APLICAÇÕES DA DERIVADA PARCIAL Economia Prof. Dr. Jair S. Santos

(1)

APLICAC

¸ ˜

OES DA DERIVADA PARCIAL

Economia

Prof. Dr. Jair S. Santos

Fun¸c˜ao de Produ¸c˜ao Superf´ıcie de Demanda Produtividade Marginal

Bens competitivos e complementares

Elasticidade Marginal de Demanda Exerc´ıcios Interessantes

Consideremos dois bens relacionados para os quais as quantidades demandadas são x e y se os respectivos pre¸cos forem p e q, então as fun¸cões de demanda poderão ser dadas por

x= f (p, q) e y = g(p, q). (1)

Veja que assumimos que as quantidades demandadas x e y, dependem somente dos pre¸cos p e q dos dois bens. As equa¸c˜oes x = f (p, q) e y = g(p, q) deﬁnem duas superf´ıcies contidas no conjunto

E1= {(p, q, x) ∈ R3, tais que p ≥ 0, q ≥ 0 e x = f(p, q) ≥ 0}. (2)

E2= {(p, q, y) ∈ R3, tais que p ≥ 0, q ≥ 0 e y = g(p, q) ≥ 0}. (3)

denominada superf´ıcies de demanda. Veja que o conjunto A é exatamente o Gráfico da fun¸cão f. Algumas Propriedades

Se as fun¸cões f e g representarem fun¸cões de demanda como acima, então elas f e g satisfazem as propriedades contidas na Observa¸cão 0.1

Observa¸cão 0.1. 1. Todas as variáveis endógenas x e y, e exógenas p e q devem ser positivas ou nulas (não negativas).

2. Para cada ponto P0 = (p0, q0) o dom´ınio de f e de g, existe uma bola aberta com centro em P0 e

raio ǫ > 0, B = B(P0, ǫ), tal que para (p, q0) ∈ B, f e g dependem monotonicamente decrescente de

p (q ´e mantido constante e igual `a q0). Ainda, para (p0, q) ∈ B, f e g dependem monotonicamente

decrescente de q (p ´e mantido constante e igual `a p0).

3. Existem fun¸c˜oes F e G tais que p = F (x, y) e q = G(x, y).

Defini¸cão 0.1. Se uma fun¸cão de produ¸cão é dada por z = f (u, u), então u e v são os insumos de produ¸cão. Se f for derivável, a derivada parcial de z em rela¸cão à u é a produtividade marginal de u ou o produto marginal de u. Analogamente, a derivada parcial de z em rela¸cão à v é a produtividade marginal de v ou o produto marginal de v.

Bens Competitivos e Complementares

Defini¸cão 0.2. Considere as equa¸cões em (1), fixe o pre¸co p, e suponha que seja permitido que o pre¸co q varie, então pode-se esperar que haja varia¸cão nas quantidades x e y. Pelo item 2 da Observa¸cão 0.1 se o pre¸co q aumentar, a quantidade y diminui.

(2)

1. Se um aumento no pre¸co q provocar um aumento da quantidade x diremos que os dois bens s˜ao competitivos. Veja que um diminui¸c˜ao da demanda por um dos bens provoca um aumento da demanda pelo outro bem.

2. Se um aumento no pre¸co q provocar uma diminui¸cão da quantidade demandada x diremos que os dois bens complementares . Veja que um diminui¸cão da demanda por um dos bens provoca uma diminui¸cão da demanda pelo outro bem.

Esta defini¸cão pode ser formulada com a negativa das afirma¸cões contida nos ´ıtens 1 e 2 da Defini¸cão 0.2. Mas, se as fun¸cões f e g tiverem derivadas de primeira ordem, podemos verificar a afirma¸cões da Defini¸cão 0.2 pela derivadas derivadas parciais das fun¸cões f e g. Segue da Defini¸cões 0.1 que

1. ∂x

∂p é a demanda marginal de x em rela¸cão à p. 2. ∂x

∂q é a demanda marginal de x em rela¸cão à q. 3. ∂y

∂p é a demanda marginal de y em rela¸cão à p. 4. ∂y

∂q é a demanda marginal de y em rela¸cão à q. Uma aplica¸cão direta da Defini¸cão 0.2 nos faz ver que 1. os dois bens serão complementares para (p, q) ∈ B se ∂x

∂q e ∂y

∂p forem negativas em todo ponto (p, q) ∈ B (ver Observa¸c˜ao 0.1 item 2).

