VERSÃO PARA IMPRESSÃO

(1)

M

ECÂNICA

UIA

4 |

D

INÂMICA DO

C

ORPO

R

ÍGIDO

(2)

Este material é destinado exclusivamente aos alunos e professores do Centro Universitário IESB, contém informações e conteúdos protegidos e cuja divulgação é proibida por lei. O uso e/ou reprodução total ou parcial não autorizado deste conteúdo é proibido e está sujeito às penalidades cabíveis, civil e criminalmente.

(3)

SUMÁRIO

Aula 13 | Cinemática do Corpo Rígido ... 4

13.1. Posição, Velocidade e Aceleração ... 4

13.2. Movimento Retilíneo Uniforme ... 5

13.3. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ... 6

13.4. Movimento Curvilíneo ... 7

13.5. Componente Tangencial e Normal ... 8

13.6. Componente Radial e Transversal ... 9

Aula 14 | Dinâmica do Corpo Rígido – Forças e Acelerações ... 10

14.1. A Segunda Lei de Newton do Movimento ... 10

14.2. Quantidade de Movimento Linear ... 11

14.3. Equações de Movimento ... 12

14.4. Quantidade de Movimento Angular ... 13

14.5. Equações de Movimento: componentes radial e transversal ... 14

14.6. Movimento sujeito à Ação de uma Força Central ... 14

Aula 15 | Dinâmica do Corpo Rígido – Trabalho e Energia ... 16

15.1. Trabalho ... 16

15.2. Energia Cinética ... 17

15.3. Teorema Trabalho-Energia ... 18

15.4. Potência e Eficiência ... 18

15.5. Forças Conservativas ... 19

15.6. Conservação da Energia ... 20

Aula 16 | Dinâmica do Corpo Rígido – Impulso e Quantidade de Movimento ... 21

16.1. Impulso e Quantidade de Movimento ... 21

16.2. Movimento Impulsivo ... 22

16.3. Impacto Central Direto ... 23

16.4. Impacto Central Oblíquo ... 25

(4)

Aula 13 | CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de

Aprendizagem (AVA), assista à videoaula e tenha uma breve introdução dos principais tópicos que serão abordados na UIA 4.

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

As unidades anteriores foram dedicadas ao estudo de corpos em repouso (estática). Nesta unidade vamos estudar a dinâmica dos corpos rígidos, ou seja, os corpos em movimento e suas causas. Na primeira aula faremos uma abordagem sobre a cinemática que visa investigar o movimento propriamente dito sem se preocupar com as causas deste e nas aulas subsequentes as causas do movimento será estudo a partir de três metodologias distintas.

13.1. P

OSIÇÃO

,

V

ELOCIDADE E

A

CELERAÇÃO

Para estudarmos a teoria por trás do movimento precisamos, antes de tudo, definir algumas quantidades físicas. Inicialmente vamos tratar do movimento retilíneo, ou seja, num certo instante t, o móvel vai ocupar uma posição sobre uma linha reta. Para definirmos a posição P de um móvel, vamos escolher uma origem O fixa na linha reta e um sentido positivo, ambos escolhidos de maneira completamente arbitrária, como indicado na figura 13.1. No S.I. a posição é dada em metros (m).

Figura 13.1 – Posição P de um móvel que se move ao longo de uma reta x em relação a uma origem fixa O.

Uma vez definida a posição do móvel, podemos falar de velocidade média, definida pelo quociente da variação de espaço x pelo intervalo de tempo t:

m

x

v

t

=

(13.1)

A velocidade instantânea de um móvel é obtida a partir da definição de velocidade média e dada por:

0

lim

t

x

dx

v

t

dt

=

(13.2)

que é justamente a definição da derivada do espaço em relação ao tempo, ou seja, a taxa de variação do espaço com relação ao tempo. No S.I., a unidade de medida de velocidade é o metro por segundo (m/s). Nesse mesmo contexto, podemos definir a aceleração média:

(5)

v

a

t

=

(13.3) e a aceleração instantânea: 0

lim

t

v

dv

a

t

dt

=

(13.4)

Esta última define a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. No S.I. a aceleração é dada em m/s². Observe que é possível escrever a aceleração instantânea da seguinte maneira:

2 2

dv

d dx

d x

a

dt

dt dt

dt

=

(13.5)

que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Além disso, utilizando a regra da cadeia, podemos escrever:

dv

d

dx

v

a

dt

=

e identificando

dx

v

dt

=

, temos:

dv

a v

dx

=

(13.6)

A equação 13.6 será útil para obtermos outras equações de cinemática que serão úteis ao longo do curso como veremos nas seções seguintes.

