Reduções e pull-backs de estruturas geométricas descrevendo sistemas não-holônomos

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL

FLUMINENSE

Instituto de Matem´

atica

Redu¸

c˜

oes e pull-backs de estruturas

geom´

etricas descrevendo sistemas n˜

ao

holˆ

onomos

Clarice de Souza Ferreira Netto

Disserta¸cão submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade Fe-deral Fluminense, como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Mes-tre.

Orientadora: Paula Balseiro

(2)

Redu¸

c˜

ao e pull-backs de estruturas geom´

etricas

descrevendo sistemas n˜

ao holˆ

onomos

Disserta¸cão submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de

Mestre.

´

Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica

Aprovada por:

Paula Balseiro - IME/UFF (Orientador)

Daniele Sepe - IME/UFF

Alejandro Cabrera - IME/UFRJ

(3)

Dedicat´

oria

A David Mart´ın, por influenciar fortemente minha carreira matem´atica.

(4)

Agradecimentos

`

A minha orientadora Profa. Dr. Paula Balseiro pela infinita disponibilidade, pela

con-fian¸ca, pela oportunidade de trabalhar ao seu lado, por todos os ensinamentos e por dirigir impecavelmente este meu trabalho.

Ao Prof. Dr. Daniele Sepe por ser incentivador na supera¸c˜ao de meus limites, por

inves-tir seu tempo na minha forma¸c˜ao e me ouvir choramingar.

Aos meus pais, por todo suporte durante essa caminhada.

Aos meus amigos que durante esses dois anos dif´ıceis me facilitaram a vida; em especial

Marcelo, Laiz e Juan.

`

(5)

RESUMO

Os sistemas nao holônomos são sistemas mecânicos com restri¸cões nas velocidades. Geometricamente as restri¸cões descrevem uma distribui¸cão não integrável (no sentido

Frobenius) e como consequência a dinâmica não holônoma está descrita por um colchete almost Poisson {·, ·}nh numa variedade M e uma fun¸cão hamiltoniana HM. Se G é um

grupo de Lie que deixa invariante o sistema não holônomo, então na variedade reduzida M/G temos induzido um colchete {·, ·}red que descreve a dinâmica reduzida. Acontece

em vários exemplos que o colchete reduzido é Poisson mesmo sendo induzido por um que não era. Quando este fenômeno acontece, falamos de hamiltoniza¸cão. Neste trabalho se

estudam sistemas não holônomos que admitem uma hamiltoniza¸cão após uma redu¸cão por simetrias. As estruturas de (almost) Dirac (estruturas que generalizam 2- formas e

colchetes) nos permitem estudar o pull-back a M do colchete de Poisson {·, ·}red obtido

em M/G. Nesta disserta¸c˜ao comparamos as duas estruturas de almost Dirac definidas

em M que descrevem a dinˆamica: a estrutura de almost Dirac dada pelo colchete de almost Poisson {·, ·}nh e a estrutura de Dirac induzida pelo pull-back do colchete de

Poisson {·, ·}red. Finalmente, se apresentam dois exemplos cl´assicos que admitem uma

hamiltoniza¸cão: a part´ıcula não holônoma e a bola Chaplygin, e se estudam as suas

(6)

ABSTRACT

The nonholonomic systems are mechanical systems with restrictions in the velocities. Geometrically the restrictions descrive a non-integrable distribution (in the Frobenious

sense) as consequence the nonholomic dynamic is described by an almost Poisson bracket {·, ·}nh over a manifold M and a hamiltonian function HM. Let G be a Lie group that

fixes the nonholonomic system, then at the reduced manifold M/G we have an induced bracket {·, ·}red that descrives the reduced dynamic. In many examples the reduced

almost Poisson bracket is Poisson, although being induced by one that wasn’t. When this happens we speak of hamiltonization. In this work we study nonholonomic systems

that admit a hamiltonization after a symmetry reduction. The (almost) Dirac structures (structures that generalize 2-forms and brackets) allow us to study the ”pull-back”on M

of the Poisson bracket {·, ·}redobtained in M/G. In this thesis we compare the two almost

Dirac structures defined in M that ”describe”the dynamic: the almost Dirac structure

given by the almost Poisson bracket {·, ·}nhand the almost Dirac structure induced by the

”pull-back”of the Poisson {·, ·}red. Finally we present two classical examples that admit

a hamiltonization: the nonholonomic particle and the Chaplygin sphere, and study its associated Dirac and almost Dirac structures.

(7)

Sum´

ario

1 Preliminares 5

1.1 Sistemas hamiltonianos . . . 5

1.2 Variedades Simpl´eticas . . . 6

1.3 Variedades de Poisson . . . 8

2 Geometria dos sistemas não holônomos 13 2.1 Sistemas não holônomos . . . 13

2.2 Versão geométrica das equa¸cões não holônomas . . . 15

2.3 Colchete n˜ao holˆonomo . . . 16

2.4 Redu¸c˜ao por simetrias . . . 16

2.5 Hamiltoniza¸c˜ao . . . 18

3 Exemplos 22 3.1 A part´ıcula n˜ao holˆonoma . . . 22

3.1.1 Equa¸cões de movimento (versão geométrica) . . . 22

3.1.2 O bivetor nao holˆonomo . . . 24

3.1.3 As simetrias do sistema . . . 25

3.1.4 O bivetor reduzido . . . 25

3.2 A esfera Chaplygin . . . 26

3.2.1 Equa¸cões de movimento (versão geométrica) . . . 29

3.2.2 O bivetor nao holˆonomo . . . 31

3.2.3 As simetrias do sistema . . . 32

(8)

4 Estruturas de Dirac e sistemas n˜ao holˆonomos 34

4.1 Estruturas de Dirac . . . 34

4.2 Push Forward e Pull Back de estruturas de Dirac . . . 36

4.3 Estruturas de Dirac associadas aos sistemas n˜ao holˆonomos . . . 41

4.4 As distribui¸c˜oes U e UB . . . 44

5 Exemplos revisitados 48 5.1 A part´ıcula n˜ao holˆonoma . . . 48

5.1.1 Backward image . . . 49

5.2 A esfera Chaplygin . . . 51

5.2.1 Backward image de Lred . . . 51

5.2.2 Hamiltoniza¸c˜ao para a esfera Chaplygin . . . 52

5.2.3 A backward image de LB red . . . 54

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Um sistema não holônomo é um sistema mecânico com v´ınculos nas velocidades. Sistemas de rolamento sem deslizamento, como o disco ou uma bola rolando sobre um

plano, são exemplos de sistemas não holônomos, pois a condi¸cão de não deslizamento vincula as velocidades angulares às velocidades de transla¸cão.

Neste trabalho, os sistemas não holônomos serão descritos do ponto de vista Hamil-toniano, facilitando a compreensão do problema de reduzir um sistema na presen¸ca de

simetrias. Vamos nos concentrar em sistemas Hamiltonianos que vêm de um sistema La-grangeano mecânico, isto é, um Lagrangeano dado pela energia cinética menos a energia

potencial. Outra boa razão para trabalharmos com o formalismo Hamiltoniano é que os v´ınculos na teoria Hamiltoniana tem dois papéis, um é definir uma variedade de v´ınculos M e o outro é definir uma distribui¸cão horizontal na qual valem as equa¸cões de Hamilton (veja [3, 4, 5, 6, 14] ).

Formalmente, um sistema não holônomo está descrito pela tripla (M, {·, ·}nh, HM)

onde M é uma subvariedade do cotangente T∗Q, onde Q é o espa¸co de configura¸cão; {·, ·}nh é um colchete que não verifica a identidade de Jacobi, HM é o hamiltoniano em

M. A dinâmica não holônoma está determinada pelas curvas integrais do campo Xnh

em M dado por

Xnh = {·, HM}nh.

O colchete {·, HM}nh ´e almost Poisson e foi definido em [20, 22, 10] e podemos definir o

bivetor não holônomo πred de maneira equivalente. Se o sistema não holônomo admite

uma simetria dada pela acão (livre e própria) de um grupo de Lie G, então no processo de

redu¸c˜ao por um grupo de simetria G, obtemos o colchete reduzido {·, ·}red em M/G

(10)

pelas curvas integrais do campo Xred em M/G definido por

Xred= {·, Hred}red,

onde Hred´e o hamiltoniano no espa¸co reduzido. Como {·, ·}redest´a induzido pelo colchete

almost Poisson {·, ·}nh, em princ´ıpio, {·, ·}red ´e tamb´em um colchete almost Poisson.

As vezes acontece que no processo de redu¸cão, o colchete reduzido é Poisson mesmo sendo induzido por um colchete que não é Poisson. Se isso acontece, o sistema está

hamiltonizado. Um sistema é hamiltonizável se existe um colchete de Poisson em M/G descrevendo a dinâmica. Se no processo de redu¸cão o colchete reduzido {·, ·}red não é

Poisson, existem técnicas ”deformá-lo”sem mudar a dinâmica e transformá-lo em Poisson (veja [2, 11, 13] e [16]). Apresentaremos duas destas técnicas, a gauge transformations

([1]) e o fator conforme ([19]).

Para que possamos descer à varidade reduzida M/G e voltar à variedade de origem M carregando informa¸cões sobre o sistema, estudamos as estruturas de Dirac (veja [7, 12, 23]). Suponhamos que o sistema não holônomo (M, πnh, HM) é hamiltonizável após

uma redu¸c˜ao por simetrias, ou seja πred ´e um bivetor Poisson em M/G que descreve a

dinˆamica. Agora podemos considerar a estrutura almost Dirac Lnh = graph(π]nh) para

o sistema não holônomo, calculando seu forward image relativo a proje¸cão ρ : M → M/G obtemos uma estrutura Dirac Lred = graph(πred] ) em M/G (como o sistema é

hamiltoniz´avel, πred ´e Poisson ). Logo podemos calcular a backward image de Lred

relativa `a proje¸c˜ao ρ : M → M/G e obtemos outra estrutura de Dirac L em M (no

mesmo espa¸co onde est´a definida a estrutura de almost Dirac Lnh) (veja [7]).

