Os teoremas de funções inversa e implícita e suas aplicações

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PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

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AO EM MATEM ´

ATICA

ALEX ISSAMU MORIYA

OS TEOREMAS DE FUNC

¸ ˜

OES INVERSA E IMPL´ICITA E SUAS

APLICAC

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OES

MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAC

¸ ˜

AO

CAMPO MOUR ˜AO 2011

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OS TEOREMAS DE FUNC

¸ ˜

OES INVERSA E IMPL´ICITA E SUAS

APLICAC

¸ ˜

OES

Monografia apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática da Universidade Tec-nológica Federal do Paraná como requisito par-cial para obtenção do t´ıtulo de “Espepar-cialista em Ciências” – Área de Concentração: Matemática. Orientador: Juan Amadeo Soriano Palomino

CAMPO MOUR ˜AO 2011

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Alex Issamu Moriya

Os Teoremas de Funções Inversa e Impl´ıcita e suas Aplicações

Monografia apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática da Universidade Tec-nológica Federal do Paraná como requisito parcial para obtenção do t´ıtulo de “Especialista em Ciências” – Área de Concentração: Matemática.

Orientador: Prof. Msc. Adilandri

Prof. Msc. M´ercio

Prof. Msc. Lobeiro

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Agradec¸o primeiramente a Deus.

Minha querida esposa que sempre esteve ao meu lado nos momentos dif´ıceis. Aos meus pais que sempre me deram força nas horas mais cr´ıticas de minha vida. Ao professor Juan pela paciência e atenção.

Ao professor Adilandri, pela paciência, amizade e competência. Ao meu amigo Marco Tadeu pela força e pouso.

Aos amigos Odemir Brill, Roney Peterson e Willian Baraviera, pelos dias descontraidos. Ao Edilson pela atenção, competência e pelos cafes dos Domingos.

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MORIYA, Alex Issamu. Os Teoremas de Funções Inversa e Impl´ıcita e suas Aplicações. 60 f. Monografia – Programa de Pós-graduação em Matemática, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Campo Mourão, 2011.

Neste trabalho vamos estudar um dos temas centrais na Teoria da Análise o Teorema da Função Inversa. Em seguida aplicando este teorema demonstraremos o Teorema da Função Impl´ıcita. Também apresentaremos algumas aplicações deste teorema que é um resultado central da análise.

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MORIYA, Alex Issamu. Title in English. 60 f. Monografia – Programa de Pós-graduação em Matemática, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Campo Mourão, 2011.

In this paper we study one of the central themes in the Analysis Theory Inverse Function Theo-rem. Then applying this theorem will demonstrate the Implicit Function TheoTheo-rem. We will also introduce some applications of this theorem is a central result of the analysis.

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–

FIGURA 1 DERIVADA PARCIAL . . . 15 –

FIGURA 2 DERIVADA DIRECIONAL . . . 16 –

FIGURA 3 FUNÇ ÃO DIFERENCI ÁVEL . . . 19 –

FIGURA 4 FUNÇ ÃO DIFERENCI ÁVEL . . . 21 –

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1 DESENVOLVIMENTO . . . . 8

2 LIMITES E CONTINUIDADES . . . . 9

3 FUNC¸ ˜OES CONTINUAS . . . 11

4 CONTINUIDADE UNIFORME . . . 13

5 FUNÇ ÕES REAIS DE N VARI ÁVEIS . . . . 14

5.1 DERIVADAS PARCIAIS . . . 14

5.2 DERIVADAS DIRECIONAIS . . . 15

5.3 FUNÇ ÕES DIFERENCI ÁVEIS . . . 17

5.4 VETOR GRADIENTE . . . 25

5.5 REGRAS B ÁSICAS DE DERIVAÇ ÃO . . . 26

5.6 CASO GERAL . . . 27

5.7 A MATRIZ JACOBIANA . . . 29

5.8 REGRA DA CADEIA . . . 30

5.9 O TEOREMA DO VALOR M ´EDIO . . . 31

5.10 DERIVADAS PARCIAIS (CASO GERAL) . . . 32

5.11 CONDIC¸ ˜OES SUFICIENTES PARA A DIFERENCIABILIDADE . . . 33

5.12 FUNC¸ ˜OES DE CLASSE C1 . . . 35

5.13 PROJEC¸ ˜AO ORTOGONAL . . . 37

6 TEOREMA DA FUNC¸ ˜AO INVERSA . . . 38

6.1 TEOREMA DA FUNC¸ ˜AO INVERSA . . . 39

6.2 M ÉTODO DAS CARACTERÍSTICAS UMA APLICAÇ ÃO DO TEOREMA DA FUNÇ ÃO INVERSA . . . 46

7 TEOREMA DA FUNÇ ÃO IMPLÍCITA . . . 51

7.1 TEOREMA DA FUNÇ ÃO IMPLÍCITA . . . 53

7.2 APLICAÇ ÃO DO TEOREMA DA FUNÇ ÃO IMPLÍCITA . . . 56

8 CONCLUS ˜AO . . . 59

(11)

1 DESENVOLVIMENTO

Para a melhor compreensão vamos realizar uma introdução de Limites e Continuidades, segue da´ı, Funções Diferenciáveis de n variáveis definida por f : Rn _{→ R, onde passaremos} por definições de funções Gateaux derivável ou derivadas parciais, funções diferenciáveis ou Fréchet-deriváveis dadas por f :Ω_{→ R onde}

f(xo+ h) = f (xo) + L(h) + rxo(h)

com L linear e o resto satisfazendo

lim

h→0

krxo(h)k khk ,

estudaremos a parte de Vetor Gradiente, Regras de Derivação, Caso Geral, Matriz Jacobiana, Regra da Cadeia, Teorema do Valor Médio, Condição de Diferenciabilidade, Função de Classe

C1 e entraremos assunto que é um dos temas principais da Análise Matemática, O Teorema da Função Inversa com a aplicação no Método das Caracter´ısticas e O Teorema da Função Impl´ıcita outro resultado central da Análise com a aplicação em Multiplicadores de Lagrange. Onde o conteúdo foram das referências, (CIPOLATTI, 2002), (LIMA, 2009a),(LIMA, 2009b), (RUDIN, 1971), (BARTLE, 1983),(GUIDORIZZI, 2000).

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2 LIMITES E CONTINUIDADES

Nesta parte tem como objetivo estudar definições de limite e continuidade, para funções de Rn _{em R}m_{. Neste momento vamos denotar} _{k k indistintamente as normas euclidianas, isto é,} as normas da forma_{k k}2de Rne Rm.

Definição 2.1 Sejam f : A_{⊂ R}n_{→ R}m, xo∈ A′ e b∈ Rm. Dizemos que b é o limite de f(x)

quando x se aproxima de xoem A (relativamente `as normas euclidianas) se

para todoε> 0, existeδ _{> 0 tal que x ∈ A e 0 < kx − x}ok <δ impliquek f (x) − bk <ε

Neste caso denotamos

lim

x→xo

f(x) = b

Como a métrica da bola provém da norma euclidiana, podemos usar a definição acima como notação de bola, isto é,

∀ε> 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ A ∩ (Bδ(xo) \ {xo}) → f (x) ∈ Bε(b).

Ou de forma mais concisa

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ f (A ∩ (Bδ(xo) \ {xo})) ⊂ Bε(b)

Podemos definir a continuidade em forma da definic¸˜ao de limite:

Definição 2.2 Se todo ponto xo∈ A é um ponto isolado, então toda aplicação f : A ⊂ Rn→ Rm

é cont´ınua no ponto xo. Porém, se xo∈ A′ então f é cont´ınua no ponto xo se, e somente se,

lim

x→xo

f(x) = b

Teorema 2.1 Sejam f : A_{⊂ R}n_{→ R}m, f = ( f1, f2, . . . , fm), onde fi : A⊂ Rn → R, ∀i =

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lim x→xo f_{(x) = b ⇐⇒ lim} x→xo fi(x) = bi, ∀i = 1,...,m .

