Publicações do PESC Uma Crítica Quantitativa à Lei de Pareto

c

M a r i a de ~ á t i m a C o u t i n h o da S i l v a

T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO

DOS PROGRAMAS DE P~S-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O DE J A N E I R O COMO R E Q U I S I T O NECESSÁRIO PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE E M CIÊNCIAS (M. S C . ) A p r o v a d a por:

[

P r o f

.

J O A ~ L u i z M a u r i t y - S a b o i a P r e s i d e n t e

k

L Y ~

P r o f . N e l s o n M a c u l a n F i o R I O DE J A N E I R O , R J

-

B R A S I L DEZEMBRO DE 1 9 7 8

i

AGRADECIMENTOS

Ao P r o f e s s o r ~ o ã o Luiz Maurity S a b o i a , p e l a e x c e l e n t e o r i e n t a ç ã o dada d u r a n t e o desenvolvimento d e s t e t r a b a l h o ;

Aos P r o f e s s o r e s Luiz Fernando L o u r e i r o Legey e Nelson Maculan F i l h o p e l a p a r t i c i p a ç ã o n a banca de tese;

Maria d e Lourdes de Almeida e ao Eduardo ~ o n c e i ç ã o ; p e l o s e x c e l e n t e s t r a b a l h o s d e d a t i l o g r a f i a e execução g r á f i c a , r e s p e c t i v a m e n t e ;

A

COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR, n a s p e s s o a s dos d o u t o r e s J u l i o J a n s e n Laborne e Edgard Meyer, r e s p e c t i v a

-

mente, c h e f e do Departamento de Normas e ~ s p e c i f i c a ç õ e s e che-

f e d a D i v i s ã o d e Normas de ~ a d i o p r o t e ç ã o , p o r m e cederem o ho- r á r i o de t r a b a l h o p a r a execução d a tese e p e l o a p o i o e estimu- 10s p r e s t a d o s ;

Ao CNPq p e l o a u x i l i o f i n a n c e i r o concedido;

A s

demais p e s s o a s que d e alguma forma c o n t r i b u i r a m pg r a a execução d e s t e t r a b a l h o .

A l e i de P a r e t o tem s i d o u t i l i z a d a p a r a d e s c r e v e r d i - v e r s o s fenômenos sócio-econÔmicos t a i s como, a renda dos i n d i - v í d u o s , o c a p i t a l d a s f i r m a s , o tamanho d a s c i d a d e s etc.

E s t a l e i nos f o r n e c e uma medida d a d e s i g u a l d a d e d a d i s t r i b u i ç ã o d a v a r i á v e l c o n s i d e r a d a e n t r e o s elementos d a po- p u l a ç ã o

-

o c o e f i c i e n t e de P a r e t o .

I n i c i a l m e n t e apresentamos a l e i d e P a r e t o e s u a c r í t i

-

ca. Em s e g u i d a mostramos o u t r a s formas d e se medir a desiguaA dade d a d i s t r i b u i ç ã o d a renda ( í n d i c e s de G i n i , T h e i l e ~ a r i â n

-

tia dos Logaritmos).

P o s t e r i o r m e n t e

6

a p r e s e n t a d o o modelo de Champernow

-

ne. E s t e modelo u t i l i z a elementos d a t e o r i a de c a d e i a s de Markov, e s u a d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n ã r i a s a t i s f a z a l e i de P a r 2 t o .

Finalmente u t i l i z a m o s dados d a s d e c l a r a ç õ e s de impos- t o de renda de p e s s o a s f í s i c a s no B r a s i l no p e r í o d o 1968 a 1975 p a r a v e r i f i c a r a v a l i d a d e ou não da l e i de P a r e t o . E s t a a p l i c a ç ã o nos mostra que e l a

só

se a j u s t a s a t i s f atoziarnente a o s dados d a s mais a l t a s f a i x a s de rendimentos. Desta forma, p a r a e f e i t o s p r á t i c o s , o c o e f i c i e n t e de P a r e t o é de muito pou- c a u t i l i d a d ~ como medida d a d i s t r i b u i ç ã o de renda.

iii

ABSTRACT

P a r e t o ' s law h a s been f r e q u e n t l y used t o d e s c r i b e va- r i o u s social-economic phenomena, such a s , p e r s o n a l income, ca- p i t a l of f i r m s , s i z e o f c i t i e s etc.

T h i s law p r o v i d e s u s a measure of t h e i n e q u a l i t y i n t h e d i s t r i b u t i o n of t h e c o n s i d e r e d v a r i a b l e

-

t h e P a r e t o ' s co- e f f i c i e n t .

W e f i r s t p r e s e n t P a r e t o ' s law and i t s c r i t i q u e . A f t e r t h a t , we show o t h e r means t o measure t h e i n e q u a l i t y i n t h e i n - come d i s t r i b u t i o n ( G i n i ' s i n d e x , T h e i l and Variance o£ Loga-

r i t h m s )

.

A f t e r t h a t , w e d e v e l o p Champernowne's model. T h i s mo- d e 1 u t i l i z e s c o n c e p t s from t h e t h e o r y of Markov c h a i n s , and i t s s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n s u g g e s t s t h e P a r e t o ' s law.

We f i n a l l y u t i l i z e d a t a from p e r s o n a l income t a x re- t u r n s i n B r a z i l f o r t h e p e r i o d 1968 t o 1975, t o v e r i f y t h e va- l i d i t y of P a r e t o ' s law. T h i s a p p l i c a t i o n shows u s t h a t it on- l y a d a p t s i t s e l f s a t i s f a c t o r i l y t o t h e h i g h e s t income d a t a . Thus, f o r a 1 1 p r a c t i c a l p u r p o s e s , P a r e t o ' s c o e f f i c i e n t i s o£ l i t t l e v a l u e a s a measure of income d i s t r i b u t i o n .

CAP~TULO I

-

~ n t r o d u ç ã o C A P ~ T U L O I1

-

A L e i de P a r e t o e s u a c r í t i c a 11.1

-

A L e i de P a r e t o 1 1 . 2

-

c r í t i c a

2

l e i d e P a r e t o C A P ~ T U L O 111

-

Outros f n d i c e s de c o n c e n t r a ç ã o 111.1

-

A Curva de Lorenz e o f n d i c e d e G i n i 1 1 1 . 2

-

~ a r i â n c i a dos Logs 1 1 1 . 3

-

O f n d i c e d e T h e i l C A P ~ T U L O I V

-

O Modelo d e Champernowne I V . l

-

O Modelo de Champernowne e a L e i de P a r e t o I V . 2

-

~ r n ' t i c w a o Modelo d e Champer

_-

nowne C A P ~ T U L O V

-

~ p l i c a ç ã o e ~ o n c l u s õ e s APÊNDICE

-

Dados u t i l i z a d o s e ~ r á f i c o s d a L e i d e P a r e t o B i b l i o g r a f i a

A preocupação p e l a maneira com que a r e n d a 6 d i s t r i b u i

-

da e n t r e o s componentes de uma s o c i e d a d e tem c r e s c i d o nos Ú l t i - mos anos. E s s e tema vem i n t e r e s s a n d o a o s economistas desde a época dos f i s i o c r a t a s

-

a p r i m e i r a e s c o l a de economistas p r o p r i

-

m e n t e d i t a . No e n t a n t o , somente no f i n a l do s é c u l o p a s s a d o , s u r g i u a p r i m e i r a t e n t a t i v a de medir a d i s t r i b u i ç ã o d e r e n d a a t r a v é s de V 1

L F R E D O

PARETO [I

21

,

que conduz uma i n v e s t i g a ç ã o e - conométrica e d e s c o b r e uma c e r t a r e g u l a r i d a d e na d i s t r i b u i ç ã o d a r e n d a em um bom numero de s o c i e d a d e s p o r e l e e s t u d a d a s . O s e s t u d o s d e P a r e t o nos fornecem a p r i m e i r a medida o b j e t i v a de d i s t r i b u i ç ã o d e r e n d a d e que s e tem n o t i c i a .

*

Recentemente, no B r a s i l , o tema da r e p a r t i ç ã o d a r e n d a passou a t e r maior i n t e r e s s e a p a r t i r da d i v u l g a ç ã o dos dados do Censo de 1970, o s q u a i s , comparados com o s de 1960, m o s t r a

-

ram que a r e n d a s e t i n h a t o r n a d o a i n d a mais d e s i g u a l a o longo d e s s a década ( v e j a T a b e l a s I . 1 e I. 2 )

.

A r e n d a r e a l dos 50% d a população remunerada de r e n d a s mais b a i x a s a p r e s e n t o u um aumento de apenas 1% d u r a n t e e s s a dé-

c a d a , enquanto que a r e n d a r e a l dos 5% d a população remunerada de r e n d a s mais a l t a s aumentou d e 7 2 % E3].

O s a l á r i o mínimo r e a l diminuiu d u r a n t e o p e r i o d o men- cionado. Um í n d i c e do v a l o r do s a l & i o mínimo r e a l mêdio, na c i d a d e d e

são

P a u l o , t e n d o p o r b a s e o t r i ê n i o 1959-61=100,caiu p a r a 82 no t r i ê n i o 1962-64, p a r a 75 no t r i ê n i o 1965-67 e 71 no t r i ê n i o 1968-70 [ 4 ] .