Estamos interessados em comparar estas estruturas quando o sistema for

hamilto-niz´avel. O seguinte diagrama explica a id´eia exposta.

estrutura almost Dirac Lnh= graph(πnh) redu¸c˜ao por simetrias )) estrutura de Dirac ¯ L = Bρ(Lred) estrutura de Dirac Lred= graph(πred)

backward Dirac map

(11)

As vezes podemos ter hamiltoniza¸cões que não são tão diretas. Por exemplo podemos ”deformar”o colchete não holônomo para obter um novo colchete almost Poison {·, ·}B

que também descreve a dinâmica no sentido que Xnh = {·, HM}B. Logo, se {·, ·}B é

G-invariante temos um colchete induzido {·, ·}B

red na variedade M/G que tamb´em descreve

a dinˆamica reduzida: Xred = {·, Hred}Bred. Se o colchete {·, ·} B

red ´e Poisson ent˜ao falamos

de hamiltonization. As deforma¸cões do colchete não holônomo trabalhadas nesta tese são

chamadas gauge transformation [1].

Suponhamos agora que o nosso sistema não holônomo é hamiltonizável após uma

transforma¸cão de gauge e uma redu¸cão pelo grupo de simetrias (ou seja, {·, ·}B_redé Poisson em M/G e descreve a dinâmica reduzida). Em termos das estruturas de (almost) Dirac

associadas aos colchetes que descrevem a dinˆamica, obtemos o seguinte diagrama an´alogo ao anterior:

estrutura almost Dirac Lnh= graph(πnh)

dynamical gauge transformation

estrutura almost Dirac LB= graph(πB) redu¸c˜ao por simetrias )) estrutura de Dirac ¯ LB= Bρ(LBred) estrutura de Dirac LB_red= graph(π_redB )

backward Dirac map

88

Nesta tese comparamos as estruturas almost Dirac Lnh e de Dirac L (respectivamente

LBe LB). Estudamos suas respectivas distribui¸c˜oes caracter´ısticas e as relacionamos com

certas distribui¸cões U em M (Se¸cão 4.4) que foram originalmente definidas no artigo de Bates e Sniatycki [3] antes da defini¸cão do colchete não holonômo (e claramente antes da

defini¸cão de estruturas de (almost) Dirac). Por analogia, nesta tese definimos a distri-bui¸cão UBinduzida pela transforma¸cão de gauge por uma 2-forma B. Finalmente

estuda-mos a poss´ıvel falha na involutividade destas distribui¸c˜oes U e UB e obtemos conclus˜oes

sobre a a falha da integrabilidade da distribui¸c˜ao caracter´ıstica de L (respectivamente de

(12)

Para ilustrar a teoria estudada, estudamos o exemplo da part´ıcula não holônoma ([3, 2]), que é hamiltonizável após uma redu¸cão e o exemplo da bola Chaplygin ([1, 6, 15]),

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Sistemas hamiltonianos

Na mecânica clássica um fato conhecido é a Lei de Newton, ou lei de movimento, que é dada por F = m.a. No século XVIII e in´ıcio do XIX os f´ısicos tiveram a idéia

de reformular as leis do movimento em termos de fun¸cões de energia, particularmente para sistemas onde a energia é conservada. A reformula¸cão mais importante envolve a

defini¸cão de uma fun¸cão H chamada hamiltoniano do sistema. Nesta nova formula¸cão H é a energia do sistema, que agora é expressa em termos de variáveis de posi¸cão e

momento.

Um sistema mecânico está definido numa variedade Q de dimensão n que representa

as poss´ıveis posi¸c˜_{oes do sistema e um Lagrangeano L : T Q → R onde T Q representa} espa¸co total. Durante este trabalho, consideraremos Lagrangeanos de tipo mecˆanico, isto

´

e, da forma L( ˙q, q) = 1₂K( ˙q, ˙q) − V (q), onde K é a métrica dada pela energia cinética em Q e V : Q → R é a energia potencial.

Se consideramos um sistema local de coordenadas q = (q1, ..., qn) em Q, a dinˆamica

do sistema esta descrita por curvas (q(t), ˙q(t)) ∈ T Q que satisfazem as equa¸c˜oes de

Euler-Lagrange: d dt ∂L ∂ ˙qi − ∂L ∂qi = 0.

Podemos trabalhar no cotangente T∗Q usando as coordenadas duais (q, p) ∈ T∗Q.

(14)

p. ˙q − L e a dinâmica está descrita pelas curvas (q(t), p(t)) ∈ T∗Q que satisfazem as equa¸cões de Hamilton:

dqi dt = ∂H ∂pi dpi dt = − ∂H ∂qi (1.1) ∀i = 1, ...n

Um sistema hamiltoniano é um sistema mecânico dado por um hamiltoniano H e cujas equa¸cões de movimento estão dadas pelas equa¸cão diferencial (1.1). A equivalência entre

a formula¸cão lagrangeana e a hamiltoniana está dada pelo isomorfismo entre T Q e T∗Q induzido pela transforma¸cão de Legendre Leg : T Q → T∗Q. As estruturas geométricas

que veremos a seguir nos permitem estudar os sistemas hamiltonianos de forma intr´ınseca e assim obter propriedades geom´etricas.

1.2 Variedades Simpl´

eticas

Seja M uma variedade suave de dimens˜ao n e uma 2-forma ω ∈ Ω2_{(M ). Dizemos}

que ω é não-degenerada se, para todo q ∈ M , ω(u, v) = 0 para todo u ∈ TqM , então

v = 0, v ∈ TqM .

Defini¸cão 1.1. Uma estrutura simplética em M é uma 2-forma ω ∈ Ω2_{(M ) n˜}

ao-degenerada que satisfaz dω = 0. Neste caso o par (M, ω) ´e uma variedade simpl´etica.

Se a 2-forma n˜ao-degenerada ω ∈ Ω2_{(M ) n˜}_{ao for fechada, diremos que (M, ω) ´}_{e uma}

variedade almost simpl´etica.

Toda variedade almost simplética tem dimensão par. Da não degenerescência de ω

segue que toda variedade simpl´etica de dimens˜ao 2n possui uma forma de volume

Λ := ω

n

n! (1.2)

chamada forma de Liouville. Da´ı, toda variedade simplética é orientável. Vejamos agora alguns exemplos de variedades simpléticas.

(15)

Exemplo 1. Seja M = R2n com coordenadas (x1, · · · , xn, y1, · · · , yn) munido com a

2-forma

ω0 =Pn_j=1dxj∧ dyj

O par (R2n_{, ω}

0) ´e uma variedade simpl´etica.

Exemplo 2. Se Q é uma variedade de dimensão n então o fibrado cotangente T∗Q possui uma estrutura simplética. Se denotarmos τQ : T∗Q → Q a proje¸cão canônica,

ent˜ao temos uma 1-forma θQ em T∗Q dada, para cada α ∈ T∗Q, por

θQ(α)(X) =< α, T τQX >,

para X ∈ X(Q). Agora definimos a 2-forma ΩQ sobre T∗Q como ΩQ = −dθQ. A 2-forma

ΩQ é simplética e é chamada a forma simplética canônica em T∗Q. Se considerarmos a

base canˆonica de TqQ dada por {_∂q∂₁, ...,_∂q∂_n}, ent˜ao denotamos as coordenadas (p1, ..., pn)

associadas `a base dual {dq1, ..., dqn} de T∗Q. Portanto, se (q, p) s˜ao as coordenadas em

T∗Q, θQ= pidqi e ΩQ = dqi∧ dpi.

Considerando em T Q a base local {X1 = X1(q), ..., Xn = Xn(q)}, e em T∗Q a base

dual local {X1_{, ..., X}n_{} com coordenadas (q, ˜}_{p); escrevemos a 1-forma θ}

Q e a 2-forma ΩQ

sobre T∗Q como

θQ = ˜pidXi e ΩQ= Xi∧ d˜pi− ˜pi∧ dXi.

Exemplo 3. Podemos obter outras formas simpl´eticas em fibrados cotangentes, proce-dendo da seguinte maneira: Seja B uma 2-forma fechada em Q e seja ωB ∈ Ω2(T∗Q)

uma 2-forma definida como:

ωB := ω + τ∗B.

onde ω é a estrutura simplética em T∗Q e τ : T∗Q → Q a proje¸cão canônica. A forma ωB é fechada e não degenerada. Estas formas simpléticas, chamadas formas simpléticas

twist, possuem motiva¸c˜ao f´ısica em termos de fluxos magn´eticos.

Na se¸c˜ao 2.5 veremos uma reinterpreta¸c˜ao destas 2-formas B quando falarmos do

problema de hamiltoniza¸c˜ao .

Dada uma forma simpl´etica ω em M , definimos o isomorfismo

ω[: X(M ) → Ω1(M ), X 7→ iXω.

Para cada fun¸c˜ao f ∈ C∞(M ), existe um ´unico campo vetorial hamiltoniano Xf ∈

(16)

iXfω = df.

Isto ´e, Xf = (ω[)−1(df ). O campo Xf chama-se campo hamiltoniano associado a f.

Formalismo hamiltoniano

Dado um sistema mecˆanico sobre uma variedade M com um hamiltoniano H : T∗M →

R, as curvas que sao solu¸cões das equa¸cões de Hamilton (1.1) são as curvas integrais do campo XH que verifica

iXHωM = dH. (1.3)

onde ωM ´e a 2-forma canˆonica em T∗M.

Assim, a equa¸cão (1.3) é a formula¸cão simplética da equa¸cão de Hamilton.

Da anti-simetria de ωM, pode-se provar facilmente que os sistemas hamiltonianos

conservam energia.De fato,

˙

H = dH

dt (c(t)) = dH(XH) = ωM(XH, XH)) = 0

onde c(t) ´e a curva integral do campo hamiltoniano XH associado a fun¸c˜ao H.

Um fato importante é que fluxos hamiltonianos preservam o volume (simplético) quando ωM é uma forma simplética, isto é,

LXHΛ = 0

onde Λ ´e a forma de Liouville (1.2).

1.3 Variedades de Poisson

Muitos sistemas hamiltonianos s˜ao invariantes por um grupo de simetrias (veja se¸c˜ao

2.4), por exemplo, o sistema mecânico pode ser invariante por rota¸cões ou transla¸cões. Para reduzir os sistemas por estes grupos é útil introduzir as estruturas de Poisson.

Defini¸cão 1.2. Um colchete (ou estrutura) de Poisson {·, ·} : C∞(M ) × C∞(M ) → C∞(M ) numa variedade M é uma opera¸cão bilinear e antissimétrica que satisfaz,∀f, g, h ∈ C∞(M ) :

(17)

(ii) Identidade de Jacobi: {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f }} = 0.

Uma variedade M munida com uma estrutura de Poisson {·, ·} chama-se variedade

de Poisson e denotamos por (M, {·, ·}).

