FuncInversas

(1)

Narciso Gomes

[email protected]

Departamento Ciˆencia & Tecnologia, Uni-CV, Campus de Palmarejo, Cabo Verde Janeiro 2011

1 Fun¸

c˜

oes Inversas

1.1 Revis˜

ao

Sejam A ⊆ R e B ⊆ R para as defini¸c˜oes sequintes.

Defini¸c˜ao 1.1 Uma fun¸c˜ao f : A → B diz-se injectiva se ∀x1, x2 ∈ A; x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

ou aplicando a regra de convers˜ao da implica¸c˜ao tem-se ∀x1, x2 ∈ A; f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

Se f for injectiva ent˜ao existe uma fun¸c˜ao inversa de f , designada por f−1 : f (A) → A dada por

f−1(y) = x se f (x) = y.

Defini¸c˜ao 1.2 A fun¸c˜ao f : A → B diz-se sobrejectiva se ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : y = f (x)

Nota 1.3 Uma fun¸c˜ao diz-se bijectiva se ´e injectiva e sobrejectiva.

Defini¸c˜ao 1.4 Uma fun¸c˜ao f : A → B diz-se estritamente crescente se ∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇔ f (x1) < f (x2).

Defini¸c˜ao 1.5 Uma fun¸c˜ao f : A → B diz-se estritamente decrescente se ∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇔ f (x1) > f (x2).

Defini¸cão 1.6 Uma fun¸cão f : A → B diz-se monótona se e só se for estritamente crescente ou for estritamente decrescente no seu dom´ınio.

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Nota 1.7 As afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

1. a fun¸cão f (x) : A → B é monótona; 2. a fun¸cão f (x) : A → B é bijectiva.

Defini¸cão 1.8 Diz-se que uma fun¸cão, denotada por x = f−1(y), é inversa da fun¸cão y = f (x) e tem-se:

1. o dom´ınio de f−1 e o contradom´ınio de f s˜ao coincidentes, ou seja, Df−1 = D0_f.

2. o dom´ınio de f e o contradom´ınio de f−1 s˜ao coincidentes, ou seja, Df = D0f−1.

3. x = f−1(y) ⇔ y = f (x).

Salienta-se que nem sempre é fácil determinar analiticamente a inversa de uma fun¸cão. Para os casos mais fáceis, seria apenas resolver a equa¸cão f (x) = y. O Teorema da Fun¸cão Inversa garante, a injectividade local de fun¸cões de classe C1 recorrendo apenas `

a análise da respectiva derivada. Ademais, fica também garantido que a fun¸cão inversa ´

e de classe C1_{. De seguida, analisar-se-´}_{a alguns casos mais simples.}

1. Considere a equa¸cão linear ax = y. Desde que a 6= 0, a solu¸cão de tal equa¸cão existe e á dada por x = y/a. Assim, a fun¸c˜_{ao f : R → R dada por f (x) = ax} é injectiva desde que a 6= 0 e a respectiva inversa f−1 _{: R → R é dada por} f−1(y) = y/a.

2. Seja f : R → R dada por f (x) = x2_{. Trata-se de uma fun¸c˜}_{ao n˜}_{ao injectiva, por}

ser par: f (−x) = f (x). No entanto, a restri¸cão de f ao conjunto em que x > 0 é invert´ıvel e temos f−1(y) = √y. Note-se que a derivada f0(x) = 2x anula-se apenas em x = 0 e que a fun¸cão f não é invert´ıvel em torno da origem.

3. Seja a fun¸c˜_{ao f : R → R dada por f (x) = x}3_{. Facilmente se verifica que f ´}_e

injectiva em R e que a derivada f0(x) = 3x2 anula-se apenas em x = 0. 4. O dom´ınio fun¸cão f (x) = x2 _{− 4x é R, isto é, D}

f = R. Verifique que y =

x2− 4x = x2_{− 4x + 4 − 4 = (x − 2)}2_{− 4 conclu´ımos que o contradom´ınio de f ,}

D_f0 = [−4, +∞[. Na base das propriedades da fun¸cão quadrática conclui-se que a fun¸cão é decrescente no intervalo ] − ∞, 2] e é crescente no intervalo ]2, +∞]. Portanto a fun¸cão y = x2_{− 4x n˜}_{ao ´}_{e invert´ıvel em R. Partindo o dom´ınio dela}

em dois intervalos ] − ∞, 2] e [2, +∞[ e considerando as restri¸c˜oes da fun¸c˜ao: (a) y = f1(x) = x2− 4x, Df1 =] − ∞, 2] e D 0 f1 = [−4, +∞[. (b) y = f2(x) = x2− 4x, Df2 = [2, +∞[ e D 0 f2 = [−4, +∞[.

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5. A fun¸cão y = f (x) = x + ex _{tem dom´ınio e contradom´ınio R, é crescente e é}

invert´ıvel . A fun¸cão tem inversa, mas porque é imposs´ıvel resolver analiticamente em rela¸cão à variável x a equa¸cão y = x + ex. Não se sabe qual é a expressão anal´ıtica. Mas pode ser representada graficamente.

6. Seja f : Rn_{→ R}n _{uma aplica¸c˜}_{ao linear, ou seja, existe uma matriz A}

n×n tal que

f (x) = Ax. Esta fun¸cão é injectiva desde que det A 6= 0 e a respectiva inversa é dada por f−1(y) = A−1y em que A−1 representa a matriz inversa de A. Note-se que uma aplica¸cão linear é uma fun¸cão de classe C1 _{e a respectiva derivada ´}_e

representada pela matriz A, ou seja,

Df (x) = A.

7. Seja f : R2 _{→ R}2 _{a fun¸c˜}_{ao dada por}

f (x, y) = (2xy, x2+ y2).

