-I-› f~ '
UNIVIMA
IESPECIALIZAÇÃO
EM
A ,MATEMATICANA MODALIDADEADISTANCIA
. ' ~-W
>›~ *_ _' uâ:‹zz»n¡.a›.w.z»|mANTONIO
ALFREDO
SOARES
FONSECA
ERMERSON NEY
LEITE
RODRIGUES
'
EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS
DE
PRIMEIRA
ORDEM
~
Sao
Luís
ANTONIO
ALFREDO
SOARES
FONSECA
ERMERSON
NEY)
LEITE
RODRIGUES
~\
i
EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS
DE
PRIMEIRA
ORDEM
\
São
Luís
2009
Monografia
apresentadaao
Curso de
Especialização
em
Matemática da
Universidade
Virtualdo
Maranhão
para
obtenção
do
título Especialistaem
Matemática.
Orientador: Prof”.
Márcio Rodolfo
lã ‹š*
- .-¿ ' - _ .¿:¡:¿:-:-'~' *-
hg' Rc'- _,,›z'f\-zíf-"“°íf~1zi-Í.;;'¿*7°'-h.e4¡;,
UNIVEIRSIDADÇ
FEDERAL DE SANTA
CAT_AR¡NA
CENTRO
DE
CÍENCIAS
FÍSÍCAS
E
MATEMATÍCAS
Beparâamento ée
Matemáüca
Curso de
Especializaçãoem
Matemáeioa-Formação
de
Professorna modaiidaáe a
distância“Equações
Diferenciais
de
1°
Ordem
-
Monografia submetida
aComissão de
avaliação
do
Curso de
Especializaçãoem
Matemática-Foxmação
do
professorem
cumprimento
parcialpara
a
obtenção
do
ñmlo
de
Especialistaem
Moteniáfica.
APRGVADA
}?ELA
CGNE-SSAO
EXAINIENÍADQRA
em
ZGIQ8/2969Dr.
Márcio
RodolfoFemandes
(CFM/UFSC
- Ofientador) 1.'Dr.
Mário
CésarZambaldi
(CFM/UF SC
- Examinador)_ /G *_ W/
of. F-zmún s, V.
Bzzàn
(CFM/zmsc -
iztxaminzâoz) \ ~Dmišen
TerezinhaÊoth
CarvalhoCoordenadora
do
Curso de spocializaçãoem
Matemática-Formagfiode
ProfessorÀ
Deus
eà
nossa
família. s, ¬
Agradeço a
todos aquelesque
contribuíram
para
a
elaboração
destapesquisa
em
especial:z
À
Deus,
por
terme
dado
saúde
eforça
para
continuar nestacaminhada.
À
nossa Família, pelo apoio
e incentivoem
todosos
momentos.
Aos
Professores
do Curso de
Especialização
em
Matemática, pelo
compartilhamento de horas
ehoras
na
disseminação
do
conhecimento.
Ao
Professor
Márcio
Rodolfo Fernandes, pela
orientação, incentivo ecolaboração
na
construção
destapesquisa
epela administração segura
deste curso.A
Professora
Nery
Terezinha
Both
Carvalho
coordenadora
pelo o
incentivo e colaboração. ' '
A
todos os professoresdo
nosso curso
de
especialização.Aos
Coordenadores, Servidores e Técnicos
da
Univima,
São
Luis-IMA, que
nos
ajudaram
enos
apoiaram
nasapresentações das
aulas.E
aos nossos colegas
de
classe,pela
experiência econhecimento
disponibilizado
a cada
diade
aula.\
“Tudo
aquilo que as maiores inteligências,ao longo dos séculos,
têm
realizadoem
relação`a
compreensão
das formas, pormeios
de conceitospreciosos, está reunido
numa
grande ciência -A
AMatemática
”'
1
RESUMO
Esta
monografia tem
como
objetivo principal apresentara importância
dasequações
diferenciais
de
primeiraordem,
bem
suas aplicações e suportematemático para muitas
áreas
da
ciência eda
Engenharia.Uma
equação
que
contém
as derivadasou
diferenciaisordinárias
de
uma
ou mais
variáveis dependentes,em
relaçãoa
uma
ou
mais
variáveisindependentes, é
chamada
de equações
diferenciais(ED).Uma
equação
diferencial ordináriade
primeiraordem
é
representada pelosimbolismo.
F
x,y,-ix-,...,i-gi=0.
Í
dy
dx
Palavras-chave:
Equações
Diferenciaisde Primeira
Ordem
LISTA
DE
ILUSTRAÇÕES
Gráfico
1Soluções
particularespara equações
diferenciaisGráfico
2
Solução de equações
diferenciais: Famíliasde
Curvas
Gráfico
3Solução de
equações
diferenciais ... ..Foto
1Queda
Livre ... ..LETRA
GREGA
1 1.1 .
2
, 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.33
. 3.1 3.1.1 3.2 3.2.1 3.3 3.3.1 3.4 3.4.1 3.4.24
5
.INTRODUÇÃO.
... ..9
NOTAS
HISTÓRJCAS
... .. 11 ~DEFINIÇAO
... ... ..13
Como
Resolver
uma
Equação
Diferencial Ordinária(EDO)
... .. 13Solução de
Equações
Diferenciais ... .. 15Solução
Numérica de Equações
Diferenciais Ordinárias-
16
Problema
de Valor
Inicial ... .. Classificação.... ... ..17
Classificação por
Tipo
... ..17
Classificação
pelaOrdem
... .. 18Classificação
por
Linearidade ... ..19
EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS
DE
PRIMEIRA
ORDEM
... ..20
Equações
Separáveis
... ..20
Método
de Solução
... .. 21Equações Homogênias
... ..27
Método
de Solução
... ..29
Equações
Exatas
... ..31
Método
de Solução
... .. 31Fatores Integrantes
... ..34
Determinação de
Fatores Integrantes ... ..34
Fatores integrantes
por inspeção
... ..37
coNcLUsÃo
... ..39
,) . /_ /. 1 1 ‹ I- .\ \ I \
1
INTRODUÇÃO
As
palavras diferencial eequações sugerem
a resolução dealgum
tipo deequação
envolvendo derivadas.As
equações diferenciais são o suportematemático
paramuitas áreas da ciência e da engenharia,
surgem
a partir da tentativa de formular,ou
descrever, certos sistemas físicos
em
termos matemáticos.As
equações diferenciaispodem
sermodelos
de situações reais.Muitos
problemas
oufenômenos
da Engenharia, das Ciências Físicasou
mesmo
das CiênciasSociais e
Humanas, quando
formuladosem
termos de conceitos matemáticos,envolvem
funções e suas derivadas fazendo surgir as equações diferenciais.