Dados d i v u l g a d o s p e l o I P E A [7] mostram que o s a l á r i o r e a l médio dos empregados na i n d ú s t r i a c a i u de um n í v e l 100 em 1963 p a r a 85 e m 1967, mantendo-se no n í v e l 90 em 1968 e 1969.

TABELA 1.1: ~ i s t r i b u i ç ã o d a Renda no B r a s i l e m 1960 Percentagem d a população ( p e s s o a s de 1 0 anos ou m a i s ) que r e c e b e r e n d a e r e s p e c

-

t i v a percentagem d a r e n d a t o t a l r e c e b i - da ( e m ordem c r e s c e n t e de r e n d a ) ~ o p u l a ç ã o remunerada

I

Renda

Percentagem Percentagem Percentagem Percentagem

acumulada acumulada

5% s u p e r i o r e s

1% s u p e r i o r e s

1

11,72 Fonte: H Ú F F M A N N R .

e.

J . C . DUARTE [ 5 ] .

TABELA 1.2: ~ i s t r i b u i ç ã o d a Renda no B r a s i l e m 1970 Percentagem d a população ( p e s s o a s d e 10 anos ou m a i s ) que r e c e b e r e n d a e r e s p e c t i v a percentagem d a r e n d a t o t a l r e c e b i - d a ( e m ordem c r e s c e n t e de r e n d a ) ~ o ~ u l a ç ã o remunerada 1 5% s u p e r i o r e s Percentagem 1% s u p e r i o r e s Percentagem acumulada - - - - - Renda I

Fonte: HOFFMAhlN R .

e

J.C.

VUARTE

1-1.

Percentagem Percentagem acumulada

5

Recentemente, L A N G O N I

r101

-

a p r e s e n t o u uma t e o r i a ,

-

en

_-

t r e a s v á r i a s t e o r i a s e x p l i c a t i v a s da r e p a r t i ç ã o da r e n d a

-

cha

_-

mada t e o r i a do " C a p i t a l Humano", na q u a l i n t r o d u z c i n c o v a r i a - v e i s i n d e p e n d e n t e s " e x p l i c a t i v a s " d a d e s i g u a l d a d e na d i s t r i b u i - ção de renda: educação, i d a d e , s e x o , a t i v i d a d e e r e g i ã o .

O modelo d e Langoni c o n s i s t e e m r e a l i z a r r e g r e s s õ e s l o g - l i n e a r e s e m que a r e n d a i n d i v i d u a l é função d a s c i n c o v a r i á

-

v e i s independente's. O s r e s u l t a d o s d e s s a s r e g r e s s õ e s mostram que e m 1960 e s s a s c i n c o v a r i á v e i s "explicavam" 51% d a s d i f e r e n - ç a s i n d i v i d u a i s de r e n d a , enquanto que e m 1970 passaram a "ex- p l i c a r " 59%. A c o n t r i b u i ç ã o c o n j u n t a d a s v a r i á v e i s s e x o , i d a d e , a t i v i d a d e e r e g i ã o permaneceu a mesma d u r a n t e . e s s a d é c a d a e n

_-

q u a n t o a " v a r i á v e l " educação r e s p o n d i a p e l a quase t o t a l i d a d e d e s s e aumento d e poder e x p l i c a t i v o .

D e acordo com o t r a b a l h o de Langoni, e n t r e 1960 e 1970, a s p e s s o a s que possuiam e s c o l a r i d a d e d e n í v e l s u p e r i o r ti

-

nham r e n d a 10 v e z e s s u p e r i o r a dos a n a l f a b e t o s . A r e n d a r e a l dos p r i m e i r o s s u b i u 51% a o p a s s o que a d o s Ultimos permaneceu no mesmo n l v e l . A r e l a ç ã o e n t r e a r e n d a r e a l dos p o s s u i d o r e s d e e s c o l a r i d a d e s u p e r i o r e a dos que tinham apenas c u r s o primá- r i o também aumentou n e s s e p e r í o d o , passando d e 1 : 5 , 3 e m 1960 p a r a 1 : 7 , 1 em 1970.

Ainda com b a s e nos dados do Censo ~ e m o g r á f i c o d e 1960 e 1970, R O D O L F O H O F F M A N N

e

J O Ã O C A R L O S D U A R T E [5J f i z e r a m um e s t u d o comparativo e o b t i v e r a m uma série d e r e s u l t a d o s . E s s e s au

-

t o r e s mostram que a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a é s e n s i v e l m e n t e mais

6

d e s i g u a l no s e t o r urbano que no s e t o r p r i m a r i o . O v a l o r menor p a r a o s í n d i c e s o b t i d o s no s e t o r p r i m á r i o pode s e r c a u s a d o , em grande p a r t e , p e l a n ã o - i n c l u s ã o d a s p e s s o a s que d e c l a r a r a m r e n

_-

d a n u l a .

O g r a u de c o n c e n t r a ç ã o da r e n d a é maior nas r e g i õ e s Nordeste e L e s t e , mas d i f e r e pouco do g r a u de c o n c e n t r a ç ã o no ~ a l s como um todo.

O aumento no g r a u d e c o n c e n t r a ç ã o da d i s t r i b u i ç ã o d a r e n d a f o i mais acentuado n a s r e g i õ e s mais i n d u s t r i a l i z a d a s , de modo q u e , em 1970, a s d i f e r e n ç a s e n t r e o s h d i c e s do Nofdeste e do S u l apresentam-se menos a c e n t u a d a s que no i n i c i o d e 1960.

O p e r f i l da d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a p e s s o a l no B r a s i l a p r e s e n t a , em 1970, marcadas d e s c o n t i n u i d a d e s . Metade d a popu

_-

l a ç ã o d a s p e s s o a s remuneradas r e c e b e 13,74% da r e n d a t o t a l . Nos d e c i s de população s e g u i n t e s , o s i n c r e m e n t o s na p a r t i c i p a - ção p e r c e n t u a l n a r e n d a g e r a d a s ã o pequenos ( v e r T a b e l a I.2), mas quando se a t i n g e o d e c i l s u p e r i o r o c o r r e um s a l t o brusco:

10% d a população a p r o p r i a - s e de quase metade d a r e n d a t o t a l , ( 4 8 , 3 5 % ) .

Comparando o s p e r f i s d a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a , em

1 9 6 0 e 1970 ( v e r T a b e l a s 1.1 e I . 2 ) , p a r e c e i n e g á v e l q u e , nes- t e ú l t i m o ano, a c o n c e n t r a ç ã o da renda na c ú p u l a d a d i s t r i b u i - ção r e f o r ç o u - s e , a o p a s s o que o s d e c i s i n f e r i o r e s da população t i v e r a m s u a p a r t i c i p a ç ã o p e r c e n t u a l na r e n d a t o t a l r e d u z i d a . A metade d a população remunerada, s i t u a d a no extremo i n f e r i o r da

7

d i s t r i b u i ç ã o , v i u c a i r s u a p a r t i c i p a ç ã o n a r e n d a t o t a l d e 17,69% p a r a 13,74%.

Nos

t r ê s

d e c i s subsegÜentes, a s r e n d a s médias s o f r e

-

ram a c r é s c i m o s pouco s i g n i f i c a t i v o s . 0s aumentos s i g n i f i c a t i - vos na r e n d a média f i c a r a m r e s e r v a d o s p a r a o 90 e 100 d e c i s e , e s p e c i a l m e n t e , p a r a o s 5% da população d e t e n t o r e s de a l t a s r e n d a s .

A c o n c l u s ã o a que chegaram Hoffmann e Duarte f o i que metade da população não f o i a t i n g i d a p e l o s b e n e f í c i o s do c r e s - cimento econômico ( p e l o menos em termos m o n e t á r i o s ) e o u t r o s 30% t i v e r a m a c e s s o apenas m a r g i n a l a e s s e s b e n e f í c i o s . Um d o s o b j e t i v o s p r i n c i p a i s d e s t e t r a b a l h o é o t e s t e da v e r i f i c a ç ã o ou não d a Lei. de P a r e t o p a r a a d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a no B r a s i l . A v a l i d a d e dos r e s u l t a d o s e n c o n t r a d o s f i c a l i m i t a d a p e l a e s c a s s e z de dados r e l a t i v o s a o g r a u de c o n c e n t r a ç ã o da r e n d a e d a r i q u e z a em n o s s o p a i s . E s s e s dados foram r e t i r a d o s do Anuário ~ c o n Ô m i c o F i s c a l , do ~ i n i s t é r i o da Fazenda, que não f o r n e c e informações s o b r e a d i s t r i b u i ç ã o de renda a b a i x o de u- ma c e r t a f a i x a s a l a r i a l . E n t r e t a n t o , a p e s a r d a s l i m i t a ç Õ e s , o s r e s u l t a d o s e n c o n t r a d o s mostram-se c o e r e n t e s com a d i s c u s s ã o

te

Ó r i c a f e i t a d u r a n t e este t r a b a l h o .

