9-Limites

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Cálculo I

3ª Lista de Exercícios – Limites

1) Calcule os limites: a )lim x →1(4x 2_{−7x +5 ) b) lim} x →−3 x2_+2x−3 5−3x c )limx →2

(

3x2_−2x−5 −x2_{+3x +4}

)

3 d ) lim x →−1

√

2x2_+3x−3 5x−4 e ) limx →−2 3

√

3x3_−5x2_−x+3 4x +3 f )limx → 2

√

2x2+3x+2 6−4x Resp . : a ) 2 b) 0 c ) 1/8 d ) 2/3 e )

√

339 5 f ) −2 2) Calcule os limites abaixo:

3) Calcule: a ) lim x → 1 x2−1 x−1 b) limx →−2 4−x2 2+x c ) lim_{x →}1 2 2x2+5x−3 2x2−5x+2 d ) lim x→ 1 x3−1 x2−1 e) limx →−2 8+x3 4−x2 f ) limx → 1 x3−3x2+6x−4 x3−4x2+8x−5 Resp .: a )2 b )4 c )−7 /3 d )3/2 e )3 f )1

∃

∃

∃

∃

∞

+

∞

−

∞

+

∞

+

−

−

−

−

+

+

+

−

−

−

−

+

−

−

→ → → − → → → → →

)

)

)

)

)

)

)

)

:

.

Resp

1

1

lim

)

1

1

lim

)

3

2

1

lim

)

2

4

lim

)

2

5

3

lim

)

)

1

(

3

1

lim

)

)

1

(

3

2

lim

)

)

2

(

4

3

lim

)

1 1 3 2 2 2 0 2 1 2 1 2 2

h

g

f

e

d

c

b

a

x

h

x

g

x

x

f

x

x

e

x

x

x

d

x

x

c

x

x

b

x

x

a

x x x x x x x x

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 2 4) Calcule os limites: 5) Calcule os limites: e )

lim

x→+∞

(

2x+3 5x+7

)

j )

lim

x →+∞

(

5x3_{−6x +1} 6x2_+x+3

)

b )

lim

x →−∞

(

−4x3_+7x 2x2_−3x−10

)

a )

lim

x →+∞

(

3x2_−5x+2

₎

d )

lim

x →+∞

(

x3+3x−1 2x2+x+1

)

f )

lim

x →−∞

(

1−12 x3 4x2+12

)

g)

lim

x →+∞

(

3x2−6x 4x−8

)

h )

lim

x →−∞

(

−2x3−2x+3 3x3+3x2−5x

)

Resp .: a )∞ b )∞ c )0 d )∞ e )2 /5 f )∞ g )∞ h )−2/3 a ) lim x→+∞(2x +3 ) b ) limx →−∞(4−5x ) c ) limx →+∞(5x 2_−4x+3) d ) lim x →+∞ (4−x2_{) e ) lim} x →−∞ (3x3_{−4 )} Resp . : a )+∞ b)+∞ c )+∞ d )−∞ e )−∞

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Exercícios Complementares

1. Calculando-se , obtém-se a) 0. b) 1. c) 2. d) 4. e) 6. 2. O é igual a a) 1/9. b) 1/27. c) 1/243. d) 1/243. e) 1/54. 3. O valor de é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) ∞. 4. vale a) 7e b) e7 c) 7 – e d) 7 + e e) 7e

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a) I, II e III são falsas.

b) Apenas as afirmações I e II são falsas.

c) I, II e III são verdadeiras.

d) Apenas as afirmações I e III são falsas. e) Apenas as afirmações II e III são falsas.

6. Calculando-se , obtém-se a) 1/4. b) 1/5. c) 1/6. d) 1/7. e) 1/8.

7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é a) 2.

b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.

8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira. Assinale-a:

a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical. b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical. c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).

d) e) 9. é igual a a) ∞. b) 0. c) 1. d) - ∞. e) 4.

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 5 a) b) c) d) e) f(1) = 2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) 2)

3) 4) Não existe pois e

5) 6) 7) EXERCÍCIOS ESPECIAIS a) RESP 0 b) RESP -2 c) RESP 1/3 d) RESP 1/2 Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E E B D E C D C A C

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 6 e) RESP 2 1 3 A a − f) RESP 3X2 g) RESP 1 h) RESP 1/2 i) RESP 3 j) RESP 1 k) RESP -1/56 l) RESP 12 m) RESP 3/2 n) RESP -1/3 o) RESP 1 p) RESP 2 X : x q) RESP 3 2 1 3 x r) RESP -1/3

LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS

Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a0

( ) n

n

xLim f x→±∞ =xLim a x→±∞ _{Para o cálculo de limite com x}→ ±∞ _{toma-se o termo de maior grau da função}

e aplica-se o limite .