Se M possui uma estrutura {·, ·} : C∞(M ) × C∞(M ) → C∞(M ) bilinear,

antis-simétrica e satisfaz a regra de Leibniz (mas não necessariamente satisfaz a identidade de Jacobi), dizemos que (M, {·, ·}) é uma variedade almost Poisson.

Exemplo 4. Se (M, ω) é uma variedade simplética, então

{f, g}ω := −ω(Xf, Xg) = −LXfg.

´

e um colchete de Poisson. Tem-se que

dω(Xf, Xg, Xh) = {f, {g, h}ω}ω+ {h, {f, g}ω}ω+ {g, {h, f }ω}ω f, g, h ∈ C∞(M ).

Portanto, vemos que se dω 6= 0, ent˜ao {·, ·}ω ´e almost Poisson.

Resulta da regra de Leibniz que um colchete almost Poisson ´e definido por um bivetor π ∈ Λ2_{(T M ), unicamente determinado por}

π(df, dg) = {f, g}

localmente, se (x1, ..., xn) s˜ao coordenadas de M , podemos escrever π como:

π = 1 2π ij ∂ ∂xi ∧ ∂ ∂xj, onde πij _{= {x}i_{, x}j_}.

Um bivetor π sobre M ´e Poisson se [π, π] = 0, onde [π, π] ´e o 3-vetor unicamente determinado por

[π, π](df, dg, dh) = {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f }}.

O colchete [·, ·] entre multivetores chama-se Schouten Bracket (veja [21]). Seja (M, π) uma variedade almost Poisson. O bivetor π define o mapa

(18)

onde β(π](α)) = π(α, β) para α, β ∈ Ω1(M )

Denotamos Xf o campo em M dado por Xf = −π](df ). Observe que esta nota¸c˜ao ´e

coerente com o Exemplo 4.

Dado um sistema hamiltoniano sobre M com fun¸c˜ao hamiltoniana H : T∗_{M → R.} As curvas integrais do campo XH definido por

XH = −π](dH).

verificam as equa¸c˜oes de Hamilton (1.1). O campo XH chama-se campo hamiltoniano.

Exemplo 5. Vamos voltar ao Exemplo 4. Como df = ω[_(X

f) = ω[(π](df )), vemos que

ω e π s˜ao relacionadas por ω[ _{= (π}]₎−1 _{e (ω}

ij) = (πij)−1

Um bivetor π ∈ Λ2_{(M ), ´}_{e chamado de n˜}_{ao degenerado se o mapa 1.4 ´}_{e um}

iso-morfismo ou, equivalentemente, as matrizes locais (πij_{) s˜}_{ao invers´ıveis em cada ponto.}

A rela¸c˜ao

π(df, dg) = −ω(Xf, Xg)

estabelece uma correspondência 1-1 entre bivetores não degenerados e 2-formas não de-generadas em M , de forma que o bivetor π é Poisson se e somente se a 2-forma corres-pondente é fechada.

Então, uma variedade simplética pode ser equivalentemente definida como uma vari-edade M munida de um bivetor não degenerado π que é Poisson. Estes dois pontos de vista de estruturas simpléticas estão resumidos na tabela 1.1 abaixo:

π ∈ Λ2_{T Q n˜}_{ao degenerado} _{ω ∈ Ω}2_{(Q) n˜}_{ao degenerado}

[π, π] = 0 dω = 0

Xf = −π](df ) iXfω = df

{f, g} = π(df, dg) {f, g} = −ω(Xf, Xg)

Tabela 1.1: Equivalˆencia de estruturas simpl´eticas

Observa¸cão 1. Note que no exemplo anterior impomos que as estruturas simplética e de Poisson sejam não degeneradas. Uma variedade M munida com uma 2-forma fechada ´

e uma variedade pré-simplética. Por outro lado, uma variedade munida com um bivetor possivelmente degenerado é uma variedade de Poisson.

(19)

Dado um bivetor π, a imagem do mapa (1.4), dada por

D := π](T∗M ) ⊆ T M

define uma distribui¸c˜ao em M , que chamamos de distribui¸c˜ao caracter´ıstica do bivetor

π (ou do colchete almost Poisson {·, ·}).

Dada uma distribui¸cão D, nem sempre é verdade que exista uma folhea¸cão F tal

que D = T F . Uma condi¸cão necessária para que isto aconte¸ca é que para todo campo vetorial X, Y ∈ X(D), temos que [X, Y ] ∈ X(D), onde [·, ·] é o colchete de Lie. Quando

isto acontece, dizemos que D ´e involutiva.

Defini¸cão 1.3. Diremos que uma distribui¸cão D é integrável se existe uma folhea¸cão F tal que D = T F

Um resultado fundamental sobre integrabilidade de distribui¸c˜oes ´e o seguinte:

Teorema 1.1. (Frobenius) Uma distribui¸cão D suave e de posto constante é integrável se e somente se é involutiva. Neste caso, a folhea¸cão tangente a D é única.

Se (M, {·, ·}) é uma variedade de Poisson, então a distribui¸cão caracter´ıstica D ⊆ T M

´

e integr´avel (no sentido Frobenius). Diremos que dois pontos z1, z2 ∈ M est˜ao na mesma

folha de M se e somente se h´a uma curva suave por partes em M unindo z1 e z2, onde

cada segmento da curva é uma trajetória de um campo vetorial hamiltoniano localmente definido. Cada folha tem uma estrutura simplética induzida pela estrutura de Poisson e

nos referimos a esta folhea¸cão como a folhea¸cão simplética de M . A folhea¸cão simplética de uma variedade de Poisson está unicamente caracterizada pela estrutura de Poisson.

Um campo vetorial X é uma se¸cão de D se e somente se é tangente a folhea¸cão , isto ´

e, toda curva integral de X pertence a uma folha F .

Se ϕté o fluxo de Xf, então f ◦ ϕt= f. Uma fun¸cão g é constante ao longo das curvas

integrais de Xf se e somente se {f, g} = 0, se e somente se f ´e constante ao longo das

curvas integrais de Xg, onde f, g ∈ C∞(M ).

Proposi¸c˜ao 1.1. Seja Xh o campo hamiltoniano associado a h ∈ C∞(M ). Se ϕt ´e o

fluxo de Xh, ent˜ao

(20)

para todo f, g ∈ C∞(M ). Isto ´e, o fluxo do campo de vetores hamiltoniano preserva a estrutura de Poisson.

Alguns elementos de C∞(M ) s˜ao fun¸c˜oes c tal que {c, f } = 0 para todo f ∈ C∞(M ),

isto é, c é constante ao longo do fluxo de todo campo hamiltoniano, ou equivalentemente, Xc= 0, ou seja, c gera a dinâmica trivial. Estas fun¸cões são chamadas Fun¸cões Casimir

da estrutura de Poisson (ou de uma estrutura almost Poisson).

Notemos que as fun¸cões Casimir são constantes nas folhas simpléticas, pois tem

deri-vada que se anula sob os campos da distribui¸c˜ao caracter´ıstica.

O posto da estrutura de (almost) Poisson em um ponto z ∈ P ´e definido pelo posto

de π](z) : T_z∗M → TzM, ou seja, o posto de π ´e o posto da distribui¸c˜ao caracter´ıstica D

e não é necessariamente constante. Em coordenadas locais, o posto de π é o posto da

matriz de (πij). Como o fluxo do campo hamiltoniano preserva a estrutura de Poisson, o posto ´e constante ao longo do fluxo. Uma estrutura de Poisson em P que tem o posto

igual a dimensão de M em todo ponto z ∈ M é não degenerada ( e pela se¸cão anterior, é também simplética). O seguinte exemplo ilustra o caso onde o posto de π não é constante.

Exemplo 6. Seja M = R2 munido com o bivetor π = x ∂

∂x ∧ ∂ ∂y.

A distribui¸cão caracter´ıstica de π é dada por D = {x_∂x∂ , x_∂y∂}, que não tem posto cons-tante. Como a identidade de Jacobi é claramente verificada, π é Poisson. Observe também que π n˜_{ao vem de uma 2-forma em M = R}2.

(21)

Cap´ıtulo 2

Geometria dos sistemas n˜

ao

holˆ

onomos

2.1 Sistemas n˜

ao holˆ

onomos

Um sistema não holônomo é um sistema mecânico com v´ınculos nas velocidades.

Sistemas de rolamento, como o disco ou uma bola rolando sobre um plano, são sistemas não holônomos, pois a condi¸cão de não deslizamento vincula as velocidades angulares às

velocidades de transla¸c˜ao.

Formalmente, um sistema não-holônomo numa variedade de configura¸cão Q de

di-mensão n, est´_{a definido por um Lagrangeano L : T Q → R e uma distribui¸cão regular} não-integrável D ⊂ T Q que descreve as restri¸cões cinemáticas não holônomas. Em

coor-denadas, a distribui¸cão D é definida pela equa¸cão

(q) ˙q = 0 (2.1)

onde (q) é uma matriz k × n de posto constante k, onde k < n é o numero das restri¸cões.

As entradas de (q) induzem as 1-formas {1, ..., k} tal que

D = {vq ∈ T Q, i(vq) = 0, ∀i = 1, ..., k} (2.2)

Chamamos a distribui¸c˜ao D de distribui¸c˜ao de v´ınculos.

A dinˆamica do sistema ´e governado pelo princ´ıpio de D’Lambert. Este princ´ıpio diz

(22)

realizam trabalho durante o movimento. As equa¸c˜oes de movimento tem a forma: d dt ∂L ∂ ˙q − ∂L ∂q = µ T_(q) _(2.3)

onde µ : T Q → Rké uma fun¸c˜_{ao R}k- avaliada cujas entradas referem-se aos multiplicado-res de Lagrange. Sob nossas hipóteses, a equa¸cão (2.3) está unicamente determinada pela

condi¸cão de que a restri¸cão (2.1) é satisfeita. A equa¸cão (2.3) junto com a restri¸cão (2.1) definem um campo vetorial Y_nhD em D, cujas curvas integrais descrevem o movimento do

sistema nao holˆonomo.