Demonstrac¸˜ao: Suponhamos lim

x→xo

fi(x) = bie sejaε > 0. Ent˜ao existemδ1,δ2, . . . ,δm> 0 tais

que x_{∈ A e 0 < kx − x}ok <δi implicak fi(x) − bik < ε

m, ∀i = 1,...,m. Se pegarmos a base

canˆonica de Rmdada por_{e1, e2, . . . , em}, agora pegarmos δ = min{δ1,δ2, . . . ,δm} temos para

x_{∈ A e 0 < kx − x}ok <δ vem que

k f (x) − bk = | f1(x) − b1| + | f2(x) − b2| + ··· + | fm(x) − bm|

≤ | f1(x) − b1|ke1k + | f2(x) − b2|ke2k + ··· + | fm(x) − bm|kemk

< ε_ke1k +ε₂ke2k + ··· +_mεkemk

Se pegarmosε_{= min{}ε₁, . . . ,_mε_{} temos}

k f (x) − bk <ε Reciprocamente, se lim

x→xo

f(x) = b, paraε> 0 dado, existeδ_{> 0 tal que se x ∈ A e 0 < kx−x}ok <

δent˜ao_{k f (x)−bk <}ε. Como_{| f}i(x)−bi| ≤ k f (x)−bk para todo i = 1,...,m segue o resultado.

Teorema 2.2 Seja f : A_{⊂ R}n_{→ R}me xo∈ A′. Ent˜ao

lim x→xo f_{(x) = b ⇔ ∀{x}k}k⊂ A tal que xk→ xo⇒ f (xk) → b. Demonstrac¸˜ao: Exerc´ıcio. Teorema 2.3 Sejam f_{, g : A ⊂ R}n_{→ R e x}o∈ A′. Se lim x→xo

f(x) = bhspace0.3cm e hspace0.3cm lim

x→xo g(x) = c, ent˜ao limx→xo f± g (x) = b ± c limx→xo f g (x) = bc

Al´em disso, se c_{6= 0 ent˜ao}

lim x→xo f g (x) = b c. Demonstrac¸˜ao: Exerc´ıcio.

(14)

3 FUNC¸ ˜OES CONTINUAS

Definição 3.1 Seja f : A_{⊂ R}n _{→ R}m e xo ∈ A ∪ A′. Dizemos que f é continua em xo se

lim

x→xo

f(x) = f (xo). Mais precisamente,

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que kx − xok <δ ⇒ k f (x) − f (xo)k <ε

.

Podemos ainda escrever a definição acima em notação de bola aberta de raioε com centro em

xodenotado por Bε(xo), ou seja, podemos dizer que f ´e continua no ponto xose, e somente se,

∀ε> 0, ∃δ > 0 tal que f (A ∩ Bδ(xo)) ⇒ f (x) ∈ Bε( f (xo)).

Ou de forma mais concisa.

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que f (A ∩ Bδ(xo)) ⊂ Bε( f (xo)).

Observação: Como estamos trabalhando funções de f : A_{⊂ R}n_{→ R}mos fatos abaixo é dire-tamente liga as propriedades de limite:

a) Supor que f= ( f1, f2, . . . , fn) ´e continua em xo∈ A se, somente se, para cada fi: A⊂ Rn→ R

forem continuas em xo.

b) Sejam f_{, g : A ⊂ R}n_{→ R funções continuas no ponto x}oeλ ∈ R, então vem que f + g, f · g

eλf são continuas no ponto xo. Se g(x) 6= 0, então as funções

f

g s˜ao continuas em xo.

c) A continuidade da func¸˜ao no ponto xoindepende das normas aqui utilizadas de Rne Rm.

Teorema 3.1 Sejam f : A_{⊂ R}n_{→ R}m e g : B_{⊂ R}n _{→ R}m tais que f_{(A) ⊂ B. Se x}o ∈ A′,

y0_{∈ B ∩ B}′, lim

x→o

f(x) = yoe g ´e continua em yoo que implica que lim

x→o(g ◦ f )(x) = g(yo )

Demonstrac¸˜ao: Seja ε > 0. E pela continuidade da g em yo temos, existe η > 0 tal que

y_{∈ B ∩ B}_η(yo) ⇒ g(y) ∈ Bε g(yo)

. Como lim

x→o

(15)

{xo}∩ A ⇒ f (x) ∈ Bη(yo). Portanto x_{∈ B}_δ(xo) \ {xo} ∩ A ⇒ y = f (x) ∈ Bη(yo) e consequentemente g f(x)_{∈ B}_ε g(yo) .

Teorema 3.2 Todas as normas em Rns˜ao equivalentes.

Demonstrac¸˜ao: Seja _{k k uma norma qualquer em R}n e _{k k}1 a norma 1 definida por kxk1=

|x1| + ··· + |xn|. Dado x ∈ Rn, temos x= n

∑

i=1 xiei ⇒ kxk ≤ n

∑

i=1 xikeik ≤ Mkxk1,

onde_{e1, e2, . . . , en} ´e a base canˆonica de Rn e M= max{keik;i = 1,...,n}. Seja K = {x ∈

Rn_;_kxk₁_{= 1} e f (x) = kxk. Então f : R}n_{→ R é função cont´ınua (relativamente a noma k k}₁₎ de Rn. Como k é um fechado e limitado, e portanto compacto, segue do corolário anterior que existe x_{∈ K tal que m := f (x) = min f (K). Observe que m > 0, pois se 0 = m = kxk ⇒ x = 0.} Seja x um ponto qualquer de Rn. Então y= _kxkx

1 ∈ K e m_{≤ f (y) =} x kxk1 = _kxkkxk₁ ⇒ mkxk1≤ kxk

Definição 3.2 Quando uma função f é cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio, dizemos

(16)

4 CONTINUIDADE UNIFORME

Vimos anteriormente que uma função é cont´ınua quando é cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio. podemos dizer, portando, que a continuidade é um conceito local. Isso se expressa na definição, pelo fato de que, para cadaε e para cada x,δ =δ(ε, x) depende de épsilon e do ponto x. A definição que introduzimos a seguir expressa um conceito global de continuidade, continuidade uniforme.

Definição 4.1 Seja A_{⊂ R}ne f : A_{→ R}muma função. Dizemos que f é uniformemente cont´ınua em A se_∀ε> 0 existeδ _{> 0 tal que se x, y ∈ Akx − yk <}δ, então_{k f (x) − f (y)k <}ε.

Definição 4.2 Uma função f : A_{⊂ R}n_{→ R}m é dita Lipschitz-cont´ınua em A se existe M> 0

tal que

k f (x) − f (y)k ≤ Mkx − yk, ∀x,y ∈ A

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5 FUNÇ ÕES REAIS DE N VARI ÁVEIS

5.1 DERIVADAS PARCIAIS

Quando se estuda funções reais de n variáveis, isto é, definidas em subconjuntos do espaço Rn_{, f :}Ω_{⊂ R}n_{→ R, e se busca para essa função uma noção de derivada que tenha propriedades} análogas às da derivada de uma função definida num intervalo, a ideia que se apresenta mais naturalmente é a de “derivada parcial”, que exploremos agora.

Para efeito de derivação, onde se compara o acréscimo f(xo+ h) − f (xo) da função f com o

acréscimo h> 0 dado ao ponto xo, o dom´ınio mais adequado para uma função é um subconjunto

abertoΩ_{⊂ R}n pois, neste caso, dado xo∈Ω, tem-se ainda xo+ h ∈Ωpara todo acr´escimo h

suficientemente pequeno.

Seja, pois, f :Ω_{→ R uma função real, definida num subconjunto aberto}Ω_{⊂ R}n, a i-ésima

derivada parcial de f no ponto xo(onde 1≤ i ≤ n) ´e o limite

∂f ∂xi (xo) = lim λ→0 f(xo+λei) − f (xo) λ

quando tal limite existe.

No entanto o s´ımbolo pode ser denotado como ∂f

∂xi , também como ∂f ∂yi , ∂f ∂zi , etc. O que importa no s´ımbolo não é o “nome” da variável, x, y ou z, etc. O importante é o ´ındice i que trata-se da função na i-ésima variável, seja qual for s´ımbolo utilizado, podendo utilizar da forma

∂f

∂v(xo).

O caso particular n= 2 onde o gráfico da função é uma superf´ıcie em R3_{; a restrição de f}

ao segmento de reta que passa por c= (a, b) e ´e paralela ao eixo das abscissas tem como gr´afico a curva plana obtida nessa superf´ıcie fazendo y constante, igual a b. Logo ∂f

∂x(c) é a inclinação

da reta tangente a essa curva, no ponto(a, b, f (a, b)), ao plano paralelo ao eixo x.

Assim a derivada parcial da função real f(x1, x2, . . . , xn), faz com que todas as variáveis se

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Figura 1: Derivada Parcial

Fonte: GeoGebra

5.2 DERIVADAS DIRECIONAIS

Vendo que as derivadas parciais, desacompanhadas de hipóteses adicionais, apenas fornecem informações sobre a função ao longo de retas paralelas ao eixos, tentamos estender a noção de derivada a outras direções além dessas. Isto nos leva ao importante conceito de derivada

dire-cional ou função Gateaux derivável.

