PROJETO DE SIST. DE CONTROLE PELO MÉTODO LR - P 01

PROJETO DE SISTEMAS

CONTROLE PELO MÉTODO

LUGAR DAS RAÍZES

INTRODUÇÃO

O objetivo principal será apresentar procedimentos para o projeto e a compensação de S.C.L.I.T. com uma entrada e uma saída.

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Compensação é a modificação da dinâmica de um

sistema para satisfazer determinadas especificações. O enfoque adotado para o projeto de sistemas de controle é o método do lugar das raízes.

Especificações de desempenho

Os S.C. são projetados para realizar determinadas tarefas. Os requisitos impostos aos S.C. são, normalmente, denominados especificações de desempenho.

3

requisitos da resposta transitória (como máximo sobre-sinal e tempo de acomodação na resposta em degrau)

 requisitos em regime permanente (como erro estacionário no acompanhamento de uma entrada As especificações de um sistema controle de devem Essas especificações podem ser dadas como:

Especificações de desempenho

Para questões de projeto, as especificações de desempenho (relativas a precisão, estabilidade relativa e velocidade de resposta) podem ser dadas em termos de valores numéricos precisos.

4

Em outros casos, elas podem ser dadas parcialmente em termos de valores numéricos precisos e em termos de declarações qualitativas.

Nesse último caso, as especificações podem ser modificadas durante o decurso do projeto, pois poder ser impossível satisfazer as especificações originais (por causa de requisitos conflitantes) ou elas podem

Especificações de desempenho

De modo geral, as especificações de desempenho não devem ser mais rigorosas do que o necessário para executar determinada tarefa.

5

Se a precisão em regime permanente for de importância primordial em um S.C., então não se deverá exigir especificações de desempenho desnecessariamente rígidas na resposta transitória, pois essas especificações requerem componentes de preço elevado..

Lembremos que a parte mais importante do projeto de um sistema de controle é definir com precisão as especificações de desempenho, para proporcionar um

Projeto pelo método do

lugar das raízes

Projeto pelo método do lugar das raízes

Consiste em redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e zeros na F.T. de malha aberta do sistema, forçando o novo lugar das raízes a passar pelos pólos de malha fechada desejados no plano s.

7

A característica do projeto do L.G está baseada na suposição de que o sistema de malha fechada tem um par de pólos dominantes.

(Zeros e pólos adicionais afetam as características da resposta)

Compensação de sistemas

Compensação de sistemas

9

Como acontece frequentemente o aumento do

valor do ganho melhora o comportamento em regime permanente, mas torna o sistema pouco

A primeira etapa de ajuste para que o desempenho do sistema seja satisfatório é determinar o ganho.

Entretanto, em vários casos práticos, apenas o ajuste de ganho pode não produzir as alterações no comportamento do sistema necessárias para atender às especificações dadas (fazer um exemplo)

Compensação de sistemas

10

Nesse caso, é necessário reprojetar o sistema (pela modificação da estrutura ou pela incorporação de dispositivos ou componentes adicionais) para alterar o comportamento resultante, de modo que o sistema venha a ter a dinâmica desejada.

Esse reprojeto ou a adição de um dispositivo apropriado é denominado de compensação.

Um dispositivo inserido no sistema, com a finalidade de satisfazer as especificações, é chamado compensador. O compensador compensa a

Compensação de sistemas

11

Os compensadores e controladores comumente utilizados são:

• Compensadores de avanço de fase • Compensadores de atraso de fase

• Compensadores de atraso e avanço de fase e • Controladores PID.

Vamos abordar o método do lugar das raízes como abordagem do projeto de compensadores.

Um dispositivo inserido no sistema, com a finalidade de satisfazer as especificações, é chamado compensador. O compensador compensa a

Compensação de sistemas

12

Os compensadores e controladores comumente utilizados são:

• Compensadores de avanço de fase • Compensadores de atraso de fase

• Compensadores de atraso e avanço de fase e • Controladores PID

Vamos abordar o método do lugar das raízes como abordagem do projeto de compensadores.

