Aspectos teóricos e práticos da análise estatística de um experimento em blocos casualizados com efeitos aleatórios

Texto

(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIBA ˆ CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA ´ DEPARTAMENTO DE ESTATISTICA. ˜ BATISTA FILGUEIRA COSTA JOAO. ´ ´ ´ ASPECTOS TEORICOS E PRATICOS DA ANALISE ´ ESTATISTICA DE UM EXPERIMENTO EM BLOCOS ´ CASUALIZADOS COM EFEITOS ALEATORIOS. CAMPINA GRANDE DEZEMBRO DE 2010.

(2) ˜ BATISTA FILGUEIRA COSTA JOAO. ´ ´ ´ ASPECTOS TEORICOS E PRATICOS DA ANALISE ´ ESTATISTICA DE UM EXPERIMENTO EM BLOCOS ´ CASUALIZADOS COM EFEITOS ALEATORIOS Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) apresentado ao curso de Bacharelado em Estat´ıstica do Departamento de Estat´ıstica do Centro de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual da Para´ıba em cumprimento a` s exigências legais para obtença˜ o do t´ıtulo de bacharel em Estat´ıstica.. Orientador:. ˜ GIL DE LUNA JOAO. CAMPINA GRANDE DEZEMBRO DE 2010.

(3) ´ FICHA CATALOGRAFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL - UEPB C837a. Costa, João Batista Filgueira.. Aspectos teóricos e práticos da análise estat´ıstica de um experimento em blocos casualizados com efeitos aleatórios [manuscrito] / João Batista Filgueira Costa. - 2010. 46 f.: il. Digitado. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduaça˜ o em Estat´ıstica) - Universidade Estadual da Para´ıba, Centro de Ciências e Tecnologias, 2010. ”Orientaça˜ o: Prof. Dr. João Gil de Luna, Departamento de Estat´ıstica”. 1. Estat´ıstica aplicada. 2. Análise estat´ıstica de dados. 3. Estat´ıstica. I. T´ıtulo. 21. ed. CDD 519.53.

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(5) Dedicatória A minha filha Guiomar, que fez-me abrir os olhos para o tempo, refletir e descobrir ainda que tardio, que e´ poss´ıvel sonhar e realizar os mais imposs´ıveis sonhos desde que haja dedicaça˜ o e e´ tica..

(6) Agradecimentos Agradeço a minha esposa(Girlene Filgueira), aos meus pais(Humberto Saturnino e Cec´ılia Filgueira), meus irmãos e irmães, aos meus professores em particular (PHD. João Gil de Luna; Fernando Bezerra e Dr. Edwirde) e aos demais professores os quais tenho muito respeito admiraça˜ o e estima, ao coordenador do curso de estat´ıstica Prof.(Dr. Gustavo Esteves) aos meus colegas de turma(Thiago, Emanuela, Marcelo Sampaio), aos funcionários(Vera na biblioteca, Nadilma na secretaria), ao diretor do Centro de Ciências Tecnológicas(CCT) Prof. Juarez Fernandes e Prof. José Tavares por colaborarem e subsidiarem no per´ıodo em que estive a` presidência do Centro Acadêmico de Estat´ıstica(CAE), minhas tias(Inalda Saturnino e Marinês Barros), ao casal(Hailton Saturnino e Zetinha dos Anjos) ao meu primo (Cláudio Germano)..

(7) Resumo Geralmente os textos dispon´ıveis na literatura especializada trata a Estat´ıstica Experimental como um conjunto de procedimentos que se propõe a resolver os problemas inferenciais das pesquisas cient´ıficas em outras a´ reas do conhecimento e pouco, ou quase nada, está interessada em aprofundar-se no formalismo matemático/estat´ıstico que dão origem a estes procedimentos. Este trabalho se propõe a contribuir com o desenvolvimento teórico dos procedimentos que dão suporte a` s análises estat´ısticas dos dados de um experimento em blocos casualizados de efeitos aleatórios, uma vez que esse enfoque não e´ encontrado com frequência na literatura ou ocorre de forma bastante fragmentada. Neste sentido, procurou-se apresentar alguns conceitos utilizados na experimentaça˜ o, definiu-se o modelo matemático associado a` s observaço˜ es experimentais, encontrou-se os estimadores de máxima verossimilhança dos efeitos dos fatores sobre a variável resposta, discutiu-se algumas propriedades dos estimadores e os argumentos teóricos que fundamentam a análise da variância (ANOVA). Além disso, utilizou-se o método da ANOVA para estimar os componentes da variância discutindo-se as análises complementares. Os dados de um experimento real foram analisados e os resultados foram comentados detalhadamente. Palavras-chave - Análise de Variância, Componente de Variância, Modelo Aleatório..

(8) Abstract The texts available in specific literature generally treats the experimental statistic like a set of the procedures that proposes to solve the inferences problems of the scientific researches in others areas of the knowledge and hardly ever to be interested in to study in depth in mathematic/statistic formalism that gives origin to theses procedures. This work proposes to contribute with the theoretical development of the procedures that gives support to the statistics analysis of the experiment in blocks by chance of the Random process, because this focus doesn’t is found in frequency in the literature or to happen of the form enough fragmentary. Therefore it look for present some concept used in the experimentation, defined the mathematic model associated to the experimental observations, it found the estimators of the maximum verisimilitude of the factories’ effect about the answer variable, it discussed some estimator´s property and the theoretical argument that found the analysis of variance (ANOVA). Besides which, it used the ANOVA method to estimate the complementary analyses. The factor of the one real experiment was analyzed and the results were commented on details. Key words - Analysis of Variance, Variance Components, Random model..

(9) Sumário. Lista de Tabelas Lista de abreviaturas 1. Introduça˜ o 1.1. 1.2. p. 10. Princ´ıpios básicos da experimentaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 12. 1.1.1. Repetiça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 12. 1.1.2. Casualizaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 12. 1.1.3. Controle local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 12. Conceitos do plano experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 14. 1.2.1. Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 14. 1.2.2. Tratamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 14. 1.2.3. Testemunha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 15. 1.2.4. Res´ıduo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 15. 1.2.5. Parcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 15. 1.2.6. Consideraço˜ es Gerais do Delineamento em Blocos Casualizados . . .. p. 16. 1.2.6.1. Vantagens na instalaça˜ o de um Delineamento em Blocos Casualizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2.6.2. 1.3. p. 16. Desvantagens na instalaça˜ o de um Delineamento em Blocos Casualizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 17. Componentes de variância no modelo aleatório . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 17. Definiça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 17. 1.3.1.

(10) 2. Desenvolvimento teórico. p. 18. 2.1. Efeitos fixos, efeitos aleatórios e hipóteses de interesse . . . . . . . . . . . .. p. 18. 2.2. O modelo estat´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 19. 2.3. Estimaça˜ o dos efeitos do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 20. 2.4. Decomposiça˜ o da variabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 23. 2.5. Distribuiço˜ es de probabilidade dos estimadores dos efeitos dos componentes do modelo e das somas dos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 23. 2.6. Valores esperados das somas dos quadrados e dos quadrados médios . . . . .. p. 29. 2.7. Análises estat´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 32. 2.8. Estimaça˜ o por ponto dos componentes da variância . . . . . . . . . . . . . .. p. 34. 2.8.1. ponente da variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 35. Estimativa negativa de um componente da variância . . . . . . . . . .. p. 35. Estimaça˜ o por intervalo dos componentes da variância . . . . . . . . . . . .. p. 35. 2.8.2 2.9. Estimadores da proporça˜ o da variabilidade total explicada pelos com-. 2.10 Procedimento prático para a análise dos dados de um experimento em blocos ao acaso de efeitos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 36. 2.11 Uma aplicaça˜ o da teoria a uma pesquisa real . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 38. 2.11.1 Cálculos das somas dos quadrados e a análise da variância . . . . . .. p. 38. 2.11.2 Estimativas dos componentes da variância . . . . . . . . . . . . . . .. p. 39. 2.11.3 Estimativas das proporço˜ es da variabilidade total explicada pelos componentes da variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 40. 2.11.4 Estimativas dos intervalos com 95% de confiança para os componentes da variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Conclusões. Referências. p. 40 p. 42 p. 44.

(11) Lista de Tabelas 1. Entrada de dados de um experimento em blocos completos casualizados. . . .. 2. Distribuiço˜ es de probabilidades dos estimadores dos efeitos do modelo e das. p. 14. somas dos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 29. 3. Tabela da análise de variância com as esperaças dos quadrados médios . . . .. p. 32. 4. Dados da produão de grãos (ton/ha) de 10 cultivares de arroz obtidos de um. 5. experimento em blocos casualizados com tês repetiço˜ es, Lavras-MG. . . . . .. p. 38. A análise da variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 39.