Definição 5.1 Sejam f :Ω_{→ R definida no aberto}Ω_{⊂ R}n, xo∈Ω e h∈ Rn, é dita Gateaux

derivável em xose f possui derivadas direcionais em xoem todas as direções de h, por definição,

o limite

∂f

∂h(xo) = limλ→0

f(xo−λh) − f (xo)

λ

quando tal limite existi.

Definição 5.2 Uma função f : Rn_{→ R é dita Gateaux derivável em x}o se f possui derivadas

direcionais em xoem todas as direc¸˜oes de u.

Observação:De forma sutil as funções Gateaux derivável podem parecer, à primeira vista, a generalização natural para a definição de derivada de uma função real de uma variável. Entre-tanto, a existência das derivadas direcionais não assegura a regularidade de f em torno do ponto

xo, como no caso de uma vari´avel (caso n= 1). De fato, contrariamente ao caso

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neste ponto. Por exemplo, consideremos f(x) =      xy2 x2_{+ y}4 se (x, y) 6= (0,0) 0 sen˜ao

Figura 2: Derivada direcional

Fonte: Maple

Se h= (h1, h2) é um vetor unitário qualquer, então aplicando a definição de limite

∂f ∂h(0, 0) = limλ→0 f((0,0)+λh)− f (0,0) λ = lim_λ_→0 f(λ(h1,h2)) λ = lim_λ_→0 f((λh1,λh2)) λ = lim_λ_→0 λh1λ2h22 λ2_h2 1+λ4h42· 1 λ = lim_λ_→0 λ3h1h22 λ3_(h2 1+λh42) = lim_λ_→0 h1h22 h2 1+λh42 = h1h22 h2 1 = h22 h1

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∂  0 senão. Entretanto, f não é cont´ınua em(0, 0). De fato, f (t2_{,t) =}1

2 ∀t 6= 0

5.3 FUNÇ ÕES DIFERENCI ÁVEIS

Consideremos agora func¸˜oes de dom´ınioΩ_{⊂ R}num conjunto aberto, imagem R,_{k k norma} euclidiana em Rne f :Ω_{→ R}

Definição 5.3 Dizemos que f é diferenciável (ou Fréchet-derivável) em xo ∈ Ω se existem

func¸˜oes L, rxo: R

n_{→ R tais que}

f(xo+ h) = f (xo) + L(h) + rxo(h), (1)

com L linear e rxo satisfazendo

lim

h→0

|rxo(h)|

khk = 0 (2)

Se rxo(h) satisfaz ( 2 ), dizemos que rxo(h) é função 0(khk). Para simplificarmos a notação, escrevemos simplesmente r(h), deixando de explicitar que r depende de xo.

Se f é função diferenciável em xo, então a transformação linear L é denominada diferenciável

de f no ponto xoque ´e denotada por f′(xo).

Desigualdade de Young:

Lema 5.1 Seja p e q tais que 1< p, q < +∞e 1_p+1_q _{= 1. Ent˜ao, para todo x, y ∈ R, vale a}

desigualdade |xy| ≤x p p + xq q

Exemplo 5.1 Consideremos f(x, y) = xy. Se h = (h1, h2), ent˜ao f(xo+ h1, yo+ h2) = xoyo+ xoh2+ yoh1+ h1h2

Como L(h) = xoh2+ yoh1 é linear e r(h) = h1h2 satisfaz |r(h)|_khk ≤ khk₂ → 0 se h → 0, temos que f é diferenciável em(xo, yo) e sua diferencial é f′(xo, yo)(h) = xoh2+ yoh1

(21)

Exemplo 5.2 Seja f : Rn_{→ R um função linear. Então f (x}o+ h) = f (xo) + f (h). Se

consid-erarmos r_{(h) = 0 para todo h ∈ R}n, onde

f(xo+ h) = f (xo) + L(h) + r(h)

f(xo+ h) = f (xo) + L(h) + 0

f(xo+ h) = f (xo) + f (h)

fica satisfeita com L(h) = f (h), o que nos leva a concluir que f ´e diferenci´avel no ponto xo e

f′(xo) ≡ f .

Lema 5.2 Se f é uma função diferenciável no ponto xo∈Ω, L1 e L2são diferenciáveis de f , então L1= L2.

Demonstrac¸˜ao: De fato, suponhamos que para todo h_{∈ R}n,

f(xo+ h) = f (xo) + L1(h) + r1(h) f(xo+ h) = f (xo) + L2(h) + r2(h)

(3)

com L1e L2 lineares e r1e r2 funções o(khk) (funções que tendem a zero). Agora pegamos a

primeira igualdade e subtra´ımos da segunda de (3), onde obtemos,

L1(h) − L2(h) = r1(h) − r2(h).

Tomemos agora h=λei, ondeλ ∈ R+ e ei ´e a base canˆonica de Rn, da´ı

Fazendoλ _{→ 0, vamos obter que L}1(ei) = L2(ei) para n = 1, . . . , n.Portanto L1(ei) ≡ L2(ei).

Exemplo 5.3 Seja f : R2_{→ R a func¸˜ao definida por}

f(x, y) =      |x|y p x2_{+ y}2 se (x, y) 6= (0,0) 0 se (x, y) = (0, 0)

(22)

Figura 3: Função Diferenciável

Fonte: Maple

Vamos verificar se f ´e cont´ınua em(0, 0). Dadoε > 0. | f (x,y) − (0,0)| = | f (x,y)| = √|x|·yx2_+y2 = √|x|·|y|x2_+y2

Utilizando a desigualdade de Young ( 5.1) temos, |x| · |y| p x2_{+ y}2 ≤ 1 2· x 2 +1 2· y 2 ·p 1 x2_{+ y}2 = 1 2 x2+ y2 p x2_{+ y}2 = 1 2 p x2_{+ y}2 p x2_{+ y}2 p x2+ y2 = 1 2 p x2_{+ y}2 tomandoδ = 2ε obtemos, | f (x,y) − (0,0)| ≤ 1 2 p x2_{+ y}2_< 1 2δ = 1 2· 2ε =ε assim_∀ε_{> 0 ∃}δ > 0 tal quepx2_{+ y}2_<δ _{⇒ | f (x,y) − (0,0)| <}ε_.

∴ f ´e cont´ınua em(0, 0).

(23)

(0, 0) e v = (v1, v2) ∈ R2, por definic¸˜ao, temos lim λ→0 f((xo, yo) +λv) − f (xo, yo) λ = limλ→0 f((0, 0) +λ(v1, v2)) − f (0,0) λ = lim λ→0 f((λv1,λv2)) − 0 λ = lim λ→0 |λv1|λv2 p (λv1)2_{+ (}λ_h2₎2· 1 λ = lim λ→0 |λ||v1|λv2 |λ| q v2₁+ v2 2λ = lim λ→0 |v1|v2 q v2₁+ v2 2 = q|v1|v2 v2₁+ v2 2 Portanto ∂f ∂v(0, 0) = |v1|v2 q v2₁+ v2 2 . Assim existe ∂f ∂v(0, 0), para todo v ∈ R 2 _{implica que f e}

Gateaux-derivável em (0, 0). Suponhamos que f é diferenciável em (0, 0). Logo existem

f′(0, 0), r : R2_{→ R tais que} f((0, 0) + (h1, h2)) = f (0, 0) + f′(0, 0)(h1, h2) + r(h1, h2) f(h1, h2) = f (0, 0) + f′(0, 0)(h1, h2) + r(h1, h2) satisfazendo lim (h1,h2)→(0,0) |r(h1, h2)| q h2₁+ h2 2 = 0 (4) segue f(h1, h2) = q|h1|h2 h2₁+ h2 2 e f(h1, h2) = 0 + r(h) r(h) = q|h1|h2 h2₁+ h2 2

agora substituindo na condic¸˜ao (4), obtemos

lim (h1,h2)→(0,0) |h1|h2 q h2₁+ h2 2 · 1 q h2₁+ h2 2 = lim (h1,h2)→(0,0) |h1||h2| h2₁+ h2 2

(24)

h2→0h2

se pegarmos outro caminho h1= h2, obteremos

lim h1→0 |h1||h1| h2₁+ h2 1 = lim h1→0 h2₁ 2h2₁ = limh1→0 1 2 = 1 2 logo n˜ao existe o limite, ou seja,

∄ lim (h1,h2)→(0,0) |r(h1, h2)| q h2₁+ h2 2

Portanto f não é diferenciável no ponto(0, 0).

