Convergência, estimativas e aplicações de séries numéricas

Centro de Ciên ias Físi as e Matemáti as

Departamento de Matemáti a

Convergên ia, Estimativas e Apli ações

de Séries Numéri as

Mar os Teixeira Alves

Orientador: Prof. Dr. Al ides Buss

Convergên ia, Estimativas e Apli ações de

Séries Numéri as

Monograa submetida à Comissão de

avaliação do Curso de Espe ialização

em Matemáti a - Formação do

profes-sor em umprimento par ial para o

tí-tulo de Espe ialista em Matemáti a.

Esta monograa só pde ser on luída graças à amizade e ao ompanheirismo

de várias pessoas. Registro aqui meus agrade imentos espe iais a meu orientador prof.

Al ides. Nãoapenas pelaorientação quere ebi,mas sobretudo pelapa iên ia, dedi ação

e pelo exemplo de vida prossional. Agradeço também aos professores: Eliezer e Joel,

pela leituradesta monograa epelas palavrasde in entivo.

Aosamigos quesempre estiveram presentes neste momento, emespe ial: Cinthia,

RodrigoeCarlinha, agradeçopeloapoio,pelahospedagem, pelas alegriasepelos

momen-tosfelizes quepassamos.

Por m, e não menos importante, dedi o este trabalho a meus pais: Jora i e

Shirlei, aos irmãos: Éderson e Mariane e a toda família de Treze de Maio. E laro, à

Introdução 3

1 Sequên ias Numéri as 4

1.1 Limite de uma Sequên ia em

R

. . . 4

1.2 Limitese Desigualdades . . . 7

1.3 Operações om Limites . . . 9

1.4 LimitesInnitos . . . 11 1.5 Sequên ias de Cau hy . . . 13 2 Séries Numéri as 15 2.1 Deniçãoe Exemplos . . . 15 2.2 Critériosde Convergên ia . . . 17 2.3 Reordenaçãode Séries . . . 31 3 Apli ações de Séries 38 3.1 Representação De imal . . . 38

3.2 Sobrea Série Harmni a . . . 39

3.4 Estimativade Erro noCál ulo de Séries . . . 43

Considerações Finais 51

Nesta monograa de espe ialização, apresentamos o estudo das séries numéri as

dopontodevistada onvergên iaabsolutaein ondi ional. Osassuntosabordadosforam

divididos emtrês apítulos.

No apítulo1,estabele emos os on eitosbási os para ompreensãodo apítulo2.

As sequên ias de números reais são estudadas visando a este objetivo.

O apítulo2é tododedi ado a onvergên ia de sériesnuméri as. Deiní io,

deni-mos onvergên ia de uma sériee estabele emos osprin ipais ritériosusadospara de idir

a respeito de sua onvergên ia. Emseguida, demonstramos a equivalên ia entre

onver-gên iain ondi ionale onvergên ia absolutaparaséries numéri as. Esta demonstração é

tida o pontoáureo deste apítulo.

No apítulo 3, último desta monograa, itamos algumasapli açõesde séries

nu-méri as. E por m, analisamos estimativas de soma para algumas séries onvergentes

estabele idasno apítulo 2.

Otrabalhoé nalizado om algumas onsideraçõesnais easbibliograas

Sequên ias Numéri as

As ferramentas primordiaisde quene essitamos parao desenvolvimentodos

apí-tulos2 e3são apresentadas neste apítulo. Basi amenteexibimos resultadosde interesse

das sequên iasnuméri as. Para umestudo ompletodestes fatosindi amosasreferên ias

[2℄e [5℄.

1.1 Limite de uma Sequên ia em

R

Denição 1.1 Uma sequên iade números reais é umaapli ação

x : N → R

que asso ia a ada

n ∈ N

um número real

x

n

, denominado o enésimo termo da sequên ia.

Notação.

(x

1

, x

2

, . . . )

,

(x

n

)

n∈N

ousimplesmente

(x

n

)

.

Denição 1.2 Dadaumasequên ia

x = (x

n

)

n∈N

,uma subsequên iade

x

éumarestrição da função

x

aum sub onjunto innito:

N

′

_{= {n}

1

, n

2

, . . . , n

k

, . . . } ⊂ N

om a propriedade:

n

1

< n

2

< · · · < n

k

. . .

. Notação.

(x

n

)

n∈N

′

,

(x

n

k

)

k∈N

ousimplesmente

(x

n

k

)

.

existe

N ∈ N

talque

|x

n

− l| < ε

sempre que

n > N

. Nesse aso, es revemos

lim

n→+∞

x

n

= l

ou simplesmente

lim x

n

= l

.

Uma sequên ia que possui limite é denominada onvergente e dizemos que

(x

n

)

onverge para

l

ouque

l

éolimitede

(x

n

)

. Em aso ontrário,armamosqueasequên ia é divergente (ou diverge).

Teorema 1.1 (Uni idadedolimite)Uma sequên ianão pode onvergir para doislimites

distintos, isto é, se

lim

n→+∞

x

n

= a

e

lim

n→+∞

x

n

= b

, então

a = b

.

Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que

lim

n→+∞

x

n

= a

,

lim

n→+∞

x

n

= b

om

a 6= b

. Seja

ε =

|b − a|

2

> 0

. Como

x

n

onverge para

a

e

x

n

onverge para

b

, garantimos a existên iade

N

1

,

N

2

∈ N

taisque

|x

n

− a| < ε

paratodo

n > N

1

e

|x

n

− b| < ε

se

n > N

2

. Es olhemos

N = max{N

1

, N

2

}

. Como onsequên ia, se

n > N

, temos

n > N

1

,

n > N

2

e o orre

|b − a| = |b − x

n

+ x

n

− a| ≤ |b − x

n

| + |x

n

− a| < 2ε = |b − a|,

o que é absurdo. Logo,

a = b

.

Teorema 1.2 Se

lim

n→+∞

x

n

= l

, então qualquer subsequên ia de

(x

n

)

onverge para

l

.

Demonstração:Seja

(x

n

k

)

uma subsequên iade

(x

n

)

. Como

(x

n

)

onverge para

l

,dado

ε > 0

, existe

N ∈ N

tal quese

n > N

, temos

|x

n

− l| < ε

. Tomemos

k

0

tal que

n

k

0

> N

. Como onsequên ia, se

k > k

0

, temos

n

k

> n

k

0

> N

e então

|x

n

k

− l| < ε

. Logo,

(x

n

k

)

onverge para

l

.

Em geral, o teorema a ima é bastante usado em sua forma ontra-positiva,

on-formeveremos noExemplo 1.1.

Teorema 1.3 Qualquer sequên ia onvergente é limitada.

Demonstração: Seja

(x

n

)

uma sequên ia talque

lim

n→+∞

x

n

= l

. Logo, existe

N ∈ N

tal que

|x

n

−l| < 1

sempreque

n > N

. Seguedaíque

|x

n

| = |x

n

−l +l| ≤ |x

n

−l|+|l| < 1+|l|

sempre que

n > N

. Es olhemos

M = max{|x

1

|, . . . , |x

N

|, 1 + |l|}

. Portanto,

|x

n

| ≤ M

para todo

n ∈ N

, ouseja,

(x

n

)

élimitada.