(12) Lista de abreviaturas ANOVA (ANalysis Of VAriance) FV - Fonte de Variaça˜ o, ou seja, as partes da variaça˜ o total GL - Graus de liberdade associados a` FV SQ - Soma de quadrados (variaça˜ o devida FV) QM - Quadrado médio (Quociente da SQ pelo GL) F - Valor da estat´ıstica de teste F de Fisher ML - (máxima verossimilhança).

(13) 10. 1. Introduça˜ o. Um dos primeiros registros sobre a realzaça˜ o de experimentos agr´ıcolas deu-se há mais de três séculos, pelo Belga Jonhan Baptista Vam Helmont. O objeto de estudo de Helmont baseavase no fato de mostrar que os vegetais eram formados somente por a´ gua. Despresando outros componentes constitu´ıdos pelo solo ou ambiemte onde estes fossem cultivados. Helmont foi o pioneiro pesquisador a empregar a técnica de causas controladas, em que se observou com registro, analisando três variáveis que foram: uma planta, uma unidade de a´ rea limitada, ou parcela e uma ilimitada quantidade de a´ gua ou tratamento, no per´ıodo de cinco anos. Atualmente um estudo dessa natureza onde se realiza uma simples observaça˜ o por causas controladas, de modo sistemático, chama-se experimento. Em 1834, surge na França a primeira estaça˜ o experimental, Boussingault, fundada por Busenka, com a finalidade espec´ıfica de estudar as fontes de fornecimento de nitrogênio para as plantas e outros nutrientes nos manejos rotacionais, desta estaça˜ o experimental surge investigaço˜ es consideradas obras primas de uma pesquisa experimental. Santos(2008, p.23). Em meados do século XIX houve um grande avanço na a´ rea das ciências agronômicas, em virtude da necessidade para implantaça˜ o de técnicas e métodos que viabilizasse a maximizaça˜ o da produça˜ o agr´ıcola em larga escala, assim como novas variedades de plantas com teor de produça˜ o elevado obdecendo as pespectivas futuras sobre alimentaça˜ o. Para atender as necessidades da produça˜ o agr´ıcola foram criadas as estaço˜ es experimentais, que no decorrer dos anos seguintes foi a base para todo desenvolvimento e aplicaça˜ o dos termos e técnicas expec´ıficos, chamados de experimentos . No inicio do século XX com o desenvolvimento da indústria petrol´ıfera surge da qu´ımica substâncias necessárias e suficiente para a fertilizaça˜ o dos solos, aplicando nutrientes ausentes com o objetivo de equilibrar o potencial produtivo, necessitando de estudos sistematizados dos experimentos, ou seja, o planejamento. Com os estudos de Ronald Fisher chefe da estaça˜ o experimental Rothamsted, na Inglaterra no périodo de 1912 a 1933. Suas idéias revolucionaram o campo da experimentaça˜ o, eliminando.

(14) 11. o carater emp´ırico, ou seja, técnica conhecida apenas na observaça˜ o, desprezando no entanto o estudo. Fisher desenvolveu uma técnica conhecida na estat´ıstica como análise de variância. Esta técnica teve enorme repercursão entre os cientistas e causou um passo extraodinário não somente no planejamento de experimentos mas também na análise e interpretaça˜ o dos resultados, cujas técnicas são utilizadas até os dias atuais. Os pesquisadores dispõem de uma gama de Softweres Estatisticos, uma das ferramentas usadas para análise de dados, que diante do dom´ınio devido, efetuará cálculos complexos em fraça˜ o de segundos. Existe atualmente um grande volune de trabalhos publicados na a´ rea da pesquisa agronômica, mas estar sendo notável a aplicaça˜ o sutil em todos os ramos do conhecimento humano, e esse avanço e´ decorrente em parte, a´ s técnicas e teorias da estat´ıstica para validaça˜ o cientifica desses estudos. Quando um pesquisador realiza um estudo, no decorrer do tempo se depara com um problema peculiar generalizado, que e´ a ausência de fontes bibliográficas que subsidie o desenvolvimento estat´ıstico teórico exploratório. Quando em um experimento estamos interessados em estudar apenas um tipo de variável independente dizemos que possuimos apenas um fator. O tipo de tratamento tem importância significativa na forma como os dados serão analisados, influênciando nas devidas conclusões posteriores. Os tratamentos também são chamados de variáveis independentes. As conclusões que se obtém na analise de experimentos com efeitos de tratamentos fixos são diferentemente das conclusões que se obtém na análise de experimentos com efeitos de tratamentos aleatórios. Se os efeitos são fixos, as conclusões ficam restritas aos tratamentos em teste, mas se os efeitos dos tratamentos são aleatórios, as conclusões devem ser estendidas para toda a populaça˜ o de onde os tratamentos foram amostrados. O pesquisador de posse dos resultados faz uso de um ramo da estat´ıstica chamado inferência estat´ıstica ou estat´ıstica indutiva, como se refere alguns autores, que faz uso das informaço˜ es contidas numa amostra (ou experimento) para concluir para toda populaça˜ o. O objetivo principal deste trabalho e´ apresentar os aspectos téoricos envolvidos na análise estat´ıstica de um experimento em blocos casualizados com efeitos aleatórios, os quais não são encontrados facilmente na literatura especializada e quando são encontrados carecem de clareza e justificativas teóricas. Além disso, e´ usado um exemplo real para ilustrar toda teoria, com interpretaço˜ es adequadas ao problema proposto..

(15) 12. 1.1. Princ´ıpios básicos da experimentaça˜ o. Esta seça˜ o tem como objetivo apresentar alguns conceitos básicos da experimentaça˜ o, que fundamenta a análise estat´ıstica dos dados provenientes de um planejamento de experimento com tratamento em blocos casualizados. Dentre outros, os tipos de delineamento experimental são: inteiramente casualizado, em blocos ao acaso, em quadrados latinos, etc. No delineamento experimental inteiramente casualizado estuda-se apenas duas fontes de variaça˜ o, que são: tratamentos e erro, porém no delineamento experimental em blocos completos ao acaso são três fontes: tratamentos, blocos e erro. Os princ´ıpios básicos da experimentaça˜ o são três: Repeti¸ca˜ o, casualiza¸ca˜ o e controle local.. 1.1.1. Repetiça˜ o. Refere-se ao uso de mais de uma unidade experimental por tratamento. Assim, se em um experimento os tratamentos estiverem repetidos J vezes, diz-se que o ensa io ou experimento possui J repetiço˜ es. Tal princ´ıpio tem por finalidade propiciar a obtença˜ o de uma estimativa do res´ıduo experimental, melhorar a precisão do experimento e fazer com que o teste de hipóteses seja poss´ıvel. Santos(2008, p.42).. 1.1.2. Casualizaça˜ o. A casualizaça˜ o consiste em se distribuir aleatoriamente os tratamentos nas parcelas, de modo que cada uma tenha a mesma chance de ocupar qualquer parcela na a´ rea experimental. A casualizaça˜ o assegura a validade da estimativa do erro experimental, pois permite uma distribuiça˜ o do erro experimental. Vanderlei(2000, p.53).. 1.1.3. Controle local. Controle local e´ usado quando as parcelas, antes de receberem os tratamentos, apresentam diferenças entre si. Dessa maneira, deve-se fazer o agrupamento das parcelas homogêneas em blocos, que têm por finalidade diminuir o erro experimental. Os critérios para agrupamentos das parcelas homogêneas em blocos podem ser: idade, sexo, peso textura, localizaça˜ o geográfica, topografia, etc. Neste trabalho nos detemos ao estudo dos experimentos em blocos completos casualizados de efeitos aleatórios, cujo desenho desse tipo de ensaio no campo pode assumir várias con-.

(16) 13. figuraões. Dentre elas, considerando-se I = 5 tratamentos e J = 4 blocos, um poss´ıvel desenho pode ser visto na figura a seguir.. T3. T1. T5. T4. T2. −→ B1. T5. T2. T4. T1. T3. −→ B2. T1. T4. T2. T3. T5. −→ B3. T4. T3. T1. T5. T2. −→ B4. Observe que: 1. cada bloco contém um conjunto completo dos tratamentos; 2. os tratamentos são distribu´ıdos aleatoriamente dentro de cada bloco. Os blocos controlam os efeitos de algumas variáveis externas, ou variáveis de perturbaça˜ o. Este delineamento experimental talvez seja o tipo mais importante dentro da estat´ıstica experimental. Moore(2003,p.304). Considerando que uma variável resposta Y esteja sendo mensurada, defina Yi j como sendo o valor obtido da variável resposta e yi. e´ o valor obtido para o tratamento I e y¯ i. sua respectiva média. Para y. j o valor obtido para o bloco J e y¯ . j a média do bloco. E para y¯ .. representa a média geral..

