Alg1- Cap2 - Numeros Primos - MMC

Números Primos

a, b ∈ ℤ, dizemos que a e b são primos

entre si se 1 = (a, b).

Um número p ∈ ℤ − {−1,1} é primo se os únicos divisores de p são ±1 e ± p

 n  IN é primo se, sempre que escrevemos n = ab,

com a,b  IN, temos necessariamente ou a = 1 e b = n ou a = n e b = 1 (exemplifique!)

 Se um número não é primo é chamado composto

 n  IN é composto se existem a,b  IN, com 1 < a < n

e 1 < b < n, tais que n = ab. (exemplifique!)

Exemplo



Obtenha todos os primos naturais p que

sejam iguais a um quadrado perfeito menos 1



𝑝 = 𝑛

2

− 1 ⇒ 𝑝 = (𝑛 + 1)(𝑛 − 1)



Pela

definição

temos

duas

possibilidades:

i. n + 1 = 1 e n – 1 = p  n = 0 e p = –1 (inválida) ii. n + 1 = p e n – 1 = 1  n = 2 e p = 3 

p = 3

Teorema e Corolário

Seja p um número primo e

a, b ∈ ℤ. Se p|ab, então p|a ou p|b.



Seja p um número primo,

a

₁

, a

₂

, . . , a

_n

∈ ℤ. Se p|a

₁

∙ ⋯ ∙ a

_n

então

p|a

_i

para algum i.

Demosntrações



D]

(Teorema)

Suponha que p ∤ a (não

divide), Então p, a = 1 (é o único que

divide). Logo 1 = ax + py ⇒ b = abx + pyb ,

como p|ab (hip.) e p|p, temos que:

 p|abx e p|pyb (Prop. 1.(v)) ⇒ p|b



D]

(Corolário)

Suponha que 𝑝 ∤ 𝑎

₁

. Então

pelo teorema p|𝑎

₂

∙ ⋯ ∙ 𝑎

_𝑛

. Usando a

hipótese de indução (Sup. p ∤ 𝑎

₂

… o

resultado é válido) temos que p|𝑎

_𝑖

para

algum 𝑖.

Proposição 2

 Sejam a, b e c ∈ ℤ

i. a e b são primos entre si ( a, b = 1) se, e

somente se, existem x, y tal que 1 = ax + by

ii. c|ab e a, c = 1, então c|b

 3|5.9 e (3,5) = 1  3|9 iii. a. b ≠ 0 e d = a, b , então 1 = (a d, b d)  (4,6) = 2  (2,3) = 1

iv. c ≥ 0 e d = (a, b), então cd = (ca, cb)

v. a, b = 1 e a, c = 1 então, a, bc = 1

Demonstração

i. Óbvio ⇒ É verdade pois 1|𝑎 e 1|𝑏

ii. a, c = 1 ⇒ 1 = ax + cy (mult. por b) ⇒ b = abx + cyb

 Como c|ab (hip.) e c|cyb, pela Prop. 1 (v) ⇒ c|b

iii. d = a, b ⇒ d = ax + by ⇒ 1 = a dx + b dy. Logo a d, b d = 1

iv. d|a ⇒ cd|ca

d|b ⇒ cd|cb d = a, b ⇒ d = ax + by ⇒ cd = cax + cby ⇒



⇒

cd = (ca, cb) (Lema)

v. a, b = 1 ⇒ 1 = ax + by e a, c = 1 ⇒ 1 = aw + cz

 1 = ax + by = ax + by. 1 = ax + by. aw + cz

Teorema Fundamental da

Aritmética



Seja n um número inteiro, n ∉ −1,0,1 . Então

n pode ser escrito de maneira única (a

menos

da

ordem)

na

forma

n = ±p

₁

. p

₂

. … . p

_k

com os p

_i

′s números

primos positivos.

D] – Existência



D] Podemos supor n ≥ 2



Vamos fazer por indução sobre n. Se n = 2 o resultado

é válido.



Suponha n > 2 é o resultado válido para todo número

menor que n

(2ª forma).

Se n for primo não temos nada a

fazer, se não n = a. b com a e b menores que n. Pela

hipótese de indução existem números primos positivos

tal que a = p

₁

. … . p

_r

e b = p

_r+1

. … . p

_k

D] – Unicidade

(versão 1)

 n = p₁. … . p_k = q₁. … . q_z

 p₁|n ⇒ p₁|q₁. … . q_z. Logo p₁|q_j trocando-o onde dos q_i’s se

necessário podemos supor que p₁|q₁, como q₁ é primo p₁ = q₁. Consultando p₁ obtemos: p₂ ∙ … ∙ p_k = q₂ ∙ … ∙ q_z

 Prosseguindo do mesmo jeito obteremos que k =z e p_i = q_i

para todo i.



Organização

D] – Unicidade

(versão 2)

(PBO)

 Seja S  ℤ um conjunto não vazio e limitado inferiormente.

Então S possui um menor elemento.