Exemplo 1.1 Seja

(x

n

)

umasequên iadadapor

x

n

= 1+(−1)

n

_{= (2, 0, 2, 0, . . . )}

.

Obser-vamosque

(x

n

)

élimitada,porémnão onvergeviaTeorema1.2,poispossuisubsequên ias:

(x

2n−1

)

e

(x

2n

)

que onvergempara limites distintos (2 e 0 respe tivamente).

Exemplo 1.2 A sequên ia

(1, 2, 3, 4, . . . )

é divergente, pois não é limitada (devido ao Teorema1.3).

Denição 1.4 Umasequên ia

(x

n

)

édenomindamonótonase

x

n

≤ x

n+1

paratodo

n ∈ N

ou

x

n+1

≤ x

n

qualquer que seja

n ∈ N

. No primeiro aso, dizemos que a sequên ia é monótonanão-de res enteenosegundo aso,

(x

n

)

é monótonanão- res ente. Setivermos

x

n

< x

n+1

para todo

n ∈ N

(respe tivamente

x

n

> x

n+1

) dizemos que a sequên ia é

monótona res ente (respe tivamente monótona de res ente).

Teorema 1.4 Toda sequên ia monótona limitada é onvergente.

Demonstração: Seja

(x

n

)

uma sequên ia monótona limitada. Faremos a prova para o aso em que

(x

n

)

é não-de res ente, isto é,

x

n

≤ x

n+1

para todo

n ∈ N

. Consideremos o onjunto:

X = {x

1

, x

2

, . . . }

. Observamos que

X ⊂ R

é um sub onjunto não-vazio e limitadosuperiormente. Logo, existe

α = sup X

. Mostraremos que

lim

n→+∞

x

n

= α

.

Dado

ε > 0

,existe

N ∈ N

talque

α − ε < x

N

,pois

α

éamenor ota superiorpara

X

. Se

n > N

, temos

x

N

≤ x

n

e assim

α − ε < x

N

≤ x

n

≤ α < α + ε.

Logo,

|x

n

− α| < ε

quando

n > N

, istoé,

lim

n→+∞

x

n

= α

.

Omitiremos aprovano aso emque

(x

n

)

énão- res ente, poisesta é semelhante a que foi feita.

Lema 1.1 Qualquer sequên ia

(x

n

)

ontém uma subsequên ia monótona.

Demonstração: Para provarmoseste lema, usaremos a denição: um número natural

n

é denominadoponto de pi o dasequên ia

(x

n

)

se

x

m

< x

n

para todo

m > n

.

Caso 1. A sequên ia

(x

n

)

possui uma innidadede pontos de pi o.

Nesse aso, suponhamos que

n

1

< n

2

< · · · < n

k

< . . .

sejam os pontos de pi o. Então, temos

x

n

1

> x

n

2

> · · · > x

n

k

> . . .

. Construímos daí uma subsequên ia

(x

n

k

)

monótona de res ente.

Caso 2. A sequên ia

(x

n

)

tem uma quantidade nita de pontosde pi o.

Es olhemos

n

1

∈ N

tal que

n

1

> m

para todo ponto de pi o

m

. Como

n

1

não é ponto de pi o, existe

n

2

> n

1

tal que

x

n

2

≥ x

n

1

. Também

n

2

não é ponto de pi o, logo existe

n

3

> n

2

tal que

x

n

3

≥ x

n

2

. Prosseguindo desse modo, obtemos uma subsequên ia monótona não-de res ente.

Teorema 1.5 (TeoremadeBolzano-Weiertrass)Qualquersequên ialimitadadenúmeros

reaispossui uma subsequên ia onvergente.

Demonstração:Seja

(x

n

)

umasequên ialimitada. De orredoLema1.1que

(x

n

)

possui uma subsequên ia

(x

n

k

)

monótona. Observamos que

(x

n

k

)

élimitada,visto que

(x

n

)

o é. Logo, garantimosvia Teorema 1.4que

(x

n

k

)

é onvergente.

Exemplo 1.3 A sequên ia

1

n

n∈N

é monótona limitada e portanto onvergente. Além disso,

lim

1

n

= inf



₁

n

; n ∈ N

= 0

. 1.2 Limites e Desigualdades

Teorema 1.6 Seja

(x

n

)

uma sequên ia de números reais tal que

lim

n→+∞

x

n

= l

. Se

b < l

, então existe

N ∈ N

tal que

b < x

n

sempre que

n > N

. Se

l < b

, então existe

M ∈ N

tal que

x

n

< b

qualquer que seja

n > M

.

Demonstração: Provaremos a primeira armação. Es olhemos

ε = l − b > 0

. Da onvergên ia de

(x

n

)

, garantimos a existên ia de

N ∈ N

talque

|x

n

− l| < ε

sempre que

n > N

. Daí,se

n > N

, obtemos:

|x

n

− l| < ε ⇔ l − ε < x

n

< l + ε ⇔ b < x

n

< 2l − b.

Logo,

b < x

n

todavez que

n > N

.

Para provarmos asegunda armação, basta tomar

ε = b − l > 0

.

Corolário 1.1 Sejam

(x

n

)

e

(y

n

)

sequên ias de números reais tais que

lim

n→+∞

x

n

= k

e

lim

n→+∞

y

n

= l

. Se existe

N ∈ N

tal que para todo

n > N

temos

x

n

≤ y

n

, então

k ≤ l

.

Demonstração: Porabsurdo, suponhamos

k > l

. Es olha

c ∈ R

tal que

l < c < k

(por exemplo,

c = (l + k)/2

). PeloTeorema1.6, existe

N ∈ N

talque

y

n

< c < x

n

sempre que

n > N

, oque ontradiz ahipótese dada. Logo, devemos ter

k ≤ l

.

Observamos que se existe

N ∈ N

tal que

x

n

< y

n

para todo

n > N

, então não podemos on luir que

lim x

n

< lim y

n

.

De fato, tomemos, por exemplo, as sequên ias

(x

n

)

e

(y

n

)

denidas por:

x

n

= 0

e

y

n

=

1

n

qualquer que seja

n ∈ N

. Observamos que

x

n

< y

n

para todo

n ∈ N

, mas

lim x

n

= lim y

n

. O orreto (usando o Corolário1.1) éinferir que

lim x

n

≤ lim y

n

.

Teorema 1.7 (Teorema do Confronto) Sejam

(x

n

)

,

(y

n

)

e

(z

n

)

sequên ias de números reais. Se existe

N ∈ N

tal que

x

n

≤ z

n

≤ y

n

para todo

n > N

e se

lim x

n

= l = lim y

n

, então

lim z

n

= l

.