As equa¸c˜oes de movimento acima podem ser escritas como um sistema de equa¸c˜oes de

primeira ordem no cotangente T∗Q via transformada de Legendre, Leg : T Q → T∗Q, que define coordenadas canˆonicas (q, p) em T∗Q pela seguinte regra: Leg : (q, ˙q) → (q, p =

∂L/∂ ˙q). A transformada de Legendre é um difeomorfismo global para lagrangeanos L do tipo mecânico (isto é, L = K − V onde K é a métrica associada à energia cinética e

V é a energia potencial). Como o lagrangeano L é do tipo mecânico, Leg = K[, onde K[ _{: T Q → T}∗_{Q ´}_{e definido para X, Y ∈ T Q como K}[_{(X)(Y ) = K(X, Y ).}

O Hamiltoniano, H : T∗_{Q → R, ´e definido de maneira usual como H = E}L◦ Leg−1

onde EL é a energia lagrangeana. A equa¸cão de movimento (2.3) é equivalente a

˙ q = ∂H ∂p, p = −˙ ∂H ∂q + µ T_(q) _(2.4)

onde as coordenadas (q, p) devem verificar

(q)∂H

∂p(q, p) = 0. (2.5)

A equa¸c˜ao (2.5) define uma subvariedade M do cotangente T∗Q. Portanto, (2.4)

in-duz um campo vetorial Xnh ∈ X(M) que descreve a dinˆamica do sistema nao

holˆonomo, isto ´e, as curvas integrais do campo descrevem o movimento do

sistema.

Assim como na formula¸c˜ao usual do sistema hamiltoniano sem v´ınculos, no sistema

nao holônomo temos conserva¸cão de energia. Isto é, se H é uma fun¸cão hamiltoniana e c(t) é uma curva integral de Xnh ∈ M, então H(c(t)) é constante em t. A prova disto é

(23)

2.2 Vers˜

ao geom´

etrica das equa¸

c˜

oes n˜

ao holˆ

onomas

Consideremos um sistema não holônomo na variedade Q, dado por um lagrangeano L(do tipo mecânico) e uma distribui¸cão de v´ınculos D. Intrinsecamente a subvariedade M dada em (2.5) é definida por

M := Leg(D) ⊆ T∗_Q. _(2.6)

A variedade M ´e chamada subvariedade de v´ınculos.

Como a transformada de Legendre ´e linear sobre as fibras, M ´e um subfibrado vetorial

em T∗Q tal que cada q ∈ Q define um n − k subespa¸co vetorial de T_q∗Q. Denotamos por τQ: T∗Q → Q a proje¸cão canônica e por τM : M → Q a proje¸cão induzida.

De (2.4), o campo vetorial não holônomo Xnh é definido de maneira intr´ınseca pela

equa¸c˜ao

iXnhi

∗

ΩQ = i∗(dH + µTτQ∗), (2.7)

onde ΩQ é a forma simplética canônica em T∗Q, e o mapa i : M ,→ T∗Q é a inclusão.

Denotamos por ΩM o pull-back de ΩQ a M, isto ´e, ΩM := i∗ΩQ.

Se definirmos

C = {u ∈ T M | T τM(u) ∈ D}, (2.8)

ent˜ao vemos que Xnh ∈ Γ(C) e as equa¸c˜oes (2.7) podem ser escritas como:

iXnhΩM|C = dHM|C, (2.9)

onde ·|C é a restri¸cão à distribui¸cão C e HM ∈ C∞(M) tal que HM = i∗H. A não

integrabilidade de C é consequência direta da não integrabilidade de D. Da´ı, ΩM|C é uma

se¸c˜ao de Λ2_(C∗_{) → M, n˜}_{ao uma 2-forma. O seguinte teorema ser´}_{a bastante utilizado}

neste trabalho e a prova pode ser encontrada em [3].

Teorema 2.1. A distribui¸cão C em M definida em (2.8) é regular, não-integrável, e a restri¸cão de ΩM a C, denotado por ΩC, é não-degenerada.

A equa¸cão (2.9) determina de forma única o campo Xnh em M pois ΩC é nao

(24)

Para cada f ∈ C∞(M), existe um ´unico campo vetorial Xf ∈ Γ(C), determinado por

iXfΩC = (df )|C. (2.10)

O campo Xf chama-se campo (almost) hamiltoniano associado a f.

2.3 Colchete n˜

ao holˆ

onomo

Como ΩC é não degenerado (teorema 2.1), então existe um único bivetor πnh em M

determinado por

iXfΩC = (df )|C ⇐⇒ π

]

nh(df ) = −Xf, (2.11)

para f ∈ C∞(M).

O colchete {·, ·}nh : C∞(M)×C∞(M) → C∞(M) associado ao bivetor πnh´e chamado

colchete não holônomo e foi definido independentemente nos trabalhos [20, 22, 10] . Em [10] é provado que {·, ·}nh é um colchete almost Poisson.

O colchete não holônomo {·, ·}nh descreve a dinâmica da seguinte maneira:

Xnh = {·, HM}nh, ou equivalentemente, Xnh= −π]nh(dHM).

Segue da equa¸cão (2.11) que a distribui¸cão caracter´ıstica do colchete não holônomo {·, ·}nh é C. Como C não é integrável, vemos que {·, ·}nh é um colchete almost Poisson

(veja Capitulo 1, se¸cão 1.3). Um sistema não holônomo pode ser descrito pela tripla (M, πnh, HM).

2.4 Redu¸

c˜

ao por simetrias

Seja G um grupo de Lie e φ : G × Q → Q uma a¸c˜ao livre e pr´opria de G em Q. O

grupo de Lie G define uma simetria no sistema não holônomo se o levantamento da a¸cão φ à T Q deixa a distribui¸cão de v´ınculos D ⊂ T Q e o lagrangeano L invariantes.

Denotamos por ψ : G × T∗Q → T∗Q o levantamento cotangente da a¸cão à T∗Q. Se G é uma simetria para o sistema não holônomo, então ψ deixa invariante a subvariedade

(25)

por ψ : G × M → M. O levantamento de ψ a T M preserva a distribui¸c˜ao C e a se¸c˜ao ΩC.

Como consequência, se G é um grupo de simetria para um sistema não holônomo, a a¸cão ψ preserva o colchete não holônomo {·, ·}nh. Isto é, para toda f, h ∈ C∞(M),

temos:

{f ◦ ψg, h ◦ ψg}nh = {f, h}nh◦ ψg.

Dito de outra forma, o colchete não holônomo entre duas fun¸cões G-invariantes volta a ser uma fun¸cão G-invariante.

Como a a¸cão é livre e própria, o espa¸co reduzido M/G é uma variedade suave e o mapa quociente ρ : M → M/G é uma fibrado G-principal. O espa¸co reduzido carrega

uma estrutura de fibrado vetorial M/G sobre o espa¸co Q/G.

M Q

M/G Q/G

O colchete nao holˆonomo G-invariante {·, ·}nh induz um colchete almost Poisson

{·, ·}red sobre M/G dado, para f, g ∈ C∞(M/G) e m ∈ M, por

{f, g}red◦ ρ(m) = {f ◦ ρ, g ◦ ρ}nh(m). (2.12)

O colchete {·, ·}red é chamado colchete não holônomo reduzido. O bivetor associado

a {·, ·}red ´e denotado por πred.

A aplica¸cão diferenciável T ρ : T M → T (M/G) nos dá uma maneira de calcular o bivetor reduzido, que é usando a seguinte rela¸cão:

π_red] (α) = T ρ(π_nh] (ρ∗α)) α ∈ T∗(M/G). (2.13)

Como HM é uma fun¸cão G-invariante, a dinâmica na variedade reduzida M/G está

descrita por um campo Xred em M/G que est´a ρ-relacionado com Xnh. O colchete n˜ao

holˆonomo reduzido {·, ·}red descreve a dinˆamica do espa¸co reduzido no sentido que

(26)

onde Hred é a fun¸cão hamiltoniana sobre M/G, definida pela condi¸cão

HM = Hred◦ ρ. (2.14)

A hip´otese dimensional

Em cada m ∈ M, vamos denotar por Vm := Tm(Orb(m)) o tangente `a orbita em m

da G-a¸cão em M. Nós sempre vamos assumir que a seguinte condi¸cão, conhecida como hipótese dimensional, é verdadeira:

TmM = Cm+ Vm, ∀m ∈ M. (2.15)

onde C ´e a distribui¸c˜ao definida em (2.8).

Denotamos por S a distribui¸c˜ao em M dada, para cada m ∈ M, por

Sm := Cm∩ Vm.

como a a¸cão é livre, S tem posto constante. Se S = {0}, o sistema é chamado Chaplygin

e a hip´otese dimensional ´e reescrita como

T M = C ⊕ V.

Se o sistema é Chaplygin, {·, ·}reddefinido em (2.12) é não degenerado. Neste trabalho

assumimos que o grupo de Lie de simetria age com uma a¸c˜ao livre e pr´opria sobre Q. Os

exemplos trabalhados (cap´ıtulos 3 e 5)verificam a hip´otese dimensional.

Observa¸cão 2. A redu¸cão de um sistema não holônomo por um grupo de simetrias no formalismo lagrangeano é estudado por J. Koiller em [18].

2.5 Hamiltoniza¸

c˜

ao

Consideremos um sistema n˜ao holˆonomo dado por (M, πnh, HM) com uma simetria

dada por uma a¸cão livre e própria de um grupo de Lie G. Na se¸cão 2.3 vimos que o colchete não holônomo {·, ·}nh em M não é Poisson, então a princ´ıpio o colchete não

(27)

eq. de movimento n˜ao hamiltoniana ˙c(t) = Xnh(c(t))

redu¸c˜ao por simetrias

// estrutura almost Poisson :

{·, ·}_nh tal que Xnh= {·, HM}nh redu¸c˜ao por simetrias eq. de movimento reduzidas

colchete almost Poisson {·, ·}_red tal que Xred= {·, Hred}red

Mas as vezes acontece que no processo de redu¸c˜ao, o colchete reduzido ´e Poisson

mesmo sendo induzido por um colchete que n˜ao ´e Poisson. Se o colchete reduzido {·, ·}red

de fato satisfaz a identidade de Jacobi, diremos que o problema est´a hamiltonizado.

estrutura almost Poisson: {·, ·}nh tal que Xnh= {·, HM}nh

redu¸c˜ao

(mudan¸ca de propriedades!)

colchete de Poisson

{·, ·}red tal que Xred= {·, Hred}red

As vezes, {·, ·}red n˜ao ´e Poisson mas pode ser hamiltonizado. Nestes casos existem

técnicas para mudar o colchete {·, ·}redsem mudar a dinâmica e transformá-lo em Poisson.

