Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística e Computação
Científica
Dissertação de Mestrado
Remigração na profundidade mediante a equação
da onda imagem
Autor: Fernando Perin Munerato
Orientador: Prof. Dr. Jörg Schleicher
Co-orientadora: Profa. Dra. Amélia Novais
Campinas, SP
Março 2006
Remigração na profundidade mediante a equação
da onda imagem
Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida por Fernando Perin Munerato e aprovada pela comissão julgadora.
Campinas, 31 de março de 2006.
Prof. Dr. Jörg Schleicher Orientador
Profa. Dra. Amélia Novais Co-orientadora
Banca Examinadora
Prof. Dr. Jörg Schleicher Prof. Dr. Maurilio Boaventura Prof. Dr. Ricardo Biloti
Dissertação de Mestrado apresentada no Instituto
de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial para obtenção do Título deMestreemMatemática Aplicada.
Remigração na profundidade mediante a equação
da onda imagem
Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida
por
Fernando Perin Munerato e aprovada
pela comissão julgadora.
Campinas, 31 de março de 2006.
~.~>9-J
Prof. Dr. Jorg Schleicher Orientador
~~~
~~
Profa. Dra. Amélia Novais Co-orientadora Banca Examinadora
Prof. Dr. Jorg Schleicher Prof. Dr. Maurilio Boaventura Prof. Dr. Ricardo Biloti
Dissertação de Mestrado apresentada no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial para obtenção do
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP
Bibliotecária:MiriamCristinaAlves
-
CRB8a / 859M923r
Munerato, Fernando Perin
Remigração na profundidade mediante a equação da onda imagem / Femando Perin Munerato
--
Campinas, [S.P. :s.n.], 2006.Orientador : Joerg Schleicher
Dissertação (mestrado)
-
Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatistica e Computação Científica.1. Ondas sísmicas. 2. Diferenças finitas. 3. Método de volumes finitos. 4. Análise numérica. I. Schleicher, Joerg. lI. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. 111.Título.
Título em inglês: Depth remigration by means ofthe image wave equation.
Palavras-chave em inglês (Keywords): I. Seismic wave. 2. Finite difference. 3. Finite volume method. 4. Numerical analysis.
Área de concentração: Geofisica computacional
Titulação: Mestre em Matemática Aplicada
Banca examinadora: Prof. Dr. Joerg Schleicher (IMECC-UNICAMP) Prof. Dr. Maurilio Boaventura (IBILCE-UNESP) Prof. Dr. Ricardo Biloti (IMECC-UNICAMP)
Dissertação de Mestrado defendida em 31 de março de 2006 e aprovada
Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.
~,()s
ERG DIETRICH WILHELM SCHLEICHER
~
Prof. (a). Dr (a). RICARDO CAETANO AZEVEDO BILOTI
~~~
Resumo
Palavras-chave: Remigração, onda imagem, diferenças finitas, volumes finitos, análise
numérica
Este trabalho aborda a questão de como resolver a equação da onda imagem para o problema de remigração na profundidade através de métodos numéricos. O objetivo deste problema é a reconstrução de uma imagem das camadas geológicas do subsolo a partir de uma imagem previamente migrada com um modelo de velocidade, geralmente, incorreto.
Nosso principal objetivo neste trabalho é a investigação de possíveis métodos que possam resolver os problemas que surgiram ao usarmos esquemas explícitos do método de diferenças finitas na solução da equação da onda imagem em trabalhos anteriores, como, por exemplo, a dispersão numérica. Para isso, estudamos aqui o método de volumes finitos, assim como esquemas implícitos do método de diferenças finitas.
O método de volumes finitos possui como característica principal propagar as médias das células da malha ao invés de simplesmente os dados pontuais como é feito no método de dife-renças finitas.
As outras tentativas para solucionar o problema da dispersão foram dois tipos de implemen-tação de esquemas implícitos do método de diferenças finitas, isto é, implementações implícitas de esquemas convencionais avaliados em pontos da malha e um esquema avaliado nos centros das células.
A qualidade dos algoritmos estudados foi testada numericamente. Estes testes numéricos mostram que o método de volumes finitos não é adequado para resolver o problema da dis-persão, uma vez que a média calculada a cada passo aumenta o estiramento do pulso. Além disso, as implementações implícitas dos esquemas convencionais mostram o mesmo compor-tamento de dispersão que as implementações explícitas. Unicamente o esquema centrado foi capaz de melhorar a dispersão numérica em comparação com as implementações anteriores, porém somente para dados contendo exclusivamente baixas freqüências.
Abstract
Keywords: Remigration, image wave, finite differences, finite volumes, numerical analysis
This work approaches the question of how to solve the image-wave equation for depth remigration by numerical methods. The objective is the reconstruction of an image of the geo-logic layers of the subsoil from a previously migrated image with a different velocity model.
Our main objective in this work is the investigation of possible methods that can solve the problems that appeared when using explicit finite-difference schemes for the solution of the image-wave equation in previous works, particularly numerical dispersion. For this purpose, we study the method of finite volumes, as well as implicit finite-difference schemes.
The main characteristic of the finite-volume method is to simply propagate the averages in the cells of the mesh instead of the discretized data themselves as it is done in the finite-difference method.
As another attempt to solve the problem of the dispersion, we study two types of implemen-tation of implicit finite-difference schemes, that is, implicit implemenimplemen-tations of conventional schemes evaluated out the edge of the cell and a scheme evaluated in the center of the cell.
The quality of the studied algoritms has been tested numerically. These numerical tests show that the method of finite volumes is not adequate to solve the problem of dispersion, for the average calculated in each step additionally increases the pulse stretch. Moreover, the implicit implementations of the conventional schemes show the same dispersion behavior as the explicit implementations. Solely the centered scheme was capable to improve the numerical dispersion in comparison with the previous implementations, however only for data containing exclusively low frequencies.
“A casa da saudade chama-se memória: é uma cabana pequenina a um canto
do coração.”(Henrique Maximiliano Coelho Neto)
Às nossas boas lembranças (aquelas que ninguém pode tirar de nós, que estão
guardadas no nosso íntimo) que existem para nos dar força para nos ajudar a
enfrentar momentos difíceis em nossa vida. (Sandra Marega)
Agradecimentos
Ao meu orientador, Prof. Dr. Jörg Schleicher, por acreditar na minha capacidade acadêmica, pela paciência em repetir diversas vezes um mesmo tópico, pelos nossos trabalhos durante mais de 4 anos e, principalmente, pelas suas infinitas reflexões olhando diretamente nos nossos olhos.
À minha co-orientadora, Profa. Dra. Amélia Novais, pelo apoio acadêmico e pessoal nos momentos felizes e tristes dessa “nossa” caminhada. Também pela sua maneira “mãe” de orientar e pelos infinitos lenços de papel utilizados nas nossas conversas amigas.
À toda minha família, principalmente, minha querida mãe Jandira, por toda luta travada e pelo seu eterno amor, minhas queridas irmãs Juciléia e Silvia, por todo amor de seus olhos e minha grande namorada e melhor amiga Ticiana, por todo seu amor, sua paciência, seu sorriso, sua família e, principalmente, os lindos momentos ao seu lado.
Ao meu pai, José Wagner Moura Reis (em memória), por apostar e confiar em mim e possibiliar meu primeiro passo nessa caminhada.
Aos antigos e eternos amigos, em especial o “grande” Minhão, por todo ensinamento e alegria nos vários anos de convivência. Aos atuais e presentes amigos, pela compreensão, pelas experiências, pelas risadas e, principalmente, pelos momentos de descontração em nossas festas.
Ao sorriso sincero das crianças, em particular, àquelas que motivam ainda mais minha batalha, Marília Naomi Hatori Rock’n Roll Super Poderosa, Luísa, Maria Clara, Lucas, Mirko e Arthur.
Aos professores e amigos acadêmicos que sempre estiveram de portas abertas para me receber e por serem pessoas fantásticas além dos portões da universidade: Fátima, Chico, Talita, Cheti, Lúcio, Tânia, Biloti e Ary.
vii
À amizade e àqueles que fazem desta um incentivo para minha vida: Alessandra, Ana Carolina e Gabi, pelo companherismo durante toda a graduação e todo o mestrado. Aleixo, Gabriel, Flávia, Marcela, Ricardinho, Vanessa e Vânia, pelos bons momentos vividos na gra-duação. Ana Letícia, Janne e Mari Aiub, pelo carinho, jogos e alegria, respectivamente. Fred, Juliano, Márcio, Marquinho e Neto, por me aturarem morando junto deles. Vera, Jana e Lin-coln, por zelarem por mim como membro da família. Camila, Gabi, Juliana e Processinho, pelos momentos inesquecíveis de alegria e diversão. Heid, Matheus e Maurício, por terem feito e fa-zerem parte da minha vida. Lopes, Wando e Vivi, pela convivência hoje. Valéria por toda ajuda amiga, principalmente nos momentos de desespero. Priscila e os amigos do apoio do vestibular. Os companheiros do LGC. Os amigos da faculdade em geral. Os amigos do messenger. E, é claro, os amigos sem grupo.