Exemplo 5.4 Seja f : R2_{→ R a func¸˜ao definida por}

f(x, y) =      2y_|x|x2 x4_{+ y}2 se (x, y) 6= (0,0) 0 se (x, y) = (0, 0)

Figura 4: Função Diferenciável

Fonte: Maple Verificar se f ´e continua em(0, 0). Dadoε > 0

| f (x,y) − (0,0)| = | f (x,y)| = 2y_x4|x|x_+y22

(25)

Utilizando a desigualdade de Young ( 5.1) temos, 2x2y_|x| x4_{+ y}2 ≤ 2 1 2x 4 +1 2y 2 ·_x4_{+ y}1 2· |x| = 21 2 x4+ y2 x4_{+ y}2· |x| = |x| ≤ px2+ y2_<δ tomandoδ =ε obtemos, | f (x,y) − (0,0)| ≤px2_{+ y}2_<δ ₌ε

assim_∀ε _{> 0 ∃}δ > 0 tal que px2+ y2_<δ _{⇒ | f (x,y) − (0,0)| <}ε _∴ _{f ´e cont´ınua em}_{(0, 0)}

Vamos provar que f ´e Gateaux-deriv´avel (derivada parcial) em(0, 0). De fato, sejam (xo, yo) =

(0, 0) e v = (v1, v2) ∈ R2vetor unitário, por definição, temos

lim λ→0 f((xo, yo) +λv) − f (xo, yo) λ = limλ→0 f((0, 0) +λ(v1, v2)) − f (0,0) λ = lim λ→0 f((λv1,λv2)) − 0 λ = lim λ→0 2λv2|λv1|(λh1)2 (λv1)4+ (λv2)2 · 1 λ = lim λ→0 2λ4v2|v1|v21 λ5_v4 1+λ3v22 = lim λ→0 2v2|v1|v21 v4₁+v22 λ = 2v2|v1|v 2 1 v4₁ = 2v2 v1 Portanto∂f ∂h(0, 0) = 2x2y_|x| x4_{+ y}2. Assim existe ∂f ∂h(0, 0), para todo h ∈ R

2_{implica que f e}

Gateaux-derivável em (0, 0). Vamos verificar se a função é diferenciável Suponhamos que f é difer-enciável em(0, 0). Logo existem f′(0, 0), r : R2_{→ R tais que}

f((0, 0) + (h1, h2)) = f (0, 0) + f′(0, 0)(h1, h2) + r(h1, h2)

(26)

segue f(h1, h2) = q|h1|h2 x2₁+ y2 2 e f(h1, h2) = 0 + r(h) r(h) = q|h1|h2 x2₁+ y2 2

agora substituindo na condic¸˜ao (5), obtemos

lim (h1,h2)→(0,0) |h1|h2 q h2₁+ h2 2 · 1 q h2₁+ h2 2 = lim (h1,h2)→(0,0) |h1||h2| h2₁+ h2 2

mas se tomarmos o caminho h1= 0, teremos

lim

h2→0

0

h2

= 0 se pegarmos outro caminho h1= h2, obteremos

lim h1→0 |h1||h1| h2₁+ h2 1 = lim h1→0 h2₁ 2h2₁ = limh1→0 1 2 = 1 2 logo n˜ao existe o limite, ou seja,

∄ lim (h1,h2)→(0,0) |r(h1, h2)| q h2₁+ h2 2

Portanto f não é diferenciável no ponto(0, 0). Podemos observar que a existência das derivadas parciais (Gateaux-derivável) não implica que a função seja diferenciável, mesmo que seja con-tinua no ponto.

Proposição 5.1 Se f é diferenciável em xo∈Ω, então f é continua em xo.

Demonstração: Pela definição da diferenciabilidade temos que f(xo+ h) = f (x0) + L(h) + r(h), satisfazendo limh→0r(h)_khk = 0. Portanto, para todo ε > 0 existe δ1> 0 tal que khk <δ1

implica em que|r(h)|_khk <ε, tomemosε_{= 1, ent˜ao ∃}δ1> 0 tal que khk <δ1implica

|r(h)| khk < 1.

(27)

Como L : Rn_{→ R é linear, segue da Proposição (4.1) que existe}α _{≥ 0 tal que |L(h)| ≤}α_khk, para todo h_{∈ R}n. Dadoε> 0 sejaδ = minδ1,₁₊ε_α

. Ent˜ao se x_∈Ω ´e tal que_{kx − x}ok <δ,

temos

(28)

Embora a existência das derivadas parciais de uma função qualquer, não implique na difer-enciabilidade da função, mas quando a diferencial existe, é dada pelas derivadas parciais, como veremos a seguir.

Seja uma função e diferenciável f :Ω_{→ R, definida no aberto}Ω_{⊂ R}n.

Afirmação: Se L : Rn_{→ R é linear, então existe um b = (b}1, b2, . . . , bn) ∈ Rn tal que L(h) =

hb;hi para todo h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn.

De fato, seja_{e1, e2, . . . , en} a base canˆonica de Rne bi= L(ei). Ent˜ao,

L(h) = L n

∑

i=1 hiei ! = n

∑

i=1 hiL(ei) = n

∑

i=1 hibi= hb;hi

Dizemos que b é a representação matricial de L relativamente à base canônica.

Seja L= f′(xo) a diferencial de uma função f . Então, L(h) = hb;hi para algum b ∈ Rne para

todo h_{∈ R}n. Considerando h=λeitemos da definic¸˜ao de diferenciabilidade

f(xo+λei) = f (xo) + L(ei) + r(λei) satisfazendo lim λ→0 r(λei) λ = 0 f(xo+λei) − f (xo) λ = L(ei) + r(λei) λ

fazendoλ tender a zero, obtemos

L(ei) = lim λ→0 f(xo+λei) − f (xo) λ = ∂f ∂xi (xo).

O vetor ´e denotado por

▽ f (xo) = _∂ f ∂x1 (xo), . . . , ∂ f ∂xn (xo)

é denominado vetor gradiente de f em xoe é tal que se f é função diferenciável em xo, então

f′(xo)(h) = h▽ f (xo); hi

Observe se caso o vetor gradiente exista nada podemos dizer sobre a diferenciabilidade da função, mas caso a f seja diferenciável podemos dizer que o vetor gradiente é a representação matricial de f′(xo) relativamente a base canônica de Rn.

(29)

5.5 REGRAS B ÁSICAS DE DERIVAÇ ÃO

Proposição 5.2 Sejam f, g :Ω_{→ R duas funções diferenciáveis em x}o. Então

a) f+ g ´e diferenci´avel em xoe( f + g)′(xo) = f′(xo) + g′(xo);

b) f g ´e diferenci´avel em xoe( f g)′(xo) = f (xo)g′(xo) + f′(xo)g(xo)

c) se g(xo) 6= 0 então f /g é diferenciável em xoe( f /g)′(xo) = f(xo)g

′_(x_o_{)− f}′_(x_o_)g(x_o₎

g(xo)2 . Demonstração: a) Como f, g são diferenciáveis,

f(xo+ h) = f (xo) + L(h) + r1(h) g(xo+ h) = g(xo) + G(h) + r2(h) somando f e g f(xo+ h) + g(xo+ h) = f (xo) + g(xo) + L(h) + G(h) + r1(h) + r2(h) colocando r(h) = r1(h) + r2(h) f(xo+ h) + g(xo+ h) = f (xo) + g(xo) + L(h) + G(h) + r(h)

com L(h) + G(h) linear e r(h)_khk tendendo a zero.

lim

h→0

f(xo+ h) + g(xo+ h) − ( f (xo) + g(xo))

khk = L(h) + G(h)

denotando L(h) = f′(x) e G(h) = g′(x) vem o resultado acima. Demostração: b) Multiplicando as funções f, g, obtemos

f(xo+ h)g(xo+ h) = ( f (xo) + L(h) + r1(h))(g(xo) + G(h) + r2(h)) f(xo+ h)g(xo+ h) = f (xo)g(xo) + f (xo)G(h) + g(xo)L(h) + R(h) onde R(h) = f (xo)r2(h)+L(h)G(h)+L(h)r1(h)+g(xo)r1(h)+r1(h)G(h)+r1(h)r2(h) fazendo h_{→ 0} lim h→0 f(xo+ h)g(xo+ h) − f (xo)g(xo) khk = f (xo)G(h) + g(xo)L(h) + limh→0 R(h) khk

como G(h) = g′(h) e L(h) = f′(h) e f (xo)g′(xo) + f′(xo)g(xo) ´e linear com R(h) tendendo a

zero, temos que

(30)

Antes de definirmos a diferenciabilidade de uma função f : R _{→ R} , que nos exige fatos básicos da Álgebra Linear, sejam eles.

a) Se L : Rn_{→ R}m é uma transformação linear, fixadas as bases canônicas de Rn e Rm, existe uma matriz Am×n= [ai j] tal que

L_{(x) = Ax, ∀x ∈ R}n

Sendo A chamada de a matriz associada à transformação linear L ou de representação matricial de L relativamente as base canônicas de Rne Rm, linha e coluna respectivamente.