(17) 14. Tabela 1: Entrada de dados de um experimento em blocos completos casualizados.. 1.2 1.2.1. Tratamentos (T i ) T1 T2 .. .. Blocos ··· j · · · y1 j · · · y2 j .. .. 1 y11 y21 .. .. 2 y12 y22 .. .. ··· ··· ···. J y1J y2J .. .. Ti .. .. yi1 .. .. yi2 .. .. ···. yi j .. .. ···. yiJ .. .. TI Total Média. yI1 y.1 y¯ .1. yI2 y.2 y¯ .2. ··· ··· ···. yI j y. j y¯ . j. ··· ··· ···. yI J y.J y¯ .J. Total Média (yi. ) (mi = y¯ i ) y1. m1 = y¯ 1. y2. m2 = y¯ 2. .. .. . . yi. mi = y¯ i. .. .. . . yI. y... mI = y¯ I. m = y¯ ... Conceitos do plano experimental Experimento. E´ um processo racional e sistematizado, e´ planejado para descobrir ou obter novos fatos, aceitar ou rejeitar hipóteses pesquisadas ou obtidas anteriormente ou em vigor. Experimento, também denominado de ensaio, e´ uma operaça˜ o na qual se procura avaliar o efeito de vários tratamentos em conjunto, comparando-os em seguida baseado numa hipótese estat´ıstica. Considerando um teste estat´ıstico ideal ou adequado e´ definido também como uma experiência que se aplica a causas controladas. Os blocos, são considerados em um experimeto fator que objetiva tornar um ambiente heterogêneo em homogêneo, controlando o ambiente ou material experimental afim de que não haja influência de outras variáveis ou variáveis de perturbaça˜ o, como a luz, ventilaça˜ o a temperatura, etc.. 1.2.2. Tratamento. Tratamento e´ uma condiça˜ o imposta ou objeto que se deseja medir ou avaliar em um experimento. A n´ıvel de pesquisa podemos classificar essa condiça˜ o como delimitaça˜ o do problema ou objetivo geral. Nos experimentos, em geral, e´ utilizado uma técnica para o planejamento do experimento, que por sua vez vai depender da natureza do problema a ser estudado. Os experimentos podem apresentar mais de um efeito de tratamento, os efeitos de tratamentos se dividem em dois tipos que são, efeitos de tratamentos aleatórios e efeitos de tratamentos fixos. Nos efeitos de tratamentos fixo o pesquisador, antes de iniciar a aplicaça˜ o do experimento especifica ou escolhe o tratamento que irá comparar, já nos tratamentos com efeitos aleatórios, os tratamentos a ser comparados são sorteados. O pesquisador aplica as técnicas de amostragem.

(18) 15. aleatórias, para escolher os tratamentos que irá analisar. Os tratamentos se dividem em dois tipos, tratamento qualitativo e tratamento quantitativo. Os tratamentos que podem ser postos numa ordem, são chamados de tratamentos quantitativo. Por outro lado os tratamentos que não permitem uma ordem são chamados de tratamentos qualitativos. cada tipo de tratamento também pode ser chamado de fator. Quando em um experimento estamos interessados em estudar apenas um tipo de variável aleatória independente dizemos que possuimos apenas um fator. O tipo de tratamento tem importância significativa na forma como os dados serão analisados, influenciando nas devidas conclusões posteriores. Os tratamentos também são chamados de variáveis aleatórias independentes.. 1.2.3. Testemunha. E´ um tratamento padrão, nele não se altera as condiço˜ es naturais ou arbitrária, e´ a base para a comparaça˜ o do estudo em que estamos realizando, seja doses de nutrientes, tipos de medicamentos, composiça˜ o de uma peça de automóvel, etc. A importância da variável testemunha e´ tanto quanto as demais incluidas no experimento, deve ter as mesmas consideraço˜ es, cont´ınuas ou discretas,ordinal ou nominal qualitativas ou quantitativas. A variável testemunha e´ um ponto de partida e segue uma sequencia dentro da fonte de variaça˜ o.. 1.2.4. Res´ıduo experimental. Segundo Santos(2008, p.39) e´ a medida das variaço˜ es existentes entre os dados ou observaço˜ es que se apresentam nas unidades experimentais que recebem os tratamentos iguais, ou seja, e´ a causa da variaça˜ o que reflete os efeitos do acaso. Classificaça˜ o dos erros experimentais. • Inerentes a` variabilidade nas unidades experimentais, nas quais os tratamentos são aplicados, portanto e´ caracteristica destas unidades produzirem resultados diferentes quando submetidas ao mesmo tratamento. Logo, em outras palavras, dificilmente os valores observados a cada repetiça˜ o dos tratamentos serão iguais. • Ausência de uniformidade na conduça˜ o f´ısica do experimento, isto e´ , quando há falhas na padronizaça˜ o da técnica aplicada.. 1.2.5. Parcela. Segundo Vanderlei(2000, p.2), parcela e´ a unidade em que e´ feita a aplicaça˜ o casualizada do tratamento , de modo a fornecer os dados experimentais que deverão refletir seu efeito. Em.

(19) 16. outras palavras, e´ a menor porça˜ o do material experimental onde os tratamentos são avaliados. Por exemplo, uma parcela pode ser: uma u´ nica planta ou um grupo delas, uma a´ rea de terreno com plantas, um lote de sementes, um vaso de barro (argila), uma parte da copa de uma a´ rvore ou copa inteira, uma caixa de madeira, uma placa de petri, etc.. Consideraço˜ es Gerais do Delineamento em Blocos Casualizados. 1.2.6. O delineamento em blocos casualizados, também denominado de delineamento em blocos completos casualizados, se constitui no delineamento estatistico mais utilizado na pesquisa agronômica devido a sua simplicidade, flexibilidade e alta precisão. Os experimentos instalados de acordo com este delineamento são denominados de experimentos em blocos casualizados. Os experimentos em blocos casualizados levam em consideraça˜ o os três princ´ıpios básicos da experimentaça˜ o: repetiça˜ o, casualizaça˜ o e controle local, contudo o controle local e´ usado na sua forma mais simples poss´ıvel e e´ representado pelos blocos. Vanderlei(200, p.141). 1.2.6.1. Vantagens na instalaça˜ o de um Delineamento em Blocos Casualizados. • A formaça˜ o de blocos permite eliminar, das comparaço˜ es entre tratamentos e da variaça˜ o residual, a parte da variaça˜ o devida a` heterogeneidade do material experimental atribu´ıvel a` s diferenças entre os blocos. • Em tese, o delineamento em blocos ao acaso não limita o número de repetiço˜ es dos tratamentos. • A análise estat´ıstica de experiemntos em blocos casualizados e´ simples. A perda de um ou mais tratamento e até de um bloco não ocasiona complicaço˜ es para a análise estat´ıstica. • As parcelas perdidas são facilmente estimadas. Santos(2008, p.94). • Apresenta um número razoável de graus de liberdade para o res´ıduo - Ele se encontra numa faixa intermediária entre o delineamento inteiramente casualizado, que apresenta um maior número de graus de liberdade para o res´ıduo e o delineamento em quadro latino. Sabe-se que quanto maior o número de graus de liberdade para o res´ıduo, sensibilidade terá os testes de hipóteses para detectar diferença significativa entre os tratamentos avaliados, além de proporcionar maior precisão experimental. Portanto, o delineamento em blocos casualizados apresenta essa vantagem em relaça˜ o ao delineamento em quadrado latino. Vanderlei(2000, p.143)..

(20) 17. 1.2.6.2. Desvantagens na instalaça˜ o de um Delineamento em Blocos Casualizados. • Quando o número de tratamentos por bloco aumenta grandemente, a eficiência deste delineamento se reduz muito, devido a` perda de homogeneidade dos mesmos dentro dos blocos. • Quando o número de parcelas perdidas e´ elevado, este delineamento e´ menos conviniente que o inteiramente casualizado. • Exige que os tratamentos tenham o mesmo número de repetiço˜ es.. 1.3 1.3.1. Componentes de variância no modelo aleatório Definiça˜ o. Existem vários métodos de estimaça˜ o de componentes de variância. Os mais antigos são baseados no método dos momentos, entre os quais se incluem o método da análise de variância ANOVA (Fisher, 1918). Segundo Barbin(1993, p.07) Componentes de variância são variâncias associadas aos efeitos aleatórios de um modelo matemático. Entendemos como efeito aleatório como sendo aqueles representativos de tratamentos de uma amostra oriunda de uma populaça˜ o. Por exemplo: Se de um rebanho tiramos uma amostra de animais, estes animais entrarão no experimento representando todo o rebanho. Geralmente, blocos também são considerados de efeito aleatório pois que se pretende que os resultados experimentais sejam válidos para todo o local. De modo análogo os locais nos grupos de experimentos são considerados de efeito aleatório, já que se pretende estender os resultados para toda uma região. Existem outros dois tipos de modelos que são envolvidos na análise dos experimentos, os modelos de efeito fixo e efeito misto, estes não serão estudados neste trabalho..