À UNICAMP e ao IMECC pela infraestrutura disponibilizada. À FAPESP pelo suporte financeiro.
A todos que direta ou indiretamente fizeram parte desta etapa da minha vida meus sin-ceros agradecimentos.
Sumário
Lista de Figuras x
1 Introdução 1
2 Equação da onda imagem 8
3 Introdução ao método de volumes finitos 12
3.1 Desenvolvimento . . . 12
3.2 Implementação . . . 16
4 Esquemas de diferenças finitas implícitos 20 4.1 Esquemas implícitos convencionais . . . 20
4.1.1 Desenvolvimento . . . 21
4.1.2 Implementação . . . 22
4.2 Esquema avaliado no centro da célula . . . 26
4.2.1 Desenvolvimento . . . 26 4.2.2 Consistência . . . 29 4.2.3 Estabilidade . . . 37 4.2.4 Dispersão . . . 41 4.2.5 Dissipação . . . 46 4.2.6 Implementação . . . 47 viii
SUMÁRIO ix
5 Experimentos numéricos 50
5.1 Refletor plano . . . 50
5.2 Método de volumes finitos . . . 52
5.3 Esquemas implícitos convencionais . . . 56
5.4 Esquema implícito avaliado no centro da célula . . . 57
5.5 Tempos computacionais . . . 68
6 Conclusões 71 Referências bibliográficas 74 A Equação do envelope para onda imagem 76 B Equação iconal da onda imagem 78 C Equação iconal independente de F 80 D Matrizes de iteração do esquema centrado 82 E Mudança de variável na equação da onda imagem 84 E.1 Consistência . . . 84
E.2 Estabilidade . . . 85
Lista de Figuras
1.1 Imagem do refletor plano remigrado (esquerda) e migrado (direita) com veloci-dades: (a) v = 2320 m/s, (b) v = 2680 m/s e (c) v = 3000 m/s. A migração foi feita por migração Kirchhoff convencional e a remigração através do método DF (esquema avançado em v e z). . . 5 2.1 Representação de um ponto P0(x0, z0)sobre o refletor. . . 9 2.2 Representação gráfica das isócronas quando: (a) se interseptam no ponto
refle-tor P0(x0, z0), (b) não mais se interseptam no ponto refletor P (x0, z0), aqui para uma velocidade v > v0. . . 10 3.1 Malha representando a célula Cm,n. . . 13 3.2 Ilustração do algoritmo REA para uma malha de dados. Os dados iniciais são
subdivididos em células Cm,ne usa-se a expressão (3.1) para calcular as médias nessas células. Passo 1: recontrução da malha a partir das médias Pl
m,n. Passo 2: evolução dos dados para um nível posterior na velocidade (através de algum método). Passo 3: cálculo das novas médias no novo nível. . . 15 3.3 Ilustração do algoritmo REA para uma malha discreta de dados. Os dados
inici-ais são subdivididos em células Cm,n e usa-se uma das equações (3.9) para cal-cular as médias nessas células. Passo 1: recontrução da malha discreta, como sugerido ser o caso mais simples, pl
m,n = Pm,nl . Passo 2: evolução dos dados para um nível posterior na velocidade, usando método de DF. Passo 3: cálculo das novas médias no novo nível. . . 17
LISTA DE FIGURAS xi
4.1 Aproximação do ponto (xm, zn+1/2, vl+1/2). . . 27 4.2 Visualização da distância de propagação. . . 42 4.3 Gráfico da relação entre o número de passos das mudanças de variável em
função da razão entre a maior e a menor velocidade. . . 49 5.1 Modelo de afastamento nulo para refletor plano horizontal. . . 51 5.2 Seções migradas na profundidade com velocidade de migração (a) v = 2000 m/s
e (b) v = 4000 m/s. . . 51 5.3 Imagem do refletor plano remigrado com velocidades: (a) v = 2320 m/s, (b)
v = 2680 m/s e (c) v = 3000 m/s, para o esquema avançado em v e z. Esquerda: Método de diferenças finitas explícito. Direita: Método de volumes finitos. . . . 53 5.4 Imagem do refletor plano remigrado com velocidades: (a) v = 3680 m/s, (b)
v = 3320 m/s e (c) v = 3000 m/s, para o esquema avançado em v e atrasado em z. Esquerda: Método de diferenças finitas explícito. Direita: Método de volumes finitos. . . 55 5.5 Imagem do refletor plano remigrado com velocidades: (a) v = 2320 m/s, (b)
v = 2680 m/s e (c) v = 3000 m/s, para o esquema avançado em v e z. Esquerda: Método de diferenças finitas explícito. Direita: Método de diferenças finitas implícito fixando x. . . 58 5.6 Imagem do refletor plano remigrado com velocidades: (a) v = 2320 m/s, (b)
v = 2680 m/s e (c) v = 3000 m/s, para o esquema avançado em v e z. Esquerda: Método de diferenças finitas explícito. Direita: Método de diferenças finitas implícito fixando z. . . 59 5.7 Imagem do refletor plano remigrado com velocidades: (a) v ≈ 2320 m/s, (b)
v ≈ 2680 m/s e (c) v ≈ 3000 m/s. Esquerda: Método de diferenças finitas explícito. Direita: Método de diferenças finitas implícito centrado no centro da célula. . . 61
LISTA DE FIGURAS xii
5.8 Imagens do refletor plano, na velocidade correta do meio v = 3000 m/s, para diferentes valores de ∆σ. A remigração foi feita utilizando o método de dife-renças finitas implícito centrado no centro da célula. . . 63 5.9 Imagem do refletor plano remigrado pelo método de DF implícito centrado no
centro da célula com velocidades: (a) v ≈ 2320 m/s, (b) v ≈ 2680 m/s e (c) v ≈ 3000 m/s. Esquerda: incrementos espaciais ∆x = ∆z = 10 m. Direita: incrementos espaciais ∆x = ∆z = 5 m. . . 64 5.10 Seção migrada na profundidade com velocidade v = 2000 m/s, com conteúdo
maior de baixas freqüências. . . 65 5.11 Imagem do refletor plano, com menor conteúdo de altas freqüências, remigrado
com velocidades: (a) v ≈ 2320 m/s, (b) v ≈ 2680 m/s e (c) v ≈ 3000 m/s. Esquerda: Método de diferenças finitas explícito. Direita: Método de diferenças finitas implícito centrado no centro da célula. . . 66 5.12 Imagem do refletor plano, com menor conteúdo de altas freqüências,
remi-grado (esquerda) e miremi-grado (direita) com velocidades: (a) v ≈ 2320 m/s, (b) v ≈ 2680 m/s e (c) v ≈ 3000 m/s, respectivamente. A migração foi feita por migração Kirchhoff e o esquema utilizado para remigração foi DF implícito centrado no centro da célula. . . 67
Capítulo 1
Introdução
A Geofísica dedica-se à determinação dos parâmetros do interior da terra por experimentos físicos realizados em sua superfície. Entre os vários métodos físicos empregados pare este obje-tivo, a sísmica tem um papel fundamental. Métodos sísmicos trabalham usando os princípios da ecografia. Estes métodos baseiam-se na propagação de energia em forma de ondas elásticas ou acústicas na Terra. Existem fontes naturais (terremotos) e artificiais (explosões, vibradores, etc.) que geram ondas sísmicas. Por meio do registro dessas ondas, em chamadas seções sísmicas, obtém-se uma imagem distorcida no tempo da situação geológica no subsolo.
O objetivo principal tanto da sismologia de terremotos quanto da sísmica de exploração é a reconstrução da melhor imagem possível não distorcida na profundidade a partir desta imagem distorcida no tempo. Para este objetivo, empregam-se os chamados métodos de imageamento, entre eles principalmente o da migração. Uma vez que estes métodos dependem do conheci-mento de um modelo de velocidade do subsolo, que não é conhecido a priori, é de praxe que uma migração seja aplicada várias vezes com modelos de velocidade variados.
Uma alternativa à migração repetida dos dados originais consiste na chamada remigração ou continuação de velocidade, i.e., a construção da imagem migrada para um modelo de ve-locidade atualizado a partir de uma imagem anterior, obtida com um modelo original. Para a realização deste processo de imageamento, existem várias técnicas. Neste trabalho, estu-damos a chamada equação da onda imagem para remigração, desenvolvida por Fomel (1994)
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2
e Hubral et al. (1996), observando a necessidade de melhorar a imagem obtida, uma vez que o modelo correto da velocidade de migração não é conhecido e tem que ser determinado du-rante o processo da construção da melhor imagem possível. Portanto, convém variar o modelo de velocidade e construir as correspondentes imagens. Quando é feita tal variação da veloci-dade, observa-se que as novas imagens dos refletores (fronteiras entre as camadas geológicas) comportam-se de forma similar à propagação de uma frente de onda em diferentes instantes. Esta “propagação” de imagens é descrita por uma equação diferencial parcial semelhante à equação da onda (Fomel, 1994; Hubral et al., 1996) que, conseqüentemente, recebe o nome de “equação da onda imagem para remigração” (Hubral et al., 1996).