Seja S = {𝑛 ∈ ℕ, n ≥ 2 e n tem duas decomposições em fatores primos}

 Suponha, por absurdo que S. Logo, pelo PBO, S tem um

menor elemento m. Assim:

 m = p₁. … . p_r = q₁. … . q_s

D] – Unicidade

 Notemos que p₁ ≠ q₁ . Caso contrário teríamos duas

decomposições diferentes para um número natural menor do que m (o número m

p₁), contrariando o fato de m ser o

menor elemento de S. assim podemos supor que p₁ < q₁

 Definimos então m′ = m − (p₁. q₂. q₃. … . q_s)  Substituindo m temos:

 m′ = p₁. … . p_r − p₁. q₂. … . q_s = p₁. (p₂. … . p_r − q₂. … . q_s)  m′ = q₁. … . q_s − p₁. q₂. … . q_s = (q₁ − p₁). (q₂. … . q_s)

D] – Unicidade

 Por definição, temos m’ < m. Se fosse p₂. … . p_r − q₂. … . q_s = 0,

concluiríamos que p₁ = q₁, uma contradição; caso contrário m’ > 2, pois p₁|m′. Assim, m’ tem decomposição única como produto de fatores primos.

 Como p₁ < q₂ ≤ ⋯ ≤ q_s , necessariamente o fator primo p₁

deve estar presente na decomposição de (q₁ − p₁). Mas isto quer dizer que q₁ − p₁ = 𝑐p₁ , para algum inteiro c e, portanto:

 q₁ = (𝑐 + 1)p₁, contrariando o fato de q₁ ser primo.

Corolário e Teorema

Todo número 𝑚 ∈ ℤ − {−1,0,1} possui pelo menos um fator primo.

O número de primos é infinito

 D] Suponha que o número de primos é finito. Sejam 𝑝₁, … , 𝑝_𝑘

todo os números primos e seja m = 𝑝₁. 𝑝₂. … . 𝑝_𝑘 + 1, 𝑚 não é primo pois 𝑚 > 𝑝_𝑖 ∀_𝑖(pois 𝑚 é maior que todos os primos).

 Então 𝑚 possui um fator primo, digamos 𝑝_𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘).

 𝑝_𝑗|𝑚 e 𝑝_𝑗|𝑝₁. … . 𝑝_𝑘. Logo 𝑝_𝑗|m − 𝑝₁. … . 𝑝_𝑘 , isto é, 𝑝_𝑗|1 .

Proposição(Euclides)

∀_𝑛, existem n números consecutivos que não são primos – (existem ‘saltos’ arbitrariamente grandes na sequência de primos) 𝑛_𝑖 = 𝑛 + 1 ! + 𝑖, 𝑖 = 2, … , 𝑛 + 1  𝑛₂ = 𝑛 + 1 ! + 2, 𝑛₃ = 𝑛 + 1 ! + 3,𝑛₄ = 𝑛 + 1 ! + 4  𝑛_𝑛+1 = 𝑛 + 1 ! + 𝑛 + 1  Temos que  2|(n+1)!+2 3|(n+1)!+3 ... (n+1)|(n+1)!+(n+1)

 A sequência 𝑛_𝑖 é composta por n números compostos e

consecutivos

Pierre de Fermat



Fermat investigou sobretudo, números

perfeitos

e

amigáveis,

números

figurados, quadrados mágicos, triplos

pitagóricos, e acima de tudo, os

números primos. Desenvolveu vários

teoremas nesta área, entre os quais o

'Último Teorema de Fermat', que não foi

o único, nem se calhar o mais relevante

da teoria dos números (Boyer, 1996).

Pierre de Fermat



Um dos mais importantes teoremas foi o

que é hoje conhecido como o

'Pequeno Teorema de Fermat', um

pequeno teorema, que no entanto, é

uma obra-prima de criatividade e um

resultado com implicações espantosas.

Tornou-se

conhecido

no

meio

acadêmico em 1640, por ter sido

enviado

por

carta

para

outro

Número de Fermat



F

_n

= 2

2n

+ 1

 F₀ = 3 F₃ = 257  F₁ = 5 F₄ = 65.357

 F₂ = 17 F₅ = 4.294.967.297 é divisivel por 641

 Euler mostrou, em 1732, que para o caso n=5, temos um

número composto. Embora hoje já se saiba que para n entre 5 e 16 a proposição não se verifica, ou seja, todos os números formados desta maneira são compostos, ainda não se tem ideia se existem mais 'números de Fermat', para além dos cinco encontrados (Boyer, 1996).