Defini¸cão 2.1. Um sistema é hamiltonizável se existe um colchete de Poisson {·, ·} em M/G descrevendo a dinâmica: {·, Hred} = Xred.

Vejamos duas técnicas para hamiltonizar um sistema não holônomo.

Fator conforme

Uma vez que já reduzimos o sistema não holônomo e obtemos o sistema reduzido (M/G, πred, Hred), procuramos uma fun¸cão estritamente positiva µ : Q/G → R tal que

o novo colchete de fun¸c˜oes

{f, g}µ_red:= µ{f, g}red

satisfaz a identidade de Jacobi. Neste caso, µ ´e dito fator conforme e as equa¸c˜oes de movimento no espa¸co reduzido podem ser escritas na forma hamiltoniana depois de

(28)

Se existe uma fun¸cão b´_{asica µ : Q/G → R estritamente positiva e um colchete} {f, g}µ_red que satisfaz a identidade de Jacobi, diremos que o sistema não holônomo é hamiltonizável.

Se o colchete {f, g}red admite um fator conforme ent˜ao a distribui¸c˜ao caracter´ıstica

de {f, g}red´e integr´avel.

Esta maneira de fazer a hamiltoniza¸cão de um sistema não holônomo é mais eficaz

no caso em que o espa¸co reduzido tenha dimens˜ao baixa.

Gauge transformations por uma 2-forma

A id´eia principal de usar ”gauge transformation”por uma 2-forma em nossa

con-figura¸cão é que abre a possibilidade de modificar a estrutura geométrica em M que descreve a dinâmica (veja [23]) . Vamos definir uma ”deforma¸cão”por uma 2-forma

B do bivetor πnh, para produzir um novo bivetor πB descrevendo a dinˆamica (isto ´e,

π_B](dHM) = −Xnh) mas com propriedades diferentes do bivetor n˜ao holˆonomo. Seguindo

as id´eias de [1], definimos:

Defini¸cão 2.2. A 2-forma B em M define uma dynamical gauge transformation de um sistema não holônomo (M, πnh, HM) se

(i) (ΩM+ B)|C ´e nao degenerada;

(ii) iXnhB = 0

Se B satisfaz a condi¸cão (i) da defini¸cão acima, então existe um novo bivetor πB em

M definida pela rela¸c˜ao:

π_B](α) = −X ⇐⇒ iX(ΩM+ B)|C = α|C (2.16)

para α uma 1-forma em M. Neste caso, n´os diremos que πB ´e o bivetor induzido pela

gauge transformation por B de πnhe que πB e πnh s˜ao gauge relatados.

Se B é semi-básica com respeito ao fibrado M → Q, então a condi¸cão (i) é satisfeita

automaticamente (ver [1] e o exemplo 3 da se¸c˜ao 1.2).

A condi¸cão (ii) da defini¸cão (2.2) garante que o biveitor πB descreve a dinâmica, isto

´

e, o campo vetorial não holônomo Xnh é também dado por

Xnh = −π ]

(29)

e neste caso, πB e πnh s˜ao dinamicamente gauge relatados.

Estamos interessados em reduzir o bivetor πB na presen¸ca de simetrias. Se a 2-forma

B é G-invariante, então πB é G-invariante e portanto existe um colchete almost Poisson

{·, ·}B

red no espa¸co M/G definido para f, g ∈ C

∞_{(M/G), por}

{f, g}B_red◦ ρ = {f ◦ ρ, g ◦ ρ}B. (2.17)

Da condi¸cão (ii) segue que a distribui¸cão caracter´ıstica de πB é C, logo {·, ·}B não

´

e Poisson. A princ´ıpio, {·, ·}B_red pode n˜ao ser Poisson, vai depender da 2-forma B que estamos escolhendo. Portanto, se encontrarmos uma 2-forma B tal que {·, ·}B

red´e Poisson

(ou conformemente Poisson), o sistema ´e hamiltoniz´avel.

estrutura almost Poisson: {·, ·}_nh tal que Xnh= {·, HM}nh redu¸c˜ao por simetrias dynamical gauge transformation

// estrutura almost Poisson:

{·, ·}B tal que Xnh= {·, HM}B

redu¸c˜ao por simetrias

colchete almost Poisson {·, ·}_red tal que Xred= {·, Hred}red

colchete de Poisson (?) {·, ·}B

(30)

Cap´ıtulo 3

Exemplos

3.1 A part´ıcula n˜

ao holˆ

onoma

Neste exemplo vamos considerar o movimento de uma part´ıcula livre no espa¸co com

massa unitária sujeita a uma restri¸cão nao holônoma. Esta se¸cão está baseada nos artigos [2] e [3].

3.1.1 Equa¸

c˜

oes de movimento (vers˜

ao geom´

etrica)

Considere uma part´ıcula em Q = R3 _{com coordenadas (x, y, z), com massa unit´}_aria

sujeita `a restri¸c˜ao

˙z = y ˙x (3.1)

com lagrangeano L : T Q → R dado por L = 12( ˙x

2 _{+ ˙}_y2_{+ ˙z}2_{). Como L est´}_{a dado pela}

energia cin´etica, escrevemos L = 1₂( ˙x ˙y ˙z)K( ˙x ˙y ˙z)T_{, onde neste caso K ´}_{e a matriz}

identidade 3 × 3.

A 1-forma de v´ınculos ´e = dz − ydx e a distribui¸c˜ao de v´ınculos D definida em (2.2),

´ e dada por D = span{X1 := ∂ ∂x + y ∂ ∂z , ∂ ∂y}

A tripla (R3_{, L, D) ´}_{e um sistema nao holˆ}_{onomo para o caso da part´ıcula no espa¸co}

sob a restri¸c˜ao (3.1).

Uma base de T Q ´e dada por {X1,_∂y∂,_∂z∂ } e em T∗Q a base dual ´e dada por {dx, dy, }.

(31)

Observe que estas coordenadas não são canônicas. Chamaremos de coordenadas adap-tadas aos v´ınculos.

Como visto na se¸cão 2.2 do cap´ıtulo anterior, há uma formula¸cão equivalente deste sistema nao holônomo em T∗Q, que vamos determinar agora. Para calcular a

subvarie-dade de v´ınculo M, definida em (2.6), come¸camos vendo que K[(X1) = (1 + y2)dx + y e

K[₍∂

∂y) = dy. Portanto, M := K

[_{(D) = {v}

1(1 + y2)dx + v1y + v2dy, v1, v2 ∈ R}, e assim

a subvariedade M nas coordenadas adaptadas ´e dada por :

M = {(x, y, z, px, py, pz) | pz =

y

1 + y2px}. (3.2)

A distribui¸c˜ao C definida por (2.8) em M tem posto 4 e ´e dada por

C = span{X1, ∂ ∂y, ∂ ∂px , ∂ ∂py }. (3.3)

Segundo o exemplo 2, a 1-forma de Liouville θQ ´e dada por

θM = pxdx + pydy + pz.

e portanto θM = pxdx + pydy + _1+yy 2px. Da´ı , a 2-forma ΩM em M ´e dada por:

ΩM = −dθM = dx ∧ dpx+ dy ∧ dpy − d(

y

1 + y2px) ∧ −

y

1 + y2pxd.

Restringindo ΩM `a distribui¸c˜ao C, escrevemos:

ΩC = [dx ∧ dpx+ dy ∧ dpy−

ypx

1 + y2dx ∧ dy]|C.

O hamiltoniano HM : M → R ´e dado por

HM = 1 2( p2 x 1 + y2 + p 2 y). (3.4)

Portanto, associada a fun¸c˜ao (3.4), temos um ´unico campo hamiltoniano Xnh ∈ Γ(C),

conforme definimos em (2.9), satisfazendo

iXnhΩC = dHM|C = [ p2 xy (1 + y2₎2dy + ( px 1 + y2)dpx + pydpy]|C Logo, Xnh = ˙xX1+ ˙y ∂ ∂y + ˙px ∂ ∂px + ˙py ∂ ∂py , (3.5)

(32)

onde: ˙x = px 1 + y2 ˙ y = py ˙ px = ypxpy 1 + y2 ˙ py = 0

As equa¸cões acima são ditas equa¸cões de Hamilton não holônomas.

Como vimos no cap´ıtulo 1, a dinâmica em M está descrita pelas curvas integrais do campo Xnh, ou seja, curvas em M que satisfazem as equa¸cões de Hamilton.

3.1.2 O bivetor nao holˆ

onomo

Como ΩC é não-degenerada (veja cap´ıtulo 2), então existe um bivetor πnh em M

determinada pela rela¸c˜ao dada em (2.11).

Ent˜ao, para X = aX1+ b_∂y∂ + c_∂p∂_x + d_∂p∂_y ∈ Γ(C), temos

iXΩM|C = ((−c + b_1+y2ypx )dx + (−d − a_1+yypx2)dy + adpx+ bdpy)|C.

Logo, π_nh] (dx) = − ∂ ∂px π]_nh(dy) = − ∂ ∂py π_nh] (dpx) = −X1+ ypx 1 + y2 ∂ ∂py π]_nh(dpy) = − ∂ ∂y − ypx 1 + y2 ∂ ∂px (3.6)

Da´ı, o bivetor ´e dado por:

πnh = X1∧ ∂ ∂px + ∂ ∂y ∧ ∂ ∂py + ypx 1 + y2 ∂ ∂px ∧ ∂ ∂py (3.7)

A distribui¸cão caracter´ıstica de πnh é a distribui¸cão C dada em (3.3). Como a

(33)

A subvariedade de v´ınculo M dada em (3.2), munida com o bivetor πnh dado em

(3.7) e o hamiltoniano (3.4) descrevem o sistema nao holˆonomo (M, πnh, HM), associado

a part´ıcula nao holˆonoma.

3.1.3 As simetrias do sistema

O grupo G = R2 age em Q por transla¸c˜ao, isto ´e, G × Q −→ Q

(a, b).(x, y, z) −→ (x + a, y, z + b)

A a¸cão é livre e própria, e a distribui¸cão vertical é dada por V = {_∂x∂,_∂z∂ }. O grupo G ´

e um grupo de simetrias para nosso sistema não holônomo, pois o levantamento da a¸cão

ao espa¸co tangente ψ : G × T Q → T Q deixa invariante a distribui¸c˜ao D e o lagrangeano L.