Compensação em série e

compensação em paralelo

(ou por realimentação)

Compensação em série e compensação

em

paralelo (ou por realimentação)

A seguir mostra a configuração em que o compensador Gc(s) é colocado em série com a planta. Esse esquema é chamado de compensação em série.

Compensação em série e compensação

em

paralelo (ou por realimentação)

Uma alterrnativa para a compensação em série é retornar o(s) sinal(is) a partir de determinado(s) elemento(s) e inserir um compensador no ramo da realimentação interna resultante.

Essa compensação é chamada de compensação em paralelo ou compensação por realimentação. 

Compensação em série e compensação

em

paralelo (ou por realimentação)

Na compensação de um sistema de controle, normalmente vemos que o problema se reduz ao projeto adequado de um compensador em série ou em paralelo.

A escolha entre o compensador em série e o compensador em paralelo depende da natureza dos sinais no sistema, do nível de potência nos vários pontos, dos componentes disponíveis, da experiência do projetista, de considerações econômicas, entre outras.

Compensação em série e compensação

em

paralelo (ou por realimentação)

Em geral, a compensação em série pode ser mais simples do que a compensação em paralelo; entretanto a compensação em série requer, frequentemente, amplificadores adicionais para aumentar o ganho e/ou produzir isolamento.

(Para evitar dissipação de potência, o compensador em série é colocado no ponto de menor potência do ramo direto.)

Compensação em série e compensação

em

paralelo (ou por realimentação)

Deve-se notar que, em geral, o número de componentes requeridos na compensação em paralelo será menor do que o número de componentes na compensação em série, desde que esteja disponível um sinal adequado, porque a transferência de energia ocorre do nível mais alto de potência para o nível mais baixo.

(Isso significa que amplificadores adicionais podem ser desnecessários.)

Compensadores

Compensadores

20

Se for necessário um compensador para satisfazer as especificações de desempenho, o projetista deve implementar um dispositivo físico que tenha a F.T. prescrita para o compensador.

Se for aplicada uma excitação senoidal à entrada de uma rede e a resposta em regime permanente (que também é senoidal) tiver um avanço de fase, então a rede será chamada de rede de avanço de fase.

Vários dispositivos físicos têm sido utilizados para esse fim.

Compensadores

21

Se a resposta em regime permanente tiver um

atraso de fase, então a rede será denominada rede de atraso de fase.

Em uma rede de atraso e avanço de fase, tanto o atraso de fase como o avanço de fase ocorre no

sinal de saída, mas em regiões de diferentes

frequências;

O atraso de fase ocorre na região de baixa

frequência e o avanço de fase ocorre na região

Compensadores

22

Os compensadores por avanço de fase, atraso de fase e atraso e avanço de fase podem ser:

• dispositivos eletrônicos (como circuitos com amplificadores operacionais) ou

• redes RC (elétricas, mecânicas, pneumáticas, hidráulicas ou

Compensadores

23

No projeto real de um sistema de controle decidir pelo uso de um compensador eletrônico, pneumático ou hidráulico é um assunto que deve ser fundamentado parcialmente na natureza da planta a ser controlada.

Por exemplo, se a planta envolve fluidos inflamáveis, então deve-se optar por componentes pneumáticos (tanto um compensador como um atuador) para

Compensadores

24

Entretanto, se não existir o risco de centelhas, os componentes eletrônicos serão mais comumente utilizados.

(De fato, os sinais não elétricos são frequentemente transformados em sinais elétricos, em virtude da simplicidade de transmissão, maior precisão, maior confiabilidade, facilidade de compensação etc.)

Procedimentos do projeto

Procedimentos do projeto

26

Ao projetarmos um sistema pelo método de

tentativa e erro, estabelecemos um modelo

matemático do sistema de controle e ajustamos os parâmetros do compensador.

O projetista deve utilizar um programa de computador, como o MATLAB para evitar a maior parte do trabalho de cálculo numérico necessário nessa verificação.

A etapa que mais consome tempo nesse trabalho é a verificação do desempenho do sistema por meio da análise, cada vez que os parâmetros são ajustados.