Equações
diferenciais estão presentesem
diversosmodelos
em
física,química, biologia, economia, engenharia, etc. Vários
fenômenos envolvem
a variaçãode
uma
quantidadeem
relação a outra, levando naturalmente amodelos
baseadosem
equações diferenciais.
Podemos
ter variações temporais de, por exemplo, a posição deum
objeto, a temperatura deum
material, a concentração deum
agente químico, aconcentração de
um
poluenteou
nutrienteem
um
meio, aumidade do
ar, onúmero
dehabitantes de
uma
cidade, a densidade de bactérias deuma
cultura, a densidade demassa
deum
gás, o valor deuma
mercadoria, ocâmbio
entremoedas,
o produto internobruto de
um
país, etc.Além
de variações temporais dessas quantidades,podemos
tervariações
em
relação a outras quantidades,como
variação de temperaturaem
relação aposição e variação de densidade de
massa
deum
fluido
em
relação a temperatura, porexemplo.
Equações
diferenciais são equações que relacionam funções (relações entrevariáveis) e suas derivadas.
Ou
seja, relacionam taxas de variação de variáveis.Também
podemos
dizer que equações diferenciais são equações cujas incógnitas são funções esuas derivadas.
Assim
resolveruma
equação diferencial é encontraruma
função quesatisfaça a equação,
ou
ainda, éuma
função que a satisfaz sob determinadas condições.A
solução geral deuma
dada
equação diferencial representauma
família decurvas, pois para cada valor da constante
temos
uma
função quepode
ser representadageometricamente por
uma
curva. Essa famíliatambém
échamada
decurvas
integraisda
equação
diferencial.Muitas vezes o interesse está
numa
das curvas integrais, escolhida mediante10
Nesse
caso a solução que satisfazuma
condição inicial édenominada
solução particular
ou
solução deum
problema
de valor inicial.Essas idéias
levam
ao conceito de equações diferenciais de variáveisseparadas, que são equações diferenciais cuja solução
pode
ser obtida medianteintegração direta.
Assim
equações diferenciais de Variáveis separadas são equaçõesdiferenciais cujas variáveis
podem
ser separadas, gerandouma
equação
diferencialdo
tipo:
1.1
NOTAS
HISTÓRICAS
O
desenvolvimento das equações diferenciais está intimamente ligado aodesenvolvimento geral da matemática e não
pode
ser separado dele.Apesar
disso, parafornecer
alguma
perspectiva histórica,vamos
indicar aquialgumas
tendências principaisna história desse assunto e identificar os matemáticos atuantes no período inicial de
desenvolvimento que mais se destacaram.
De
acordocom
Boyce,(2006 p. 15) as equações diferenciaiscomeçaram
com
o estudo de cálculo por Isaac
Newton
, suas descobertas sobre cálculo e as leis damecânica datam
de 1665. Elas circulam privadamente, entre seus amigos,mas
IsaacNewton
era muito sensível a críticas e sócomeçou
a publicar seus resultados a partir de1687,
quando
lançou seu livromais
famoso, Phífosophía Naturalis PríncipíaMathematíca.
Apesar
de IsaacNewton
ter atuado relativamentepouco
na área deequações diferenciais propriamente ditas, seu desenvolvimento de cálculo e a
elucidação dos princípios básicos da
mecânica
forneceram a base para a aplicação dasequações diferenciais
no
século XVIII.Isaac
Newton
apud
(BOYCE,
2006, p.15) classificou as equaçõesdiferenciais de primeira
ordem
de acordocom
as formas dy/dx=
f(x), dy/dx=
f(y) edy/dx
=
f(x,y).Ele desenvolveuum
método
para resolver a última equação,no
casoem
que f(x, y) é
um
polinômioem
x e y, usando séries infinitas. IsaacNewton
parou de fazerpesquisa matemática
no
início da década de 1690, exceto pela solução de problemasdesafiadores ocasionais e pela revisão e publicação de resultados obtidos anteriormente.
Os
irmãosJakob
eJohann
Bernoulli, de Basel fizeram muito sobre odesenvolvimento de
métodos
para resolver equações diferenciais e para ampliar ocampo
de suas aplicações(BOYCE,2006
p.15).Com
ajudado
cálculo, resolveramdiversos problemas
em
mecânica
formulando-oscomo
equações diferenciais. Porexemplo, Jakob Bernoulli resolveu a
equação
diferencialy'
=
[a3
/ (bzy
-a3
1/2em
1690
e,no
mesmo
artigo, usou pela primeira vez a palavra "integral"no
sentidomoderno.
Daniel Bernoulli, filho de
Johann
Bernoulli,emigrou
paraSão
Petersburgona juventude para se incorporar à
Academia
deSão
Petersburgo, recém-formada,mas
retornou a Basel
em
1773,como
professor de botânica e,mais
tarde, de física. Seus12
O
maior matemático do
século XVIII,Leonhard
Euler , foi omatemático
mais
prolífico de todos os tempos, suas obras completasenchem
mais de70 volumes
grossos. Entre outras coisas
Leonhard
Euler identificou a condição para queequações
diferenciais de primeira
ordem
sejam exatas, desenvolveu a teoria de fatoresIntegrantes,
no
mesmo
artigo e encontrou a solução geral para equações LinearesHomogêneas
com
coeficientes constantesem
1743.De
acordocom
Boyce
(2006 p.15) Pierre-Simon de Laplace destacou-seno
campo
damecânica
celeste, seu trabalhomais
importante, Traíté deMécaníque
célestefoi publicado
em
5 volumes.A
equação de Laplace é fundamentalem
muitosramos
dafísica matemática e Laplace a estudou extensamente
em
conexão
com
a atraçãogravitacional.
