Alguns exemplos de descontinuidade

(1)

Integra¸c˜

oes impr´

oprias

(em constru¸c˜ao...)

Alguns exemplos de descontinuidade

Os tipos de descontinuidades s˜ao:

• Descontinuidade remov´ıvel: ∃ limx→x0f(x); por´em o limite n˜ao existe no ponto

x= x0, ou seja, limx→x0f(x) 6= f(x0)

• Descontinuidade de salto: limx→x−

0 6= limx→x + 0

• Descontinuidade essencial: a) de primeira ordem: lim_x→x−

0 e limx→x +

0 ambos

os limites n˜ao existem b) de segunda ordem: ou lim_x→x−

0 ou limx→x +

0 o limite n˜ao

existe.

Example 1 A fun¸cão f (x) = x_x2 + 1 é descont´ınua no ponto x = 0. Por outro lado, a fun¸cão f (x) coincide com g(x) = x + 1 exceto no ponto x = 0. Se tomarmos f (0) = 1 a fun¸cão f(x) torna-se cont´ınua no ponto x = 0. É um exemplo de descontinuidade por omissão de valor.

Figura 1 – Fun¸c˜ao f(x) e g(x)

Example 2 A fun¸c˜ao f (x) ´e descont´ınua para x = 0

f(x) = ( _x2

x + 1, se x 6= 0,

3, se x = 0.

De fato f (a) 6= limx→af(x). Ou seja 3 6= limx→0f(x). Verifique quando substitu´ımos o

(2)

Example 3 A fun¸c˜ao f (x) = 5

(x−1)2 ´e impropriamente cont´ınua no ponto x = 1.

Verifique se ambos os limites n˜ao existem pois divergem: lim_x→1− ≡ lim_x→1+ = +∞

Figura 2 – Fun¸c˜ao f (x)

Integral Definida

O Teorema fundamental do c´alculo diz:

Theorem 4 PARTE A: Se f for cont´ınua em [a, b], a fun¸c˜ao h(x) ser´a dada por

h(x) = Z x

a

f_{(t)dt a ≤ x ≤ b}

´e cont´ınua em [a, b] e deriv´avel no conjunto (a, b) e h′

(x) = f (x)

Theorem 5 PARTE B: Se f for cont´ınua em [a, b], ent˜ao

Z b

a

f_{(x)dx = F (b) − F (a) a ≤ x ≤ b}

onde F ´e qualquer primitiva de f, isto ´e dF (x)_dx = f (x).

Observe em ambos os teoremas exibem a necessidade da fun¸cão f ser cont´ınua no intervalo fechado [a, b]. Ou seja, o intervalo de integra¸cão de a até b é finito, tal que é derivável no conjunto aberto (a,b). Além disso, a imagem do integrando deverá ser finita no dom´ınio. Então, duas perguntas são inevitáveis:

E se o intervalo n˜ao for fechado?

E se a fun¸c˜ao for ilimitada em um ou mais pontos no intervalo? Se existir singularidade? Descontinuidade infinita?

(3)

• 1) Seja uma fun¸cão f cujo dom´ınio inclui o intervalo fechado [a, b]. Então, f será integrável em [a, b] se existir um n´_{umero L. Ou seja, ∀ǫ < 0 ∃ δ > 0 tal que toda} a parti¸cão δ para a qual ||δ|| < δ, com ǫi no intervalo fechado:

n X i=1 f(ǫi)∆ix− L < ǫ tal que lim ||∆||→0 n X i=1 f(ǫi)∆ix= L

• 2) Se uma fun¸cão for cont´ınua no intervalo fechado [a, b], então ela será in-tegrável em [a, b]

Integrais impr´

oprias

São integrais em que a fun¸cão integranda se torna infinita no intervalo de integra¸cão ou quando, pelo menos, um de seus limites de integra¸cão é infinito inferiormente (−∞, b], superiormente [a, +∞) ou ambas (−∞, ∞).

• 1) Seja uma fun¸c˜ao f cujo dom´ınio pode n˜ao apresentar um intervalo fechado: (−∞, b], [a, +∞) (−∞, +∞).