Proposição

Os divisores de um número natural

m se dispõem em pares (d, d′_{) tal que d. d}′ _{= m e d ≤ m}

d|m ⇒ ∃d′ _{tal que d. d}′ _{= m, (d, d}′_{). Podemos supor d ≤ d}′

 d2 = d. d ≤ d. d′ = m ⇒ d ≤ m  m = 12

 1,12 2,6 3,4

 m = 9

Proposição

Seja m um número natural não

quadrado. Então 𝑚 é irracional

Suponha que 𝑚 é racional. 𝑚 =

𝑎

𝑏

. Com 𝑎 e 𝑏

primos entre si. Logo 𝑚 =

𝑎2

𝑏2

, isto é, 𝑎

2

_{= 𝑚. 𝑏}

2

_temos

que 𝑚|𝑎

2

_{⇒ 𝑎}

2

_|𝑚𝑏

2

:

_𝑎

2

_{, 𝑏}

2

_{= 1 ⇒ 𝑚 = 𝑎}

2

_e

Crivo de Eratóstenes



“Escrevem-se, em ordem natural, todos os

números naturais entre 2 e n. Em seguida,

eliminam-se todos os inteiros compostos que são

múltiplos dos primos p tais que p



n, isto é:

primeiro elimine todos os múltiplos 2k de 2, com k



2; a seguir todos os múltiplos 3k de 3, com k



2;

depois 5k de 5, com k



2; e assim sucessivamente,

para todo primo p



n. Os números que sobrarem

na lista são todos os primos entre 2 e n.”

Exemplo

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

• 100

• 100 = 10

•

2,3,5,7

• Primos antes da raiz de 100

 Múltiplos de 2  Múltiplos de 3  Múltiplos de 5  Múltiplos de 7

Exemplo

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

•

2,3,5,7

• Primos antes da raiz de 100



Primos entre 2 e 100:

 2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17 , 19, 23 , 29, 31 , 37, 41 , 43, 47 , 53, 59,

Exercício



Sejam a e b números naturais com suas

fatorações primas dadas por:



a = p

₁r1

p

₂r2

. … . p

_krk

p

_i

≠ p

_k



b = p

₁s1

p

₂s2

. … . p

s_kk

r

_i

≥ 0, s

_j

≥ 0 r

_i

+s

_i

> 0



Mostre que se d = (a, b) , então d = p

₁t1

p

₂t2

. … . p

_ktk

MDC de mais de 2 elementos



Suponha que tenha a

₁

, … , a

_n

∈ ℤ, d é um MDC para

a

₁

, … , a

_n

se:

i.

d|a

₁

, d|a

₂

, … , d|a

_n

ii.

Se d

′

_|a

₁

_{, d}

′

_|a

₂

_{, … , d}

′

_|a

_n

então d′|d.



Existe o MDC d de a

₁

, … , a

_n

e d = x

₁

a

₁

+ ⋯ + x

_n

a

_n 

1 = a

₁

, a

₂

, a

₃

⇏ a

₁

, a

₂

= 1

Mínimo Múltiplo Comum

Sejam a e b ∈ ℤ, m ∈ ℤ é um

para

(ou de)

a e b se:

i. a|m e b|m

ii. Se a|m′ e b|m′, então m|m′

Seja a, b ∈ ℤ − {0}. Então existe um

(único) mínimo múltiplo comum de a e b



Existência e Unicidade (demonstração como

Demonstração (existência)

 Podemos supor a e b positivos

 Seja S = {múltiplos comuns positivos de a e b}. S ≠ ∅ pois ab ∈ S.

 Seja m o menor elemento de S.

 a|m e b|m (pois m é múltiplo de a e b)

 Suponha que a|m′ e b|m′. Existem q e r ∈ ℤ tais que  m′ = qm + r , com 0 ≤ r < m

 a|m

′ _{e a|m ⇒ a|r} b|m′ e b|m ⇒ b|r

 Se r ≠ 0 então r ∈ S. Mas r < m e m é o menor elemento de S.

Teorema

 d = a, b ⇒ MDC  m = [a, b] ⇒ MMC

Sejam a e b inteiros positivos. Então

a, b . a, b = a. b

Seja d = (a, b) e m = a.b

d ∈ ℤ, vamos mostrar que m é o MMC

para a e b

 m = a. b

d ⇒ a|m e m = b. a

Demonstração - Continuação



a|m

′

e b|m′ ⇒ m

′

= a. a

′

e m

′

= b. b

′ 

d = a, b ⇒

a d

,

b d

= 1 ⇒ 1 =

a d

x +

b d

y ⇒ m

′

₌

a d

m

′

_{x +}

b d

m

′

_y



Substituindo m’ por bb’ e por aa’ temos:



m

′

=

ab

d

b

′

_{x +}

ab d

a

′

_{y = m b}

′

_{x + a}

′

_{y . Logo m|m}

′

MMC de mais de 2 elementos

Sejam a₁, … , a_n ∈ ℤ − {o} , m é um MMC para a₁, … , a_n se: i. a₁|m, a₂|m, … , a_n|m ii. Se a₁|m′, a₂|m′, … , a_n|m′, então m|m′  Ex:  a = p₁r1. … . p_krk , b = p₁s1. … . p_ksk  p_i ≠ p_j, r_i ≥ 0, s_j ≥ 0, r_i + s_j ≥ 0

 (a, b) = p₁t1. … . p_ktk onde t_i = min {r_is_i}

Referências



FERNANDES, Ângela Maria Vidigal; [et al]

Fundamentos de Álgebra. Belo Horizonte.

Editora UFMG, 2009



BOYER, C. Carl, Merzbach, C. Uta; História