Procedimentos do projeto

27

Uma vez que tenha obtido um modelo matemático satisfatório, o projetista deve construir um protótipo e testar o sistema em M.A.

Em virtude dos efeitos de carga entre os componentes, das não-linearidades, dos parâmetros distribuídos etc. que não foram levados em consideração no trabalho do projeto original, o desempenho real do sistema-protótipo vai provavelmente diferir das previsões teóricas.

Se a estabilidade absoluta do sistema de M.F. estiver assegurada, o projetista fechará a malha e testará o desempenho do sistema de M.F. resultante.

Procedimentos do projeto

28

Pelo método de tentativa e erro, o projetista deve fazer alterações no protótipo até que o sistema satisfaça as especificações.

Dessa maneira, cada tentativa deve ser analisada e os resultados dessa analise devem ser incorporados à próxima tentativa. O projetista deve se certificar de que o sistema final atenda ás especificações de desempenho e, ao mesmo tempo, seja confiável e econômico.

CONSIDERAÇÕES

PRELIMINARES DO PROJETO

CONSIDERAÇÕES

PRELIMINARES

DO

PROJETO

Na construção de um sistema de controle, sabemos que uma modificação apropriada da dinâmica da

planta pode ser um meio simples para atender às

especificações de desempenho

Isso, entretanto, nem sempre é possível em muitas situações práticas, porque a planta pode ser fixa e não permitir modificações. Nesses casos, deve-se fazer o ajuste de outros parâmetros que não sejam aqueles da planta fixa.

Nesta abordagem, vamos supor que a planta seja

CONSIDERAÇÕES

PRELIMINARES

DO

PROJETO

Os problemas de projeto, portanto, passam a ser os de melhorar o desempenho do sistema pela

inserção de um compensador.

A compensação de um sistema de controle fica reduzida ao projeto de um filtro, cujas características tendem a compensar as características indesejáveis e inalteráveis da planta.

Nesses problemas de projeto será colocado um compensador em série com a F.T inalterável G(s) para obter o comportamento desejado.

CONSIDERAÇÕES

PRELIMINARES

DO

PROJETO

O principal problema envolve, então, a escolha criteriosa do(s) pólo(s) e zero(s) do compensador Gc(s) para alterar o lugar das raízes de modo que as especificações de desempenho sejam alcançadas.

Método do lugar das raízes

para o projeto de sistemas

de

controle

Método do lugar das raízes para o

projeto de sistemas de controle

34

Na prática, o gráfico do L.R. de um sistema pode indicar não ser possível alcançar o desempenho desejado apenas pelo ajuste do ganho. De fato, em alguns casos, pode não ser estável para todos os O método do L.R. é um método gráfico para a determinação da localização de todos os pólos de M.F. a partir do conhecimento da localização dos pólos e zeros de M.A., à medida que o valor de um parâmetro (geralmente o ganho) varia de zero a infinito .

Esse método fornece uma indicação clara dos efeitos do ajuste do parâmetro.

Método do lugar das raízes para o

projeto de sistemas de controle

35

No projeto de um sistema de controle, se for

necessário outro ajuste além do ganho, devemos

modificar o lugar das raízes original pela inserção de um compensador apropriado.

Para alcançar as especificações de desempenho, torna-se então necessário redesenhar o lugar das

raízes.

Uma vez que os efeitos da adição de polos e/ou zeros no gráfico do lugar das raízes forem perfeitamente compreendidos, podemos determinar facilmente a localização do(s) pólo(s) e zero(s) do compensador que

Método do lugar das raízes para o

projeto de sistemas de controle

36

Em essência, no projeto pelo método do lugar das raízes, o lugar das raízes do sistema é modificado por meio de um compensador, de modo que um par de pólos dominantes de malha fechada possa ser colocado na posição desejada.

(Frequentemente, são especificados o coeficiente de

amortecimento e a frequência natural não amortecida de um par de pólos dominantes de malha

Efeito da adição de pólos

Efeito da adição de pólos

38

A adição de um pólo à F.T. de M. A. tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a direita, tendendo a diminuir a estabilidade relativa do sistema e fazendo com que a acomodação da resposta seja mais lenta. (A adição de um controle integral acrescenta um pólo na origem, tornando assim o sistema menos estável.