2. os dois bens ser˜ao competitivos para (p, q) ∈ B se ∂x ∂q e

∂y

∂p forem positivas em todo ponto (p, q) ∈ B (ver Observa¸c˜ao 0.1 item 2).

3. se para (p, q) ∈ B, ∂x ∂q e

∂y

∂p tiverem sinais opostos Os bens n˜ao ser˜ao nem complementares nem competitivos.

Exemplo 0.1. Se as superf´ıcies E1 e E2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = a + bp + cq e y = γ + αp + βq,

teremos dois bens que podem ser competitivos ou complementares. Dê condi¸cões sobre a, b α e β para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a, b α e β para que os dois bens sejam complementares.

Resolu¸c˜ao Veja que ∂x ∂p = b, ∂y ∂p = α, ∂x ∂q = c e ∂y ∂q = β. Portanto, 1. os dois bens ser˜ao se competitivos c > 0 e α > 0.

2. os dois bens ser˜ao complementares se c < 0 e α < 0,

Exerc´ıcio 0.1. Suponha que as superf´ıcies E1 e E2 (ver 2 e 3) s˜ao dadas por x =

a

p2_q e y =

α

pq, onde a e α são números reias positivos. Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam complementares.

Exerc´ıcio 0.2. Suponha que as superf´ıcies E1 e E2 (ver 2 e 3) s˜ao dadas por x = aeq−p e y = αep−q, onde

ae α são números reias positivos. Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam complementares.

Exerc´ıcio 0.3. Suponha que as superf´ıcies E1 e E2 (ver 2 e 3) s˜ao dadas por x = ae−qp e y = αep−q, onde

ae α são números reias positivos. Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam complementares.

(3)

Elasticidade Parcial de Demanda

Considere as fun¸cões f e g como em (1), então as Elasticidades Parciais de Demanda são dadas por Ex Ep q=q0 = p x ∂x ∂p = ∂ln x ∂x ∂ln p ∂x

= a elasticidade parcial de demanda x em rela¸c˜ao ao pre¸co p para um pre¸co q ﬁxo.

(4) Ex Eq p=p0 = q x ∂x ∂q = ∂ln x ∂x ∂ln q ∂x

= a elasticidade parcial de demanda x em rela¸c˜ao ao pre¸co q para um pre¸co p ﬁxo.

(5) Ey Ep q=q0 = p y ∂y ∂p = ∂ln y ∂y ∂ln p ∂y

= a elasticidade parcial de demanda y em rela¸c˜ao ao pre¸co p para um pre¸co q ﬁxo.

(6) Ey Eq p=p0 = q y ∂y ∂q = ∂ln y ∂y ∂ln q ∂y

= a elasticidade parcial de demanda y em rela¸c˜ao ao pre¸co q para um pre¸co p ﬁxo.

(7) As Elasticidades Ex Eq p=p0 e Ey Ep

q=q0 s˜ao denominadas Elasticidades cruzadas. Seus sinais que s˜ao os

mesmos sinais das demandas marginais correspondentes e podem ser usados para determinar se os bens s˜ao competitivos ou suplementares.

Exemplo 0.2. Se as superf´ıcies E1e E2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = λeq−p e y = βep−q, onde a e α s˜ao

números reias positivos. Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam complementares.

Resolu¸c˜ao Veja que Ex Ep q=q0 = p x ∂x ∂p = p λeq−p(−λe q−p ) = −p e Ex Eq p=p0 = q x ∂x ∂q = p λeq−p(λe q−p_{) = q.} ainda, Ey Ep q=q0 = p y ∂y ∂p = p βep−q(βe p−q ) = p e Ey Eq p=p0 = q y ∂y ∂q = q βep−q(−βe p−q ) = −q. Assim, se λ e β forem diferentes de zero (simultˆaneamente), Ex

Eq p=p0 ´e positivo e Ey Ep

q=q0 ´e negativo. Segue

da Defini¸cão 0.2 que os dois bens são competitivos.

