( ' x ≥ m> F

Então a seguinte desigualdade se verifica:

m F(ρ) ρ

ρ − ≤

Exemplo: Sendo ( )₌ 2₋sen( )₋1

x x

x

F , delimitar o erro cometido

com ρ = 1.4 no intervalo [1,0,1,5].

) cos( 2 ) ( ' 1 ) sen( ) ( 2 x x x F x x x F = − − ⇒ = −

Designando y₁ =2xey₂ =cos(x), sobrepondo-se os gráficos destas duas funções, obtém-se:

0.5 1 1.5 2

1 2 3 4

Observa-se que o menor valor (m) de F’(x) no intervalo [1,1.5] ocorre em x = 1.0, ou seja: m = (2)(1) – cos(1) = 1.460 = ≤ − ∴ m F(ρ) ρ ρ 0,017 46 , 1 025 , 0 460 , 1 ) 4 , 1 ( _{= =} F 417 , 1 383 . 1 017 , 0 4 , 1 − ≤ ⇒ ≤ ≤ = − ∴ρ ρ ρ ρ

Observa-se que o cálculo de m é difícil de ser efetuado na maioria dos casos. Por esta razão, no cálculo de uma aproximação para uma raiz exata _{ρ de uma equação F(x) = 0, a cada aproximação obtida, xn,} utiliza-se um dos critérios abaixo para comparação do resultado obtido com uma tolerância L prefixada:

L n x n x n x iii L n x n x ii L n x F i − ≤ − ≤ − − ≤ ( ) ₁ ( ) 1 ) ( ) ( Observações: (a) (b)

O MÉTODO DA BISSECÇÃO

Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b] e F(a). F(b) < 0

Interpretação geométrica:

Construção de uma seqüência

{ }

x_i = x x₀, ,...,₁ x_n−1, , tomando-se x_n

ρ = x_n quando algum critério escolhido dentre os anteriores, por exemplo, x_n−x_n−1 ≤L, for satisfeito:

Na aplicação do método, a cada xi obtido, (i ≥ 1), calcula-se

∈ =i xi−xi−1 e verifica-se ∈i satisfaz alguma condição especificada.

Teorema:

Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se

0 ) ( ). (a F b <

F então existe pelo menos um ponto x = ρ entre a e b

que é zero de y = F(x).

Sob as hipóteses do teorema anterior, se h = F'(x) existe e preserva o sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de y = F(x).

] , [ , 0 ) ( ' x x a b F > ∀ ∈ F'(x)<0,∀x∈[a,b].

Aplicação do método da bisseção:          < < = < 0 ) ( ). ( ) , ( 0 ) ( ). ( ) , ( 0 ) ( ). ( ) , ( int b F x F se b x ou x F a F se x a médio ponto x b F a F b a i ervalo novo i i i i ₁₂₃ Exemplo:

Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a raiz da equação 0.01 com (1,2), intervalo no 0 5 ) ( = − −x = _ε ≤ e x x F Resolução: i a b _xi F(a) F(b) _F(xi) ε_i = x_i−x_i−1 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1.25 1.38 1.38 1.41 1.43 2 1.5 1.5 1.5 1.44 1.44 1.44 1.5 1.25 1.38 1.44 1.41 1.43 1.44 -0.8 -0.8 -0.3 -0.08 -0.08 -0.03 -0.0007 0.7 0.1 0.1 0.1 0.02 0.02 0.02 0.1 -0.3 -0.08 0.02 -0.03 -0.0007 0.02 εi = x1− x0 =0 25. ε₂ = x₂ −x₁ =013. ε₃ = x₃− x₂ =0 06. ε₄ = x₄ − x₃ =0 03. ε₅= x₅− x₄ =0 02. ε₆= x₆−x₅ =0 01.

Assume-se para aproximação da raiz o último valor obtido para xi, ou seja, ρ =1.44.

Algoritmo Início

Defina F(x) = x^2-sen(x)-1

Solicite os extremos do intervalo, a e b Leia a, b Solicite a precisão P Leia P Xm=(a+b)/2 Repita Se f(a)*f(xm) < 0 Então b=xm Senão se f(a)*f(xm) > 0 Então a=xm Senão Escreva ‘raiz = ‘, xm Pare Fim Se Fim Se Xma=xm

Até que |xm-xma| ≤ P

Escreva ‘aproximação ‘, (xm+xma)/2 Fim

2.1.4 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (MIL)

O MIL consiste em transformar a equação F(x) = 0 na equação x = ϕ (x), tal que F x

( )

= −x ϕ

( )

x =0, onde ϕ x

( )

é chamada de função de

iteração.

Suponha que xo corresponda a uma primeira aproximação de ρ; geramos uma seqüência do seguinte modo:

xo

x1 = ϕ (xo) x2= ϕ (x1) xn+1= ϕ (xn)

Se {xn} é uma seq. convergente, então ∃ ρ tal que lim n→∞ xn=ρ Como ϕ é contínua: ) ( ) lim ( ) ( lim lim ϕ ₁ ϕ ₁ ϕ ρ ρ =_n→∞xn =_n→∞ xn− = _n→∞xn− =

Portanto, quando n→∞, x_n+1 =ϕ(x_n)→ρ =ϕ(ρ). Ou seja, ρ = ρ.