O levantamento cotangente da a¸cão ψ : G × T∗Q → T∗Q deixa a variedade M e o hamiltoniano HM invariantes. Portanto, a a¸cão de G em M é dada por

ψ :G × M → M

(x, y, z, px, py) 7→ (x + a, y, z + b, px, py).

Como consequˆencia, o bivetor πnh ´e ψ- invariante.

3.1.4 O bivetor reduzido

Quocientando a variedade M pelo grupo de simetria G, obtemos a variedade M/G de dimens˜ao 3 e coordenadas (y, px, py). O mapa quociente ρ : M → M/G se define por

ρ(x, y, z, px, py) = (y, px, py).

Os campos vetoriais em X(M/G) tem base {∂ ∂y, ∂ ∂px, ∂ ∂py} e as 1-formas em Ω 1_(M/G)

tem base {dy, dpx, dpy}.

(34)

π_red] (dy) = ∂ ∂y π_red] (dpx) = pxy 1 + y2 ∂ ∂py π_red] (dpy) = − ∂ ∂y − pxy 1 + y2 ∂ ∂px (3.8)

Portanto, o bivetor πred se escreve como:

πred= ∂ ∂y ∧ ∂ ∂py + ypx 1 + y2 ∂ ∂px ∧ ∂ ∂py . (3.9)

O hamiltoniano Hred : M/G → R definido em (2.14) ´e dado por

Hred= 1 2( p2 x 1 + y2 + p 2 y) (3.10)

Da´ı, o campo hamiltoniano Xred que descreve a dinˆamica no espa¸co reduzido ´e dado por

Xred= py ∂ ∂y + ypxpy 1 + y2 ∂ ∂px .

Como πred(dy, dpx) = 0, πred(dy, dpy) = 1 e πred(dpx, dpy) = _1+yypx2, e da rela¸c˜ao

entre o bivetor πred e o colchete {·, ·}red, temos que

{y, {px, py}} + {py, {y, px}} + {px, {py, y}} = 0

isto é, πred satisfaz a identidade de Jacobi. Logo, πred é Poisson e portanto o sistema é

hamiltonizável após uma redu¸cão.

3.2 A esfera Chaplygin

Vamos estudar o problema da esfera Chaplygin, que consiste no movimento de uma esfera cujo centro de massa coincide com seu centro geom´etrico, rolando sem deslizar

sobre o plano. Para este exemplo, nos baseamos em [1, 15]. O espa¸co de configura¸c˜ao da esfera Chaplygin ´_{e Q = SO(3) × R}2_.

(35)

Seja {e1, e2, e3} uma base de TeSO(3) alinhada com os eixos principais de in´ercia. O

tensor de in´ercia est´a representado por uma matriz diagonal 3 × 3

I =   I1 0 0 0 _I2 0 0 0 _I3  .

O moving frame {X₁L(g), X₂L(g), X₃L(g)} ´e uma base de TgSO(3) que ´e obtida pela

a¸cão a esquerda do grupo SO(3) sobre a base {e1, e2, e3}. Isto é, a a¸cão

ϕg : SO(3) → SO(3)

h → gh

induz a aplica¸c˜ao linear T ϕ(g) : TeSO(3) → TgSO(3) dada por ei → T ϕ(g)ei. Ent˜ao

T ϕ(g)ei = XiL(g), i = 1, 2, 3.

Dito isto, consideramos a base de T Q dada por {X₁L, X₂L, X₃L,_∂x∂ ,_∂y∂}.

Associamos a base de T Q as coordenadas (Ω1, Ω2, Ω3, ˙x, ˙y), onde Ω = (Ω1, Ω2, Ω3) s˜ao

as velocidades angulares associadas ao frame invariante a esquerda que verifica ˙g = g ˆΩ, onde ˆ Ω =   0 −Ω3 Ω2 Ω3 0 −Ω1 −Ω2 Ω1 0  .

Nestas coordenadas, um vetor vq ∈ TqQ se escreve como

vq = Ω1X1L(g) + Ω2X2L(g) + Ω3X3L(g) + ˙x

∂ ∂x + ˙y

∂ ∂y.

Identificamos TeSO(3) com so(3), os elementos ˆv ∈ so(3) se escrevem da seguinte

ma-neira: ˆ v =   0 −v3 v2 v3 0 −v1 −v2 v1 0  .

A base dual de T_q∗Q ´e dada por {λ1, λ2, λ3, dx, dy}, onde λ sao as formas de

Maurer-Cartan duais a {XL

1, X2L, X3L}. As coordenadas associadas a esta base (M, ˜px, ˜py), onde

M = (M1, M2, M3) ´e o momento angular da esfera.

O lagrangeano L : T Q → R ´e dado por L(Ω1, Ω2, Ω3, ˙x, ˙y) = 1 2 < IΩ, Ω > + 1 2m( ˙x 2 + ˙y2). (3.11)

(36)

Observamos que o lagrangeano é do tipo mecânico, só dado pela energia cinética. Um elemento g ∈ SO(3) será escrito da forma

g =   α1 α2 α3 β1 β2 β3 γ1 γ2 γ3  

onde α = (α1, α2, α3), β = (β1, β2, β3) e γ = (γ1, γ2, γ3) sao vetores ortonormais.

Os v´ınculos que relacionam a velocidade angular com a velocidade de transla¸cão da esfera tal que ela não deslize ao rodar sobre o plano são:

˙x = r(< Ω, β >) = r(β1Ω1+ β2Ω2+ β3Ω3).

˙

y = −r(< Ω, α >) = −r(α1Ω1+ α2Ω2+ α3Ω3).

As 1-formas de v´ınculo deste problema s˜ao:

x = dx − r < β, λ >

y = dy + r < α, λ >

A distribui¸c˜ao de v´ınculos D ⊂ T Q definida em (2.2) ´e dada por:

D = span{X1 := X1L+r(β1 ∂ ∂x−α1 ∂ ∂y), X2 := X L 2+r(β2 ∂ ∂x−α2 ∂ ∂y), X3 := X L 3+r(β3 ∂ ∂x−α3 ∂ ∂y)} (3.12)

Consideramos a base adaptada associada aos v´ınculos de T Q dada por {X1, X2, X3,_∂x∂,_∂y∂ }

com coordenadas (Ω1, Ω2, Ω3, vx, vy}, e a base dual de T∗Q dada por {λ1, λ2, λ3, x, y}

com coordenadas (K, p), onde K = (K1, K2, K3) e p = (px, py).

A tripla (Q, L, D) ´e um sistema nao holˆonomo para a esfera Chaplygin, onde Q = SO(3) × R2_{, L est´}_{a dado em (3.11) e D em (3.12).}

(37)

3.2.1 Equa¸

c˜

oes de movimento (vers˜

ao geom´

etrica)

Buscamos agora descrever este sistema na subvariedade de v´ınculo M ⊂ T∗Q definida em (2.6), para depois escrever as equa¸c˜oes de movimento (2.9). Notemos que:

K[_(X 1) =(I1+ r2m(β12+ α 2 1))λ1+ r2m(β1β2 + α1α2)λ2+ r2m(β1β3+ α1α3)λ3+ rmβ1x− rmα1y K[_(X 2) =r2m(β1β2+ α1α2)λ1+ (I2 + r2m(β22+ α 2 2))λ2+ r2m(β2β3+ α2α3)λ3+ rmβ2x− rmα2y K[_(X 3) =r2m(β1β3+ α1α3)λ1+ r2m(β2β3+ α2α3)λ2+ (I3+ r2m(β32+ α23)λ3+ rmβ3x− rmα3y Portanto, M := K[(D) = {K1λ1+ K2λ2+ K3λ3+ pxx+ pyy}, onde K1 = I1Ω1+ r2m[(β12+ α21)Ω1 + (β1β2+ α1α2)Ω2+ (β1β3+ α1α3)Ω3] = I1Ω1+ r2m[(1 − γ12)Ω1− γ1γ2Ω2 − γ1γ3Ω3] K2 = I2Ω2+ r2m[(β1β2+ α1α2)Ω1+ (β22+ α22)Ω2+ (β2β3+ α2α3)Ω3] = I2Ω2+ r2m[−γ1γ2Ω1+ (1 − γ22)Ω2− γ2γ3)Ω3] K3 = I3Ω3+ r2m[(β1β3+ α1α3)Ω1+ (β2β3+ α2α3)Ω2+ (β32+ α 2 3)Ω3] = I3Ω3+ r2m[−γ1γ3Ω1− γ2γ3Ω2+ (1 − γ32)Ω3] px = rm(β1Ω1+ β2Ω2+ β3Ω3) = rm < Ω, β > py = −rm(α1Ω1+ α2Ω2+ α3Ω3) = −rm < Ω, α > (3.13) Ent˜ao M = {(g, x, y, K, p) | px = rm < Ω, β >, py = −rm < Ω, α >}. (3.14)

onde K = (K1, K2, K3) ´e dada em (3.13) e Ω = (Ω1, Ω2, Ω3) ´e dado em forma matricial

(38)

1 − mr2(< γ, A−1γ >). Ent˜ao: Ω = A−1K + mr2 < K, A −1_{γ >} Y (γ) A−1γ.

Assim como Ω, podemos escrever K de forma matricial como:

K = IΩ + mr2(Ω − (< Ω, γ >)γ) Portanto, M ´e representado pelas coordenadas (g, x, y, K).

A distribui¸c˜ao C definida em (2.8) ´e dada por

C = span{X1, X2, X3, ∂ ∂K1 , ∂ ∂K2 , ∂ ∂K3 }. (3.15)

A 1-forma de Liouville em M se escreve como θM = K1λ1+ K2λ2+ K3λ3+ i∗pxx+

i∗pyy.

Da´ı, a 2-forma ΩM em M ´e dada por:

ΩM = λidKi+ K1λ2∧ λ3+ K3λ1∧ λ2+ K2λ3∧ λ1− d(i∗px) ∧ x− d(i∗py) ∧ y+

+ mr2(Ω1λ2∧ λ3+ Ω3λ1∧ λ2+ Ω2λ3∧ λ1− < Ω, γ > (γ1λ2∧ λ3+ γ3λ1∧ λ2+ γ2λ3∧ λ1))

= λidKi+ K1λ2∧ λ3+ K3λ1∧ λ2+ K2λ3∧ λ1− d(i∗px) ∧ x− d(i∗py) ∧ y+

− mr2_{(< Ω− < Ω, γ > γ, dλ >)}

A restri¸cão de ΩM à distribui¸cão C é escrita como:

ΩC =λidKi+ K1λ2∧ λ3+ K3λ1∧ λ2+ K2λ3∧ λ1 − mr2(< Ω− < Ω, γ > γ, dλ >) |C

(3.16)

O hamiltoniano HM : M → R nestas coordenadas ´e dado por

HM =

1

2 < K, Ω > . (3.17)

Associado ao hamiltoniano (3.17) temos um ´unico campo (almost) hamiltoniano satisfa-zendo

iXnhΩC = (dH)|C, (3.18)

conforme definido em (2.9), que descreve a dinˆamica na variedade M, dado por

Xnh =< Ω, Xi > +(K × Ω)

∂

(39)

3.2.2 O bivetor nao holˆ

onomo

Como ΩC ´e nao-degenerada (veja cap´ıtulo 2), ent˜ao existe um bivetor πnh em M

determinado pela rela¸c˜ao dada em (2.11).