Exerc´ıcio 0.4. Se as superf´ıcies E1 e E2 (ver 2 e 3) forem dadas por x =

a

p2_q e y =

α

pq, onde a e α são números reias positivos. Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam complementares.

Exerc´ıcio 0.5. Se as superf´ıcies E1 e E2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = aeq−p e y = αep−q, onde a

e α são números reias positivos. Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam complementares.

Exerc´ıcio 0.6. Se as superf´ıcies E1 e E2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = ae−qp e y = αep−q, onde a

e α são números reias positivos. Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.Dê condi¸cões sobre a e α para que os dois bens sejam complementares.

(4)

EXERC´

ICIOS- C´

alculo II Economia

Prof. Dr. Jair S. Santos

1. Considere a fun¸c˜ao z = f (x) = xy

x2_{+ y}2. Mostre que f ´e Homogˆenea de grau zero. Mostre que

x∂z

∂x(x, y) + y ∂z

∂y(x, y) = 0 para todo (x, y) no dom´ınio de f . 2. Dada z = f (−3x + y2_{, x}2_{− y). Suponha que} ∂f(−2, 2)

∂u = 2 e

∂f_{(−2, 2)}

∂v = 2 e que f tem derivadas parciais cont´ınuas.

(i) Calcule a taxa de varia¸cão da fun¸cão z em P0= (1, −1), na dire¸cão do vetor ~u =~ı −

√ 3~j.

(ii) Qual é a dire¸cão tal que z tem crescimento máximo? Econtre o valor da taxa de varia¸cão máxima da fun¸cão z em P0= (1, −1)

3. Dada z = f (−3x + y2_{, x}2_{− y). Suponha que} ∂z(−2, 2)

∂x = 2 e

∂z(−2, 2)

∂y = 2 e que f tem derivadas parciais cont´ınuas. Calcule ∂f(−2, 2)

∂u e

∂f(−2, 2)

∂v . Calcule o Gradiente da fun¸c˜ao f em Q0= (−2, 2). 4. Seja g(x, y, z) = zex_{+ e}y_{− 2ye}z_{. Considere os valores (x, y, z) ∈ R}3 _{tais que g(x, y, z) = 0. Tome}

P0= (1, 1, 1). Mostre que a equa¸c˜ao g(x, y, z) = 0 pode ser resolvida de tal modo que z seja fun¸c˜ao de

(x, y) e calcule ∂z ∂x(x, y) e

∂z

∂y(x, y). Calcule ∂z

∂~u(1, 1) onde ~u = ~i − ~j. 5. Soponha que h(x, y, z) = xz + y − e(−xyz)_{− h}

0´e a quantidade de um certo comodity que ´e produzida

com as quantidades de insumos x, y, z. Assuma que h0´e tal que h(1, 2, 4) = 6−e−8−h0= 0. Encontre,

se poss´ıvel, as taxas de varia¸cão do insumo z em rela¸cão ao insumo x e em rela¸cão ao insumo y no ponto Q0= (1, 2).

6. Indique a alternativa que apresenta o ponto P0= (x0, y0) que maximiza f (x, y) = ln x + ln y sujeito `a

2 − x2_{− y}2_{= 0.} a: ( √ 3 2 , √ 5 2 ) b: ( √ 5 2 , √ 3 2 ) c: (1, 1) d: ( √ 7 2 , 1 2) e: ( 1 2, √ 7 2 ) Respc

7. Se uma fun¸cão de produ¸cão é dada por z = f (x, y), então x e y são os insumos de produ¸cão e a derivada parcial de z em rela¸cão à x é a produtividade marginal de x ou o produto marginal de x. Analogamente, a derivada parcial de z em rela¸cão à y é a produtividade marginal de y ou o produto marginal de y. Suponha que na produ¸cão de uma quantidade z os insumos x e y estejam relacionados com z através da equa¸cão 40ze−x_{+ 10e}−y

− 100ye−z_{+ 10e}−z0 _{= 0. Suponha que se o um n´ıvel de}

produ¸c˜ao for z0, tem-se z0 = x0= y0. Neste n´ıvel de produ¸c˜ao encontre a produtividade marginal de

xe produtividade marginal de y. 8. Dada g(x, y) =f(x, y)