O ~ a p z t u l o I1 contém uma d e s c r i ç ã o da Lei de P a r e t o e o í n d i c e de P a r e t o , s e g u i d o s de uma c r í t i c a .

Procederemos, no c a p í t u l o 111, ao e s t u d o d e o u t r o s í n d i c e s de c o n c e n t r a ~ ã o , conforme se s e g u e , r e s p e c t i v a m e n t e : a c u r v a de Lorenz e o í n d i c e de G i n i , o í n d i c e de T h e i l e a Re- dundância, e a ~ a r i â n c i a dos Logs.

No ~ a p f t u l o I V ,

6

a p r e s e n t a d o o modelo de Champernow- ne, o q u a l m o s t r a , u t i l i z a n d o c a d e i a s de Markov, como se pode s u g e r i r o aparecimento d a L e i d e P a r e t o .

F i n a l m e n t e , apresentamos no ~ a p i t u l o V , uma a p l i c a ç ã o da Lei de P a r e t o a dados b r a s i l e i r o s de d e c l a r a n t e s do imposto de r e n d a no ~ e r í o d o 1968-1975, a q u a l mostra a s d i f i c u l d a d e s d e u t i l i z a ç ã o d e s t a l e i a dados r e a i s d e rendimentos.

A L E I DE PARETO E SUA

CRLTICA

11.1

-

A L e i de P a r e t o

A preocupação p e l a maneira com que a renda é d i s t r i b u 2 d a , , e n t r e o s componentes de uma s o c i e d a d e , é um tema que já vem i n t e r e s s a n d o o s economistas d u r a n t e Longa d a t a . No e n t a n t o , sg mente no s é c u l o p a s s a d o , é que um i n s t r u m e n t a l p a r a medir-se o-

jebivamente a d i s t r i b u i ç ã o d e renda d e n t r o d e uma s o c i e d a d e p- s a a e x i s t i r . A p r i m e i r a t e n t a t i v a de medir a d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a c o i n c i d e com o s u r g i m e n t o da e c o n o m e t r i a e marca o s e u i n í c i o como ramo a u x i l i a r da economia. V Z L F R E D Ú PARETÚ 1 / 2 1 conduz a p r i m e i r a i n v e s t i g a ç ã o e c o n o m é t r i c a e d e s c o b r e uma c e r - t a r e g u l a r i d a d e n a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a em um bom número de s o c i e d a d e s p o r e l e i n v e s t i g a d a s . E s s a s s o c i e d a d e s variam no es

-

paço

,

do "I?eru

2s

comunidades e u r o p é i a s " e variam no tempo d e

1471 a 1894. A s i n v e s t i g a ç õ e s de P a r e t o , na d e t e r m i n a ç ã o d a

rg

g u l a r i d a d e na d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a , nos f o r n e c e a p r i m e i r a m g d i d a o b j e t i v a d e d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a d e que s e tem n o t í c i a .

No s i s t e m a d e duas coordenadas c a r t e s i a n a s , P a r e t o e s - c a l o u a r e n d a por f a m í l i a no e i x o h o r i z o n t a l ( x ) , enquanto que no e i x o v e r t i c a l ( y ) - e s c a l o u o número d e f a m í l i a s que tinham

r e n d a i g u a l ou s u p e r i o r a

-

x. P a r e t o mostrou q u e , e m t o d o s o s c a s o s p o r e l e e s t u d a d o s , a s c u r v a s r e p r e s e n t a t i v a s da d i s t r i

-

b u i ç ã o d a r e n d a tinham o mesmo formato, i s t o

6 ,

h i p é r b o l e s com a equação

onde

-

a r e p r e s e n t a a menor r e n d a e A

-

e

-

a s ã o p a r â m e t r o s p o s i t i - vos.

A c u r v a pode s e r r e p r e s e n t a d a conforma a F i g u r a 11.1.

Quando x + a , y + a, e quando x + a, y + 0 , l o g o a c u r v a tem duas a s s i n t o t a s : .x = a e y = O . Se deslocarmos o e i x o y a o p o n t o a c o r r e s p o n d e n t e à menor r e n d a , e n t ã o a = O e a d i s t r i b u i ç ã o de P a r e t o toma a forma:

E s t a é a e x p r e s s ã o m a i s comum da d i s t r i b u i ç ã o d e P a r e t o , d e v i d o a o f a t o que a maior p a r t e dos dados s o b r e a r e n d a

-

o m i t e r e n d a s b a i x a s . Como veremos a d i a n t e , se t i v é s s e m o s i n f o r

-

mações s o b r e a população mais p o b r e , veríamos que a c u r v a cor- t a r i a o e i x o x = a em algum p o n t o , onde a d i s t r i b u i ç ã o de P a r e

-

t o d e i x a r i a d e t e r v a l i d a d e .

O p a r h e t r o a i n d i c a a convexidade d a h i p é r b o l e em re

-

l a ç ã o

5

origem. Se a t e n d e r a o i n f i n i t o , a h i p é r b o l e

é

absor- v i d a p o r s u a a s s f n t o t a v e r t i c a l , o que i n d i c a que t o d o s o s com

-

F I G U R A 1 1 . 1

:

R E P R E S E N T A Ç Ã O

G R Á F I C A

D A L E I DE P A R E T O

p o n e n t e s d e uma s o c i e d a d e

t ê m

a q u e l a renda ( a

-

n a F i g u r a 11.1). Quando a t e n d e a z e r o , a d e s i g u a l d a d e na r e n d a c r e s c e , e a

cug

va t e n d e p a r a uma r e t a h o r i z o n t a l .

Ao c a l c u l a r o p a r â m e t r o a , P a r e t o d e s c o b r i u que e l e v a r i a v a de 1 , 1 3 em Ausburg em 1536, a 1,89 na ~ Ú s s i a em 1852, com uma media d e 1 , 5 1 . Supondo, uma d i s t r i b u i ç ã o normal da v 2 r i a v e 1 a l f a , sabemos que 99% d a s o b s e r v a ç õ e s e n c o n t r a r - s e - ã o d e n t r o d e t r ê s d e s v i o s p a d r õ e s d a média, ou s e j a , e n t r e 0,8447 e 2,5235. P a r e t o c o n s i d e r a v a que a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a e d a r i q u e z a n a s s o c i e d a d e s humanas t e n d i a a s e a j u s t a r l e i que e l e e s t a b e l e c e u , independentemente da s u a o r g a n i z a ç ã o economi- c o - s o c i a l . E l e v e r i f i c o u que a s u a " c u r v a d e r e n d a s " era s e

-

melhante p a r a d i f e r e n t e s p a í s e s e em d i v e r s o s perzodos ( I n g l a - t e r r a , ~ r ú s s i a e ~ a x Ô n i a no s 6 c u l o X I X , Peru no s & u l o X V I I I , na ~ a s í l i a medieval e t c . ) . Com b a s e em dados a p r e s e n t a d o s p o r

HUBERMAN [h]

,

v e r i f i c a - s e que a c u r v a d e P a r e t o a j u s t a - s e bas- t a n t e bem à d i s t r i b u i ç ã o dos e s c r a v o s e n t r e s e u s s e n h o r e s , nos E s t a d o s Unidos, e m 1850. O sistema s o c i a l ( c a p i t a l i s t a , f e u d a l , e s c r a v i s t a ) va r i a , mas a l e i de d i s t r i b u i ç ã o , conforme a f i r m a v a P a r e t o , p e r - manece v á l i d a .

L A N G E

C93 nega que a l e i d e s c o b e r t a p o r P a r e t o s e j a uma l e i n a t u r a l , v á l i d a em t o d o s o s s i s t e m a s s o c i a i s . Esse au

-

t o r c o n c l u i que a s r e n d a s de um grupo s o c i a l homogêneo d i s t r i - buem-se segundo uma c u r v a normal s i m p l e s ou l o g a r í t m i c a . Mos- t r a a i n d a que a d i s t r i b u i ç ã o dos t r a b a l h a d o r e s e empregados na ~ o l Ô n i a , segundo s e u s s a l á r i o s no mes de setembro de 1965, a- j u s t a - s e

5

d i s t r i b u i ç ã o l o g a r í t m i c a - n o r m a l e não d i s t r i b u i

-

ç ã o de P a r e t o . E s s a l e i é, p o r t a n t o , uma c a r a c t e r í s t i c a de s i s t e m a s s o c i a i s e m que a r i q u e z a acumulada p o s s i b i l i t a c o n t r o

-

l a r o t r a b a l h o c r i a d o r d e nova r i q u e z a , e não d e q u a l q u e r so- c i e d a d e humana.