(21) 18. 2. Desenvolvimento teórico. 2.1. Efeitos fixos, efeitos aleatórios e hipóteses de interesse. O principal objetivo deste trabalho e´ apresentar a fundamentaça˜ o Estat´ıstica-Matemética que dar suporte a análise de um experimento em blocos casualizados com efeitos aleatórios. Assim sendo, achou-se conveniente apresentar, neste espaço, uma discussão sobre o que caracteriza um fator de efeitos fixos e um fator de efeitos aleatórios. Existem duas maneiras pelas quais(os tratamentos) são escolhidos para o experimento: 1. Quando (os tratamentos) são escolhidos (fixados) pelo pesquisador. Nesse caso, o interesse será estimar e contrastar hipóteses sobre os efeitos dos tratamentos, τi . Nestas circunstâncias, as conclusões serão válidas apenas para os tratamentos considerados, não podendo ser estendidas a outros tratamentos que não foram considerados no experimento. Sendo assim, diz-se que o modelo e´ de efeitos fixos; 2. Quuando (os tratamentos) são sorteados aleatoriamente de uma populaça˜ o de n´ıveis (de tratamentos). Nessa situaça˜ o as conclusões, baseadas numa amostra de tratamentos, serão válidas para toda populaça˜ o de tratamentos, tendo eles sido considerados explicitamente no experimento ou não. Dessa forma, os τi são variáveis aleatórias e o interesse será estimar e contrastar hipóteses sobre a variabilidade dos τi . Assim sendo, diz-se que o modelo e´ de efeitos aleatórios ou de componentes da variância. Neste trabalho, considera-se o experimento em blocos casualizados de efeitos aleatórios, isto e´ , admite-se que os efeitos dos blocos, os efeitos dos tratamentos e os efeitos do acaso são aleatórios. Nestas circunstâncias, as conclusões acerca da variabilidade dos efeitos dos tratamentos e da variabilidade dos efeitos dos blocos serão estendidas para toda populaça˜ o da qual foi retirada a amostra de tratamentos e para toda populaça˜ o de onde foi retirada a amostra dos blocos..

(22) 19. Formalmente, o procedimento estat´ıstico para análise dos dados de um experimento com estas caracter´ısticas e´ baseado na contrastaça˜ o das hipóteses: H0(τ) : σ2τ = 0. vs. H1(τ) : σ2τ > 0,. H0(β) : σ2β = 0. vs. H1(β) : σ2β > 0,. seguido da estimaça˜ o dos componentes da variância e da construça˜ o de interalos de confiaça para eles. Nas seço˜ es seguintes, serão apresentadas as justificativas teóricas para o cumprimento destas finalidades.. 2.2. O modelo estat´ıstico. O modelo Estat´ıstico linear apropriado para descrever as observaço˜ es de um experimento em blocos ao acaso e´ denotado por: yi j = µ + τi + β j + i j ,.      i = 1, 2, · · · , I     j = 1, 2, · · · , J,. (2.1). em que, • yi j e´ a observaça˜ o obtida da unidade experimental que recebeu o i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; • µ e´ a média geral; • τi e´ o efeito do i-ésimo tratamento sobre a variável resposta, considerado aleatório e distribuido segundo uma normal com média zero e variância σ2τ . Supõe-se, também, que os τi ’s são independentemente distribu´ıdos, isto e´ , iid τi ∼ N 0; σ2τ ,. i = 1, · · · , I.. • β j e´ o efeito do j-ésimo bloco sobre a variável resposta, também considerado aleatório e distribu´ıdo segundo uma normal com média zero e variância σ2β . Ademais, os β j ’s são distribu´ıdos independentemente um do outro, ou seja, iid. β j ∼ N(0; σ2β ),. j = 1, · · · , J.. • i j e´ o erro experimental o qual pode ser entendido como o efeito de outras variáveis de pertubaça˜ o não consideradas no modelo. Além disso, considera-se que os erros i j.

(23) 20. são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas como uma normal de iid média zero e variância σ2 , a qual denota-se por: i j ∼ N 0; σ2 . Adicionalmente, admite-se que os τi ’s são independentemente distribu´ıdos dos β j ’s e que, tantos os τi ’s quanto os β j ’s são independentemente distribu´ıdos dos i j ’s. Considerando-se as caractr´ısticas atribu´ıdas aos termos no modelo (2.1), verifica-se que: E(µ) = µ;. E(µ2 ) = µ2 ; E(τi ) = 0;. E(τ2i ) = σ2τ ;. E(β j ) = 0; E(β2j ) = σ2β ; E(i j ) = 0; E(i2j ) = σ2 ; E(τi τi0 ) = E(τi )E(τi0 ) = 0, ∀ i , i0 ; E(β j β j0 ) = E(β j )E(β j0 ) = 0, ∀ j , j0 ; E(τi β j ) = E(τi )E(β j ) = 0; E(τi i j ) = E(τi )E(i j ) = 0; E(β j i j ) = E(β j )E(i j ) = 0.. 2.3. Estimaça˜ o dos efeitos do modelo. Para encontrar os estimadores dos efeitos do modelo (2.1), utilizou-se o método da máxima verossimilhança, o qual consiste de encontrar os valores dos componene do vetor de efeitos, θ, onde θ0 = (µ τi β j σ2 ), que maximixam a funça˜ o de verossimilhança, L(θ), ou seja, sendo yi j = µ + τi + β j + i j. =⇒. i j = yi j − µ − τi − β j. e sabendo-se que iid. i j ∼ N(0; σ2 ). =⇒. f (i j |θ) = √. 1. 1. 2πσ2. 2. e− 2σ2 (yi j −µ−τi −β j ) ,. então, L(θ) = L(µ, τi , β j , σ2 |11 , · · · , I J ) =. I Y J Y. f (i j ). i=1 j=1 2 −1/2 − 2σ1 2 (y11 −µ−τ1 −β1 )2. = (2πσ ) = (2πσ ). e. 2 −I J/2. −. e. 1. 2. . · · · .(2πσ2 )−1/2 e− 2σ2 (yI J −µ−τI −βJ ). 1 P (yi j −µ−τi −β j )2 2σ2 i, j. ..

(24) 21. O logar´ıtmo da funça˜ o de verossimilhança, fica. `(θ) = ln L(θ) = −. IJ 1 X (yi j − µ − τi − β j )2 . ln(2πσ2 ) − 2 2σ2 i j. (2.2). ˆ de modo O método da máxima verossimilhança consiste em encontrar o estimador de θ, isto e´ , θ, que maximaza a funça˜ o de verossimilhança. Como `(θ) e´ uma funça˜ o crescente de θ, tem-se que L(θ) será máxima para o mesmo θˆ que maximiza `(θ). Para isto deriva-se parcialmente `(θ) em relaça˜ o a cada componente do vetor θ, igualando-se a zero e explicita-se cada componente espec´ıfico, ou seja: ∂`(θ) 2 X (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j )(−1) = 0 = − 2 ∂µ σ i, j X ∴ (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j ) = 0, ou ij. I J µˆ + J. I X. τˆ i + I. i=1. J X. βˆ j = y... (2.3). j=1. de modo análogo, tem-se: ∂`(θ) 2 X = − 2 (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j )(−1) = 0 ∂τi 2σ j X ∴ (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j ) = 0, ou j. J µˆ + J τˆ i +. J X. βˆ j = yi. ,. (2.4). j=1. 2 X ∂`(θ) = − 2 (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j )(−1) = 0 ∂β j 2σ i X ∴ (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j ) = 0, ou i. I µˆ +. I X. τˆ i + I βˆ j = y. j. (2.5). i=1. e, finalmente ∂`(θ) IJ 1 1 1 X = − . .2π + . (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j )2 = 0 ∂σ2 2 2πσ2 2 σ4 i, j IJ 1 X ∴ − 2+ (yi j − µˆ − τˆ i − βˆ j )2 = 0. 2σ ˆ 2σ ˆ 4 i, j. (2.6). Multiplicando-se os dois lados da equaça˜ o (2.6) por 2σ ˆ 2 e fazendo-se algumas operaço˜ es.