• 2) Uma fun¸c˜ao f pode n˜ao ser cont´ınua em um intervalo qualquer.

Defini¸c˜

ao integrais impr´

oprias

O primeiro tipo está associado ao problema em que a uma de fun¸cão f cujo dom´ınio não inclui o intervalo fechado em, pelo menos, um dos lados.

• Integral Impr´opria Tipo I (a): Seja f integr´avel em [a, t] ∀t > a:

f_{(x) ; X ∈ [a + ∞) ⇒} Z ∞ a f(x)dx = lim t→+∞ Z t a f_{(x)dx em [a, +∞)}

desde que o limite exista.

Ex: R+∞

0 e−xdx

• Integral Impr´opria Tipo II (b): Seja f integr´avel em [t, b] ∀t < b:

f_{(x) ; X ∈ (−∞, b] ⇒} Z b −∞ f(x)dx = lim t→−∞ Z b t f_{(x)dx em (−∞, b]}

(4)

Ex: R2

−∞ 1 (4−x)2dx

• Integral Impr´opria Tipo III (c): Seja f integr´avel em [−t, t] ∀t > 0: Z +∞ −∞ f(x)dx = Z 0 −∞ f(x)dx + Z +∞ 0 f_{(x)dx em (−∞, +∞)}

desde que as integrais do segundo membro sejam convergentes.

Ex: R∞

−∞ x (x2₊₁₎2dx

Example 6 Calcule o valor da integral Z +∞ 0 e−xdx Integral do Tipo I em f : [0, +∞) → ℜ Z +∞ 0 e−xdx = lim t→∞ Z t 0 e−xdx (1) = lim t→∞(−e −x_|t 0 = lim t→∞(−e t_{+ e}o₎ = e0 = 1 Figura 3 – Fun¸c˜ao f (x) = e−x

Example 7 Calcule o valor da integral Z 2

−∞

1 (4 − x)2dx

(5)

Integral do Tipo I em f : (−∞, 2] → ℜ Z 2 −∞ 1 (4 − x)2dx = _a→−∞lim Z 2 a 1 (4 − x)2dx (2) = − lim a→−∞ Z 2 4−a dy y2dy = lim a→−∞y −1_|2 4−a = lim a→−∞ 1 2− 1 4 − a = 1 2 Figura 4 – Fun¸c˜ao f (x) = _(4−x)1 2

Example 8 Calcule (em casa) o valor da integral Z ∞

−∞

x (x2_{+ 1)}2dx

Integral do Tipo I em f : (−∞, +∞) → R.

O segundo caso,Tipo II, está associado a fun¸cões não cont´ınuas dentro de um intervalo fechado [a, b].

• (a): Seja f ´e cont´ınua em [a, b) com descontinuidade em b ∀b > a: Z b a f(x)dx = lim t→b− Z t a f(x)dx em [a, b)

Ex: R1

0 5 (x−1)2dx

(6)

• (b): Seja f ´e cont´ınua em (a, b] com descontinuidade em a ∀b < a: Z b a f(x)dx = lim t→a+ Z b t f(x)dx

Ex: R5

2 1 √

x−2dx

• (c): Supondo uma descontinuidade em c para a fun¸c˜ao f com a < c < b: Z b a f(x)dx = Z c a f(x)dx + Z b c f(x)dx

desde que as integrais do segundo membro sejam convergentes.

Ex: R3

0 1 x−1dx

Dizemos que existe a Integral Impr´opria Tipo III pela uni˜ao de ambos os casos acima. Exercise 9 Calcule Z 1 0 5 (x − 1)2dx.

Cuidado com os limites de integra¸c˜ao.