Vamos representar a matriz associada a um transformac¸˜ao L por[L].

b) Seja duas transformac¸˜oes lineares L1: Rn→ Rme L2: Rm→ Rk, definimos a composta da

duas transformações L2◦ L1: Rn→ Rk é dada por

[L2◦ L1] = [L2] × [L1]

Agora vamos definir o comportamento da func¸˜ao f : Rn_{→ R}m.

Definição 5.4 Uma função f :Ω_{→ R}m é dita Fréchet-derivável no ponto xo∈Ω se existem

func¸˜oes L : Rn_{→ R}me rxo : R

n_{→ R}m_{tais que}

f(xo+ h) = f (xo+ L(h) + rxo(h)) (6) como L é linear e rxo(h) tende a zero mais rápido, isto é, satisfazendo a condição

lim

h→0

krxo(h)k

khk = 0 (7)

Por simplicidade de notação escrevemos r(h), deixando de forma impl´ıcita a dependência de r em relação ao ponto xo.

Caso a função f seja diferenciável no ponto xo, então a transformação linear L é denominada a

diferencial de f no ponto xoou Fr´echet-deriv´avel de f em xo, vamos de notar de f′(xo), ou seja,

f′(x0) = L.

Lema 5.3 Uma função f :Ω_{→ R}m, f = ( f1, f2, . . . , fm) é diferenciável no ponto xo se e

so-mente se cada uma de suas componentes fi:Ω→ R ´e diferenci´avel no ponto xo.

Demonstração: Se cada fié diferenciável em xo, então existem funções Lie risatisfazendo (1)

tais que Li ´e linear e satisfac¸a

lim

h→0

|ri(h)|

(31)

Sejam L= (L1, L2, . . . , Lm) e r = (r1, r2, . . . , rm). Ent˜ao, ´e claro que f (xo+ h) = f (xo) + L(h) +

r(h) segue do Teorema (3.2) que kr(h)k khk ≤ C kr(h)k1 khk = C n

∑

i=1 |ri(h)| khk → 0 se h→ 0.

Reciprocamente, se f é diferenciável em xo, então existem funções L= (L1, L2, . . . , Lm) linear

e r= (r1, r2, . . . , rm) satisfazendo (6) e ( 7). Como cada Li ´e linear e

|ri(h)|

khk ≤

kr(h)k khk temos o resultado.

(32)

Se f = ( f1, f2, . . . , fm) :Ω⊂ R → R é uma função diferenciável em xo∈Ω, então sua

diferencial (ou sua derivada de Fréchet) f′(xo) é uma transformação linear de Rn em Rm. A

matriz associada a f′(xo) relativamente às bases canônicas de Rne Rm é dada por

[ f′(xo)] =       ∂f1 ∂x1 (xo) ∂ f1 ∂x2 (xo) ··· ∂ f1 ∂xn (xo) .. . ... . .. ... ∂fm ∂x1 (xo) ∂ fm ∂x2 (xo) ··· ∂ fm ∂xn (xo)      

Observe que as linhas de[ f′(xo)] s˜ao formadas pelos gradientes de cada fiem xo.

No caso em que m= n a matriz [ f′(xo)] ´e denominada de Matriz Jacobiana de f em xo. O seu

determinante ´e denominado de Jacobiano de f em xo, que denotamos por

Jf(xo) = det[ f′(xo)]

Observações: Se Jf(xo) 6= 0, então a matriz [ f′(xo)] é invers´ıvel. Como f′(xo) aproxima

f_{(x) − f (x}o) na vizinhança de xo, seria razoável esperar que f também fosse invers´ıvel nas

proximidades de xo. De fato ´e quase isso, como veremos mais `a frente no estudo do Teorema

(33)

5.8 REGRA DA CADEIA

Teorema 5.1 (Regra da Cadeia) SejamΩsubconjunto aberto de Rne A subconjunto aberto de

Rm_{. Suponhamos f :}Ω_{→ R}m_{e g : A}_{→ R}k_{duas funções tais que f}₍Ω_{) ⊂ A. Se f é diferenciável}

no ponto xoe g é diferenciável em yo= f (xo), então g ◦ f é diferenciável no ponto xoe

(g ◦ f )′(xo) = g′(yo) ◦ f′(xo)

Em particular

[(g ◦ f )′(xo)] = [g′(yo)][ f′(xo)].

Demonstração: Sejam L= f′(xo) e G = g′(yo). Pela definição da diferenciabilidade

f(xo+ h) = f (xo) + L(h) + rf(h), ∀h ∈ Rn g(yo+ k) = g(yo) + G(k) + rg(k), ∀k ∈ Rm satisfazendo as condic¸˜oes lim h→0 |rf(h)| khk = 0 e klim→0 |rg(k)| kkk = 0 Portanto, podemos escrever

g( f (xo+ h)) = g( f (xo)) + G(L(h)) + r(h),

onde r : Rn_{→ R}k ´e definida por r_{= G ◦ r}f+ rg◦ (L + rf).

Al´em disso, kr(h)k khk ≤ kG(rf(h))k khk + krg(L(h) + rf(h))k khk .

Pelo Lema (5.3), podemos escrever kr(h)k khk ≤α krf(h)k khk + krg(k)k kkk kkk khk, onde k= L(h) + rf(h). Como_{kkk ≤}α_{khk + kr}f(h)k, temos kr(h)k khk ≤ krf(h)k khk + krg(k)k kkk α+krf(h)k khk

(34)

O Teorema do Valo Médio se estende para o caso de funções de R em R e sua demonstração é consequência direta da Regra da Cadeia, como se vê na prova do resultado a seguir.

Teorema 5.2 Seja f : Rn_{→ R uma função diferenciável de x}1 e x2 dois pontos quaisquer de

Rn_{. Ent˜ao existe x sobre o seguimento de reta que liga x}₁_{a x2}_{tal que}

f(x2) − f (x1) = h▽ f (x);x2− x1i

Demonstração: Consideremosγ : R_{→ R}na parametrizaçãoγ(t) = x1+ t(x2− x1) da reta que

passa por x1e x2. É fácil ver queγ é função diferenciável eγ′(to)(∆t) = x2−x1para todo to∈ R.

Seja g : R_{→ R a função real definida pela composição g(t) = g} γ(t). Pelo Teorema 5.1, g é uma função derivável e g′(t) =_{▽ f} γ(t); x2− x1

. Pelo Teorema do Valor Médio para funções reais de variável real, g_{(1) − g(0) = g}′(to) para algum to∈]0,1[. Assim denotando por

x=γ(to), segue o resultado.

Observação 5.1 O Teorema do Valor Médio não é valida para funções f : Rn_{→ R}m, se m> 1.

(35)

5.10 DERIVADAS PARCIAIS (CASO GERAL)

Seja f : Rn_{→ R}muma função diferenciável em xo. Então a diferencial f′(xo) fica

determi-nada pela matriz[ f′(xo)].

Se x_{∈ R}ncom x= (y, z) o dom´ınio definido por Rn_{= R}k_×Rl_{, assim x}_{= (y}

1, y2, . . . , yk, z1, z2, . . . , zl),

ent˜ao podemos escrever

[ f′(xo)] =     ∂f1 ∂y1(xo) ··· ∂f1 ∂yk(xo) ∂f1 ∂z1(xo) ··· ∂f1 ∂zl(xo) .. . . .. ... ... . .. ... ∂fm ∂y1(xo) ··· ∂fm ∂yk(xo) ∂fm ∂z1(xo) ··· ∂fm ∂zl (xo)    

Se considerarmos os blocos B e C definidos respectivamente por     ∂f1 ∂y1(xo) ··· ∂f1 ∂yk(xo) .. . . .. ... ∂fm ∂y1(xo) ··· ∂fm ∂yk(xo)    ,     ∂f1 ∂z1(xo) ··· ∂f1 ∂zl(xo) .. . . .. ... ∂fm ∂z1(xo) ··· ∂fm ∂zl(xo)    

ent˜ao para todo h= (h1, h2) ∈ Rk× Rl, temos

f′(xo)h = Bh1+Ch2.