Em r e l a ç ã o a c e r t a s i n t e r p r e t a ç õ e s d a l e i de P a r e t o é i n t e r e s s a n t e lembrar o s s e g u i n t e s comentários f e i t o s p o r TAW- N E Y

-

r 1 4 1 , em 1 9 2 9 : "há l e i s c i e n t í f i c a s que e s t a b e l e c e m r e l a

-

ç õ e s i n v a r i á v e i s e n t r e fenômenos, e há l e i s que não s ã o nem j u r í d i c a s nem, no s e u s e n t i d o mais completo, c i e n t í f i c a s , embo

-

r a e l a s pertençam, sem d ú v i d a ,

5

mesma c a t e g o r i a d a s Ú l t i m a s . T a i s l e i s não e s t a b e l e c e m r e l a ç õ e s i n v a r i á v e i s nem indicam uma conduta, mas descrevem como, no g e r a l , sob d e t e r m i n a d a s condi- ç õ e s h i ç t Õ r i c a s e l e g a i s , e quando condicionados por c e r t a s convenções e i d é i a s , grupos especificas de p e s s o a s tendem, em r e g r a , a s e comportar".

...

"É e v i d e n t e q u e , como o s economistas

t ê m

frequentemen

-

t e nos lembrado, m u i t a s l e i s econômicas s ã o do t e r c e i r o t i p o , não do p r i m e i r o nem do segundo. E l a s indicam a maneira p e l a q u a l , dadas c e r t a s c o n d i ç õ e s h i s t ó r i c a s , c e r t a forma de o r g a n i zação s o c i a l , e c e r t a s i n s t i t u i ç õ e s j u r í d i c a s , a produção t e n - d e a s e r conduzida e a r i q u e z a d i s t r i b u i d a .

1 4

E l a s não s ã o menos i n s t r u t i v a s e Ú t e i s p o r c a u s a das- s o , a o menos p a r a a q u e l e s que sabem i n t e r p r e t á - l a s . Mas aque- les que, embora bem s u c e d i d o s e r i c o s , não e s t ã o completamente c o n s c i e n t e s d a s armadilhas p r e p a r a d a s a o s i n c a u t o s , e q u e s e d e l e i t a m quando ouvem f a l a r de uma l e i que dá s u p o r t e , como pa

_-

r e c e a e l e s , a s s u a s p r ó p r i a s p r e f e r ê n c i a s i n s t i n t i v a s p o r su- c e s s o e r i q u e z a , algumas v e z e s encontram, n a s l e i s econÔmicas, uma f o n t e de confusão i n t e l e c t u a l , que

6

d e s e s p e r a d o r p a r a q u a l q u e r p e s s o a e n f r e n t a r , e em p a r t i c u l a r , deve-se s u p o r , pa- r a o s economistas. E l e s lançam mão de fórmulas e l a b o r a d a s pa

_-

r a demonstrar que o s i s t e m a s o c i a l p a r t i c u l a r que foram a c o s t u mados a a d m i r a r é o p r o d u t o de f o r ç a s i n c o n t r o l á v e i s com a s g u a i s é p e r i g o s o a s o c i e d a d e i n t e r f e r i r . E l e s se lançam

ã

pa- n a c é i a da moda no momento p a r a s e l i v r a r de s u a s r e s p o n s a

_-

b i l i d a d e s , jogando-as s o b r e algum autômato econômico.

Como um bêbado que argumenta com s e u d c i o como des- c u l p a p a r a b e b e r , e l e s apelam p a r a l e i s econÔmicas, a m a i o r i a d a s q u a i s s ã o meramente uma d e s c r i ç ã o da maneira p e l a q u a l , em um c e r t o ambiente e e m c e r t a s c i r c u n s t â n c i a s , o s homens tendem a s e comportar, como uma prova de que

é

i m p o s s í v e l p a r a , e l e s m o d i f i c a r s e u comportamento."

1 1 . 2 . ~ r z t i c a

3

L e i de P a r e t o

A l e i c r i a d a p o r P a r e t o , s e a p l i c a d a

5

d i s t r i b u i ç ã o d e r e n d a s , só s e a j u s t a 2s r e n d a s d a s c l a s s e s mais p r i v i l e g i a d a s .

Trabalhando com dados de d i v e r s o s p a í s e s em d i f e r e n t e s p e r í o d o s , P a r e t o chegou a uma c u r v a de d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a s que a c r e d i t a v a " n a t u r a l " .

~ l é m

d e não t e r nada de n a t u r a l , s e n

-

do uma c a r a c t e r í s t i c a do s i s t e m a s o c i a l c o n s i d e r a d o , g o s t a r i a

-

mos de chamar a a t e n ç ã o p a r a a i n c o n v e n i ê n c i a d a u t i l i z a ç ã o d a l e i de P a r e t o quando quisermos e s t u d a r a d i s t r i b u i ç ã o d e r e n d a s d e uma determinada população.

Como vimos na s e ç ã o 11.1, a l e i de P a r e t o pode ser re- p r e s e n t a d a p e l a equação (11.1) ou s i m p l i f i c a d a m e n t e p e l a equa

-

ç ã o ( 1 1 . 2 )

.

O c o e f i c i e n t e de P a r e t o

é

o parâmetro a d a s eguaqões ( I . 1 ou ( 1 1 2 )

.

Quando a t e n d e p a r a o i n f i n i t o o g r á f i c o d a F i g u r a 11.1 t e n d e p a r a s u a a s s i n t o t a v e r t i c a l o que s i g n i f i c a que a r e n d a m a i s i g u a l m e n t e d i s t r i b u í d a . Quando a t e n d e p a r a z e r o , o da F i g u r a 11.1 t e n d e p a r a s u a a s s i n t o t a h o r i z o n

-

t a l (Y = A) o que s i g n i f i c a que a d e s i g u a l d a d e na d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a s

é

máxima. P o r t a n t o , q u a n t o maior f o r o v a l o r de a , melhor s e r á a d i s t r i b u i ç ã o d e r e n d a s .

1 6

g a r i t m o dos d o i s l a d o s d a equação. Obtemos e n t ã o

l o g Y = Log A

-

a l o g x (11.3) que p e r m i t e a e s t i m a ç ã o do c o e f i c i e n t e de P a r e t o a p e l o método dos mínimos quadrados l i n e a r e s .

A i m p r e f e i ç ã o d a l e i d e P a r e t o pode s e r o b s e r v a d a na

equação ( 1 1 . 2 ) v i s t o que Y t e n d e p a r a i n f i n i t o medida que x t e n d e p a r a z e r o . Na p r á t i c a , e x i s t e um número f i n i t o d e pes- s o a s de forma q u e a s i t u a ç ã o r e a l s e r i a melhor r e p r e s e n t a d a pe- l a F i g u r a 1 1 . 2 , onde xl é a r e n d a a b a i x o da q u a l a l e i de Pare- t o d e i x a de s e r v á l i d a , e Ymax r e p r e s e n t a a população t o t a l . Ao tomarmos o s l o g a r i t m o s d a s v a r i á v e i s x e Y, obtemos a F i g u r a 1 1 . 3 , onde somente a p a r t e c o r r e s p o n d e n t e

5s

r e n d a s a 1

-

t a s ( a p a r t i r d e xl) a p a r e c e e f e t i v a m e n t e l i n e a r i z a d a . Na p r á t i c a , a r e n d a xl t e n d e a s e r e l e v a d a , d e forma que o c o e f i c i e n t e d e P a r e t o s ó s e a p l i c a a r e n d a s a l t a s ( e s t e p o n t o s e r á v e r i f i c a d o empiricamente no c a p i t u l o V)

.

F i n a l m e n t e , a a p l i c a ç ã o d a l e i de P a r e t o a fen6menos t a i s como d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a s , f i r m a p o r c a p i t a l , e s c r a v o s e n t r e s e u s s e n h o r e s , a r t i g o s p o r a u t o r e s , t r a b a l h a d o r e s p o r s i n

-

d i c a t o s e t c . não

t ê m

nada de e s p e c i a l , p o i s q u a l q u e r t i p o de d i s t r i b u i ç ã o c o n t i n u a p o s s u i a forma aproximada da F i g u r a 1 1 . 2 ( l i n h a c h e i a ) . P o r t a n t o , nada m a i s a n t u r a l do que o f a t o d a l e i d e P a r e t o se a p l i c a r

5

p a r t e s u p e r i o r d a s d i v e r s a s d i s t r i

-

b u i ç õ e s . O q u e não deve ser e s q u e c i d o

é

o f a t o de e x i s t i r um

F I G U R A 11.2 : A DISTRIBUIÇÃO R E A L DE R E N D A S E A C U R V A DE P A R E T O

situação r e a l

---

porção i n f e r i o r da curva de P a r e t o

F I G U R A 11.3

:

I' L I N E A R I Z A Ç Ã O " D A C U R V A D E P A R E T O

s i t u a ç ã o r e a l

---

p o r ç ã o i n f e r i o r da curva de P a r e t o " l i n e a r i z a d a "

1 9

v a l o r minimo da v a r i á v e l considerada xl, a p a r t i r do q u a l a d i s t r i b u i ç ã o em questão s e aproxima da l e i de P a r e t o .