Demonstração: Seja

ε > 0

. De orre da onvergên ia de

(x

n

)

e

(y

n

)

, aexistên ia de

N

1

,

N

2

∈ N

taisque

n > N

1

⇒ l − ε < x

n

< l + ε

e

n > N

2

⇒ l − ε < y

n

< l + ε.

Consideremos

N

0

= max{N

1

, N

2

, N}

. Logo, temos

l − ε < x

n

≤ z

n

≤ y

n

< l + ε

sempre que

n > N

0

. Portanto,

lim z

n

= l

.

1.3 Operações om Limites

Teorema 1.8 Se

lim x

n

= 0

e

(y

n

)

é uma sequên ia limitada, então

lim(x

n

y

n

) = 0

.

Demonstração: Como

(y

n

)

éuma sequên ia limitada,existe

c > 0

talque

|y

n

| < c

para todo

n ∈ N

. Fixemos

ε > 0

. Uma vez que

lim x

n

= 0

, existe

N ∈ N

tal que

|x

n

| <

ε

c

sempre que

n > N

. Dessa forma, se

n > N

, temos

|x

n

y

n

− 0| = |x

n

||y

n

| < |x

n

|c < ε

. Logo,

lim(x

n

y

n

) = 0.

Exemplo 1.4 Via Teorema1.8, on luímosque asequên ia

 sen(n)

n



onverge para 0.

Observação. Nademonstraçãodoteoremaseguinte,uaremosquese

(x

n

)

uma sequên ia de númerosreais, então

lim x

n

= l ⇔ lim(x

n

− l) = 0 ⇔ lim |x

n

− l| = 0.

Teorema 1.9 Se

lim x

n

= a

e

lim y

n

= b

, então:

(i)

lim(x

n

+ y

n

) = a + b;

(ii)

lim(x

n

− y

n

) = a − b;

(iii)

lim(x

n

y

n

) = ab;

(iv)

lim

 x

n

y

n



=

a

b

se

b 6= 0

e

y

n

6= 0

(pelo menosa partir de um erto

N ∈ N

).

Demonstração:

(i) Seja

ε > 0

. Logo, por hipótese, existem

N

1

,

N

2

∈ N

tais que

n > N

1

⇒ |x

n

− a| <

ε

2

e

n > N

2

⇒ |y

n

− b| <

ε

2

.

Denimos

N = max{N

1

, N

2

}

. Logo, para todo

n > N

,temos:

|(x

n

+ y

n

) − (a + b)| ≤ |x

n

− a| + |y

n

− b| <

ε

2

+

ε

2

= ε.

Logo,

lim(x

n

+ y

n

) = a + b

.

(ii) A demonstração deste item será omitida,visto queé semelhantea doitem (i).

(iii) Para todo

n ∈ N

, observamos que

x

n

y

n

− ab = x

n

y

n

− x

n

b + x

n

.b − ab = x

n

(y

n

− b) + b(x

n

− a).

Como

(x

n

)

é onvergente, seguedoTeorema1.3que

(x

n

)

élimitada. Alémdisso,do item (ii) a ima,temos

lim(y

n

− b) = lim y

n

− b = 0

e

lim(x

n

− a) = lim x

n

− a = 0

. Usando (i)e o Teorema1.8, on luímosque

lim(x

n

y

n

− ab) = lim[x

n

(y

n

− b)] + lim[b(x

n

− a)] = 0.

Logo,

lim(x

n

y

n

) = ab

(via observação anterior).

(iv) Para todo

n ∈ N

,

x

n

y

n

= x

n

1

y

n

.

Mostraremos que

lim

 1

y

n



=

1

b

.

Fixemos

ε > 0

. Como

lim y

n

= b

, existe

N

1

∈ N

talque

|y

n

| ≥

|b|

2

. Desta onvergên- ia, tambémgarantimos a existên ia de

N

2

∈ N

tal que para todo

n > N

2

, temos

|y

n

− b| <

₂

ε

|b|

2

.

Es olhemos

M = max{N

1

, N

2

}

. Desse modo,se

n > M

,vemos que









1

y

n

−

1

b









=









b − y

n

by

n









=

|y

n

− b|

|b||y

n

|

≤

|y

n

− b|

|b|

2

|b|

<

ε

2

|b|

2

|b|

2

|b|

= ε.

Daí, on luímos que

lim

 1

y

n



=

1

b

.

Portanto, de orre doitem (iii) que

lim

 x

n

y

n



= (lim x

n

)



lim

 1

y

n



=

a

b

.

Proposição 1.1 (Teste daRazãopara sequên ias)Seja

(x

n

)

uma sequên iade números reais. Se

x

n

> 0

para todo

n ∈ N

e

lim

 x

n+1

x

n



= l

om

l < 1

, então

lim x

n

= 0

.

Demonstração: Como

l < 1

, existe

c ∈ R

talque

l < c < 1

. Seja

ε = c − l > 0

. Então, existe

N ∈ N

talque









x

n+1

x

n

− l









< ε

. Daí, segue que

n > N ⇒

x

_x

n+1

n

Desse modo, para todo

n > N

, temos

0 < x

n+1

< cx

n

< c

2

_x

n−1

< · · · < c

n−k+1

x

k

, ou seja, se

n > N + 1

, temos

0 < x

n

< x

k

c

n−k

_.

Fixemos

k = N + 1

. Vemos que

0 < x

n

< x

N +1

c

n−(N +1)

,paratodo

n > N + 1

. Denimos

M =

x

N +1

c

N +1

. Como onsequên ia, es revemos

0 < x

n

< Mc

n

sempre que

n > N + 1

. Visto que

0 < c < 1

,

lim c

n

_{= 0}

.

Portanto,segue do Teoremado Confronto que

lim x

n

= 0

.

Exemplo 1.5 Sejam

a ∈ R

,

a > 1

e

k ∈ N

. Então

lim

n→+∞

n

k

a

n

= 0

.

Para ada

n ∈ N

, denimos a sequên ia:

x

n

=

n

k

a

n

. Observamos que

x

n+1

x

n

=

(n+1)

k

a

n

+1

n

k

a

n

=



1 +

1

n



k

· a

−1

e então

lim

 x

n+1

x

n



= a

−1

< 1.

Via Teste da Razão para sequên ias garantimos que

lim x

n

= 0

.

1.4 Limites Innitos

Denição 1.5 Seja

(x

n

)

uma sequên ia de números reais. Dizemos que o limite de

x

n

é mais innito quando dado

L > 0

, existe

N ∈ N

tal que

x

n

> L

sempre que

n > N

. Quando isso o orre, es revemos

lim x

n

= +∞

.

Analogamente, `

lim x

n

= −∞

' signi a quepara todo

L > 0

, existe

N ∈ N

tal que se

n > N

, temos

x

n

< −L

.

Observação.

(i) Em qualquer um dos asos da Denição 1.5, dizemos que

(x

n

)

não onverge ou diverge.

(ii)

lim x

n

= +∞ ⇔ lim(−x

n

) = −∞

(via denição de limites innitos).