A
transformada de Laplace recebeu onome
em
suahomenagem,
embora
sua utilidade na resolução de equações diferenciais só tenha sido reconhecida muito
mais
tarde.Alex
Claude Clairaut(1713-1765)Nascido
em
Parisem
1713, Clairaut foiuma
criança prodígio que escreveu seu primeiro livro sobre matemática ao 11 anos. Foium
dos primeiros a descobrir soluções singulares para equações diferenciais.Como
2
DEFINIÇÃO
Chama-se
Equação
Diferencial(ED)
auma
equação que estabeleceuma
relação entrea variável independente, a função desconhecida e as suas derivadas.
Exemplo:
0 9y(x)y'+4x
=0
0 ,x é a variável independente
0 ,y é a função incógnita
Designando
por x a variável independente, por y a função desconhecida e por y'(x),,, (H) ~ -
y (x), y as derivadas.
A
equaçao que estabelece a relaçao entre x, y(x), y'(x),y"(x),...y (n) (x) é
uma
equação diferencial e escreve-se simbolicamente:F(›‹,y‹›‹>,.v'<›‹›,y"<›‹›,...,
W
‹›‹>)=
0.
2 .l
Como
Resolver
uma
Equação
DiferencialOrdinária
(EDO)
Chama-se
solução daEDO
uma
funçãocom
n derivadasque
satisfaça aequação.
Na
solução deuma
EDO
doiscaminhos
podem
ser seguidos. Isto é, 0 quetenta levar à solução exata
do problema (método
analítico)ou
o que encontrauma
solução
aproximada (método
numérico).Do
ponto de vista analítico, resolveruma
EDO
do
tipo y'=
f
( x,y
) éencontrar
uma
funçãoy
=
F
(x
) que satisfaça a equação dada. Por exemplo,dada
aequação
diferencial y'=
f
( x,y
)=
2x +
3, sua solução é obtida pory=
I(2x+3)dx=
x2+3x+C.
Na
verdade,temos
uma
família de soluçoes (para cadaC
e
R
tem-seuma
solução particular).
Na
Figura 1 são mostradasalgumas
destas soluções.No
caso para14
y
^
=
4 .z:2
C=0
X
\__/
>
Gráfico 1: Soluçoes particulares para equações diferenciais
Representações de soluções particulares, para alguns valores de C, da função
y=x2+3x+C.
Para determinarmos
uma
solução específica é necessária a atribuiçãodo
valor dey
em
um
dado
x.Em
outras palavras, deve serdado
um
ponto(x =
a
,y =
s ) poronde
a solução particular deve obrigatoriamente passar.
O
processo para encontrar esta solução específicay
da equação y'=
f
( x,y
)com
y (a)
=
s,onde a
e s são dados numéricos, échamado
deproblema
decondição inicial. _
Assim,
podemos
particularizar a soluçãodo problema
anterior atribuindo-lhe,por exemplo, a seguinte condição:
d¿=2x+3
dx
y(0)=0
Logo, a solução geral é
dada
pory
= x
2+
3
+
C,
e a particular será dadapor
2.2
Solução de
Equações
DiferenciaisDeterminadas equações
diferenciaispodem
ser solucionadasde
forma
simbólica, cuja solução
é
uma
expressão
literal. Istonem
sempre
é
possível.Neste
caso,a
solução éa
utilizaçãode
integraçãonumérica,
como
será vistona
seqüência.Exemplo
:%=y
=>
Éy-zdz
=>
j-“Ly-zjzzx=>
1n(y)+c,=x+¢,
y(x):ex+C
:aex
Observe que
a
soluçãoda
equação
diferencial resultanuma
famíliade
curvas
que
dependem
da
constante a,como
pode
ser vistona figurâ
abaixo.Uma
soluçãoparticular
pode
ser obtidaa
partirdas condições
iniciaisdo
problema.
A
especificação
de
uma
condição
inicialdefine
uma
solução entrea
famíliade
curvas.4s¡ . Y (X) 4°- 35' I ao -› *I 25- 2o L I I 15 - ' 1o 5 _ , zzz, , ,z z A -,__ z ff* x
0+
_Í
Iaf
I ›_ -1 -0.5 OO5
115
2Gráfico
2:Solução de
equações
diferenciais : Famíliasde
curvasSuponha no exemplo dado que o problema
tem
como
condição
inicialy(0)
=1
.Portanto:
y(x)=aex :>ae°
=l::>a=l
16
Quando
ascondições
iniciais estão associadasa
um
único
valorda
variávelindependente,
define-se
como
um
problema
de
valor inicial-
(PVI).Quando
ascondições
iniciais estão associadasmais de
um
valorda
variável independente,define-
se
como
um
problema de
valorde
contomo
-
(PVC).