Efeito da adição de ZEROS

Efeito da adição de ZEROS

40

A adição de um zero à F.T. de M.A. tem o efeito de deslocar o L.R. para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida a acomodação da resposta.

(Fisicamente, a adição de um zero na F.T do ramo

direto significa adicionar um controle derivativo ao sistema.

O efeito desse controle é o de introduzir certo grau de antecipação no sistema e aumentar a velocidade da resposta transitória.)

Efeito da adição de ZEROS

42

cOMPENSAÇÃO POR AVANÇO

DE FASE

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE

Existem várias maneiras de construir compensadores de tempo contínuo (analógicos) por avanço de fase, uma delas são as redes eletrônicas, utilizando amplificadores operacionais

43

Um circuito eletrônico que utiliza amplificadores operacionais é mostrado a seguir

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE

A função de Transferência para esse circuito é:

44 Onde: Observe que: O ganho DC vale: ,  _            0 2 4 1 1 4 1 1 1 c c i 1 3 2 2 3 2 2 2 1 ₁ s _s E (s) R R R C s + 1 R C R C _K Ts 1 _{K T} 1 1 E (s) R R R C s + 1 R C _s Ts 1 _s R C T  _{1 1} T R C _{ T R C2 2 } 4 1 c 3 2 R C K R C   4 1 2 2  2 4 c 3 2 1 1 1 3 R C R C R R K R C R C R R   2 2_{1 1} R C R C   2 4 c R R K R R

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE

Essa rede é uma rede de avanço de fase, se R1 C1 > R2C2

Essa rede é uma rede de atraso de fase, se R1 C1 < R2C2

45

A partir da Eq.

• As configurações dos pólos e zeros dessa rede R1 C1 > R2C2 e quando R1 C1 < R2C2 são mostradas

   0 4 1 1 1 i 3 2 2 2 1 s E (s) R C R C 1 E (s) _{R C s} R C

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE

Configurações de pólos e zeros: (a) rede por avanço de fase;

47

Técnicas de compensação

por avanço de fase

baseadas no método do

lugar das raízes

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

O método do lugar das raízes para projetos é muito eficiente quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do tempo, tais como:

48

• Coeficiente de amortecimento

• Frequência natural não amortecidas dos pólos dominantes de MF

• Máximo sobre-sinal, • Tempo de subida

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

Considere o problema de um projeto no qual o sistema original seja instável para todos os valores de ganho que seja estável, mas apresente características de resposta transitória indesejáveis.

Nesses casos, é necessário redesenhar o lugar das raízes na região próxima ao eixo j e à origem, de modo que os pólos dominantes de malha fechada tenham localização desejada no plano complexo.

Esse problema pode ser resolvido pela inserção de um

compensador por avanço de fase apropriado em

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

Vamos mostrar os procedimentos para o projeto de um compensador por avanço de fase para o sistema da Figura abaixo:

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

1. Com base nas especificações de desempenho, determine a localização desejada dos pólos de malha fechada dominantes.

51

2. Desenhe o gráfico do lugar das raízes do sistema não compensado (sistema original) e verifique se é possível, apenas com o ajuste do ganho, obter os pólos de malha fechada desejados.

Caso não seja possível, calcule a deficiência de ângulo . Esse ângulo deve ser completado pelo compensador por avanço de fase, desde que o novo lugar das raízes passe pela localização desejada dos

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

3. Suponha que o compensador por avanço de fase GC(s) seja:

52

Onde  e T são determinados com base na deficiência angular. Kc é determinado a partir do requisito de ganho de malha aberta.

(0   1)        _  c c c 1 s Ts 1 _T G (s) K K 1 Ts 1 _s T

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

4. Se não forem não forem especificadas as constantes de erro estático, determine a posição do pólo e do zero do compensador por avanço de fase, de modo que esse compensador complete o ângulo  necessário.

53

Se não for imposto nenhum outro requisito ao sistema, tente fazer com que o valor de  seja o maior possível.

Um valor elevado de  geralmente resulta em um valor elevado de Kv, o que é desejável.