Are ípro adaarmaçãoem(iii)éfalsa. Paraprovarisso, onsideremosa

sequên- ia

(x

n

)

denidaassim

x

n

= n+(−1)

n

_.n

. Estaéilimitadasuperiormente,porémnãotemos

lim x

n

= +∞

pois

x

2n−1

= 0

para todo

n ∈ N

.

No entanto,se

(x

n

)

énão-de res ente, então

(x

n

)

ilimitadasuperiormente impli a

lim x

n

= +∞

. De fato, dado

L > 0

, existe

N ∈ N

tal que

x

N

> L

. Para todo

n > N

,

temos

x

n

≥ x

N

> L

. Daí, pordenição, garantimosque

lim x

n

= +∞

.

Exemplo 1.6 Seja

a > 1

e denimos a sequên ia

(a

n

₎

n∈N

. Esta sequên ia é ilimitada

superiormentee res ente. Em de orrên iada observação anterior,

lim

n→+∞

a

n

= +∞

.

Teorema 1.10 Sejam

(x

n

)

e

(y

n

)

sequên ias de números reais.

(i) se

lim x

n

= +∞

e

(y

n

)

é limitada inferiormente, então

lim(x

n

+ y

n

) = +∞

;

(ii) se

lim x

n

= +∞

e existe

c > 0

tal que

y

n

> c

para todo

n ∈ N

, então temos

lim(x

n

y

n

) = +∞

;

(iii) se existe

c > 0

tal que

x

n

> c

e

y

n

> 0

para todo

n ∈ N

e

lim y

n

= 0

, então

lim

 x

n

y

n



= +∞

;

(iv) se

(x

n

)

é limitada e

lim y

n

= +∞

, então

lim

 x

n

y

n



= 0

.

Demonstração:

(i) Como

(y

n

)

é limitada inferiormente, existe

c ∈ R

tal que

y

n

≥ c

qualquer queseja

n ∈ N

. Do fato de

lim x

n

= +∞

, dado

L > 0

existe

N ∈ N

tal que se

n > N

,

veri amos

x

n

> L − c

. Logo, paratodo

n > N

, obtemos

x

n

+ y

n

> (L − c) + c = L

e portanto

lim(x

n

+ y

n

) = +∞

.

(ii) Fixemos

L > 0

. Uma vez que

lim x

n

= +∞

, garantimos a existên ia de

N ∈ N

tal que

x

n

>

L

c

sempre que

n > N

. Daí, segue que

x

n

y

n

>

L

c

c = L

. Logo,

(iii) Seja

L > 0

. Visto que

lim y

n

= 0

, existe

N ∈ N

tal que

y

n

<

c

L

quando

n > N

. Então, para todo

n > N

,  amos om

x

n

y

n

= x

n

1

y

n

> c

L

c

= L

. Em onsequên ia,

lim

 x

n

y

n



= +∞

.

(iv) Existe

c > 0

tal que

|x

n

| ≤ c

para todo

n ∈ N

, pois

(x

n

)

é limitada. Fixemos

ε > 0

. Como

lim y

n

= +∞

, existe

N ∈ N

tal que se

n > N

, obtemos

y

n

>

c

ε

. Assim, qualquer que seja

n > N

, temos









x

n

y

n









= |x

n

|

1

|y

n

|

< c

ε

_c

= ε

, uma vez que

|y

n

| ≥ y

n

>

c

_ε

sempre que

n > N

. Portanto,

lim

 x

n

y

n



= 0

.

1.5 Sequên ias de Cau hy

Denição 1.6 Seja

(x

n

)

uma sequên ia de números reais. Dizemos que

(x

n

)

é uma sequên iadeCau hy quando para todo

ε > 0

, existir

N ∈ N

tal que

|x

n

− x

m

| < ε

, sempre que

m, n > N

.

Lema 1.2 Toda sequên ia de Cau hy é limitada.

Demonstração: Seja

(x

n

)

uma sequên ia de Cau hy. Consequentemente, existe

N ∈ N

tal que

|x

n

− x

m

| < 1

se

m, n > N

. Emparti ular,

|x

n

− x

N +1

| < 1

. Para todo

n > N

,

|x

n

| ≤ |x

n

− x

N +1

| + |x

N +1

| < 1 + |x

N +1

|

. Seja

β = max{|x

1

|, |x

2

|, . . . , |x

N

|, 1 + |x

N +1

|}

.

Daí,  a garantido que

|x

n

| ≤ β

para todo

n ∈ N

. Portanto,

(x

n

)

é limitada.

Lema 1.3 Seumasubsequên iadeumasequên iadeCau hy onverge,entãoasequên ia

de Cau hy onverge para o mesmo limite.

Demonstração: Seja

L = lim x

n

k

em que

(x

n

k

)

é uma subsequên ia da sequên ia de Cau hy

(x

n

)

. Mostraremos que

lim x

n

= L

.

Fixemos

ε > 0

. Existe

N

1

∈ N

tal que

|x

n

− x

m

| <

ε

2

sempre que

m, n > N

1

,

m, n ∈ N

(

(x

n

)

é de Cau hy). Segue da onvergên ia de

(x

n

n

k

1

> N

1

tal que

k > k

1

impli a

|x

n

k

− L| <

ε

2

. Desse modo, para todo

n > N

1

, temos

|x

n

− L| ≤ |x

n

− x

n

k

| + |x

n

k

− L| <

ε

2

+

ε

2

= ε.

Portanto,

lim x

n

= L.

Teorema 1.11 Seja

(x

n

)

uma sequên ia de números reais. Então,

(x

n

)

onverge se e somente se

(x

n

)

é de Cau hy.

Demonstração:Suponhamos

lim x

n

= L

. Dado

ε > 0

,existe

N ∈ N

talque

|x

n

−L| <

ε

2

se

n > N

. Como onsequên ia, se

m > N

e

n > N

, obtemos

|x

n

− x

m

| = |x

n

− L + L − x

m

| ≤ |x

n

− L| + |x

m

− L| <

ε

2

+

ε

2

= ε.

Daí, on luímos que

(x

n

)

é de Cau hy.

Re ipro amente,suponhamosque

(x

n

)

édeCau hy. De orredoLema1.2que

(x

n

)

élimitada. OTeoremadeBolzano-Weiertrassgaranteque

(x

n

)

admiteumasubsequên ia onvergente. Em onsequên ia aoLema 1.3,

(x

n

)

é onvergente.

Séries Numéri as

Neste apítulo,estudaremos asséries numéri as. Ini iaremos denindo o on eito

de série de números reais e alguns exemplos. Em seguida, estabele emos os prin ipais

ritériosde onvergên ia deséries. Naúltimaseção,demonstraremosaequivalên iaentre

as noçõesde onvergên ia absolutae in ondi ionalde séries numéri as.