Normalmente,
problemas tendo
como
variávelindependente
o
tempo,
sãoproblemas
de
valor inicial.2.3
Solução
Numérica de Equações
DiferenciaisOrdinárias
-
Problema
de
Valor
InicialConsidere
a equação
diferencial ordinária:y'
=
f
(x,y)
com
condição
inicialy(x0)
=
yo
A
soluçãoda
equação
diferencialacima
é
uma
função
do
tipo y(x),conforme
ilustrada abaixo:' v‹×› Y(×fl)
x
( 2) v‹×3› , -f 1V*
zzxr”/C v‹×0› 'f:__),___m×Á/
X
__ XÉ
›|‹0 X1 ×2 x3 xnGráfico
3 :Solução
de
equações
diferenciaisCom
a
soluçãonumérica
de
uma
equação
diferencial,obtém-se
uma
aPf0Xífl1aÇã0
Para OS
Va10f°S y(׋›)›y(X1),y(xz),y(xs
), .... y(X,.) , 011 SejaíX
xl xz x3 ... ..xn
Y
ylyz
y3 ... ..Considera-se que a notação y(x¡ ), j =1,2,...,n indica a solução exata da
EDO
nos pontos x1,x2,x3,...,x,,, e y¡,j=1,2,....,n indica a soluçãoaproximada
obtida por
método
numérico.Na
solução numéricanão
se determina a expressão literal da função y(x),mas
aproximações para pontos da função y(x).Com
os valoresaproximados
obtidos,pode-se plotar a curva.
Em
aplicações da engenharia,normalmente
estuda-se ocomportamento
dinâmico de determinadas variáveis, portanto necessita-se a evoluçãodas variáveis
em
função da variável independente.Com
a curva plotada, pode-se estudaresta evoluçao.
2.4 Classificação.
Equações
diferenciais são classificadas de acordocom
o tipo, aordem
e a linearidade.2.4.1 Classificação pelo
Tipo
Uma
equação diferencial é qualquer relação entreuma
função e as suasderivadas. Existem dois tipos de equações diferenciais. -
Equação
diferencial ordinária(EDO)
Contém
somente
derivadas ordinárias deuma
ou
mais variáveis dependentes,com
relaçao auma
única variáveldependente.
Exemplos:
dy
~=+
dx
x
y
¡:>
ye
'f'd'.é"
unçao
ex,r
aunica
variave"l`de dt.
in penene
d
- _ , , . _, _íy =
xz+
yz
:>
y
ex
sao funçao de 1; t e a unica variavel independente.I
d2
â
.. .
18
Equação
diferencial Parcial(EDP)
São
equações queenvolvem
asderivadas parciais de
uma
ou mais
variáveis dependentes de duasou mais
variáveisindependentes. -`
Exemplo:
â2 õ2 ~ ~ _ _ . . `õi2Á+ã-yë
=
0
:>
u é funçao dex
e y;x
ey
sao variaveis independentes.x
.2.4.2 Classificação pela
Ordem
A
ordem
da derivada demaior
ordem
em
uma
equação diferencial é, pordefinição, a
ordem
da equação.Uma
Equação
Diferencial é dita deordem
n se a derivada deordem
mais
elevada da função incógnita é de
ordem
n.A u ' Por exemplo. . 3 _ '
'd2y+5
_4
_
× 'z - _ .g
dx
y _
9
E
uma
equaçao diferencial ordinaria de segundaordem. .
`
dy
, .4x
lã
+ y
Z
x`E
uma
equação diferencial ordinária 'deprimeira» ordem.
d
sy
, . ,4x
Ê
_
y
I
O
`E
uma
equação diferencial ordinária de. terceira ordem.
Uma
equação diferencial ordinária geral de n-ésímaordem
é freqüentementerepresentada pelo simbolismo. «
' .J
H
F(x,y,Ê,...,Lf)
=
O.~
dy
dx
O
grau deuma
Equação
Diferencial, quepode
ser escritacomo
um
polinômio,- é o grau
do
termo de sua derivada deordem mais
elevada.(J/H
)2
'l'(y')3
+
3)/:
X2 É
uma
equação de 2aordem
e 2° grau/ / \ ) I
d
2x
4 Adx
2 » 'H Ídtz
+
\+
3x
=
0 É
uma
equação de -2aordem
e 4° grau.dzx
dx
_
I VA ' '
diz
+
ZE
"
3
É
uma
equação de 2aordem
e 1° grau1. yi”
+ 3y + 6y =
sin(x) ey”
+ 3y
y'=
extêm
ordem
2
e grau 1.3 10-
2. (y”)_
+
3(y')+ 6y =
tan(x)tem
ordem
2 e grau 3.2.4.3 Classificação por Linearidade
Forma
Geral parauma
Equação
Diferencial Linear deordem
"n"como.
HUma
equação é linearquando
todos os coeficientes são funções desomente
e que "y"
e todas as suas derivadas são elevadas às primeira potência. Agora,quando n=I, obtemos
uma
equação linear de PrimeiraOrdem.
As
equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:l-
A
variável dependente "y" e todas as suas derivadas sãodo
primeirograu; isto é, a potência de cada termo envolvendo "y" é 1.
2-
Cada
coeficientedepende
apenas da variável independente "x".ç
Uma
equação diferencial da forma:dy
611
+
ao
(x)y
=
gfx)
, échamada
deequação
linear.3'
EQUAÇÓES
DIFERENCIAIS
DE
PRIMEIRA
ORDEM
r
Se
g(x) éuma
função continua dada, então a equação de primeiraordem
%=g‹›‹›
(1)J%=Jg‹›‹›
Pode
ser resolvida por integração.A
solução é . uf
y=_[g(x)a'x+c
. L.
\
3.1
Equações
SeparáveisDefinição
- Equações
SeparáveisUma
equação diferencial da forma:0' `
., . , .
l
=
Ê
(1) échamada
de separávelou
tem
variaveis separavelsdx h( y)
1
Observe que
uma
equação separávelpode
ser escritacomo:
h‹y›%=g<›‹›
(2) rÉ
imediato que (2-) se reduz a (1)quando
h(y)=
1.Agora, se y
=
f
(X) denotauma
solução para (2), temos:h(f(X))f'(×)=g(X)
V V_
logo,
J h‹f‹›‹››f'<›‹›‹1›‹
=
I g‹›‹›d›‹+‹z (3)Mas
dy
=
ƒ'(x)dx, a equaçãoacima
é omesmo
que:J
hmdy
=
1 g-<›‹>d›‹+c (4)\
\
dy
A
equação
geralde
primeiraordem
Ê
=
f
(x,y)
,pode
sercolocada
na forma
í--f‹x,y› =
0
-f‹›‹,y›+%=
0
M(x,y)+N(x,y)%;-
=
0
,onde
M
(Ly)
=
-f(X›y)
f= N(x,y)=
1Porém
seM
depende
apenas
de
x
eN
apenas
de
y, elapode
ser escritacom
M(x) +
N(y)%
=
0
Esta
equação
é dita separável, pois se for escritana forma
diferencial.Então
asfórmulas
envolvendo cada
variávelpode
serseparada
pelo sinalde
igualdade.3.1.1
Método
de Solução
A
equação
(4) indicao
procedimento
na
resoluçãopara equações
diferenciaisseparáveis.