Exemplo:

Seja ( )₌ 2₋sen( )₌0

x x

x

F . Obter funções de iteração para esta

equação. Solução: (a) x2 - sen x = 0 x + x2 - sen x = x

( )

x x2 x senx 1 = + − ∴ϕ

( )

senx = x sen sen sen 0 sen 2 2 ± = + − = − x x x x x x b

( )

x senx 2 = ∴ϕ

( )

2 2 2 2 2 2 sen sen sen 0 sen x arc x x x x x x x x x c = = − = / − − / = −

( )

2 3 x =arcsenx ∴ϕ Exemplo:

Determinar uma aproximação para a raiz da equação

( )

F x =x2−senx− =1 0 no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão

3 10− ∈≤ usando o M.I.L. Solução: Função de iteração:

( )

1 sen 1 sen 0 1 sen 2 2 + = ⇒ + = ⇒ = − − = x x x x x x x F

( )

= sen +1 ∴ϕ x x Processo Iterativo:

( )

( )

3 . 1 10 1 sen 3 1 1 1 = ≤ − = + = ⇒ = − − + + o n n n n n n n x x x x x x x ϕ ε

( )

sen

( )

1.3 1 1.4013 1= xo = + = x ϕ 001 . 0 1013 . 0 3 . 1 4013 . 1 1 1= x −xo = − = > ε

( )

1 sen

(

1.4013

)

1 1.4091 2 = x = + = x ϕ 001 . 0 0078 . 0 14013 4091 . 1 1 2 2 = x −x = − = > ε

( )

₂ sen

(

1.4091

)

1 1.4096 3= x = + = x ϕ 001 . 0 0005 . 0 14091 4096 . 1 2 3 3 = x −x = − = < ε ∴ ρ=14096.

com grau de exatidão ≤ ₁₀−3

Obs.:

( )

(

)

2

(

)

5 10 38 . 6 1 4096 . 1 sen 4096 . 1 _{− − =−} − = x F ρ . Exemplo:

Seja determinar, iterativamente, uma aproximação para 5.

(a) tentativa com a função de iteração simplificada:

x a x a x a x = = = − 2 2 ₀ (função de iteração : x = ϕ(x)) x a x)= ( ϕ ) ( 4 . 1 5 1 0 n n x x x a ϕ =    = = + 5 . 1 333 . 3 5 ) ( 333 . 3 5 . 1 5 ) 5 . 1 ( ) ( 5 . 1 1 2 0 1 0 = = = = = = = = ∴ x x x x x ϕ ϕ ϕ

( )

x = x 0 F equação da raiz a para converge não 5 ) ( 333 . 3 5 . 1 5 ) ( 2 1 2 3 = − = = ∴ = = = + a x x x x x n n n ϕ ϕ

(b) tentativa com uma função de iteração mais trabalhada: x a x a x a x2− =0⇒ 2 = ⇒ =       + = ∴ =       ₊ = ∴ + = + + + n n n n n x a x x x x x a x x x x a x x 2 1 ) ( 2 1 1 1 ϕ    = = 5 . 1 5 0 x a _      + = + n n n x a x x 2 1 1 1 n -3 : passo cada 10 : TOLERÂNCIA − − = ≤ n n x x a ε ε      = − = =       ₊ =       + = = = 917 . 0 5 . 1 417 . 2 417 . 2 5 . 1 5 5 . 1 2 1 5 2 1 ) ( 5 . 1 1 0 0 0 1 0 ε ϕ x x x x x

     = − = =       ₊ = = 174 . 0 417 . 2 443 . 2 243 . 2 417 . 2 5 417 . 2 2 1 ) ( 2 1 2 ε ϕ x x      = − = =       ₊ = = 007 . 0 243 . 2 236 . 2 236 . 2 243 . 2 5 243 . 2 2 1 ) ( 3 2 3 ε ϕ x x 236 . 2 236 . 2 10 236 . 2 236 . 2 236 . 2 236 . 2 5 236 . 2 2 1 ) ( 3 4 3 4 ≅ ⇒ = ∴      < − = =       ₊ = = − ρ ρ ε ϕ x x Obs.: 5 =2.2360679K Convergência no M.I.L.