Existem equações da onda imagem para a remigração no tempo e na profundidade. A uti-lidade da equação da onda imagem no tempo já foi comprovada na prática (Jaya et al., 1999). Resultados recentes para a análise de velocidade, usando a remigração no tempo, também mostraram-se bastante promissores (Fomel, 2003).
Neste trabalho, tratamos da equação na profundidade, a saber, pxx+ pzz +v
zpvz = 0 . (1.1)
A dedução da equação (1.1) se encontra no Capítulo 2. Aqui, p representa o campo de onda imagem, i.e., a seção migrada em função da velocidade de migração, v. Além disso, x e z representam as variáveis espaciais, sendo x a coordenada horizontal e z a profundidade. Nesta equação, a variável de propagação, no entanto, não é o tempo como no caso de ondas físicas convencionais, mas a velocidade de migração, v. Esta equação está em sua forma bidimensional e é estritamente válida somente para meios homogêneos. Apesar disso, pode ser aplicada para meios inomogêneos com variação vertical de velocidade, como mostrado em Schleicher et al. (2003b, 2004a). A condição inicial para o problema é dada por um campo de ondas migrado, p0. As condições de contorno são, em conseqüência da falta de dados fora do domínio a ser migrado, tomadas nulas.
Observamos que em comparação com a equação da onda, ao invés da derivada segunda com respeito à variável de propagação, a equação da onda imagem contém uma derivada mista que envolve uma coordenada espacial. Esta característica reflete o fato de que o campo de
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3
onda p que satisfaz a equação (1.1) possui um comportamento cinemático diferente das ondas convencionais (Fomel, 1994; Hubral et al., 1996; Schleicher et al., 2004a).
Mediante um estudo numérico da equação da onda imagem (Schleicher et al., 2003a, 2004a), vimos que imagens remigradas de refletores propagam à profundidade correta quando a veloci-dade atinge o seu valor correto e estruturas como pontos difratores se focalizam na profundiveloci-dade correta assim como gravatas se dissolvem corretamente. Os primeiros exemplos realizados em meios não homogêneos (Schleicher et al., 2003b, 2004a) mostram que é possível levar a técnica adiante. Estas aplicações numéricas indicam o potencial da remigração da onda imagem de ser útil como uma ferramenta para análise de velocidade de migração quando se possui informação adicional sobre a posição do refletor, por exemplo, a sua profundidade medida em um poço.
O objetivo concreto deste trabalho é a análise de métodos numéricos para solucionar a equação da onda imagem, com a finalidade de contribuir com a análise de velocidade de mi-gração. Como foi mostrado em Fomel (2003) e Schleicher et al. (2004a), o uso da solução numérica das equações da onda imagem no tempo e na profundidade possui um potencial neste sentido. Para a remigração na profundidade, este potencial é difícil de ser explorado, principal-mente por causa das dificuldades numéricas, especialprincipal-mente a dispersão numérica dos esquemas de diferenças finitas estáveis. Aqui continuamos os estudos desta equação que foi iniciado em Schleicher et al. (2003a, 2004a), onde foram testados esquemas explícitos do método de dife-renças finitas para diversas aproximações da derivada mista assim como algumas mudanças de variáveis para a velocidade de migração. Em todos os casos estudados anteriormente não foi encontrado um método numérico que faça a remigração na profundidade através da equação da onda imagem sem que ocorresse um forte efeito de dispersão numérica, mesmo que a estabili-dade e a consistência do método estejam garantidas.
O efeito de dispersão ocorre quando ondas de diferentes freqüências propagam com diferen-tes velocidades distorcendo, desta forma, o formato do pulso da onda. Quando as velocidades das ondas de diferentes freqüências realizadas pelo esquema numérico são diferentes da solução exata do problema, fala-se de dispersão numérica. Este efeito, intrínseco de métodos de dife-renças finitas, aqui é tão forte que influência a resolução nos testes numéricos quando usamos
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4
o método de diferenças finitas para simular a propagação da onda imagem. Para cada um dos esquemas investigados em Schleicher et al. (2003a, 2004a) observou-se que o comprimento do pulso não se mantinha igual ao comprimento obtido pela migração direta dos dados para velocidades correspondentes.
Esta desvantagem do método pode ser observada quando comparamos os resultados da téc-nica de remigração com imagens migradas correspondentes, obtidas por migração direta dos dados sísmicos originais. A Figura 1.1 mostra tal comparação para dados sintéticos de afasta-mento nulo, modelados, por exemplo, com um único refletor horizontal em 550 m de profundi-dade (modelo descrito detalhadamente no Capítulo 5). Na Figura 1.1 fica evidente a diferença entre as larguras dos pulsos obtidos pela migração direta dos dados distorcidos no tempo e pela largura do pulso quando fazemos a remigração da onda imagem através do método de diferen-ças finitas a partir de uma imagem previamente migrada com velocidade supostamente incorreta de 2000 m/s. No lado esquerdo, estão as imagens obtidas pela remigração por onda imagem nas velocidades 2320 m/s, 2680 m/s e 3000 m/s. No lado direito, para efeito de comparação, estão as correspondentes imagens obtidas por migração direta dos dados originais no tempo usando migração de Kirchhoff convencional com as velocidades 2320 m/s, 2680 m/s e 3000 m/s, res-pectivamente. São estas as imagens que deveriam ser obtidas na propagação da onda imagem. Observa-se que as imagens do refletor estão posicionadas corretamente, na mesma profundi-dade da migração direta. Para a velociprofundi-dade correta do meio, Figuras 1.1c, a imagem se encontra na posição correta do refletor indicada pela linha preta. Observa-se ainda que o formato do pulso não é o mesmo. A diferença do comprimento do pulso das figuras da direita para as da esquerda se deve a dispersão numérica do esquema de diferenças finitas utilizado para a rea-lização da propagação. Nota-se também que mesmo nas figuras da direita, o pulso se estica com o aumento da velocidade de migração. Este é o efeito de estiramento do pulso introduzido pela própria migração (Tygel et al., 1994), que não pode ser removido. Ele se reflete no fato de que a equação (1.1) possui dispersão intrínseca (Schleicher et al., 2004a). O estiramento adi-cional gerado pela dispersão numérica, nas figuras da esquerda, é criado somente pela forma em
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5 Distância (m) Profundidade (m) −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Distância (m) Profundidade (m) −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Distância (m) Profundidade (m) −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Distância (m) Profundidade (m) −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Distância (m) Profundidade (m) −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Distância (m) Profundidade (m) −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 (a) (b) (c)
Figura 1.1: Imagem do refletor plano remigrado (esquerda) e migrado (direita) com velocidades: (a) v = 2320 m/s, (b) v = 2680 m/s e (c) v = 3000 m/s. A migração foi feita por migração Kirchhoff convencional e a remigração através do método DF (esquema avançado em v e z).
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6
que a equação (1.1) é implementada e é altamente indesejável, uma vez que causa uma perda significativa de resolução da imagem remigrada. Pela Figura 1.1, é claramente visível o quão difícil seria a detecção de um segundo refletor horizontal perto do primeiro, digamos em 500 m de profundidade. Enquanto no lado direito, as imagens dos dois refletores ficariam claramente separadas, no lado esquerdo os seus pulsos se sobreporiam, o que impossibilitaria a distinção dos dois refletores.
Motivados por esta observação, estudamos neste trabalho outras maneiras de implementar a equação da onda imagem para remigração na profundidade (1.1) em busca de uma solução para o problema dos efeitos numéricos indesejados que aparecem na propagação pelo método de diferenças finitas como, principalmente, o da dispersão, ou pelo menos minimizá-los quando estes não puderem ser eliminados.
Para solucionar estes problemas investigamos primeiramente os efeitos da aproximação da equação da onda imagem pelo “método de volumes finitos”, uma vez que tal método tem se mostrado de alta precisão na resolução numérica de vários outros problemas complexos (Le-Veque, 2002). Este método funciona de forma similar ao método de diferenças finitas. No entanto utiliza como passo inicial para propagação uma média nas células, ao invés dos da-dos pontuais, e faz isso a cada iteração do algoritmo, ou seja, a cada passo na velocidade de propagação.
Outra maneira na tentativa de solucionar os problemas numéricos, é utilizar métodos de diferenças finitas implementados implicitamente, similares aos usados por Fomel (2003) na sua implementação da remigração no tempo, visto que em estudos anteriores apenas formas explícitas foram implementadas (Schleicher et al., 2004a,b).
Este trabalho encontra-se na seguinte disposição:
No Capítulo 2 deduzimos a equação da onda imagem para o problema de remigração na profundidade, enfatizando a maneira como esta é utilizada neste trabalho.
Na tentativa de solucionar os problemas encontrados na propagação da onda imagem pelo método de diferenças finitas explícito introduzimos, no Capítulo 3, o método de volumes finitos. Constatamos que este é muito similar ao método de diferenças finitas, diferenciando-se apenas
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 7
na forma dos dados a serem propagados a cada passo na velocidade.