Usando que π](dKi) = −XKi ⇔ iX_KiΩC = dKi|C e π](λi) = −Yi ⇔ iYiΩC = λi|C obtemos: π_nh] (dKi) = − Xi− [K + mr2(Ω− < Ω, γ > γ)] × ∂ ∂K i π_nh] (λi) = ∂ ∂Ki (3.20) onde _∂K∂ = (_∂K∂ 1, ∂ ∂K2, ∂

∂K3), × denota o produto vetorial e i = 1, 2, 3.

Da´ı: πnh =X1∧ ∂ ∂K1 + X2∧ ∂ ∂K2 + X3∧ ∂ ∂K3 + (mr2(< Ω, γ > γ3− Ω3)− K3) ∂ ∂K1 ∧ ∂ ∂K2 + (mr2(< Ω, γ > γ1− Ω1) − K1) ∂ ∂K2 ∧ ∂ ∂K3 + (mr2(< Ω, γ > γ2− Ω2) − K2) ∂ ∂K3 ∧ ∂ ∂K1 ). (3.21)

A distribui¸cão caracter´ıstica de πnh é a distribui¸cão C dada em (3.15). Como a

distribui¸cão C não é integrável, vemos que πnh não é uma estrutura de Poisson, como foi

mencionado na se¸c˜ao 2.2. A subvariedade de v´ınculo M dada em (3.14), munida com o

bivetor πnh dado em (3.21) e o hamiltoniano (3.17) descrevem o sistema n˜ao holˆonomo

(M, πnh, HM), associado `a esfera Chaplygin.

O campo não holônomo em M é definido por Xnh = −π]nh(dHM), onde Xnhé definido

(40)

3.2.3 As simetrias do sistema

Como a evolu¸cão no tempo deste sistema é independente da posi¸cão da origem e a orienta¸cão do eixo no plano onde o rolamento acontece, é natural pensar que o grupo de

Lie G = SE(2) é um grupo de simetria para o sistema não holônomo da esfera Chaplygin. Nós representamos SE(2) como um subgrupo de GL4(R) consistindo nas matrizes da

forma:     a h b 0 0 0 1    

, onde h ∈ SO(3) ´e da forma h =   0 ˜ h 0 0 0 1  .

com ˜_{h ∈ SO(2) e a, b ∈ R. Denotaremos um elemento de SE(2) por (h; a, b).} A a¸c˜ao de G = SE(2) em Q ´e definida por

G × Q −→ Q

(h; a, b).(g; x, y) −→ (hg; (x, y˜hT + (a, b)).

A a¸cão livre é própria (veja [15]) e deixa o lagrangeano L e a subvariedade de v´ınculos D invariantes, portanto SE(2) é um grupo de simetria o problema da esfera Chaplygin. Os geradores infinitesimais associados à base {(1, (0, 0)), (0, (1, 0), (0, (0, 1))} da álgebra

de Lie se(2), est˜ao dados por: (0; (1, 0))Q= _∂x∂ , (0; (0, 1))Q= _∂y∂ , (1; (0, 0))Q= −γiXiL− y ∂ ∂x + x ∂ ∂y

O levantamento da a¸c˜ao a T∗Q deixam a variedade M e o hamiltoniano HM

invari-antes. A a¸c˜ao em M est´a dada por

ψ(h;a,b) :M −→ M

(g, x, y, K) 7→ (gh, ˜h(x, y) + (a, b), K)

Como a a¸cão é livre e própria, o espa¸co reduzido M/G é uma variedade, e denotamos

por ρ : M → M/G o mapa quociente, que em coordenadas se escreve ρ((g, x, y, K1, K2, K3, )) =

(41)

3.2.4 O bivetor reduzido

Como vimos na se¸cão anterior, o espa¸co reduzido M/G é uma variedade M/G de dimensão igual a 5 e com coordenadas (K, γ) = (K1, K2, K3, γ1, γ2, γ3).

Os campos vetoriais em X(M/G) tem base {_∂K∂ ,_∂γ∂ } e as 1-formas em Ω1_{(M/G) tem}

base {dK, dγ}.

Vamos calcular o bivetor πredno espa¸co reduzido. Usando a equa¸c˜ao (2.13), obtemos:

πred = − γ3 ∂ ∂γ1 ∧ ∂ ∂K2 + γ3 ∂ ∂γ2 ∧ ∂ ∂K1 − γ2 ∂ ∂γ3 ∧ ∂ ∂K1 + γ2 ∂ ∂γ1 ∧ ∂ ∂K3 − γ1 ∂ ∂γ2 ∧ ∂ ∂K3 + γ1 ∂ ∂γ3 ∧ ∂ ∂K2 + (mr2(< Ω, γ > γ3− Ω3)− K3) ∂ ∂K1 ∧ ∂ ∂K2 + (mr2(< Ω, γ > γ1− Ω1) − K1) ∂ ∂K2 ∧ ∂ ∂K3 + (mr2(< Ω, γ > γ2− Ω2) − K2) ∂ ∂K3 ∧ ∂ ∂K1 ) (3.22)

Diferente do exemplo anterior, a bivetor reduzido não é Poisson, pois a distribui¸cão caracter´ıstica do bivetor reduzido πred não é integrável (ver [15]).

(42)

Cap´ıtulo 4

Estruturas de Dirac e sistemas n˜

ao

holˆ

onomos

4.1 Estruturas de Dirac

Seja M uma variedade suave e TM := T M ⊕ T∗M o fibrado vetorial munido com as proje¸c˜oes naturais prT : TM → T M e prT∗ : TM → T∗M . Em TM definimos de

maneira natural a forma bilinear, sim´etrica e n˜ao degenerada < ·, · >, dada para cada

x ∈ M por

< (X, α), (Y, β) >:= β(X) + α(Y ), X, Y ∈ TxM. α, β ∈ Tx∗M.

Defini¸c˜ao 4.1. Uma estrutura almost Dirac em M ´_{e um subfibrado L ⊂ TM tal que} L = L⊥, onde L⊥ ´e o complemento ortogonal com respeito a < ·, · > .

Observa¸cão 3. Em analogia à geometria simplética, a estrutura almost Dirac L é cha-mada de subfibrado lagrangeano de TM.

Al´em da estrutura < ·, · >, definimos um colchete bilinear nas se¸c˜_{oes de TM por} [[(X, α), (Y, β)]] := ([X, Y ], LXβ − LYα +

1

2d(α(Y ) − β(X))). (4.1)

Este colchete ´e chamado de colchete de Courant (veja [12]). Se restringirmos o colchete

de Courant `as se¸c˜oes de L, temos:

(43)

Defini¸c˜ao 4.2. Uma estrutura de Dirac em M ´_{e uma estrutura almost Dirac L ⊂ TM} satisfazendo [[Γ(L), Γ(L)]] ⊂ Γ(L).

A condi¸cão de Γ(L) ser involutivo é dita condi¸cão de integrabilidade, e Courant em [12] prova que é equivalente a:

< [[a1, a2]], a3 >= 0, ∀aj ∈ Γ(L). (4.2)

Alguns exemplos importantes são as estruturas de Dirac dadas por são gráficos.

Ve-jamos alguns destes exemplos (veja [7]).

Exemplo 7. Todo bivetor π ∈ Γ(Λ2_{T M ) define uma estrutura almost Dirac em TM}

dado pela gr´afico de π]_{, que denotaremos por}

Lπ = {(π](α), α)|α ∈ T∗M }.

De fato, da anti-simetria de π, vem que Lπ = L⊥π. A condi¸c˜ao de integrabilidade ´e

verificada se e somente se π ´e Poisson.

Observamos que a distribui¸c˜ao caracter´ıstica do bivetor π ´e exatamente prT(Lπ). Mais

ainda, estruturas almost Poisson podem ser identificadas com estruturas almost Dirac L ⊂ TM com a propriedade adicional

L ∩ (T M ⊕ {0}) = 0. (4.3)

Exemplo 8. Toda 2-forma ω ∈ Ω2_{(M ) define ums estrutura almost Dirac dada pelo}

gr´afico de ω[, que denotaremos por

Lω = {(X, ω[(X))|X ∈ T M }.

De fato, da anti-simetria da 2-forma ω, temos que Lω = (Lω)⊥. A condi¸c˜ao de

integra-bilidade ´e verificada se e somente se ω ´e fechada.

Mais ainda, estruturas pré simpléticas são identificadas com estruturas de Dirac L ⊂

TM com a propriedade adicional

L ∩ ({0} ⊕ T∗M ) = 0. (4.4)

Um exemplo de estrutura de Dirac que não é um gráfico de uma 2-forma ou um

(44)

Exemplo 9. Seja F ⊂ T M uma distribui¸c˜ao regular e seja L = F ⊕F◦, onde F◦ ⊂ T∗_M

o anulador de F . Claramente temos L = L⊥, portanto L ´e uma estrutura almost Dirac em M .

Vejamos agora quando L satisfaz a condi¸c˜ao de integrabilidade. Sejam a1, a2 e a3 ∈ L,

a1 = (X, α), a2 = (Y, β), a3 = (Z, γ), X, Y, Z ∈ F, α, β, γ ∈ F◦. Usando a equa¸c˜ao 4.2, < [[a1, a2]], a3 > =< ([X, Y ], LXβ − iYdα), (Z, γ) > = γ([X, Y ]) + LXβ(Z) − iYdα)(Z) = γ([X, Y ]) + (iXdβ − iYdα)(Z) = γ([X, Y ]) + dβ(X, Z) − dα(Y, Z) = γ([X, Y ]) + β([Z, X]) + α([Y, Z])

Logo, < [[a1, a2]], a3 >= 0 se e só se F é involutivo. Portanto, uma distribui¸cão

regular integr´avel induz uma estrutura de Dirac.