Para o caso da equação x= 5, com x_o = 1 5. , observamos que:

( )

nãoconverge x x 5 1 = ϕ

( )

x converge x 5 + x 2 1 2       = ϕ

Por quê? Para concluir sobre isto, basta verificar o comportamento do M.I.L. geometricamente. Observe-se inicialmente a situação ilustrada na figura a seguir:

( )

( )

( )

( )

( )

          = = = = = 2 3 1 2 0 1 0 0 . . . x x x x x x x x x x F L I M ϕ ϕ ϕ ϕ

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

x x x h x g x F x x x x ϕ ϕ ϕ = = = − = = − ⇒ = x h x g : onde 0 0

( )

( )

(

'

1

)

!

direita

pela

=

=

→

x

g

bissetriz

é

x

g

y

x

_n

ρ

( )

1 ' < ∴ϕ x numa vizinhança de ρ.

. 1 ) ( ' ρ ϕ x > numavizinhança de

A figura a seguir ilustra a situação de “convergência alternada”.

1 ) ( ' x <

ϕ

Teorema da Convergência de M.I.L.:

Seja xo uma aproximação para a raiz ρ da equação F(x) = 0 numa vizinhança I =

[

ρ−δ,ρ+δ

]

. Seja ϕ uma função de iteração para a equação F(x) = 0 e suponha-se que ϕ e ϕ ' sejam contínuos em I. Então, se ϕ'

( )

x <1 ,∀x ∈I, a sequência gerada por

( )

, 0,1,2,3,K

1= =

+ x n

x_n ϕ _n converge para ρ.

Observação: como o valor de ρ é desconhecido, substitui-se o valor de

xo na derivada para se concluir sobre a convergência.

Esboço da demonstração: M.I.L.

(

)

ϕ

( )

ρ ϕ ρ = − − _n−1 n x x

Teorema do valor médio:

(

)

ϕ

( )

ρ ϕ

( )

ε ρ ϕ

ρ = − = −

−

Seja L o valor máximo de ϕ' x

( )

no intervalo I, ou seja, ϕ'

( )

x ≤L no intervalo I. ρ ρ ≤ − − ∴x_n Lx_n−1 Do mesmo modo ρ ε ρ ρ ρ ρ ρ ρ → ⇒ ∀ 〈 − ≤ − ∴ − ≤ − ⇒ − ≤ − _{− −} − n n n n n n n x n I x L Se x L x o continuand x L x x L x aumentando , intervalo, todo em 1 0 0 2 2 2 1

( )

( )

diverge processo o 1 ' converge processo o 1 ' I x x x ε ϕ ϕ ∀     〉 〈 ∴

Exemplo: estudar a convergência das funções de iteração do exemplo

anterior. Resolução:

( )

₌ 2_{− =}0 ₌5 _{0 =}1.5 x a a x x F

( ) ( )

( )

( )

( )

ρ ϕ ϕ ϕ ϕ para converge não 1 222 . 2 25 . 2 5 5 . 1 5 1 2 2 0 0 ' 1 2 ' 1 1 > = = = = − = = x a x x a x x a x a

( ) ( )

( )

( )

(

)

ρ ϕ ϕ ϕ ϕ para converge 1 < 611 . 0 222 . 2 1 2 1 = 96 . 1 5 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0 ' 2 2 ' 2 2 = −       ₋ =       ₋ =       ₊ = x x a x x a x x b Observações:

(1) A maior dificuldade de M.I.L. está em encontrar uma função de iteração ϕ satisfazendo o critério de convergência.

(2) O teste ϕ'

( )

x₀ < 1 pode levar a um engano se xo não estiver suficientemente próximo da raiz.

(3) A velocidade de convergência dependerá de ϕ ρ'

( )

: quanto menor este valor, mais rapidamente o processo convergirá.

Exemplo:

( )

( )

(

)

( )

0.555 1 9 5 ' 2360679 . 2 3 5 0 2 0 0 0 2 < = = − = ≅    = = = = − = x a x x a x a x a x x F ϕ ρ ϕ

Aplicação:

( )

( )

( )

1.667 nãoconverge! 999 . 2 5 999 . 2 667 . 1 5 667 . 1 3 5 3 2 3 1 2 0 1 0 = = = = = = = = = = x x x x x x x ϕ ϕ ϕ

Exemplo: estudar a convergência das funções de iterações obtidas

anteriormente para a equação

( )

₌ 2₋sen ₌0 _{0 =}0.9 x para x x x F ,

obter uma aproximação para a raiz da equação.

Sol.:

( )

( )

( )

iteração de funções sen sen sen 2 3 2 2 1       = = − + = x arc x x x x x x x ϕ ϕ ϕ Derivadas:

( )

( )

x x x x x cos sen 2 1 x cos 1 2 ' 2 ' 1 ⋅ = − + = ϕ ϕ

( )

x x x 2 1 1 4 ' 3 ⋅ − = ϕ No ponto x₀ =0.9:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0.9 3.069 1 1 9 . 0 . 2 9 . 0 1 351 . 0 0885 . 2 622 . 0 9 . 0 sen 2 9 . 0 cos 9 . 0 1 178 . 2 9 . 0 cos 1 9 . 0 2 9 . 0 4 ' 2 0 ' 2 ' 2 0 ' 2 ' 1 0 ' 1 > = − = = < = = = = > = − + ⋅ = = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ x x x

∴Somente ϕ2

( )

x deverá convergir.