Z 1 0 5 (x − 1)2dx = 5 lim_b→1− Z b−1 −1 u−2du (3) = 5 lim b→1−( u−1 −1| b−1 −1 = −5 lim b→1− 1 (b − 1) − 1 (−1) = ∞

Exercise 10 Calcule a integral Z 3

0

1 x_{− 1}dx

Observe que exisste um problema de descontunuidade dentro do intervalo de integra¸c˜ao em x 6= 1. Z 3 0 1 x_{− 1}dx = Z 1 0 1 x_{− 1}dx+ Z 3 1 1 x_{− 1}dx (4) = lim b→1− Z b 0 1 x_{− 1}dx+ lima→1+ Z 3 a 1 x_{− 1}dx

Se uma das integrais divergirem, ent˜ao a integral

Z 3

0

1

x_{− 1}dx divergir´a. Vamos calcular

a primeira integral lim_b→1−

Rb

0 1 x−1dx

(7)

Figura 5 – Fun¸c˜ao f (x) = _(x−1)5 2 lim b→1− Z b 0 1 x_{− 1}dx = b→1lim− Z b−1 −1 u−1du (5) = lim b→1−ln |u|| b−1 −1 = lim b→1−ln |b − 1| − ln | − 1| = lim b→1−ln | b_{− 1} −1 | = lim b→1−ln(1 − b) = −∞ Ent˜ao a integral Z 3 0 1 x_{− 1}dx diverge. Exercise 11 Calcule Z 5 2 1 √ x_{− 2}dx Z 5 2 1 √ x_{− 2}dx = b→2lim+ Z 5 a 1 √ x_{− 2}dx (6) = lim b→2+ Z 3 a−2 u−1/2dx = 2 lim b→2+(u 1/2 |3a−2 = 2 lim b→2+( √ 3 −√a_{− 2) = 2}√3

gnuplot> unset border

(8)

Figura 6 – Fun¸c˜ao f (x) = _x−11

Figura 7 – Fun¸c˜ao f (x) = √1 x−2

gnuplot> set xzeroaxis gnuplot> set yzeroaxis

gnuplot> set xtics axis out scale 1,8 gnuplot> set xrange [ -10 : 10 ] gnuplot> plot sample [2:6] 1/sqrt(x-2)

(9)

Exercise 12 Calcule Z +∞ −∞ dx 1 + x2 Z +∞ −∞ dx 1 + x2 = Z 0 −∞ dx 1 + x2 + Z ∞ 0 dx 1 + x2 (7) = lim a→−∞ Z 0 a dx 1 + x2 + lim_b→∞ Z b 0 dx 1 + x2 = lim a→−∞arctan(x)| 0 a+ lim b→∞arctan(x)| b 0 = lim

a→−∞(arctan(0) − arctan(a)) + limb→∞(arctan(b) − arctan(0))

= π

2 + π 2 = π

- REV. Seja y(x) = arctan(x) ⇒ x = tan(y). Vamos derivar a fun¸c˜ao x = tan(y) por y em ambos os lados da equa¸c˜ao, pois x = g(y).

dx dx = d[tan(y)] dy dy dx (8) 1 = 1 + tan(y)2dy dx dy dx = 1 1 + tan(y)2 Z dy = Z 1 1 + x2dx arctan(x) = Z ₁ 1 + x2dx Figura 8 – Fun¸c˜ao f (x) = _1+x1 2

(10)

gnuplot> unset border

gnuplot> set key center top reverse Left gnuplot> set xzeroaxis

gnuplot> set yzeroaxis

gnuplot> set xtics axis out scale 1,8 gnuplot> set xrange [ -10 : 10 ] gnuplot> plot sample [*:*] 1/(1+x**2)

Exercise 13 Calcule R∞ −∞e−|x|dx. Lembre-se que |x| =    −x, se x ≤ 0, x, se x > 0. Z ∞ −∞ e−|x|dx = Z 0 −∞ e−(−x)dx+ Z ∞ 0 e−(+x)dx (9) = lim a→−∞ Z 0 a exdx+ lim b→+∞ Z b 0 e−xdx = lim a→−∞(e x |0a+ lim b→+∞(−e −x_|b 0 = lim a→−∞[e 0 − ea] + lim b→+∞[−e −b _{− (−e}0_)] = 1 − 0 − 0 + 1 = 2

Integral p

Seja a integral Z ∞ 1 1 xpdx ◮ Se p > 1 _⇔ _{1 − p < 0} lim b→∞ Z b 1 1 xpdx= 1 1 − p lim b→∞ 1 x|1−p| b₁ = 1 p_{− 1} ◮ Se p = 1 lim b→∞ Z b 1 1 xpdx= lim_b→∞ Z b 1 1 xdx= limb→∞ln |x|| b 1 = lim b→∞ln |b| − ln |1| = ∞ (10) ◮ Se p < 1 _⇔ _{1 − p > 0} lim b→∞ Z b 1 1 xpdx= 1 1 − pb→∞lim x |1−p|_|b 1 = ∞ (11)

Ou seja, somente quando p > 1 a integral converge para _p−11 , caso contr´ario, diver-gir´a.