111.1. A Curva de Lorenz e o f n d i c e de Gini

Lorenz t e c e u uma c r i t i c a 5 abordagem de P a r e t o s o b r e a d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a . Diz L O R E N Z

[ I

I ]

: "O método (de Pare- t o )

é

e s p e c i a l m e n t e i n a p l i c á v e l a dados onde o i n t e r v a l o mais a l t o

é

dado como a q u e l e s recebendo mais que uma dada q u a n t i a , p o i s , imagine uma comunidade onde o i n d i v i d u o mais r i c o se t o s na m u l t i - m i l i o n á r i o sem nenhuma mudança na r i q u e z a dos o u t r o s componentes da s o c i e d a d e . A c u r v a de P a r e t o nada nos m o s t r a

-

r i a a c e r c a d e s t a m o d i f i c a ç ã o " .

Num s i s t e m a de e i x o s c a r t e s i a n o s o r t o g o n a i s , Lorenz propôs que s e l a n ç a s s e , no e i x o d a s a b c i s s a s , a s f r a ç õ e s acumg l a d a s do número de p e s s o a s , a p a r t i r d a q u e l a s de menor r e n d a , e , no e i x o d a s o r d e n a d a s , a s f r a ç õ e s acumuladas da r e n d a t o t a l r e c e b i d a (Veja F i g u r a 111.1)

.

A c u r v a r e s u l t a n t e r e p r e s e n t a

-

r i a a d i s t r i b u i ç ã o r e l a t i v a da r e n d a . Na o p i n i ã o de Lorenz,eg t a r e p r e s e n t a ç ã o r e s o l v e r i a a l i m i t a ç ã o d a d i s t r i b u i ç ã o de Pa- r e t o , embora

só

t i v e s s e um s i g n i f i c a d o v i s u a l , p o i s nenhuma medida q u a n t i t a t i v a f o i a s s o c i a d a a e l a .

q u e , a s s o c i a d a

5

d i s t r i b u i ç ã o de Lorenz, nos d a r i a um i n d i c e de d e s i g u a l d a d e na d i s t r i b u i ç ã o .

Se a r e n d a f o s s e i g u a l i t a r i a m e n t e d i s t r i b u í d a , a cada f r a ç ã o acumulada do número d e p e s s o a s ( x i f i = 2 n ) cor- r e s p o n d e r i a uma i g u a l f r a ç ã o acumulada da r e n d a ( Y ~ 1 i = 1 , 2 , .

.

.

, n )

,

o que s e r i a r e p r e s e n t a d o p o r uma r e t a de 45' r e l a t i v a origem ( r e t a ÃC na F i g u r a I I I . l ) , chamada l i n h a de I p e r f e i t a i g u a l d a d e ou r e t a de e q h d i s t r i b u i ç ã o . No o u t r o ex- tremo t e r í a m o s o c a s o da p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e , r e p r e s e n t a d o p e l a p o l i g o n a l ABC, a l i n h a da p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e . Uma d i s

-

t r i b u i ç ã o q u a l q u e r s e r á s i m b o l i z a d a p o r uma c u r v a l o c a l i z a d a e n t r e a s l i n h a s de p e r f e i t a i g u a l d a d e e de p e r f e i t a d e s i g u a l d a de como a c u r v a ADC no g r á f i c o . O n x v e l de d e s i g u a l d a d e d a d i s t r i b u i ç ã o pode s e r medido p e l a á r e a compreendida e n t r e a r e

-

t a d e : e q Ü i d i s t r i b u i ç ã o e a c u r v a de Lorenz, chamada " á r e a d e d e s i g u a l d a d e " . O í n d i c e de Lorenz (L) é d e f i n i d o como a r a z ã o e n t r e a á r e a de d e s i g u a l d a d e e a á r e a do t r i â n g u l o formado pe- l a r e t a de e q h d i s t r i b u i ç ã o e a l i n h a de p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e . No c a s o do g r á f i c o , temos: L = á r e a ACD

-

-

d

'

áreaACB

A

Gini conseguiu um v a l o r aproximado da á r e a compreen- da e n t r e a c u r v a de Lorenz e o e i x o d a s a b c i s s a s , c a l c u l a n d o a á r e a do p o l i g o n o c u j o s v é r t i c e s s ã o a origem dos e i x o s , o pon- t o B e o s p o n t o s ( X i , Y i )

,

i = 1 , 2 , . ..,n. Esse p o l i g o n o pode ser decomposto em n t r a p é z i o s (ou em um t r i â n g u l o e n-1 t r a p é - z i o s ) . A s b a s e s do i - é s i m o t r a p é x i o s ã o Yi e Yi-l, e s u a a l -

tura é (xi

-

x ~ - ~ ) .

A área do i-ésimo trapézio

é

dada por

Um valor aproximado da área de desigualdade é dado por

uma vez que a área do triângulo ABC

e

0,5. O índice de Gini

é dado por: n 0,5

-

Si n i=l G = 015 = 1 - 2 _i=1

1

i' Substituindo (111.1) em (111.3) temos

Observe que G é maior ou igual à zero e menor ou igual

2

unidade. Quanto maior seu valor pior será a distribuiqão da

renda.

No cálculo do Xndice de Gini não se incluem; na área

de desigualdade, as áreas compreendidas entre a curva de Lorenz e a poligonal cujos vértices são a origem dos eixos e os pontos

X , Y

.

Isso faz com que o índice de Gini seja sempre uma

subestimaqão da desigualdade real. Quando substituimos a curva de Lorenz pela poligonal estamos admitindo que, dentro dos es-

t r a t o s , a r e n d a s e j a i g u a l i t a r i a m e n t e d i s t r i b u i d a .

D A V I S

C21

d e d u z i u uma formulação b á s i c a que r e l a c i o n a o c o e f i c i e n t e d e P a r e t o e o í n d i c e d e c o n c e n t r a ç ã o de G i n i a- t r a v e s da r e l a ç ã o :

onde G

é

o í n d i c e de c o n c e n t r a ç ã o de G i n i e a é o c o e f i c i e n t e de P a r e t o .

Observe que (111.5) s ó

6

v á l i d a p a r a a maior do que 1,

p o i s c a s o c o n t r á r i o o í n d i c e de G i n i s e r i a s u p e r i o r

5

unidade.

Da d e f i n i ç ã o do í n d i c e de c o n c e n t r a ç ã o de G i n i pode s e r v i s t o q u e , q u a n t o maior f o r o s e u v a l o r , maior é a It a r e a

-

de d e s i g u a l d a d e " , com a curva de Lorenz m a i s próxima do e i x o das a b c i s s a s , o u s e j a próxima l i n h a da p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e .

V a l o r e s b a i x o s do h d i c e de c o n c e n t r a ç ã o de G i n i i n d i cam maior i g u a l d a d e n a d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a , e , no l i m i t e i n - f e r i o r , quando o í n d i c e de concentração

6

n u l o , a c u r v a d e Lo- r e n z c o i n c i d e com a r e t a da p e r f e i t a i g u a l d a d e , i s t o

é,

a cada f r a ç ã o acumulada do n h e r o de p e s s o a s corresponde uma i g u a l f r a ç ã o acumulada d a r e n d a r e c e b i d a .

25

111.2. ~ a r i â n c i a dos Losaritmos

A v a r i â n c i a dos l o g a r i t m o s ( v a r i â n c i a dos l o g s )

,

como o p r ó p r i o nome s u g e r e ,

é

a v a r i â n c i a d a v a r i á v e l r e n d a l o g a r i t mada, i . e . onde n

6

o número de Zi é a r e n d a do l o g Z é a média i n d i v í d u o s da população i n d i v í d u o i d a v a r i á v e l r e n d a l o g a r i t m a d a , i . e . L - - l o g

z

=

-

I

l o g

zi.

i=l No c a s o em que a s r e n d a s s ã o f o r n e c i d a s por f a i x a s podemos u t i l i z a r a f6rmula aproximada

n ( l o g

zi

-

l o g

z ) ~

i=l onde f

.

é

a f r e q % n c i a de i n d i v í d u o s na f a i x a i 1 Zi é a r e n d a média da f a i x a i l o g Z

6

a média da v a r i á v e l r e n d a l o g a r i t m a d a , quando t o d o s o s i n d i v z d u o s da f a i x a i s ã o c o n s i d e r a d o s recebendo a renda Z i , i . e .

I l o g Z =

-

1

f i l o g Zi n _i=l onde m

é

o número de f a i x a s . A n e c e s s i d a d e d e se l o g a r i t m a r a s r e n d a s p a r a se t o - m a r a v a r i â n c i a

é

p a r a se e v i t a r que aumentos p r o p o r c i o n a i s de r e n d a s a c a r r e t a s s e m aumentos n a v a r i â n c i a . A s s i m , s e c o n s i d e - rássemos uma população composta por d o i s i n d i v í d u o s onde a r e n

-

d a do p r i m e i r o f o s s e um c r u z e i r o e a do segundo f o s s e 9 c r u

-

z e i r o s t e r i a m o s a mesma v a r i â n c i a dos l o g s que se c o n s i d e r á s s e

-

mos as r e n d a s dos d o i s i n d i v í d u o s i g u a i s a 10 e 90 c r u z e i r o s r e s p e c t i v a m e n t e . Neste c a s o , p a r a a v a r i â n c i a dos l o g s o que i m p o r t a

6

a r e l a ç ã o e n t r e a s r e n d a s e não a d i f e r e n ç a e n t r e e- l a s . Se u t i l i z á s s e m o s a v a r i â n c i a s e m l o g a r i t m a r a s r e n d a s ,

t g

riamos no segundo c a s o uma v a r i â n c i a m a i o r , quando na r e a l i d a d e a d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a e n t r e o s d o i s i n d i v í d u o s n a s d u a s popu- l a ç õ e s

6

a mesma, i . e . 10% d a renda p a r a o i n d i v í d u o m a i s pobre e 9 0 % p a r a o i n d i v í d u o mais r i c o .

