SolucoesListaU3

Solu¸

c˜

oes da Lista de Exerc´ıcios

Observa¸c˜ao: as solu¸c˜oes dos exerc´ıcios abaixo ficaram faltando na Unidade 2 3. Para n = 1, basta de fato uma pesagem, feita com dois dos objetos: se ela indicar um objeto mais pesado do que o outro, ele ´e o procurado; se os objetos tiverem pesos iguais, o objeto que ficou de fora na pesagem ´

e o mais pesado. Suponhamos agora que seja poss´ıvel determinar qual ´

e mais pesado dentre 3n objetos com n pesagens e consideremos um conjunto com 3n+1 _{objetos. Dividimos estes objetos em trˆes grupos}

com 3n _{objetos cada e comparamos o peso de dois deles. Se um deles}

for mais pesado, o objeto procurado est´a nele; sen˜ao, est´a no grupo que ficou de fora da pesagem. De qualquer modo, pela hip´otese de indu¸c˜ao, ele pode ser encontrado em n pesagens adicionais, para um total de n+1 pesagens. Logo, a propriedade vale para conjuntos de 3n+1 objetos e, pelo Princ´ıpio da Indu¸c˜ao, para conjuntos com 3n _objetos,

qualquer que seja n.

4. A propriedade vale para um conjunto com um ´unico elemento a1: seus

dois ´unicos subconjuntos s˜_{ao ∅ e {a}1} e ´e poss´ıvel passar do primeiro

ao segundo acrescentando-se a1. Suponhamos que a propriedade seja

v´alida para conjuntos com n elementos e consideremos o conjunto com n + 1 elementos X = {a1, a2, . . . , an, an+1}. Consideremos a lista L

dos subconjuntos de {a1, a2, . . . , an, an+1} satisfazendo as condi¸c˜oes do

enunciado (ela existe, pela hip´otese de indu¸c˜ao) e formemos uma lista de subconjuntos de X do seguinte modo: come¸camos com L e acrescen-tamos a lista L0 que consiste dos subconjuntos de L em ordem reversa, acrescentando-se an+1 a cada um deles. A nova lista ´e formada por

to-dos os subconjuntos de X (ela lista primeiro toto-dos os subconjuntos que n˜ao cont´em an+1e, a seguir, todos que o cont´em). Al´em disso, sempre ´e

poss´ıvel passar de um subconjunto ao pr´oximo da lista acrescentando-se ou retirando-acrescentando-se um elemento. De fato, pela hip´otese de indu¸c˜ao isto ocorrem em L; a passagem do ´ultimo subonjunto de L para o primeiro de L0 ocorre pela adi¸c˜ao de an+1; finalmente, a passagem de cada

sub-conjunto de L0 para o pr´oximo se d´a de forma inversa `a ocorrida em L. Assim, a propriedade vale tamb´em para conjuntos com n+1 elementos. Logo, por indu¸c˜ao, vale para qualquer conjunto finito.

Unidade 3

1. a) Como 1.2 = 1.2.3

3 , a igualdade vale para n = 1. Suponhamos, agora, que ela seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou seja, 1.2 + 2.3 +} . . .+n.(n+1) = n(n + 1)(n + 2)

3 . Somando (n+1)(n+2) a ambos os membros da igualdade, obtemos

1.2 + 2.3 + . . . + n.(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

3 +

(n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)

3 ,

o que mostra que a igualdade tamb´em vale para n + 1. Logo, por indu¸c˜_{ao, a igualdade vale para todo n ∈ N.}

b) Como 13 ₌  1.2

2 2

, a igualdade vale para n = 1. Suponhamos, agora, que ela seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou seja, 1}3 _{+ 2}3₊

. . . + n3 ₌ n(n + 1)

2 2

. Somando (n + 1)3 _{a ambos os membros}

da igualdade, obtemos 13+ 23+ . . . + n3+ (n + 1)3 = n(n + 1) 2 2 + (n + 1)3 = (n + 1)2 n 2 4 + (n + 1)  = (n + 1)2 n 2_{+ 4n + 4} 4  =  (n + 1)(n + 2) 2 2 ,

o que mostra que a igualdade tamb´em vale para n + 1. Logo, por indu¸c˜_{ao, a igualdade vale para todo n ∈ N.}

c) Como 1.20 _{= 1 = 1 + 0.2}1_{, a igualdade vale para n = 1.}

Su-ponhamos, agora, que ela seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou seja,} 1.20+2.21+3.22+· · ·+n.2n−1 = 1+(n−1)2n. Somando (n+1).2n a ambos os membros da igualdade, obtemos:

1.20 + 2.21+ 3.22 + · · · + n.2n−1+ (n + 1).2n = 1 + (n − 1)2n+ (n + 1).2n_{= 1 + 2n.2}n _{= 1 + n.2}n+1_,

o que mostra que a igualdade tamb´em vale para n + 1. Logo, por indu¸c˜_{ao, a igualdade vale para todo n ∈ N.}

d) Corre¸c˜ao: a igualdade deveria ser  1 + 1 1   1 + 1 2 2 · · ·  1 + 1 n n = (n + 1)n n! .