1 2

+ ln(x2_{+ y}2_{+ 1), onde f tem as derivadas parciais de segunda ordem. Se}

P0 = (0, 0), f (P0) = 4, ∂f ∂x(P0) = 1 e ∂f ∂y(P0) = −1 e ∂2f ∂x2(P0) = 2; ∂2f

∂x∂y(P0) = −2; dˆe a Matriz Jacobiana de g em P0. Calcule ∂2_g ∂x2(x, y) e ∂2_g ∂x2(P0). 9. Seja f (x, y, z) = αx2_{− α}−1 yα

(5)

10. Calcule ∂G ∂~u(P0) = limt→0 G(P0+ t~u) − G(P0) t quando G(x, y) = xy 2 _{, P} 0= (1, 1); ~u = −~ı +√3~.

11. Encontre a equa¸cão geral do plano tangente ao gráfico da fun¸cão f (x, y) = x

2

y − y

x2 no ponto P0 =

(−1, 2, f(x0, y0)).

12. Calcule a Matriz Hessiana de f (x, y, z) = xe(z2

+y2

)_{. Veriﬁque se a Matriz Hessiana calculada em}

Q0= (1, 0, 0) é positiva definida. M ÉTODO DE LAGRANGE

13. Considere o problema: Extremize{ f(x, y) = xy2 _{sujueito `a x + y = 9, x ≥ 0 y ≥ 0}.}

Resp: Ponto de M´aximo Local x0, y0) = (6, 3). Valor M´aximo Local 108.

14. Considere o problema: Extremize{ f(x, y) = x3_{+ y}3_{+ xy sujueito `}_{a x + y − 9 = 0, x ≥ 0 y ≥ 0}.}

Resp: Ponto de M´ınimo Local x0, y0) = (2, 2). Valor M´ınimo Local 20.

15. Considere o problema: Extremize{ f(x, y) = x2_{+ y}2_{− 4xy sujueito `a x + y − 10 = 0, }.}

16. Considere o problema: Extremize{ f(x, y, z) = x + y2_{+ z}2 _{sujueito `}_{a x + y + z = 1}.}

Resp: Ponto de M´ınimo Local x0, y0) = (1₂,1₂). Valor M´ınimo Local 1₂.

17. Mazimize a fun¸c˜ao Utilidade U (x, y) = x2_y2 _{sujeita `}_{a restri¸c˜}_{ao 2x + 4y = 40.}

Resp: Ponto de M´aximo Local x0, y0) = (10, 5). Valor M´aximo Local 2500.

18. Considere a fun¸cão de produ¸cão de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f (x, y) = x45y

1

5 onde x é o número de unidades de mão de

obra e y é o número de unidades de capital. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 160 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 200 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é 100.000. Assim, a fun¸cão que rstringe a produ¸cão desta indústria é dada por 160x + 200y = 100.000 u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produ¸cãodesta indústria.

Resp: Ponto de M´ınimo Local x0, y0) = (500, 100). Valor M´ınimo Local 100(500)

4 5(100))

1 5.

19. Considere a fun¸cão de produ¸cão de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f (x, y) = x35y

2

5 onde x é o número de unidades de mão de obra

e y é o número de unidades de capital. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 150 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 190 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é 90.000 u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produ¸cãodesta indústria.

20. Considere a fun¸cão de produ¸cão de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f (x, y, z) = x25y

1 5y

2

5 onde x é o número de unidades de mão

de obra, y é o número de unidades de capital e z é o número de unidades de materia prima. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 160 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 200 u.m., o custo por uma unidade capital é 300 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é 800.000. Assim, a fun¸cão que rstringe a produ¸cão desta indústria é dada por 160x + 200y + 300z = 800.000 u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produ¸cãodesta indústria.

21. Considere a fun¸cão de produ¸cão de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f (x, y, z) = x35y

1 5y

1

5 onde x é o número de unidades de mão de

obra, y é o número de unidades de capital e z é o número de unidades de materia prima. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 160 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 200 u.m., o custo por uma unidade capital é 300 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é 800.000 u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produ¸cãodesta indústria.

