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INTRODUÇÃO A
ESTATÍSTICA
Aulas 01 e 02
Sumário
Definições ... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 1
Medidas de tendência central ... 1
Média aritmética simples
( )
x
... 11 2 1 n i n i
x
x x
x
x
n
=n
+
+ +
=
=
∑
... 1 Moda( )
Mo
... 2 Mediana( )
Me
... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 2 Medidas de dispersão ... 2 Desvio médio ... 2 1 2 1 n i n ix x
x x x x
x x
DM
n
=n
−
− +
− + +
−
=
=
∑
... 2 Variância ... 2 Desvio padrão ... 2Coeficiente de Variação de Pearson (CVP) ... 3
σ
=
CVP
x
... 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ... 3 Questões extras ... 3 GABARITO ... 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 4 QUESTÕES EXTRAS ... 4Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01
Definições
Levantamentos estatísticos são apresentados diariamente em jornais e revistas e em geral estão associados a coisas importantes para a população, como saúde, comportamento, finanças, entre outras. Por esse motivo se faz necessário um estudo no mínimo de estatística e isso que será proposto no ensino médio. Para esta compreensão vamos começar com alguns conceitos básicos.
População: Conjunto de elementos para os quais se deseja estudar determinada características.
Amostra: Subconjunto da população.
Variável: Característica a ser estudada.
A variável pode ser de dois tipos que estão representadas no diagrama a seguir.
Nosso foco será em variáveis quantitativas discretas.
Dados estatísticos: Resultados das observações de determinada variável.
Dados brutos: Dados estatísticos obtidos na pesquisa sem serem colocados em qualquer ordem.
Rol: Dados estatísticos após organizados em ordem crescente ou decrescente.
Frequência absoluta: Quantidade de vezes que um determinado dado aparece.
Frequência relativa: Razão da frequência absoluta de um dado para o total de dados da distribuição.
Amplitude: Módulo da diferença entre o maior e o menor dado estatístico.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. Fazer o levantamento estatístico da quantidade
de irmãos que cada um dos alunos da sua sala
possui, e organizar os dados em uma tabela de frequências.
AULA 02
Medidas de tendência
central
As medidas de tendência central nos dão uma ideia de onde está o centro da distribuição.
Considere uma distribuição de uma variável discreta com n dados,
n∈
, cujo rol é dado por(
x x
1, , ,
2
x
n)
, para essa distribuição estudaremosas seguintes medidas de centralidade
Média aritmética simples
( )
x
1 2 1 n i n i
x
x x
x
x
n
=n
+
+ +
=
=
∑
Obs.1: a média é o valor que se todos os dados fossem substituídos por ele o somatório dos dados não seria alterado. Por exemplo, o salário médio de uma
empresa seria o salário que todos deveriam receber se os salários fossem todos iguais.
Variável Qualitativa (Atributos, qualidades ou características) Quantitativa (Medidas, contagem, números) Discreta (Contagem, conjunto enumerável) Contínua (medidas, intervalos reais)
TAREFA 1 – Fazer os PSA 1, 6, 7 e 8.
Como usar o símbolo de somatório?
No símbolo de somatório é utilizado para resumir somas com vários termos. Observe no exemplo a seguir como ele deve ser utilizado.
Exemplo
( )
7 2 3 i= i∑
Observe que abaixo do somatório temos
i =
3
e acima temos o número 7, isso significa que o primeiro valor de i a ser substituído por todos os valores inteiros de 3 até 7 e cada substituição será um termo da soma, assim temos( )
7 2 2 2 2 2 2 3 3 4 5 6 7 135 i= i = + + + + =∑
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
Moda
( )
Mo
Moda é o elemento com a maior frequência absoluta da distribuição.
Obs.2: Se em uma distribuição todos os dados tem a mesma frequência absoluta falamos que essa distribuição é amodal.
Obs.3: Se em uma distribuição dois dados tem a maior frequência absoluta simultaneamente, falamos que essa distribuição é bimodal. O mesmo ocorre em outros casos, como distribuições trimodais, tetramodais e assim por diante.
Mediana
( )
Me
A mediana dessa distribuição de n termos, n∈*, é
o seu termo central, se n for ímpar ou a média aritmética dos dois termos centrais se n for par.
Assim, 1 2 1 2 2 , se for ímpar , se for par 2 n n n x n Me x x n + + = +
Obs.4: Quando a quantidade de termos da distribuição é par a mediana pode não ser um termo da
distribuição.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1. Determine a média, a mediana e a moda da
distribuição 2; 5; 3; 7; 4; 2; 1.
2.2. Determine a média a mediana e a moda da
distribuição do exercício fundamental 1.1.
2.3. (FCC) Palmira faz parte de um grupo de 10 funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é
a) 60. b) 57. c) 54. d) 52. e) 48.