Isolamento da raiz:

( )

( ) ( )

x

( )

( )

sen . g = sen 2 2 x x h e x x g onde x h x x x F = = − − = Aplicação de M.I.L

( )

( )

3 2 0 0.9 e sen 10 − 〈 = = = ϕ x ϕ x x ε x

( )

( )

( )

(

)

( )

sen

(

0.879

)

0.878 0.001 006 . 0 879 . 0 885 . 0 sen 015 . 0 885 . 0 9 . 0 sen 9 . 0 3 2 3 2 1 2 1 0 1 0 = = = = = = = = = = = = = ε ϕ ε ϕ ε ϕ x x x x x x x

( )

(

)

( )

(

)

ρ para o aproximaçã uma é 877 . 0 10 877 . 0 877 . 0 sen 001 . 0 877 . 0 878 . 0 sen 3 -5 4 5 4 3 4 = 〈 = = = = = = = ρ ε ϕ ε ϕ x x x x Obs.:

( )

(

) (

)

2

(

)

4 10 051 . 3 877 . 0 sen 877 . 0 877 . 0 _{= − =} − =F x F ρ Exercícios:

(1) Calcular a raiz da equação _F

( )

_{x =x}2 ₊ln_x=0com_{ε ≤}0.01. Usar o M.I.L.

(

R :ρ=0.65

)

(2) Calcular a raiz da equação

( )

₌ 3₋10₌0com_ε≤0.01.

x x F

Usar o M.I.L.

(

R :ρ =2.15

)

(3) Calcular a raiz da equação

( )

₌ 2₊ 3x ₋3₌0

e x x F , -3 10

comε≤ , usando o M.I.L.

(

R: ρ = 0 3521.

)

Algoritmo:

Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação

( )

₌ 2₋sen ₋1₌0

x x

x

F , usando a função de iteração:

( )

x = senx+1

ϕ

Início (* MIL*)

Defina Fi(x) = senx+1

Solicite a aproximação inicial (x0) Leia Xv

Solicite a precisão (E) Leia E

Solicite o limite de iterações (N) Leia N Para i de 1 até N Faça Xn = Fi(Xv) Se |Xn – Xv| ≤ E Então Escreva “aprox “,Xn,“ com “,i,“ iteracoes” Saia da repetição Senão Xv=Xn Fim Se Fim para Se |Xn – Xv| > E Então

Escreva “Aplicação não converge ou “ Escreva “grau de exatidão não”,

“ pode ser alcançado com “, N, “ iterações”

Fim Se Fim (* MIL *)

MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON (N-R) Descrição

Seja I um intervalo contendo a raiz ρ da equação F(x) = 0. Suponha-se que F'(x) ≠ 0 ∀ ∈x I. F(x) = 0 0 ) ( ' ) ( = − ⇒ x F x F x x F x F x− = ⇒ ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( x F x F x x = − ∴ϕ ∴ ) ( ' ) ( 1 n n n n x F x F x x ₊ = − ,... 2 , 1 , 0 ) ( = − n R N

Como no M.I.L., o objetivo é gerar uma seqüência {xn} a partir de uma aproximação inicial xo:

) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 n n n n n x F x F x x x x F x F x x x x F x F x x x − = = − = = − = = + ϕ ϕ ϕ M M

Encontra-se portanto uma aproximação xn+1 de ρ.

Exemplo:

Seja calcular uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = x2 - senx - 1 = 0 no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão _{ε ≤10}−3_{, utilizando}

o método de N-R e adotando x₀=1.3. Resolução: x x x F y x x x F y cos 2 ) ( ' ' 1 sen ) ( 2 − = = − − = =

Equação para iteração:

      − − − − = ∴ − = ₊ + k k k k k k k k k k x x x x x x x F x F x x cos 2 1 sen ) ( ' ) ( 2 1 1 3 10 1173 . 0 3 . 1 4173 . 1 0 1 1 4173 . 1 3325 . 2 2736 . 0 3 . 1 ) 3 . 1 cos( ) 3 . 1 ( 2 1 ) 3 . 1 sen( 2 ) 3 . 1 ( 3 . 1 1 3 . 1 0 − > = − = − = = − − = − − − − = =             x x x x ε 4096 . 1 3 10 0001 . 0 4097 . 1 4096 . 1 2 3 3 4096 . 1 6590 . 2 4 10 02 . 2 4097 . 1 ) 4097 . 1 cos( ) 4097 . 1 .( 2 1 ) 4097 . 1 sen( 2 ) 4097 . 1 ( 4097 . 1 3 0076 . 0 4173 . 1 4097 . 1 1 2 2 4097 . 1 6817 . 2 0205 . 0 4173 . 1 ) 4173 . 1 cos( ) 4173 . 1 .( 2 1 ) 4173 . 1 sen( 2 ) 4173 . 1 ( 4173 . 1 2 = ∴                 − < = − = − = = − − = − − − − = = − = − = = − = − − − − = ρ ε ε x x x x x x x Interpretação Geométrica

) 1 ( ) 1 ( 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 0 ) 1 ( x F x F x x x F x F x x x F x x x F x F x x x F tg ′ − = ⇒ ′ − = − − ⇒ = − ′ ⇒ ′ = − − = β ) 0 ( ) 0 ( 0 1 0 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 0 0 ) 0 ( x F x F x x x x x F x F x x x F x F x F x x x F tg ′ − = ⇒ − = ′ − ⇒ − ′ = ⇒ ′ = − − = α

O método de N-R é conhecido como método das tangentes.

