MATEMÁTICA ELEMENTAR II:

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2009

MATEMÁTICA ELEMENTAR II:

situações de matemática do ensino médio no dia a dia

Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite

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Capa: IESDE Brasil S.A.

Imagem da capa: Júpiter Images/DPI Images CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE

SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

L55m

Leite, Olímpio Rudinin Vissoto.

Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. – Curitiba, PR: IESDE, 2009.

444 p.

Sequência de: Matemática elementar I ISBN 978-85-387-0414-0

1. Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. III. Título.

09-3612. CDD: 510

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Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP.

Olímpio Rudinin Vissoto Leite

Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná.

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Sumário

Números e operações | 11

Geometria e medidas | 33

Gráficos | 65

Tipos de gráficos | 65

Introdução às funções | 83

Conceito intuitivo de função | 83 Gráfico cartesiano | 85 Domínio e imagem de uma função | 88 Uma nova notação para função | 89

(6)

Função afim | 97

Gráfico da função afim | 97 Função linear | 98

Função identidade | 98 Função constante | 99

Coeficientes da função afim | 100

Interseção da reta com eixo x (raiz da função afim) | 101 Equações da reta | 108

Função quadrática | 115

Gráfico de uma função quadrática | 115 Domínio e imagem da função quadrática | 126 Máximo ou mínimo de uma função quadrática | 127

Tópicos complementares de funções | 135

Funções exponenciais | 155

Potenciação | 155

Propriedades das potências | 156 Notação científica | 157

Função exponencial | 163 Equações exponenciais | 169

(7)

Função logarítmica | 175

O que é logaritmo? | 175 Propriedades dos logaritmos | 178 Função logarítmica | 186 Equação logarítmica | 190 A função exponencial de base ‘e’ e de base 1

e | 192

Logaritmo natural | 193

Introdução à trigonometria | 197

Progressão Aritmética (P.A.) | 225

Sequência numérica | 225 Progressão Aritmética (P.A.) | 228

Progressão Geométrica (P.G.) | 241

Progressão Geométrica | 241 Classificação de P.G. | 242

Sistemas lineares | 259

Matrizes | 259 Determinantes | 265 Sistemas lineares | 269

(8)

Princípio fundamental da contagem | 279

Princípio fundamental da contagem | 279 Tipos de agrupamentos | 281

Análise combinatória | 287

Fatorial | 287

Permutação simples | 288 Permutação com repetição | 289 Arranjo simples | 292 Combinação simples | 295

Noções de probabilidade | 299

Experimentos aleatórios | 299 Probabilidade | 300 Probabilidade condicional | 306

Matemática Financeira | 313

Porcentagem | 313

Porcentagem de uma quantia | 314

Porcentagem de um número em relação a outro | 314 Aumento | 315

Desconto | 317 Juros | 320

(9)

Geometria espacial | 327

Estatística | 345

Circunferência trigonométrica | 359

Circunferência trigonométrica | 359 Relações trigonométricas | 363

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Estatística

Marcelo Gorges

Notações

População: é o grupo observado, ou seja, todos os elementos de um

conjun-to que geralmente é numeroso.

Amostra: é um subconjunto típico da população observada, ou seja, apenas

uma parte da população.

Tipos de variáveis

Variáveis qualitativas: São as variáveis relativas a atributos dos indivíduos

ou objetos pesquisados.

Exemplos:

nível de escolaridade, nacionalidade, religião, preferências etc.

Variáveis quantitativas: São variáveis expressas em números.

Exemplos:

salário, idade, número de filhos, estatura etc.

As variáveis quantitativas podem ser classificadas em variáveis contínuas e discretas.

Quando uma variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real, ela é denominada variável contínua. Características como altura, peso,

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compri-346 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia

mento, espessura, temperatura enquadram-se nesta categoria. Nesta situação, os dados são gerados por um processo de medição.

Em situações em que os dados são gerados por processo de contagem, a vari-ável é denominada como discreta. Neste caso, a varivari-ável pode assumir somente cer-tos valores, em geral inteiros. Alguns exemplos de variável discreta seriam: número de filhos, quantidade de carros, número de acidentes etc.