A fun¸c˜ao n˜ao ´_{e injectiva em R}2_{. Repare que f(1,1)=f(-1,-1)=(2,2). Entretanto,}

podemos determinar um subconjunto de R2 em que f g ´e invert´ıvel. Para isso consideremos a equa¸c˜ao f (x, y) = (u, v) , ou seja

u = 2xy v = x2_{+ y}2

de onde obtemos

x + y = √v + u x − y = √v − u

desde que se tenha x + y ≥ 0 e x − y ≥ 0. Portanto, a restri¸c˜ao de f ao conjunto

X = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≥ 0; x − y ≥ 0}

´e invert´ıvel e a respectiva inversa, definida no conjunto

W = {(u, v) ∈ R2 : v + u ≥ 0; v − u ≥ 0} ´e dada por f−1(u, v) = (x, y) = 1 2( √ v + u +√v − u,1 2( √ v + u −√v − u .

1.2 Derivada da Fun¸

c˜

ao Inversa

O teorema seguinte permite calcular a derivada da fun¸cão inversa x = f−1(y) num ponto genérico x = f (x), com x ∈ D, sem conhecer a expressão anal´ıtica da mesma.

Teorema 1.9 Seja:

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(b) a fun¸cão real de variável real y = f (x) é de classe C1 _{e seja x}

0 um ponto tal que

f0(x0) 6= 0 numa vizinhan¸ca Vx0 em que f é injectiva. Então a fun¸cão inversa

x = f−1(y) ´e de classe C1 e x ∈ Vx0:

(f−1)0(y) = 1 f0_(x).

Demonstra¸cão: A demonstra¸cão de (b) é trivial.

1.3 Teorema da Fun¸

c˜

ao Inversa

Teorema 1.10 Seja F : T → Rn uma fun¸c˜ao de classe C1 , definida num aberto T ⊂ Rn tal que

det DF (x0) 6= 0

em algum ponto x0 ∈ T . Ent˜ao,

(a) Existem dois abertos U e V , com x0 ∈ U e y0 = F (x0) ∈ V , e tais que F ´e

injectiva em U e F (U ) = V .

(b) A fun¸c˜ao inversa F−1 : V → U ´e de classe C1_.

Nota 1.11 Sendo a inversa de classe C1, derivando a equa¸c˜ao F−1(F (x)) = x; x ∈ U,

obt´em-se, para y = F (x),

DF−1(y) = [DF (x)]−1

Portanto, nas condi¸cões do teorema da fun¸cão inversa, a derivada da fun¸cão inversa F−1 pode ser obtida, localmente, conhecendo apenas a fun¸cão F .

1.4 Exemplos

Exemplo 1.12 Seja a fun¸c˜ao definida por

F (x, y) = (x2− y2, xy). (a) Verifique se F ´e injectiva no seu dom´ınio.

(b) Determine um conjunto de pontos em que F ´e localmente invert´ıvel. (c) Determine a derivada DF−1(0, 1), sabendo que F (1, 1) = (0, 1).

Resolu¸c˜ao:

(a) Considere os pontos de R2 _{da forma (x, x) com x 6= 0. Ent˜}_{ao, F (x, x) = (0, x}2_{) e,}

portanto, F (−x, −x) = F (x, x) donde se conclui que a fun¸cão f não ´_{e injectiva em R}2. (b) A fun¸cão f é de classe C1_{no seu dom´ınio. Pelo Teorema da Fun¸c˜}_{ao Inversa, a fun¸c˜}_ao

F ser´a localmente invert´ıvel nos pontos (x, y) que verificam a condi¸c˜ao det DF (x, y) 6= 0.

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Portanto,

DF (x, y) = 2x −2y y x

e det DF (x, y) = 2(x2_+y2_{), a fun¸c˜}_{ao F tem inversa local em cada ponto de R}2_{\{(0, 0)}.}

(c) Note-se que

det DF (1, 1) = det 2 −2 1 1

= 4.

e, portanto, existem vizinhan¸cas U de (1, 1) e V de F (1, 1) = (0, 1) tais que F : U → V ´ e invert´ıvel, F−1 : V → U ´e de classe C1 _e DF (0, 1) = [DF (1, 1)]−1 = 1 4 1 1 −1 2 = ₁ 4 1 2 −1 4 1 2 .

Exemplo 1.13 Seja a fun¸c˜_{ao vectorial F : R}3 _{→ R}3 _{definida por}

F (x, y, z) = (x + xyz, y + xy, z + 2x + 3z2). Verifique se F ´e invert´ıvel numa vizinhan¸ca do ponto (0, 0, 0).

Resolu¸c˜ao: De facto, F ´e de classe C1 e

det DF (0, 0, 0) = det   1 0 0 0 1 0 2 0 1  = 1.

A derivada da fun¸c˜ao inversa no ponto F (0, 0, 0) = (0, 0, 0) ´e dada por

DF−1(0, 0, 0) = [DF (0, 0, 0)]−1 ⇒ det DF−1(0, 0, 0) = det   1 0 0 0 1 0 −2 0 1  = 1.

Exercicios Propostos 1.14 Consideremos o sistema de equa¸c˜oes _x4_+y4

x = u

sin x + cos x = v.

Recorra ao Teorema da Fun¸c˜ao Inversa para determinar os pontos (x, y) para o qual o sistema seja invert´ıvel.

Exercicios Propostos 1.15 Considere a fun¸c˜ao definida por

f (x, y) = lnx y, y − arctan x + π 4 .

(a) Determine um conjunto de pontos (x, y) em que f ´e localmente invert´ıvel.

(b) Seja f−1 a inversa local de f em torno do ponto (1, 1). Fazendo (x, y) = f−1(u, v), calcule ∂x_∂u(0, 1).