∴ ) ( ' ) ( 1 n n n n x F x F x x ₊ = − ,... 2 , 1 , 0 ) ( = − n R N

Obtenção da fórmula de N-R a partir do desenvolvimento de y= f(x) em série de Taylor ... ) .( ! 2 ) ( " ) )( ( ) f(x = f(x) : Taylor de Fórmula 2 0 0 0 0 0 + −      + − ′ + f x x x f x x x 0 ) )( ( ) ( ... 2 , 1 , 0 0 ) )( ( ) ( ) ( 1 1 1 = − ′ + ⇒ = = − ′ + = + + + n n n n n n n n n x x x F x F n x x x F x F x F 0 ) ( ) ( 1− = + ′ ⇒ _{n+ n} n n _{x x} x F x F ⇒ ) ( ) ( 1 n n n n x F x F x x ′ − = + n = 0,1,2...

SOBRE A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO

Para que um processo iterativo x= ϕ( )x seja convergente, devemos ter

0 , 1 ) (x < ∀_x∈I ′

ϕ _{, onde I0 é uma vizinhança da raiz ρ da equação}

F(x)=0. 2 )) ( ( ) ( " ). ( 2 )) ( ( ) ( " ). ( 2 )) ( ( 2 )) ( ( 2 )) ( ( )] ( " ). ( ) ( ). ( [ 1 ) ( ) ( ) ( ) ( x F x F x F x F x F x F x F x F x F x F x F x F x F x x F x F x x ′ = ′ + ′ − ′ = ′ − ′ ′ − = ′ ⇒ ′ − = ϕ ϕ

1 )] ( [ ) ( " ). ( ) ( ₂ < ′ = ′ x F x F x F x ϕ Observe-se que: 1 0 )] ( [ ) ( " ). ( ) ( 0 ) ( 2 = < ′ = ′ = ⇒ = ρ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ F F F F x

Se F’ e F’’ são contínuos em I, ϕ’ é contínua em I e, portanto, desde

que ϕ ρ′( ) 0= , existe uma vizinhança I′⊂I tal que ϕ′(x) <1∀x∈I'.

Conclusão: o método de N-R, quando pode ser aplicado, é sempre

convergente. A dificuldade está em determinar este subintervalo I´ onde seguramente ϕ′( )x <1 .

Exemplo:

Para o problema de se determinar uma aproximação para a raiz da eq.

F x( )=x2−senx− =1 0 no intervalo [1.0, 1.5], com x₀= .1 3, estudar

quanto à convergência as funções de iterações utilizadas nos métodos M.I.L. e N.R. Resolução: (a) M.I.L 1 sen 2 cos cos . 1 sen 2 1 ) ( 1 sen ) ( + = + = ′ ∴ + = x x x x x x x ϕ ϕ 43 42 10.954 1 1 ) 3 . 1 sen( 2 ) 3 . 1 cos( ) ( 0 = < + = ′ x ϕ 0 x se

∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do

método deverá ser convergente.

(b) método de N-R x x F x x x F x x x F x F x F x F x sen 2 ) ( " , cos 2 ) ( , 1 sen ) ( ) ( ) ( " ). ( ) ( 2 2 + = − = ′ − − = ′ = ′ ϕ

[

]

[

]

[

]

43 42 10.1490 1 ) 3 . 1 cos( ) 3 . 1 .( 2 ) 3 . 1 sen( 2 1 ) 3 . 1 sen( ) 3 . 1 ( ) ( ) ( " ). ( ) ( ₂ 2 2 0 0 0 0 < = − + − − = ′ = ′ ∴ x F x F x F x ϕ 0 x se

∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do

método deverá ser convergente.

APLICABILIDADE DO MÉTODO N-R (Teorema de Fourier)

É condição suficiente para a convergência do método de N-R que F´(x) e F"(x) não se anulem e mantenham sinais constantes numa vizinhança I de uma raiz ρ da equação F(x)=0 e que o processo se inicie num ponto x₀∈I tal que F(x₀).F"(x₀)>0.