(11)

Figura 9 – Fun¸c˜ao f (x) = _x1p

Crit´erio de compara¸c˜

ao

Vimos que a integral pode n˜ao existir implicando em divergˆencia.

• Critério da compara¸cão: Suponha 0 ≤ f(x) ≤ g(x) duas fun¸cões integráveis em [a, t]∀ t > a. Então é verdade que

a) Z +∞ a g_{(x)dx convergente ⇒} Z +∞ a f(x)dx convergente b) Z +∞ a f_{(x)dx divergente ⇒} Z +∞ a g(x)dx divergente

• Módulo A fun¸cão f deverá ser integrável em [a, t].

a) Z +∞ 0 |f(x)|dx ´e convergente ⇒ Z +∞ 0 f(x)dx ser´a convergente.

• Teste do limite de compara¸cão LTC Sejam as fun¸cões f e g positivas e cont´ınuas no intervalo [a, +∞). O limite existirá para L ∈ (0, ∞)

L= lim x→∞ f(x) g(x) quando a) Z +∞ a f_{(x)dx convergente ⇒} Z +∞ a g(x)dx ser´a convergente b) Z +∞ a f_{(x)dx divergente ⇒} Z +∞ a g(x)dx ser´a divergente

Observe que apresentamos três formas diferentes para verificar a convergência/divergência das integrais. Cuidado para não confundir os critérios em cada uma delas.

(12)

Example 14 Verifique se Z +∞

1

e−x2dx é divergente. Vamos usar o critério da com-para¸cão. Z +∞ 1 e−x2dx (12) x_{≤ x}2 −x > −x2 e−x >e−x2; X _{: [1, +∞)}

Podemos usar o crit´erio da compara¸c˜ao:

0 ≤ e−x2 ≤ e−x Z +∞ 1 e−x2dx_≤ Z +∞ 1 e−xdx Z +∞ 1 e−x2dx_{≤ (−e}−x_|∞₀ Z +∞ 1 e−x2dx_{≤ 1} Portanto a integral Z +∞ 1

e−x2dx é convergente pelo critério da compara¸cão.

Example 15 Verifique se a integralR+∞

1

(3x+1)2dx ´e convergente.

Usando o crit´erio da compara¸c˜ao temos que

(3x)2 _{≤ (3x + 1)}2; x_{≥ 1} 1 (3x + 1)2 ≤ 1 (3x)2 Z +∞ 1 1 (3x + 1)2dx≤ Z +∞ 1 1 (3x)2dx Z +∞ 1 1 (3x + 1)2dx≤ 1 9 Z +∞ 1 1 x2dx

Como a integral à direita é uma p-integral com p > 1, a integral à esquerda covergirá porque Z +∞ 1 1 xpdx= 1 p_{− 1}, p >1 Z +∞ 1 1 (3x + 1)2dx≤ 1 9 convergirá

Example 16 Verifique se a integral Z ∞

1

x2+ x + 5

x3_{+ 3x}2 _{+ 17}dx ´e covergente ou divergente.

Seja a fun¸c˜ao f (x) dada por:

x2+ x + 5 x3_{+ 3x}2_{+ 17}

(13)

Tudo indica que podemos usar o crit´erio do limite de compara¸c˜ao.