A v a r i â n c i a dos l o g s

é

uma medida que t e n d e p a r a z e r o ,

2

medida em que a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a t e n d e p a r a uma s i t u a ç ã o i g u a l i t á r i a , e t e n d e p a r a v a l o r e s cada vez maiores quando a ren da t e n d e a f l c a r c o n c e n t r a d a nas mãos d e um Único i n d i v z d u o . Por

-

t a n t o , q u a n t o maior o s e u v a l o r p i o r a s i t u a ç ã o de d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a dos i n d i v i d u o s .

Uma d a s v a n t a g e n s d a v a r i â n c i a dos l o g s

é

q u e e l a po- d e s e r decomposta em duas p a r c e l a s onde uma mede a d e s i g u a l d a - d e e n t r e o s d i v e r s o s grupos de r e n d a , e a o u t r a mede a d e s i - gualdade d e n t r o de cada grupo

0

51

.

A s s i m podemos e s c r e v e r onde x _i é a p a r t i c i p a ç ã o r e l a t i v a dos i n d i v í d u o s do grupo i no t o t a l d a r e n d a ; wi

6

a r e n d a r e l a t i v a do grupo i ; Vi é a v a r i â n c i a dos l o g s d e n t r o do grupo i. 111.3. O f n d i c e de T h e i l Antes de desenvolvermos o í n d i c e de T h e i l , t o r n a - s e n e c e s s á r i o a p r e s e n t a r o s c o n c e i t o s b á s i c o s d a t e o r i a n a q u a l e s s e í n d i c e f o i baseado

-

a t e o r i a da informação.

Suponha que um e v e n t o E i r á o c o r r e r com p r o b a b i l i d a d e p , O

<

p

<

1. Suponha a i n d a q u e , mais t a r d e , é r e c e b i d a uma mensagem g a r a n t i n d o que E o c o r r e u . Se p e s t i v e s s e próxima de

1, não s e r i a s u r p r e s a s a b e r que o e v e n t o E o c o r r e u . Ao con- t r á r i o , s e p e s t i v e s s e próxima de z e r o , não s e r i a s u r p r e s a s a - b e r que o e v e n t o E não o c o r r e u . No p r i m e i r o c a s o

41.

1)

d i z - s e que a mensagem tem pouco conteúdo de informação, enquan- t o que no segundo c a s o ( p 2 0) d i z - s e que a mensagem t e m gran- d e conteúdo de informação.

P e l o que f o i d i t o acima, c o n c l u i - s e que o conteúdo d e informação h ( p ) d a mensagem deve s e r uma função d e c r e s c e n t e da p r o b a b i l i d a d e de o c o r r ê n c i a p do e v e n t o E , função e s s a q u e pode ser d e f i n i d a como o l o g a r í t m o do i n v e r s o de p , ou s e j a :

1

h ( p ) = l o g

-

=

-

l o g p P

A e s c o l h a d e s s a função pode ser e n t e n d i d a com nos s e g u i n t e s axiomas : 19 axioma: 2 9 axioma: 39 axioma: 4 0 axioma: 59 axioma: (111.11) b a s e

" A informação depende unicamente da p r o b a b i l i d a d e P"

" h ( p )

é

uma f u n ç ã o c o n t i n u a de p , O ,< p ,< 1 "

"A s u r p r e s a

é

i n f i n i t a quando s e

é

informado que alguma c o i s a que t i n h a p r o b a b i l i d a d e z e r o o c o r r e u , enquanto que a s u r p r e s a

é

n u l a quando o c o r r e um e v e n t o que tem p r o b a b i l i d a d e u n i t á r i a , h ( 0 ) = oU

e h ( 1 ) = 0"

" h ( p ) é uma função monotonicamente d e c r e s c e n t e ,

" h á a d i t i v i d a d e no c a s o de e v e n t o s i n d e p e n d e n t e s ,

ganho de informação, segundo T h e i l , pode s e r d e f i n i - do como segue:

onde :

p1 é a p r o b a b i l i d a d e do e v e n t o d e p o i s que a mensagem é r e c e b i d a ;

po é a p r o b a b i l i d a d e do e v e n t o a n t e s que a mensagem s e

-

j a r e c e b i d a .

Suponhamos que

I E ~

I

i = 1 , 2 ,

...,

n ) forme um s i s t e m a completo de e v e n t o s (exatamente um d e l e s o c o r r e r á ) com p r o b a b i - l i d a d e s a s s o c i a d a s {pi

I

i = l f 2 f . . . f n . Devemos t e r

S e uma mensagem d e f i n i t i v a e c o n f i á v e l .nos a s s e g u r a que Ei o c o r r e u , d e f i n i m o s conteúdo e s p e r a d o da informação por:

onde

-

p = ( p l l P 2 1 . . * f ~ , ) e

U t i l i z a n d o o método dos m u l t i p l i c a d o r e s ( A ) d e Lagran- g e , p a r a obtermos o máximo d a função H(p) temos que maximizar a função :

n

-

1

p i 10g pi

-

h ( 1 1 1 . 1 4 )

i=l i=l

D i f e r e n c i a n d o e m r e l a ç ã o a pi, e i g u a l a n d o a z e r o obtemos

-

1

-

l o g pi =

A

i = 1 , 2 , . .

.

, n

e x p r e s s ã o que nos informa serem t o d o s o s pi, i = 1 , 2 , . . . , n , e - q u i p r o v á v e i s , i s t o é A s s i m , s u b s t i t u i n d o ( 1 1 1 . 1 6 ) em (111.13)

,

obtemos Hmax = l o g n donde A informação e s p e r a d a da d i s t r i b u i ç ã o é frequentemente chamada de e n t r o p i a . T h e i l e s t a b e l e c e u s e u i n d i c e a p a r t i r de consideraçÕes s o b r e a renda.

Consideremos um grupo a r b i t r á r i o de r e c e p t o r e s de ren- dimentos e vamos assumir que nenhum dos rendimentos é n e g a t i v o

(não há p e r d a s ) e que p e l o menos algum d e l e s

é

p o s i t i v o . En- t ã o , quando e x i s t e m ri i n d i v ~ d u o s , e x i s t e m ri q u a n t i d a d e s não ne-

g a t i v a ã de rendimento i n d i v i d u a l que somam uma q u a n t i d a d e p o s i

-

t i v a de rendimento t o t a l . Equivalentemente, cada i n d i v i d u o g= nha uma f r a ç ã o não n e g a t i v a yi, i = 1 , 2 ,

...,

n , do rendimento t o t a l , e a soma dos y ' s

6

1:

A t e o r i a d a informação nos f o r n e c e uma medida " n a t u

-

r a l " da d e s i g u a l d a d e d e r e n d i m e n t o s , e n t r e o s

ri

i n d i v í d u o s , ba

-

s e a d a n e s t e s y i ' s . Temos i g u a l d a d e completa quando t o d o s o s

a

i n d i v i d u o s ganham o s mesmos rendimentos. E s t a q u a n t i d a d e e

-

1

- -

Y i n r i = 1 , 2 , . . , n . Temos d e s i g u a l d a d e completa quando um rendimento i n d i v i d u a l é i g u a l ao rendimento t o t a l , com t o d o s o s o u t r o s i n d i v í d u o s sem nada r e c e b e r . ~ n t ã o , yi = 1 p a r a a l - gum i ,

Y j = O p a r a cada j

+

i . O p r i m e i r o c a s o ( i g u a l d a d e com

p l e t a ) f o r n e c e o v a l o r máximo, l o g n , p a r a a e x p r e s s ã o H ( y ) a- baixo:

e o segundo c a s o ( d e s i g u a l d a d e completa) c o r r e s p o n d e a o míni- mo de H ( y )

,

z e r o .

P a r a se t r a b a l h a r com uma medida " n a t u r a l " d a d e s i - gualdade de rendimentos, b a s t a s u b t r a i r H ( y ) de s e u v a l o r máx& mo, ou s e j a n Y i l o g n

-

H ( y ) =

1

yi l o g

1

iil n

é a medida d e s e j a d a . Nesta r e l a ç ã o , K i n d i c a o número de sub- c o n j u n t o s S I , S 2 , . . . , SK t a l que cada i n d i v l d u o p e r t e n ç a a exg tamente um dos S k , k = 1 , 2 , . ..,K; nk

é

o número de i n d i v í d u o s em Sk t a l que

1

nk = n e Yk é d e f i n i d o p o r

k = l

Em ( I I I . 2 0 ) , a p r i m e i r a p a r c e l a t r a t a d a d e s i g u a l d a d e e n t r e c o n j u n t o s . A s p r o b a b i l i d a d e s a n t e r i o r e s s ã o a s f r a ç õ e s nk/n dos v á r i o s c o n j u n t o s no número t o t a l de i n d i v í d u o s (por- ções da população)

.