Exemplo:

Calcular a raiz da equação ( )₌ 2 ₋sen ₌0

x x x F usando o método de N-R ( 0.9; 10 3) 0 − ∈< = x Resolução: ) ( ) ( 1 n n n n x F x F x x ′ − = + x x x F x x x F cos 2 ) ( sen ) ( 2 − = ′ − = n n n n n n x x x x x x cos 2 ) sen ( 2 1 ₋ − − = ⇒ +

Condições para convergência: x x F x x x F a sen 2 ) ( " cos 2 ) ( ) ( + = − = ′

Conclui-se, pelo método grãfico, que ρ ∈( . , )0 5 1 com relação a F´(x):

4 4 3 4 4 2 1 anula se .não sinal .preserva 0 cos 2 ) ( ) 0 . 1 , 5 . 0 ( > − = ′ ∈ ∀ ∴ x x x F x Com relação a F"(x): . 0 sen 2 ) ( " , ) 0 . 1 , 5 . 0 ( = + > ∈ ∀x F x x 9 . 0 0 cos 2 sen 2 1 0 ) 0 ( " ). 0 ( 783 . 2 ) 9 . 0 sen( 2 ) 9 . 0 ( " ) 0 ( " 03 . 0 ) 9 . 0 sen( 2 ) 9 . 0 ( ) 9 . 0 ( ) 0 ( ) ( = − − − = + > = + = = = − = =         x n x n x n x n x n x n x x F x F F x F F x F b

[

]

[

]

3 10 0006 . 0 8773 . 0 8767 . 0 2 8767 . 0 1154 . 1 4 10 395 . 6 8773 . 0 ) 8773 . 0 cos( ) 8773 . 0 .( 2 8773 . 0 sen( 2 ) 8773 . 0 ( 8773 . 0 2 0227 . 0 9 . 0 8773 . 0 1 8773 . 0 1784 . 1 0267 . 0 9 . 0 ) 9 . 0 cos( ) 9 . 0 .( 2 ) 9 . 0 sen( 2 ) 9 . 0 ( 9 . 0 1 − < = − = = = − − = − − − = = − = = − = − − − = ε ε x x x ∴ρ =0.8767 Exemplo:

Calcular a raiz da equação F(x) = 2x - cos x usando o método de N-R

(

_∈<10−4

)

Resolução:

{ { -h(x) g(x) = F(x) x cos 2x ] 5 . 0 , 0 [ ∈ ∴ρ Função de iteração x x x x x x x x x x x x F x x x F n x F x F x x n n n n n n n n n sen 2 ) cos 2 ( ) ( sen 2 ) cos 2 ( sen 2 ) ( cos 2 ) ( ... 2 , 1 , 0 ) ( ) ( 1 1 + − − = ∴ + − − = ⇒ − = ′ − = = ′ − = + + ϕ

Condições para convergência (suficientes)

a. vizinhanç na sinal o preservam e anulam se 0 ) ( " 0 ) ( ] 5 . 0 , 0 [ ] 5 . 0 , 0 [ cos ) ( " sen 2 ) ( não x F x F x x F x x F x    > > ′ ∈ ∀ ∈ = + = ′ ρ 0 ) ( " ). ( 0 1 0 cos ) ( " 0 1 0 cos 0 . 2 ) ( 0 0 ) ( " ). ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 < ⇒ > = = < − = − = = > x F x F x F x F x x F x F b 0 ) ( " ). ( 0 878 . 0 ) 5 . 0 cos( ) ( " 0 > 0.12 = 0.878 -1 ) 5 . 0 cos( -) 05 .( 2 ) ( 5 . 0 0 0 0 0 0 > ⇒ > = = = = = x F x F x F x F x Aplicação do método de N-R

[

]

_0.4506 4794 . 2 1224 . 0 5 . 0 5 . 0 sen 2 ) 5 . 0 cos( ) 5 . 0 .( 2 5 . 0 5 . 0 sen 2 ) cos 2 ( 1 0 1 = − = + − − = = + − − = + x x x x x x x n n n n n

[

]

4502 . 0 4355 . 2 10 014 . 1 4506 . 0 ) 4506 . 0 sen( 2 ) 4506 . 0 cos( ) 4506 . 0 .( 2 4506 . 0 0494 . 0 5 . 0 4506 . 0 3 2 0 1 1 = − = + − − = = − = − = − x x x x ε

[

]

4502 . 0 4355 . 2 10 99 . 3 4502 . 0 ) 4502 . 0 sen( 2 ) 4502 . 0 cos( ) 4502 . 0 .( 2 4502 . 0 0004 . 0 4506 . 0 4502 . 0 5 3 1 2 2 = − = + − − = = − = − = − x x x x ε

4 2 3 3 10 − < − = ∴ε x x ∴ ρ =0.4502 Exercício Dada a função: F(x) = x ln x - 1 = 0

pede-se calcular uma aproximação para a sua raiz usando o método de N-R com _∈≤10−4

(

_{ρ =1.763}

)

Exercício:

Usando o método de N-R determine a menor raiz positiva das equações abaixo.

