1
Momentos de Inércia:1. Determine o momento de inércia de um triângulo de
base b e altura h em relação: (a) ao eixo x da base; (b) ao eixo y.
2 2 2 0 6 2 h x x x corpo b h y m m h I y dm I y dy I b h h
2 26
y y corpom b
I
x dm
I
l
h
y
dA
l dy
b
h
2. Determine o momento polar de inércia de
um disco de raio r. Encontre também Ix e Iy.
2 2 2 2 0 0 r o o corpo
m
I
dm
I
d d
r
2 2 3 2 0 02
r o om
m r
I
d
d
I
r
24
x ym r
I
I
3. Determine o momento de inércia da figura
plana em relação a cada eixo coordenado. Encontre o raio de giração:
k
xI
xm
e y yI
k
m
7
xb
k
3
5
ya
k
4. Encontre Ix, Iy e I0 em cada caso: (a)
2
5. Determine o momento polar de inércia IO e o raio de giração da figura plana com respeito ao centro P.
6. Determine o momento polar de inércia IO e o raio de giração da figura plana com respeito ao centro O.
7. Aplique o teorema dos eixos paralelos ou
teorema de Steiner:
2
O G
I
I
m OG
para encontrar o momento de inércia em relação aos eixos indicados:
(a)
(b)
8. Encontre o momento de inércia da figura
composta com respeito ao eixo x.
9. Determine o momento de inércia com
respeito à um eixo perpendicular à extremidade de uma barra de massa m e comprimento L.
10. Encontre o momento de inércia das
figuras (triângulo equilátero de lado a) e massa m em relação ao eixo CC’. (passando pelo centro de massa G=C).
(a) (b)
3
Torque e momento angular. Energia de rotação.1. Uma casca cilíndrica oca de raio R e massa
M rola sem deslizar com uma velocidade vCM ao longo
de uma superfície plana. Qual a sua energia cinética?
Dado:
1
21
22
cm2
cmK
M v
I
2. Velocidade de um ioiô. Um ioiô é feito
enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa M e raio R. Mantém-se presa a extremidade enquanto o cilindro é liberado sem velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Use considerações de energia para achar a velocidade do centro de massa vCM do cilindro sólido depois que ele
caiu a uma distância h.
3. Competição entre corpos girando. Em uma
demosntração durante a aula de física, o professor faz uma “competição” de vários corpos rígidos redondos: cicllindro oco, cilindro sólido, aro, esfera oca e esfera sólida. Deixando-os rolar do alto de um plano inclinado, qual a forma do corpo que alcança primeiro a parte inferior ?
Dados: Conservação da energia mecânica:
1 1 2 2
K
U
K
U
Dica:
I
cm
c M R
2 Veja tabela.4. Aceleração de uma esfera rolando. Uma esfera
de bliche sólida rola sem deslizar para baixo de uma rampa ao longo de uma guia. O ângulo de inclinação da
rampa em relação à horizontal é . Qual é a aceleração da bola? Considere a bola uma esfera homogênea sólida, desprezando seus orifícios.
5. Trabalho e potência no movimento de rotação. Podemos escrever:
tan
dW
F ds
ds
R d
tandW
F
R d
dW
d
2 1 W d
dW
d
d
dW
I
d
dW
I
d
dt
d
dW
I
d
dt
dW
I
d
2 1W
I
d
2 2 2 11
1
2
2
totW
I
I
dW
d
dt
dt
P
Um anúncio fazendo propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um automóvel afirma que o motor desenvolve 1.49.105W para uma rotação de 6000
rpm. Qual é o torque desenvolvido pelo motor?
6. A hélice da turbina de um motor a jato possui
momento de inércia 2.5 kg.m² em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua velocidade angular em função do tempo é dada por
2 3
400 t
rad s
(a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo e ache seu valor em t = 3.0 s.
(b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para t = 3.0 s.
4
7. Uma grandeza análoga ao momento linear
p
de uma partícula é o momento angular, que representamos porL
. Definimos como:L
r
p
Se um corpo de 2 kg possui vetor posição dado por:
ˆ
ˆ
ˆ
2
3
5
r
i
j
k m
E vetor velocidade:
ˆ
ˆ
ˆ
3
4
2
v
i
j
k m s
Determine seu momento angula
L
.8. Uma pedra de 2.00 kg possui uma
velocidade horizontal com modulo de 12.0 m/s quando esta no ponto P na Figura. (a) Nesse instante, qual é o modulo, a direção e o sentido do seu momento angular em relação ao ponto O ? (b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taxa de variação (módulo, direção e sentido) do momento angular nesse instante ?
9. Um patinador girando. Podemos considerar as mãos e os braços esticados para fora de um patinador que se prepara para girar como uma barra delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de gravidade (Figura 14). Quando suas mãos e braços se aproximam do corpo e se cruzam em torno do corpo para executar o giro, as mãos e os braços podem ser considerados um cilindro oco com parede fina. A massa total das mãos e dos braços e igual a 8.0 kg. Quando esticadas para tora, a envergadura é de 1.8 m; quando torcidas, elas formam um cilindro de raio igual a 25 cm. O momento de inércia das parles restantes do corpo em relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0,40 kg m². Se sua velocidade angular inicial é de 0,40 rev/s, qual é sua velocidade angular final ?
10. Qualquer um pode ser bailarino. Um professor
de física acrobata está de pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5.0 kg em cada mão.
Ele está girando em torno de um eixo vertical completando uma volta a cada 2.0 s. Calcule a nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago e discuta como isso modifica a sua energia cinética. Seu momento de inércia (sem os halteres) é igual a 3.0 kg.m² quando seus braços estão distendidos para fora, diminuindo para 2.2 kg.m² quando suas mãos estão próximas do seu estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de 1.0 m do eixo e a distância final é igual a 0.20 m. Considere o halteres como partículas.
11. A figura mostra 2 discos, um deles é o volante
de um motor e o outro é um disco ligado a um eixo de transmissão. Seus momentos de inércia são IA e IB, respectivamente; inicialmente eles estão girando com a mesma velocidade angular
A e
B, respectivamente. A seguir empurramos os dois discos um contra o outro aplicando forças que atuam ao longo do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois discos surge torque em relação ao eixo. Os discos permanecem unidos um contra o outro e atingem uma velocidade angular final5
12. No exemplo anterior, suponha que o volante
A tenha massa de 2.0 kg, um raio de 0.20 m e uma velocidade angular inicial de 200 rad/s. Calcule a velocidade angular comum final depois que os discos ficam em contato. A energia cinética se conserva nesse processo?
13. Momento angular em uma ação policial.
Uma porta de largura 1 m e massa de 15 kg é articulada com dobradiças em um dos lados de modo que possa girar sem atrito em torno de um eixo vertical. Ela inicialmente não está aberta. Um policial dá um tiro com uma bala de 10 g e velocidade de 400 m/s exatamente no canto da porta. Calcule a velocidade angular da porta imediatamente depois que a bala penetra na porta. A energia cinética se conserva?
14. Determinar, em cada caso, o momento angular
para as seguintes situações:
(a) um carro de 1200 kg percorre no sentido anti-horário um círculo com 20 m de raio com velocidade de 15 m/s.
(b) o carro mencionado desloca-se com velocidade
v
15
m s i
ˆ
sobre a reta y = y0 =20m, paralela ao eixo x.(c) um disco, no plano xy, com raio de 20 m e a massa de 1200 kg, girando a 0.75 rad/s em torno do seu eixo, que coincide com o eixo z.
15. A máquina de Atwood tem dois corpos de
massa m1 e m2 ( sendo m1 maior que m2), ligados por um
cordel de massa desprezível que passa por uma polia cujos rolamentos não oferecem atrito. A polia é um disco uniforme, de massa M e raio R. O cordel não escorrega na polia. Determinar a aceleração angular da polia e a aceleração dos dois corpos pela equação:
, 1 N i ext i
dL
dt
16. Um disco gira em torno de um eixo sem atrito,
que coincide com o respectivo eixo de simetria, com velocidade angular inicial i, como mostra a figura. O seu momento de inércia em relação ao eixo é I1. Num
certo instante, o disco cai sobre o outro, de momento de inércia I2, montado sobre o mesmo eixo. Graças ao
atrito entre as duas superfícies em contato, os dois discos atingem uma velocidade angular comum aos dois, f. Calcular essa velocidade angular.
17. Um carrossel com 2 m de raio e 500 kg.m2 de
momento de inércia gira em torno de seu eixo, sem atrito, completando uma volta a cada 5 s. Uma criança, com 25 kg, está inicialmente no centro do carrossel e depois caminha até a borda. Calcular a velocidade angular que terá, então, o carrossel.
18. A criança mencionada no exemplo anterior
corre com velocidade 2.5 m/s sobre uma tangente à beira da plataforma do carrossel, que está imóvel, e pula para a plataforma. Calcular a velocidade angular final da criança no carrossel.
6
19. Uma partícula de massa m descreve, com
velocidade v0, um círculo de raio r0 sobre a superfície de
uma mesa horizontal sem atrito. A partícula está presa a um fio que passa por um buraco na mesa, no centro do círculo. O fio é lentamente puxado para baixo, de modo que a partícula acaba descrevendo um círculo de raio rf.
(a) Calcular a velocidade final em termos de r0, v0 e
rf.
(b) Calcular a tensão T no fio quando a partícula descreve um círculo de raio rf em termos de m, r e do momento angular
L
0
m v r
0 0.(c) Calcule o trabalho feito pela partícula pela tensão T, integrando
T dr
de r0 até rf. Dar a resposta em termos de r0, rf e L0.20. Uma barra de massa M e comprimento d pode
girar em torno de um eixo fixo a uma de suas extremidades. Uma bola de massa plástica, com massa m e velocidade v, atinge a barra a uma distância x do eixo e fica grudada na barra.
Achar a razão entre a energia final e a energia inicial do sistema.
7
Lista e Trabalho:1. Aplica-se uma força de 18 N a uma distância
rs = 7 cm do eixo central da catraca traseira de uma
bicicleta. Considere a roda de momento de inércia I = M.R2 de raio R = 35 cm e massa M = 2.4 kg. Qual a
velocidade angular da roda após 5 s?
2. Uma haste de comprimento L e massa M está
pivotada em sua extremidade esquerda. O engaste está ausente de atrito. Encontre: (a) a aceleração angular imediatamente a haste ser solta e (b) a força FA exercida
no pivô nesse instante.
R: 3 1 2 4 g A L
F
Mg
3. Um objeto de massa m está ligado por um fio
a uma polia que possui momento de inércia I e raio R. O fio se movimenta sem se deslizar pela polia e não há atrito. Encontre a tensão no fio e a aceleração do objeto.
R: 2 2
1
1
m g
g
T
a
I
m R
m R
I
4. Dois blocos são conectados por uma corda e
passam por uma polia de raio R e momento de inércia I.
O bloco de massa m1 desliza sem atrito sobre uma
superfície horizontal; o bloco de massa m2 está
suspenso. Encontre a aceleração dos blocos e as tensões T1 e T2 assumindo que a corda não desliza sobre a polia.
R: 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 I m m m R I I I m m m m m m R R R a g T m g T m g
5. O máximo torque produzido por um motor
8.0-L V10 de um Dodge Viper 2002 é 675 N.m a 3700 rev/min. Encontre a potência desse carro operando nas condições de máximo torque. (R: 262 kW).
6. A máxima potência produzida por um Dodge
Viper é 450 hp a 5200 ver/min. Qual é o torque do motor quando operando na máxima potência?
(R: 616 N.m)
7. Uma bola de raio 11 cm e massa M = 7.2 kg
está rolando sem se deslizar sobre um plano horizontal com velocidade de 2 m/s. Se ela sobre o plano inclinado sem se deslizar e para a uma altura h, determine a altura h atingida. R: 2
7
10
iv
h
g
8. Um taco atinge horizontalmente uma esfera
a uma distância x de seu centro. Encontre o valor de x para o qual a bola vai rolar sem se deslizar. Expresse sua resposta em termos do raio R da bola.
8
R:
2
5
R
x
9. Uma bola sólida de massa m e raio R rola
sem deslizar-se sobre um plano inclinado de um ângulo
com a horizontal. Determine a aceleração do centro de massa e a força de atrito.
R: 5 2
7 7
cm at
a g sen
F m g sen
10. Uma esfera sólida, um cilindro sólido e um
aro são abandonados de uma altura h de um plano inclinado. Determine a velocidade com que chegam ao solo. (para cada objeto).
11. Uma máquina de Atwood possui duas
massas m1 = 500 g e m2 = 510 g conectadas por uma
corda de massa desprezível que passa por uma polia (um disco uniforme de massa 50 g e raio 4 cm). A corda não se desliza sobre a polia. Encontre a aceleração dos objetos e as tensões que suportam as massas,
12. Uma máquina de Atwood possui duas
massas m1 e m2 (m1 > m2) conectadas por um fio. A
polia é um disco uniforme de massa M e raio R. O fio não desliza sobre a polia. Aplique a relação:
i i
dL
dt
para o sistema constituído pelos dois blocos, a polia e o fio para encontrar a aceleração angular da polia e a aceleração linear dos blocos.13. Encontre o momento angular
L
r
p
na origem de um carro de massa m = 1200 kg que se move em um círculo de raio 20 m com velocidade de 15 m/s. O círculo está no plano xy, centrado na origem. Quando visto de um ponto no eixo z o carro se move no sentido anti-horário.14. Um disco está girando com velocidade
angular inicial i em um sistema sem atrito sobre um
eixo de simetria. O momento de inércia em relação a esse eixo é I1. Ela cai sobre um outro disco de momento
de inércia I2 que está inicialmente em repouso sobre o
mesmo eixo. Devido ao atrito, elas giram juntos. Determine a velocidade angular comum dos dois discos.
(Aplicação: Os discos girando no eixo de transmissão de um caminhão fazem colisões inelásticas.)
15. Um carrossel com 2 m de raio e 500 kg.m2
de momento de inércia gira em torno de seu eixo, sem atrito, completando uma volta a cada 5 s. Uma criança, com 25 kg, está inicialmente no centro do carrossel e depois caminha até a borda. Calcular a velocidade angular que terá, então, o carrossel.
9
Trabalho e potência no movimento de rotaçãoPodemos escrever: tan
dW
F ds
ds
R d
tandW
F R d
dW
d
2 1W
d
Podemos desenvolver:dW
d
d
dW
I
d
dW
I
d
dt
d
dW
I
d
dt
dW
I
d
2 1W
I
d
2 2 2 11
1
2
2
totW
I
I
dW
d
dt
dt
P
16. Um anúncio fazendo propaganda da
potência desenvolvida pelo motor de um automóvel afirma que o motor desenvolve 1.49.105W para uma rotação de 6000 rpm. Qual
é o torque desenvolvido pelo motor?
Solução:
P
P
6000
6000
60
f
rpm
Hz
100
f
Hz
2
f
2
100
200
rad
s
51.49 10
200
237N m
17. Um motor elétrico desenvolve um torque
constante de
= 10 N.m sobre o esmeril montado no seu eixo motor. O momento de inércia é I = 2.0 kg.m². Sabendo que o sistema começa a se mover a partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo motor em 8.0 s e a energia cinética no instante final. Qual a potência média desenvolvida pelo motor? Solução:
I
I
210
2
rad
s
t
5 8
40
rad
s
2 21
1
2 40
1600
2
2
K
I
K
K
J
2 21
1
5 8
160
2
t
2
rad
10 160
1600
W
W
W
J
1600
200
8
W
P
P
P
W
t
A potência instantânea P = não é constante, porque cresce continuamente. Porém podemos calcular o trabalho total por:
2 2 1 1 t t t t
W
P dt
W
dt
2 1 8 010 5
t tW
t dt
tdt
8 2 050
1600
2
t tt
W
W
J
10
MHS – Movimento Harmônico SimplesPêndulo Simples e Energia Mecânica
1. A corda de um piano emite um dó médio
vibrando com uma freqüência primária igual a 220 Hz. (a) Calcule o período e a freqüência angular,
(b) Calcule a freqüência angular de um soprano emitindo um "dó alto", duas oitavas acima, que é igual a quatro vezes a freqüência da corda do piano.
2. Um corpo é deslocado 0,120 m da sua posição de
equilíbrio e libertado com velocidade inicial igual a zero. Depois de 0,800 s seu deslocamento é de 0,120 m no lado oposto e ultrapassou uma vez a posição de equilíbrio durante este intervalo. Ache:
(a) a amplitude, (b) o período, (c) a freqüência.
3. Ao projetar uma estrutura em uma região
propensa à ocorrência de terremotos, qual deve ser a relação entre a freqüência da estrutura e a freqüência típica de um terremoto? Por quê? A estrutura deve possuir um amortecimento grande 01 pequeno?
4. Um corpo de massa desconhecida é ligado a uma
mola k cuja constante é igual a 120 N/m. Verifica-se que ele oscila com um com uma freqüência igual a 6,00 Ache:
(a) o período, (b) a freqüência angular, (c) a massa do corpo.
5. Um oscilador harmônico é feito usando-se um
bloco sem atrito de 0,600 kg e uma mola ideal cuja constante é desconhecida. Verifica-se que ele oscila com um período igual a 0,150 s. Ache o valor da constante da mola.
6. Temos um oscilador harmônico possui massa de
0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a 140 N/m. Ache (a) o período, (b) a freqüência, (c) a freqüência angular.
7. A corda de um violão vibra com uma freqüência
igual a 40 Hz. Um ponto em seu centro se move com MHS com amplitude igual a 3,00 mm e um ângulo de fase igual a zero.
(a) Escreva uma equação para a posição do centro da corda em função do tempo;
(b) Quais são os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração do centro da corda? c) A derivada da aceleração em relação ao tempo pode ser chamada de "arrancada". Escreva uma equação para a arrancada do centro da corda em função do tempo e calcule o valor máximo do módulo da arrancada.
8. Um bloco de 2,00 kg sem atrito está presa a uma
mola leal cuja constante é igual a 300 N/m. Para t = O a mola não está imprimida nem esticada e o bloco se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache:
(a) a amplitude, (b) o ângulo de fase. (Escreva uma equação para a posição em função do tempo).
9. Repita o Exercício anterior, porém suponha que
para t = 0s o bloco possua velocidade -4,00 m/s e deslocamento igual+0,200 m.
10. A extremidade da agulha de uma máquina de
costura se move com MHS ao longo de um eixo Ox com uma freqüência igual a 2,5 Hz. Para t = 0 os componentes da posição e da velocidade são +1,1 cm e -15 cm/s.
(a) Ache o componente da aceleração da agulha para t = 0.
(b) Escreva equações para os imponentes da posição, da velocidade e da aceleração do ponto considerado em função do tempo.
11.
x
Escreva as equações de x(t), v(t) e a(t).
12. Um certo pêndulo simples possui na Terra um
período igual a l,60 s. Qual é o período na superfície de Marte onde g = 3,71 m/s2?
13. Escreva a equação diferencial do pêndulo
11
14.
Calcule o período, a freqüência angular para um relógio típico.
15. MHS no motor de um carro. O movimento do
pistão no interior do motor de um carro é aproximadamente um MHS. (a) Sabendo que o percurso (o dobro da amplitude) é igual a 0,100 m e que o motor gira com 3500 rev/min, calcule a aceleração do pistão no ponto final do percurso, (b) Sabendo que a massa do pistão é igual a 0,450 kg, qual é a força resultante exercida sobre ele neste ponto? (c) Calcule a velocidade e a energia cinética do pistão no ponto médio do percurso, (d) Qual é a potência média necessária para acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no item (c)? e) Se o motor gira com 7000 rev/min, quais são as respostas das partes (b), (c) e (d)?
16. Um bloco de 2,00 kg sem atrito está presa a
uma mola leal cuja constante é igual a 300 N/m. Para t = O a mola não está imprimida nem esticada e o bloco se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache:
(a) a amplitude, (b) o ângulo de fase
(c) Escreva uma equação para a posição em função do tempo. (d) Escreva v(t) e a(t) em função do tempo.
2 2 0 0 0 m
v
x
x
; 0 0v
arctg
x
;
m
0
x t
x sen
t
;k
m
;T
2
17.(a) Encontre as expressões para a posição, velocidade e aceleração instantânea.
12
(b) Assumindo a massa do corpo 1 kg encontrea energia cinética e potencial elástica para x = A e x = A /2.
(c) Qual o valor da energia mecânica?
(d) Esboce os gráficos de Ec(t), Ek(t) e Em(t) usando o programa disponível.
Oscilações amortecidas
1. A figura mostra um tipo de oscilação amortecida
e as curvas x(t) para dois casos de subamortecimento. Discuta quais deles possui maior constante de amortecimento c. 2. Dados: 0
k
m
;c
c
2
m
0Amortecimento supercrítico c > c
c:
t tBe
Ae
t
x
(
)
1
2; Com:
2 2 1,2 0 2 2 c c m m 0 2 0 2 1 x v A ;
02 011 v x B Amortecimento crítico c = c
c:
te
Bt
A
t
x
(
)
(
)
0;
A
x
0;
0 0 0B
v
x
Amortecimento subcrítico c < c
c
2( )
cos
c t mx t
e
A
t
Bsen t
ou
2( )
(
)
c t m mx t
x e
sen
t
2 0 1 c c q c 2 0 1 c c q c
;
0 0 02
2
m x
arctg
mv
cx
;
2 2 0 0 0 2 2 m mv cx x x m
Chamamos de período da vibração
amortecida:
2
Discuta os casos possíveis de amortecimento em função da constante de amortecimento crítica cc e construa os
gráficos de posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t) para os seguintes osciladores livres, através do programa do site www.claudio.sartori.nom.br:
13
(i) c = 0.
i k (N/m) m(kg) x(t=0) (m) v(t=0) (m/s) 1 400 1 0,50 1,00 2 1600 25 0,05 0,50 3 200 5 0,01 0,35 4 5000 12 0,25 0,50Para cada caso, encontre:
(a) A freqüência f, a freqüência angular
0,o período T.(b) A velocidade máxima e a aceleração máxima.
Construa os gráficos de posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t) para os seguintes amortecedores: k (N/ m ) m (kg ) c (N .s/ m ) x( t= 0 )= x0 (m ) v( t= 0 )= v0 ( m /s ) 1 400 1 8 0,50 1,00 2 400 1 40 0,50 1,00 3 400 1 80 0,50 1,00 4 1600 25 65 0,05 0,50 5 200 5 1200 0,01 0,35 6 5000 12 356 0,25 0,50
Para cada caso, encontre:
(a) A freqüência f, a freqüência angular
0,o período T.(b) A velocidade máxima e a aceleração máxima.