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

5. Determine o ganho de malha aberta do sistema compensado a partir da condição de módulo.

54

Uma vez projetado o compensador, verifique se todas as especificações de desempenho foram alcançadas. Se o sistema compensado não satisfizer as especificações de desempenho, repita então os procedimentos de projeto, ajustando o pólo e o zero do compensador, até que essas especificações sejam atendidas.

Se for requerida uma constante de erro estático de valor elevado, acrescente uma rede de atraso de fase em cascata ou substitua o compensador por avanço de fase

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

Note que, se os pólos de M. F. selecionados como dominantes não forem realmente dominantes, será

necessário modificar a posição desse par de pólos dominantes.

(Os outros pólos de malha fechada que não os dominantes apenas modificam a resposta obtida a partir desses pólos dominantes.

A importância das modificações depende da localização dos pólos de malha fechada remanescentes.)

55

Além disso, os zeros de malha fechada afetam a

56

Técnicas de compensação

por avanço de fase

baseadas no método do

lugar das raízes

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

Considere o sistema mostrado na Figura abaixo:

57

A função de transferência do ramo direto é:

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

O gráfico do lugar das raízes desse sistema com a F.T. do ramo direto é mostrado na Figura a seguir:

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

A função de transferência de malha fechada é:

59

Os pólos de malha fechada estão situados em:

   1 s 1 j 3    s 1 j 3



 



Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

Vamos determinar o coeficiente de amortecimento e a frequência natural não amortecida dos pólos de malha fechada:

60

_n  Frequência natural não amortecida

  Fator de amortecimento do sistema

O coeficiente de amortecimento dos pólos de malha

rd/s       2 n 2 2 n n Y(s) R(s) _{s 2 s}    2 Y(s) 4 R(s) _{s 2s 4}  2_n 4  _n 2  _n 2 2 2 2 2    0,5

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

A constante de erro estático de velocidade :

61

Modificar os pólos de malha fechada, de modo que a frequência natural não amortecida obtida seja rad/s, sem que haja alteração no valor do coeficiente

Kv = 2 s

OBJETIVO

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

62

O coeficiente de amortecimento de 0,5 requer que os pólos complexos conjugados se situem sobre retas que passam pela origem formando ângulos de ±60º com o eixo real negativo.

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

63 Para o coeficiente de amortecimento de 0,5 temos:   cos( )    cos ( )1     cos (0,5)1

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

64

 O coeficiente de amortecimento determina a

localização angular dos pólos complexos conjugados de M.F.

 A distância do pólo à origem é determinada pela

frequência natural não amortecida n

Logo as localizações desejadas dos pólos de M.F. são:

Assim:

Logo as localizações

desejadas dos pólos de malha fechada são:

 _n 4   0,5      2 2 n n s 2 s 0     2 2 s 2 0,5 4s 4   2 s 4s 16   16 64  48       1,2 4 j4 3 s 2 j2 3 2    s 2 j2 3

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

65

Em alguns casos, depois de obtido o L.R. do sistema original, os pólos de M.F. dominantes podem ser movidos para a posição desejada simplesmente pelo ajuste do ganho.

Entretanto, esse não é o caso do sistema em questão. Por essa razão, vamos inserir um compensador por avanço de fase no ramo direto.

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

66

Um procedimento geral para determinar o compensador por avanço de fase é o seguinte

:

Primeiramente,

determine a soma dos ângulos junto a um dos pólos de

M.F. fechada

dominantes na

posição desejada, com os pólos e zeros

de malha aberta do sistema original

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

67

Em seguida determine o ângulo  necessário a ser acrescentado para que a soma total dos ângulos seja igual a ±180º (2k + 1).

O compensador por avanço de fase deve contribuir com esse ângulo  =30°.

(Se o ângulo  for muito grande, então podem ser necessárias duas ou mais redes de avanço de fase, e não uma única)

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

68

Se o sistema original possuir a F.T. de malha aberta G(s), então a F.T. de malha aberta do sistema

compensado será: Onde: (0   1)  _        _   _    c c 1 s T G (s)G(s) K G(s) 1 s T        _  c c c 1 s Ts 1 _T G (s) K K 1 Ts 1 _s T

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

69

Note que existem muitos valores possíveis para T e  que resultarão na contribuição angular desejada aos pólos de M.F.