13.2. M

OVIMENTO

R

ETILÍNEO

U

NIFORME

Este é o tipo de movimento que é frequentemente aproximado por várias situações cotidianas de engenharia, onde a aceleração do móvel é nula para todo valor de t. O que implica diretamente em:

constante

dx

v

dt

= =

_(13.7)

Deste modo, a coordenada da posição x, pode ser obtida diretamente a partir de integração da equação 13.7. Rearranjando os termos desta equação chagamos a:

dx vdt=

e integrando ambos os lados na respectivas variáveis:

0 0 x t x

dv v dt

=

0

x x

=

vt

0

x x

= +

vt

(6)

Esta equação é chamada de equação horária do espaço no movimento retilíneo uniforme e somente poderá ser utilizada se a velocidade do móvel é constante, ou seja, ele percorre espaços iguais em tempos iguais.

13.3. M

OVIMENTO

R

ETILÍNEO

U

NIFORMEMENTE

V

ARIADO

Outro exemplo de situação ideal que pode ser aproximada em situações práticas de engenharia é o movimento retilíneo uniformemente variado no qual a aceleração do móvel é constante:

constante

dv

a

dt

= =

(13.8)

e a velocidade do móvel é obtida por simples integração da equação 13.8. Rearranjando os termos:

dv adt=

e integrando em relação às respectivas variáveis:

0

v t

v o

dv a dt=

a aceleração saiu da integração pois ela é uma constante, da mesma forma como a velocidade também saiu na integração da equação 13.7. Resolvendo a integral, obtemos:

0

v v

=

at

0

v v

= +

at

_(13.9)

A equação 13.9 é chamada de equação horária da velocidade no movimento retilíneo uniformemente variado. Para determinarmos a posição, podemos substituir a equação 13.7 na equação 13.9:

0

dx

_v

_at

dt

= +

Rearranjando os termos, obteremos:

(

0

)

dx dt v

=

+

at

Agora integrando e resolvendo a equação acima, obteremos:

(

)

0 0 0 x t x

dx

=

v

+

at dt

2 0 0

1

2 x x

=

v t

+

at

2 0 0

1

2 x x

= +

v t

+

at

(13.10) Vamos utilizar agora a equação 13.6:

dv

a v

dx

(7)

Uma vez que a aceleração é constante podemos rearranjar os termos desta equação da seguinte maneira:

adx vdv=

e assim podemos integrar esta equação:

0 0 x v x v

a dx

=

vdv

(

2 2

)

0 0

1 (

)

2 a x x

=

v

2 2 0

2 (

0

)

v

=

v

+

a x x

(13.11)

A equação 13.11 é conhecida como equação de Torricelli. Vele ressaltar que as equações 13.9, 13.10 e 13.11 somente poderão ser utilizadas quando o móvel possuir uma aceleração constante.

Para aprofundar mais sobre o MRUV e encontrar alguns exercícios eu recomendo a apresentação “O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV”), disponível no acervo da disciplina.

13.4. M

OVIMENTO

C

URVILÍNEO

Quando um móvel se desloca ao longo de uma curva, dizemos se tratar de um movimento curvilíneo e assim, temos de definir outra maneira para determinar a posição P de um móvel. A figura 13.2 mostra um sistema de coordenadas cartesiano com uma origem O onde o vetor r sai da origem O e vai até a posição

P de um móvel ao longo do espaço. O vetor r é chamado de vetor posição do móvel no instante t.

Figura 13.2 – Vetor posição r no espaço tridimensional cartesiano.

A velocidade instantânea é definida em termos do vetor posição r através da seguinte relação:

0

lim

t

d

t

dt

=

r

=

r

v

(13.12) Deste modo, também podemos definir a aceleração instantânea:

0

lim

t

d

t

dt

=

v

=

v

a

(13.13)

(8)

13.5. C

OMPONENTE

T

ANGENCIAL E

N

ORMAL

A velocidade de um móvel é um vetor tangente à trajetória desse móvel, entretanto, em geral, a aceleração não é tangente a essa trajetória.

Portanto, torna-se necessário decompor a aceleração em componentes ao longo

da tangente e da normal à trajetória da partícula.

Dessa maneira, podemos definir dois vetores unitários

e

n_e

e

t_{ao longo da reta normal à trajetória de um}

móvel e ao longo da reta tangente à trajetória respectivamente (figura 13.3).

Figura 13.3 – Vetores unitários en e et.

Pode-se mostrar que:

t n

de

e

d

=

(13.14)

Apesar de que a demonstração da equação 13.14 não foi mostrada aqui, esta equação é bastante importante e deverá ser decorada.