2.1 Denição e Exemplos

Denição 2.1 Uma série numéri a é uma sequên ia

(s

n

)

n∈N

dada por

s

n

=

n

X

k=1

a

k

, isto

é,

(a

1

, a

1

+ a

2

, a

1

+ a

2

+ a

3

, . . . )

, em que

(a

n

)

n∈N

é umasequên ia de números reaisdada. Denotaremos esta série por

+∞

X

n=1

a

n

. Os elementos

s

1

,

s

2

, ...,

s

n

, ... são hamados de

somaspar iaisdasérie. Apar ela

a

n

é hamadoo n-ésimotermoou termogeraldasérie.

Denição 2.2 A série numéri a

+∞

X

n=1

a

n

é dita onvergente se a sequên ia das somas

par iais

(s

n

)

n∈N

for onvergente. Dizemos que a série

+∞

X

n=1

a

n

é divergente quando sua

sequên ia das somas par iaisfor divergente. Sea série for onvergente e a sequên iadas

somaspar iais

(s

n

)

n∈N

onvergirpara

s

, então

s

é hamadaa soma dasérie e es revemos

+∞

X

n=1

Proposição 2.1 Se uma série

+∞

X

n=1

a

n

onverge,então sua soma é úni a.

Demonstração: Suponhamos que existam

r, s ∈ R

tais que

+∞

X

n=1

a

n

= r

e

+∞

X

n=1

a

n

= s

.

Como onsequên ia:

lim

n→+∞

n

X

k=1

a

k

= r

e

lim

n→+∞

n

X

k=1

a

k

= s

. Da uni idade do limite de

sequên ias, garantimos que

r = s

.

Proposição 2.2 Sejam

+∞

X

n=1

a

n

e

+∞

X

n=1

b

n

séries onvergentes. Então, a série

+∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

)

onverge e

+∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

) =

+∞

X

n=1

a

n

+

+∞

X

n=1

b

n

.

Demonstração:Sejam

r, s ∈ R

taisque

+∞

X

n=1

a

n

= r

e

+∞

X

n=1

b

n

= s

. Assim,

lim

n→+∞

n

X

k=1

a

k

= r

,

lim

n→+∞

n

X

k=1

b

k

= s

eentão

lim

n→+∞

n

X

k=1

(a

k

+ b

k

) = lim

n→+∞

n

X

k=1

a

k

+ lim

n→+∞

n

X

k=1

b

k

= r + s.

Portanto,

+∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

)

onverge evale

+∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

) =

+∞

X

n=1

a

n

+

+∞

X

n=1

b

n

.

Proposição 2.3 Seasérie

+∞

X

n=1

a

n

onverge,entãoasérie

+∞

X

n=1

(ca

n

)

também onvergepara

todo

c ∈ R

e

+∞

X

n=1

(ca

n

) = c

+∞

X

n=1

a

n

.

Demonstração:Seja

s ∈ R

talque

+∞

X

n=1

a

n

= s

. Logo,

lim

n→+∞

n

X

k=1

a

k

= s

. Qualquerqueseja

c ∈ R

, temos

lim

n→+∞

n

X

k=1

(ca

k

) = lim

n→+∞

c

n

X

k=1

a

k

= c lim

n→+∞

n

X

k=1

a

k

= cs

. Consequentemente,

+∞

X

n=1

(ca

n

) = c

+∞

X

n=1

a

n

.

Exemplo 2.1 Uma série geométri a é uma série da forma

+∞

X

n=0

a 6= 0

. Observe que

s

n

=

n

X

k=0

ar

k

e

rs

n

=

n

X

k=0

ar

k+1

. Como onsequên ia

(1 − r)s

n

=

n

X

k=0

ar

k

₋

n

X

k=0

ar

k+1

_{= a − ar}

n+1

.

Considerando

r 6= 1

, es revemos

s

n

=

a − ar

n+1

1 − r

= a ·

 1 − r

n+1

1 − r



.

Se

|r| < 1

,

lim

n→+∞

r

n+1

_{= 0}

e daí

lim

n→+∞

s

n

=

a

1 − r

.

Desse modo

+∞

X

n=0

ar

n

=

a

1 − r

, se

|r| < 1

. Supondo

|r| > 1

,

(r

n+1

₎

tende ao innito (em módulo). Com isso,

(s

n

)

não on-verge. Logo,

+∞

X

n=1

ar

n

diverge quando

|r| > 1

.

Consideremosagora

|r| = 1

. Se

r = 1

, temos

s

n

= (n+1)a

eentão

lim

n→+∞

s

n

= +∞

e a série diverge. Caso

r = −1

,

(a, 0, a, 0, a, 0, . . . )

é a sequên ia das somas par iais da série

+∞

X

n=0

ar

n

. Esta sequên ia diverge, pois admite duas subsequên ias (a saber,

(s

2n

)

e

(s

2n−1

)

) onvergindo para limites distintos,visto que

a 6= 0

. Logo,a série é divergente, se

r = −1

.

Portanto, uma série geométri a da forma:

+∞

X

n=0

ar

n

, om

a 6= 0

, onverge se e

somente se

|r| < 1

. Nesse aso,

+∞

X

n=0

ar

n

=

a

1 − r

.

Exemplo 2.2 A série

+∞

X

n=1

1

n(n + 1)

é onvergente, uma vez que

1

n(n + 1)

=

1

n

−

1

n + 1

para todo

n ∈ N

, temos

s

n

=

n

X

k=1

1

k(k + 1)

=

n

X

k=1

 1

k

−

1

k + 1



= 1 −

1

n + 1

e vale

lim

n→+∞

s

n

= lim

n→+∞



1 −

_{n + 1}

1



= 1

. Com isso,

+∞

X

n=1

1

n(n + 1)

= 1.

2.2 Critérios de Convergên ia

Teorema 2.1 (Condição de anulamento) Se

+∞

X

n=1

a

n

onverge,então

lim

n→+∞

a

n

= 0

Demonstração: Seja

s ∈ R

tal que

+∞

X

n=1

a

n

= s

e onsideremos

s

n

=

n

X

k=1

a

k

. Com isso,

lim

n→+∞

s

n

= s

e também

lim

n→+∞

s

n−1

= s

(uma vez que

(s

n−1

)

é subsequên ia de

(s

n

)

). Da igualdade

s

n

= s

n−1

+ a

n

,obtemos

lim

n→+∞

a

n

= lim

n→+∞

(s

n

− s

n−1

) = lim

n→+∞

s

n

− lim

n→+∞

s

n−1

= s − s = 0.

Exemplo 2.3 O Teorema2.1 garante que

+∞

X

n=1

n

n + 1

diverge, pois

lim

n→+∞

n

n + 1

= 1 6= 0

.

