Mecânica 1
Prova 1
Resumo
1
Conceitos
1. Vetores 2. Estática 3. Hidrostática1. Vetores
a. Módulo 𝐴 = (𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘) = 𝑥, + 𝑦, + 𝑧,b. Produto Vetorial com Incógnita Vetorial
𝑥 = 𝑢 × 𝑣
𝑢 , + 𝛼 ∗ 𝑢, 𝛼 𝜖 ℝ
c. Produto Escalar
• É a projeção de um vetor sobre outro
• Vetores perpendiculares tem produto escalar nulo • Resulta em um escalar
𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘 ∗ 𝑎𝚤 + 𝑏𝚥 + 𝑐𝑘 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧
2
d. Produto Vetorial • Resulta em um vetor• Vetor resultante será perpendicular ao plano formado pelos vetores multiplicados
• Vetores na mesma direção tem produto vetorial nulo
• Multiplica-se os módulos, a direção é o versor seguinte e o sinal é dado pela direção positiva
• Direção positiva:
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ sen 𝜃, sendo 𝜃 o ângulo entre 𝐴 𝑒 𝐵. Ex: 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘 × 𝑐𝑘 = 𝑦𝑐𝚤 − 𝑥𝑐𝚥
𝚤⃗
𝑘C⃗
3
2. Estática
a. Força e Resultante• Força é definida por um vetor 𝐹 e por um ponto de aplicação A, sendo representada por (𝐹, 𝐴).
• Resultante é um vetor sem ponto de aplicação dado por 𝑅 = 𝐹F.
• Quando temos um eixo de coordenadas (plano ou espaço), temos a resultante em cada eixo:
𝑅G = 𝐹GF ; 𝑅I = 𝐹IF ; 𝑅J = 𝐹JF
• A força produz o mesmo efeito se aplicada sobre qualquer ponto de sua linha de ação.
b. Momento em relação a um Polo
• Momento de uma força em relação a um polo O é definido por: 𝑀L = 𝑃F − 𝑂 × 𝐹O
c. Mudança de Polo
• Se tivermos o momento em relação a um polo e queremos calcular em relação a outro:
𝑀P = 𝑀Q + 𝐵 − 𝐴 × 𝑅
d. Momento em Relação a um Eixo
• Temos um eixo passando por O e orientado pelo vetor unitário 𝑢. O
momento em relação a esse eixo é dado por: 𝑀R = 𝑀S ∗ 𝑢
4
• Forças paralelas ou que cruzam o eixo não geram momento • Nos exercícios:
i. Calcular a resultante;
ii. Calcular o momento em relação ao polo com mais forças; iii. Calcular os outros momentos a partir do já calculado.
e. Invariante
• Tendência de giro ao longo da resultante é a mesma.
𝑀P ∗ 𝑅 = 𝑀Q ∗ 𝑅 = 𝐼 f. Momento Mínimo • Paralelo a resultante 𝑀U = 𝛽 ∗ 𝑅 𝛽 = 𝑀S ∗ 𝑅 𝑅 , • Eixo mínimo: (O-E) = 𝑅 × (𝑀S) 𝑅 , + 𝛼 ∗ 𝑅 g. Binário • Momento aplicado • Não gera translação
• Gerado por duas forças opostas, logo, resultante é nula • Momento binário: 𝑀 = 𝑀 ∗ 𝑑
5
• O binário age sobre todo o corpo, logo, ele entra no cálculo do momento: 𝑀L = 𝑃F − 𝑂 × 𝐹O + 𝑀
h. Sistemas Equivalentes
• Caso 1: 𝑅 = 0 𝑒 𝑀Y = 0 à Corpo em Repouso.
• Caso 2: 𝑅 = 0 𝑒 𝑀Y ≠ 0à Redutível a um binário, igual a 𝑀Y.
• Caso 3: 𝑅 ≠ 0 𝑒 𝐼 = 𝑀Y ∗ 𝑅 = 0 à Redutível a uma única força.
i. Nesse caso, calculamos E tal que 𝑀U = 0, utilizando
𝑀U = 𝑀Y + 𝑂 − 𝐸 × 𝑅.