Uma
famíliaa
um
parâmetro de
soluções,em
geral implicitamente,é
obtidaintegrando
ambos
os
ladosde
h(y)dy=
g(x)dx.Não
há
necessidadede
usarduas
constantesna
integraçãode
uma
equação
separávelpois.
ƒh<y›‹â+@.
=
[g‹x›d›‹+cz
|
22
Exemplos:
' 1)Q
= -2xy
-›
Q
=
-2xa'x-›
=
-2_Íxdx dxy
y
2 -x'ln|y|=-x2+c
_›
y:Íe'
+0
2)Resolva a equação (1+x)dy
-
ydx
=
0 Dividindo por (1+x)ypodemos
escrever,Q_
dx
y
(1+x)
Q:
dx
JJ/
i(1+x)
ln|y|=
ln|1+x|
+c1
_
ln\1+x\+c¡y -
e
elI1|1+X|.eq
y:
_
C1y
_
+
xi'e
pela definição de módulo,temos
3)
Sob
certas circunstâncias,um
corpo
movendo-se
atravésdo
arencontra
uma
resistênciaque
é proporcionalà sua
velocidade v.Em
geral,a
resistênciado
ar édiretamente proporcional
a
uma
potência positivada
velocidadedo
corpo,quanto
mais
rapidamente
o
corpo
semove, maior
a
resistência.Para corpos
movendo-se
em
altavelocidade, tais
como
projéteisou
pára-quedistasem
queda
livre (Fotol),a
resistênciado
ar éfreqüentemente
tidacomo
proporcionala
V2
Foto
l:Queda
LivreO
enunciado
da
2” leide
Newton
dizque o
produto
da
massa
pela aceleraçãode
um
corpo
é igualao somatório das
forçasa
que
está sujeito:dv
ma=
Z¡F
,sendoa=
E
as forças
que
agem
sobreo
corpo
éa
Força
Peso
(P) ea
resistênciado
ar ( k) contráriaao
peso.mfi=P-kv,P=mg
dtdv
_=
-kV
mdf
mg
em
que
v é
a
velocidade
do
corpo,k o
coeficiente
de
atritoe
g
a
aceleraçãoda
gravidade.
dv
k
k
Dividindo
tudo por
m, temos
_'
= g
-_
v,chamando
_'
=
h,obtemos
dt
m
m
dv
24
1
d
u H \T-V
=1
,mtegrando
ambos
os lados
em
relaçao
ag
-
hv
dtvariável
t,obtemos
1
d
I
midi
=
Jdl
=
í+C¡
(1_1)Agora, para calcular a integral
do
lado esquerdo acima,fazemos
a substituiçãou
=
g-hv:>
du
=-hdv
,assim1
1
1 1 1I~dV
:
=
_ZlI'l|1×l|+C2 :
-'il-lflig-hVl
+C2
(12)
Assim
as equações 1.1 e 1.2implicam
que1
--ln|g-hv`+c2 =t+c1
h
1-Zln|g-hv|
=t+c,
-cz
lnlg
-
hv|
=
-ht
-
hcl
+
hc2
lnlg
_
hV|
:
_hÍ
_
hc1
+
hcz Onde
C3
:
-1701+
hcz
éuma
constante real qualquer. Assim,lnlg
-
hv|
=
-ht
+
c3
i_
h
i_
-ht+c3_h
_ +
-ht+c3g
v
_
e
:>
g
v
_
_e
-hr
g
_
hv
:
ie'
663
,sendo
C
:
Íec3
,temos
g
-
hv
=
c.e""
=>
-
hv
=
c.e`h'
-
g
v:§_c.e
h'h
h
Se o pára-quedísta parte
do
repouso, temosuma
condição inicial v(0)=0, assimc
:O
3
c:g,€p0l"ÍLU'lÍ0
-hr_§_
g.e
W)
`
h
h
v(t)
=%(1-e`h')
26
Circuitos
RC
Circuitos
RC
são aquelesque
contêm
resistores e capacitores. Eles sãointeressantes
porque
as correntese
os potenciais, nestes circuitos,variam
com
o
tempo.
Apesar
das
fontes (fem)que
alimentam
estes circuitosserem independentes
do
tempo,
ocorrem
efeitosdependentes
do
tempo
com
a
introduçãode
capacitores.Estes efeitos são úteis
para
controlede
fimcionamento de máquinas
emotores.
R
a)Carregando
um
capacitor:chave
S
fechada
em
t=0.Assim
que
S
se fecha,surge
uma
correntedependente
do
tempo
-.
no
circuito. (. i I ,St=0:>q=0;t¢0:>q(t)
8
R
Resolver
(estudar) este circuitoéencontrar
a expressão
da
corrente i(0que
-4 I * 'Í I satisfaça
à equação:
5É
5-iR-1:0
C
.q
_
Como
i=
6;-Í,temos que
implica:5
_
ÍR
_
É
_
O
implicaResolvendo
esta equação diferencial para q(t),vamos
ter:_
-z//‹‹'_
-z//e‹'=
C
q(t)
~
Có“(1-
e)-
Q_,.(1~ e ) ,onde
Qf -
E é a carga finaldo
capacitor.Calculando a corrente:
Ízfi
__›¡(t):C¿_
Le-f/RC
:ía-z/RC :
1.08-z/Rc dtRC
R
, 6' , . . . 1”E
E
e a corrente inicialzz
0 -›q(0)=
0, :(0):É
. . . 5 ,Obsewe
que a correntetem
valor inicial igual a 10E
E
e decresce ate zero,quando
capacitor ser torna
completamente
carregado.3.2
Equações
Homogêneas
Antes
de considerar o conceito deequação
diferencialhomogênea
de
primeira
ordem
e seumétodo
de solução, precisamos estudar a natureza deuma
função homogênea.