Resumindo, uma variável pode ser:

variável

qualitativa

quantitativa contínua discreta

Medidas de tendência central

Média aritmética

A média aritmética pode ser calculada da seguinte forma: M_a = x1 + x2 + x3 + ... + xn

n

Média aritmética ponderada

É a soma do produto dos números pelos respectivos pesos, dividida pela soma desses pesos.

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Estatística 347

Exemplos:

Qual a média aritmética entre as idades 9, 28, 43 e 72 anos?

1.

Solução:

M_a= 9 + 28 + 43 + 72

4 = 1524 = 38

Em uma escola a média dos 16 alunos do 8.º ano foi 6,2 e das 22 alunas foi

2.

6,8. Qual a média da turma toda?

Solução:

M_ap= 16 . 6,2 + 22 . 6,8

38 = 99,2 + 149,638 = 248,838 = 6,55

Moda

Moda (M_o): é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distribuição ou população.

Exemplo:

Qual é a moda na seguinte distribuição de valores: 6, 9, 6, 9, 3, 5 e 6.

Solução:

Moda é o valor que mais aparece, portanto: M_o = 6

Mediana

Mediana (M_d) é o valor que ocupa a posição central em uma distribuição de valores organizada em ordem crescente ou decrescente. Se o número de va-lores da distribuição for par, a mediana é a média aritmética dos dois vava-lores centrais.

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348 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia

Exemplos:

Qual a mediana das seguintes distribuições, já ordenadas, abaixo:

1.

2, 3, 3, 3, 4, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11. a)

Solução:

Como a distribuição tem um número ímpar de elementos, a mediana é o ter-mo central, M_d = 9.

20, 20, 20, 18, 16, 16, 12, 12, 12, 8, 6, 1. b)

Solução:

Como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média entre os termos centrais.

M_d= 16 + 12

2 = 282 = 14

Exercícios

1. Qual a média aritmética de um aluno que obteve os seguintes resultados no colégio: no 1.º trimestre 8,4; no 2.º trimestre 6,8 e no 3.º trimestre 7,2.

2. Qual é a média de idade de um time de futebol em que há 5 atletas de 22 anos, 3 atletas de 25 anos, 2 atletas de 29 anos e 1 atleta com 32 anos.

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Estatística 349

3. Um aluno que tirou 8,0 no primeiro bimestre, 6,8 no segundo bimestre e 5,4 no terceiro bimestre, necessita tirar quanto no quarto bimestre para passar com média final 7,0?

4. Em um torneio de futebol um time marcou, respectivamente, em cada um de seus jogos, 2, 1, 4, 3, 4, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3 e 3 gols. Determine:

a moda (M a) _o);

a mediana (M

b) _d);

a média aritmética dos gols marcados (M

c) _a).

5. Qual a moda, a mediana e a amplitude da seguinte distribuição de valores: 56, 48, 22, 63, 47, 35, 64, 21, 43 e 35.

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Medidas de dispersão

Amplitude total

É a diferença entre o maior e o menor valor em uma distribuição de dados.

Exemplo:

Qual a amplitude da seguinte distribuição de temperaturas, em graus Celsius, dada abaixo?

8, 20, 36, 5, 18, 21, 12, 14, 30, 33. a)

Solução:

Analisando a distribuição, a menor temperatura é 5ºC e a maior é 36ºC, por-tanto a amplitude será:

Amplitude = 36 – 5 = 31ºC.

Desvio padrão

O desvio padrão pode ser calculado pela seguinte fórmula: Para a população:

D_p= (x1 – Ma)2 + (x2 – Ma)2 + (x3 – Ma)2 + ... (xn – Ma)2

n

, quando forem considerados todos os elementos da população. Para uma amostra:

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Estatística 351

Exemplo:

Em uma competição de salto em distância, foram registrados os seguintes resultados: 4,23m; 4,62m; 4,56m; 4,44m e 4,60m. Calcule o desvio padrão da com-petição.

Solução:

Vamos dividir em passos este exercício:

1.º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados.

M_a= 4,23 + 4,62 + 4,56 + 4,44 + 4,60

5 = 22,455 = 4,49

2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética.

4,23 – 4,49 = – 0,26 4,62 – 4,49 = 0,13 4,56 – 4,49 = 0,07 4,44 – 4,49 = – 0,05 4,60 – 4,49 = 0,11

3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado.

(– 0,26)2 _{= 0, 0676} (0,13)2 _{= 0, 0169} (0,07)2 _{= 0, 0049} (– 0,05)2 _{= 0, 0025} (0,11)2 _{= 0, 0121}

4.º passo: Substituir os valores na fórmula adequada, como foram

considerados todos os valores da população temos:

D_p= 0,0676 + 0,0169 + 0,0049 + 0,0025 + 0,0121₅ = 0,104₅ = = 0,0208 0,144

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Coeficiente de variação

CV = Dp

M_a

Onde CV representa o coeficiente de variação, M_a a média aritmética e D_p o desvio padrão.

Dizemos que o coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, pois leva em consideração uma medida de dispersão absoluta, no caso o desvio padrão, e a média.

Exemplo:

Considere a seguinte situação:

Uma empresa resolveu fazer um estudo com relação aos valores salariais de seus funcionários e a quantidade de anos de escolaridade, considerando os ensinos fundamental, médio, superior e pós-graduações.

Veja alguns dos dados levantados neste estudo:

Com relação aos valores dos salários, chegou-se a uma média de R$2.300,00 e um desvio padrão de R$460,00.

Com relação a escolaridade, os dados são os seguintes:

A média de anos de escolaridade foi de 14 anos, com desvio padrão de 2,8 anos. Qual das grandezas apresentou maior variabilidade?

Solução:

CV = DP

M_a

Para os salários temos: CV = 460

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Estatística 353

Para os anos de escolaridade temos: CV = 2,8

14 CV = 0,2

Considerando o Coeficiente de Variação, nenhuma das grandezas estudadas apresentou maior variabilidade.

Apresentação de dados estatísticos

Para facilitar a análise e interpretação dos dados estatísticos devemos organi-zá-los. Acompanhe alguns exemplos:

Em uma determinada escola foram coletados os “pesos” (em kg) de 50 alunos. Os resultados obtidos estão dispostos no quadro a seguir:

58 70 58 56 70 56 67 68 70 58

70 56 68 70 70 61 71 56 58 71

71 71 61 56 58 71 56 71 58 68

56 58 68 61 70 59 68 61 56 71

71 56 56 67 56 68 58 56 71 59

O primeiro passo para organizar esses dados é dispormos em uma determina-da ordem, crescente ou decrescente. Organizando, a tabela fica assim:

56 56 56 56 56 56 56 56 56 56

56 56 58 58 58 58 58 58 58 58

59 59 61 61 61 61 67 67 68 68

68 68 68 68 70 70 70 70 70 70

70 71 71 71 71 71 71 71 71 71

(20)

Frequências

Frequência absoluta: é o número de vezes que a variável assume valor na

pesquisa.

Frequência relativa: é a razão entre a frequência absoluta e o número total

de elementos considerados.

Observação: a frequência relativa percentual é a representação da

frequên-cia relativa em forma percentual.

No tratamento de informações é muito comum a representação dos dados coletados em tabelas ou gráficos.

Tabela de frequências

A partir do ROL, podemos construir uma tabela chamada tabela de frequências. Para o ROL do exemplo anterior podemos montar a seguinte tabela de frequências:

Pesos

Frequências (f)

56 12 58 8 59 2 61 4 67 2 68 6 70 7 71 9

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da-Estatística 355

Para o cálculo da média aritmética, multiplicamos cada nota pela frequência correspondente, em seguida anotamos o produto obtido em uma nova coluna.

Pesos

Frequências (f)

x

_i

. f

_i 56 12 672 58 8 464 59 2 118 61 4 244 67 2 134 68 6 408 70 7 490 71 9 639 Total: 50 3169

Agora devemos dividir o somatório do produto entre pesos e frequências pelo somatório das frequências, assim temos:

M_a= 3 169

50 = 63,38

Então, 63,38kg representa a média aritmética do "peso" dos 50 alunos. Ainda a partir desta tabela vamos determinar a mediana.

Nesse caso, como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média entre os termos centrais.

Os termos centrais são o 25.º termo equivalente ao número 61 e 26.º termo também equivale ao número 61, assim a mediana é:

M_d= 61 + 61 2 = 61

Por fim, a moda é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distri-buição, assim sendo, a moda será:

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Exemplo:

Nível de escolaridade de um determinado bairro.