Porém precisamos encontrare uma forma para a fun¸cão g(x). Observe que o maior grau entre elas é dado por

g(x) = x

2

x3 =

1 x

Vamos verificar se o limite L = lim

x→∞ f(x) g(x) existe: L= lim x→∞ f(x) g(x) = x2_+x+5 x3_+3x2₊₁₇ 1 x (13) = lim x→∞ x(x2_{+ x + 5)} x3_{+ 3x}2_{+ 17} = lim x→∞ x3+ x2_{+ 5x} x3_{+ 3x}2_{+ 17} = lim x→∞ x3(1 + 1_x + 5_x12) x3_{(1 + 3}1 x + 17 1 x3) = lim x→∞ 1 + _x1 + 5_x12 1 + 3_x1 + 17_x13 = 1

Portanto, se o limite existe: b) Z +∞ a f_{(x)dx divergente ⇒} Z +∞ a g(x)dx ser´a divergente Ou seja Z +∞ a x2+ x + 5 x3 _{+ 3x}2_{+ 17}dx divergente ⇒ Z +∞ a 1 xdx ser´a divergente

Example 17 Seja f cont´ınua em [0, t] _{∀t > 0, e suponha M > 0 e γ > 0, tal que ∀t ≥ 0}

|f(t)| ≤ Meγt

Prove que R+∞

0 e−stf(t)dt ´e convergente para s > γ.

Podemos provar o resultado multiplicando a desigualdade por e−st _{em ambos os lados:}

Z +∞ 0 |f(t)e −st_{|dt ≤} Z +∞ 0 M e−(s−γ)tdt Z +∞ 0 |f(t)e −st_{|dt ≤} M s_{− γ} =⇒ a integralR+∞

0 |f(t)e−st|dt ´e convergente

(14)

Segundo o teorema 1) Z +∞ 0 |f(x)|dx é convergente ⇒ Z +∞ 0 f(x)dx será convergente. Então, 1) Z +∞ 0 |f(t)e −st_{|dt é convergente ⇒} Z +∞ 0

f(t)e−stdt ser´a convergente para s > γ.

Example 18 Calcule as integrais

a) R+∞ 0 e−stsin αtdt Z +∞ 0 e−st_{· sin αt dt = lim} b→∞ Z b 0 e−st _{· sin αt dt} =⇒ Lembrando que: (f g)′ = f′g+ f g′ f′g = (f g)′ _{− fg}′ Z f′gdx_{= f g −} Z f g′dx =⇒ Voltando ao c´alculo Z +∞ 0 e−st_{· sin αt dt = lim} b→∞ −e−st s · sin αt| b 0+ Z b 0 α se −st_{· cos αt dt} = α s Z b 0 e−st_{· cos αt dt} = α s lim b→∞ −e−st s · cos αt| b 0 − Z b 0 α se −st _{· sin αt dt} = α s 1 s − limb→∞ Z b 0 α se −st_{· sin αt dt} = α s2 − α2 s2 Z b 0 e−st _{· sin αt dt} Z +∞ 0 e−st_{· sin αt dt +} α 2 s2 Z b 0 e−st_{· sin αt dt =} α s2 1 + α 2 s2 Z b 0 e−st_{· sin αt dt =} α s2 Z b 0 e−st_{· sin αt dt =} α α2_{+ s}2 b) R+∞ 0 e−stcos αtdt RESP. _s2_+αs 2 c) R+∞ 0 e−stt n_dt RESP. n! sn+1 d) R+∞ 0 e−stte αt_dt _{(s > α)} RESP. _(s−α)1 2

(15)

Exercise 19 QUIMICA A velocidade média das moléculas em um gás ideal é dada por ¯ v = _√4 π M 2RT Z _∞ 0 v3e−Mv2/(2RT )dv

em que M é o peso molecular do gás; R a constante do gás; T, a temperatura do gás; e v, a velocidade molcular. Mostre que

¯

v =r 8RT πM

Exercise 20 _{Se f (t) é cont´ınua para t ≥ 0, a transformada de Laplace de f é a fun¸cão}

F definida por

F(s) = Z ∞

0

f(t)e−stdt

. Calcule as seguintes transformadas:

• f(t) = 1 • f(t) = et

• f(t) = t

Exercise 21 Calcule a integral

Z ∞ 1 [cosh(αt) − sinh(αt)]dt Lembre-se que • cosh(x) = ex_+e−x 2 • sinh(x) = ex_−e−x 2