Definiçáo -
Funçáo
Homogênea
Se
uma
funçãof
satisfazf(lx›
ty)
:
Ín
f(x›
y)
paraalgum
número
real n,então
dizemos
quefé uma
função
homogênea
de
grau
n.Exemplo
1‹a›
f(X›y)
=
X2
~
3×y
+
5y2
28
=
tzxz
-
3t2xy
+
5t2y2
=
f2(X2
-
3Xy
+
5y2)
=
f2f(X,y)
Logo
z fuooâo éhomogêneo
do grau2
‹b›
f(x,y)
=
X3
+
y3
+1
f(v<,1y)
=
(W
+
(fy)3+1
=
t3x3
+t3y3
+1
f3f<x,y)
=
f3›‹3+
ff
+13
, logo f‹z›‹,zy›
¢
ff‹›‹,›››
A
funçao não éhomogênea
x
‹d› f‹›‹,y›=
-
+
42y
I f‹f›z,zy›=¿+4=¿+4=z°f‹›‹,y›
2ty2y
Logo
a funçao ehomogenea
de grau zeroNos
exemplos (c
) e (d),uma
constante adicionada à função destrói ahomogeneidade,
amenos
que a função sejahomogênea
de grau zero.Ainda, muitas vezes
uma
funçãohomogênea
pode
ser reconhecidaexaminando
o graude cada termo.
Exemplo
2a
f(X,y)
=
ÕXJ/3_
X2)/2 ,somando
os grausdo
P
rimeiro termo 63€)/3= 4
somando
os grausdo segundo
termo X2)/2=
4A
função éhomogênea
de grau quatro2 ‹b›
f(x,y)
=
X
-y
O
graudo segundo
termo é 1, logo a função não éhomogênea,
pois os graus dos doistermos sao diferentes.
Se
f
(x, y) foruma
funçãohomogênea
de grau n, note quepodemos
escrever.f(x›y)
:
xnf(1›'}i)
ef(x=y)
: xnfíívlã
x
y
'*<
onde
f{1,X)
ef
Kill
sãoambas
homogêneas
de grau zerox
Uma
equaçáo
diferencialda
forma:
M
(X,y)dX
+
N
(X,y)dy
=
0É
chamada
dehomogênea
seambos
os coeficientesM
eN
são funçõeshomogêneas
do
mesmo
grau.,em
outras palavras.M
(x,y)dx+N(x,
y)dy=0
éhomogênea
seM(fXz1y)=f"M(xzy)
eN(Df›1y)=f"N(Xzy)‹2›
3.2.1
Método
de SoluçãoUma
equação
diferencialhomogênea
pode
ser resolvida pormeio
deuma
substituição algébrica. Especificamente, a substituição
y
=
uxou x
=
vy,em
que
“u” e“v” são novas variáveis independentes, transformará
a equação
diferencial de primeiraordem
separável . Para ver isso, seja y=
ux; então, sua diferencialdy =
udx
+
x du.Substituindo na eq.
Homogênea,
temos
M
(x,ux)dx
+
N
(x, ux)[ua'x+
xdu]
=
0
Agora, pela propriedade de
homogeneidade
dadaem
( 2 ),podemos
escreverx"M(1,
u)a'x
+
x"N(1,
u)[ua'x
+
xdu]
=
0
M
(1,u)dx
+
N
(1,u)ua'x
+
N
(1,u)xdu
=
O
[M
(1,u)
+
uN
(1,u)]dx
+
xN(1,
U)dU
=
O
, dividindo por[M
(1, u)+
uN
(1, u)]dx ex
, ficadx
+
N
(1,u)du
_
O
x M(1,u)
+
uN(1,u)
Exemplo
3 (3) Resolva(X2
+
_)/2)dX+
(X2
_
=
O
-N
_Soluçaoz Tanto M(x,y) quanto (x.y) sao
homogêneas
de grau dois.Se
fizermosy=ux
edy =
udx +
X du. segue-se(x2
+
u2x2)dx
+
(xz
-
uxz
)[udx
+
xdu]
=
O
xz
(1+
u)dx
+
x3
(1-
u)du
=
O
, dividindo por1+”
1-u
xzdx
+
x3
Qd”
:
0,
dividindoporX3
1+u
Ê+í(1_u)du=O
x
1+u
Í-Hi
}z'u+Ê=O
l+u
x
” integrandoobtemos
-
u
+
2lnI1+
u|+
ln|x`=
ln[c|,gdndd
iiz
1,
idmds
X
-l+21n1+l+1ny`x|=1n\c
X
.XÍescrever a solução
como
(X+,v)2
y
CX
, usando as propriedades
do
logaritmo,podemos
V
Í
3.3
Equações
Exatas
Definição
- Equações
Exatas
Uma
equação naforma
M(x,y)+
N(x,y) y'= 0
éuma
equação exataem
R
(uma
região) se, esomente
se,M
y (x,y)=
N
X (x,y)em
cada ponto de R.Exemplo
1Verifique se a equação
(2xy
+
1 )+
(X2+
4y)y'=
O é exata.Solução: Neste caso, M(x,y)
= 2xy +1
eN(x,y)
= X2 +
4y.Logo
M
y= 2x
eN
X=
2x,donde
M
_,z=
N
K e conseqüentemente ela é exata.Exemplo
2Verifique se a equação 21€)/dx
+
(X2
_
1)dy
=
0
, é exata.M(x,y) =
2xy
eN(x,y)
=
x2
-1
Logo
M_v(x,y)
=
2x eN,,(X,y)
=
2x,donde
M_,,,(x›y)= N,.(X,)/)
econseqüentemente
ela é exata3.3.1
Método
de SoluçãoDada
a equaçãoM
(x,y)dx
+
N
(x,y)dy
=
0. .