Já sabemos que a velocidade de um móvel é tangente à trajetória e pode ser expressa da seguinte maneira.

t

ve

=

v

_(13.15)

Para obtermos a aceleração a partir da velocidade expressa na equação 13.15, precisamos realizar uma derivada em relação ao tempo:

( )

t t t

de

d

_ve

dv

_{e v}

dt

=

v

=

+

a

(13.16) Utilizando a regra da cadeia, podemos chegar à seguinte relação:

t t

de

de d ds

dt

=

d ds dt

(13.17) Lembrando que

ds

v

dt

=

_,

1 d

ds

=

_onde _{é o raio de curvatura da trajetória em P (figura 13.4) e usando}

(9)

de

v

e

dt

=

_(13.18)

e substituindo o resultado de 13.18 na equação 13.18 obteremos a seguinte expressão:

2 t n

dv

v

e

dt

=

+

a

(13.19)

A equação 13.19 de compõe a aceleração nas direções normal e tangencial da trajetória de um corpo em movimento curvilíneo. O primeiro termo do lado direito desta equação é chamado de aceleração tangencial enquanto que o segundo termo é chamado de aceleração centrípeta que aponta para o centro da trajetória curvilínea.

Figura 13.4 – Deslocamento de um móvel ao longo de uma trajetória curvilínea.

13.6. C

OMPONENTE

R

ADIAL E

T

RANSVERSAL

Em alguns problemas em engenharia é necessário utilizar as coordenadas polares

r

e para facilitar sua a resolução. Assim, de maneira similar a que fizemos na seção anterior, vamos decompor a velocidade e a aceleração em termos de componentes radial e transversal (figura 13.5).

Figura 13.4 – Componentes radial e transversal de um movimento em coordenadas polares.

Pode-se mostrar que

r

de

e

d

=

_e r

de

e

d

=

_{e escrevendo o vetor posição como um produto:}

r

re

=

r

_(13.20)

Derivando uma e duas vezes obteremos as equações de velocidade e aceleração, escritas aqui sem demonstração:

r

re

r e

=

+

(10)

e

(

2

) (

₂

)

r

r r

e

r

r e

=

+

a

(13.22)

Desta maneira, conseguimos decompor a velocidade e a aceleração em componentes radial e transversal. As equações 13.20, 13.21 e 13.22 são principais para problemas em coordenadas polares.

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula, sobre uma aplicação dos princípios fundamentais de dinâmica, em um caso específico.

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

Para maiores detalhes sobre movimentos retilíneos e curvilíneos eu recomendo o link

http://tinyurl.com/ztftqkz

Aula 14 | DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO – FORÇAS E ACELERAÇÕES

Nesta aula, vamos começar a estudar as causas do movimento, ou seja, o que faz com que os objetos iniciem seu movimento. Na aula anterior vimos como determinar a posição, a velocidade e a aceleração de um móvel e agora daremos mais um passo a frente no estudo da dinâmica. Existem várias metodologias que podem ser utilizada para resolução de problemas de dinâmica dentre as quais podemos citar o método das forças e acelerações (tema dessa aula), o método da energia e trabalho (que será visto na aula seguinte) e por fim o método do impulso e quantidade de movimento que será abordado na nossa ultima aula do curso. A seguir, vamos retomar alguns conceitos fundamentais e necessários para nos aprofundarmos.

14.1. A

S

EGUNDA

L

EI DE

N

EWTON DO

M

OVIMENTO

A segunda lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma:

“A força resultante que atua num corpo é diretamente proporcional à sua aceleração e aponta na mesma direção dela”.

Matematicamente, podemos a segunda lei de Newton será expressa da seguinte forma:

F

=

ma

(14.1)

onde Σ𝐹 representa o somatório da forças que atuam sobre o corpo, ou seja, a resultante das forças, m é a massa do corpo e 𝑎 é a aceleração adquirida.

(11)

Observe que o sistema de referência em relação ao qual a aceleração na equação 14.1 é determinada não é arbitrário. Estamos falando do sistema de referência newtoniano, ou seja, este está em repouso ou com velocidade constante em relação às estrelas localizadas no centro do sistema solar. Para fins de engenharia, a Terra pode ser considerada com boa aproximação, um referencial newtoniano.

