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Capítulo 2
Limites e Derivadas
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Na Seção 2.2 empregamos
gráficos e calculadoras para
fazer conjecturas sobre o
valor de limites.
•
Mas vimos que esses métodos nem sempre
levam a respostas corretas.
LIMITES E DERIVADAS
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2.3
Cálculos Usando
Propriedades dos Limites
LIMITES E DERIVADAS
Nesta seção usaremos as Propriedades do
Limite, para calculá-los.
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Seja c uma constante e suponha que
existam os limites
e .
Então
lim ( )
x a
f x
o
lim ( )
x a
o
g x
PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Essas cinco propriedades
podem ser enunciadas da
seguinte forma:
1. O limite de uma soma é a soma dos limites.
2. O limite de uma diferença é a diferença dos limites.
3. O limite de uma constante multiplicando uma função é a
constante multiplicando o limite desta função.
4. O limite de um produto é o produto dos limites.
5. O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde
que o limite do denominador não seja zero).
PROPRIEDADES DOS LIMITES
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É fácil acreditar que essas
propriedades são verdadeiras.
•
Por exemplo, se f (x) estiver próximo de L e t(x)
próximo de M, é razoável concluir que
f(x) + g(x) está
próximo de L + M.
Isso nos dá uma base intuitiva para acreditar que a
Propriedade da Soma é verdadeira.
PROPRIEDADES DOS LIMITES
Use as Propriedades do Limite e os
gráficos de f e t na Figura para calcular
os seguintes limites, se eles existirem.
a.
b.
c.
>
@
2
lim ( ) 5 ( )
x
o
f x
g x
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES Exemplo 1
>
@
1
lim ( ) ( )
x
f x g x
o
2
( )
lim
( )
x
f x
g x
o
(a)
Dos gráficos de f e g vemos que
e .
•
Portanto, temos:
2
lim ( ) 1
x
o
f x
>
@
>
@
>
@
2 2 2 2 2lim ( ) 5 ( )
lim ( ) lim 5 ( )
lim ( ) 5 lim ( )
1 5( 1)
4
x x x x xf x
g x
f x
g x
f x
g x
o o o o o2
lim ( )
1
x
o
g x
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Vemos que
.
•
Mas
não existe, pois os limites à esquerda
e à direita são diferentes:
•
Assim, não podemos usar a Propriedade do Produto
para o limite solicitado. A Propriedade do Quociente,
contudo, pode ser usada para limites laterais:
•
Os limites à esquerda e à direita não são iguais,
logo não existe.
1
lim ( ) 2
x
f x
o
1lim ( )
xg x
o1
lim ( )
2
x
o
g x
lim ( )
x
o
1
g x
1
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES Exemplo 1(b)
1
lim[ ( ) ( )] 2 ( 2)
4
xof x g x
lim[ ( ) ( )] 2 ( 1)
xo1f x g x
2
>
@
1lim ( ) ( )
xof x g x
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Os gráficos mostram que
e
.
•
Como o limite do denominador é 0, não podemos
usar a Propriedade do Quociente.
•
O limite dado não existe, pois o denominador tende a
0, enquanto o numerador tende a um número
diferente de 0.
2
lim ( ) 1.4
x
f x
o
|
2
lim ( ) 0
x
g x
o
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES Exemplo 1(c)
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Usamos a Propriedade do Produto
repetidamente com f(x) = g(x), para obter a
seguinte equação
onde n é um inteiro positivo.
Para aplicar essas seis Propriedades, vamos
precisar usar dois limites especiais:
•
Esses limites são óbvios do ponto de vista intuitivo
•
Expresse-os em palavras ou esboce os gráficos y = c e
y = x.
PROPRIEDADE DA POTÊNCIA
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Se pusermos agora f(x) = x nas
Propriedades 6 e 8, vamos obter outro limite
especial útil
onde n é um inteiro positivo.
Um limite similar é válido para as raízes da
forma a seguir
onde n é um inteiro positivo
•
Se n for par, supomos que a > 0.
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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De forma mais geral, temos a seguinte
Propriedade da Raiz
onde n é um inteiro positivo.
•
Se n for par, supomos que
lim ( ) 0
x aof x
!
.
PROPRIEDADE DA RAIZ
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Calcule os limites a seguir
justificando cada passagem.
a.
b.
2
5
lim(2
x
x
3
x
4)
o
Exemplo 2
3
2
2
2
1
lim
5 3
x
x
x
x
o
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
(Pelas Propriedades 1 e 2)
2
5
2
5
5
5
2
5
5
5
2
lim(2
3
4)
lim(2 ) lim3
lim 4
2lim
3lim
lim 4
2(5 ) 3(5) 4
39
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
o
o
o
o
o
o
o
(Pela Propriedade 3)
Exemplo 2
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
(Pelas Propriedades 9, 8 e 7)
Começamos aplicando a Propriedade do Quociente, mas seu
uso só ficará completamente justificado no último passo,
quando virmos que os limites do numerador e do denominador
existem e o do denominador não é 0.