(25) 22. algébricas simples, obtém-se: σ ˆ2 =. 1 X (yi j − yˆ i j )2 , I J i, j. (2.7). isto e´ , o estimador da variância do erro e´ a média dos quadrados dos res´ıduos. As equaço˜ es (2.3), (2.4) e (2.5) formam o sistema de equaço˜ es normais (S.E.N). Isto e´ ,  P P   I J µˆ + J τˆ i + I βˆ j = y.. (I)    i j            Pˆ  J µˆ + J τˆ + β j = yi. (II) (2.8) i    j           P    τˆ i + I βˆ j = y. j (III)  I µˆ + i. O sistema de equaço˜ es normais (S.E.N) em (2.8) e´ inconsistente, uma vez que e´ formado por três equaço˜ es e (I + J + 1) incógnitas (estimadores) e (I, J > 1). Para resolvê-lo, em geral, admite-se P P as restriço˜ es τˆ i = 0 e βˆ j = 0, conhecidas na literatura como restri¸co˜ es na solu¸ca˜ o. i. j. Assim sendo, os estimadores de µ, τi e β j , são obtidos facilmente. Ou seja, µˆ = y¯ .. ,. τˆ i = y¯ i. − y¯ ... e. βˆ j = y¯ . j − y¯ .. .. (2.9). Em palavras: o estimador da média geral, µ, e´ a média dos valores observados no experimento, y¯ .. , o estimador do efeito do i-ésimo tratamento sobre a variável resposta e´ a diferença entre a média dos valores observados no tratamento i e a média geral e o estimador do efeito do je´ simo bloco sobre a variável resposta, e´ a diferença entre a média das observaço˜ es no bloco j, e a média geral. Os estimadores de yi j e i j , são dados, respectivamente, por: yˆ i j = µˆ + τˆ i + βˆ j. e. î j = ei j = yi j − yˆ i j .. Substituindo-se os resultados encontrados em (2.9), obtém-se, yˆ i j = y¯ i. + y¯ . j − y¯ ... e. ei j = yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ ... (2.10). Vale salientar que os re´ıduos ei j são elementos importantes a serem utilizados para comprovar as suposiço˜ es impostas aos termos no modelo: Aditividade, Normalidade, independência e homocedasticidade..

(26) 23. 2.4. Decomposiça˜ o da variabilidade total. Cada observaça˜ o experimental pode ser escrita pela identidade: yi j = µˆ + τˆ i + βˆ j + î j ou yi j = y¯ .. + (¯yi. − y¯ .. ) + (¯y. j − y¯ .. ) + (yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. ). (2.11). (yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. ) = (yi j − y¯ .. ) − (¯yi. − y¯ .. ) − (¯y. j − y¯ .. ).. (2.12). ou, ainda. Elevando-se ao quadrado os dois lado da equaça˜ o (2.12) e somando-se para todas as observaço˜ es, após algumas operaço˜ es algébricas simpes, obtém-se o seguinte resultado: X X X X (yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. )2 = (yi j − y¯ .. )2 − J (¯yi. − y¯ .. )2 − I (¯y. j − y¯ .. )2 . i, j. |. i, j. {z. S QResiduos. }. |. i. {z. S QT otal. } |. (2.13). j. {z. S QT ratamentos. } |. {z. S QBlocos. }. E´ fácil demonstrar que os termos da equaça˜ o (2.13) podem ser escritos da seguinte maneira:    I    J X X   1 X     (y.. )2 1   S QResiduos =  y2i j − C  −  . (2.14) y2i. − C  −  y2. j − C , onde C = J I I J i, j i=1 {z } | j=1{z | {z } | } S QT otal. S QT ratamentos. S QBlocos. Dessa forma, observa-se que a variabilidade total e´ decomposta em três partes, a saber: S QT otal = S QT ratamentos + S QBlocos + S QResiduos. Na prática, a variabilidade do acaso ou variaça˜ o residual e´ calculada por diferença, conforme a equaça˜ o (2.14), isto e´ , S QResiduo = S QT otal − S QT ratamentos − S QBlocos.. 2.5. Distribuiço˜ es de probabilidade dos estimadores dos efeitos dos componentes do modelo e das somas dos quadrados. 1. Distribuiço˜ es de probabilidade de τˆ i e da S QT rat..

(27) 24. Já e´ sabido que: τˆ i = y¯ i. − y¯ .. e´ uma combinaça˜ o linear de normais e, portanto, τˆ i e´ normal. 1X 1 X = yi j − yi j J j I J i, j     X X  1  X X X  1  I Jµ + J  Jµ + Jτi + = βi + i j  − τi + I βj + i j   J I J j j i j i, j X X X 1 1 1 τi + i j − i j . = τi − I i J i I J i, j. (2.15). Dessa forma, tem-se que E(ˆτi ) = 0 e Var(ˆτi ) = E[ˆτi − E(ˆτi )]2   X X X 2  1 1 1 = E τi − τi + i j − i j  I i J i I J i, j     2     X 2 2 X X 2 1 X  1 1  2 τi = E τi + 2  τi  + 2  i j  + 2 2  i j  − τi I J I J i, j I i i j      2 X  X  − 2  i j   i j  + od p = outros duplos produtos IJ j i, j =. (I − 1) (σ2 + Jσ2τ ) . I J. Assim sendo, tem-se que (I − 1) (σ2 + Jσ2τ ) τˆ i = y¯ i. − y¯ .. ∼ N 0; I J. ! (2.16). e segue que y¯ i. − y¯ .. q. (I−1) (σ2 +Jσ2τ ) I J. ∼ N(0; 1) =⇒. (¯yi. − y¯ .. )2 (I−1) (σ2 +Jσ2τ ) I J. ∼ χ2(1). ou. (I − 1) 2 J(¯yi. − y¯ .. )2 ∼ χ(1) . σ2 + Jσ2τ I Como (¯y1. − y¯ .. ), (¯y2. − y¯ .. ), · · · , (¯yI. − y¯ .. ) são variáveis aleatórias independentes e estão sujeita a P P restriça˜ o τˆ i = (¯yi. − y¯ .. ) = 0, então i. i. J. I P. (¯yi. − y¯ .. )2. i=1 σ2. +. Jσ2τ. =. S QT rat. ∼ (I − 1)χ2(1) = χ2(I−1) . σ2 + Jσ2τ. (2.17).

(28) 25. Portanto, sob a hipótese, H0 : σ2τ = 0, a estat´ıstica. S QT rat. σ2. segue uma distribuiça˜ o de qui-. quadrado central com (I − 1) graus de liberdade, a qual será denotada por: S QT rat. ∼ χ2(I−1) . σ2. (2.18). 2. Distribuiço˜ es de probabilidade de βˆ j e da S QBlocos De acordo com (2.9), tem-se que: βˆ j = y¯ . j − y¯ .. e´ uma combinaça˜ o linear de normais e, portanto, βˆ j e´ normal. 1X 1 X = yi j − yi j I i I J i, j     X X  1  X X X  1  I Jµ + J = τi + Iβ j + i j  − τi + I βj + i j  Iµ +  I I J i i i j i, j 1X 1 X 1X βj + i j − i j . = βj − J j I i I J i, j. (2.19). Da´ı, obtém-se: E(βˆ j ) = 0 e Var(βˆ j ) = E[βˆ j − E(βˆ j )]2   X X X 2  1 1 1 βj + i j − i j  = E β j − J j I i I J i, j        X 2 1 X 2 1 1 = E β2j + 2  β j  + 2  i j  + 2 2 J I I J j i       2 X  X  − 2  i j   i j  + od p I J i i, j.   X 2 2 X  i j  − β j βj   J j i, j. 1 1 2 2 1 = σ2β + σ2β + σ2 + σ2 − σ2β − σ2 + 0 + · · · + 0 J I IJ J IJ 2 2 (J − 1) (σ + Iσβ ) = . J I. (2.20). Portanto,    (J − 1) (σ2 + Iσ2β )  y¯ − y¯ ..  =⇒ q . j βˆ j = y¯ . j − y¯ .. ∼ N 0; ∼ N(0; 1) 2 2 J I (J−1) (σ +Iσβ ) J. I. (2.21).