14.2. Q

UANTIDADE DE

M

OVIMENTO

L

INEAR

Retomando a equação 14.1, podemos utilizar a definição de aceleração

a

=

d dt

v

/

. Desta maneira, teremos:

d

m

dt

=

v

F

Em sistemas onde a massa do corpo permanece constante, temos que a taxa de variação de massa é nula, ou seja, a massa não varia no tempo e sua derivada em relação ao tempo é zero:

0 dm

dt

=

_(14.2)

Portanto, podemos escrever utilizando a regra da derivada do produto:

dm

d

+m

dt

=

v

F

v

( )

d

m

dt

=

F

v

(14.3)

Chamamos o vetor

mv

de quantidade de movimento linear ou momento linear o simplesmente momento de um corpo. A equação 14.4 pode ser interpretada como: a resultante das forças que atuam num corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear deste. Portanto, podemos definir matematicamente o momento linear como:

m

=

L

v

_(14.4)

Podemos utilizar a notação L para denotar uma derivada temporal, ou seja:

d

dt

=

L

(14.5) Desta maneira, a equação 14.3 pode ser escrita da seguinte maneira:

=

F

L

(14.6)

Decorre da equação 14.6 que se a força resultante que atua num corpo for nula, a taxa de variação da quantidade de movimento linear também será. Isto resulta que se a derivada do momento linear é nula o vetor momento linear é uma constante tanto em intensidade, direção e sentido.

Isto resulta no princípio da conservação da quantidade de movimento linear e é

desta maneira que Newton enunciou a sua segunda lei do movimento.

(12)

14.3. E

QUAÇÕES DE

M

OVIMENTO

Observe que a equação 14.1,

F

=

ma

, está escrita em sua forma vetorial. Entretanto, para resolução de problemas em engenharia é mais conveniente resolvê-la em sua forma escalar. Para isso precisamos definir o sistema de coordenadas mais conveniente.

Se a simetria do problema exigir o uso de coordenadas cartesianas convencionais, decompomos os vetores de força 𝐹 e aceleração 𝑎 em coordenadas retangulares:

x y z

F

=

+

F

i

j

k

e x y z

a

=

+

a

i

j

k

de forma que a equação 14.1 fica:

(

F

x

i

+

F

y

j

+

F

z

k

) (

=

m a

x

i

+

a

y

j

+

a

z

k

)

_(14.7)

De onde podemos tirar três equações independentes:

x x y y z z F ma F ma F ma = = = (14.8)

Figura 14.1 – Sistema de componentes normal e tangencial.

Agora, se o problema puder ser analisado em componentes normal e tangencial (figura 14.1), podemos decompor a força e aceleração da seguinte maneira:

t t n n

F

=

+

F

e

e t t n n

a

=

+

a

e

onde 𝐹$ é a componente da força na direção tangencial, 𝐹% é a componente da força na direção normal,

𝑎_$ é a componente da aceleração na direção tangencial e 𝑎_% é a componente da aceleração na direção normal.

Utilizando as definições da equação 13.9 e aplicando-as à equação 14.1 podemos obter as seguintes equações: t

dv

F

m

dt

=

(14.9) e

(13)

v

F

=

m

(14.10)

Que constituem um sistema de duas incógnitas para ser resolvidos nos problemas de simetria curvilínea.

Os alunos podem encontrar a resolução de alguns problemas envolvendo equações de movimento no link abaixo:

http://tinyurl.com/jdyybb3

14.4. Q

UANTIDADE DE

M

OVIMENTO

A

NGULAR

A figura 14.2 mostra uma partícula P viajando com uma velocidade v. Enquanto a partícula viaja, o vetor r que liga a partícula à origem O efetua um giro em relação a esse ponto. O momento em relação a O do vetor mv é chamado de quantidade de movimento angular ou simplesmente momento angular representado por HO.

Figura 14.2 – Quantidade de movimento angular em relação a O.

Matematicamente podemos definir o momento angular da seguinte forma:

O

= ×

m

H

r

v

_(14.11)

que é um produto vetorial. Observando a figura 14.2, podemos escrever essa equação na forma escalar, lembrando da definição do produto vetorial:

sen

O

H

=

rmv

_(14.12)

onde é o ângulo que o momento linear faz com a direção do vetor posição r que localiza a partícula P no espaço.

Podemos ainda escrever o momento angular em termos das coordenadas retangulares da seguinte maneira: O x y z

x

y

z

mv

=

i

j

k

H

(14.13) que resultará em três equações independentes:

(14)

(

)

(

)

(

)

x z y y x z x y x

H

m yv

zv

H

m zv

xv

H

m xv

yv

=

(14.14)

14.5. E

QUAÇÕES DE

M

OVIMENTO

:

COMPONENTES RADIAL E TRANSVERSAL

Se nos depararmos com um problema de dinâmica em coordenadas polares, como na figura 14.3, podemos decompor a força e a aceleração em componentes radial e transversal:

r r

F

=

+

F

e

e r r

a

=

+

a

e

Figura 14.3 – Partícula submetida a um sistema de forças em coordenadas polares.