A s p r o b a b i l i d a d e s p o s t e r i o r e s s ã o a s p o r ç õ e s de rendimento Yk dos v ã r i o s c o n j u n t o s . Quando o s ren- dimentos p e r c a p i t a de t o d o s o s c o n j u n t o s K s ã o o s mesmos, a s porções de rendimento e população s ã o p a r a l e l a m e n t e i g u a i s :

rendimento de Sk nk x rendimento per c a p i t a l de Sk

-

-

-

-

-

-

'k rendimento t o t a l n x rendimento p e r c a p i t a l t o t a l

-

nk

- -

n s e t o d o s o s rendimentos p e r c a p i t a forem i g u a i s . Nesse c a s o , a p r i m e i r a soma e m k e m (111.20) d e s a p a r g

ce.

N a segunda soma e m k , na equação ( 1 1 1 . 2 0 )

,

as p r o b a b i l i d a d e s a n t e r i o r e s s ã o t o d a s i g u a i s a l / n e , p o r t a n t o , i g u a i s

5

f r a ç ã o d a população que cada i n d i v i d u o r e p r e s e n t a no conjun- t o de t o d o s o s i n d i v í d u o s . Nas e x p r e s s õ e s s e p a r a d a s i n t r a con

-

j u n t o , no membro à d i r e i t a , temos l / n k como a s p r o b a b i l i d a d e s a n t e r i o r e s , a s q u a i s s ã o as f r a ç õ e s da população d e n t r o do c05 j u n t o r e l e v a n t e . Em ambos o s c a s o s , a s p r o b a b i l i d a d e s a n t e r i - o r e s s ã o i n d e p e n d e n t e s de i. A s p r o b a b i l i d a d e s p o s t e r i o r e s d e pendem de i: no membro

2

e s q u e r d a , e l a s s ã o d a forma yi, _que s ã o f r a ç õ e s de r e n d a não c o n d i c i o n a i s ; no membro

5

d i r e i t a t e

-

mos yi/Yk1 que s ã o f r a ç õ e s d e r e n d a c o n d i c i o n a i s . Obtemos, e n

-

t ã o , c o n s i s t ê n c i a na agregação quando i n t e r p r e t a m o s a medida d a d e s i g u a l d a d e como a informação e s p e r a d a de uma mensagem que t r a n s f o r m a f r a ç õ e s d a população e m f r a ç õ e s d e renda.

O MODELO DE CHAMPERNOWNE

I V . 1 . O Modelo de Champernowne e a L e i de P a r e t o

CHAMPERNOWNE

[ I ]

desenvolveu um modelo de d i s t r i b u i ç ã o de renda onde a modelagem e s t o c á s t i c a

é

f e i t a mediante a u t i l i - zação d a s c a d e i a s de Markov.

No p r o c e s s o d e s c r i t o p o r Champernowne, o s s u c e s s i v o s e s t a d o s buscam r e t r a t a r a r e n d a a n u a l de uma p e s s o a , m a s esse mesmo p r o c e s s o pode ser adaptado também p a r a o u t r o s e s t u d o s co- mo, p o r exemplo, o c r e s c i m e n t o de f i r m a s .

No modelo de Champernowne, o s s u c e s s i v o s e s t a d o s da c a d e i a de Markov indicam o s n í v e i s de r e n d a , com a s l i n h a s d a m a t r i z i n d i c a n d o a s d i f e r e n t e s c l a s s e s d i s c r i m i n a d a s p e l o s n i - v e i s a l t e r n a t i v o s de r e n d a s no ano c o r r e n t e enquanto a s c o l u n a s d a m a t r i z discriminam a s d i f e r e n t e s c l a s s e s p e l o s n í v e i s a l t e r - n a t i v o s de r e n d a no ano s e g u i n t e . Cada elemento d a m a t r i z nos f o r n e c e r á a p r o b a b i l i d a d e de t r a n s i ç ã o d a c l a s s e de r e n d a Rr no ano c o r r e n t e p a r a a c l a s s e de r e n d a s Rs no próximo ano.

ma i n f i n i d a d e enumerável de f a i x a s de r e n d i m e n t o s , as q u a i s

t ê m

extensão p r o p o r c i o n a l m e n t e uniforme. P o r e x e m p l o , p o d e m o s con- s i d e r a r as f a i x a s de rendimentos a n u a i s s e r e m CR$ 1 . 0 0 0 ,O0 a

CR$ 2 . 0 0 0 , 0 0 , CR$ 2 . 0 0 0 , 0 0 a CR$ 4 . 0 0 0 , 0 0 , CR$ 4 . 0 0 0 ,O0 a

CR$ 8 . 0 0 0 , 0 0 e t c .

O s estados das cadeias de M a r k o v

são

as d i v e r s a s f a i -

xas de r e n d i m e n t o . A s s i m , o e s t a d o O pode representar rendime2 t o s e n t r e CR$ 1 . 0 0 0 , 0 0 e CR$ 2 . 0 0 0 , O O ; o e s t a d o 1 pode repre

-

s e n t a r r e n d i m e n t o s e n t r e CR$ 2 . 0 0 0 , 0 0 a CR$ 4 . 0 0 0 , 0 0 ; o estado

2 pode representar r e n d i m e n t o s e n t r e CR$ 4 . 0 0 0 , 0 0 e CR$.

.

.

8 . 0 0 0 , 0 0 e t c .

D e n t r o das considerações do m o d e l o de C h a m p e r n o w n e , a evolução da d i s t r i b u i ç ã o das rendas poderia ser r e s u m i d a n u m a

descrição em termos dos s e g u i n t e s vetores e m a t r i z e s :

xr

(t) nos fornecendo o n ú m e r o de pessoas c o m p o n e n t e s da clag se de n l v e l de rendas Rr, r = 1 , 2 , .

. .

no ano t.

P i s ( t ) nos fornecendo a p r o b a b i l i d a d e de t r a n s i ç ã o dos ocupa2 t e s no ano t da classe de n i v e l de renda Rr para a classe Rs no ano t+l.

Com estas d e f i n i ç õ e s , a d i s t r i b u i ç ã o de r e n d i m e n t o s X ( t ) nos s u c e s s i v o s períodos de tempo será gerada por:

r

Podemos s u p o r , como

é

c o n v e n i e n t e , que a s c l a s s e s d e r e n d a s s ã o ordenadas de acordo com o tamanho, havendo uma £ai- xa de r e n d a mínima Ro.

Podemos a g o r a d e f i n i r um novo c o n j u n t o de p r o b a b i l i d g des de t r a n s i ç ã o

e r e e s c r e v e r ( I V . 1) na s e g u i n t e forma

( I V . 2 )

'ru (t), e n t ã o , r e p r e s e n t a a p r o p o r ç ã o dos o c u p a n t e s em Rr que se deslocaram u f a i x a s de rendimentos p a r a cima.

A vantagem p r i n c i p a l da equação I V . 2 , segundo Cham- pernowne, d e c o r r e do f a t o q u e , no mundo r e a l , o s deslocamentos t ê m a m p l i t u d e razoavelmente l i m i t a d a , de modo que cada P r , ( t ) , e n c a r a d a como uma d i s t r i b u i ç ã o de f r e q ü ê n c i a e m u , e s t á a p r o x i

-

madamente c e n t r a d a em t o r n o de u = 0 .

P a r a o b t e n ç ã o de modelos s i m p l e s , s e r i a i n t e r e s s a n t e que se pudesse s u p o r que P r u ( t ) , e n c a r a d a como uma d i s t r i b u i

-

ção de f r e q ü ê n c i a em u , d i f e r i s s e muito pouco na s u a forma pa- r a v a r i a ç õ e s numa grande a m p l i t u d e d e v a l o r e s de r e t .

37

s u p o s i ç ã o , n o t a - s e que a s p e r s p e c t i v a s de deslocamentos ascen- d e n t e s e d e s c e n d e n t e s , e n t r e o s ocupantes de d i f e r e n t e s clas- ses de rendimento, d i f e r e m muito pouco, bem como t a i s p e r s p e c - t i v a s s e mantêm aproximadamente c o n s t a n t e s de ano p a r a ano.

T a i s h i p ó t e s e s não podem ser a p l i c a d a s a t o d a s a s c l a s s e s de rendimento. Por exemplo, do rendimento de um homem r i c o pode s e r deduzido algum r i s c o ( a t r a v e s da morte ou

má

s o g t e ) de s e r r e b a i x a d o a uma f a i x a menor no ano s e g u i n t e , mas dos rendimentos n a f a i x a mínima não pode, p o r d e f i n i ç ã o , s e r deduzida e s t a p o s s i b i l i d a d e .

