ESTÁTICA (2012/2013) REVISÕES FICHA 1

(1)

ESTÁTICA

(2012/2013) REVISÕES FICHA 1 1- Determine o comprimento de todas as barras, as cotas e os ângulos representados nas figuras seguintes.

a) Figura 1 b) Figura 2

2- Considere as forças F1, F2, F3 e F4 representadas na figura.

a) Determine as componentes segundo os eixos coordenados x e y, de cada uma das forças.

b) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fa = F1 + F2 + F3 + F4, caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo x e sentido.

c) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fb = F1 - F2 + F3 - F4, caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo y e sentido.

3- Considere a força de 100 N representada na figura. Determine as componentes da força segundo os eixos coordenados x e y.

4- Considere a força de 200 N representada na figura. a) Determine as componentes da força segundo os

eixos coordenados x e y.

b) Decomponha a força em duas componentes: uma na direcção AB e outra na perpendicular à direcção AB.

B A C D 4.0 m 2.0 m 2.5 m 30º c E G ϕϕϕϕ 3.0 m 2.0 m 5.0 m b a F 4.0 m 5.0 m 2.0 A B D C a α αα α _ββββ δδδδ ϕϕϕϕ ββββ δδδδ _α_αα_α 35º 2 1 F1= 5 kN F2= 10kN 40º F3= 15kN 70º F4= 18 kN 30º 100 N 200 N 20º 60º A B

(2)

ESTÁTICA

(2012/2013) REVISÕES FICHA 1 5- Considere o corpo rectangular representado na figura onde actuam três forças.

a) Considere αααα=25o.

- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.

- Determine as componentes da resultante nas direcções perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular. b) Considere αααα=50o.

- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.

- Determine as componentes da resultante nas direcções perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular.

6- Para que não danifique a tábua de madeira onde está cravado, o prego representado na figura deverá ser arrancado na vertical. As ferramentas existentes permitem aplicar forças paralelas e perpendiculares à superfície da madeira.

a) Se for aplicada uma força paralela à superfície da madeira de 100 N (Fa), determine a grandeza da força perpendicular (Fb) que deverá ser aplicada simultaneamente para que o prego seja arrancado na vertical.

b) Determine a grandeza da força de arranque.

7- Considere a esfera representada na figura, sob a acção de duas forças: F1 e F2. a) Considere αααα=25o.

- Determine a grandeza da força F2, que actuando conjuntamente com F1, faz a esfera deslocar-se na trajectória AB.

- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2. b) Considere a força |F2| = 40 kN.

- Determine o ângulo αααα da direcção da força F2 que, actuando conjuntamente com F1, faz a esfera deslocar-se na trajectória AC.

- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2.

αααα 35º 500 N 260 N αααα 320 N 40º Fa= 100 N Fb

αααα

30º 20º F1= 20 kN B A C F2

(3)

ESTÁTICA

(2012/2013) ESTÁTICA DO PONTO MATERIAL FICHA 2 1- Considere o sistema de forças aplicado num ponto representado na figura 1 e os sistemas de eixos (x,y)

das figuras 2 e 3 ( x _┴y ).

a) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a direcção dos eixos (x,y) da figura 2.

b) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a direcção dos eixos (x,y) da figura 3.

c) Determine a resultante do sistema de forças representado na figura 1.

d) Caracterize completamente a força que actuando conjuntamente com o sistema representado na figura 1, conduz ao equilíbrio do ponto.

e) Determine a força F que actuando conjuntamente com o sistema representado na figura 1, torna o novo sistema (forças da figura 1 + F) equivalente a uma força horizontal (←) de 60 kN.

f) Considere um sistema constituído por uma força F actuando conjuntamente com as forças de 25 kN e 70 kN representadas na figura 1.