Podemos extender `as estruturas de Dirac o conceito de formalismo hamiltoniano da

seguinte maneira: seja L uma estrutura de Dirac em M , dizemos que uma fun¸c˜ao f ∈ C∞(M ) ´e admiss´ıvel se existe um campo vetorial X tal que

(X, df ) ∈ L.

Chamamos X de campo hamiltoniano associado à f . Em geral o campo X não é

unica-mente determinado, pois podemos modificá-lo adicionando campos que estão na distri-bui¸cão K = L ∩ (T M ⊕ {0}). Quando o campo X descreve a dinâmica em M e existe

uma fun¸cão f admiss´ıvel tal que (X, df ) ∈ L, diremos que L é compat´ıvel com a dinâmica em M .

4.2 Push Forward e Pull Back de estruturas de Dirac

No cap´ıtulo 1 vimos que as estruturas simpléticas são equivalentemente descritas por 2-formas fechadas e não degeneradas e por bivetores de Poisson. Entretanto, dado

(45)

munidas com o bivetor correspondente, temos que as duas maneiras poss´ıveis de preservar as estruturas simpléticas através de ϕ são: ou fazendo o pull back da 2-forma,

ϕ∗ωN = ωM,

ou fazendo o push forward do bivetor,

ϕ∗πM = πN.

Da não degenerecência de ωM, o mapa ϕ é uma imersão e da não degenerecência de πN o

mapa ϕ é uma submersão. O pull back e o push forward não são condi¸cões equivalentes, a não ser quando ϕ é um difeomorfismo.

Diferente das estruturas simpléticas, as estruturas de Dirac podem ser pushed forward e pulled back, como mostra Weinstein em [24]. Isto é uma consequência dual à

ca-racteriza¸c˜ao de estruturas de Dirac em termos de 2-formas bilineares antissim´etricas e bivetores.

Seja M uma variedade e ϕ : M → N um mapa suave. Consideramos TM := T M ⊕ T∗_{M e TN := T N ⊕ T}∗N os fibrados vetorias sobre M e N com as proje¸c˜oes naturais prM : TM → M e prN : TN → N respectivamente. O pull back de TN por ϕ ´e um

fibrado vetorial sobre M cujo espa¸co total ´e

ϕ∗_{TN = {(m, (X, α)) ∈ M × TN | ϕ(m) = pr}N(X, α)}

e a proje¸c˜ao ´e definida por P rN : ϕ∗TN → M, onde P rN(m, (X, α)) = m.

Consideremos LM ⊂ TM e LN ⊂ TN as estruturas almost Dirac. Definimos a

backward image de LN por

Bϕ(LN) = {(X, ϕ∗(β)) | (dϕ(X), β) ∈ LN}, ⊂ TM (4.5)

e a forward image de LM por

Fϕ(LM) = {(dϕ(Y ), α) | (Y, ϕ∗(α)) ∈ LM} ⊂ ϕ∗TN onde dϕ : T M → ϕ∗T N .

(46)

Os espa¸cos Bϕ(LN) e Fϕ(LM) definem uma distribui¸c˜ao lagrangeana em TM e em

ϕ∗_{TN, respectivamente (veja [7]). A quest˜}ao da suavidade de Bϕ e Fϕ ser´a discutida

ainda nessa se¸c˜ao.

Dadas as estruturas almost Dirac LM em M e LN em N , o mapa suave ϕ : M → N

´

e chamado backward Dirac quando LM coincide com Bϕ(LN), isto ´e,

(LM)x = Bϕ(LN)x, ∀x ∈ M ; (4.6)

e chamado de forward Dirac quando ϕ∗LN coincide com Fϕ(LM), isto ´e,

(LN)ϕ(x) = Fϕ(LM)x ∀x ∈ M, (4.7)

onde ϕ∗LN ´e o pull back de LN a N dado por

ϕ∗LN = {(m, (X, α)) ∈ M × LN | ϕ(m) = prN(X, α)}

A equa¸cão (4.6) generaliza o pullback de 2-formas, e a equa¸cão (4.7) extende a no¸cão

de dois bivetores ϕ-relatados. Em outras palavras, se LN = graph(ω[), ent˜ao Bϕ(LN) =

graph(ϕ∗ω[_{) e se L}

M = graph(π]), e π ´e ϕ-invariante ent˜ao Fϕ(LM) = graph(π]red), onde

πred ´e o bivetor induzido por π em N .

A backward (respect. forward) image de uma estrutura de Dirac definida em (4.6)

(respect. (4.7)) dá origem a uma distribui¸c˜_{ao lagrangeana em TM (respect. ϕ}∗_{TN ).} Estas distribui¸cões lagrangeanas não são necessariamente suaves, como veremos nos

se-guintes exemplos (veja [7]):

Exemplo 10. Seja ϕ : R → R2 com o mapa inclus˜ao x 7→ (x, 0), e considere a estrutura almost Dirac Lπ = graph(π]) em R2, onde o bivetor π ´e dado por

π = x ∂ ∂x ∧

∂ ∂y

Nós consideramos a backward image de Lπ ao eixo x via ϕ. Quando x 6= 0, π é não

degenerado, e portanto temos uma 2-forma correspondente em R2− {0} cujo pullback é uma 2-forma em R − {0}; que deve ser identicamente nula (por questões dimensionais). Então o backward image de Lπ em R é TxR ⊂ TxR ⊕ Tx∗R para x 6= 0. Para x = 0, nós

temos que a backward image é T_x∗_{R ⊂ T}xR ⊕ Tx∗R. Então a backward image é uma familia

(47)

Exemplo 11. Considere a 2-forma

ω = xdx ∧ dy

em R2 e a estrutura almost Dirac Lω em TR2 dada pelo gr´afico da 2-forma ω. Seja

ϕ : R2 → R a proje¸cão (x, y) 7→ x. Como no exemplo anterior, quando x 6= 0 a forward image de Lω é Tx∗R ⊂ TxR ⊕ Tx∗R e quando x = 0 a forward image é TxR ⊂ TxR ⊕ Tx∗R.

Logo, a forward image n˜ao ´e um fibrado suave.

Estamos interessados quando a backward image e a forward image s˜ao suaves,

po-dendo ent˜ao definir uma estrutura almost Dirac.

Observa¸cão 4. Em geral, os mapas Bϕ e Fϕ não são inversos um do outro. De fato,

Bϕ ◦ Fϕ = IdTM se e somente se ϕ ´e injetiva, e Fϕ ◦ Bϕ = IdTN se e somente se ϕ ´e

sobrejetiva.

Backward images de estruturas almost Dirac

Seja ϕ um mapa suave ϕ : M → N, consideremos (dϕ)∗ : ϕ∗T∗N → T∗M o mapa

dual ao mapa tangente dϕ : T M → ϕ∗T N .

Proposi¸c˜ao 4.1. Seja ϕ : M → N um mapa suave, e seja LN uma estrutura almost

Dirac em N . Ent˜ao,

(i) Se ker((dϕ)∗) ∩ ϕ∗LN tem posto constante, ent˜ao o backward image Bϕ(LN) ⊂ TM

define um subfibrado lagrangeano suave; isto ´e, ´e uma estrutura almost Dirac em M .

(ii) Se Bϕ(LN) é um fibrado suave e LN é integrável, então Bϕ(LN) é integrável, isto

´e, ´e uma estrutura de Dirac.

A prova desta proposi¸c˜ao pode ser encontrada em [7].

A condi¸c˜ao de ker((dϕ)∗) ∩ ϕ∗LN ter posto constante ´e chamada clean intersection.

Pela equa¸c˜ao (4.4), vemos que a clean intersection se verifica sempre que LN ´e definida

por uma 2-forma em N .

Observa¸c˜ao 5. Neste trabalho, estamos interessados em calcular o backward de estrutu-ras almost Dirac dadas pelo gr´afico de um bivetor. Mais precisamente, se ϕ : M → M/G

(48)

´

e um fibrado principal e π é um bivetor em M/G então Bϕ(Lπ) é uma estrutura almost

Dirac pois verifica a clean intersection. Ent˜ao Bϕ(Lπ) ´e uma estrutura almost Dirac em

M, onde Lπ := graph(π]) ⊂ T(M/G).

Forward images de estruturas almost Dirac

Seja LM uma estrutura almost Dirac em M e ϕ : M → N um mapa suave. A forward

image (4.7) de LM por ϕ define uma distribui¸c˜ao lagrangeana em ϕ∗TN. Queremos saber

quando esta subvariedade lagrangeana ´e uma estrutura de Dirac.

Se ϕ : M → N ´e uma submers˜ao sobrejetiva, para que o pushforward de um bivetor π em M esteja bem definido precisamos que, para todo α, β ∈ T_y∗N.

πx(ϕ∗α, ϕ∗β) = πx0(ϕ∗α, ϕ∗β)

quando ϕ(x) = ϕ(x0) = y. Extendendo o conceito de invariˆancia para estruturas almost

Dirac, diremos que uma estrutura almost Dirac LM ´e ϕ-invariante se

Fϕ((LM)m) = Fϕ((LM)m0)

onde ϕ(m) = ϕ(m0), isto ´e, se ϕ(m) = n, Fϕ((LM)m0) n˜ao depende do ponto em m0 ∈

ϕ−1(n).

Para forward images temos um resultado análogo à Proposi¸cão 4.1:

Proposi¸c˜ao 4.2. Seja ϕ : M → N uma submers˜ao sobrejetiva e LM uma estrutura

almost Dirac em M .

(i) Se ker(dϕ) ∩ LM tem posto constante, ent˜ao a forward image de LM por ϕ ´e um

subfibrado lagrangeano de ϕ∗_TN.

(ii) Se a forward image de LM ´e um fibrado suave em ϕ∗TN e LM ´e ϕ-invariante,

então a forward image de LM é uma estrutura de Dirac em M , que é integrável

quando LM ´e integr´avel.

A prova desta proposi¸c˜ao pode ser encontrada em [7].

Observa¸cão 6. Dado o mapa quociente ϕ : M → M/G e uma estrutura almost Dirac Lπ = graph(π) ∈ TM , onde π é um bivetor G-invariante, então Fϕ(Lπ) é uma estrutura

almost Dirac em M/G e Fϕ(Lπ) = graph(πred), onde πred´e o bivetor reduzido em M/G