Champernowne p r o c u r a c o n t o r n a r Q problema d a r e l a t i v a

c o n s t â n c i a d a d i s t r i b u i ç ã o de f r e q ü ê n c i a em u , p a r a uma grande a m p l i t u d e de v a l o r e s de r , d a s e g u i n t e forma:

".

.

.

a s mudanças a b s o l u t a s na r e n d a s ã o de se e s p e r a r muito mais a l t a s p a r a r e n d a s de E1.000.QOO do que pa- r a r e n d a s de E100 de modo que a s mudanças devem t e r uma a m p l i t u d e d e v a l o r a b s o l u t o maior p a r a a s r e n d a s a l t a s do que p a r a a s b a i x a s , se nossa s i m p l i f i c a ç ã o p r e t e n d e t e r alguma p l a u s i b i l i d a d e . A e s c o l h a 6 b v i a de i n t e r v a l o s de c l a s s e

6

a q u e l a i n d i c a d a a n t e r i o r m e n t e , onde cada c l a s s e t e m i g u a l e x t e n s ã o p r o p o r c i o n a l , p o i s e n t ã o , fenômenos u n i v e r s a i s t a i s como movimentos nos p r e ç o s e t a x a s de j u r o , que s ã o p r o v á v e i s de a l - t e r n a r , aproximadamente da mesma forma em termos pro- p o r c i o n a i s , p e r s p e c t i v a s d e renda p a r a c l a s s e s d i s t i n

-

t a s Rr e Rs, i r ã o a f e t a r a s d i f e r e n t e s funções P r U ( t )

e P s u ( t ) aproximadamente da mesma forma".

Champernowne reconhece que a s u p o s i ç ã o de r e l a t i v a c o n s t â n c i a d a s funçÕes, em s u c e s s i v o s p e r í o d o s d e tempo,

6

uma h i p ó t e s e muito f o r t e e b a s t a n t e s i m p l i f i c a d o r a mas, mesmo a s - s i m , e l e se propõe a s u s t e n t á - l a , argumentando a n e c e s s i d a d e de um e s t u d o do e q u i l í b r i o e s t á t i c o gerado p o r um c o n j u n t o f i - xo d e funções P i s ( t ) como sendo um p a s s o p r e l i m i n a r no e s t u - do do e q u i l x b r i o dinâmico, com P i s ( t ) mutáveis no tempo.

Champernowne busca e x p l i c i t a r , d e n t r o d o s p r e s s u p o s - t o s de s e u modelo, a s condições p a r a um e s t a d o de e q u i l í b r i o e s t a c i o n á r i o . Consideremos uma população e s u a e s t r u t u r a e t á - r i a . A população, n a t u r a l m e n t e , e s t á em e s t a d o de c o n t i n u o f l u x o : a s p e s s o a s nascem e morrem de forma não d e t e r m i n í s t i c a . No e n t a n t o , a longo p r a z o , a e s t r u t u r a e t a r i a t e n d e r á p a r a m a d i s t r i b u i ç ã o e s t á v e l (supondo-se a i n e x i s t ê n c i a de migrações) determinada p e l a s p r o b a b i l i d a d e s de nascimento e de morte p a r a a s d i f e r e n t e s i d a d e s .

Suponhamos a g o r a a i n t e r v e n ç ã o de um f a t o r e x t e r n o ( p o r exemplo, uma e p i d e m i a ) que a l t e r e a e s t r u t u r a e t ã r i a a n t g r i o r . Se a s p r o b a b i l i d a d e s de nascimento e m o r t e p a r a as d i - f e r e n t e s i d a d e s forem mantidas a s mesmas após t a l e v e n t o , a longo p r a z o , a população t e n d e r á a o b s e r v a r uma e s t r u t u r a e t á - r i a d e e q u i l í b r i o e s t á v e l que s e r i a a mesma o b s e r v a d a a n t e r i o r mente.

Segundo Champernowne, a a p l i c a ç ã o r e p e t i d a de uma

ma

t r i z P i s ( t )

,

s o b algumas condições g e r a i s , f a r á com que q u a l - q u e r d i s t r i b u i ç ã o i n i c i a l de rendimentos s e aproxime e v e n t u a l - mente de uma h i c a d i s t r i b u i ç ã o de e q u i l i b r i o que

6

d e t e r m i n a

-

da apenas p e l a m a t r i z de p r o b a b i l i d a d e s P ; S ( t ) .

A T a b e l a I V . l m o s t r a uma e s t i m a t i v a da m a t r i z de t r a z s i ç ã o p a r a a I n g l a t e r r a e p a i s de G a l e s , a p r e s e n t a d a p o r Cham- pernowne

.

E s t a t a b e l a mostra algum g r a u de r e g u l a r i d a d e nos da- d o s , em cada d i a g o n a l , com uma t e n d ê n c i a p a r a o s menores rendd mentos subirem mais f a i x a s do que o s a l t o s rendimentos.

TABELA IV. 1 Estimativas para as probabilidades de transição para a Inglaterra e pais de Gales (1951-52) Faixa de renda (em libras) E 89-E 111 E 112-E 141 E 142-E 177 E 177-E 221 E 222-E 281 E 282-E 354 E 355-E 445 E 446-E 562 E 563-E 707 E 708-E 892 E 893-E1119 £1120-E1409 Fonte:

F e i t a s e s t a s c o n s i d e r a ç Õ e s , podemos d i s c u t i r a e x i s t ê n

-

tia ou não d e uma d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n á r i a d e n t r o d a s h i p õ t e

-

s e s do modelo de Champernowne.

Champernovme f a z a s u p o s i ç ã o a d i c i o n a l de que a s t r a n - s i ç õ e s sejam p o s s i v e i s somente d e n t r o de uma amplitude c o n t i d a no i n t e r v a l o C-n,

11

,

ou s e j a , t r a n s i ç õ e s p a r a f a i x a s de r e n d i - mentos i n f e r i o r e s podem s e d a r a t é n f a i x a s p a r a b a i x o , d u r a n t e um ano, e , n e s t e mesmo p e r í o d o de tempo a s t r a n s i ç õ e s p a r a f a i

-

xas de rendimentos s u p e r i o r e s s ó podem o c o r r e r p a r a o e s t a d o i-

mediatamente acima.

Teremos assim:

onde

A m a t r i z de p r o b a b i l i d a d e s de t r a n s i ç ã o do modelo d e Champernowne pode s e r d e s c r i t a , p a r a n = 5 , como vemos na Tabe

-

l a 337.2:

TABELA IV. 2

M a t r i z de p r o b a b i l i d a d e s de t r a n s i q ã o do modelo de Champernowne p a r a

n

= 5

Observando a m a t r i z de t r a n s i ç ã o do modelo de Champer- nowne, podemos a f i r m a r que e l a r e t r a t a um p r o c e s s o markoviano onde t o d o s o s e s t a d o s s ã o comunicantes, i s t o

6 ,

p a r t i n d o d e um e s t a d o i n i c i a l q u a l q u e r podemos i r a q u a l q u e r o u t r o e s t a d o , e , p a r t i n d o d e s t e e s t a d o , podemos v o l t a r ao e s t a d o que l h e deu o r & gem. P o r t a n t o , e x i s t e apenas uma c l a s s e , e t a l m a t r i z é d i t a i r r e d u t x v e l .

~ l é m

d i s s o e l a

é

a p e r i ó d i c a p o i s P r o ( t ) = Po p a r a t o d o r. P o r t a n t o , p a r a que e x i s t a uma d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n á

-

r i a é p r e c i s o apenas que a c a d e i a de Markov s e j a r e c o r r e n t e - p o - s i t i v a .

O s e g u i n t e teorema, c u j a prova e s t á a p r e s e n t a d a e m ROSS

i1

31

,

confirma a s a f i r m a ç õ e s do p a r á g r a f o acima:

"Numa c a d e i a de Markov i r r e d u t í v e l , a p e r i ó d i c a e r e c o r

_-

r e n t e - p o s i t i v a , temos que:

Neste c a s o , {rj

,

j = 0 , 1 t 2 1 . .

. I

é

uma d i s t . r i b u i ç ã o e s - t a c i o n & i a , e não e x i s t e nenhuma o u t r a d i s t r i b u i ç ã o e s

-

t a c i o n á r i a , onde pYj s i g n i f i c a a p r o b a b i l i d a d e do pro- c e s s o s a i n d o do e s t a d o i e n t r a r no e s t a d o j, após n t r a n s i ç õ e s " .

E x i s t i n d ~ a d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n á r i a , a equaqão ( I V . 1) se t r a n s f o r m a em:

(IV. 4)

Tomando Xs =

zS

e fazendo as substituições adequadas em (IV. 4)

,

encontramos :

e, dividindo ambos os membros por Z s-1

obtemos então a seguinte equação:

ou, equivalentemente,

(IV. 5)

(IV. 6)

onde

Champernowne introduz as seguintes condições de esta- bilidade que, como veremos adiante, são suficientes para garan

-

tir que a matriz seja recorrente-positiva: