Física Geral II – FIS052 – EAD
Semana 4: Aulas 7 e 8
Professor: Adhimar Flávio Oliveira 4 de Setembro de 2014
Conteúdo
1 Instruções 1
1.1 Biblioteca Virtual . . . 1 1.2 Atividades . . . 2
2 Rotação com aceleração angular constante 2
3 Relações entre a cinemática linear e a cinemática angular 3
4 Energia no movimento de rotação 4
5 Energia potencial gravitacional para um corpo com massa
distribuída 7
6 Exercícios 7
7 Questões 8
1
Instruções
1.1 Biblioteca Virtual
Em nossa disciplina vamos utilizar a Biblioteca Virtual da Unifei. Para acessá-la vocês devem:
1. acessar o link: https://unifei.bv3.digitalpages.com.br
2. em login digite sua matrícula,
3. e na senha digite sua data de nascimento no formato ddmmaa
1.2 Atividades
1. Acessar a Biblioteca Virtual da Unifei, no livro texto Young, H.D. e Freedman, R. A., Física I, Editora Addison Wesley, 12a edição, São Paulo, SP, 2008.
2. Estudar as seções 9.2 Rotação com aceleração angular constante, 9.3 Relações entre cinemática linear e a cinemática angular (página 291) e 9.4 Energia no movimento de rotação (página 296). É muito impor-tante refazer e entender os exemplos.
3. Resolver os exercícios e questões apresentados nas seções 6 e 7 deste texto.
4. Postar na ferramenta Portfólio em Portfólios Individuais aos exercícios e questões pedidos no item 3, compartilhando apenas com os Forma-dores. Não esqueça de associar a atividade a avalição da Semana.
Em caso de dúvidas utilize a ferramenta Correio ou o Fórum Dúvidas e Su-gestões.
Para auxiliar no estudo, no texto a seguir é apresentado um re-sumo sobre o tema abordado no livro texto.
2
Rotação com aceleração angular constante
Sejaω0z a velocidade angular de um corpo rídigo em t=0 eωz no instante
t. A aceleração angularαz é constante e igual à aceleração média
αz =
ωz−ω0z
t−0 , (1)
ou ainda,
ωz=ω0z+αzt (2)
Para a aceleração angular constante, a velocidade angularωz varia.
A velocidade angular média é
ωmz =
ω0z+ωz
2 (3)
e também sabemos que
ωmz =
θ−θ0
t−0 (4)
Das equações 3 e 4, temos
θ−θ0
t−0 =
ω0z+ωz
ou ainda,
θ−θ0 =
1
2(ω0z+ωz)t. (6)
Substituindo a equação 2 na equação 6, obtemos
θ−θ0 =
1
2(ω0z+ω0z+αzt)t (7)
= 1
2(2ω0z+αzt)t (8)
θ=θ0+ω0zt+
1 2αzt
2
(9)
3
Relações entre a cinemática linear e a
cinemá-tica angular
Em qualquer instante
S =rθ (10)
sendo r constante.
Derivando ambos os lados com relação ao tempo
dS dt = r dθ dt (11)
v=rω (12)
Derivando novamente (Figura 1), obtemos
dv dt =r
dω
dt (13)
atg=rα (14)
lembrado que
arad=
v2
r =ω
2
r (15)
Exemplo 1: Você foi solicitado para projetar a hélice de um avião que deve girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de 75,0 m/s e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter? b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice (Figura 2)?
a)ω= 2400rpm= 2400rev
min×
2πrad
1rev ×
1min
Figura 1:
Figura 2: Ilustração do exemplo 1
vext2 =v2av+vtg2 =vav2 +r2ω2
r2 = v
2 ext−v
2 av
ω2
r= 1,03m
b) arad=ω2r= 6,5×104m/s2
Exemplo 2: Ao pedalar uma bicicleta com várias marchas, o ciclista pode selecionar o raio da roda dentada traseira, que é fixa ao eixo da roda traseira. A roda dentada dianteira de uma bicicleta possui raio de 13,5 cm. Se a velocidade escalar angular da roda dentada dianteira é 0,700 rev/s, qual é o raio da roda dentada traseira para a qual a velocidade escalar tangencial de um ponto na borda da roda traseira será de 7,0 m/s? A roda traseira possui raio de 0,360 m.
Resolução no livro texto!
4
Energia no movimento de rotação
Um corpo rígido é constituído por massas em movimento, logo ele possui energia cinética.
A energia cinética da i-ésima partícula pode ser expressa pela equação 16.
1 2miv
2 i =
1 2mir
2 iω
2
Figura 3: Ilustração do exemplo 3
A energia cinética total do corpo é
K = 1
2m1r 2 1ω
2
+1 2m2r
2 2ω
2
+...=X
i
1 2mir
2 iω
2
, (17)
ou ainda,
K= 1 2
X
i
mir 2 i
!
ω2
(18)
A grandeza P
imiri2
é designada momento de inércia, I, do corpo em
relação ao eixo de rotação.
I =m1r 2 1+m2r
2
2+...= X
i
mir 2
i (19)
A unidade no SI do momento de inércia é o kgm2.
Com isso, a energia cinética de rotação K de um corpo rígido é
K = 1
2Iω
2
(20)
sendo que,ω deve ser expresso em radianos por segundo.
Exemplo 3: Um engenheiro está projetando certa peça de uma máquina que consiste em três conectores pesados ligados por suportes leves (Figura 3). a) Qual é o momento de inéria desse corpo em relação ao eixo perpendicular ao plano do desenho e que passa pelo centro do disco A? b) Qual é o momento de inércia em torno de um eixo que coincide com o disco B e C? c) Se o corpo gira em torno de um eixo perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com velocidade angularω= 4,0rad/s, qual é a sua energia cinética?
5
Energia potencial gravitacional para um corpo
com massa distribuída
Quando a aceleração da gravidade g é a mesma em todos os pontos do corpo, a energia potencial gravitacional é a mesma que a de uma partícula com massa total do corpo centralizada em seu centro de massa.
U = m1gy1+m2gy2+...= (m1y1+m2y2+...)g
= (m1+m2+...)yCMg (21)
U =M gyCM (22)
Exemplo 4: Um cabo leve, flexível e não deformável é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro maciço de diâme-tro 0,120 m e massa igual a 50 kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário horizontal mantido por mancais sem atrito. A extremidade li-vre do cabo é puxada com uma força constante de módulo igual a 9,0N, deslocando-se por uma distância de 2,0 m. Ele se desenrola sem deslizar e faz o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está em repouso, calcule sua velocidade angular e a velocidade escalar final do cabo.
Resolução no livro texto!
6
Exercícios
1. Um disco, inicialmente girando a 120 rad/s. é freado com uma ace-leração angular constante de módulo 4,0 rad/s2. (a) Quanto tempo o
disco leva pa ra parar? (b) Qual é o ângulo total descrito pelo disco durante esse tempo? (30s ,1,8×103 rad)
2. Ao pedalar uma bicicleta com várias marchas, o ciclista pode seliecio-nar o raio da roda dentada traseira, que é fixa ao eixo de roda traseiro. A roda dentada dianteira de uma bicicleta possui raio de 12,0 cm. Se a velocidade escalar angular da roda dentada dianteira é 0,600 rev/s, qual é o raio da roda dentada traseira para a qual a velocidade escalar tangencial de um ponto na borda da roda traseira será de 5,0 m/s? A roda traseira possui um raio de 0,330 m. (2,99 cm)
3. Suponha que em algum momento no futuro você decida explorar a energia rotacional da Lua para uso na Terra. Sabendo que a Lua gira em torno do seu eixo uma vez a cada 27,3 dias. Suponha que a rotação da Lua seja uniforme por todo esse período. a) Qual o total de energia que nós podemos obter da rotação da Lua? b) Atualmente, o mundo consome cerca de 4,0×1020J de energia por ano, quantos anos duraria
7
Questões
1. Para maximizar o momento de inércia de um volante e minimizar seu peso, qual dever ser sua forma e como sua massa deve ser distribuída? Explique.
2. Ao calcular o momento de inércia de um objeto, podemos tratar toda a sua massa como se estivesse concentrada no centro de massa do objeto? Justifique sua resposta.
3. A afirmação "quanto maior for o momento de inércia, maior será a energia cinética do corpo girando com uma dada velocidade angular