Exemplos : Lim x_x→∞(2 2+ − =x 3) Lim x_x→∞2 2 = ∞

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 7 1) 3 2 4 2 4 1 3 2 2 x x x Lim x x →∞ + − + − R 0 2) 4 4 3 4 3 3 1 x x x Lim x x →∞ + + + − R 4/3 3) 3 2 2 4 2 3 2 3 8 x x x x Lim x x →∞ + − + + − R ∞ 4) 4 ₂2 1 2 1 x x x Lim x →∞ + − − R ½

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LIMITES DE FUNÇÕES

Seja f ( x ) uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a` , exceto possivelmente no próprioa` . Então, diz-se que o limite de f ( x ) quando x tende a a` ( x →a) é L , e representa-se por

lim

x →af ( x )=L

se 0<∣ x−a ∣<δ para todo ε>0 há um número correspondente δ>0 tal que ∣ f (x )−L ∣<ε sempre que 0<∣ x−a ∣<δ , isto é, se 0<∣ x−a ∣<δ ⇒ ∣ f ( x )−L ∣<ε .

Exemplo: Provar que lim_{x →3}(4x−5 )=7 Solução:

(a) Encontrar um valor para δ :

Uma análise preliminar do problema indica que se ε>0 , deve encontrar-se um δ tal que ∣( 4x−5 )−7 ∣<ε sempre que 0<∣ x−3 ∣<δ ,

mas

∣( 4x−5 )−7 ∣=∣ 4x−12 ∣=4 ∣ x−3 ∣ ⇒ 4 ∣ x−3 ∣<ε sempre que 0<∣ x−3 ∣<δ , isto é,

∣ x−3 ∣<ε

4 sempre que 0<∣ x−3 ∣<δ , logo δ= ε 4 .

(b) Prova:

Por tanto, dado ε>0 , escolhe-se δ=₄ε , e se 0<∣ x−3 ∣<δ , então,

∣( 4x−5 )−7 ∣=∣ 4x−12 ∣=4 ∣ x−3 ∣ ⇒ 4 ∣ x−3 ∣<4δ=4

(

ε 4

)

=ε Assim ∣( 4x−5 )−7 ∣<ε sempre que 0<∣ x−3 ∣<δ , por tanto lim x →3(4x−5 )=7

Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é,

x →3

donde lim

x →3(4x−5 )= 4⋅3−5 = 12−5 =7

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 9 a) lim x →3 x2=32=9 b) lim_{x →4}(5x+7 )=5×4+7=27 c)

Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função f ( x )=3x 2 − 4x − 4 x − 2 , com x →2 , isto é, f ( x )=lim x → 2 3x2−4x − 4 x − 2 = 0 0 Indeterminação,

estudando-se esta função, tem-se que o domínio de f ( x ) abrange todos os números reais, com exceção de x=2 que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,

ax2+bx +c=0 ⇒ x=−b ±

√

b2−4 ac 2a . Assim, x=4 ±

√

16 + 48 6 = 4 ± 8 6 ⇒

{

x₁=2 x₂=−2 /3 f ( x )=3x 2 − 4x − 4 x − 2 = (3x + 2 )( x − 2 ) x − 2 =3x + 2

O gráfico mostra que para x aproximando de 2 , f ( x ) se aproxima de 8 , mas se substituir-se x=2 na 1a _{expressão, f ( x ) não está definida naquele ponto.}

f ( x )=3x +2 x ≠2 Ponto ( 2 , 8 ) deve ser excluído do gráfico, pois naquele ponto a função é indefinida.

X

2

8

Y

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Desta forma, tem-se que

f ( x )=lim x → 2 3x2−4x − 4 x − 2 =limx → 2 (3x + 2 )(x − 2) x − 2 =limx → 23x + 2=8 , Exercícios: lim x →4 x2−16 x − 4 = 0 0 Indeterminação,

onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,

lim

x →4

(x − 4 )(x + 4 )

(x − 4 ) =limx →4(x + 4 )=8 ⇒ y =x+4

Em f ( x )=x +4 , o ponto ( 4 , 8 ) deve ser excluído do gráfico, pois x≠4 , pois o domínio de f ( x ) é: D:

{

x∈ℜ / (−∞ ,4 )∪( 4,∞ )

}

e tem como imagem

I :

{

y ∈ℜ / (−∞ ,8)∪(8,∞ )

}

.