• Caso 4: 𝑅 ≠ 0 𝑒 𝐼 = 𝑀Y ∗ 𝑅 ≠ 0 à Redutível a uma força e um binário
i. Reduz a um binário (𝑀) igual ao momento calculado 𝑀 = 𝑀S
e aplica a resultante em O.
d
B
A
𝐹
CCCC⃗
P
𝐹
Q
CCCC⃗
𝜃
6
i. Baricentro
• Centro geométrico da figura • Ponto de aplicação da força peso
𝑋] = 𝑚F ∗ 𝑥F 𝑚F ; 𝑌] = 𝑚F ∗ 𝑥F 𝑚F ; 𝑍] = 𝑚F ∗ 𝑥F 𝑚F Em que 𝑚F é a massa da parte 𝑖 e seu centro (𝑥F, 𝑦F, 𝑧F).
j. Diagrama de Corpo Livre
• Todas as forças e momentos (esforços) aplicados NO corpo e NÃO pelo
corpo
• 𝑅 = 0 𝑒 𝑀Y = 0
k. Vínculos
• Mecanismos que fixam o sistema; impedem o movimento em certas
direções; restringem graus de liberdade.
• Nos exercícios, dão lugar a esforços. • Em 2 dimensões:
Apoio Simples Apoio Fixo (Articulação) Engastamento
-Restringe uma translação -Gera uma força
- Restringe duas translações
-Gera duas forças
- Restringe tudo
-Gera duas forças e um binário
𝐹
b𝐹
b𝐹
c𝐹
b𝐹
c𝐹
𝑀
d
7
• Em 3 dimensões:
l. Apoio Simples Apoio Fixo (Articulação)
-Restringe uma translação
-Gera uma força -Restringe todas as translações -Gera três forças
Engastamento Anel
-Restringe tudo
-Gera três forças e três binários
-Restringe 2 translações -Gera duas forças
x
y
𝐹
d𝐹
b𝐹
c𝑀
d𝑀
b𝑀
c𝐹
d𝐹
bx
x
y
𝐹
dx
y
𝐹
d𝐹
b𝐹
c
8
m. Fios, Polias e Treliças
• Fios
i. Inextensíveis ii. Sem massa
iii. Apenas forças de tração
• Polias
i. Sem atrito
ii. Fio está sempre tracionado
iii. Muda o sentido e a direção da força
• Treliças
i. Barras articuladas nas extremidades ii. Sem peso
iii. Apenas forças na direção da barra
n. Método dos Nós
• Método:
i. Acha as reações externas
ii. Isola um nó no qual tenha no máximo duas forças desconhecidas iii. Colocar, para cada barra, as forças na direção da mesma (tração
ou compressão)
iv. Resolve cada nó até encontrar todas as forças
o. Método do Corte
• Método:
i. Divida o sistema em 2 cortando, no máximo, 3 barras ii. Resolver utilizando as forças ”externas”
• Não podem ser três barras que saem do mesmo nó • Não podem ser três barras paralelas entre si
9
p. Atrito • É tangente à superfície• Tem sentido contrário à tendência de movimento
• Enquanto o bloco está parado: 𝐹ef = 𝐹 , até o limite de 𝐹ef ≤ 𝜇 ∗ 𝑁 • Limite de escorregamento: F ≤ 𝜇 ∗ 𝑃 • Limite de Tombamento:
𝐹 ≤
𝑃 ∗ 𝑎
2 ∗ 𝑏
F
N
F
atP
x
a
b
C
10
3. Hidrostática
a. Pressão• Depende da densidade do líquido (tipo) • Depende da profundidade do objeto • Direção: Normal à superfície (“esmaga”)
𝑃 = 𝛾 ∗ ℎ = 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
b. Resultante
• É o “volume” da figura gerada pelas pressões • Aplicada no baricentro dessa figura gerada
• 𝑃 = 𝛾 ∗ ℎ ∗ 𝑎 ∗ 𝑏, sendo 𝛾 ∗ ℎ a pressão e 𝑎 ∗ 𝑏 a área de aplicação da mesma.