3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2
2
1
lim
5 3
lim(
2
1)
lim(5 3 )
lim
2 lim
lim 1
lim 5 3 lim
( 2)
2( 2) 1
1
5 3( 2)
11
x x x x x x x xx
x
x
x
x
x
x
x
x
o o o o o o o oExemplo 2
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
(Pela Propriedade 5)
(Pelas Propriedades 1, 2 e 3)
(Pelas Propriedades 9, 8 e 7)
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Se tomarmos f(x) = 2x
2
- 3x + 4, então f(5) = 39.
•
Em outras palavras, teríamos obtido a resposta correta
no Exemplo 2(a) substituindo x por 5.
•
Analogamente, a substituição direta fornece a resposta
correta na parte (b).
•
As funções no Exemplo 2 são polinomial e racional,
respectivamente.
•
O uso similar das Propriedades do Limite demonstra que
a substituição direta sempre funciona para essas
funções.
Observação
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Se f for uma função polinomial ou racional e
a estiver no domínio de f, então
.
As funções que possuem essa propriedade
de substituição direta, chamadas de
contínuas em a, serão estudadas na Seção
2.5. Entretanto, nem todos os limites podem
ser calculados pela substituição direta,
como mostram os exemplos a seguir.
lim ( )
x a
f x
f a
( )
o
Observação
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Encontre
•
Seja f(x) = (x
2
- 1)/(x - 1) .
•
Não podemos encontrar o limite substituindo x = 1,
pois f (1) não está definida.
•
Não podemos aplicar a Propriedade do Quociente
porque o limite do denominador é 0.
•
De fato, precisamos fazer inicialmente algumas
operações algébricas.
2
1
1
lim
.
1
x
x
x
o
Exemplo 3
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Fatoramos o numerador como uma
diferença de quadrados:
•
O numerador e o denominador têm um fator comum,
x - 1.
•
Ao tomarmos o limite quando x tende a 1, temos
e, assim
.
2
1 (
1)(
1)
1
(
1)
x
x
x
x
x
1
x z
x z
1 0
Exemplo 3
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Portanto, podemos cancelar o fator comum
e calcular o limite, como segue:
2
1
1
1
1
lim
1
(
1)(
1)
lim
(
1)
lim(
1)
1 1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
o
o
o
Exemplo 3
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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O limite nesse exemplo já apareceu na
Seção 2.1, quando tentávamos encontrar a
tangente à parábola y = x
2
no ponto (1, 1).
Exemplo 3
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
•
No exemplo 3 conseguimos
calcular o limite substituindo a
função dada f (x) = (x
2- 1)/(x - 1)
por outra mais simples, g(x) x + 1,
que tem o mesmo limite.
•
Isso é válido porque f (x) = g(x),
exceto quando x = 1, e no cômputo
de um limite quando x tende a 1,
não consideramos o que acontece
quando x é exatamente igual a 1.
Em geral, temos o seguinte fato útil.
•
Se f(x) = g(x) quando
, então
, desde que o limite exista.
x a
z
lim ( ) lim ( )
x a
f x
x a
g x
o
o
Observação
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
Encontre em
que
.
•
Aqui g está definida em
x = 1 e .
•
Mas o valor do limite quando x tende a 1 não depende
do valor da função em 1.
•
Uma vez que g(x) = x + 1 se
, nós temos:
.
1
lim ( )
x
g x
o
(1)
g
S
1
x z
1
1
lim ( ) lim(
x
g x
x
x
1) 2
o
o
Exemplo 4
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
1
( )
x
g x
S
®
¯
1
1
x
x
z
se
se
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Observe que os valores das funções
nos Exemplos 3 e 4 são idênticos,
exceto quando x = 1 (veja a Figura),
e assim elas têm o mesmo limite
quando x tende a 1.
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Avalie
•
Se definirmos
, então, como no
Exemplo 3, não podemos calcular
.
•
Mas, se simplificarmos algebricamente F (h),
encontraremos que:
2
0
(3
) 9
lim
h
h
.
h
o
2(3
) 9
( )
h
F h
h
0lim ( )
hoF h
2 2( )
(9 6
) 9
6
6
F h
h h
h
h h
h
h
Exemplo 5
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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•
Lembre-se de que consideramos apenas
quando
fazemos h tender a 0.
•
Assim,
0
h z
2
0
0
(3
)
9
lim
lim(6
)
6
h
h
h
h
h
o
o
Exemplo 5
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Encontre
•
Não podemos aplicar a
Propriedade do Quociente
de imediato, uma vez que o
limite do denominador é 0.