AULA 03
Medidas de dispersão
As medidas de dispersão mostram se os elementos estão próximos ou afastados da média. Iremos estudar três medidas de dispersão, são elasDesvio médio
1 2 1 n i n ix x
x x x x
x x
DM
n
=n
−
− +
− + +
−
=
=
∑
Variância
(
) (
2)
2(
)
2(
)
2 1 2 2 1σ
=−
−
+
−
+ +
−
=
=
∑
n i n ix x
x x
x x
x x
n
n
Desvio padrão
(
) (
2)
2(
)
2(
)
2 1 2 1σ
= − − + − + + − = =∑
n i n i x x x x x x x x n nQualquer uma dessas três medidas nos fornece uma maneira de verificar a dispersão dos dados de uma distribuição em relação a sua média. Porém, apenas a
TAREFA 2 – PSA 11, 13, 14, 17, 19, 20, 21, 23 e 25 a
32
Média aritimética ponderada
Quando aos elementos de uma distribuição são atribuídos certos pesos, ou seja, o dado
x
i tem pesoi
p
, sua média aritmética pode ser calculada pela expressão(
)
1 1 2 2 1 1 2 1 n i i n n i n n i ip x
p x p x
p x
x
p p
p
=p
=⋅
⋅ +
⋅ + +
⋅
=
=
+
+ +
∑
∑
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3 medida de dispersão não é suficiente para comprar
duas distribuições distintas. Para fazer essa
comparação utilizamos o Coeficiente de Variação de Pearson (CVP).
Coeficiente de Variação de Pearson
(CVP)
σ
=
CVP
x
Assim, para comparar duas distribuições em relação a sua homogeneidade deve-se calcular o CVP de cada uma e a que tiver o menor CVP é a mais homogênea.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
3.1. Determine o desvio médio, a variância e o desvio
padrão da distribuição a seguir.
5, 7, 6, 5, 2, 10, 7, 6
EXTRA
Questões extras
1. (FGV) No concurso para o Tribunal de Alçada, os candidatos fizeram provas de português, conhecimentos gerais e direito, respectivamente com pesos 2, 4 e 6. Sabendo-se que cada prova teve o valor de 100 pontos, o candidato que obteve 68 em português, 80 em conhecimentos gerais e 50 em direito, teve média:
a) 53 b) 56 c) 63 d) 66 e) 72
2. (CESGRANRIO) Numa turma de 35 alunos, 3 alunos faltaram à prova. Sem a nota desses alunos, a média dos 32 alunos foi 𝑥𝑥. Os 3 alunos fizeram a segunda chamada da prova, e suas notas foram 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + 1 e 𝑥𝑥 −
1. O professor recalculou a média da turma, agora
com 35 alunos, e encontrou o resultado 𝑦𝑦. Qual o valor da diferença 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥?
a) -3 b) -2 c) 0 d) 2 e) 3
3. (CESGRANRIO) Os Estados Lothar e Blink estão constantemente em guerra. Na última guerra, o Estado Lothar conseguiu tomar parte do território de Blink, uma região montanhosa conhecida como Trafaltar. Antes dessa última guerra, o governo de Lothar havia feito um censo que revelou que a população de Lothar possuía média de 35 anos. Com a inclusão da região de Trafalgar, o governo de Lothar fez um censo na nova região que revelou que a população de Trafalgar possuía idade média de 50 anos e que, com a inclusão de Trafalgar, a nova idade média geral, ou seja, a ideade média de Lothar com Trafalgar juntos, passou a ser 40 anos.
A razão entre o número de habitantes de Lothar e o número de habitantes de Trafalgar é
a) 0,5 b) 0,8 c) 1,5 d) 2 e) 2,125
4. (ENEM) A tabela abaixo apresenta a magnitude de alguns terremotos registrados no mundo, no século XXI.
ANO LOCAL Magnitude
2008 Brasil 5,2 2009 Costa Rica 6,1 2010 Haiti 7,2 2005 Paquistão 7,6 2008 China 7,9 2007 Peru 8,0 2001 Peru 8,4 2010 Chile 8,8 2004 Oceano Índico 8,9
A magnitude média dos terremotos ocorridos após 2006 foi
a) 7,2 b) 7,3 c) 7,4 d) 7,5 e) 7,6
5. (CESGRANRIO) A média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08. Mas os candidatos do sexo masculino saíram-se melhor: a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi
6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5.
TAREFA 3 – PSA 52, 53, 54, 60, 61, 62, 63, 64, 65 e 69.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4 Quantos homens foram aprovados nesse concurso?
a) 52 b) 54 c) 56 d) 58 e) 62
6. (CESGRANRIO) “A Diretoria de Terminais e Oleodutos da Transpetro opera uma malha de 7.179 km de oleodutos. Em 2010, [...] os 28 terminais aquaviários operaram uma média mensal de 869 embarcações (navios e barcaças).”
Se a diferença entre o número médio de barcaças e o de navios operados mensalmente nos terminais aquaviários em 2010 foi 23, qual a média de barcaças operadas mensalmente?
a) 423 b) 432 c) 446 d) 464 e) 472
7. (CESGRANRIO) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove números inteiros. O maior valor possível para a mediana dos nove números dessa lista é
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