A ondição de anulamento é uma ondição ne essária, mas não su iente para a

onvergên ia de séries, onforme onstatamosno exemploa seguir:

Exemplo 2.4 A série

+∞

X

n=1

1

n

é denominada série harmni a. Qualquer que seja

n ∈ N

,

observamos que

s

n

= 1 +

1

2

+ · · · +

1

n

e

s

2n

= 1 +

1

2

+ · · · +

1

n

+

1

n + 1

+ · · · +

1

2n

. Assim, se

n > 1

, podemos es rever

s

2n

− s

n

=

1

n + 1

+

1

n + 2

+ · · · +

1

2n

>

1

2n

+

1

2n

+ · · · +

1

2n

= n

1

2n

=

1

2

,

ou seja,

s

2n

− s

n

>

1

2

para todo

n ∈ N

,

n > 1

. Como onsequên ia,

(s

n

)

não é uma sequên ia de Cau hy em

R

e assim não onverge. Portanto,

+∞

X

n=1

1

n

é divergente.

Teorema 2.2 (Critério de Cau hy) A série

+∞

X

n=1

a

n

é onvergente se e somente se para

todo

ε > 0

, existir

n

0

∈ N

tal que

|a

m+1

+ a

m+2

+ · · · + a

n

| < ε

sempre que

n > m > n

0

.

Demonstração: (

⇒

) Como

+∞

X

n=1

a

n

onverge, a sequên ia

(s

n

)

de suas somas par iais

onverge em

R

e assim

(s

n

)

é de Cau hy. Por denição, dado

ε > 0

qualquer, existe

n

0

∈ N

talque

|s

n

− s

m

| < ε

sempreque

n > m > n

0

,ouseja,

|a

m+1

+ a

m+2

+ · · ·+ a

n

| < ε

para todo

n > m > n

0

.

(

⇐

)Suponhamosquepara todo

ε > 0

, exista

n

0

∈ N

talque

|a

m+1

+ a

m+2

+ · · · + a

n

| < ε

sempre que

n > m > n

0

. Isto equivale a armar que

(s

n

)

é uma sequên ia de Cau hy.

Logo,

(s

n

)

onverge e portanto

+∞

X

n=1

a

n

é onvergente.

Teorema 2.3 (Critérioda limitação) Seja

(a

n

)

uma sequên ia tal que

a

n

≥ 0

para todo

n ≥ p

,

p ∈ N

. A série

+∞

X

n=1

a

n

é onvergente se e somente se o onjunto de suas somas

par iais for limitado.

Demonstração: (

⇒

) Seja

{s

1

, s

2

, . . . , s

n

, . . . }

o onjunto das somas par iais da série

+∞

X

n=1

a

n

. Sendo esta série onvergente (por hipótese),

(s

n

)

onverge e portanto, existe

M > 0

tal que

s

n

≤ |s

n

| < M

para todo

n ∈ N

,ou seja,

{s

1

, s

2

, . . . , s

n

, . . . }

é limitado.

(

⇐

)Comoo onjuntodasomaspar iaisde

+∞

X

n=1

a

n

élimitado,asequên ia

(s

n

)

élimitada.

Alémdisso,

a

n

≥ 0

para todo

n ≥ p

o quegarante que

s

n

≤ s

n+1

paratodo

n ≥ p

, istoé,

(s

n

)

n≥p

éumasequên ianão-de res ente. De orredoTeorema1.4que

(s

n

)

é onvergente.

Logo,

+∞

X

n=1

a

n

onverge.

Teorema 2.4 (Critério da omparação) Seja

p ∈ N

e sejam

(a

n

)

,

(b

n

)

sequên ias tais que

a

n

≥ 0

,

b

n

≥ 0

e

a

n

≤ b

n

para todo

n ≥ p

.

(i) Se

+∞

X

n=1

b

n

onverge, então

+∞

X

n=1

a

n

onverge. (ii) Se

+∞

X

n=1

a

n

diverge, então

+∞

X

n=1

b

n

diverge.

Demonstração: Sejam

(s

n

)

e

(t

n

)

as sequên ias das somas par iais da séries

+∞

X

n=1

a

n

e

+∞

X

n=1

b

n

, respe tivamente.

(i) Para

n ≥ p

, temos

s

n

= a

1

+ a

2

+ · · · + a

p−1

+ a

p

+ · · · + a

n

ouseja,

s

n

≤ s

p−1

+t

n

−t

p−1

paratodo

n ≥ p

. Como

+∞

X

n=1

b

n

onverge,

(t

n

)

élimitada.

Logo, segue da desigualdade anterior que

(s

n

)

também é limitada. De orre do ritério dalimitaçãoque

+∞

X

n=1

a

n

onverge. (ii) Suponhamos

+∞

X

n=1

b

n

onvergente. Seguede (i)que

+∞

X

n=1

a

n

onverge, oqueéabsurdo.

Exemplo 2.5 O Teorema 2.4 garante que a série

+∞

X

n=1

1

(n + 1)

2

é onvergente, uma vez

que

0 <

1

(n + 1)

2

<

1

n(n + 1)

para todo

n ∈ N

e

+∞

X

n=1

1

n(n + 1)

é onvergente (Exemplo 2.2).

Exemplo 2.6 Seja

p ∈ R

om

p ≤ 1

. Temos

1

n

p

≥

1

n

> 0

para todo

n ∈ N

. O ritérioda omparaçãoimpli aa divergên iadasérie

+∞

X

n=1

1

n

p

, visto quea sérieharmni a é divergente (Exemplo 2.4).

Teorema 2.5 Se

a

n

≥ 0

,

b

n

> 0

para todo

n ∈ N

e

lim

n→+∞

a

n

b

n

= l

nito,

l 6= 0

, então

+∞

X

n=1

a

n

onverge se e somente se

+∞

X

n=1

b

n

onverge.

Demonstração: (

⇐

) Notemos que

l = lim

n→+∞

a

n

b

n

> 0

, pois

a

n

≥ 0

e

b

n

> 0

para todo

n ∈ N

. Es olhendo

ε = l > 0

, garantimos a existên ia de

N

1

∈ N

tal que se

n > N

1

,

temos









a

n

b

n

− l









< l

. Logo, para todo

n > N

1

,









a

n

b

n

− l









< l ⇒ −l <

a

n

b

n

− l < l ⇒ 0 <

a

n

b

n

< 2l ⇒ 0 < a

n

< 2lb

n

.

(2.1) Como

+∞

X

n=1

b

n

onverge,

+∞

X

n=1

2lb

n

também onverge (Proposição 2.3). Do ritério da

(

⇒

)Tomemos

ε =

l

2

> 0

. Logo, existe

N

2

∈ N

talque









a

n

b

n

− l









<

l

2

sempreque

n > N

2

, istoé, se

n > N

2

,temos

0 <

l

2

<

a

n

b

n

⇒ 0 <

b

n

a

n

<

2

l

⇒ 0 < b

n

<

 2

l



a

n

.

Como

+∞

X

n=1

a

n

onverge,

+∞

X

n=1

 2

l



a

n

onverge (Proposição 2.3) epelo ritérioda

ompara-ção, on luímos que

+∞

X

n=1

b

n

é onvergente. Exemplo 2.7 A série

+∞

X

n=1

n + 1

n

2

_{+ 1}

diverge. De fato,

n + 1

n

2

_{+ 1}

> 0

e

1

n

> 0

para todo

n ∈ N

.