(29) 26. e. (¯y. j − y¯ .. )2 2 2 (J−1) (σ +Iσβ ) J I. ∼ χ2(1) =⇒. I(¯y. j − y¯ .. )2 (J − 1) 2 ∼ χ(1) . 2 2 J σ + Iσβ. Como (¯y.1 − y¯ .. ), (¯y.2 − y¯ .. ), · · · , (¯y.J − y¯ .. ), são variáveis aleatórias independentes e sujeitas a` P P restriça˜ o, βˆ j = (¯y. j − y¯ .. ) = 0, então, j. j. I. P. (¯y. j − y¯ .. )2. j. σ2. +. Iσ2β. =. S QBlocos ∼ (J − 1)χ2(1) = χ2(J−1) 2 2 σ + Iσβ. Além disso, sob H0 : σ2β = 0, a estat´ıstica. S QBlocos σ2. (2.22). segue uma distribuiça˜ o de qui-quadrado. central com (J − 1) grus de liberdade e será denotada por: S QBlocos ∼ χ2(J−1) . σ2. (2.23). 3. Distribuiço˜ es de probabilidade de î j e da S QResiduos De acordo com (2.10), os res´ıduos são dados por: î j = yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. e´ uma combinaça˜ o linear de normais e, portanto, î j e´ normal.   X X  1  = µ + τi + β j + i j −  Jµ + Jτi + βj + i j  J j j     X X X  X X  1  1  I Jµ + J τi + I βj + i j  τi + Iβ j + i j  + − Iµ +  I I J i j i, j i i 1X 1 X 1X (2.24) i j − i j + i j . = i j − I i J j I J i, j Sendo assim, tem-se que: E(î j ) = 0.

(30) 27. e   X X X 2  1 1 1 Var(î j ) = E[î j − E(î j )]2 = E i j − i j − i j + i j  I i J j I J i, j          X 2 1 X 2 X 2 2 X  1 1  = E i2j + 2  i j  + 2  i j  + 2 2  i j  − i j i j I J I J i, j I i i j       2 X 2 X 2 X  X  2 X  X  − i j i j + i j i j +  i j   i j  − 2  i j   i j  J I J I J I J i j i, j i j ij    2 X  X  − 2  i j   i j  IJ j i, j 1 1 2 2 2 2 2 2 1 = σ2 + σ2 + σ2 + σ2 − σ2 − σ2 + σ2 + σ2 − σ2 − σ2 I J IJ I J IJ IJ IJ IJ (I − 1)(J − 1) 2 σ. (2.25) = IJ Portanto, ! yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. (I − 1)(J − 1) 2 σ =⇒ q ∼ N(0; 1) (2.26) î j = yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. ∼ N 0; IJ (I−1)(J−1) 2 σ IJ e. (yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. )2 (I−1)(J−1) 2 σ IJ. ∼ χ2(1) =⇒. (yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. )2 (I − 1)(J − 1) 2 χ(1) . ∼ σ2 IJ. Assim sendo, dada a indepedência entre os res´ıduos, segue que P (yi j − y¯ i. − y¯ . j + y¯ .. )2 i, j S QResiduos = ∼ (I − 1)(J − 1)χ2(1) = χ2[(I−1)(J−1)] . 2 2 σ σ Isto e´ , a estat´ıstica,. S QResiduos , σ2. (2.27). segue uma distribuiça˜ o de qui-quadrado central com (I − 1)(J − 1). graus de liberdade. 4. Distribuiça˜ o de probabilidade da S QT otal Também, e´ necessário conhecer a distribuiça˜ o de probabilidade da S QT otal sob a hipótese de que não existe variabilidade entre os efitos dos tratamentos e nem dos efeitos dos blocos. Isto e´ , sob a hipótese de que as observaço˜ es podem ser escritas pelo modelo yi j = µ + i j , com i = 1, · · · , I e j = 1, · · · , J..

(31) 28. Tomando-se as diferenças yi j − y¯ .. , vem: yi j − y¯ ...   X  1  I Jµ + = µ + i j − i j  IJ  i, j X 1 i j = i j − I J i, j. Da´ı, obtém-se os seguintes resultados: E(yi j − y¯ .. ) = 0 e   X 2  1 Var(yi j − y¯ .. ) = E[yi j − y¯ .. − E(yi j − y¯ .. )] = E i j − i j  I J i, j       X 2 2 X  (I J − 1) 1 i j  = σ2 . = E i2j + 2 2  i j  − i j I J i, j IJ IJ i, j 2. Portanto, sob H0(τ) : σ2τ = 0 e H0(β) : σ2β = 0, ! yi j − y¯ .. (I J − 1) 2 σ =⇒ q yi j − y¯ .. ∼ N 0; ∼ N(0; 1) IJ (I J−1) 2 σ IJ e. (yi j − y¯ .. )2 (I J−1) 2 σ IJ. ∼ χ2(1) =⇒. (yi j − y¯ .. )2 (I J − 1) 2 χ(1) . ∼ 2 σ IJ. E, admitindo a independência entre as diferenças, (y11 − y¯ .. ), (y12 − y¯ .. ), · · · , (yI J − y¯ .. ), então, P (yi j − y¯ .. )2 i, j S QT otal = ∼ (I J − 1)χ2(1) = χ2(I J−1) . (2.28) σ2 σ2 Em palavras, sob H0(τ) : σ2τ = 0 e H0(β) : σ2β = 0, a estat´ıstica. S QT otal , σ2. segue uma distribuiça˜ o de. qui-quadrado central com (I J − 1) graus de liberdade. Na Tabela 2 estão apresentadas, de modo resumido, as distribuiço˜ es de probabilidades dos estimadores dos efeitos do modelo e das somas dos quadrados..

(32) 29. Tabela 2: Distribuiço˜ es de probabilidades dos estimadores dos efeitos do modelo e das somas dos quadrados Distribuiça˜ o do estimador (σ2 +Jσ2τ ) τˆ i ∼ N 0; (I−1) I J βˆ j ∼ N 0;. 2 2 (J−1) (σ +Iσβ ) J I. yi j − y¯ .. ∼ N 0;. 2.6. −→. Distribuiça˜ o da SQ sob H0(·). H0(τ) : σ2τ = 0. −→. S QT rat. σ2. H0(β) : σ2β = 0. −→. S QBlocos σ2. Indep. de H0(τ) e H0(β). −→. S QRes. σ2. −→. S QT otal σ2. . 2 î j ∼ N 0; (I−1)(J−1) σ IJ . sob a(s) hipótese(s). (I J−1) 2 σ IJ. . H0(τ). e. H0(β). sob H0(τ). ∼. χ2(I−1). (β). sob H0. ∼. χ2(J−1). ∼ χ2[(I−1)(J−1)] (β). sob H0(τ) e H0. ∼. χ2(I J−1). Valores esperados das somas dos quadrados e dos quadrados médios. 1. Valor esperado da soma de quadrados total O valor esperado da S QT otal, considerando a expressão (2.13), e´ obtido do seguinte modo:     X  X  E(S QT otal) = E  y2i j − C  = E  y2i j  − E(C). i, j. i, j. Mas,   X X X  E  y2i j  = E(µ + τi + β j + i j )2 = E(µ2 + τ2i + β2j + i j + d p) i, j i, j i, j X = (µ2 + σ2τ + σ2β + σ2 + 0) i, j. = I Jµ2 + I Jσ2τ + I Jσ2β + I Jσ2. (2.29). e  2   X X X 2 1 X  1  E(C) = E  yi j  = E I Jµ + J τi + I βj + i j  I J  i, j  IJ i j i, j   2  2    2  X  X  X   1  2 2 2  = E  J I µ + J 2  τi  + I 2  β j  +  i j  + d p IJ j. i. = I Jµ + 2. Jσ2τ. +. Iσ2β. +σ. 2. i, j. (2.30).

(33) 30. Subtraindo-se (2.30) de (2.29), obtem-se: E(S QT otal) = J(I − 1)σ2τ + I(J − 1)σ2β + (I J − 1)σ2 .. (2.31). 2. Valores esperados da soma de quadrados e do quadrado médio de tratamentos      1 X 2  1 X 2  E(S QT rat.) = E  y − C  = E  yi.  − E(C). J i i. J i Mas,     X X 2 1 X 2  1 X  E y  = E  Jµ + Jτi + βj + i j  J  i i.  J i j j    2    X  X 2 1 X  2 2 E  J µ + J 2 τ2i +  β j  +  i j  + d p = J i. = I Jµ + 2. j. I Jσ2τ. +. Iσ2β. j. + Iσ . 2. (2.32). Subtraindo-se (2.30) de (2.32), encontra-se: E(S QT rat.) = J(I − 1)σ2τ + (I − 1)σ2 . O valor esperado da QMT rat., e´ obtido do seguinte modo: S QT rat. E(QMT rat.) = E = σ2 + Jσ2τ . I−1. (2.33). (2.34). 3. Valor esperado da soma de quadrados e do quadrado médio de blocos      1 X   1 X y2 − C  = E  y2. j  − E(C). E(S QBlocos) = E  I j .j I j Mas,      X X 2  1 X  1 X 2  E  y  = E  Iµ + τi + Iβ j + i j   I  j . j I  j  i i      2 X 2   1 X  2 2 X   = E I µ +  τi  + I 2 β2j +  i j  + d p I j i i = I Jµ2 + Jσ2τ + I Jσ2β + Jσ2 . Subtraindo-se (2.30) de (2.35), obtem-se:. (2.35).