ÕM
ÔN
Mostre
primeiro que-_
=
_
Ôy âx
Depois suponha
queÍ
=
Mo,
y›Ôr .z
Daí
podemos
encontrarf
integrandoM(x,
y)com
relaçao a x, considerando y32
f‹›‹,y›
=
J M‹›‹,y›«1›‹+g<›››
<õ›Em
que
a função arbitráriag
(y) é a constante de integração. Agora, derivando f(x,y)com
relação ay
esupondo
âf/ôy =
N
(x, y) :%=
â
J
Mo,
y›d›‹+
gm
=
No,
›››Assim,
g'‹,v›=N‹›‹,y›-Ê
I
M<›‹,y›@1›‹- (7)Finalmente, integre g'Ó/)
com
relação ay
e substitua o resultadoem
f
(x, y).A
soluçãopara a equação é
f
(x, y)=
C.Exemplo
3Resolva a equação 23€)/dx
+
(X2
_1)dy
=
Ú
.%=M(x,y)=2xy
6%=N(x,y)=x2-1
í
:
i
Z
di
:
i
" l ' .ÕM
2x
ÕN
2x
ÕM
ÕN
Logo
õy
eõx
,don
eõy
õx
e consequentemente e a e exataSendo
a equação exata, existeuma
funçãof
(x, y) , tal queM(x,y) =
2Xy
eN(X›y)
=
X2
-1
fo,
y)
=
I
M‹›‹,y›d›‹+
go)
f<›‹,y›
=
I
2›‹yd›‹+
go)
f
(Ly) =
xzy
+
g(y)
õf Ô
2 ç 2-=-(X
y)+g
(y)=N(x,y)=×
-1
Õy Õy
-=>
g`(y)=-1
eg(y)
=
-y
,asoluçãoé
Exemplo
4Resolva o
problema
de valor inicial(cosxsenx
-
xy2)dx
+
y(1
-
x2)dy
=
0, y(0)=2
Õ
í=M(x,y)=cosxsenx-xyz
-/i=N(x›y)=1_X2
Ôx
Õy
õfl
-
_2x
-
õfl
1 ~ fõy
,Võx
,ogo
aequaçao
e exata.f(x,y›=
jN‹x,y)ây+h<z‹)
=>
f
(X,y)=ƒy(1-›‹”)dy+
h(x)
%=âj›»‹1~›‹2›dy+h<›‹›
=>%=â<¿;<1-›‹2›+h‹›‹>
%
=
-xy2
+
h'(x)
=
Cos
xsenx
-
xyz
logo
h'(x)
=
Cos
xsenx
1 z
h(x)
=
-I
(¢0Sx(-sznxdx)
=
-E
cos
x
2
yÊ(1-x2)-âcosz
x=c1
y2(1-xz)-COSZ x
=
C,em
que
2
C1
, foitrocado
por
c.A
condição
inicial
y=2
quando
X
=
O
demanda
que
4(1)-
cos2(0)
=
C
,ou
sejac
=
3.Portanto
asolução
do problema
é2
3.4 Fatores Integrantes
Definição:
Uma
função F(x, y) éum
fator integrante da equaçaoM(x,y)
dx +
N(x, y)dy = O
sequando
multiplicar esse fator por toda aequação
ela se transformaem
uma
equação exata, então,F(x, y) [ M(x,y)
dx
+
N(x, y)dy
]=
0, éuma
equação exata3.4.1
Determinação
de Fatores Integrantes:Se F(x , y) é Fator Integrante de M(x,y)
dx +
N(x, y)dy =
0 entãoF(x,y) M(x,y)
dx
+
F(x, y)N(x, y) dy=
0 é exata Entao e verdadeaÕFM
_
ÔFN
õy
õx
Ou
fazendo a derivada do produto:MõF+FõM:NõF+FôN
Ôy
Ôy
Ôx
Õx
FÕM_FÔN:NÕF_MÕF
Õy
õx
Õx
õy
Õl_Õ¿V.
F=NÊ_1Í_MÕl
õy
Õx
Õx
Õy
1)
Se
F
é função só de y , F(y), então:ôx
Logo:61
_
¶
Z _
ÕF(y)
ay õx)F(y)
M
íõy
Ou
õM
õN
__
dF(y)
{¶__<§iF(y)_
M
dy
z1F(y):_
1(õM_õN)dy
F(y)
M
Ôy
Õx
1ÕM
ÔN
fazendo_
*-1
=g(y)
Mía
al
Fórmula
Básica=
OF(y)
M
ôy
fazendo
-
=
g( y)
dF
(y)
Tñí
=
-g(y)dy
=>
1nF(y)
=
-Íg(y)dy
+
G
Como
qualquer
membro
da
famíliadessa função nos
interessapodemos
fazer c=
O
Então
e F(y)
é
o
fator integrante.2)
SeFéfimçãosódex,F(x),então:
gl:
O
.Võy
y"_
Logo:
ÕM
ÕN
ÕF
(___]F(
)__M
(y)
õx
õy
Ou
ÕM
ÕN
{-~-]F‹x›
=
Nffli)
zõy
õx
dx
;dF(x,=¿.(â~¿_@1},,,
F(x)
N
õy
Ôx
IÔM
ÔN
Fazendo
*IV_
=
8(x)
1IdF(x)
=
g(x)âx
=>
m1‹¬(zz)=
jg(x)âx
+
‹,›F
(x)
Como
qualquer
membro
da
famíliadessa
fimção
nos
interessapodemos
fazer c=
0.Então
e1nF‹›‹›
=
eIg‹›‹›‹1×=>
36
IÕM
ÕN
Se
-ga
=
f
(X),uma
função apenas de x, apenas, então o fator integranteI f(›‹)fL‹ _
será
F
(X
)=
6
é fator integrante da equação.Exemplo:
Resolver (X2+
yz
+
X)dX
+
Xyd)/:O
paray =
M=x2+y2+x
eN=Xy
ÔM
_
2
ÕN
_
_ _ , 1õM
ôN
1í
- y
91
_ y
por tanto a equaçao nao e exata,mas
-
*_
=-
e oõy
õxN
ôy õx xJ'
_
dr_
€n(x_
fator integrante será
F
(X)
:
9
x_
9
)_
x
.Assim,aequação
seráKxz
+
xyz
+
x)a'x+xya'y1x
=
(0)x
:>
(x3
+
xyz
+
x2)dx
+
xzydy
=
0
ÔM
ÕN
.onde
õy
:
Zxy
e
T9;
:
Zxy
Por tanto a equaêão é
uma
equação
diferencialCXEIÍEI6
u=í(x3 +xy2
+x2)a'x+k(y)
4 2 2 3
u=xí+Í-êJÍ-+x?+k(y)
õl=O+x2y+0+L(}))=x2y
:>
Lg/)=0
:>
k(y)=C1
Ôy
dy
dy
4 2 2 3X
X
J*x
_ . . _ . , 14=
C0
=
T
+
Í
+
É
+
C1
é a solução geralou
primitiva da equaçao, isto e,Resposta.