11
4. Exercícios
1) (Exercício 1, Prova 1, 2015 – Poli) A barra ABCDEHG está sob a ação do sistema
de forças 𝐹p, 𝐴 , 𝐹,, 𝐵 , 𝐹q, 𝐺 Considerando 𝐹p = 𝐹, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, 3, pede-se:
a) Calcular a resultante 𝑅 e o momento 𝑀U E do sistema de forças em relação ao polo E.
b) Deseja-se restringir todos os movimentos da barra vinculando-a em
um único ponto; pede- se:
i. Determinar o tipo de vínculo que deve ser empregado e justificar a escolha;
ii. Determinar a posição na qual o vínculo deve ser colocado na barra de modo a minimizar as reações vinculares;
12
2) (Exercício 3, Prova 1, 2015 – Poli) A figura mostra uma barragem de concreto
(homogênea, de densidade 𝜌Q e largura L) que represa a água (densidade 𝜌P) acumulada junto a uma encosta. Admitindo que não ocorra infiltração de água sob a barragem e que o coeficiente de atrito estático entre a barragem e o terreno seja 𝜇, pede-se:
a) Calcular o peso da barragem e a força que a água represada aplica
sobre ela;
b) Fazer o diagrama de corpo livre da barragem;
c) Calcular, em função dos demais parâmetros, a máxima altura h da
água que pode ser acumulada sem afetar o equilíbrio estático da barragem.
13
3) (Exercício 2, Prova 1, 2015 – Poli) A figura mostra um suporte soldado ABF
em formato de “L” vinculado por uma articulação em A e por um apoio simples em B; a barra inclinada está articulada ao suporte em D e ao centro da polia C. A polia tem raio R e seu núcleo pode deslizar sem atrito dentro do rasgo horizontal; o fio ideal está preso em E e sustenta uma carga P. Admitindo que as peças tenham pesos desprezíveis, pede-se:
a) Isolar os corpos rígidos e fazer os respectivos diagramas de corpo
livre;
b) Calcular as reações vinculares em A e B; c) Calcular as forças atuantes na polia; d) Calcular as forças atuantes na barra CD.
14
4) (Exercício 3, Prova 1, 2010 – Poli) Para a treliça da figura, calcular: a) As reações vinculares;
15
5) (Exercício 3, Prova 1, 2016 – Poli) A estrutura ilustrada na figura compõe-se
de uma barra CD, de peso desprezível, articulada a uma parede vertical e a uma barra horizontal AB, de peso P. A extremidade A da barra AB apoia-se na parede, enquanto em B aplica-se uma força vertical Q. O coeficiente de atrito no contato entre a parede e a barra AB é μ. Pede-se:
a) Construir os diagramas de corpo livre das barras AB e CD;
b) Determinar o valor máximo de Q compatível com o equilíbrio da
estrutura.
16
Gabarito: 1) a. 𝑅 = 𝐹𝚤 + 𝐹𝚥 − 𝐹𝑘; 𝑀U = −𝐹 ∗ 𝑎𝚤 + 𝐹 ∗ 𝑎𝚥 + 𝐹 ∗ 𝑎𝑘b. 𝑅 ∗ 𝑀U = −𝐹,𝑎, o sistema é redutível a uma única força.
i. Um engastamento em qualquer ponto da barra, pois ele elimina todos os graus de liberdade do sólido.
ii. Para 𝜆 = 0, tem-se o ponto 𝑄Y = 𝐸 +,eq 𝚤 + 𝑘 .
iii. 𝑀zF{ = −pq𝐹𝑎 𝚤, 𝚥, −𝑘 . 2) a. 𝑃 = q|𝜌Q𝑏,𝑙𝑔; 𝑅 = p ,𝜌Pℎ,𝑙𝑔 b. f c. ℎ~eG = 𝑏 ∗ 𝑚𝑖𝑛 q€, ∗ ••‚ ƒ , ,p „ ∗ •‚ •ƒ …
17
3) a. b. 𝑥P = −𝑃; 𝑥Q = 𝑃; 𝑦P = 𝑃 c. 𝑥† = 𝑃; 𝑦† = 𝑃 d. 𝐹‡ˆ = −𝑃 2; 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑒 𝑦Œ = −2𝑃 4) a. 𝑥P = −16𝑃; 𝑥Œ = 16𝑃; 𝑦P = 9𝑃; 𝑦Œ = 0 b. 𝐹ˆ‡ = −16𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ; 𝐹P‡ = 15𝑃 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 ; 𝐹PQ = 4𝑃 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 ; 𝐹‡U = −4𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ; 𝐹Q‡ = −9𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ; 𝐹QU = 5𝑃 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 .