•
Aqui as operações
algébricas preliminares
consistem em racionalizar o
numerador:
•
Assim (ao lado):
2 2 0
9 3
lim
tt
.
t
oExemplo 6
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0
9 3
lim
9 3
9 3
lim
9 3
(
9) 9
lim
(
9 3)
lim
(
9 3)
1
lim
9 3
1
1
1
3 3 6
lim(
9) 3
t t t t t tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
o o o o o o
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Para alguns limites, é melhor calcular primeiro os
limites laterais (à esquerda e à direita).
O seguinte teorema nos lembra do que
descobrimos na Seção 2.2, isto é, que o limite
bilateral existe se e somente se ambos os limites
laterais (à esquerda e à direita) existem e são
iguais.
se e somente se
•
Quando calculamos limites laterais, aproveitamos o fato de que
as Propriedades dos Limites são válidas também para eles.
lim ( )
x af x
L
o
x a
lim ( )
o
f x
L
x a
lim ( )
o
f x
Teorema 1
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Mostre que
Lembre-se de que
Uma vez que |x| = x para x > 0 , temos:
Uma vez que |x| = -x para x < 0, temos:
Portanto, pelo Teorema 1 .
0
lim
x
x
0.
o
0 0lim
lim
0
xox
xox
0 0lim
lim( ) 0
xox
xox
0lim
xx
0
oExemplo 7
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
0
0
t
x
x
x
®
¯
se
se
O resultado do Exemplo 7 parece plausível
pela Figura.
Exemplo 7
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
Demostre que
não existe.
•
Uma vez que os limites laterais à esquerda e à direita
são diferentes, segue do Teorema 1 que
não existe.
0
lim
x
o
x
x
0
0
0
0
0
0
lim
lim
lim 1 1
lim
lim
lim( 1)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
o
o
o
o
o
o
0
lim
xx
x
oExemplo 8
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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O gráfico da função
é mostrado na Figura e confirma os limites
laterais que encontramos.
( ) | | /
f x
x x
Exemplo 8
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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Se
determine se existe.
•
Uma vez que
para x > 4, temos:
•
Uma vez que e f(x) = 8 - 2x para x < 4, temos:
•
Os limites laterais (à esquerda e à direita) são iguais.
Dessa forma, o limite existe e
4
lim ( )
xf x
o( )
4
f x
x
4 4lim ( ) lim
4
4 4 0
xof x
xox
4 4
lim ( ) lim(8 2 )
8 2 4 0
xof x
xox
Exemplo 9
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
4
lim ( ) 0
xf x
o4
4
x
x
!
4
( )
8 2
x
f x
x
°
®
°¯
se
se
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O gráfico de f está mostrado na Figura.
Exemplo 9
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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A função maior inteiro é definida por
o maior inteiro que é menor que ou igual a x.
Por exemplo, .
FUNÇÃO MAIOR INTEIRO
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Mostre que
não existe.
O gráfico da função maior inteiro está mostrado na Figura.
Exemplo 10
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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•
Uma vez que
para
, temos:
•
Uma vez que
para
, temos:
Como esses limites laterais
não são iguais, pelo
Teorema 1,
não existe.
Exemplo 10
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
Os próximos dois teoremas dão
duas propriedades adicionais
dos limites.
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
Se
quando x está
próximo de a (exceto
possivelmente em a) e os
limites de f e g existem quando
x tende a a, então:
( )
( )
f x
d
g x
lim ( ) lim ( )
x a
f x
x a
g x
o
d
o
Teorema 2
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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O Teorema do Confronto
determina que se
quando x está próximo de a
(exceto possivelmente em a) e
,
então:
( )
( )
( )
f x
d
g x
d
h x
lim ( ) lim ( )
x a
f x
x a
h x
L
o
o
lim ( )
x a
g x
L
o
Teorema 3
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
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O Teorema está ilustrado na
Figura.
•
Ele diz que se t(x) ficar imprensado entre f (x) e h(x)
nas proximidades de a, e se f e h tiverem o mesmo
limite L em a, então g será forçada a ter o mesmo
limite L em a.
O TEOREMA DO CONFRONTO
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Mostre que
sen
•
Observe primeiro que não podemos usar
sen
sen
porque sen não
(1/ )
x
existe.
Exemplo 11
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
2
0
lim
x
x
o
1 0.
x
0
lim
x
x
o
2 0lim
xx
o 2 0 01 lim lim
xx
xx
o
o1
x
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•
Porém, como
sen
, temos
sen
.
•
Isso está ilustrado na figura:
Exemplo 11
USANDO AS PROPRIEDADES DOS LIMITES
1
d
1 1
x
d
1 x
x
d
2
2
2
x
x
d
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