(34) 31. E(S QBlocos) = I(J − 1)σ2β + (J − 1)σ2 e o valor esperado do QMBlocos e´ obtido da seguinte maneira: ! S QBlocos E(QMBlocos) = E = σ2 + Iσ2β . J−1. (2.36). (2.37). 4. Valor esperado da soma de quadrados e do quadrado médio dos res´ıduos. E(S QRes.) = E(S QT otal) − E(S QT rat.) − E(S QBlocos). Tomando-se as expressões (2.33) e (2.36) e subtraindo-se da expressão (2.31), encontra-se o valor esperado da SQRes´ıduos. Isto e´ , E(S QRes.) = (I − 1)(J − 1)σ2 O valor esperado do quadrado médio dos res´ıduos e´ dado por: ! S QRes. = σ2 . E(QMRes.) = E (I − 1)(J − 1). (2.38). (2.39). Da´ı, conclui-se que o quadrado médio dos res´ıduos e´ um estimador não viciado para a variância do erro experimental, σ2 . A Tabela 3 exibe um resumo dos resultados importantes obtidos nesta seça˜ o..

(35) 32. Tabela 3: Tabela da análise de variância com as esperaças dos quadrados médios F. Variaça˜ o Tratamentos Blocos Res´ıduos Total. 2.7. GL (I − 1) (J − 1) (I − 1)(J − 1) IJ − 1. SQ S QT rat. S QBlocos S QRes. S QT otal. QM QMT rat. QMBlocos QMRes. -. E(QM) σ2 + Jσ2τ σ2 + Jσ2β σ2 -. F QMT rat./QMRes. QMBlocos/QMRes. -. Análises estat´ısticas. 1. De acordo com Rohatgi, Mood e Hogg, dentre outros, uma variável aleatória com distribuiça˜ o F e´ dada pela razão entre duas variáveis aleatórias com distribuiça˜ o de qui-quadrado independentes, divididas pelos seus respectivos graus de liberdade. Ou seja, se U ∼ χ2[ν1 ] , V ∼ χ2[ν2 ] e U e V são variáveis aleatórias independente então, a estat´ıstica: U/ν1 V/ν2 segue uma distribuiça˜ o de probabilidade F com ν1 graus de liberdade do numerador e ν2 F=. graus de liberdade do denominador, a qual e´ denotada por: F=. U/ν1 ∼ F[ν1 ; ν2 ] . V/ν2. 2. Na seça˜ o 2.4, mostrou-se que a variabilidade total e´ decomposta em três partes independentes, a saber: S QT otal = S QT rat. + S QBlocos + S QRes. 3. Na seça˜ o 2.5, demonstrou-se também, que: S QT rat. σ2. =. S QBlocos σ2. S QRes. σ2. =. (I−1)QMT at. σ2. =. ∼ χ2(I−1) ,. (J−1)QMBlocos σ2. (I−1)(J−1)QMRes. σ2. sob. ∼ χ2(J−1) ,. H0(τ) : σ2τ = 0;. sob. H0(β) : σ2β = 0;. ∼ χ2[(I−1)(J−1)] , independentemente deH0(τ) e H0(β) .. 4. De acordo com os resultado encontrados para as esperanças dos quadrados médios, na seça˜ o 2.6, observa-se que: • Sob H0(τ) : σ2τ = 0, o QMT rat. e´ um estimador não viciado para σ2 e que indepen-.

(36) 33. dentemente de que H0(τ) se verifique o QMRes também e´ um estimador não viciado para σ2 . Então pode-se deduzir que uma estat´ıstica apropriada para contrastar as hipóteses H0(τ) : σ2τ = 0 vs H1(τ) : σ2τ > 0 e´ aquela que compara o QMT rat. com QMRes., ou seja, (I−1)QMT rat. σ2. S QT rat. σ2. Ft =. (I−1) S QRes. σ2. =. (I−1)(J−1). (I−1) (I−1)(J−1)QMRes. σ2. =. QMT rat. ∼ F[(I−1); (I−1)(J−1)] , QMRes.. (I−1)(J−1). ou seja, a estat´ıstica Ft segue uma distribuiça˜ o F com (I − 1) graus de liberdade do numerador e (I − 1)(J − 1) graus de liberdade do denominador. Dessa forma, se H0(τ) : σ2τ = 0 for verdadeira, tanto o numerador quanto o denominador de Ft são estimadores não viciado para σ2 , no entanto, se H0(τ) : σ2τ = 0 for falsa, a esperança matemática do QMT rat. será maior que σ2 . Assim sendo, rejeita-se H0(τ) : σ2τ = 0, quando o valor de Ft for maior que o correspondente valor teórico da distribuiça˜ o F com (I − 1) e (I − 1)(J − 1) grau de liberdade e n´ıvel de significância α, a qual será denotado por: F[(I−1); (I−1)(J−1); α] . Portanto, a região de rejeiça˜ o de H0(τ) será dada por: RC = {Ft ∈ R+ | Ft > F[(I−1); (I−1)(J−1); α] }. • De modo semelhante, tem-se que, sob H0(β) : σ2β = 0, QMBlocos e´ um estimador não viciado para σ2 , enquado que independentemente de que H0(β) se verifique, QMRes. e´ , também, um estimador não viciado para σ2 . Assim sendo, a estat´ıstica de teste para contrastar as hipóteses H0(β) : σ2β = 0 vs H0(β) : σ2β > 0 será: (J−1)QMBlocos σ2. S QBocos σ2. Fb =. (J−1) S QRes. σ2. (I−1)(J−1). =. (J−1) (I−1)(J−1)QMRes. σ2. =. QMBlocos ∼ F[(J−1); (I−1)( j−1)] , QMRes.. (I−1)(J−1). isto e´ , a estat´ıstica Fb segue uma distribuiça˜ o F com (J − 1) graus de liberdade do numerador e (I − 1)(J − 1) graus de liberdade do denominador. De modo análogo, se H0(β) : σ2β = 0 for verdadeira, tanto o numerador quanto o denominador de Fb são estimadores não viciado para σ2 , no entanto, se H0(β : σ2β = 0 for falsa, a esperança matemática do QMBlocos será maior que σ2 . Portanto, rejeitase H0(β) : σ2β = 0, quando o valor de Fb for maior que o correspondente valor teórico da distribuiça˜ o F com (J −1) e (I −1)(J −1) grau de liberdade e n´ıvel de significância α, a qual será denotado por: F[(J−1); (I−1)(J−1); α] . Sendo assim, a região de rejeiça˜ o de H0(β) será dada por:.

(37) 34. RC = {Fb ∈ R+ | Fb > F[(J−1); (I−1)(J−1); α] }.. 2.8. Estimaça˜ o por ponto dos componentes da variância. Conforme Montgomery, num modelo de efeitos aleatórios, usualmente e´ necessário estimar os componentes da variância. Neste sentido, tem-se que a variância de qualquer observaça˜ o experimental, yi j , e´ chamada de variância total e e´ denotada por σ2T , e´ dada por: σ2T = Var(yi j ) = σ2τ + σ2β + σ2 .. (2.40). O procedimento para estimar σ2τ , σ2β e σ2 e´ chamado de método da análise da variância, que consiste em utilizar as linhas da tabela da análise da variância. Tal método não exige a hipótese de normalidade das observaço˜ es. O procedimento consiste em igualar os valores esperados dos quadrados médios a seus valores observados na análise da variância e resolver a equaça˜ o em relaça˜ o aos componente da variância. Para este caso, tem-se que: V1 =. QMT rat.. = σ2 + Jσ2τ. V2 = QMBlocos = σ2 + Iσ2β V3 =. QMRes.. = σ2 .. Assim, os estimadores dos componentes da variância são: σ ˆ2 =. V3. = QMRes.. σ ˆ 2τ =. V1 −V3 J. =. QMT rat−QMRes J. σ ˆ 2β =. V2 −V3 I. =. QMBlocos−QMRes.) . I. (2.41). Portanto, o estimador da variabilidade total e´ dado por: σ ˆ 2T = σ ˆ 2τ + σ ˆ 2β + σ ˆ 2.. (2.42).

(38) 35. 2.8.1. Estimadores da proporça˜ o da variabilidade total explicada pelos componente da variância. A expressão (2.42) sugere que, se todas as estimativas dos componentes da variância são positivas, o estimador da proporça˜ o da variância total explicada pelos tratamentos e pelos blocos, seja: R = 2. 100(σ ˆ 2τ + σ ˆ 2β ) σ ˆ 2T. (2.43). e para cada componente de variância individual, seja:    R2τ =              2 Rβ =                R2 =. 100σ ˆ 2τ 2 σ ˆT 100σ ˆ 2β σ ˆ 2T 100σ ˆ2 σ ˆ 2T. −→ estimador da proporça˜ o da variaça˜ o total explicada pelos tratamentos,. −→ estimador da proporça˜ o da variaça˜ o total explicada pelos blocos,. −→ estimador da proporça˜ o da variaça˜ o total explicada pelo acaso. (2.44). Observaça˜ o: Note que, quando há uma ou mais estimativas de componentes de variância negativas, não e´ simples interpretar os resultados fornecidos pelas expressões dadas em (2.44).. 2.8.2. Estimativa negativa de um componente da variância. algumas vezes, o método da análise de variância produz uma estimativa negativa de um componente da variância. Como os componentes da variância são, por definiça˜ o, não-negativos, uma estimativa negativa de um componente da variância e´ inaceitável. Uma alternativa e´ aceitar a estimativa e usá-la como evidência de que o verdadeiro valor do componente da variância e´ zero, adimitindo-se que a variaça˜ o amostral levou a uma estimativa negativa. Embora isso tenha um apelo intuitivo, atrapalhará as propriedades estat´ısticas de outras estimativas. Outra alternativa e´ reestimar o componente negativo da variância por um método que sempre resulte em estimativas não-negativas. Outra possibilidade e´ ainda considerar a estimativa negativa como evidência de que o modelo linear proposto e´ incorreto, o que exige um estudo do modelo e de suas hipóteses para a determinaça˜ o de um modelo mais apropriado.. 2.9. Estimaça˜ o por intervalo dos componentes da variância.

(39) 36. De acordo com Barbin, Considerando-se os elementos da Tabela 3, os intervalos com (1 − α)100% de confiança para os componentes de variância são, obtidos como segue:. . 2. IC(σ )[(1−α)100%] :. νe σ ˆ2. χ2[νe ; (1−α/2)]. " IC(σ2τ )[(1−α)100%]. :. νt0 σ ˆ 2τ. χ2[ν0 ; (1−α/2)]. ;. ;. t. " IC(σ2β )[(1−α)100%]. :. νb0 σ ˆ 2β χ2[ν0 ; (1−α/2)] b. νe σ ˆ2. . νt0 σ ˆ 2τ. #. χ2[νe ; α/2]. , onde, νe e´ o número de GL dos res´ıduos;. ; onde, νt0 e´ obtido por: νt0 =. χ2[ν0 ; α/2] t. ;. #. νb0 σ ˆ 2β χ2[ν0 ; α/2]. , onde, νb0 e´ obtido por: νb0 =. [QMT rat.−QMRes.]2. (2.45). (QMT rat.)2 (QMRes.)2 + (I−1)(J−1) (I−1). [QMBlocos−QMRes.]2. b. (QMBlocos)2 (QMRes.)2 + (I−1)(J−1) J−1. .. As expressões usadas para calcular os graus de liberdade, νt0 e νb0 , associados a` s respectivas estimativas dos componentes de variâncias, σ ˆ 2τ e σ ˆ 2β em (2.44), são conhecidas por fórmulas de Satterthwaite.1. 2.10. Procedimento prático para a análise dos dados de um experimento em blocos ao acaso de efeitos aleatórios. Um procedimento prático a ser utilizado na análise dos dados de um experimento em blocos ao acaso com efeitos aleatórios, pode ser o seguinte: 1. Enunciar as hipóteses: H0(τ) : σ2τ = 0 vs. H1(τ) : σ2τ > 0. H0(β) : σ2β = 0. H1(β) : σ2β > 0.. e vs. 2. Fixar o n´ıvel de significância α e observar as estat´ısticas dos testes, que são Ft =. QMT rat. ∼ F[(I−1); (I−1)(J−1); α] QMRes.. e Fb =. QMBlocos ∼ F[(J−1); (I−1)(J−1); α] . QMRes.. 3. Com o auxilio da tabela da distribuiça˜ o de probabilidade da F estabelecer as regiões de rejeiça˜ o das hipóteses H0(τ) e H0(β) . Isto e´ , 1. Ver B(1993), pg. 44-48..

(40) 37. RCt = {Ft ∈ R+ |Ft ≥ F[(I−1); (I−1)(J−1); α] } e RCb = {Fb ∈ R+ |Fb ≥ F[(J−1); (I−1)(J−1); α] }. 4. Com os dados de um experimentais real, organizar a tabela da análise da variância, para obter os valores das variáveis de teste, ou seja, F. Variaça˜ o. GL. SQ. QM. F. Tratamentos. I−1. S QT rat.. QMT rat.. Ft = QMT rat./QMRes.. Blocos. J−1. S QBlocos. QMBlocos. Fb = QMBlocos/QMRes.. Res´ıduo. (I − 1)(J − 1). S QRes.. QMRes.. -. IJ − 1. S QT otal. -. -. Total onde,. !2 P. S QT otal =. y2i j − C, e i, j P S QT rat. = 1J y2i. − C e i 1 P 2 S QBlocos = I y. j − C j. C=. P. yi j. i, j. IJ. ;. QMT rat. = S QT rat./(I − 1); e. QMBlocos = S QBlocos/(J − 1);. S QRes. = S QT otal − S QT rat. − S QRes.. e. QMRes. = S QRes./(I − 1)(J − 1).. Concluir: Se Ft > F[(I−1); (I−1)(J−1); α] rejeita-se H0(τ) : σ2τ = 0 e conclui-se, ao n´ıvel de significância α, que as variaço˜ es na variável resposta devidas aos efeitos dos tratamentos são estatisticamente significativas (isto e´ , aceita-se H0(τ) : σ2τ > 0). De modo análogo, se Fb > F[(J−1); (I−1)(J−1)] , rejeita-se H0(β) : σ2β = 0 e conclui-se, ao n´ıvel de significância α, que as variaço˜ es na variável resposta provocadas pelos efeitos dos blocos são estat´ısticamente significativas (ou seja, aceita-se H0(β) : σ2β > 0). 5. Estimar os componentes da variância; 6. Estimar as proporço˜ es da variabilidade total explicadas pelos componentes da variância individualmente; 7. Construir os intervalos com (1−α)×100% de confiça para cada componente da variância; 8. Fazer comentários sobre os achados na pesquisa..

(41) 38. 2.11. Uma aplicaça˜ o da teoria a uma pesquisa real. Na Tabela 4 encontram-se as produço˜ es, em toneladas por hectare, de 10 cultivares de arroz (I = 10), considerados num experimento em blocos casualizados, com três blocos (J = 3). Adaptado de Magno. Tabela 4: Dados da produão de grãos (ton/ha) de 10 cultivares de arroz obtidos de um experimento em blocos casualizados com tês repetiço˜ es, Lavras-MG. Cultivares (Ci ) C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 Totais. 2.11.1. B1 5,43 3,72 4,37 4,59 4,74 3,23 4,32 4,38 6,37 4,84 45,99. Blocos B2 5,98 3,58 3,79 5,31 4,00 2,93 4,17 3,74 5,08 4,20 42,78. B3 5,40 4,77 3,75 5,76 4,81 3,00 4,79 3,65 5,29 4,75 45,97. Totais (yi. ) 16,81 12,07 11,91 15,66 13,55 9,16 13,28 11,77 16,74 13,79 134,74. Médias (¯yi. ) 5,60 4,02 3,97 5,22 4,52 3,05 4,43 3,92 5,58 4,60 4,49. Cálculos das somas dos quadrados e a análise da variância. A partir dos dados experimentais calcula-se: )2. =. S QT otal =. P. S QT rat. =. 1 J. C=. (. P. i, j yi j. IJ. i, j. S QBlocos =. (134,74)2 10×3. = 605, 1623;. y2i j − C = 626, 8852 − 605, 1623 = 21, 7229;. P i. 1 I. y2i. − C =. P j. 1 3. y2. j − C =. h i (16, 81)2 + · · · + (13, 79)2 − 605, 1623 = 17, 5497; 1 10. h i (45, 99)2 + (42, 78)2 + (45, 97)2 − 605, 1623 = 0, 6827;. S QRes. = S QT otal − S QT rat. − S QRes. = 21, 7229 − 17, 5497 = 3, 4905. e em seguida, organiza-se os resultados na tabela da análise da variância, Tabela 5..