No Capítulo 4, métodos de diferenças finitas implícitos foram estudados para, também, tentar solucionar os problemas mencionados acima. Para isso, utilizamos métodos de diferenças finitas implícitos convencionais avaliados em pontos da malha e um método avaliado nos centros das células.
Os resultados numéricos estão descritos no Capítulo 5. Neste é feita a comparação entre os resultados dos métodos descritos aqui com os resultados do método de diferenças finitas explícito estudado em Schleicher et al. (2004a,b).
Finalmente, no Capítulo 6 encontram-se um resumo dos principais resultados e as con-clusões.
Capítulo 2
Equação da onda imagem
Neste capítulo apresentamos brevemente a dedução da equação da onda imagem conforme detalhada em Hubral et al. (1996).
Supomos que o refletor no subsolo é composto por um conjunto de pontos refletores (Fi-gura 2.1). Nestas circunstâncias, o campo de onda refletido pode ser considerado como uma superposição dos campos espalhados em todos pontos refletores. Primeiramente, estudamos somente um ponto refletor P0(x0, z0) localizado no subsolo (Figura 2.1). Para um par fonte-receptor situados num mesmo ponto (ξ, 0) na superfície (situação conhecida como afastamento nulo), a distância entre este e o ponto refletor P0(x0, z0)é dada por
d =q(x0− ξ)2+ z2 0 .
Logo, o tempo t de propagação da onda emitida pela fonte, situada na superfície em (ξ, 0), até o ponto P0 e, então, captada pelo receptor, situado no mesmo ponto (ξ, 0), é expresso em função de ξ, por t(ξ) = 2d v0 = 2 v0 q (x0− ξ)2+ z2 0 , (2.1)
onde v0é a velocidade de propagação no subsolo, supostamente homogêneo, i.e., v0é constante. Agora podemos pensar que para um dado ponto (ξ, 0), temos um conjunto de pontos que satisfaz a equação (2.1) para a mesma velocidade v0, i.e., dado um ponto (ξ, 0) temos um mesmo
CAPÍTULO 2. EQUAÇÃO DA ONDA IMAGEM 9 0 0
P (x ,z )
0v
0( ,0)
ξ
x
z
x
d
Figura 2.1: Representação de um ponto P0(x0, z0)sobre o refletor.
tempo de propagação t correspondente a este par fonte-receptor para todos os pontos P (x, z) que satisfazem a equação
z = s v0t 2 2 − (x − ξ)2 . (2.2)
Esta equação descreve uma semi-circunferência de raio d = v0t/2que é chamada de isócrona, pois todos os pontos nesta curva possuem o mesmo tempo de propagação.
Assim, em um levantamento sísmico inteiro de afastamento nulo, sobre o ponto P0(x0, z0) fixo, cada valor de ξ define um ponto (ξ, 0) com seu respectivo t(ξ) que gera uma nova isócrona. Todas essas isócronas passam por P0, i.e., a interseção dessas isócronas é o ponto P0(x0, z0), como pode ser visto na Figura 2.2a. Esta construção é implicitamente realizada por uma mi-gração com a velocidade v0.
Mas existe a possibilidade da velocidade de migração utilizada v não ser a velocidade correta do meio, v0, assim, teríamos uma reformulação da equação (2.2), agora para uma velocidade v 6= v0, z = s vt 2 2 − (x − ξ)2 . (2.3)
Nesta situação, a interseção das isócronas não é mais o ponto P0(x0, z0)(ver Figura 2.2b), pois se a velocidade aumentar (v > v0) a distância d entre o par fonte-receptor e um ponto P (x, z) aumentará também considerando que o tempo permaneça constante, i.e., o raio da isócrona é proporcional à velocidade. O envelope do conjunto das isócronas representa a nova
CAPÍTULO 2. EQUAÇÃO DA ONDA IMAGEM 10 P 0(x0,z0) z x (a) P 0(x0,z0) z x (b)
Figura 2.2: Representação gráfica das isócronas quando: (a) se interseptam no ponto refletor P0(x0, z0), (b) não mais se interseptam no ponto refletor P (x0, z0), aqui para uma velocidade v > v0.
imagem do ponto refletor para a nova velocidade v. Observe que, para cada velocidade v 6= v0, temos um novo envelope. Isto nos dá a idéia da propagação de uma onda imagem, sendo gerada no ponto P0(x0, z0).
Agora temos que encontrar a equação que descreve estes envelopes pois, assim, temos a equação que descreve a posição da onda imagem. Como mostrado no Apêndice A, seguindo o desenvolvimento de Hubral et al. (1996), o envelope é descrito pela equação
z = (v/v0) v u u tz2 0 + (x − x 0)2 1 − (v/v0)2 . (2.4)
Calculando esta posição para vários valores de v 6= v0, obtemos a propagação desta imagem. O próximo passo consiste em estabelecer a relação entre esta parte cinemática da propagação da onda imagem e a correspondente equação diferencial parcial. Esta relação obedece aos mesmos princípios que a correspondente relação entre a cinemática da propagação de ondas acústicas e a equação da onda. No caso desta, a cinemática da propagação é descrita pela chamada equação iconal (Bleistein, 1984). Correspondentemente, existe uma “equação iconal da onda imagem” que descreve a cinemática da propagação da onda imagem (Hubral et al., 1996).
CAPÍTULO 2. EQUAÇÃO DA ONDA IMAGEM 11
Para encontrarmos esta equação iconal para a onda imagem, substituimos a velocidade de migração v da equação (2.4) pelo iconal da onda imagem, V (x, z), e calculamos as derivadas parciais desta equação modificada com respeito a x e a z. Substituindo essas derivadas parciais novamente na equação (2.4) e realizando assim as eliminações de x0, z0e v0, obtemos a equação iconal da onda imagem (veja Apêndice B e Hubral et al. (1996))
Vx2+ Vz2− V
zVz = 0 . (2.5)
A solução desta equação para uma fonte pontual em P0(x0, z0) é representada pela equação (2.4). A equação (2.5) pode ser interpretada como a equação iconal de uma equação da onda imagem, i.e., ela descreve a parte cinemática de uma solução aproximada da forma
p(x, z, v) = p0(x, z)f [v − V (x, z)] (2.6) da equação
pxx+ pzz +v
zpvz = 0 , (2.7)
que é a equação da onda imagem (1.1) para o problema de remigração. Na equação (2.6), o campo p é aproximado por um pulso f(v), deslocado no espaço conforme descrito pela função iconal v = V (x, z) e com amplitude p0(x, z). Aqui, a função amplitude p0(x, z) é somente introduzida para descrição completa de um campo de onda. Nesta dissertação, os valores de p0(x, z)não são de interesse.
Por esta razão, podemos desconsiderar uma função F ≡ F(px, pz, pv, p, x, z, v) na forma geral da equação,
pxx+ pzz +v
zpvz = F (px, pz, pv, p, x, z, v) , (2.8) que não alteraria a equação iconal (2.5), como mostrado no Apêndice C.
Capítulo 3
Introdução ao método de volumes finitos
3.1
Desenvolvimento
A primeira tentativa para solucionar os problemas numéricos encontrados quando usamos o método de diferenças finitas (DF) para fazer a remigração da onda imagem foi utilizar o método de volumes finitos (VF).
O método de VF está fortemente relacionado ao método de DF. No entanto, o método de VF é deduzido na base da forma integral, i.e., é baseado em subdividir o domínio espacial em células (os “volumes finitos”, também chamados de células da malha) e calcular média dos dados dentro dessas células através de uma integral e, assim, fazer a propagação da equação diferencial.
Para entender como este método funciona, consideramos uma malha de pontos no espaço (x, z, v). Sejam ∆x, ∆z e ∆v números positivos. O campo de onda imagem, para uma malha de pontos (xm, zn, vl) = (x0+ m∆x, z0+ n∆z, v0+ l∆v)para quaisquer inteiros não negativos m, n e l e valores iniciais x0, z0 e v0, é denotado por pl
m,n (onde aqui x0 e z0 não são mais as coordenadas de P0 do capítulo anterior).
Seja, também, a (m, n)-ésima célula, i.e., a célula centrada no ponto (xm, zn), representada por
Cm,n = (xm−1/2, xm+1/2) × (zn−1/2, zn+1/2)
= {(x, z) | xm−1/2 < x < xm+1/2 , zn−1/2 < z < zn+1/2} ,
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS 13
z
n−1/2 n+1/2z
z
m+1/2x
m+1x
mx
x
m−1 nz
n+1 m−1/2z
x
z
n−1x
C
m,nFigura 3.1: Malha representando a célula Cm,n. como ilustrada na Figura 3.1. O valor Pl
m,n aproximará o valor médio de p(x, z, vl)sobre essa (m, n)-ésima célula, para uma velocidade vl, por
Pl m,n ≈ 1 ∆x 1 ∆z Z xm+1/2 xm−1/2 Z zn+1/2 zn−1/2 p(x, z, vl) dx dz ≡ 1 ∆x 1 ∆z Z Z Cm,np(x, z, vl) dx dz , (3.1) onde ∆x = xm+1/2− xm−1/2 e ∆z = zn+1/2 − zn−1/2. Para simplificar, supomos uma malha uniforme, mas ressaltamos que a uniformidade da malha não é sempre requerida.