3.4.2 Fatores Integrantes por Inspeçao.
Com
esta finalidade deve-se terem
mente algumas
diferenciais exatasbem
conhecidas.Às
vezes, depois de reagrupar os termos da equação, pode-se determinarum
fator integrante pelo reconhecimento de certo grupo de termos
como
parte deuma
diferencial exata,
como
por exemplo:díílzflzifffz,
,,(1,,¿)=WL>w1z,
,,{,,,.,g(¿n=$f_;'11,
.V
y
y
xy
Y
x
+y
1 1 1
onde
as funções_2›
'“"›mz
2 ›em
são fatores integrantes, para aequação
J/
xy x
+
J/ydx
-
xdy
=
O
E
as soluções correspondentes sãoÃ
=
C, lnÃ
=
C
e arctaníí)=
C, queJ” ,V
y
essencialmente sao as
mesmas,
pois representamuma
família de retas quepassam
pelaorigem.
Exemplo:
Verificar se a equaçãoydx-xdy
=
0, paraf
(x), é exata e integrá-la,sem
utilizar
nenhum
dos fatores apresentados anteriormente.Solução: }/'dx
_
xdy
=
O
, então:ÔM
M(x,y):y
:>
fl
y
3
í
¢
1
:> não
exata
N(x,y)=-x
:>
al:-1
ay
âx
äy
Esta equação não é exata e sendo a
mesma
equação
apresentadaanteriormente, e tendo
em
mente, as diferenciais exatas apresentadas, pode-se usar, o38
F(x)=i2
x
Pois, essencialmente é
(ydx
-
xdy
=
O)×
(~ 1) , ou seja,ydx
-
xdy
=
0. Assim,F(x)=i2
:>
(xdy-ydx=0)-F(x)
:>
(xdy-ydx)-F(x)=0-F(x)=O,
x
istoé,
_?(xdy;2ydx)
z
dg)
z
0
Í
dg)
z
c
z>
y
=
cx
Exemplo:
Resolver (2y -
3x)dx+
xdy=
0 paray =
f
ÔM
ÕN
`É
=
2
6ã
=
1 por tanto a equação não é exata.Solução: Por inspeção, tem-se:
F
=
X
[(2y
-
3x)ab‹+
xdylx
=
(0)x
:>
(Zyx
-
3x2
)dx
+
xzdy
=
O
õM
ôN
_ _donde
í=2X
6ã=2X
por tanto a equaçao passa a seruma
equaçao
diferencial exata e a solução, será obtida na
forma
das equações exatas, isto é,2
u
=
J.(2yx
-
3x
)dx
+
k(y)
u
=yx2 -x3
+k(y)
Õ-u=x2-0+Lk(y)=x2
:>
Lk(y)=0
:>
k(y)=Cl
äy
dy
dy
2 3
u
=
C
O= yx -
x
+
C1
é a solução geral
ou
primitiva da equação, isto é,2 3
4
CONCLUSÃO
O
desenvolvimento das equaçoes diferenciais éuma
parte significativado
desenvolvimento da matemáticaem
geral.Usamos
o cálculo diferencial e integral naforma
de equaçoes diferenciais para resolver problemasem
váriosramos
da ciência.De
acordocom
os fatos históricos citados nesta pesquisa, muitoscientistas e pesquisadores estudaram e contribuíram para o desenvolvimento das
equações diferenciais e suas aplicações na resolução de problemas importantes
da
engenharia, das ciências exatas e
das
ciências sociais.Abordamos
especificamente as equações diferenciais ordinárias deprimeira ordem, principalmente as separáveis,
homogêneas
e exatas.Por fim, diante
do
exposto, acreditamosque
este trabalho não esgotou oentendimento sobre os temas discutidos,
mas
esperamos
ter contribuído para a5
-REFERÊNCIAS
Dennis
G.
Zill,Michael R.
Cullen, Eq. Diferenciais, vol 1, 3' ediçãoWILLIAM
E
Boyce,
RICHARD C
Diprima,
oitava ediçãoEquações
DiferenciaisElementares
eProblemas
de
Valores
de
Contomo,
FLEMMING,
Diva
Marília ,GONÇALVES,
Mirian
Buss
, 6” ediçãoCálculo
A:
Funções,
limite, derivaçãoe
integraçãoUNIVERSIDADE
FEDERAL
DE SANTA
CATARINA.
Introduçãoa Equação
Diferenciais.