(

)

(

)

(

1.43097

)

0 6 ) ( 754 . 0 cos 2 ) ( 2748 . 4 0 2 ) ( 5 2 / = = − = = = = − ρ ρ ρ x c e x b tgx x a x Considere _ε≤10−4_. Exercício:

Seja F(x) = ex - 4x2 . Obter uma aproximação para ρ com _{ε ≤10}−4

usando o método de N-R (ρ = 0 7148. )

Algoritmo:

Adaptado para determinação de uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = 2x - cos(x) = 0 através do método de N-R.

Início (* N-R *)

Defina F(x) = 2x-cos(x) Defina DF(x) = 2 + sen(x)

Solicite a aproximação inicial (x0) Leia Xv

Solicite a precisão (E) Leia E

Solicite o limite de iterações (N) Leia N Para i de 1 até N Faça Xn = xv – F(xv)/DF(xv) Se |Xn – Xv| ≤ E Então Escreva “aprox “,xn,“ com “,i,“ iteracoes” Saia da repetição Senão Xv=Xn Fim Se Fim para Se |Xn – Xv| > E Então

Escreva “Aplicação não converge ou “ Escreva “grau de exatidão não”,

” pode ser alcançado com “, N, “ iterações”

Fim Se Fim (* N-R *)

2.2 ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 2.2.1 INTRODUÇÃO

Seja uma equação algébrica (polinomial) de grau n

(

n≥1

)

:

( )

2 ... _{1 0} 0 2 1 1 + + + + = + = − − − − x a x ax a a x a x P _n n _n n _n n

onde os coeficientes ai são números reais e an≠ 0

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

Todo eq. algébrica de grau n, n≥1, tem exatamente n raízes, que

podem ser reais ou complexas, e não necessariamente distintas. Uma raiz ρ da equação P

( )

x =0 é dita ter multiplicidade m se:

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

₀ 0 ... " ' 1 ≠ = = = = = − ρ ρ ρ ρ ρ ρ m m P e P P P Exemplo:

Mostrar que ρ = 2 é raiz da equação algébrica

( )

_{x =x}4 ₋5_x3 ₊6_x2₊4_x−8₌0 P com multiplicidade m = 3 Solução:

( )

( )

( )

2 4.2 15.2 12.2 4 32 60 24 4 0 ' 4 12 15 4 ' 0 8 8 24 40 16 8 2 . 4 2 . 6 2 . 5 2 2 2 3 2 3 2 3 4 = + + − = + + − = ⇒ + + − = = − + + − = − + + − = P x x x x P P

( )

( )

2 12.2 30.2 12 48 60 12 0 " 12 30 12 " 2 2 = + − = + − = ⇒ + − = P x x x P

( )

( )

2 48 30 18 0 '' ' 30 24 '' ' ≠ = − = ⇒ − = P x x P 2 =

∴ρ é raiz e tem multiplicidade 3.

2.2.2 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO

Dado um polinómio P

( )

x , um problema que se coloca é o de calcular

o valor numérico de P

( )

x para x x= ₀, ou seja, P

( )

x₀ . Observe-se que

o cálculo de P

( )

x₀ requer n adições e

(

)

2 1 + n n multiplicações. De fato:

( )

_{{ {} produto produtos produtos a x a x a x a x P n n n n n n 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 = + +...+ + − − − ₄₃ 42 1

(

) (

)

(

)

2 1 1 2 ... 2 1 + − + + + = + − + n n n n n

(

)

n. termos de , 1 , 2 . : . . 1 1 = = = + = número a n a com a a n S A P n n n

Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos, n≥20), o cálculo de P

( )

x₀ , além de se tornar muito laborioso, é também

Exemplo: Dado o polinômio

( )

₌3 9₊2 8₋10 7₊2 6₋15 5₋3 4₊2 3₋16 2₊3 ₋5 x x x x x x x x x x P seja determinar P

( )

2 . Resolução:

( )

( )

2 321 5 2 . 3 2 . 16 2 . 2 2 . 3 2 . 15 2 . 2 2 . 10 2 . 2 2 . 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 = ⇒ − + − + − − + − + = P P 2.2.3 MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI Dado o polinômio

( )

1 _{1 0} 1. a x ax a x a x P = _n n + _n− n− +K+ + , dividindo-se P

( )

x pelo binômio

(

x−c

)

, obtém-se a igualdade:

( ) (

) ( )

_{{ {} divisãoda resto quocientepolinômio r x Q c x x P = − + onde Q

( )

x é da forma:

( )

2 1 2 1 1 _. b x b x b x b x Q = _n n− + _n− n− +L+ +

Como determinar os coeficientes b_i,i=1,L,n e o resto r?