Além disso,

lim

n→+∞

n+1

n

2

₊₁

1

n

= lim

n→+∞

n

2

_{+ n}

n

2

_{+ 1}

= 1 6= 0.

Como

+∞

X

n=1

1

n

é divergente, segue do Teorema2.5 que

+∞

X

n=1

n + 1

n

2

_{+ 1}

diverge.

Exemplo 2.8 O Teorema 2.5 impli a a onvergên ia da série

+∞

X

n=1

1

n

2

, pois

1

n

2

> 0

,

1

(n + 1)

2

> 0

para todo

n ∈ N

,

+∞

X

n=1

1

(n + 1)

2

é onvergente (Exemplo 2.5) e vale

lim

n→+∞

1

(n + 1)

2

1

n

2

= lim

n→+∞

n

2

(n + 1)

2

= lim

_n→+∞



n

n + 1



2

= 1

2

_{6= 0}

.

Denição 2.3 Uma série

+∞

X

n=1

a

n

é denominada absolutamente onvergente quando

+∞

X

n=1

|a

n

|

é onvergente. Dizemos que uma série é ondi ionalmente onvergente quando

for onvergente, mas não for absolutamente onvergente.

Teorema 2.6 Toda série absolutamente onvergente é onvergente.

Demonstração: Seja

+∞

X

n=1

a

n

uma série absolutamente onvergente. Logo,

+∞

X

n=1

|a

n

|

on-verge. Para todo

n ∈ N

,

0 ≤ a

n

+ |a

n

| ≤ 2|a

n

|

. Como

+∞

X

n=1

2.3), seguedo ritérioda omparaçãoque

+∞

X

n=1

(a

n

+ |a

n

|)

é onvergente. Usandoa

Propo-sição 2.3 om

c = −1

, temos que

−

+∞

X

n=1

|a

n

|

onverge. Como

a

n

= (a

n

+ |a

n

|) − |a

n

|

para

todo

n ∈ N

, viaProposição 2.2, garantimosque

+∞

X

n=1

a

n

onverge. Exemplo 2.9 A série

+∞

X

n=1

sen n

2

n

é onvergente. Ini ialmente, observamos que para todo

n ∈ N

,

0 ≤







sen n

2

n





 ≤

1

2

n

. Como

+∞

X

n=1

1

2

n

onverge (Exemplo 2.1),

+∞

X

n=1







sen n

2

n







também

onverge (devido ao ritério da omparação). Con luímos então que

+∞

X

n=1

sen n

2

n

é absolu-tamente onvergente e portanto onvergente (Teorema2.6).

Teorema 2.7 (de Diri hlet) Seja

+∞

X

n=1

a

n

uma série (não ne essariamente onvergente)

om a sequên ia das somas par iais

s

n

=

n

X

k=1

a

k

limitada. Se

(b

n

)

for uma sequên ia

não- res ente tal que

lim

n→+∞

b

n

= 0

, então

+∞

X

n=1

a

n

b

n

é onvergente.

Demonstração:Observamosqueasequên iadassomaspar iaisdasérie

+∞

X

n=1

a

n

b

n

édada

por

a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ · · · + a

n

b

n

. Iremos mostrarque

a

1

b

1

+ · · · + a

n

b

n

= s

1

(b

1

− b

2

) + · · · + s

n−1

(b

n−1

− b

n

) + s

n

b

n

, ∀ n ∈ N.

(2.2)

Para isso, apli aremos oPrimeiro Prin ípiode Indução sobre

n ∈ N

. Consideremos

n = 1

. Logo

s

1

= a

1

e então

a

1

b

1

= s

1

b

1

.

Suponhamos que

(2.2)

seja válida para algum

n > 1

. Como onsequên ia

a

1

b

1

+ · · · + a

n+1

b

n+1

= s

1

(b

1

− b

2

) + · · · + s

n−1

(b

n−1

− b

n

) + s

n

b

n

+ a

n+1

b

n+1

= s

1

(b

1

− b

2

) + · · · + s

n−1

(b

n−1

− b

n

) + s

n

b

n

+ a

n+1

b

n+1

+ s

n

b

n+1

− s

n

b

n+1

= s

1

(b

1

− b

2

) + · · · + s

n−1

(b

n−1

− b

n

) + s

n

(b

n

− b

n+1

) + (s

n

+ a

n+1

)b

n+1

Logo,

(2.2)

é veri ada para todo

n ∈ N

. Observamos que

lim

n→+∞

s

n

b

n

= 0

, pois

(s

n

)

élimitada e

lim

n→+∞

b

n

= 0

porhipótese.

Armamos quea série

+∞

X

n=1

s

n−1

(b

n−1

− b

n

)

é onvergente.

De fato,

(s

n

)

é limitada, logo existe

M > 0

tal que

|s

n

| ≤ M

qualquer que seja

n ∈ N

. Com isso

|s

n−1

(b

n−1

− b

n

)| = |s

n−1

||b

n−1

− b

n

| ≤ M|b

n−1

− b

n

|, ∀ n ∈ N, n ≥ 2.

Sendo

(b

n

)

não- res ente,  amos om

|s

n−1

(b

n−1

− b

n

)| ≤ M(b

n−1

− b

n

)

paratodo

n ∈ N

,

n ≥ 2

. Alémdisso, a série

+∞

X

n=1

(b

n−1

− b

n

)

é onvergente pois

lim

n→+∞

n

X

k=1

(b

k−1

− b

k

) = lim

n→+∞

[(b

1

− b

2

) + · · · + (b

n−1

− b

n

)] = lim

n→+∞

(b

1

− b

n

) = b

1

,

já que

lim

n→+∞

b

n

= 0

. Consequentemente,

+∞

X

n=1

M(b

n−1

− b

n

)

onverge e pelo Critério da

Comparação,

+∞

X

n=1

|s

n−1

(b

n−1

− b

n

)|

também onverge. Portanto,

+∞

X

n=1

s

n−1

(b

n−1

− b

n

)

on-verge devido aoTeorema 2.6.

De

(2.2)

, temos

lim

n→+∞

(a

1

b

1

+ · · · + a

n

b

n

) =

n→+∞

lim

n

X

k=2

s

k−1

(b

k−1

− b

k

) + s

n

b

n

!

=

lim

n→+∞

n

X

k=2

s

k−1

(b

k−1

− b

k

).

Como onsequên iade nossa armação,garantimos queexiste

lim

n→+∞

(a

1

b

1

+ · · · + a

n

b

n

)

e

este é nito. Portanto,

+∞

X

n=1

a

n

b

n

é onvergente.