Desta maneira, podemos utilizar a equação 13.22 e substituir na equação 14.1 para obtermos:

(

2

)

r

F

=

m r r

(14.15) e

(

2 )

F

=

m r

+

r

(14.16)

Que são duas equações independentes que podem ser utilizadas para obtenção de duas incógnitas

14.6. M

OVIMENTO SUJEITO À

A

ÇÃO DE UMA

F

ORÇA

C

ENTRAL

Quando uma única força atua sobre um corpo que aponta para um ponto O fixo ou se afastando dele, dizemos se tratar de um movimento sob a ação de uma força central (figura 14.4). Podemos citar como exemplos de força central a força gravitacional e a força elétrica.

(15)

Figura 14.4 – Movimento sob a ação de uma força central.

Derivando no tempo a equação 14.11 podemos mostrar que o momento da força é igual a taxa de variação do momento angular:

O O

d

dt

=

H

M

(14.17) e utilizando a notação O O

d

dt

=

H

, podemos escrever: O

=

O

M

H

_(14.18)

Pode-se mostrar que como a linha de ação da força F passa por O, o momento da força é nulo

M

O

=

0

_.

Portanto:

0

O

=

H

_(14.19)

e a taxa de variação do momento angular é nula, ou seja, o momento angular é uma constante

constante

O

=

H

_{. Este é o princípio da conservação do momento angular que pode ser também escrito}

como:

0 0 0

sen

rmv

=

r mv

(14.20) onde utilizamos a equação 14.12.

Para maiores informações e demonstrações sobre o tópico de movimentos sob a ação de uma força central acesse o link:

http://tinyurl.com/zmwop4u

(16)

Aula 15 | DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO – TRABALHO E ENERGIA

Nesta aula iremos abordar o segundo método utilizado na resolução de problemas de dinâmica que é o método do trabalho e energia cinética. Na seção seguinte vamos definir os termos e veremos mais pra frente como eles se tornam úteis na resolução dos problemas.

Os alunos poderão encontrar uma série de problemas que são simplificados a partir do uso do método do trabalho-energia no link abaixo:

http://tinyurl.com/zshwuvv

15.1. T

RABALHO

Vamos inicialmente definir trabalho e deslocamento usados em mecânica. Para isso considere a figura 15.1 na qual uma partícula se move de um ponto A para o ponto A’ sob a ação de uma força F.

Figura 15.1 – Trabalho infinitesimal realizado por uma força F.

O vetor

r

é o vetor posição do ponto A enquanto que o vetor que liga os pontos A e A’, representado por

dr

_{, é chamado de deslocamento da partícula. Assim, definimos o trabalho da força F correspondente} ao deslocamento

dr

pela seguinte expressão:

dU

= F r

d

_(15.1)

que é o produto escalar entre a força e o deslocamento. No S.I. a unidade de medida do trabalho é o joule (J).

Se o módulo da força for F , do deslocamento for

ds

e for o ângulo entre a força e o deslocamento, podemos reescrever a equação 15.1 como:

cos

dU

=

Fds

_(15.2)

Para obtermos o trabalho finito devemos estabelecer um limite como na figura 15.2 onde definimos os pontos A1 e A2.

(17)

Figura 15.2 – Trabalho finito realizado por uma força F entre os pontos A1 e A2. Integrando a equação 15.1 nos limites estabelecidos pela figura 15.2, temos:

2 1 1 2 A A

U

= F r

d

(15.3)

que define o trabalho finito realizado por uma força F durante um deslocamento entre os pontos A1 e

A2.

15.2. E

NERGIA

C

INÉTICA

Considere uma partícula se deslocando ao longo de uma trajetória curvilínea conforme mostra a figura 15.3. Vamos partir da definição da segunda lei de Newton em termos das componentes tangenciais da força e da aceleração: t t

F

=

ma

_(15.4) t

dv

F

m

dt

=

(15.5)

Figura 15.3 – Partícula ao longo de uma trajetória curvilínea.

Lembrando que

v ds dt

=

/

podemos escrever:

t

dv ds

F

m

ds dt

=

t

dv

F

m

v

ds

=

(18)

t

F ds mvdv

=

Realizando uma integração de A1, onde

s s

=

1 e

v v

=

1, até A2 onde

s s

=

2 e

v v

=

2, temos:

2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 s v t s v F ds m vdv= = mv mv (15.6)

onde chamamos o termo

2

1

2 mv

de energia cinética da partícula T, que é uma grandeza puramente escalar.

Deste modo, escrevemos:

2

1

2 T

=

mv

(15.7) No S.I. a unidade de medida de energia cinética também é joule (J).