3.1 - Propriedades dos Limites

1) lim_{x →a}

[

u±v

]

=lim_{x →a}(u)±lim_{x → a}(v ) para u=u ( x) e v=v ( x )

2) lim_{x →a}

[

C (u)

]

=C lim_{x →a}(u) para u=u(x) e C é uma constante 3) lim_{x →a}

[

u⋅v

]

=lim_{x →a}(u )⋅lim_x→a(v ) para u=u ( x ) e v =v ( x )

4) lim x →a

[

(u) (v )

]

= lim x → a(u ) lim x → a (v ) para u=u ( x ) e v=v ( x )

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 11 5) lim x →a

(

u m

₎₌

[

lim x→ a(u )

]

m para u=u ( x ) 6) lim x →a m

√

u=m

√

lim x → a (u ) para u=u ( x )

7) lim_{x →a}

(

logau

)

=loga

[

lim x → a (u)

_]

para u=u ( x ) 8) lim x →a

(u

v

₎₌

[

lim x→ a(u)

]

lim x→a (v ) para u=u ( x ) e v=v ( x ) 9) _{∞ =0, 0}0 +∞_{=0, 0}−∞_{=+ ∞ , (+∞)}+∞_{=+ ∞ , e} (+∞)−∞=0, (±∞)+k=±∞, (±∞)−k=0 10) Indeterminações de limites: ∞−∞ , ∞×0, 0 0, ∞∞ , ∞ 0_{, 0}0_{, 1}±∞ Exemplos: 1) lim x →1

√

8x + 1 x + 3 = lim x →1

√

8x + 1 lim x →1

√

x + 3 =

√

9

√

4= 3 2 2) lim x →−1 x2+4x + 3 x2₋₁ = 0 0 Indeterminação

Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se

Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é,

x2+4x +3=0 ⇒ x=−4 ±

√

16 − 12 2 (Baskara) x=−4 ± 2 2 ⇒

{

x₁=−1 x₂=−3 ax2+bx +c=

(

x−x₁

)(

x−x₂

)

⇒ x2+4x +3=( x +1) ( x+3 ) donde,

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 12 lim z →−1 (z + 1)( z + 3 ) (z2_{−1 )}

Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é, z2−1=0 ⇒ z2=1 ⇒ z=±1 ⇒ z2−1=( z−1) ( z+1 ) assim, lim z →−1 (z + 1)( z + 3 ) (z − 1 )(z + 1)=z →−1lim (z + 3) (z − 1 )= 2 −2=−1 3) lim x →3∣ x2−5x + 6 x − 3 ∣= 0 0 ⇒ ∣limx →3 (x−3)( x−2) x − 3 ∣=∣limx → 3(x−2 )∣=1 4) lim x →0

√

4+x−2 x = 0 0 Indeterminação

Neste caso, para eliminar a indeterminação 0₀ , se deve racionalizar o numerador , isto é, (a+b )⋅(a−b )=a2−b2 . Desta forma, tem-se:

lim x →0

√

4+x−2 x =limx → 0

[√

4+x −2

][√

4 +x+2

]

x

√

4+x +2 =limx →0 4+x −4 x

√

4+x +2 lim x →0 x x

√

4+x +2=limx → 0 1

√

4+x +2= 1 lim x→ 0

√

4 +x+2 =1 4 3.2 - Limites Notáveis

Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) α tende a diminuir, o valor do sen (a) tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1 , e o limite notável no caso é

3.2.1 - Limite do seno

s

( )

α

sen

α

, se

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 13 6) Calcular lim x →0 sen (5x) x faz-se 5x=t ⇒ x= t 5 , para x →0 ⇒ t→0 lim t →0 sen (t) t /5 =limt →0 5 sen (t ) t =5 limt→ 0 sen (t ) t =5⋅(1)=5 7) lim x →0 sen (2x) sen (3x)=limx →0 sen (2x ) 2x ×2x sen (3x ) 3x ×3x =(1)⋅(2x) (1)⋅(3x)= 2 3 8) lim x →0 tan ( x) x =limx →0

(

sen ( x) x ⋅ 1 cos ( x )

)

=limx →0

(

sen ( x) x

)

⋅limx →0

(

1 cos ( x)

)

=(1)⋅

(

1 1

)

=1

Limite que define o número “e ”

O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.

y=lim x →∞

(

1+ 1 x

)

x =e x y 1 2 10 2,5937 100 2,7048 1000 2,7169 10000 2,7181 x →∞ e=2, 7182818… Exemplo: lim x → ∞