As transformações lineares associadas às submatrizes B e C são denominadas parciais de f em relação respectivamente a y e z em xoe denotamos

B= _∂ f ∂y(xo) , C= _∂ f ∂z(xo)

Com esta notac¸˜ao podemos escrever

f′(xo)h = ∂

f

∂y(xo)h1+

∂f

∂z(xo)h2

Com a notac¸˜ao das derivadas parciais, a Regra da Cadeia toma a seguinte forma

Teorema 5.3 Seja f : Rk_×Rl_{→ R}muma função diferenciáveis em xo, yo. Sejamϕ: Rn1 → Rk

eψ: Rn2_{→ R}l_{funções diferenciáveis tais que}ϕ_(u

o) = xoeψ(vo) = yo. Ent˜ao g : Rn1+n2→ Rm

definida por g(u, v) = f (ϕ(u),ψ(v)) ´e diferenci´avel em (uo, vo) e

[g′(uo, vo)] = _∂ f ∂x(xo, yo) _∂ϕ ∂u(uo) + _∂ f ∂y(xo, yo) _∂ψ ∂v(vo) .

(36)

Para verificarmos se uma função qualquer é diferenciável, devemos recorrer para as definições dispon´ıveis até o momento. Onde é motivado a obter o Teorema que nos fornece condições su-ficiente para a diferenciabilidade de uma função qualquer.

Teorema 5.4 Se uma f :Ω_{→ R possui de derivadas parciais em todos os pontos do aberto}

Ω_{⊂ R}n_{e cada uma delas ´e cont´ınua no ponto x}

o, então f é diferenciável no ponto xo.

Demonstração: `A guisa de simplicidade, faremos a demonstração no caso n= 2; o caso geral segue por argumento análogo.

Seja h= (h1, h2) = h1e1+ h2e2, onde{e1, e2} é a base canônica de R2. Então

f(xo+ h) − f (xo) = f (xo+ h) − f (xo+ h1e1) + f (xo+ h1e1) − f (xo) (8)

Como a função g(t) = f (xo+ h1e1+ te2) é derivável com derivada cont´ınua em torno de t = 0,

temos do Teorema do Valor Médio para funções reais que g(h2) − g(0) = g′(ξ)h2. Portanto, f(xo+ h1e1+ h2e2) − f (xo+ h1e1) = ∂

f

∂x2

(xo+ h1e1+ξ2e2)h2,

ondeξ2∈]0,h2[. Analogamente, a função t → f (xo+ te1) é derivável com derivada cont´ınua

em torno de t= 0. Logo, f(xo+ h1e1) − f (xo) = ∂ f ∂x1 (xo+ξ1e1)h1, ξ1∈]0,h1[. Portanto, f(xo+ h) − f (xo) = ∂ f ∂x1 (xo+ξe1)h1+ ∂ f ∂x2 (xo+ h1e1+ξe2)h2. Denotando por r(h) = _∂ f ∂x1 (xo+ξe1) − ∂ f ∂x1 (xo) h1+ _∂ f ∂x2 (xo+ h1e1+ξe2) − ∂ f ∂x2 (xo+ h1e1) h2, (9) temos f(xo+ h) = f (xo) + h∇f(xo); hi + r(h).

Para concluir que f é diferenciável basta mostrar que r_{(h) é de ordem o(khk).} Por hipótese, dadoε> 0, existeδ _{> 0 tal que se x ∈ B}_δ(xo), então

∂ f ∂xi(x) − ∂f ∂xi (xo) < ε₄.

(37)

Em particular, se x_{, y ∈ B}_δ(xo), ent˜ao ∂ f ∂xi(y) − ∂f ∂xi (x) < ε₂. Portanto, se_{khk <}δ, segue de (9) |r(h)| < ε 2_|h1| + ε 2_|h2|≤εkhk1 e consequentemente, |r(h)| khk1 <ε e o resultado segue da equivalˆencia das norma em Rn.

(38)

Se f :Ω_{⊂ R} _{→ R} é uma função diferenciável em cada ponto x do seu dom´ınio, então podemos considerar a função linear f′(x), diferencial de f em x. Temos assim a aplicação

f′: _{→ L(R}n, Rm),

x _{7→ f}′(x),

onde L(Rn_{, R}m_{) denota o espaço de todas as aplicações lineares de R}n_{em R}m_{. f}′_{é denominada}

a função diferencial de f (ou função derivada de Fréchet de f ).

Observe que, fixada uma base nos espaços Rn em Rm, como por exemplo a base canônica, então cada elemento T de L(Rn, Rm) pode ser representado por uma matriz [T ] de Mm×n.

Exemplo 5.5 Se f(x, y) = (xy, x2+ y2) ent˜ao f′: R2_{→ L(R}2, R2) ´e dada por

[ f′(x, y)] = "

y x

2x 2y #

Exemplo 5.6 Se f : Rn_{→ R é definida por f (x) = kxk}2₂, então f′_{(x) = 2x para todo x ∈ R}n. Logo f′_{≡ 2I, onde I denota a função identidade de R}nem Rn.

Se m= 1, ent˜ao o espac¸o L(Rn, Rm) pode ser identificado com Rn(ou mais precisamente com

M1×n), isto é, L(Rn, Rm) ∼= Rn. Neste caso, se f :Ω→ R é a função diferenciável, podemos

fazer a identificac¸˜ao

f′:Ω _→ Rn

x _7→ ∇f(x)

Definição 5.5 Dizemos que uma função diferenciável f :Ω_{→ R}m é de classe C1(ou continu-amente diferenciável) em xo∈Ωse f′ é função cont´ınua em xo. Dizemos que f é de classe C1

emΩse f′ é função cont´ınua em todos os pontos deΩ.

Como já vimos anteriormente, uma função f pode possuir derivadas parciais e não se difer-enciável. De fato, pode nem mesmo ser cont´ınua. Entretanto, se f é uma função convexa e possui derivadas parciais, então ela é necessariamente de classe C1.

Teorema 5.5 SejaΩ um aberto convexo de Rn e f :Ω_{→ R uma função convexa que possui} derivadas parciais em todos os pontos deΩ. Então f é de classe C1.

(39)

Demonstração: Como f é convexa, então

f(λy_{+ (1 −}λ_{)x) ≤}λf_{(y) + (1 −}λ) f (x) (10) para todo x_{, y ∈}Ωe 0_≤λ _{≤ 1. Seja K um subconjunto compacto de}Ω. Então existeδ > 0 tal que x+ sei∈Ωpara todo x∈ K, |s| <δ, e i= 1, . . . , n, onde {e1, e2, . . . , en} é a base canônica

de Rn. Assim, para y= x + seiobtemos de (10)

f(x +λsei) − f (x)

λ ≤ f (x + sei) − f (x).

Passando ao limite nesta desigualdade quandoλ _{→ 0}+ temos que

s∇f_{(x) · e}i≤ f (x + sei) − f (x).

Como esta desigualdade também é válida substituindo s por_{−s, segue que se s ∈]0,}δ[, então

f_{(x) − f (x − se}i)

s ≤∇f(x) · ei≤

f(x + sei) − f (x)

s (11)

para todo x_{∈ K e i = 1,...,n.}

Se f não é C1, então existeε> 0, xo∈Ωe uma sequência{xk}k≤ 1 emΩtal que xk→ xoe

|∇f(xk) −∇f(xo)| >ε, ∀k. (12)

Seja K_{= {x}o, x1, x2, . . . , }. Se |s| <δ₂ e k ´e suficientemente grande, ent˜ao xk± sei∈Ωe como f

é continua emΩ, segue de (11) que a sequência_{∇f(xk) · ei} é limitada, para cada i = 1,...,n.

Portanto, passando a uma subsequˆencia se necess´ario, podemos supor que existe u_{∈ R}n tal que∇f(xk) → u. Portanto, passando ao limite quando k →∞em (11), temos, para s∈]0,δ₂[ e

i= 1, . . . , n

f(xo) − f (xo− sei)

s ≤ u · ei≤

f(xo+ sei) − f (xo)

s . (13)

Fazendo s_{→ 0}+ em (13) obtemos∇f(xo) = u, o que está em contradição com (12). Portanto,

(40)

A projec¸˜ao ortogonal sobre um convexo fechado C de R definido por

PC: Rn → Rn

x _{7→ P}C

onde PC(x) é denominado projeção ortogonal de x sobre C que é importante pois na analise

convexa e surge com frequência nas aplicações.

Teorema 5.6 Seja C um conjunto convexo e fechado de Rne considere a func¸˜ao f : Rn_{→ R} definida por f(x) = x₋1 2PC(x); PC(x) , (14)

Então f é função de classe C1em Rne f′= PC.