15.3. T

EOREMA

T

RABALHO

-E

NERGIA

Podemos relacionar as equações 15.3, 15.6 e 15.7 para escrevermos:

2 2 1 2 2 1 2 1

1

2

2 U

=

mv

=

T T

=

T

(15.8)

onde verificamos claramente que o trabalho para deslocar a partícula do ponto A1 ao ponto A2 é igual a

variação de energia cinética da partícula. A equação 15.8 é chamada de teorema trabalho-energia, pois relaciona o trabalho realizado por uma força com a variação de energia cinética de uma partícula.

A grande vantagem de utilizar este teorema é o fato de lidar com equações

puramente escalares sem se preocupar em decompor a força nem a aceleração nas

coordenadas do problema sejam elas retangulares ou polares.

Outro fato importante é que realizando uma análise dimensional das equações 15.1 e 15.7 podemos verificar facilmente que o trabalho e a energia possuem a mesma unidade de medida, o que de fato é também verificado na equação 15.8. Além disso, a energia cinética é sempre positiva não importando o movimento da partícula.

A utilização da equação 15.8 está restrita a sistemas nos quais não há dissipação de energia.

15.4. P

OTÊNCIA E

E

FICIÊNCIA

Definimos potência pela taxa temporal de realização de trabalho. Se

U

é o trabalho realizado durante certo intervalo de tempo

t

, a potência média durante aquele intervalo será de:

Potência média

U

t

=

(19)

Potência lim

t

U

dU

t

dt

=

(15.9) No S.I., a unidade de medida de potência é o watt (W).

Já a eficiência é definida pela razão entre o trabalho de saída e o trabalho de entrada. Matematicamente:

trabalho de saída

trabalho de entrada

=

(15.10)

As definições de trabalho e eficiência são bastante utilizadas em máquinas térmicas

e elétricas para sabermos seus consumos de energia para projetos de máquinas de

engenharia.

Eu recomendo o link <http://tinyurl.com/j8xhz9k> para os alunos buscarem exemplos e aplicações sobre os conceitos definidos nesta seção.

15.5. F

ORÇAS

C

ONSERVATIVAS

Forças conservativas são aquelas que não dependem da trajetória, mas apenas das posições inicial e final do objeto. São exemplos de forças conservativas a força elástica, a força gravitacional e a força elétrica. A essas forças podemos associar uma energia chamada de energia potencial. Esta forma de energia depende da posição relativa a uma referência.

Figura 15.4 – Caso da energia potencial gravitacional.

A energia potencial gravitacional está associada à altura (figura 15.4) e é definida como sendo:

g

V

=

mgy

(15.11)

onde m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade e y é a altura relativa à referência, que em vários problemas de engenharia será o solo.

(20)

Figura 15.5 – Caso da energia potencial elástica.

A energia potencial elástica está associada ao sistema massa-mola da figura 15.5 e é escrita matematicamente como: 2

1

2

e

V

=

kx

(15.12)

onde k é a constante de rigidez da mola e x é o deslocamento da mola a partir da posição da mola indeformada.

Em sistemas onde somente há forças conservativas, temos que:

1 2 1 2

U

=

V V

=

V

_(15.13)

ou seja, o trabalho realizado pela força é igual ao negativo da variação de energia potencial associado ao sistema. Este fato será importante para escrevermos o teorema de conservação da energia mecânica na seção subsequente:

15.6. C

ONSERVAÇÃO DA

E

NERGIA

Quando um objeto se deslocar sob a ação de forças conservativas, o teorema trabalho-energia definido pela equação 15.8 pode ser modificado e para isso utilizaremos a equação 15.13 para escrevermos:

1 2 2 1

V V

=

T T

1 1 2 2

T V

+ = +

T V

_(15.14)

ou seja, a soma da energia cinética e da energia potencial de um objeto permanece constante. A soma da energia cinética com a energia potencial é chamada de energia mecânica E. Desta forma, podemos expressar a equação 15.14 da seguinte maneira:

1 2

E

=

E

_(15.15)

ou ainda:

0

(21)

As equações 15.14, 15.15 e 15.16 somente são válidas para sistemas submetidos apenas a forças conservativas e onde não há dissipação de energia. A equação 15.16 é chamada também de princípio da conservação da energia mecânica.

Você poderá se informar mais sobre conservação da energia mecânica no link abaixo:

http://tinyurl.com/juavanw

Aula 16 | DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO – IMPULSO E QUANTIDADE DE

MOVIMENTO

Finalmente este curso se encerra com o último método de análise de problemas em dinâmica que utiliza o princípio o impulso e da quantidade de movimento. Nas seções subsequentes vamos definir as grandezas físicas envolvidas e iremos mostrar quais são os problemas que se adequam a esse tipo de análise. Vamos lá!