- Determine a menor força F que conduz a uma resultante com a direcção do eixo y da figura 2. - Caracterize a resultante deste novo sistema de forças.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

2- Considere o sistema de forças aplicado num ponto, constituído por F1, F2, F3 e F4, cuja resultante é a força R.

a) Considerando R = 50 kN, F3 = 25 kN e F4 = 15 kN, determine a grandeza e sentido de F1 e F2.

b) Considerando R = 30 kN, F1 = 10 kN e F2 = 15 kN, determine a grandeza e sentido de F3 e F4.

c) Considerando F1 = 30 kN e F4 = 65 kN, determine a grandeza e sentido de F2 e F3 para que a resultante tenha uma grandeza de 40 kN, a direcção indicada na figura e sentido contrário ao indicado na figura.

d) Considerando F1 = 40 kN, F2 = 50 kN, F3 = 20 kN e F4 = 10 kN, caracterize a força F5 que deverá adicionar ao sistema para que o ponto esteja em equilíbrio.

35º 25kN 20º 50kN 10kN 70kN x y 40º x y 25º = 0.20 0 .1 5 ₌ = = = 0.20 = = = = = 0 .1 5 F1 F2 F3 R F4

(4)

ESTÁTICA

(2012/2013) ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO FICHA 3 1- Considere a manivela que roda em torno do ponto C e que

se encontra caracterizada na figura 1. a) Figura 2

a1) Determine o momento da força em relação ao pto C; a2) Determine o momento da força em relação ao pto D; b) Figura 3

b1) Determine o momento da força em relação ao pto C; b2) Determine o momento da força em relação ao pto E; c) Figura 4

c1) Determine o momento da força em relação ao pto D; c2) Determine o momento da força em relação ao pto C; d) Figura 5

d1) Determine o momento da força em relação ao pto D; d2) Determine o momento da força em relação ao pto C; e) Figura 6

e1) Determine o momento do binário em relação ao pto C; e2) Determine o momento do binário em relação ao pto B; e3) Determine o momento do binário em relação ao pto A; f) Figura 7

f1) Determine o momento de todas as forças em relação ao pto C;

f2) Determine o momento de todas as forças em relação ao pto E;

f3) Substitua o sistema de forças por outro equivalente com ponto de aplicação em D;

f4) Determine a força vertical a actuar em A que, actuando conjuntamente com as forças representadas na figura, conduz a um momento nulo em C;

f5) Determine a força horizontal a actuar em E que, actuando conjuntamente com as forças representadas na figura, conduz a um momento em A de 20 kNm (sentido horário);

g) Figura 8

g1) Reduza o sistema de forças a um sistema força+momento equivalente com ponto de aplicação em C;

g2) Reduza o sistema de forças da figura a um sistema força+momento equivalente com ponto de aplicação a meio da barra DE;

g3) Reduza o sistema de forças a uma resultante com ponto de aplicação sobre o tramo BCD.

A B C D E Figura 8 8 kNm 30 kN 12 kNm 50 kN 25 kN 55º 55º 25 kN 70º 20 kN A B _C D E Figura 5 40 kN 50 kN 30 kN A B _C D E Figura 7 35º A B _C D E Figura 6 15 kN 15 kN 25 kN 60º 60º 25 kN 0.40 m 0.40 m 0.20 0.20 0.15 m 0.15 m A B _C D E Figura 1 A B _C D E Figura 2 25 kN A B _C D E Figura 3 A B _C D E Figura 4

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ESTÁTICA

(2012/2013) ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO FICHA 3 2- Considere o corpo rígido representado na figura.

a) Determine a força e o momento a aplicar em B para que, conjuntamente com o carregamento da figura, o corpo rígido esteja em equilíbrio.

b) Para que seja alcançado o equilíbrio do corpo, determine as seguintes três forças que deverão actuar conjuntamente com o carregamento da figura:

- uma força horizontal a aplicar em D; - uma força horizontal a aplicar em H; - uma força vertical a aplicar em G;

c) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de aplicação em A.

d) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de aplicação em G.

e) Reduza o carregamento representado a uma resultante com ponto de aplicação sobre o alinhamento ABC.

3- Considere o poste de electricidade que suporta quatro linhas que exercem sobre ele as forças representadas na figura.

a) Determine a resultante na extremidade inferior do poste.

b) Considere que os parafusos que fixam o poste ao solo distam 20 cm do seu eixo (a=20cm). Determine as forças verticais transmitidas aos parafusos.

c) Determine a cota a para que a força transmitida aos parafusos não ultrapasse 220 kN. 0.50 0.50 0.50 m 50 kN 25 kN 90 kN 15 kN 2.50 m 0.40 0.40 a a 1.5 m 40 kN 30 kN 50 kN 75 kNm 35 kN 45 kN 40º A B C D E F H 1.5 m 2.0 m 1.5 m G

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ESTÁTICA

(2012/2013) EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES FICHA 4 1- Substitua os carregamentos da figura por forças resultantes equivalentes no cálculo do equilíbrio de corpos

rígidos.

2- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes. 40º 2.1 m 6 kN/m 3.2 m 9 kN/m 2.0 m 2.4 m p = 8 kN/m 10 kN/m 3.3 m 7 kN/m 12 kN/m 3.0 m 6 kN/m 8 kN/m 2.0 m 5 kN/m 60º 2.8 m p = 10-2x (k_N/m) p =7 k N/m 3.0 m 2.0 m 4 kN/m 1.5 m 2.0 m 3 kN/m 0.5 0.5 2 kN/m 3.0 m 2.0 m 3.0 m 15 kN A B 2.0 m 3.0 m 1.5 m C D 25 kN 4.0 m A 1.5 m B C 20 kN 0.8 25 kN A B 3.5 m 1.4 m C D 40 kN A B 50º 30 kN 65º 1.1 m 6 kN/m Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 2.2 m D A B 1.2 m Figura 5 2.1 m 0.90 A 1 m Figura 6 4 kN/m 7 kN/m 7 kNm 9 kNm 15 kNm 2.0 m C 18 kNm 12 kNm B C D 5 kN 1.2 m

(7)

ESTÁTICA

(2012/2013) EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES FICHA 4

3- Considere as estruturas do exercício anterior. a) Figura 2

Determine o ponto de aplicação da força vertical de 25 kN (↓), que actuando conjuntamente com a força de 20 kN representada na figura, conduz a uma reacção nula no apoio A.

b) Figura 4

Determine a grandeza e sentido do momento a aplicar em C, que actuando conjuntamente com o restante carregamento ilustrado na figura, reduz a reacção vertical em B para 30 kN (↑).

c) Figura 5

Determine a grandeza e sentido da carga vertical uniformemente distribuída a aplicar no tramo AB que actuando conjuntamente com o restante carregamento ilustrado na figura, leva a que a reacção no apoio B seja uma força vertical de 22 kN (↑).

4- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.

55º 30 kN 60º 10 kN /m 1.5 m 20 kNm 2.5 m 25 kN 1.2 m 0.8 2.0 m 20 kN 30 kN 0.8 m 15 kN 18 kN 1.2 m 5 kN 1.1 23 kN 10 kN 1.4 m 1.5 m 1.5 m Figura 4 Figura 3 2.2 m 0.5 4 kN/m 30º 20 kNm 7 kN 15 kN 0.5 10 kN/m A B 1.0 Figura 2 2.0 m 7 kN 1.5 m 1.0 20 kN 50º 0.8 0.7 Figura 1

(8)

ESTÁTICA

(2012/2013) EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS FICHA 5 1- Considere os dois corpos rígidos rectangulares unidos por uma rótula em C, representados na figura.

Determine as reacções e as forças de ligação na rótula C.

2- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.

Figura 1 30º 0.8 2.0 m 0.8 40 kN 45º 50 kN 1.5 m 1.5 m 20 kNm A 0.6 m 0.6 m 12 kN/m B C 15 kN/m 27 kN/m E F H I G C A 2.0 m 4.0 m 20 kN_/m 40 kN 60º 35º 50 kNm 2.0 m 2.0 m 2.0 m 2.0 m B D 3.0 m

(9)

ESTÁTICA

(2012/2013) EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS FICHA 5 10 kN/m 40 kN/m 3.0 m 3.0 m 10 kN 75 kNm A B C D 30 kN 80° 90° E 2.0 m 20 kN/m 2.5 m 2.5 m 2.0 m 2.5 m 2.0 m 1.5 m 25 kN/m 100 kN 15° 15 kN/m 30 kN/m A B C D F G H I 50 kNm E 4.0 m 3.0 m 3.0 m 1.2 3.0 m 3.0 m 1 m 4.0 m 4.0 m 2.0 m 2.0 m 1.7 m F 20 kN/m A 30° D B G 40 kN 80 kNm 35 kN/m E C 75° 2.0 m 1.3 m 50 kN Figura 2 Figura 3 Figura 4

(10)

ESTÁTICA

(2012/2013) EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - VIGAS GERBER FICHA 6 1- Determine as reacções nos apoios das vigas Gerber abaixo representadas.