(

1+ a x

)

x =ea põe-se a x= 1 z ⇒ x=az para x →∞ ⇒ z →∞

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 14 lim x → ∞

(

1+ a x

)

x =lim z →∞

(

1+ 1 z

)

az =

[

lim z→ ∞

(

1+ 1 z

)

z

]

a=ea

Limites infinitos de funções racionais

Se a função for do tipo y=lim_{x →∞}

[

P ( x )/Q( x )

]

, isto é, y=lim

x →∞

(

a_nxn+a_n−1xn−1+a_n−2xn−2+⋯+a₂x2+a₁x +a₀

b_mxm+b_m−1xm−1+b_m−2xm−2+⋯+b₂x2+b₁x +b₀

)

=∞∞ ,

que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se n>m , tem-se:

y=lim x →∞

(

a_nxn_+a n−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a2x2+a1x+a0 xn b_mxm+b_m−1xm−1+b_m−2xm−2+⋯+b₂x2+b₁x+b₀ xn

)

, y=lim x →∞

(

a_nxn xn + a_n−1xn−1 xn + a_n−2xn−2 xn +⋯+ a₂x2 xn + a₁x xn + a₀ xn b_mxm xn + b_m−1xm−1 xn + b_m−2xm−2 xn +⋯+ b₂x2 xn + b₁x xn + b₀ xn

)

, y=lim x →∞

(

a_n+an−1 x + a_n−2 x2 +⋯+ a₂ xn−2+ a₁ xn−1+ a₀ xn b_m xn−m+ b_m−1 xn−m +1+ b_m−2 xn−m +2+⋯+ b₂ xn−2+ b₁ xn−1+ b₀ xn

)

,

e passando ao limite, tem-se: y=an+0+0+⋯+0+0+0

0+0+0+⋯+0+0+0 = a_n

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 15 Se m>n , tem-se: y=lim x →∞

(

a_nxn+a_n−1xn−1+a_n−2xn−2+⋯+a₂x2+a₁x+a₀ xm b_mxm+b_m−1xm−1+b_m−2xm−2+⋯+b₂x2+b₁x+b₀ xm

)

, y=lim x →∞

(

a_nxn xm + a_n−1xn−1 xm + a_n−2xn−2 xm +⋯+ a₂x2 xm + a₁x xm + a₀ xm b_mxm xm + b_m−1xm−1 xm + b_m−2xm−2 xm +⋯+ b₂x2 xm + b₁x xm + b₀ xm

)

, y=lim x →∞

(

a_nxn xm−n+ a_n−1 xn−m +1+ a_n−2 xn−m +2+⋯+ a₂ xm−2+ a₁ xm−1+ a₀ xm b_m+bm−1 x + b_m−2 x2 +⋯+ b₂ xm−2+ b₁ xm−1+ b₀ xm

)

,

e passando ao limite, tem-se:

y= 0+0+0+⋯+0+0+ 0 b_m+0+0+⋯+0+0+ 0= 0 b_m=0 . Se n=m , tem-se: y=lim x →∞

(

a_nxn+a_n−1xn−1+a_n−2xn−2+⋯+a₂x2+a₁x+a₀ xn b_mxm_+b m−1xm−1+bm−2xm−2+⋯+b2x2+b1x+b0 xn

)

, y=lim x →∞

(

a_nxn+a_n−1xn−1+a_n−2xn−2+⋯+a₂x2+a₁x+a₀ xn b_nxn+b_n−1xn−1+b_n−2xn−2+⋯+b₂x2+b₁x+b₀ xn

)

,

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 16 y=lim x →∞

(

a_nxn xn + a_n−1xn−1 xn + a_n−2xn−2 xn +⋯+ a₂x2 xn + a₁x xn + a₀ xn b_nxn xn + b_n−1xn−1 xn + b_n−2xn−2 xn +⋯+ b₂x2 xn + b₁x xn + b₀ xn

)

, y=lim x →∞

(

a_n+an−1 x + a_n−2 x2 +⋯+ a₂ xn−2+ a₁ xn−1+ a₀ xn b_n+bn−1 x + bn−2 x2 +⋯+ b2 xn−2+ b1 xn−1+ b0 xn

)

,

e passando ao limite, tem-se: y=an+0+0+⋯+0+0+0 b_n+0+0+⋯+0+0+0=

a_n b_n .

Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os

limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja,

y=lim x →∞

(

a_nxn_+a n−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a2x2+a1x +a0 b_mxm+b_m−1xm−1+b_m−2xm−2+⋯+b₂x2+b₁x +b₀

)

y=lim x →∞

(

a_nxn+0+0+⋯+0+0+0 b_mxm_{++ 0+0+⋯+0+0+0}

)

=lim x →∞

(

a_nxn b_mxm

)

=lim x →∞

(

a_n b_mx n−m

)

. Assim, se n>m ⇒ y=∞ , se n=m ⇒ y =an b_m e se m>n ⇒ y=0 . Exemplos: 1) lim x → ∞

(

5x2

2x2₋₃

)

, o resultado daria ∞∞ (indeterminação)

Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem: lim x → ∞

(

5x2 x2 2x2 x2 − 3 x2

)

=lim x →∞

(

5 2− 3 x2

)

= 5 2−lim x →∞

(

3 x2

)

= 5 2−0= 5 2 ,

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 17 ou simplesmente lim x → ∞

(

5x2 2x2−3

)

=limx → ∞

(

5x2 2x2

)

= 5 2limx →∞

(

x2 x2

)

= 5 2x →∞lim(1)= 5 2 2) Calcular o limite lim x → ∞

(

x3+1 x2₊₁

)

=lim x →∞

(

x3 x3+ 1 x3 x2 x3+ 1 x3

)

=lim x →∞

(

1+ 1 x3 1 x+ 1 x3

)

= 1+ lim x →∞ 1 x3 lim x →∞

(

1 x+ 1 x2

)

=1+0 0+0= 1 0=∞ ou lim x → ∞

(

x3+1 x2+1

)

=x→∞lim

(

x3 x2

)

=limx→ ∞x=∞ 3) Calcular o limite lim x → ∞

(

5x 3

√

7x3+3

)

=x→∞lim

(

5x x 1 x 3

√

7x3+3

)

=lim x→ ∞

(

5 3

√

1 x3

(

7x 3₊₃₎

)

= 5 3

√

7 + lim x →∞ 3 x3 =₃5

√

7 ou lim x → ∞

(

5x 3

√

7x3+3

)

=x→∞lim

(

5x 3

√

7x3

)

=x → ∞lim

(

5x

(

3

√

7

)

√

3x3

)

= 5 3

√

7 limx →∞

(

x x

)

= 5 3

√

7 limx →∞ (1 )=₃5

√

7 4) Calcular o limite lim x → ∞

(

7x 2_+3x3

₎₌

_lim x →∞

[

x 3

(

7x2 x3 + 3x3 x3

)

]

=limx →∞

[

x 3

(

7 x+3

)

]

=x →∞lim

[

x 3_{(0+3 )}

_]

www.matematiques.com.br www.cursoeduardochaves.com 18 lim x → ∞

[

x 3₍₀₊₃₎

_]

_=lim x →∞

(

3x3

)=3 lim

x →∞x 3_=(3)⋅ (∞)=∞ ou simplesmente lim x → ∞

(

7x2+3x3

)=7 lim

x →∞

(

x2

)+3 lim

x → ∞

(

x3

)=∞+∞=∞

Limites Laterais

a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de f ( x ) quando x tende a a (ou que o limite de f ( x ) quando x tende a a pela esquerda) é L e representa-se por

lim x → a−

f ( x)=L

se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, x<a .

Exemplo: lim x →π 2 −

[

tan ( x )

]

=lim x→π₂−

[

sen ( x ) cos (x )

]

= sen

(

π 2 −

)

cos

(

π 2 −

)

= 1 +0=+ 1 0=+ ∞

b) Definição: Diz-se que o limite direito de f ( x ) quando x tende a a (ou que o limite de f ( x ) quando x tende a a pela direita) é L e representa-se por

lim x → a+

f ( x )=L

se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, x<a .

Exemplo: lim x →π₂+

[

tan ( x )

]

=lim x →π 2 +

[

sen (x ) cos ( x )

]

= sen

(

π 2 +

)

cos

(

π 2 +

)

= 1 −0=− 1 0=− ∞

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EXERCÍCIOS:

2) Resolver os limites abaixo: 14. lim_{y → 0}(1+ y )1/ y 11. lim x →2 x2−5x + 6 x−2 12. lim x →2 x2− 4 x+2 13. lim x → 1+ x3−1 x2−1 16. lim h→0− (3+h )2−9 h 17. lim h→0 2 −

√

4−h h 18. lim x → −3 3

√

x−4 6x2₊₂ 19. lim_{y → 0}(1+ay )1/ y 15. lim x → ∞

(

5x 3

√

7x3+ 3

)

20) limx → ∞

(

7x2_+3x3

₎