Assim, usamos para fazer a propagação da onda imagem os valores de Pl
m,n calculados de acordo com a expressão (3.1). Portanto, o método de VF é diferente do método de DF somente pelo conteúdo utilizado para realizar a propagação. Enquanto o método de VF utiliza a média na célula Cm,n (isto para o caso bidimensional) para fazer a propagação, o método de DF realiza sua propagação usando somente os dados pontuais pl
m,n = p(xm, zn, vl).
Uma aplicação deste método para a Lei de Conservação foi desenvolvido por “Godunov” (LeVeque, 2002). Baseado nesta aplicação, Godunov desenvolveu o “Algoritmo REA” (Recons-truct-Evolve-Average) para a equação de advecção. Tal algoritmo é dividido em três passos como descrito a seguir:
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS 14
Algoritmo REA:
1. Reconstruir uma função polinomial por partes ˆpl(x, z, v
l)definida para todo x e z, pelas médias das células Pl
m,n. No caso mais simples esta é uma função constante por partes que leva o valor Pl
m,n na (m, n)-ésima célula, ˆ
pl(x, z, vl) = Pm,nl , para todo (x, z) ∈ Cm,n .
2. Evoluir a equação da onda imagem exatamente (ou aproximadamente) com estes dados iniciais para obter ˆpl+1(x, z, v
l+1)para uma velocidade ∆v posterior.
3. Calcular a média desta função sobre cada célula da malha para obter uma nova média da célula Pm,nl+1= 1 ∆x 1 ∆z Z Z Cm,n ˆ pl+1(x, z, vl+1) dx dz .
Este processo completo é então repetido nos próximos passos da velocidade.
Como dado inicial para usarmos este algoritmo (veja Figura 3.2), supomos pl(x, z, vl)uma função contínua para todo ponto (x, z), p0(x, z, v0). A partir desta função calculamos a mé-dia do volume, Pm,n, para todas as células Cl
m,n através da expressão (3.1). Tendo as médias Pl
m,n, aplicamos o primeiro passo do algoritmo REA, ou seja, reconstruimos então uma função polinomial por partes ˆpl(x, z, vl)através das médias Pm,n, para todo (x, z) ∈ Cm,nl . Esta recons-trução é feita de tal forma que obtemos uma função seccionalmente contínua para todo (x, z), que pode ser evoluída a partir do passo dois utilizando, por exemplo, o método de DF.
No passo de evolução, os dados são passados de ˆpl(x, z, v
l) para uma função ainda sec-cionalmente contínua ˆpl+1(x, z, vl+1)através de algum método numérico, como pode ser visto na Figura 3.2. Sobre esta, aplicamos o passo 3, i.e., calculamos uma nova média dos dados evoluídos ˆpl+1(x, z, vl+1), obtendo assim Pl+1
m,n.
No final do passo 3, temos novamente médias nas células só que agora num nível posterior. Podemos então voltar ao passo 1 e reconstruir uma nova função polinomial por partes para fazer uma nova evolução e consequentemente uma nova média, e assim por diante, como ilustrado na Figura 3.2.
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS 15 i−1/2
x
x
i+1/2 0 0p (x,z,v )
P
m,nlp (x,z,v )
^ l lP
m,nl+1 i−1/2z
z
i+1/2 m,n ^ l+1p (x,z,v )
l+1x
z
x x x x x x x x x x x x x x x x x xPasso 1 (Reconstruir):
Passo 2 (Evoluir):
Dados iniciais:
Passo 3 (Media):
Media:
C
Figura 3.2: Ilustração do algoritmo REA para uma malha de dados. Os dados iniciais são subdivididos em células Cm,n e usa-se a expressão (3.1) para calcular as médias nessas células. Passo 1: recontrução da malha a partir das médias Pl
m,n. Passo 2: evolução dos dados para um nível posterior na velocidade (através de algum método). Passo 3: cálculo das novas médias no novo nível.
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS 16
primeiro utilizar uma aproximação para a média nas células, Pl
m,n, para calcular o próximo nível da propagação, enquanto que o segundo utiliza somente os dados pontuais pl
m,n. Utilizamos uma adaptação do algoritmo REA para implementar o método de VF para a equação da onda imagem (1.1). A seção seguinte descreve este procedimento.
3.2
Implementação
Uma pergunta a se fazer é como podemos calcular Pl
m,n a partir de (3.1) quando não co-nhecemos p(x, z, vl)para todos os valores de (x, z) ∈ Cm,n, mas somente a função discretizada pl
m,n em (xm, zn), veja os dados iniciais na Figura 3.3. Nesta situação, não podemos resolver a equação (3.1) pois não temos a informação sobre os valores da função no interior da célula Cm,n.
Então, ao invés de calcular a integral da equação (3.1) de maneira exata, aproximamo-la utilizando a “Regra dos Trapézios” a partir dos valores discretizados pl
m,n. Em outras palavras, para aproximar a integral em duas variáveis, utilizamos a seguinte aproximação
Z b a Z d c f (x, z) dx dz ≈ ∆x∆z 4 [f (a, c) + f (a, d) + f (b, c) + f (b, d)] . (3.2) Esta aproximação foi usada para fazer uso dos pontos onde a função original é dada. Uma aproximação com mais pontos poderia também ser utilizada, contanto que os dados para tal estejam disponíveis.
Substituindo a aproximação acima na equação (3.1), obtemos a seguinte expressão para as médias Pl m,n, Pm,nl = 1 4[p l m−1/2,n−1/2+ plm−1/2,n+1/2+ plm+1/2,n−1/2+ plm+1/2,n+1/2] , (3.3) para uma velocidade fixa vl. Entretanto, para calcularmos a média Pl
m,nno ponto (xm, zn), pre-cisaríamos dos valores da função p nos pontos intermediários da malha, conforme explicitado na equação (3.3). Como os dados iniciais são fornecidos somente em cima dos pontos da malha, calculamos então, ao invés da equação (3.3), a seguinte média
Pm+1/2,n+1/2l = 1 4[p
l
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS 17
P
m,nl+1x
i+1 ix
z
i+1 iz
p
m,nlP
m,nlp
m,nl=P
m,nlp
m,nl+1 m,nx
z
x x x x x x x x x x x x x x x xPasso 1 (Reconstruir):
Passo 2 (Evoluir):
Dados iniciais:
Passo 3 (Media):
Media:
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x o o oC
Figura 3.3: Ilustração do algoritmo REA para uma malha discreta de dados. Os dados iniciais são subdivididos em células Cm,n e usa-se uma das equações (3.9) para calcular as médias nessas células. Passo 1: recontrução da malha discreta, como sugerido ser o caso mais simples, pl
m,n = Pm,nl . Passo 2: evolução dos dados para um nível posterior na velocidade, usando método de DF. Passo 3: cálculo das novas médias no novo nível.
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS 18
como ilustrado na Figura 3.3. Logo, concluímos que a média na célula Cm,n para o nosso caso de uma malha de pontos discreta bidimensional, é simplesmente uma média linear entre quatro pontos da célula da malha.
Mas, na prática, o valor de Pl
m+1/2,n+1/2 é atribuido à variável Pm,nl que constitui a base para o passo seguinte da evolução pois não possuímos os pontos intermediários da malha (caso Média na Figura 3.3).
Após termos obtido as médias Pl
m,n, podemos aplicar o primeiro passo do algoritmo de Godunov. Neste passo, reconstruímos uma função constante por partes, como sugerido ser o caso mais simples para a reconstrução, ou seja, pl
m,n = Pm,nl (passo 1 na Figura 3.3). Assim, tendo obtido uma nova função após a reconstrução podemos executar um passo da evolução do método, i.e., o segundo passo do algoritmo, usando o método de DF.
Para o passo da evolução do algoritmo REA (passo 2 na Figura 3.3), no caso de uma malha discreta, foram utilizadas, a critério de comparação, as duas aproximações pelo método de DF já estudadas anteriormente em Schleicher et al. (2004a). Ou seja, para as derivadas segundas es-paciais, usamos aproximações de quarta ordem (veja, por exemplo, Strikwerda, 1989; Thomas, 1995), i.e., pxx ≈ δx,4(2)p = 1 12(∆x)2 h −plm+2,n− plm−2,n+ 16(plm+1,n+ plm−1,n) − 30plm,n i (3.5) (uma expressão correspondente para pzz) e para a derivada mista a aproximação avançada em v e z e a avançada em v e atrasada em z, i.e., respectivamente,
pvz ≈ p l+1 m,n+1− pl+1m,n − plm,n+1+ plm,n ∆z∆v e pvz ≈ pl+1 m,n− pl+1m,n−1− plm,n+ plm,n−1 ∆z∆v . (3.6)
Desta forma, obtemos dois esquemas de DF para a propagação da onda imagem:
Avançado emv e z pl+1m,n+1 = −zn∆z∆v vl n δ(2)x,4p + δ (2) z,4p o + pl+1m,n+ plm,n+1− plm,n , (3.7) Avançado emv e atrasado em z pl+1m,n = −zn∆z∆v vl n δx,4(2)p + δ (2) z,4p o + pl+1m,n−1+ plm,n− plm,n−1 . (3.8)
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS 19
Estamos utilizando tais esquemas pois estes foram os que tiveram resultados convergentes para a solução da onda imagem (1.1) pelo método de DF. Os respectivos resultados numéricos se encontram no Capítulo 5.