1.2 m F C 1.3 m E 15 kN/m 10 kN/m 1.5 m 35 kN 50º 0.8 1.1 m 45 kN 40º 1.3 m D 2.0 m A B 1.3 m E 1.1 m D 9 kNm 1.2 m C 0.7 F G 8 kN/m 45 kN 65º 0.8 7 kN/m 60 kN 65º 0.7 1.1 m 1.2 m A C D 2.0 m 12 kNm 1.7 m B 1.5 m E 1.8 m 10 kN/m 30 kN 8 kNm 6 kNm Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 1.5 m C 40 kN 55º 2.0 m 1.2 m A 1.8 m 0.9 20 kN/m B D 2.5 m E A 1.1 m 1.0 C F 50 kN 0.8 D 15 kNm 0.6 0.9 B 8 kNm 5 kN/m 60º 1.1 A 0.9 1.4 m B G

(11)

ESTÁTICA

(2012/2013) EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS FICHA 7 1- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 20 kN/m A B C 30 kN 1.7 m 1.3 m D E 3 m 3 m 1.5 m 3 m 4 m 70kNm 4 m 4 m 10 kN/m 8 kN/m 5 kN/m A 2.0 m 1.0 m 2.0 m 1.0 1.0 1.6 m 2.4 m 30 kNm 20 kN 5 kN/m B D E F G K I H J C 10 kN/m 25 kN/m 35° 40 kN 1 3 m 2 m 2 m 3 m 80 kNm 50 kN/m 40 kN 30 kN/m 40 kN/m A B C D E F H G I 30° 110° 1.5 m 3 m

(12)

ESTÁTICA

(2012/2013) EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS FICHA 7 Figura 4 Figura 5 Figura 6 3 m 3 m 1 2 m 1 m 75° 40 kN /m 35 kNm A C B D G F I E H J 100 kN 2 0 k N /m 80 kN 3 m 2 m 3 m 3 m 2.5 m 2.5 m 4 m A 10 kN/m B C D E F 50 kNm 20 kN/m 20 kN/m G 3 m 3 m 1 3 m A 3 m 12 kN/m 20 kN/m 5 kN/m 15 kNm B _C D E F G H

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ESTÁTICA

(2012/2013) SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP) FICHA 8 1- Determine os esforços em todas as barras pelo Método do Equilíbrio dos Nós.

Sempre que possível, não calcule previamente as reacções.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 50 kN 100 kN 3.0 m 2.5 m 40 kN 45° 4 m A C B 2.5 3.0 m 3.0 m 3.0 m 2.5 m 40 kN 25 kN 60 kN D E F G H 20 kN 2 m 1 m 30 kN 4.0 m 2.5 m 30 kN A C B D E B A C D 3.0 m 10 kN 20 kN 3.0 m 1.5 m 3 m A B C F E D 4 m 2 m 1.5 m 5 kN 10 kN 20 kN 60° 30 kN 2.0 m 4.0 m dir. 50° A C E B D

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ESTÁTICA

(2012/2013) SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP) FICHA 8 2- Considere as estruturas do exercício anterior e recorra ao Método de Ritter na resolução das alíneas

seguintes. Sempre que possível, não calcule previamente as reacções. a) Figura 1

Determine os esforços nas barras AB, BC, BD e CD.

b) Figura 2

b1) Confirme que a barra AB está descarregada.

b2) Determine os esforços nas barras BC e CD.

c) Figura 3

Determine o esforço na barra CD.

d) Figura 4

Determine os esforços nas barras BE e EF. e) Figura 5

Determine o esforço na barra BC.

3- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. As forças F3 e F4 têm a mesma direcção que a barra FH.

Tenha em atenção o seguinte:

• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.

• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa alínea para resolver outra.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras AD e AE. b) Utilizando o Método de Ritter, calcule o esforço axial na barra EG.

c) Utilizando o Método de Ritter, determine que direcção e sentido a força F5 = 40 kN deveria ter para que na barra HI actuasse um esforço de compressão de 25 kN

3 m 2 m 1 m 1 m 2 m 3 m 2 m F1=50kN A E B C G F H I J 4 m F2=30kN D F3=25kN F4=20kN F5=40kN

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ESTÁTICA

(2012/2013) SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP) FICHA 8

4- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós e considerando α=30°°°°, determine o esforço axial nas barras DI, DJ e IJ.

b) Utilizando o Método de Ritter e considerando α=30°°°°, determine o esforço axial na barra GJ.

c) Utilizando o Método de Ritter, determine qual o ângulo α que provoca um esforço de compressão de 10 kN na barra IJ.

5- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. Tenha em atenção o seguinte:

• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.

• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa alínea para resolver outra.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BF e BG. b) Utilizando o Método de Ritter, determine o esforço axial na barra AC.

c) Utilizando o Método de Ritter, determine a grandeza e sentido da força vertical a aplicar no nó D para que o esforço axial a actuar na barra CD seja um esforço de compressão de 35 kN.

A B C E D F G J I H 4 m 2 m 2 m 3 m 4 m 2 m 25kN 30kN 15kN 2 m 3 m 3 m 10 kN B A C D E // AC F G H I 20 kN 3.0 m 1.5 m 2.5 m 2.5 m 3.0 m 1.0 2.0 m 40 kN 30 kN 10 kN 45° 25 kN dir.

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ESTÁTICA

(2012/2013) SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP) FICHA 8 2 m 2 m 1 m 10kN 7kN 8kN 5kN A B C D E F H G 3 m 4 m

6- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. A força de 50 kN aplicada no nó F tem a direcção da barra DG.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BE e CE. b) Calcule o esforço axial na barra DE pelo Método de Ritter.

7- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.

a) Sem calcular previamente as reacções e recorrendo ao Método de Ritter, determine o esforço axial na barra BE.

b) Utilizando o Método de Ritter determine o esforço axial na barra AD.

c) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós determine o esforço axial na barra DF. 2 m 20 kN 30 kN 50 kN B C A F E D G 3 m 2 m 2 m 5 m

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ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 9 1- Considere a viga com o carregamento indicado na figura.

(Reacções: VA = 20,652 kN ↑ HF = 68,051 kN → VF = 13,006 kN ↓ )

a) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M) em função de x1.

b) Desenhe os diagramas de esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros dos diagramas).

c) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M) em função de x2.

d) Com as expressões determinadas na alínea anterior, confirme o traçado dos diagramas de esforços (N, V e M) anteriormente desenhados.

e) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M) em função de um referenciallocal de cada tramo.

Nos tramos AB, BC e CD considere x da esquerda para a direita (→); nos tramos DE e EF considere x da direita para a esquerda (←).

Confirme o traçado dos diagramas de esforços anteriormente desenhados.

2- Considere as estruturas abaixo representadas.

Determine as expressões analíticas dos esforços esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas.

a) Reacções: HB = 11,0525 kN → VB = 65,8589 kN ↑ VC = 74,3859 kN ↑ b) Reacções: HA = 5,5 kN → VA = 12,0737 kN ↑ MA = 6,4575 kNm 0.8 m 30 kN 45º 50 kN 60º 0.9 m 8 kNm 0.8 m 0.95 m 0.55 m 60 kN 40º x2 x1 A B C D E F 3.5 m 1.4 m C D 10 kN A B 50º 20 kN 65º 1.1 m 25 kN/m 30 kN 70º 6 kNm 9 kNm 10 kN/m 60º B C 1.1 2.4 m 18 kN/m A

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ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 9 c) Reacções: HA = 12,262 kN → VA = 3,50 kN ↑ MA = 11,581 kNm d) Reacções: HB = 9,5 kN → VB = 17,45625 kN ↑ VD = 28,54375 kN ↑ e) Reacções: HA = 13,731 kN ← VA = 14,949 kN ↑ RD = 45,819 kN RE = 22,116 kN 15 kN/m 6 k N /m A B D E C 2.0 m 0.8 2.0 m 1.2 m 16 kN 5kN/ m 3.0 m 7 kN 10 kN 7 kN 12 kN 5 kNm 8 kN/m 2.2 m A B C E F 1.2 m 1.2 m 1.0 m 4 kNm D 1.2 m 1.9 m 1.5 m 2.2 m 0.5 4 kN/m 30º 20 kNm 7 kN 15 kN 0.5 A B C D

(19)

ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 10 1- Considere a estrutura abaixo representada.

Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.

Reacções: HA = 10,4 kN → VA = 9 kN ↑ MA = 23,94 kNm N (kN) V (kN) M (kNm) 0.8 m 2 k N /m A B 0.9 m 1.1 m C E D 3 kN 2 kN 8 k N /m 2.4 m 4 kN

(20)

ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 10 2- Considere a estrutura representada.

Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M). Desenhe os respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.

Reacções: HF = 19 kN ← VF = 58 kN ↑ MF = 58,9 kNm N (kN Esc: 1 cm ↔ 0,5m 0.8 m 1.2 m 0.5 2.4 m 0.8 1.1 m 2.0 m 1.5 m 1.2 m 1.5 m 25 kN/m 15 kN/m 40 kNm 5 kN 6 kN 8 kN 30 kN 10 kN 18 kN 20 kN 5 kN A B C D E F G H J I K _{10 kN}

(21)

ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 10

V (kN)

M (kNm)

(22)

ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 10 3- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os

respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis. Reacções: A kN 21,1225 V kN 8,9032 H A A    ↑ = → = D kN 31,0892 V kN 11,9032 H D D    ↑ = ← = VK = 17,7882 kN ↑ N (kN) Esc: 1 cm ↔ 0,5m D E F G I J K 5 kN/m 25 kN/m 20 kN 35 kN A B C H 1.25 m 2.0 m 2.5 m 1.6 m 2.4 m 1.0 m 1.0 m 1.0 m 2.2 m 0.5 m 18 kNm 10 kN 20 kNm 12 kN

(23)

ESTÁTICA

V (kN)

M (kNm)

(24)

ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 10 4- Determine as expressões analíticas dos

esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis. Reacções: A kN 13,1985 V kN 22,0245 H A A    ↑ = ← = I kN 54,8015 V kN 18,9411 H I I    ↑ = → = N (kN) 0.8 1.6 m 1₅ k_N /m 12 kNm 3.4 m 0.7 m 0.8 m 3 kN 18 kN 20 kN 30 kN 35 kN/m 1.2 m 0.8 0.6

(25)

ESTÁTICA

V (kN)

(26)

ESTÁTICA

(2012/2013) DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M ) FICHA 10 5- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os

respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.

Reacções: A kN 24,6727 V kN 9,7303 H A A    ↑ = ← = G kN 4,3273 V kN 31,7303 H G G    ↑ = → = N (kN) 8 kNm 40 kN/m 0.8 1.5 m 10 kN 15 kN 28 kN 14 kN 0.9 0.6 4.0 m 1.5 m 0.6 m

(27)

ESTÁTICA

V (kN)

(28)

ESTÁTICA

(2012/2013) GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE FICHA 11 1- Para as secções transversais representadas, calcule as coordenadas do centro de gravidade referidas ao

respectivo sistema de eixos. Represente o centro de gravidade na figura.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 R= 12,5 Y X 25 cm 15 10 15 cm 12.5 42.5 35 cm Y X 3.4 cm 2.7 cm R =₅ cm 30 cm Y X 15 cm 45 cm 30 cm Z Y 23 mm 20 mm 9 mm 15 mm 10 30 mm 15 mm 7 mm 5 15 mm 10 mm R = 20_m m

(29)

ESTÁTICA

(2012/2013) GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE FICHA 11

Figura 5

Figura 6

2- Considere as secções transversais constituídas por perfis metálicos. Calcule as coordenadas do centro de gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um). Represente o centro de gravidade na figura.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Z Y R=12c m 12 cm 12 cm 13 cm 12 cm 12 cm 13 cm 13 cm 4 cm 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm 2 cm Z Y R = 2 cm 18 cm UPN 240 UPN 160 UPN 160 Y X HEB 200 L200x200x20 100 100 Z Y

(30)

ESTÁTICA

(2012/2013) GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE FICHA 11 3- Considere as secções transversais representadas nas figuras. Calcule as coordenadas do centro de

gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um). Represente o centro de gravidade na figura.