Demonstração: Sejam xoe h em Rn. Então podemos escrever

f(xo+ h) = f (xo) + hPC(xo); hi + r(h), onde r(h) = 1 2kPC(xo)k 2 2− 1 2kPC(xo+ h)k 2 2+ hxo+ h; PC(xo+ h) − PC(xo)i. Como g(x) = 1 2kxk 2

2´e diferenci´avel com g′(x) = x para todo x ∈ Rn, temos do Teorema do Valor

M´edio, 1 2kPC(xo)k 2 2− 1 2kPC(xo+ h)k 2 2= h(1 −θ)PC(xo) +θPC(xo+ h); PC(xo) − PC(xo+ h)i,

para algumθ _{∈]0,1[. Logo,}

r_{(h) = hx}o− PC(xo); PC(xo+ h) − PC(xo)i −θkPC(xo+ h) − PC(xo)k22+ hh;PC(xo+ h) − PC(xo)i

(15) Como as duas primeiras parcelas do lado direito de (15) s˜ao negativas, temos

r_{(h) ≤ khk}2kPC(xo+ h) − PC(xo)k2≤ khk22

Por outro lado, considerando v_{= 1 −}θ, temos

r_{(h) = hvP}C(xo) + (1 − v)PC(xo+ h); PC(xo) − PC(xo+ h)i + hxo+ h; PC(xo+ h) − PC(xo)i

= _hxo+ h − PC(xo+ h); PC(xo+ h) − PC(xo)i + vkPC(xo) − PC(xo+ h)k22≥ 0

(41)

6 TEOREMA DA FUNC¸ ˜AO INVERSA

Vamos aqui tratar um dos temas principais da Análise o Teorema da Função Inversa, onde dada uma função linear g : Rn_{→ R}ndefinida por g_{(x) = xA, onde A é a matriz quadrada n × n.} Para obtermos a inversa da g basta que detA_{6= 0 onde g}−1: Rn_{→ R}ne dada por g−1(x) = xA−1. Mas caso a g (ou g−1) seja Fréchet-deriváveis no ponto xo em Rn, escrevemos g′(xo) = A (ou

(g′)−1= A−1). Agora vamos pegar um subconjunto abertoΩ_{⊂ R}ne uma função f :Ω_{→ R}n que seja Fréchet-derivável no ponto xo∈Ω, pela definição de diferenciabilidade

f(xo+ h) = f (xo) + A(h) + r(h),

onde A, r(h) : Rn_{→ R}n_{e a condic¸˜ao que A matrix linear e lim} h→0 r(h) khk = 0, onde f′(xo) = lim h→0 f(xo+ h) − f (xo) h ,

sendo a func¸˜ao f′: Rn_{→ R}nque melhor aproxima de xo∈Ω.

No entanto é sutil pesar que se a função f :Ω_{→ R}né diferenciável no ponto xo∈Ωe a Matriz

Jacobiana dada por A= [ f′(xo)] tal que

Jf(xo) = det[A] = det[ f′(xo)] 6= 0,

nos leva que a f seja invers´ıvel nas proximidades de xo.

Desta maneira temos que não é verdadeira, mesmo para n= 1. Seja a função f : R_{→ R definida por}

f(x) = ( _x 2+ x 2_sen 1 x se x6= 0, 0 se x= 0.

Derivando a func¸˜ao f em todos os pontos de R obtemos

f′(x) = ( ₁ 2+ 2x sen 1 x− cos 1 x se x6= 0, 1 2 se x= 0.

(42)

No entanto isto seria imposs´ıvel porque f (x) muda de sinal infinita vezes proximo ao ponto zero. Observe que se f′ fosse cont´ınua em xo = 0, ent˜ao f′(x) > 0 para x suficientemente

Figura 5: Inversa

Fonte: Maple

pr´oximo de xo= 0 e ter´ıamos o resultado desejado.

6.1 TEOREMA DA FUNC¸ ˜AO INVERSA

O Teorema da Função Inversa se aplica para função f : V _{→ V com V ⊂ R}n. Vamos utilizar indistintamente a norma_{k k com norma euclidiana k k}2de Rne a norma induzidak kL(Rn_,Rn₎.

Teorema 6.1 SejaΩ_{⊂ R}naberto e f :Ω_{→ R}nfunção de classe C1tal que Jf(xo) 6= 0. Então

existeδo> 0 tal que

a) f ´e injetora em U = B_δ_o(xo);

b) V = f (U) ´e aberto;

c) f−1: V _{→ U ´e de classe C}1e[( f−1)′( f (xo))] = [ f′(xo)]−1.

Demonstração: Faremos a demonstração em quatro etapas.

(43)

Fazendo f′(xo) = A e Jf(xo) 6= 0, por hip´otese A−1 est´a bem definida.

Como f ´e de classe C1, dadoε> 0, existeδ > 0 (dependendo deε e xo) tal que

kx − xok <δ ⇒ k f′(x) − Ak <ε. (16)

Como B_δ(xo) ´e aberto, ent˜ao podemos tomar x ∈ Bδ(xo) e h 6= 0 tal que x + h ∈ Bδ(xo).

Afirmo: f_{(x + h) 6= f (x) se}δ > 0.

Com efeito Sejaϕ :_{[0, 1] → R}n definida por ϕ_{(t) = f (x + th) − tAh. Ent˜ao}ϕ ´e de classe C1 no intervalo aberto ]0,1[ em virtude do Teorema da Regra da Cadeia obtemos,ϕ′(t) = f′(x +

th_{)h − Ah. E pelo Teorema Fundamental do Calculo temos}

ϕ(1) −ϕ(0) = Z 1 0 ϕ ′_(t)dt, isto ´e, f_{(x + h) − Ah − f (x) =} Z 1 0 ( f ′_{(x + th) − A)hdt.} Em particular k f (x + h) − f (x) − Ahk ≤ Z 1 0 k f ′_{(x + th) − Akkhkdt}

como x_{+ th ∈ B}_δ(xo), ∀t ∈]0,1[ segue de (16) que

k f (x + h) − f (x) − Ahk < Z 1 0 εkhkdt =εkhk (17) ou seja, k f (x + h) − f (x) − Ahk <εkhk (18) temos_{khk = kA}−1Ah_{k ≤ kA}−1_{kkAhk segue da´ı que khk ≤ kA}−1_{kkAhk e obtemos de (18)}

k f (x + h) − f (x) − Ahk < εkA−1kkAhk −k f (x + h) − f (x) − Ahk > −εkA−1kkAhk (19) usando (19), obtemos k f (x + h) − f (x)k = k f (x + h) − f (x) − Ah + Ahk ≥ kAhk − k f (x + h) − f (x) − Ahk > kAhk −εkA−1kkAhk > kAhk −εkA−1kkAhk > (1 −εkA−1k)kAhk k f (x + h) − f (x)k > (1 −εkA−1k)kAhk (20)

(44)

k f (x + h) − f (x)k > ₂kAhk.

Como a matriz A possui inversa, Ah_{6= 0 ∀h 6= 0 onde temos que f ´e injetiva.}

Etapa 2: Vamos provar que existeδ2tal que f Bδ₂(xo)

´e aberto.

Por hipótese f é de classe C1, x_{7→ J}f(x) é uma função cont´ınua. Logo, existe eδ > 0 tal que

Jf(x) 6= 0 ∀x ∈ B_δ_e(xo).

Considere-seδ2= min{δ1, eδ}. Ent˜ao Jf(x) 6= 0 para todo x ∈ Bδ2(xo) e f injetora em Bδ(xo).

Provemos que W = f (B_δ₂(xo)) ´e um conjunto aberto.

Seja y1∈ W . Então pela definição de imagem existe um único x1∈ Bδ₂(xo) tal que f (x1) = y1.

Tome r> 0 tal que Br(x1) ⊂ Bδ2(xo) e considere a fronteira

K=∂Br(x1) e u(x) = k f (x) − f (x1)k. u : K _{→ R}

u _{7→ u(x) = k f (x) − f (x}1)k

onde u é cont´ınua pois, f é cont´ınua e a norma de uma função cont´ınua é cont´ınua. Como K é compacto e u é função cont´ınua, existe x∗_{∈ K tal que}

m :_{= inf{u(x);x ∈ K} = u(x}∗).

Observe que x∗_{∈ K ⇒ x}∗_{6= x}1⇒ f (x∗) 6= f (x1) pela injetividade da f e pela definic¸˜ao de m

temos, m= u(x∗_{) = k f (x}∗_{) − f (x}1)k > 0 ,ou seja m > 0.

Afirmo: Bm

2( f (x1)) ⊂ Br(x1) ⊂ W.

Com efeito, tome y_{∈ B}m

2( f (x1)). Isto ´e, ky − f (x1)k <

m

2. Definindo w : Br(x1) → R

x _{7→ w(x) = k f (x) − yk.}

Como Br(x1) ´e compacto, existe x ∈ Br(x1) tal que

w(x) = min_{{w(x);x ∈ B}r(x1)}. Observe que w(x) _≤ w(x1), k f (x) − yk ≤ k f (x1) − yk < m₂ w_{(x) = k f (x) − yk ≤ k f (x}1− y)k < m 2.