Em conseqüência da evolução realizada no passo 2, como descrita anteriormente, podemos agora passar para o passo 3, onde neste novamente fazemos as médias em cada uma das células da malha utilizando a equação (3.4), ver Figura 3.3. No entanto, precisamos novamente atribuir Pl
m+1/2,n+1/2 à variável Pm,nl e esta atribuição, porém, é equivalente a um deslocamento por meia célula. Como esta média é feita em todo passo do algoritmo, foi observado que esta causa uma propagação dos dados, isto devido ao deslocamento que estamos fazendo para armazenar os dados, já que não temos os pontos intermediários da malha.
Além disso, foi observado, também, que esta propagação causada pelo deslocamento da média é maior que a realizada pela onda imagem causando assim uma não convergência do método.
A solução para esta falha na implementação foi, portanto, fazer a média em um sentido para um passo e no sentido contrário para o passo seguinte, ou seja, fazemos a média em duas direções distintas para que o deslocamento dos dados seja compensado a cada segunda iteração do algoritmo.
Resumindo, as médias são então calculadas da seguinte forma, em cada passo da velocidade,
passo ímpar: Pm,nl = 1 4[p l m,n+ plm,n+1+ plm+1,n+ plm+1,n+1] , passo par: Pm,nl = 1 4[p l m−1,n−1+ plm,n−1+ plm−1,n+ plm,n] , (3.9) como pode ser visto na Figura 3.3.
Desta maneira, conseguimos fazer com que o método de VF propagasse a equação da onda imagem à sua profundidade correta. Portanto, através de uma adaptação do algoritmo de Go-dunov (REA), construímos um esquema de VF para a equação da onda imagem que é conver-gente (ver Capítulo 5). Apesar de óbvio, constatamos que há um acréscimo no tempo computa-cional em relação ao método de DF pois fazemos o cálculo das médias em cada iteração do algoritmo, (ver Seção 5.5).
Capítulo 4
Esquemas de diferenças finitas implícitos
Além da abordagem pelo método de VF, exposta no Capítulo 3, tentamos solucionar os problemas numéricos que aparecem ao propagarmos uma imagem sísmica através de esquemas de DF implementados explicitamente, como detalhado em Schleicher et al. (2004a,b), usando esquemas de DF implementados implicitamente.
Para isso, dividimos nossos estudos desse capítulo em duas partes onde em cada uma delas trabalhamos com aproximações implícitas de forma diferente. Na primeira, utilizamos os já estudados esquemas avançado em v e z e avançado em v e atrasado em z (Schleicher et al., 2004a,b), mas agora implementados de maneira implícita pois, no trabalho citado, estes só foram resolvidos explicitamente. Na segunda forma, foi feita uma aproximação avaliada no centro da célula pois esta forma de aproximação gerou bons resultados quando aplicada à remi-gração no tempo, conforme demonstrado no trabalho realizado por Fomel (2003).
Nas seções seguintes fazemos um estudo de cada uma dessas aproximações onde os respec-tivos experimentos numéricos estão descritos no Capítulo 5.
4.1
Esquemas implícitos convencionais
Agora, queremos implementar implicitamente os esquemas de DF utilizados anteriormente, i.e., o avançado em v e z e o avançado em v e atrasado em z, para que possamos
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 21
los com estes mesmos quando estes são implementados de maneira explícita, como foi feito em Schleicher et al. (2004a,b). Estes esquemas foram implentados de maneira explícita pois foi observado que condições de contorno adicionais poderiam ser tomadas nulas facilitando a implementação.
Porém, quando tais esquemas são considerados explícitos aparecem alguns efeitos indese-jados na propagação da onda imagem (1.1), como, por exemplo, a dispersão numérica. Então, o motivo de uma implementação implícita desses esquemas é que queremos fazer com que não seja necessário criar condições de contorno adicionais tentando evitar assim que tais efeitos indesejados apareçam na propagação.
4.1.1
Desenvolvimento
Considerando uma malha de pontos no espaço (x, z, v), como definida no capítulo ante-rior, montamos os esquemas de DF implícitos. Para as derivadas segundas espaciais pxx e pzz, usamos a aproximações de quarta ordem como a representada pela equação (3.5).
Os esquemas escolhidos para a derivada mista foram os mesmos do capítulo anterior e de Schleicher et al. (2004a,b). No que segue, consideramos esses esquemas, escritos de forma a simplificar a identificação de um esquema implícito na velocidade de migração,
Avançado emv e z µln[pl+1m,n− pl+1m,n+1] = −βpm,n−2l + 16βplm,n−1− αplm−2,n+ 16αplm−1,n −[30(α + β) − µln]plm,n+ 16αplm+1,n− αpm+2,nl + (16β − µln)plm,n+1− βplm,n+2, (4.1) Avançado emv e atrasado em z −µln[pl+1m,n− pl+1m,n−1] = −βplm,n−2+ (16β + µln)plm,n−1− αplm−2,n+ 16αplm−1,n −[30(α + β) + µln]plm,n+ 16αplm+1,n− αplm+2,n+ 16βplm,n+1− βplm,n+2, (4.2) onde α = 1/(12∆x2), β = 1/(12∆z2)e µl n= vl/(zn∆z∆v).
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 22
Como podemos observar, estes esquemas de DF são esquemas implícitos na velocidade. Porém, para acelerar os testes numéricos foram tratados como esquemas explícitos em Schlei-cher et al. (2004a,b).
Para estes casos, também esperamos um aumento no custo computacional pois, apesar de esquemas implícitos possuirem em geral matrizes esparsas, temos que resolver sistemas lineares de grande porte (muito comum em sísmica) que, geralmente, é mais caro que uma implemen-tação explícita.
4.1.2
Implementação
Esquema avançado emv e z
A implementação implícita do método de DF avançada em v e z foi feita de duas formas diferentes. Em ambas as formas utilizamos a discretização dada pela equação (4.1). A diferença entre as duas formas está na ordem de execução e, portanto, na forma das matrizes de iteração. No primeiro caso, para montarmos tais matrizes, fixamos a variável x e variamos z, no segundo caso fixamos z e variamos x. Fizemos isto pois, ao implementarmos o primeiro caso vimos que a propagação da onda imagem estava sofrendo uma dispersão numérica muito grande. Assim, mediante este fato e estudos anteriores do método explícito, a construção das matrizes de ite-ração foi realizada utilizando a segunda forma, pois quando implementamos a forma explícita deste caso em Schleicher et al. (2004a), fixando z e variando x, obtivemos melhores resultados conforme descritos no Capítulo 5.
Para fins de implementação, escrevemos a equação (4.1) na forma matricial, Alul+1 m = bl, onde ul+1
m representa o vetor a ser determinado a cada passo, i.e., ul+1m = h
pl+1m,1, pl+1m,2, . . . , pl+1m,nz iT
, e onde blrepresenta o vetor conhecido no lado direito da equação (4.1). Observamos que, tanto a matriz Al quanto o vetor blprecisam ser atualizados a cada iteração do algoritmo, ou seja, a cada passo da velocidade. Para o caso de x fixo e z variando, a matriz Al correspondente do esquema (4.1) tem a forma
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 23 Al= µl 1 −µl1 µl 2 −µl2 µl 3 −µl3 ... ... µl nz−1 −µlnz−1 µl nz , onde µl
n = vl/(zn∆z∆v). Aqui e no restante do texto, espaços em branco em uma matriz representam elementos nulos. Em decorrência das condições de contorno necessárias para o problema, implementamos este algoritmo por blocos, i.e., a cada passo da velocidade resolve-mos cada um dos sistemas abaixo
Bloco 1: Alul+1 1 = Elul1+ Dul2+ Cul3 = bl1 Bloco 2: Alul+12 = Dul1+ Elul2+ Dul3+ Cul4 = bl2 Blocos j = 3,..., nx−2: Alul+1 j = Culj−2+ Dulj−1+ Elulj + Dulj+1+ Culj+2= blj Bloco nx−1: Alul+1nx−1 = Culnx−3+ Dunx−2l + Elulnx−1+ Dulnx= blnx−1 Bloco nx: Alul+1 nx = Culnx−2+ Dulnx−1+ Elulnx = blnx, onde o vetor bl
j representa a forma do vetor bl para o bloco j, que é construído a partir das matrizes C, D e El e do dado inicial Ul
0. Aqui, supomos que os dados iniciais possam ser escritos da seguinte forma matricial,
U0l = pl 1,1 pl1,2 pl1,3 · · · pl1,nz pl 2,1 pl2,2 pl2,3 · · · pl2,nz pl 3,1 pl3,2 pl3,3 · · · pl3,nz ... ... ... ... ... pl nx,1 plnx,2 plnx,3 · · · plnx,nz , (4.3) onde o vetor ul j = h pl j,1, plj,2, . . . , plj,nz iT
representa a j-ésima linha transposta da matriz Ul 0, j = 1, . . . , nx, com nx sendo o número de elementos de x. Portanto, resolvemos nx sistemas
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 24
lineares em cada passo de vl. Usando a notação Izpara a matriz identidade nz ×nz, as matrizes do lado direito são dadas por
C = −α Iz , D = 16α Iz e El= dl 1 el1 −β 16β dl 2 el2 −β −β 16β dl 3 el3 −β ... ... ... ... ... −β 16β dl nz−2 elnz−2 −β −β 16β dl nz−1 elnz−1 −β 16β dl nz , onde dl
i = µli − 30(α + β), eli = 16β − µli, para i = 1, 2, . . . , nz, com nz sendo o número de elementos de z. As matrizes Al, C, D e El possuem dimensão nz × nz. Observamos que a matriz Elprecisa ser atualizada a cada passo enquanto as matrizes C e D são constantes durante a execução do algoritmo.