O próximo passo é determinar a localização do zero e do pólo do compensador por avanço de fase. Há

muitas possibilidades para a escolha dessas localizações.

A seguir, vamos apresentar um procedimento para obter o maior valor possível de .

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

70

Primeiramente, trace uma reta horizontal passando pelo ponto P, a localização desejada para um dos pólos de M.F. dominantes.

Reta PA. .

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

71

Trace também uma reta conectando o ponto P à origem.

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

72

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

73

Desenhe duas retas PC e PD que formem ângulos /2 com a bissetriz

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

74

O compensador assim projetado fará com que o ponto P seja um ponto de compensação do sistema sobre o L.R. O ganho de malha aberta será determinado pela condição de módulo. No sistema considerado, o ângulo de G(s) no pólo de M.F. desejado é

















Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

75

Assim se for necessário forçar o lugar das raízes a passar pelo pólo de M.F. desejado, o compensador por avanço de fase deve contribuir com  = 30º nesse ponto Zero em s=-2,9 Seguindo o procedimento de projeto apresentado anteriormente, determine o pólo e o zero do compensador por avanço de fase, como mostra a Figura

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

76 Logo: Zero em s=-2,9 Pólo em s= -5,4     c c 1 s T G (s) K 1 s T  1  T 0,345 2, 9  T 1  0,185 5, 4   1  0,537

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

77

A função de transferência de malha aberta do sistema compensado será:

onde K =

4Kc.

O ganho K é calculado a partir da condição de módulo, como se segue: com base no gráfico do









 





Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

78 Condição de módulo:







 









 









1



K

18, 79

0,0532

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

79

Segue que:

A constante Kc do compensador por avanço de fase

é:

Então, Kc  = 2,51. O compensador por avanço de fase, então, tem a função de transferência:







 



Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

80

Se o circuito eletrônico com amplificadores operacionais, for utilizado como compensador de avanço de fase que acaba de ser projetado, então os valores dos parâmetros desse compensador ficam determinados a partir:       o 2 4 1 1 i 1 3 2 2 E (s) R R R C s 1 _2,51 0,345s 1 E (s) R R R C s 1 0,185s 1       c 0,345s 1 s 2, 9 G (s) 2,51 4,68 0,185s 1 s 5, 4

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

81

Como se vê na Figura abaixo,

onde se escolheu arbitrariamente C1 = C2 = 10 µF e R3 = 10 k

Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

82

A constante de erro estático de velocidade Kv é obtida a partir da expressão:

Note que o terceiro pólo de M.F. do sistema projetado é encontrado pela divisão da equação característica pelos fatores conhecidos, como se segue

  V _{s 0} c K lim s G (s)G(s)







 





 









 







Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

83

A constante de erro estático de velocidade Kv é obtida a partir da expressão:

Note que o terceiro pólo de M.F. do sistema projetado é encontrado pela divisão da equação característica pelos fatores conhecidos, como se segue

  V _{s 0} c K lim s G (s)G(s)







 





 









 







Técnicas de compensação por avanço de fase

baseadas no método do lugar das raízes.

84

CONCLUSÕES

O método de compensação nos possibilita situar os pólos dominantes de M.F. nos pontos desejados do plano complexo.

O terceiro pólo em s = -3,4 está próximo do zero adicionado em s = -2,9. Assim, o efeito desse pólo sobre a resposta transitória é relativamente pequeno. Desde que nenhuma restrição tenha sido imposta ao polo não dominante e que não haja nenhuma especificação relativa ao valor da constante de erro

85

Exercício

Técnicas de compensação

por avanço de fase

baseadas no método do

lugar das raízes

atividade

86

Considere o sistema mostrado na Figura abaixo:

Projetar um compensador por avanço de fase Gc(s) de forma que os pólos de M.F. dominantes tenham um coeficiente de amortecimento de [Mp =16,3033 %] e frequência natural não amortecida de  _n 4