Teorema 2.8 (de Abel) Se

+∞

X

n=1

a

n

é uma série onvergente e

(b

n

)

é uma sequên ia

não- res ente om

b

n

≥ 0

para todo

n ∈ N

(não ne essariamente om limite nulo), então

+∞

X

n=1

Demonstração: Como

(b

n

)

é uma sequên iamonótona e limitada,existe

b ∈ R

tal que

lim

n→+∞

b

n

= b

(devidoaoTeorema1.4). Logo,

lim

n→+∞

(b

n

−b) = 0

easequên ia

(b

n

−b)

é não- res ente. Alémdisso,sendo

+∞

X

n=1

a

n

onvergente,garantimosqueasequên iadesuassomas

par iais é limitada (Teorema 2.3). Pelo Teorema de Diri hlet,

+∞

X

n=1

a

n

(b

n

− b)

onverge. Como

+∞

X

n=1

ba

n

onverge (pois

+∞

X

n=1

a

n

onverge), aigualdade:

a

n

b

n

= a

n

(b

n

− b) + ba

n

para

ada

n ∈ N

, permite-nos on luirque

+∞

X

n=1

a

n

b

n

onverge.

Teorema 2.9 (de Leibniz) Se

(b

n

)

é uma sequên ia não- res ente e

lim

n→+∞

b

n

= 0

, então as séries

+∞

X

n=1

(−1)

n

b

n

e

+∞

X

n=1

(−1)

n+1

b

n

são onvergentes. Demonstração: As séries

+∞

X

n=1

(−1)

n

e

+∞

X

n=1

(−1)

n+1

possuem suas sequên ias das

so-mas par iais limitadas. Desse modo, segue do Teorema de Diri hlet que

∞

X

n=1

(−1)

n

b

n

e

+∞

X

n=1

(−1)

n+1

b

n

onvergem.

Denição 2.4 Seja

(a

n

)

uma sequên ia tal que

a

n

≥ 0

para todo

n ∈ N

. As séries

+∞

X

n=1

(−1)

n

a

n

e

+∞

X

n=1

(−1)

n+1

a

n

são hamadas séries alternadas.

O Teorema de Leibniz é bastante usado para estabele er a onvergên ia de séries

alternadas. Umaapli açãosimples é aseguinte

Exemplo 2.10 A sériealternada

+∞

X

n=1

(−1)

n

n

é onvergentepeloTeoremade Leibniz, uma

vez que

 1

n



é uma sequên ia não- res ente om

lim

n→+∞

1

n

= 0

. Também vemos que

+∞

X

n=1









(−1)

n

n









=

+∞

X

n=1

1

n

, isto é, esta série não é absolutamente onvergente. Esse exemplo mostra que nem toda série onvergente é absolutamente onvergente (não valendo assim

Teorema 2.10 (Comparação de razões) Seja

p ∈ N

e sejam

(a

n

)

,

(b

n

)

sequên ias tais que

a

n

> 0

,

b

n

> 0

e

a

n+1

a

n

≤

b

n+1

b

n

para todo

n ≥ p

. (i) Se

+∞

X

n=1

b

n

onverge, então

+∞

X

n=1

a

n

onverge. (ii) Se

+∞

X

n=1

a

n

diverge, então

+∞

X

n=1

b

n

diverge.

Demonstração: Para todo

n ≥ p

, temos

a

n+1

a

n

≤

b

n+1

b

n

, ou seja,

a

n+1

b

n+1

≤

a

n

b

n

. Com

isso, garantimos que asequên ia

 a

n

b

n



é não- res entepara todo

n ≥ p

. Emparti ular,

a

n

b

n

≤

a

p

b

p

se

n ≥ p

, ou seja,

a

n

≤

 a

p

b

p



b

n

para ada

n ≥ p

. Usando o ritério da

omparação (Teorema2.4), obtemos(i) e(ii).

Exemplo 2.11 A série

+∞

X

n=1

a

n

, em que

a

n

=

1.3.5. . . . .(2n − 1)

2.4.6. . . . .2n

, diverge.

De fato, es olhendoa sequên ia

b

n

=

1

n

para todo

n ∈ N

, veri amos que

a

n+1

a

n

=

1.3.5...(2n+1)

2.4.6...(2n+2)

1.3.5...(2n−1)

2.4.6....2n

=

2n + 1

2n + 2

>

2n

2n + 2

=

n

n + 1

=

b

n+1

b

n

.

Como

+∞

X

n=1

1

n

diverge, segue do Teorema 2.10 que

+∞

X

n=1

1.3.5. . . . .(2n − 1)

2.4.6. . . . .2n

diverge.

Teorema 2.11 (Critério da razão) Sejam

(a

n

)

uma sequên ia e

p ∈ N

.

(i) Se

a

n

> 0

e existir

k ∈ R

tal que

0 < k < 1

e

a

n+1

a

n

≤ k

para todo

n ≥ p

, então

+∞

X

n=1

a

n

é onvergente. (ii) Se

a

n

> 0

e

a

n+1

a

n

≥ 1

para todo

n ≥ p

, então

+∞

X

n=1

a

n

diverge.

(i) Seja

k ∈ R

tal que

0 < k < 1

. Consideremos a sequên ia

b

n

= k

n

. Dado

n ≥ p

, temos

a

n+1

a

n

≤ k =

b

n+1

b

n

. Como

+∞

X

n=1

k

n

onverge (Exemplo 2.1), o Teorema 2.10

garanteque

+∞

X

n=1

a

n

é onvergente.

(ii) Es olhemos a sequên ia

b

n

= 1

para todo

n ∈ N

. Assim, qualquer que seja

n ≥ p

,

a

n+1

a

n

≥ 1 =

b

n+1

b

n

. De orre do Teorema 2.10 que a série

+∞

X

n=1

a

n

diverge, visto que

+∞

X

n=1

1

é divergente.

No Teorema 2.11, item (i), não podemos simplesmente onsiderar que para todo

n ≥ p

,

a

n+1

a

n

< 1

,pois asequên ia

 1

n



satisfaz essa hipótese,porém

+∞

X

n=1

1

n

édivergente.

Teorema 2.12 (Critério de D'Alembert) Seja

(a

n

)

uma sequên ia tal que

a

n

> 0

e

a

n+1

a

n

tem limite

l ∈ R

nito ou innito.

(i) Se

l < 1

, então

+∞

X

n=1

a

n

onverge. (ii) Se

l > 1

, então

+∞

X

n=1

a

n

diverge. Demonstração:

(i) Como

lim

n→+∞

a

n+1

a

n

= l

, dado

ε > 0

qualquer, existe

N

1

∈ N

tal que









a

n+1

a

n

− l









< ε

sempre que

n > N

1

. Sendo

l < 1

, es olhemos

ε =

1 − l

2

> 0

. Assim, se

n > N

1

, obtemos

a

n+1

a

n

− l ≤









a

n+1

a

n

− l









<

1 − l

2

⇒

a

n+1

a

n

<

1 − l

2

+ l ⇒

a

n+1

a

n

<

1 + l

2

.

Além disso,

l < 1

impli a

1 + l

2

< 1

. Logo, se

n > N

1

, temos

a

n+1

a

n

< l + ε < 1

.

Segue do ritério darazão que

+∞

X

n=1