(6)

22. Assuma que um monopolista produz dois produtos e que toda a produ¸cão é vendida. Suponha que x∈ R e y ∈ R sejam as quantidades demandas destes produtos se os pre¸cos forem p e q respectivamente. Se as equa¸cões de demandas forem dadas p = 36 − 3x e q = 40 − 5y e a fun¸cão custo-conjunto for dada por C(x, y) = x2_{+ 2xy + 3y}2_{, indique a alternativa que apresenta corretamente as quantidades}

x0e y0, e os pre¸cos p0 e q0, que maximizam o lucro obtido com a venda destes dois produtos.

a: (x0, y0, p0, q0) = (2, 4, 24, 20) b: (x0, y0, p0, q0) = (4, 2, 24, 24)

c: (x0, y0, p0, q0) = (2, 2, 30, 30) d: (x0, y0, p0, q0) = (4, 4, 24, 20)

e: (x0, y0, p0, q0) = (4, 2, 24, 30).

Respe

23. A rela¸c˜ao entre as vendas S (quantidade de produto vendida) e as quantias x e y (em unidades moeda) gastas com dois meios de propaganda previamente escolhidos ´e dada por

S(x, y) = 100x 5 + x+

200y 10 + y. O lucro l´ıquido ´e igual a 1

5 da vendas menos o custo da propaganda. A verba destinada à propaganda é de 30 unidades de moeda. Dê sua sugestão para se alocar os recursos entre estes dois meios de propaganda para que o lucro l´ıquido seja máximo. Justifique sua sugestão.

2 - Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas para servi¸co pesado em quantidades x e y. A fun¸cão de custo-conjunto é dada por f (x, y) = x2_{+ 2y}2_{− xy. A fábrica deve produzir, em um}

determinado per´ıodo de tempo, exatamente 40 máquinas. Dê sua sugestão para que a fábrica escolha produzir quantidades x0 e y0destas máquinas de modo que o custo seja m´ınimo.

24. Suponha que d, s, p : [0, ∞) → R sejam fun¸cões diferenciáveis e em cada t avalia as quantidades Demandadas d(t) e Ofertadas s(t) de um certo “comodity” se o seu Pre¸co for p(t). O modelo proposto por Evans apresenta as seguintes rela¸cões entre Demanda, Oferta e Pre¸co

( _{d(t) = α}

0+ α1p(t) s(t) = β0+ β1p(t)

dp

dt(t) = γ(d(t) − s(t)). onde α1<0, β1>0 e γ > 0.

(8) O pre¸co de equil´ıbrio é uma fun¸cão constante pe: [0, ∞) → R que satisfaz a equa¸cão diferencial.

a: Determine a rela¸c˜ao entre pe e as constantes α0, α1, β0 e β1.

b: Se p(0) = 2, pe= 1 e γ(α1− β1) = −2, calcule p(t) e lim t→∞p(t).

25. Sejam S, R : [0, ∞) → R fun¸cões deriváveis, e suponha que S e R dão, respectivamente, o valor de revenda de um automóvel e o custo operacional deste mesmo automóvel. Suponha ainda que, as fun¸cões S e R satisfazem o problema valor inicial

     dR(t) dt = α S(t)+ β dS(t) dt = −λS(t), R(0) = R0>0, S(0) = S0>0, onde α > 0, β > 0 e λ > 0 s˜ao constantes reais. Podemos aﬁrmar que

(7)

a. Como o custo operacional deste automóvel cresce indefinidamente, haverá um tempo t0 após o qual o valor revenda deste automóvel será negativo.

b. S(t) = S0e−λt, e R(t) = R0+ βt +

α λS0

(eλt− 1)

c. Apesar de o custo operacional deste automóvel crescer indefinidamente, valor revenda deste automóvel será maior que um valor ǫ > 0.

d. S(t) = S0eλt+ cos(t), e R(t) = R0+ βt +

α λS0

(e−λt

− 1)

e. Apesar de o custo operacional deste automóvel ser limitado, haverá um tempo t0 após o qual o valor revenda deste automóvel será negativo.

26. Calcule o candidato à ponto extremo (Máximo ou M´ınimo local) de f (x, y, z) = 2xz − x2 _{sujeita às}

condi¸c˜oes g1(x, y, z) = 0 e g2(x, y, z) = 0, quando g1(x, y, z) = 2x + z + 1 e g2(x, y, z) = x − y − 1.