Já para o caso de fixar a variável z e variar x, encontramos uma desvantagem na imple-mentação, porém, os resultados obtidos se mostraram melhores que no caso anterior. Esta desvantagem foi o fato de não conseguirmos representar a matriz de iteração de uma maneira tão simples e fácil de resolver como no caso onde fixamos a variável x. Neste caso, a forma matricial do esquema (4.1) é Al
iul+1i + Bilui+1l+1 = bl, onde ul+1i representa o vetor ul+1i = h
pl+1nx,i, pl+1nx−1,i, . . . , pl+11,i iT
, para i = nz, . . . , 1.
As matrizes envolvidas para este caso, são similares às do caso anterior. Porém, a imple-mentação só é possível se resolvermos o sistema linear de trás para frente. Usando a notação Ix para a matriz identidade nx × nx, as matrizes do lado esquerdo, para este caso, são
Ali = µli Ix , Bli = −µli Ix , onde µl
i = vl/(zi∆z∆v) . Aqui, além das matrizes Ali e Bilserem atualizadas a cada passo da velocidade de propagação l, estas também são diferentes em cada bloco i. Ou seja, ainda por
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 25
causa das condições de contorno necessárias para o problema, implementamos este algoritmo por blocos, só que, neste caso, resolvendo os blocos de trás para frente, i.e., a cada passo da velocidade resolvemos cada um dos sistemas abaixo
Bloco nz: Al nz ul+1nz = Culnz−2+ Dunz−1l + Enzl ulnz = blnz Bloco nz−1: Alnz−1 ul+1nz−1+ Bl nz−1 ul+1nz = Culnz−3+ Dulnz−2+ Enz−1l ulnz−1 +Fl nz−1ulnz = blnz−1 Blocos i = nz−2,..., 3: Ali ul+1i + Bl
i ul+1i+1= Culi−2+ Duli−1+ Eiluli+ Filuli+1+ Culi+2= bli
Bloco 2: Al
2 ul+12 + B2l ul+13 = Dul1+ E2lul2+ F2lul3+ Cul4 = bl2
Bloco 1: Al
1 ul+11 + B1l ul+12 = E1lul1+ F1lul2+ Cul3 = bl1 , onde o vetor bl
i representa a forma do vetor blpara o bloco i, que é construído a partir das ma-trizes C, D, El
ie File do dado inicial U0lrepresentado por (4.3). O vetor uli= h pl nx,i, plnx−1,i, . . . , pl 1,i iT
representa a i-ésima coluna invertida da matriz Ul
0 (i = nz, . . . , 1), com nz sendo o número de elementos de z. Portanto, resolvemos nz sistemas lineares em cada passo de v. As matrizes do lado direito são dadas por
C = −β Ix , D = 16β Ix , Fil= (16β − µli) Ix e Eil= dl i 16α −α 16α dl i 16α −α −α 16α dl i 16α −α ... ... ... ... ... −α 16α dl i 16α −α −α 16α dl i 16α −α 16α dl i ,
onde i = nz, . . . , 1. Logo, as matrizes El
i e Filtambém devem ser atualizadas em cada iteração do algoritmo, assim como são diferentes em cada bloco a ser resolvido. As matrizes acima possuem dimensão nx × nx.
Quando implementamos este último algoritmo, com z fixo, obtemos uma propagação da onda imagem com a dispersão numérica reduzida em comparação ao caso para x fixo. Ape-sar de termos obtido um resultado convergente, foi observado que os resultados obtidos para
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 26
esta implementação são muito similares aos obtidos para com a implementação explícita. Os resultados obtidos estão descritos no Capítulo 5.
Esquema avançado emv e atrasado em z
Considerações correspondentes se aplicam ao caso deste esquema. Verifica-se que as ma-trizes envolvidas ficam muito semelhantes. Por isso, não há necessidade de explicitá-las aqui.
4.2
Esquema avaliado no centro da célula
Nesta seção, estudamos uma aproximação alternativa de DF implícita a qual identificamos como esquema avaliado no centro da célula. Este tipo de aproximação foi sugerido e estudado por Fomel (2003) para o caso de remigração no tempo e mostrou um bom desempenho naquele caso.
Esta nova aproximação, diferentemente das aproximações de DF vistas neste trabalho, faz a discretização da onda imagem (1.1) nos centros das células da malha ao invés de discretizá-la nos vértices desta.
Nas subseções seguintes, descrevemos detalhadamente este esquema assim como sua im-plementação e sua respectiva análise numérica. Ao contrário dos esquemas estudados na Seção 4.1, este esquema não pode ser implementado de forma explícita.
4.2.1
Desenvolvimento
Para montar o esquema de DF avaliado no centro da célula, para a equação da onda imagem, consideramos uma malha de pontos no espaço (x, z, v) conforme descrito no Capítulo 3.
Porém, para este esquema, nossa discretização é feita no ponto (xm, zn+1/2, vl+1/2), ou seja, pxx l+1 2 m,n+1 2 + pzz l+1 2 m,n+1 2 +v zpvz l+1 2 m,n+1 2 = 0 . (4.4)
No entanto, o ponto (xm, zn+1/2, vl+1/2)não é um ponto da malha, portanto, aproximamos o campo p neste ponto pela média aritmética dos seus valores nos 4 pontos dos vértices da célula
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 27
(m,n,l)
(m,n+1,l)
(m,n,l+1)
(m,n+1,l+1)
(m,n+1/2,l+1/2)
x
Figura 4.1: Aproximação do ponto (xm, zn+1/2, vl+1/2). (veja Figura 4.1). Logo, para as derivadas segunda em relação a x e z, temos
pxx l+1 2 m,n+1 2 = 14hpxx l m,n + pxx l m,n+1 + pxx l+1 m,n + pxx l+1 m,n+1 i , pzz l+1 2 m,n+1 2 = 14hpzz l m,n + pzz l m,n+1 + pzz l+1 m,n + pzz l+1 m,n+1 i . (4.5) Para a derivada mista pvz, fazemos então uma aproximação avaliada no centro da célula da seguinte forma pvz l+1 2 m,n+1 2 = 1 ∆z∆v h pl+1m,n+1− plm,n+1− pl+1m,n + plm,n i . (4.6)
E, para o termo que multiplica pvz, fazemos uma média linear nos dois níveis l, l + 1 e n, n + 1, i.e., v z l+1 2 m,n+1 2 = (vl+1+ vl)/2 (zn+1+ zn)/2 = vl+1+ vl zn+1+ zn = 2vl+ ∆v 2zn+ ∆z . (4.7)
Agora, podemos substituir as aproximações de (4.5), (4.6) e (4.7) na equação (4.4) e chegar na seguinte equação, quando isolamos os termos do nível l + 1 do lado esquerdo e os do nível l do lado direito, h pxx l+1 m,n + pxx l+1 m,n+1 + pzz l+1 m,n + pzz l+1 m,n+1 + knl pl+1m,n+1− pl+1m,n i = −hpxx l m,n + pxx l m,n+1 + pzz l m,n + pzz l m,n+1 + knl pl m,n− plm,n+1 i , (4.8)
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 28
onde
knl = 4(2vl+ ∆v)
(2zn+ ∆z)∆z∆v . (4.9)
Na equação (4.8), falta ainda discretizar cada um dos termos de derivadas segunda em x e z. Assim, para essas derivadas espaciais, usamos as aproximações de segunda ordem descritas abaixo (veja, por exemplo, Strikwerda, 1989; Thomas, 1995)
pxx l m,n ≈ δ (2) x,2p = pl m+1,n− 2plm,n+ plm−1,n ∆x2 e pzz l m,n ≈ δ (2) z,2p = pl m,n+1− 2plm,n+ plm,n−1 ∆z2 . (4.10)
Nesta implementação, reduzimos a ordem das aproximações das derivadas segundas para faci-litar as contas.