(45)

Observe tamb´em que se x_{∈ K, ent˜ao} w_{(x) = k f (x) − yk ≥ k f (x) − f (x}1)k − k f (x1− y)k ≥ m − m 2 = m 2. Portanto x_{∈ K, o que implica x ∈ B}/ r(x1).

Afirmo: f_{(x) = y, isto ´e y ∈ f (B}r(x1)).

Com efeito, se x é o ponto de m´ınimo de w(x) em Br(x1), então x também é ponto de m´ınimo de g(x) =1₂_{k f (x) − yk}2_{. Como x é ponto interior, g}′_{(x)h = 0, ∀h ∈ R}n_{, o que implica que}_{∀h ∈ R}n_.

g(x) = 1₂ _{f (x) − y} 2 g(x) = 1 2 D f(x)_{− y; f (x) − y}E aplicando a diferenciabilidade em g 0= g′(x)h = 1₂Df(x)_{− y; f}′(x)hE+Df′_{(xh); f (x) − y}E = 1₂Df(x)_{− y; f}′(x)hE+Df_{(x) − y; f}′(x)hE = 1 2 2 D f_{(x) − y; f}′(x)hE = Df(x)_{− y; f}′(x)hE = Df′(x)T_{( f (x) − y);h}E. para todo h_{∈ R}n. Ent˜ao

f′(x)T_{( f (x) − y) = 0.} Agora, como detf′(x)T = detf′(x)= Jf(xo) 6= 0 segue-se que f_{(x) − y = 0,}

ou ainda, f(x) = y, e a afirmativa est´a provada.

Etapa 3: Se U = B_δ₂(xo) e V = f (U), então f−1: V → U é diferenciável.

Seja y_{∈ V y = f (x), x ∈ B}_δ₂(xo)

e tome r_{> 0 suficientemente pequeno tal que y + k ∈ V para} todo k tal que_{kkk < r,}

h = f−1_{(y + k) − x} h+ x = f−1(y + k) f(h + x) = f ( f−1(y + k)) f(h + x) = y + k k _{= f (h + x) − y} k_{= f (h + x) − f (x).} (22)

(46)

satisfazendo a condic¸˜ao lim h→0 krf(h)k khk = 0. (24) De (22) e (23) obtemos que k=f′(x)(h) + rf(h). (25)

Já que x_{∈ U = B}_δ₂(xo) então, Jf(x) 6= 0 e f′(x) é invers´ıvel, consequentemente existe

f′(x)−1. Assim, seja B=f′(x)−1. Multiplicando a matriz B em (25), obtemos

Bk = B f′(x)h + Brf(h) Bk = h + Brf(h) h _{= Bk − Br}f(h) Tamb´em h= f−1_{(y + k) − f}−1(y). Portanto, f−1_{(y + k) − f}−1_{(y) = Bk − Br}f(h) f−1(y + k) = f−1_{(y) + Bk − Br}f(h)

Para provar que f−1 ´e diferenci´avel, basta provar que lim

k→0

kBrf(h)k

kkk = 0 (26)

De fato, como na Etapa 1 temos:

kkk = k f (x + h) − f (x)k ≥ 1₂kAhk (27) Por outro lado como A ´e invers´ıvel temos h= A−1Ah, aplicando a norma _{khk = kA}−1Ah_{k ≤}

kA−1kkAhk, da´ı kAhk ≥ khk kA−1_k (28) De (27) e (28) obtemos que kkk ≥ 1 2 khk kA−1_k ⇔ 1 kkk ≤ 2_kA−1_k khk

(47)

e 0_≤kBrf(h)k kkk = kBrf(h)k 1 kkk ≤ kBkkrf(h)k 2_kA−1_k khk = 2kA −1_kkBkkr f(h)k khk 0_≤kBrf(h)k kkk ≤ 2_kA−1_kkBkkrf(h)k khk Quando k_{→ 0 implica h → 0 o que implica por (24)} 2kA

−1_kkBkkr f(h)k

khk tende a zero, assim 0_≤ kBrf(h)k kkk ≤ 0, como queriamos lim h_→0 krf(h)k khk = 0. Logo, f−1 ´e diferenci´avel em y_{= f (x) ∈ V , por tanto existe}

f−1′(y) ef−1′(y) =f′(x)−1=hf′ f−1(y)i−1

para todo y_{∈ V .}

Etapa 4: f−1: V _{→ U ´e de classe C}1.

De fato, A= f′(x1) e B = f′(x2). Como f ´e de classe C1, dadoε> 0, existeδ > 0 tal que

kx2− x1k <δ ⇒ f′_(x 2) − f′(x1) <ε

Como f ´e de classe C1, dadoε> 0, existeδ > 0 tal que kx2− x1k <δ ⇒ kB − Ak <ε

Visto que B−1_{− A}−1= B−1_{(A − B)A}−1, obtemos

kB−1− A−1k ≤ kB−1kkA − BkkA−1k

Por outro lado,_{∀h ∈ R}n, temos

h= A−1Ah, aplicando norma

khk = kA−1Ah_{k ≤ kA}−1_{kkAhk ⇔ kAhk ≥} khk

kA−1_k, ∀h ∈ R

(48)

= kAh + (B − A)hk ≥ kAhk − k(B − A)hk ≥ kAhk − k(B − A)kkhk subtituindo (29) ≥ khk kA−1_k− k(B − A)kkhk. Portanto, kBhk ≥ 1 kA−1_k− k(B − A)k khk. Observamos que, kx2− x1k <δ ⇒ kB − Ak <ε ⇒ −kB − Ak > −ε ⇒ 1 kA−1_k− kB − Ak > 1 kA−1_k−ε ⇒ 1 kA−1_k− kB − Ak khk ≥ 1 kA−1_k−ε khk Onde obtemos que,

kx2− x1k <δ ⇒ kBhk ≥ 1 kA−1_k−ε khk Escolhendoε= 1₂_kA−1_{k ≥ 0 e o}δ _≤δ2correspondente, obtemos

kBhk ≥ 1 kA−1_k− 1 2 A−1 khk ≥ 1 2_kA−1_k khk onde kBhk ≥ ₂ 1 kA−1_kkhk.

Tomando k= Bh temos B−1k= h, aplicando norma, obtemos kB−1k_{k = khk}

kB−1k_{k = 2kA}−1_kkBhk

kB−1kkkk ≤ 2kA−1kkkk kB−1k ≤ 2kA−1k

(49)

Portanto, se_kx1− x2k <δ, conclu´ımos

kB−1− A−1k ≤ kB−1kkB − AkkA−1k ≤ 2kA−1kkB − AkkA−1k = 2kA−1k2_{kB − Ak}

< 2kA−1k2kε. Deste modo, obtemos

kx1− x2k <δ ⇒ kB−1− A−1k < 2kA−1k2kε ⇒ f′(x2) −1 −f′(x1) −1 _{< 2kA}₋₁ k2ε

Isso mostra que f−1 ´e de classe C1.

Definição 6.1 Seja f : U_{→ V uma função bijetora. Dizemos que f é um homeomorfismo entre}

U e V se f e f−1 são cont´ınuas. Dizemos que f é um difeomorfismo entre U e V se f e f−1 são diferenciáveis.

Podemos reescrever o Teorema da Função Inversa utilizando a terminologia da definição acima, que fica:

Teorema 6.2 Se f é função de classe C1e Jf(xo) 6= 0, então existem vizinhanças abertas U e

V respectivamente de xoe f(xo) tais que f ´e difeomorfismo de classe C1entre U e V .

6.2 M ÉTODO DAS CARACTERÍSTICAS UMA APLICAÇ ÃO DO TEOREMA DA FUNÇ ÃO INVERSA

Nesta parte vamos mostrar uma aplicação direta do Teorema da Função Inversa, o Método da Caracter´ısticas para a solução de equações a derivadas parciais de primeira ordem, vamos enunciar o problema.

Problema: Seja γ uma curva de R2 parametrizada por γ : I _→Ω, onde I é um intervalo de R eΩum aberto em R2. Sejam a, b, c :Ω_{→ R funções dadas.}

Determinar uma funçãoϕ(x, y) solução da equação

a(x, y)∂ϕ

∂x + b(x, y)

∂ϕ

∂y = c(x, y), (30)

cujos os valores sobre a curva γ s˜ao prescritos, isto ´e,ϕ(γ(ξ)) =ϕo(ξ) onde ϕo: