a, b ∈ ℤ, dizemos que a e b são primos - Alg1 Cap2 Numeros Primos MMC impressao

Teoria dos

Números

Números Primos

1

Números Primos

a, b ∈ ℤ, dizemos que _{a e b} são primos entre si se _{1 = (a, b)}.

Um númerop ∈ ℤ − *−1,1+ é primo se os únicos divisores de p são ±1 e ± p

 n  IN é primo se, sempre que escrevemos n = ab, com a,b  IN, temos necessariamente ou a = 1 e b = n ou a = n e b = 1 (exemplifique!)

 Se um número não é primo é chamado composto

 n  IN é composto se existem a,b  IN, com 1 < a < n e 1 < b < n, tais que n = ab. (exemplifique!)

 1 não é primo nem composto

Exemplo



Obtenha todos os primos naturais p que

sejam iguais a um quadrado perfeito menos 1

Teorema e Corolário

Seja

p

um número primo e

a, b ∈ ℤ

. Se

p|ab

, então

p|a

ou

p|b

.



Seja

p

um número primo,

a

, a

, . . , a

∈ ℤ

. Se

p|a

∙ ⋯ ∙ a

então

p|a

para algum i.

Demosntrações



D]

(Teorema)

Suponha que

p ∤ a

(não

divide), Então

p, a = 1

(é o único que

divide). Logo

1 = ax + py ⇒ b = abx + pyb

,

como p|ab (hip.) e p|p, temos que:

 p|abx e p|pyb (Prop. 1.(v))⇒ p|b



D]

(Corolário)

Suponha que

𝑝 ∤ 𝑎

. Então

pelo teorema

p|𝑎

∙ ⋯ ∙ 𝑎

.

Usando a

hipótese de indução (Sup.

p ∤ 𝑎

…

o

resultado é válido) temos que

p|𝑎

para

algum

𝑖.

Proposição 2

 Sejam _{a, b e c ∈ ℤ}

i. a e b são primos entre si ( a, b = 1) se, e

somente se, existem x, y tal que 1 = ax + by

ii. c|ab e a, c = 1, então c|b

 3|5.9 e (3,5) = 1  3|9

iii. a. b ≠ 0 e d = a, b , então 1 = (a

d, b d)

 (4,6) = 2  (2,3) = 1

iv. c ≥ 0 e d = (a, b), então cd = (ca, cb) v. a, b = 1 e a, c = 1 então, a, bc = 1

 (3,5) = 1 e (3,2) = 1  (3,10) = 1

Demonstração

Teorema Fundamental da

Aritmética



Seja

n

um número inteiro,

n ∉ −1,0,1 .

Então

n

pode ser escrito de maneira única (a

menos

da

ordem)

na

forma

n = ±p

. p

. … . p

com os

p

′s

números

primos positivos.

D]

–

Existência



D] Podemos supor

n ≥ 2



Vamos fazer por indução sobre

n

. Se

n = 2

o resultado

é válido.



Suponha

n > 2

é o resultado válido para todo número

menor que

n

n

for primo não temos nada a

fazer, se não

n = a. b

com

a e b

menores que

n

. Pela

hipótese de indução existem números primos positivos

tal que

a = p

. … . p

e

b = p

. … . p



Logo

n = a. b = p

. … . p

. p

. … . p

D]

–

Unicidade

(PBO)

 Seja S  ℤ um conjunto não vazio e limitado inferiormente. Então S possui um menor elemento.

Seja S = _{*𝑛 ∈}ℕ

𝑛≥ 2 e n tem duas decomposições em fatores primos}

 Suponha, por absurdo que S. Logo, pelo PBO, S tem um

menor elemento m. Assim:

 m = p₁. … . p_r= q₁. … . q_s

podemos supor, reordenando, que p1≤ p2≤ ⋯ ≤ pr e q1≤ q2≤ ⋯ ≤ qs

D]

–

Unicidade

 Notemos que p₁ ≠ q₁ . Caso contrário teríamos duas decomposições diferentes para um número natural menor do que m (o número _pm

1), contrariando o fato de m ser o menor elemento de S. assim podemos supor que p₁< q₁

 Definimos então m′= m − (p₁. q₂. q₃. … . q_s)

 Substituindo m temos:

 m′= p₁. … . p_r− p₁. q₂. … . q_s= p₁. (p₂. … . p_r− q₂. … . q_s)  m′= q₁. … . q_s− p₁. q₂. … . q_s= (q₁− p₁). (q₂. … . q_s)

D]

–

Unicidade

 Por definição, temos m‟ < m. Se fosse p₂. … . p_r− q₂. … . q_s= 0,

concluiríamos que _{p1= q1}, uma contradição; caso contrário

m‟ > 2, pois _p1|m′. Assim, m‟ tem decomposição única como produto de fatores primos.

 Como p₁< q₂≤ ⋯ ≤ q_s , necessariamente o fator primo p₁ deve estar presente na decomposição de (q₁− p₁). Mas isto quer dizer que q₁− p₁= 𝑐p₁ , para algum inteiro c e, portanto:

 q₁= (𝑐 + 1)p₁, contrariando o fato de q1 ser primo.

 Temos assim um absurdo, o que prova que S = . (c.q.d.)

Corolário e Teorema

Todo número 𝑚 ∈ ℤ − *−1,0,1+ possui pelo menos um fator primo.

O número de primos é infinito

Proposição(Euclides)

∀𝑛, existem n números consecutivos que não são primos – (existem „saltos‟ arbitrariamente grandes na sequência de primos)

𝑛𝑖= 𝑛 + 1 ! + 𝑖, 𝑖 = 2, … , 𝑛 + 1

 𝑛₂= 𝑛 + 1 ! + 2, 𝑛3= 𝑛 + 1 ! + 3,𝑛4= 𝑛 + 1 ! + 4

 𝑛_𝑛+1 = 𝑛 + 1 ! + 𝑛 + 1  Temos que

 2|(n+1)!+2 3|(n+1)!+3 ... (n+1)|(n+1)!+(n+1)

 A sequência _𝑛𝑖 é composta por n números compostos e consecutivos

 Exemplificar!

Pierre de Fermat



Fermat investigou sobretudo, números

perfeitos

e

amigáveis,

números

figurados, quadrados mágicos, triplos

pitagóricos, e acima de tudo, os

números primos. Desenvolveu vários

teoremas nesta área, entre os quais o

'Último Teorema de Fermat', que não foi

o único, nem se calhar o mais relevante

da teoria dos números (Boyer, 1996).

Pierre de Fermat



Um dos mais importantes teoremas foi o

que é hoje conhecido como o

'Pequeno Teorema de Fermat', um

pequeno teorema, que no entanto, é

uma obra-prima de criatividade e um

resultado com implicações espantosas.

Tornou-se

conhecido

no

meio

académico em 1640, por ter sido

enviado

por

carta

para

outro

matemático.

Número de Fermat



F

= 2

+ 1

 F₀= 3 F₃= 257  F₁= 5 F₄= 65.357

 F₂= 17 F₅= 4.294.967.297 é divisivel por 641

 Euler mostrou, em 1732, que para o caso n=5, temos um número composto. Embora hoje já se saiba que para n entre 5 e 16 a proposição não se verifica, ou seja, todos os números formados desta maneira são compostos, ainda não se tem ideia se existem mais 'números de Fermat', para além dos cinco encontrados (Boyer, 1996).

Proposição

Os divisores de um número natural

se dispõem em pares _{(d, d}′₎ tal que _{d. d}′_{= m} e _{d ≤ m}

d|m ⇒ ∃d′ _{tal que d. d}′_{= m, (d, d}′_{). Podemos supor d ≤ d}′

 d2= d. d ≤ d. d′= m ⇒ d ≤ m

 m = 12

 1,12 2,6 3,4

 m = 9

 1,9 3,3

Proposição

Seja

m

um número natural não

quadrado. Então

𝑚

é irracional

Crivo de Eratóstenes



“Escrevem

-se, em ordem natural, todos os

números naturais entre 2 e n. Em seguida,

eliminam-se todos os inteiros compostos que são

múltiplos dos primos p tais que p



n

, isto é:

primeiro elimine todos os múltiplos 2k de 2, com k 

2; a seguir todos os múltiplos 3k de 3, com k

 2;

depois 5k de 5, com k  2; e assim sucessivamente,

para todo primo p 

_n

. Os números que sobrarem

na lista são todos os primos entre 2 e n.

”

Exemplo

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

• 100 = 10

•

2,3,5,7

• Primos antes da raiz de 100

 Múltiplos de 2  Múltiplos de 3  Múltiplos de 5  Múltiplos de 7

Exercício



Sejam a e b números naturais com suas

fatorações primas dadas por:



a = p

p

. … . p

p

≠ p



b = p

p

. … . p

r

≥ 0, s

≥ 0 r

+s

> 0



Mostre que se

d = (a, b)

, então

d = p

p

. … . p

onde

t

= min *r

, s

+

MDC de mais de 2 elementos



Suponha que tenha

a

, … , a

∈ ℤ

,

d

é um MDC para

a

, … , a

se:

i.

d|a

,

d|a

, … , d|a

ii.

Se

d

|a

, d

|a

, … , d

|a

então

d′|d

.



Existe o MDC

d

de

a

, … , a

e

d = x

a

+ ⋯ + x

a



1 = a

, a

, a

⇏ a

, a

= 1



(6,10,15) = 1 e (6,10) = 2, (6,15) = 3 e (10,15) = 5

Mínimo Múltiplo Comum

Sejam

a

e

b ∈ ℤ

,

m ∈ ℤ

é um

para

(ou de)

a

e

b

se:

i. a|m e b|m

ii. Se a|m′ e b|m′, então m|m′

Seja

a, b ∈ ℤ − *0+

. Então existe um

(único) mínimo múltiplo comum de

a

e

b



Existência e Unicidade (demonstração como

exercício) do MMC

Demonstração (existência)

 Podemos supor a e b positivos

 Seja S = {múltiplos comuns positivos de _a e _b}. S ≠ ∅ pois ab ∈ S.

 Seja m o menor elemento de S.

 a|m e b|m(pois m é múltiplo de a e b)

 Suponha que a|m′ e b|m′. Existem q e r ∈ ℤ tais que

 m′= qm + r , com 0 ≤ r < m

 a|m

′ _{e a|m ⇒ a|r}

b|m′ _{e b|m ⇒ b|r}

 Se r ≠ 0 então r ∈ S. Mas r < m e m é o menor elemento de S. Temos então uma contradição. Logo r = 0 e m|m′. (c.q.d.)

Teorema

 d = a, b ⇒ MDC  m = ,a, b- ⇒ MMC

Sejam

a

e

b

inteiros positivos. Então

a, b . a, b = a. b

Seja _{d = (a, b)} e _{m =}a.b

d ∈ ℤ, vamos mostrar que m é o MMC para a e b

Demonstração - Continuação

MMC de mais de 2 elementos

Sejam _{a1, … , an∈ ℤ − *o+}, _m é um MMC para

a1, … , an se:

i. a₁|m, a₂|m, … , a_n|m

ii. Se a₁|m′, a₂|m′, … , a_n|m′, então m|m′

 Ex:

 a = p₁r1. … . p_krk , b = p₁s1. … . p_ksk  p_i≠ p_j, r_i≥ 0, s_j≥ 0, r_i+ s_j≥ 0

 (a, b) = p₁t1. … . p_ktk onde _{ti= min *risi+}

 a, b = p₁m1. … . p_kmk onde _{mi= max *ri,si+}– demonstrar!

Referências



FERNANDES, Ângela Maria Vidigal; [et al]

Fundamentos de Álgebra. Belo Horizonte.

Editora UFMG, 2009



BOYER, C. Carl, Merzbach, C. Uta; História