As aproximações (4.10) são então substituídas na equação (4.8). Logo, após algumas sim-plificações algébricas, chegamos em
βpl+1m,n−1+ αpl+1m−1,n+ µlnpl+1m,n+ αpl+1m+1,n+ αpl+1m−1,n+1 +νl npl+1m,n+1+ αpl+1m+1,n+1+ βpl+1m,n+2= − h βpl m,n−1+ αplm−1,n+ νnlplm,n +αplm+1,n+ αplm−1,n+1+ µlnplm,n+1+ αplm+1,n+1+ βplm,n+2 i , (4.11) onde α = 1/∆x2, β = 1/∆z2, µl n= −knl − 2α − β e νnl = knl − 2α − β.
A partir da discretização acima, observamos que o esquema só pode ser resolvido implici-tamente. Logo, os trabalhos computacionais tornam-se mais complicados e custosos que nos casos onde podemos considerar o esquema como sendo explícito, através de condições adi-cionais de contorno.
A seguir, fazemos uma análise numérica deste esquema, assim como uma discussão a res-peito de como este pode ser implementado. O resultado numérico deste esquema está apresen-tado no Capítulo 5.
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 29
4.2.2
Consistência
Nesta seção, estudamos a consistência do esquema avaliado no centro da célula. Sabe-mos que um esquema de DF é consistente com a equação diferencial parcial, se para qualquer função suave φ(x, z, v), a diferença entre o operador diferencial e o discretizado em um ponto (xm, zn, vl), aplicados a esta função, tende a zero quando ∆x, ∆z e ∆v tendem a zero, i.e.,
Lφ − L∆φ → 0 , quando ∆x, ∆z, ∆v → 0 , (4.12)
onde L∆φ = L∆xxφ + L∆
zzφ + L∆vzφrepresenta o operador discretizado do operador L = ∂x∂2 + ∂ ∂z2 + v z ∂ ∂v∂z .
Para verificarmos se o esquema citado na seção anterior é consistente, consideramos as séries de Taylor de ordem conveniente para determinar seu operador discretizado.
Primeiramente, consideramos a aproximação para pxxno centro da célula dada pela primeira expressão da equação (4.5), só que agora aplicada a função suave φ, ou seja,
L∆xxφ = 1 4 h δ(2)x,2φ l m,n + δ (2) x,2φ l m,n+1 + δ (2) x,2φ l+1 m,n + δ (2) x,2φ l+1 m,n+1 i ,
onde podemos substituir a primeira expressão da equação (4.10) em cada um dos seus termos e chegar em L∆xxφ = 1 4∆x2 h φlm+1,n− 2φlm,n+ φlm−1,n+ φl+1m+1,n− 2φl+1m,n+ φl+1m−1,n+ φlm+1,n+1 −2φlm,n+1+ φlm−1,n+1+ φl+1m+1,n+1− 2φl+1m,n+1+ φl+1m−1,n+1 i . (4.13) Agora, para cada um dos termos da equação acima, fazemos uma expansão em série de Taylor na variável v em torno de v = vl+1/2. Para facilitar as contas, tomamos esses termos aos pares para que alguns termos se cancelem entre si. Assim, para o primeiro e o quarto termo de (4.13), temos φlm+1,n = φl+ 1 2 m+1,n− ∆v 2 (φv) l+1 2 m+1,n+ ∆v2 8 (φvv) l+1 2 m+1,n+ O(∆v3) , φl+1m+1,n = φ l+1 2 m+1,n+ ∆v 2 (φv) l+1 2 m+1,n+ ∆v2 8 (φvv) l+1 2 m+1,n+ O(∆v3) .
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 30
Logo, a soma desses termos fornece φlm+1,n+ φl+1m+1,n = 2φ l+1 2 m+1,n+ ∆v2 4 (φvv) l+1 2 m+1,n+ O(∆v3) . (4.14) Agora, para o segundo e o quinto termo de (4.13), temos
−2φlm,n = −2 " φl+ 1 2 m,n −∆v 2 (φv) l+1 2 m,n+ ∆v 2 8 (φvv) l+1 2 m,n + O(∆v3) # , −2φl+1 m,n = −2 " φl+ 1 2 m,n +∆v 2 (φv) l+1 2 m,n +∆v 2 8 (φvv) l+1 2 m,n + O(∆v3) # , e, portanto, −2(φlm,n+ φl+1m,n) = −4φ l+1 2 m,n −∆v 2 2 (φvv) l+1 2 m,n + O(∆v3) . (4.15) Similarmente, podemos fazer para os demais termos da equação (4.13) e encontrar
φlm−1,n+ φl+1m−1,n = 2φl+ 1 2 m−1,n+ ∆v2 4 (φvv) l+1 2 m−1,n+ O(∆v3) , (4.16) φlm+1,n+1+ φl+1m+1,n+1 = 2φl+ 1 2 m+1,n+1+ ∆v2 4 (φvv) l+1 2 m+1,n+1+ O(∆v3) , (4.17) −2(φlm,n+1+ φl+1m,n+1) = −4φ l+1 2 m,n+1− ∆v2 2 (φvv) l+1 2 m,n+1+ O(∆v3) , (4.18) φlm−1,n+1+ φl+1m−1,n+1 = 2φl+ 1 2 m−1,n+1+ ∆v2 4 (φvv) l+1 2 m−1,n+1+ O(∆v3) . (4.19) Agora, expandimos os novos termos acima, (4.14) até (4.19), em série de Taylor na variável z em torno de z = zn+1/2. Novamente, para facilitar as contas, agrupamos os termos aos pares para que alguns termos se cancelem entre si. Iniciando com a expansão da soma (4.14), temos
φlm+1,n+ φl+1m+1,n = 2 " φl+ 1 2 m+1,n+1 2 − ∆z 2 (φz) l+1 2 m+1,n+1 2 + ∆z 2 8 (φzz) l+1 2 m+1,n+1 2 + O(∆z 3) # +∆v 2 4 (φvv) l+1 2 m+1,n+1 2 − ∆z 2 ∂3φ ∂v2∂z !l+12 m+1,n+1 2 + ∆z 2 8 ∂4φ ∂v2∂z2 !l+12 m+1,n+1 2 +O(∆z3) # + O(∆v3) , e, para a soma (4.17), temos
φlm+1,n+1+ φl+1m+1,n+1= 2 " φl+ 1 2 m+1,n+1 2 + ∆z 2 (φz) l+1 2 m+1,n+1 2 +∆z 2 8 (φzz) l+1 2 m+1,n+1 2 + O(∆z 3) #
CAPÍTULO 4. ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS IMPLÍCITOS 31 +∆v 2 4 (φvv) l+1 2 m+1,n+1 2 + ∆z 2 ∂3φ ∂v2∂z !l+12 m+1,n+1 2 + ∆z 2 8 ∂4φ ∂v2∂z2 !l+12 m+1,n+1 2 +O(∆z3) # + O(∆v3) .
Portanto, somando as duas igualdades acima, obtemos φlm+1,n+ φl+1m+1,n+ φlm+1,n+1+ φl+1m+1,n+1 = 4φl+ 1 2 m+1,n+1 2 + ∆z 2 2 (φzz) l+1 2 m+1,n+1 2 + ∆v 2 2 (φvv) l+1 2 m+1,n+1 2 +∆v 2∆z2 16 ∂4φ ∂v2∂z2 !l+12 m+1,n+1 2 +O(∆v3) + O(∆z3) . (4.20)
Similarmente, para os outros termos, obtemos −2(φlm,n+ φl+1m,n+ φlm,n+1+ φl+1m,n+1) = −8φl+ 1 2 m,n+1 2 − ∆z 2(φzz)l+12 m,n+1 2 − ∆v 2(φvv)l+12 m,n+1 2 − ∆v2∆z2 8 ∂4φ ∂v2∂z2 !l+12 m,n+1 2 +O(∆v3) + O(∆z3) , (4.21) e φlm−1,n+ φl+1m−1,n+ φlm−1,n+1+ φl+1m−1,n+1 = 4φl+ 1 2 m−1,n+1 2 + ∆z 2 2 (φzz) l+1 2 m−1,n+1 2 + ∆v 2 2 (φvv) l+1 2 m−1,n+1 2 +∆v 2∆z2 16 ∂4φ ∂v2∂z2 !l+12 m−1,n+1 2 +O(∆v3) + O(∆z3) . (4.22)
Agora, expandimos as equações (4.20) e (4.22) em x e em torno de xm e as somamos. A partir daqui, omitimos o ponto no qual estamos pois todos os termos do lado direito das igualdades já estão no ponto (xm, zn+1/2, vl+1/2). Expandindo a equação (4.20), temos
φlm+1,n+ φl+1m+1,n+ φlm+1,n+1+ φl+1m+1,n+1 = 4 " φ + ∆xφx+∆x 2 2 φxx+ ∆x3 6 φxxx+ ∆x4 24 ∂4φ ∂x4 + O(∆x 5) # +∆z 2 2 " φzz+ ∆x ∂ 3φ ∂z2∂x + ∆x2 2 ∂4φ ∂z2∂x2 + ∆x3 6 ∂5φ ∂z2∂x3 + ∆x4 24 ∂6φ ∂z2∂x4 + O(∆x 5) #