PESOS VOLÚMICOS DOS MATERIAIS

AÇO BETÃO MADEIRA MÁRMORE CORTIÇA

77 kN/m3 25 kN/m3 6 kN/m3 30 kN/m3 3 kN/m3 Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 betão 18 6 8 4 25 cm 5 5 0.10 0.20 m 0.15 Z Y 0.18 m 0.18 m madeira betão mármore Ø 219,1 esp.8 perfil tubular 9 cm 12 cm 12 cm 9 cm betão madeira 9 cm 9 cm cortiça 9 12 cm 9 12 cm 9 cm 7 cm R 9 cm Ø 355,6 esp.10 perfil tubular betão cortiça

(31)

ESTÁTICA

(2012/2013)

GEOMETRIA DE MASSAS

MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO FICHA 12

1- Considere as secções transversais representadas.

a) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos representados.

b) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos representados.

c) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pela origem do sistema de eixos representado (momento de inércia polar IO).

d) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e com origem no centro de gravidade (momento de inércia polar ICG).

e) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos representados.

f) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos representados.

g) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos representados.

h) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos paralelos aos eixos representados. i) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com a mesma

origem do representado mas rodado de 30⁰ no sentido horário.

j) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com origem no CG e rodado de 25⁰ no sentido anti-horário.

Figura 1 Figura 2 R= 12,5 Y X 25 cm 15 10 15 cm 12.5 42.5 35 cm 30 cm Y X 15 cm 45 cm 30 cm

(32)

ESTÁTICA

(2012/2013)

Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Z Y R=12c m 12 cm 12 cm 13 cm 12 cm 12 cm 13 cm 13 cm Y X 3.4 cm 2.7 cm R =₅ cm 4 cm 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm 2 cm Z Y R = 2 cm Z Y 23 mm 20 mm 9 mm 15 mm 10 30 mm 15 mm 7 mm 5 15 mm 10 mm R = 20_m m

(33)

ESTÁTICA

(2012/2013)

Figura 7 Figura 8

Figura 9 Figura 10

2- Considere a secção transversal representada, constituída por duas cantoneiras L 200x100x10.

a) Determine a que distância d deverão ser colocadas as duas cantoneiras para que o momento de inércia da secção em relação ao eixo Z seja igual ao momento de inércia em relação ao eixo Y ( IY = IZ).

3- Determine a espessura e das chapas com que deverá ser reforçado o perfil IPE 220 para que apresente o mesmo momento de inércia que o perfil HEB 220 em relação ao eixo baricentro ΔG. Y X HEB 200 L200x200x20 100 100 Z Y Y X UPN 160 9 cm UPN 240 UPN 160 Z Y 9 cm 8 Z Y G d 150 mm e ∆G 150 mm e ∆G

(34)

ESTÁTICA

(2012/2013)

EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA FICHA 13

1- Considere as secções transversais representadas.

a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os Eixos Principais de Inércia na figura.

b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia (MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 R= 12,5 Y X 25 cm 15 10 15 cm 12.5 42.5 35 cm Y X 3.4 cm 2.7 cm R =₅ cm 30 cm Y X 15 cm 45 cm 30 cm Z Y 23 mm 20 mm 9 mm 15 mm 10 30 mm 15 mm 7 mm 5 15 mm 10 mm R = 20_m m

(35)

ESTÁTICA

(2012/2013)

Figura 5

Figura 6

2- Considere a secção transversal representada, constituída por dois perfis metálicos.

b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é máximo. Determine o valor desse Momento de Inércia máximo.

Z Y R=12c m 12 cm 12 cm 13 cm 12 cm 12 cm 13 cm 13 cm 4 cm 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm 2 cm Z Y R = 2 cm HEB 200 L200x200x20 100 100 Z Y

(36)

ESTÁTICA

(2012/2013)

3- Considere as secções transversais representadas, constituídas por perfis metálicos.

b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia (MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.

c) Determine o Momento de Inércia em relação ao eixo Δ representado na figura.

Figura 1 Figura 2

4- Considere a secção transversal representada, constituída por perfis metálicos.

b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é mínimo. Determine o valor desse Momento de Inércia mínimo.

UPN 160 9 cm UPN 240 UPN 160 Z Y 9 cm 8 ∆ Y X Y X

∆

70°