Níveis

Escolaridade

Frequência

_Absoluta

Frequência

_Relativa

Frequência

Relativa

porcentual

1 Nenhuma 3 3 200 = 0,015 1,5% 2 E. Fundamental 34 34 200 = 0,170 17,0% 3 E. Médio 103 103 200 = 0,515 51,5% 4 Graduação 52 52 200 = 0,260 26,0% 5 Pós - Graduação 8 8 200 = 0,040 4,0% Total 200 1,000 100%

Dada a tabela anterior , pode-se montar o seguinte gráfico de barras: 120 100 80 60 40 20 0 Nível de Escolaridade N úm er o d e p es so as a io _ão _ão

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Estatística 357

Exercícios

6. Determine o desvio padrão do conjunto de valores: 13, 42, 26, 34 e 24.

7. De acordo com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial), a avaliação da conformidade vem sendo cada vez mais usada por fornecedores para agregar valor e distinguir seus produtos, atraindo os consumidores e alcançando maiores fatias do mercado (retirado de: <www.inmetro.gov.br>). O laboratório de controle de qualidade de uma indústria de laticínios analisou duas máquinas envasadoras de iogurte e apre-sentou os resultados na seguinte tabela:

Iogurte Vida – Volume ideal: 250ml

Iogurte Saúde – Volume ideal: 250 ml

Envasado na máquina A

Envasado na máquina B

Resultados reais do volume do iogurte (em ml) 247 Resultados reais do volume do iogurte (em ml) 250 248 241 251 252 253 259 243 243

Calcule, para cada tipo de iogurte, as seguintes medidas: a média aritmética;

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358 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia a mediana; b) a moda; c) a amplitude; d) e o desvio padrão. e)

De acordo com as medidas que você calculou, qual máquina envasa os iogur-tes de maneira mais conforme? Por quê?

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Gabarito

Estatística

1. M_a = 8,4 + 6,8 + 7,2 3 = 22,43 = 7,47 2. M_ap = 5.22 + 3.25 + 2.29 + 1.32 11 = = 110 + 75 + 58 + 32 11 = 27511 = 25 anos 3. M_a = 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB 4 7,0 = 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB 4 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB = 7,0 . 4 20,2 + 4ºB = 28,0 4ºB = 28,0 –20,2 4ºB = 7,8 4. moda, M

a) _o = 1 e 3 (cada valor aparece 4 vezes na distribuição de valores). a mediana, M

b) _d = 2 + 3

2 = 2,5 M

c) _a = 2 + 1 + 4 + 3 + 4 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 3 + 3

12 = 2812 = 2,33 gols por partida. 5. Moda, M_o = 35 ( o valor aparece 2 vezes na distribuição de valores).

Mediana, Md = 43 + 47₂ = 90₂ = 45

6. 1.º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados. M_a = 13 + 42 + 26 + 34 + 24

5 = 1395 = 27,8

2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética. 13 – 27,8 = –14,8

42 – 27,8 = 14,2 26 – 27,8 = –1,8

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Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia

34 – 27,8 = 6,2 24 – 27,8 = –3,8

3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado. (–14,8)2_{= 219,04}

(14,2)2_{= 201,64}

(–1,8)2_{= 3,24}

(6,2)2_{= 38,44}

(–3,8)2_{= 14,44}

4.º passo: Substituir os valores na fórmula, assim: D_P = 219,04 + 201,64 + 3,24 + 38,44 + 14,44 5 = 476,85 = 9,765 7. máquina A: M a) _a = 248,4; máquina B: M_a = 249; máquina A: M b) _d = 248; máquina B: Md = 250;

em nenhum dos casos existe moda, pois não há nenhum valor que tem uma fre-c)

quência maior que a frequência dos demais termos; máquina A: h = 10; d) máquina B: h = 18; e) máquina A: D_P = (247 –248,4)2 + (248 – 248,4)2 + (251 – 248,4)2 + (253 – 248,4)2 + (243 – 248,4)2 5 D_p = 3,85 máquina B: D_p = (247 –249)2 + (248 – 249)2 + (251 – 249)2 + (253 – 249)2 + (243 – 249)2 5 Dp = 7,25

A máquina A envasa os iogurtes de maneira mais conforme (constante), pois a amplitude e o desvio padrão são menores em relação à máquina B, apesar de a média e a mediana estarem um pouco mais distantes do volume ideal.