( )

( )(

)

( )

( )

2 1 2 1 1 0 1 1 1 b x b x b x b x Q a x a x a x a x P r c x x Q x P n n n n n n n n + + + + = + + + + = + − = − − − − − L L

(

)

(

)

(

)

(

)

(

b cb

)

x

(

b cb

)

x cb r x cb b x cb b x b r c x b x b x b x b a x a x a x a n n n n n n n n n n n n n n n n + − − + − + + − + − + = + − + + + + = + + + + − − − − − − − − − − 1 2 1 2 3 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 L L L

Obtém-se, da redução a termos semelhantes:

0 1 1 2 1 2 1 2 1 1 . . . . a b c r a b c b a b c b a b c b a b n n n n n n n n + = + = + = + = = − − − − − M Ou, equivalentemente, 0 1 1 . Ruffini) -Briot de (algoritmo 1 1 . a b c r n k a b c b a b k n k n k n n n + = − ≤ ≤ + = = − + − −

EXEMPLO: Seja dividir

( )

_{x =x}3 ₋7_x2 ₊16_x−10

P

pelo binômio

(

x−2

)

, usando o método de Briot-Ruffini

Solução:

( ) (

) ( )

( )

2 1 2 3 . 2 b x b x b x Q r x Q x x P + + = + − =

Cálculo dos bi's i= 1 2 3, ,

( )

( )

5 16 6 . 2 . 5 7 1 . 2 . 1 1 2 1 2 3 2 3 3 = + − = + = − = − + = + = = = a b c b a b c b a b Cálculo do resto:

(

)

( )

2 6 5 2 10 6 . 2 2 0 1 = + − = ∴ = − + = + = r x x x Q a cb r

Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:

ai s' 64444444744444448 1 −7 16 _-10 2 2 −10 12 1 −5 6 bi s' 144424443 _{ r 2

Exemplo: Seja dividir

( )

₌ 3 ₋7 2 ₊16 ₋10 x x x x P

Pelo binômio

(

x+3

)

, usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Resolução: 1 −7 16 _-10 -3 − 3 30 _-138 1 −10 46 _-148

( )

148 46 10 2 − = + − = ∴ R x x x Q Observe-se que:

( ) ( )

₋3 _{= −}3 3₋7.

( )

₋32₊16

( )

₋3 ₋10₌₋148 P

Teorema: o valor numérico de P

( )

x em x c= é igual ao resto da

divisão de P

( )

x por

(

x−c

)

Demonstração:

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( )

c r P r c Q c c c P c x r x Q c x x P = ⇒ + − = ⇒ = + − = . Exemplo: Dado o polinômio

( )

₌3 9₊2 8₋10 7₊2 6₋15 5₋3 4₊ 2 3₋16 2₊3 ₋5, x x x x x x x x x x P seja

calcular P

( )

2 usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Resolução: 3 2 -10 2 -15 -3 2 -16 3 -5 2 6 16 12 28 26 46 96 160 326 3 8 6 14 13 23 48 80 163 321

( )

2 =321 ∴P

Teorema: o valor numérico da derivada de P

_{( )}

x para x c= é igual ao

resto da divisão de Q

( )

x por

(

x− , onde c

)

Q

( )

x é o polinômio

quociente da divisão de P

( )

x por

(

x−c

)

. Demonstração:

( ) (

) ( )

te consr x Q c x x P tan . + − =

( )

( )

( )(

)

( ) ( )

( ) (

) ( )

( )

c Q

( )

c P c Q c c c Q c Q c P temos c x para c x x Q x Q x P = ⇒ = − + = = − + = ' . ' ' : , ' '

Pelo teorema anterior sabemos que Q

( )

c é igual ao resto da divisão de

( )

x Q pelo binômio

(

x−c

)

. Exemplo: Dado o polinômio

( )

₌ 3₋2 2 ₋20 ₊30₌0 x x x x P

seja calcular P'

( )

2 usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Resolução: 1 -2 -20 +30 2 2 0 -40 1 0 -20 -10 2 2 4 1 2 -16

( )

2 =−10 ∴ P e P'

( )

2 =−16 Observe-se que:

( )

( )

(

2 20

)

30

((

2

)

20

)

30 30 20 2 2 2 3 + − − = + − − = ⇒ + − − = x x x x x x x P x x x x P

( ) ((

2 = 2−2

)

⋅2−20

)

2+30=−40+30=−10 ∴ P

( )

(

)

( ) (

2 3.2 4

)

2 20 4 20 16 ' 20 4 3 20 4 3 ' 2 − = − = − ⋅ − = ⇒ − − = − − = P x x x x x P 2.2.4 MÉTODO DE HORNER

( )

(

)

((

)

)

((

{ 1 2

)

1

)

0 1 0 1 2 3 1 2 0 1 2 2 1 1 0 1 2 2 1 1 ) (a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x P n n n n n n n n n n n n n n n + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = − − − − − − − − − − L L M L L L Exemplo:

Dado _P

( )

_{x =}2_x4₋5_x3₋2_x2₊4_x−8_{, calcular P}

( )

_{3 (Horner).}

Resolução:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 5 2 4

)

8 8 4 2 5 2 8 4 2 5 2 8 4 2 5 2 2 2 3 2 3 4 − + − − = − + − − = − + − − = − + − − = x x x x x x x x x x x x x x x x x P