16.1. I

MPULSO E

Q

UANTIDADE DE

M

OVIMENTO

Vamos considerar uma partícula de massa m sob a ação de uma força F. Utilizando a equação 14.3:

( )

d

m

dt

=

F

v

multiplicando ambos os lados pelo elemento infinitesimal de tempo dt e integrando de t1 até t2 teremos:

( )

dt d m

=

F

v

2 1 2 1 t t dt m= m F v v

Rearranjando os temos da equação acima obteremos:

2 1 1 2 t t mv + Fdt m= v (16.1)

A integral expressa na equação 16.1 é definida como impulso da força F durante o intervalo de tempo em questão. Escrevemos matematicamente o impulso da seguinte forma:

2 1 1 2 t t dt = Imp F (16.2)

onde temos uma equação vetorial. Podemos ainda escrever a equação 16.2 em termos das componentes retangulares no espaço cartesiano e obteremos três equações independentes:

2 2 2 1 1 1 1 2 t t t x y z t t t F dt + F dt + F dt = Imp i j k (16.3)

(22)

e desta forma representaremos o impulso em cada uma das direções do sistema de coordenadas cartesiano.

No S.I., a unidade de medida do impulso é

N s

ou ainda, relembrando da definição de Newton,

kg m/s

. Observe que a equação 16.1 representa que a quantidade de movimento final

mv

2_{do objeto pode ser}

obtida adicionando vetorialmente seu momento inicial

mv

1_{com o impulso da força F durante o intervalo}

de tempo em questão. A figura 16.1 ilustra esse procedimento.

Figura 16.1 – Princípio impulso e quantidade de movimento.

Podemos reescrever a equação 16.1 de uma forma mais funcional:

1 1 2 2

m

v

+

Imp

=

m

v

_(16.4)

A equação 16.4 é chamada de princípio do impulso e quantidade de movimento e é bastante semelhante ao teorema trabalho-energia. Porém, a equação 16.4 é uma equação vetorial e precisamos definir um sistema de coordenadas adequado para obtermos uma solução analítica. Em componentes retangulares, podemos escrever:

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 t x x x t t y y y t t z z z t

mv

F dt

mv

F dt

mv

F dt

mv

+

=

+

=

+

=

(16.5)

16.2. M

OVIMENTO

I

MPULSIVO

O método de solução explicado na seção anterior é bastante útil no estudo de movimentos impulsivos. Temos um movimento impulsivo quando uma força bastante intensa age sobre uma partícula durante um intervalo extremamente curto de tempo. Um exemplo de movimento impulsivo pode ser obtido quando uma bola de beisebol sofre uma tacada de um rebatedor, figura 16.2.

Figura 16.2 – Exemplo de movimento impulsivo.

Nesta situação o contato do taco com a bola ocorre durante um intervalo de tempo bastante curto e a força exercida pelo taco é tão intensa que é capaz de alterar facilmente o sentido de movimento da bola de beisebol.

(23)

Vale ressaltar que qualquer força que não seja uma força impulsiva pode ser desprezada, devido ao fato dela ser incapaz de alterar o sentido do movimento do móvel. No exemplo da figura 16.2 a força peso é desprezada pelo fato de não ser uma força impulsiva.

O aluno terá apenas o trabalho de identificar quais são as forças que são capazes de alterar o sentido de movimento do objeto para então aplicar as equações 16.5.

Para mais exemplos de movimento impulsivo eu recomendo o link abaixo:

http://tinyurl.com/gw4zh7t

16.3. I

MPACTO

C

ENTRAL

D

IRETO

Quando ocorre a colisão entre dois corpos num intervalo de tempo muito curto e durante o qual os corpos exercem forças relativamente grandes um sobre o outro este tipo de colisão pode ser considerada um impacto, figura 16.3.

Figura 16.3 – Impacto central direto.

No impacto central direto as velocidades das duas partículas estão direcionadas ao longo da linha de impacto.

Vamos considerar a situação da figura 16.4(a) onde duas partículas de massas mA e mB se movem em

linha reta e com velocidades vA e vB respectivamente.

Considere ainda que a velocidade da partícula A seja superior que a velocidade da partícula B. Logo, a partícula A alcançará a partícula B. No impacto, ambas as partículas serão deformadas pelas forcas de contato e no final da deformação, figura 16.4(b), ambas as partículas possuirão a mesma velocidade u. Após esse processo, se iniciará o processo de restituição e dependendo das forças de contato e do material que constitui as partículas, elas ficarão deformadas e apresentarão velocidades finais vA’ e vB’.

(24)

Figura 16.4 – Etapas do processo de impacto central direto.

Utilizando a equação 16.5 na direção do eixo x é possível definir uma grandeza física chamada de coeficiente de restituição: ' ' B A A B

v

e

v

=

(16.6)

A demonstração da equação 16.6 pode ser encontrada no link: http://tinyurl.com/jax2dd2

Como não há forças externas a serem consideradas no movimento impulsivo representado na figura 16.4, o momento linear total das partículas se conserva:

' '

A A B B A A B B

m v

+

m v

=

m v

+

m v

_(16.7)

A partir dessas considerações, existem três casos particulares que merecem destaque:

i. Quando o coeficiente de restituição é nulo

(

e

=

0 )

. Dizemos que o impacto é perfeitamente plástico ou inelástico. Não há período de restituição e as partículas ficam juntas após o impacto. Fazendo ' '

_'

A B

v

=

v

=

v

, temos:

(

)

'

A A B B A B

m v

+

m v

=

m

+

m v

(16.8)

i. Quando o coeficiente de restituição é máximo

(

e

=

1 )

dizemos que o impacto é perfeitamente elástico. Isso significa dizer que os impulsos durante o período de deformação e restituição são iguais. Neste caso, além do momento ser conservado, há conservação da energia cinética:

(25)

( )

_' 2

( )

_' 2 2 2 2 2 2 2 A A B B A A B B m v m v m v ₊m v ₌ ₊ (16.9)

ii. Nos casos em que

(

e

1 )

a energia não se conserva. Para que isso ocorra há perdas energéticas em forma de calor, som e ondas elásticas no interior dos corpos.

16.4. I

MPACTO

C

ENTRAL

O

BLÍQUO

No impacto central oblíquo uma ou ambas as partículas se movem ao longo de outra linha que não seja a linha de impacto, figura 16.5.

Figura 16.5 – Impacto central oblíquo.

Neste caso consideraremos as componentes das velocidades ao longo da linha de impacto e desta forma as equações definidas na seção anterior continuarão sendo válidas também para esse tipo de situação. Assim, será necessário decompor as velocidades nas direções normal e tangencial à superfície de contato das partículas.

Você terminou o estudo desta unidade. Chegou o momento de verificar sua aprendizagem. Ficou com alguma dúvida? Retome a leitura.

Quando se sentir preparado, acesse a Verificação de Aprendizagem da unidade no menu lateral das aulas ou na sala de aula da disciplina. Fique atento, essas questões valem nota! Você terá uma única tentativa antes de receber o feedback das suas respostas, com comentários das questões que você acertou e errou.

Vamos lá?!

(26)

REFERÊNCIAS

BEER, FERDINAND P. JOHNSTON, E. RUSSEL JR. Mecânica Vetorial para Engenheiros. (5ª edição). São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

HALLIDAY, D. RESNICK, R. 1997. Fundamentos de Física – Vol. 1 e 2 (9ª Edição). Rio de Janeiro: LTC, 2003.

HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia (10ª edição). São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

LEMOS, NIVALDO A. Mecânica Analítica (1ª edição), São Paulo: Livraria da Física, 2004.

MERIAN, J. L. KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática (7ª edição). Rio de Janeiro: LTC, 2013.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica, Vol. 1 e 2 (4ª edição). São Paulo: Edgard Blücher, 2009.

TIPLER, PAUL A. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1, (4ª edição). Rio de Janeiro: LTC, 2000.

GLOSSÁRIO

Aceleração tangencial: Componente da aceleração que aponta na direção tangencial no movimento curvilíneo.

Aceleração centrípeta: Componente da aceleração que aponta para o centro da trajetória curvilínea e é perpendicular à aceleração tangencial.

Momento linear: Produto da massa pela velocidade de uma partícula. Momento angular: Capacidade de girar em torno de um eixo específico.

Força central: Força que se direciona ao longo de uma linha radial que aponta para um ponto fixo ou para fora deste.

Trabalho da força: Produto escalar da força pelo deslocamento de uma partícula. Energia cinética: Tipo de energia associada à velocidade de um corpo.

Forças conservativas: Forças cujo trabalho não depende do caminho, mas apenas dos pontos inicial e final.

Energia potencial: Energia associada à posição.

Impulso: Grandeza física que mede a capacidade de varia a quantidade de momento linear de um corpo. Movimento impulsivo: Movimento sob a ação de uma força extremamente intensa que age na partícula durante um intervalo de tempo muito curto, mas capaz de alterar o momento linear desta.