Como 1 + 1₁
1 = 2 = 2_1!1, a igualdade vale para n = 1. Supo-nhamos, agora, que ela seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou seja,}  1 + 1 1   1 + 1 2 2 · · ·  1 + 1 n n = (n + 1) n n! . Multiplicando am-bos os membros da igualdade por 1 +_n+11
n+1, obtemos:

 1 + 1 1   1 + 1 2 2 · · ·  1 + 1 n n 1 + 1 n + 1 n+1 = (n+1)n n! 1 + 1 n+1
n+1 = (n+1)_n! n n+2_n+1
n+1= (n+2)n+1 n!(n+1) = (n+2)n+1 (n+1)! ,

o que mostra que a igualdade tamb´em vale para n + 1. Logo, por indu¸c˜_{ao, a igualdade vale para todo n ∈ N.}

e) Como 1.11 = 2! − 1, a igualdade vale para n = 1. Suponhamos, agora, que ela seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou seja, 1.1! + 2.2! +} 3.3! + · · · + n.n! = (n + 1)! − 1. Somando (n + 1).(n + 1)! a ambos os membros da igualdade, obtemos:

1.1! + 2.2! + 3.3! + · · · + n.n! + (n + 1).(n + 1)! = (n + 1)! − 1 + (n + 1).(n + 1)! = (n + 1)!(n + 2) − 1 = (n + 2)! − 1,

o que mostra que a igualdade tamb´em vale para n + 1. Logo, por indu¸c˜_{ao, a igualdade vale para todo n ∈ N.}

2. a) Como 21 > 1, a desigualdade vale para n = 1. Suponhamos, agora, que ela seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou seja, 2}n _{> n.}

Multiplicando ambos os membros da igualdade por 2, obtemos 2n+1 > 2n. Mas, para todo n natural, 2n ≥ n + 1 (j´a que esta desigualdade ´e equivalente a n ≥ 1). Portanto, 2n+1 _{> n + 1, o}

que mostra que a desigualdade tamb´em vale para n + 1. Logo, por indu¸c˜_{ao, a desigualdade vale para todo n ∈ N.}

b) Como 1₂ = √1

3+1, a desigualdade vale para n = 1. Suponhamos,

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) 2 · 4 · 6 · · · 2n ≤

1 √

3n + 1. Multiplicando ambos os mem-bros da desigualdade por 2n + 1

2(n + 1), obtemos: 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) · (2n + 1) 2 · 4 · 6 · · · 2n · 2(n + 1) ≤ 1 √ 3n + 1 2n + 1 2(n + 1).

Para mostrar que a desigualdade tamb´em vale para n + 1, precisa-mos precisa-mostrar que √ 2n + 1

3n + 1 · 2(n + 1) ≤ 1 p3(n + 1) + 1 ou, equi-valentemente, (2n + 1) 2 (3n + 1)(2(n + 1))2 ≤ 1 3n + 4. Mas (2n + 1)2 (3n + 1)(2(n + 1))2− 1 3n + 4 = (2n + 1)2(3n + 4) − (3n + 1)(2n + 2)2 (3n + 1)(2n + 2)2_{(3n + 4)} = − n (3n + 1)(2n + 2)2_{(3n + 4)} < 0.

Logo, de fato temos √ 1 3n + 1 2n + 1 2(n + 1) < 1 p3(n + 1) + 1 e, por-tanto, 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) · (2n + 1) 2 · 4 · 6 · · · 2n · 2(n + 1) < 1 p3(n + 1) + 1, o que mos-tra que a desigualdade tamb´em vale para n+1. Logo, por indu¸c˜ao, a desigualdade vale para todo n ∈ N, sendo estrita para todo n > 1.

3. a) Como x1 = 1, temos 1 ≤ x1 ≤ 3₂ e, assim, a desigualdade vale

para n = 1.

Suponhamos que ela seja v´_{alida para um certo n ∈ N. Como} xn ≤ 3₂, temos _x2_n ≥ 4₃. Logo, n+1 = 1₂  xn+ _x2_n  ≥ 1 2 1 + 4 3
= 7

6 > 1. Por outro lado, xn+1− 3 2 = x2 n−3xn+2 2xn = (xn−1)(xn−2) 2xn . Como

1 ≥ xn ≥ 3₂, (xn− 1) ≥ 0 e (xn − 2) < 0, o que mostra que

xn+1− 3₂ ≤ 0, ou seja xn+1 ≤ 3₂. Logo, a desigualdade tamb´em

vale para n + 1. Por indu¸c˜ao, ela vale para todo n natural. b) xn+1− √ 2 = 1₂xn+_x2_n  −√2 = _2x1 n(x 2 n+ 2 − 2 √ 2xn) = _2x1_n(xn− √ 2)2_.

4. a) Como 13 _{+ 2}3 _{+ 3}3 _{= 36, que ´e divis´ıvel por 9, a propriedade}

n ∈ N, ou seja, n3_{+ (n + 1)}3_{+ (n + 2)}3 _{= 9k, para algum inteiro}

k. Da´ı, (n + 1)3 + (n + 2)3 + (n + 3)3 = 9k + (n + 3)3 − n3 ₌

9k +n3+9n2+27n+27−n3 = 9(k +n2+3n+3), o que mostra que (n + 1)3_{+ (n + 2)}3_{+ (n + 3)}3 _{tamb´em ´e divis´ıvel por 9. Portanto,}

por indu¸c˜ao, a propriedade vale para todo n natural.

b) Como 34 _{+ 8 − 9 = 80, que ´e divis´ıvel por 16, a propriedade}

vale para n = 1. Suponhamos que ela seja v´alida para algum n ∈ N, ou seja, 32n+2_{+ 8n − 9 = 16k, onde ou, equivalentemente,}

32n+2 _{= 16k − 8n + 9 para algum k ∈ N. Multiplicando por 9 os}

dois lados da igualdade, obtemos 32(n+1)+2 = 144k −72n+81. Da´ı, 32(n+1)+2_{+ 8(n + 1) + 9 = 144k − 72n + 81 + 8(n + 1) − 9 = 144k −}

64n+80 = 16(9k −4n+5), o que mostra que 32(n+1)+2_+8(n+1)+9

´e divis´ıvel por 16 e, assim, que a propriedade tamb´em vale para n + 1. Portanto, por indu¸c˜ao, a propriedade vale para todo n natural.

c) Como 41_{+ 15.1 − 1 = 18, que ´e divis´ıvel por 9, a propriedade vale}

para n = 1. Suponhamos que ela seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou} seja, 4n_{+ 15n − 1 = 9k, ou, equivalentemente, 4}n_{= 9k − 15n + 1}

para algum k ∈ N. Multiplicando por 4 ambos os membros da igualdade, obtemos 4n+1 = 36k−60n+4, ou seja, 4n+1−15(n+1)− 1 = 36k −60n+4+15(n+1)−1 = 36k −45n+18 = 9(4k −5n+2), o que mostra que 4n+1_{− 15(n + 1) − 1 ´e divis´ıvel por 9, ou seja que}

a propriedade tamb´em vale para n + 1. Portanto, por indu¸c˜ao, a propriedade vale para todo n natural.

d) Neste caso, ´e mais conveniente come¸car com n = 0. Como 112₊

121 _{= 133, a propriedade vale para n = 0. Suponhamos que ela}

seja v´_{alida para algum n ∈ N, ou seja, 11}n+2+ 122n+1 = 133k, ou, equivalentemente, 122n+1 _{= 13k −11}n+2 _{para algum k ∈ N.}

Multi-plicando por 122 _{= 144 ambos os membros da igualdade, obtemos}

122(n+1)+1 = 133.144k − 144.11n+2. Logo, 122(n+1)+1− 11(n+1)+2₌

133.144k − 144.11n+2_{+ 11.11}n+2 _{= 133(144k − 11}n+2_{), o que}

mos-tra que 122(n+1)+1 _{− 11}(n+1)+2 _{´e divis´ıvel por 133 e, assim, que a}

propriedade vale para n + 1. Portanto, por indu¸c˜ao, a propriedade vale para todo n natural.

e) Como 231 + 1 = 9, que ´e divis´ıvel por 31+1 = 9, a propriedade ´e v´alida para n = 1. Suponhamos que ela seja v´alida para algum n ∈ N, ou seja, 23

n

para algum k ∈ N. Elevando ao cubo ambos os membros da igualadade, obtemos 23n
3 = (k.3n+1 _{− 1)}3 _{e, da´ı, 2}3n+1 + 1 = k3₍₃n+1₎3_{− 3k}2₍₃n+1₎2 _{+ 3k.3}n+1_{− 1 + 1 = k}3₃3n+3_{− k}2₃2n+3₊ k3n+2 _{= 3}n+2_(k3₃2n+1_{− k}2₃n+1_{+ k). Logo, 2}3n+1 + 1 ´e divis´ıvel por 3n+2, ou seja, a propriedade vale para n + 1. Portanto, por indu¸c˜_{ao, ela vale para todo n ∈ N.}

5. Uma reta divide o plano em duas regi˜oes adjacentes, que certamente podem ser coloridas com duas cores. Portanto, a propriedade vale para n = 1 reta. Suponhamos que ela valha para toda subdivis˜ao formada por n retas e incluamos uma reta adicional. Uma colora¸c˜ao satisfazendo `

as condi¸c˜oes do enunciado pode ser obtida trocando a cor de todas as regi˜oes que ficam em um dos semiplanos determinados pela nova reta, o que mostra que a propriedade tamb´em vale para n + 1 retas. Portanto, por indu¸c˜ao, vale para subdivis˜oes geradas por qualquer quantidade de retas.

6. a) Ao acrescentar-se o plano n+1, os planos j´a existentes determinam neste plano n retas de interse¸c˜ao que, por sua vez, determinam pn regi˜oes planas. Cada uma destas regi˜oes planas, divide em

duas uma das regi˜oes determinadas anteriormente, criando assim pn novas regi˜oes do espa¸co. Portanto, o n´umero qn+1 de regi˜oes

determinadas por n + 1 planos ´e dado por qn+1 = qn+ pn.

b) Com n = 1 plano s˜ao determinadas duas regi˜oes; isto ´e, q1 = 2.

Como 13+5.1+6₆ = 2, a f´ormula est´a correta para n = 1. Supo-nhamos que ela esteja correta para algum n ∈ N, ou seja, qn =

n3_{+ 5n + 6} 6 . Ent˜ao, qn+1 = qn+ pn= n3_{+ 5n + 6} 6 + n2_{+ n + 2} 2 = n3_{+ 3n}2_{+ 8n + 12} 6 = (n3_{+ 3n}2_{+ 3n + 1) + (5n + 5) + 6} 6 = (n+1)3_+5(n+1)+6

6 , o que mostra que a f´ormula tamb´em est´a correta

para n + 1. Logo, por indu¸c˜ao, ela est´a corrreta para todo n natural.

7. O n´umero m´aximo de regi˜oes determinadas por um ziguezague formado por 2 semirretas e n segmentos de reta ´e n2+n+4₂ . Para n = 1, s˜ao de-terminadas 3 regi˜oes; como 12+1+4₂ = 3, a f´ormula proposta est´a correta para n = 1. Suponhamos que a f´ormula esteja correta para n segmentos

de reta. Um segmento de reta pode ser acrescentado transformando-se uma das semi-retas em um segmento (o que faz com que duas regi˜oes se transformem em uma s´o) e acrescentando-se uma nova semirreta intersectando os n segmentos j´a existentes e a outra semirreta; isto de-termina sobre esta semirreta uma total de n + 2 segmentos. Portanto, no processo s˜ao acrescentadas n + 2 − 1 = n + 1 regi˜oes. Logo, o n´umero de regi˜oes determinadas por um ziguezague com n segmentos ´

e n2+n+4₂ + n + 1 = n2+3n+6₂ = (n2+2n+1)+(n+1)+4₂ , o que mostra que a f´ormula tamb´em est´a correta para n + 1. Logo, por indu¸c˜ao, ela est´a correta para todo n natural.

8. a) Em 2 movimentos, passa-se o disco menor para a terceira haste; a seguir, o disco maior deve ser passado para a central; em mais 2 movimentos, o disco menor deve voltar para a primeira haste; o disco maior ´e passado para a terceira haste; finalmente, em mais dois movimentos, o disco menor passa para a terceira haste, para um total de 8 movimentos.

b) hn+1 = 3hn+ 2

c) Para n = 1, s˜ao necess´arios dois movimentos. Como 31_{− 1 = 2, a}

f´ormula est´a correta para n = 1 disco. Suponhamos que ela esteja correta para n discos, isto ´e, hn= 3n− 1. Ent˜ao hn+1= 3hn+ 2 =

3(3n _{− 1) + 2 = 3}n+1 _{− 1, o que mostra que a f´ormula tamb´em}

est´a correta para n + 1 discos. Logo, por indu¸c`ao, a f´ormula est´a correta para qualquer n´umero de discos.