Relações de recorrências

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UAB

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

FRANCISCO LEÔNARDO COSTA

FRANCISCO LEÔNARDO COSTA

RELAÇÕES DE RECORRÊNCIAS

Trabalho de conclusão apresentado ao curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Secretaria de Educação à Distância – SEDIS como requisito para a obtenção do título de Especialista em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN.

Orientador: Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz

LUÍS GOMES/RN JULHO 2016

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Costa, Francisco Leônardo.

Relações de recorrência / Francisco Leônardo Costa. – Luís Gomes, RN, 2016. 27 f.

Orientador: Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz.

Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

1. Matemática - Monografia. 2. Aluno - Monografia. 3. Ensino - Monografia. 4. Professor – Monografia. 5. Recorrência - Monografia. I. Diniz, Iesus Carvalho. II. Título.

DEDICATÓRIA

Aos meus queridos sobrinhos Juvêncio Neto, Alison Kawai, Aylla Kawanny, Rhyanderson Felipe, Ávila Kaylanny e a mais nova integrante da turminha Anne Karelyn que

AGRADECIMENTOS

Grandes foram às lutas, maiores as vitórias. Sempre estiveste comigo. Muitas vezes pensei em que este momento nunca chegaria, queria recuar, no entanto, Tu sempre estavas presente, fazendo da derrota uma vitória, da fraqueza uma força. Com a Tua ajuda venci. A emoção é forte. Não cheguei ao fim, mas ao início de outra caminhada. Por isso gostaria de dizer muito obrigado Meu Deus.

Gostaria de agradecer também a minha queria esposa Alciene Pereira (Ciene) pela compreensão que tem tido comigo e, principalmente, pela ajuda que tem dado a mim sem questionar as situações, por ter sofrido comigo nos momentos de angústia e por me dar forças para superar as dificuldades, “esse longo caminho percorrido lado a lado, nos bons e maus momentos, faz de nós dois um ser unificado pelos mais profundos e eternos sentimentos”. TE AMO.

A vocês devemos tudo o que somos hoje. Nos ensinamentos da vida, foram doutores. Na minha caminhada ensinaram a agir com dignidade, honestidade e respeito. Como lição, aprendi ainda a ser responsável e humano. Com seus exemplos, aprendi a ser perseverante e justo. Com carinho, dedicação e amor, cresci a amadureci. Dificuldades foram ultrapassadas, vitórias foram alcançadas e alegrias divididas. Acreditaram em mim e hoje sou fruto dessa confiança. Mais uma etapa foi cumprida e uma nova fase terá início. Futuras realizações estão por vir. Neste instante gostaria de parar e agradecer aos meus pais Josa Costa e Francisca Maria (Dona Nêga) e aos meus irmãos José Luciano (Ciane), José Lucinaldo (Cinade), Ana Kaliane (Ká) e Ana Juciane (Jú).

Aos grandes amigos e colegas, se é que posso chama-los assim, pela aprendizagem teórica, mas o prazer de tê-los como mestres. Nada do que possamos dizer traduzirá a importância de vocês nessa vitória, muitos obrigado meus professores por tudo. Em especial gostaria de agradecer ao meu orientador Dr. Iesus Carvalho Diniz pelo apoio incondicional na minha carreira acadêmica, muito obrigado.

Gostaria de agradecer aos membros da banca Prof. Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente e Prof. Msc. Odilon Júlio dos Santos e a todos que compõem a coordenação da Especialização em Ensino de Matemática e a Secretaria de Educação à Distância SEDIS/UFRN pelas orientações direcionadas.

Por fim, gostaria de agradecer aos colegas da especialização por terem proporcionados bons momentos de estudo e ajuda.

RESUMO

O ensino de matemática constitui-se sem dúvida um grande desafio para o professor nos dias atuais. O mesmo também pode ser dito em relação aos alunos já que, para a maioria deles, é vista como uma disciplina complicada e difícil de aprender/entender. Sendo assim, cabe a nós mostrar que esse pensamento é errôneo e que matemática se faz presente no dia-a-dia de qualquer pessoa.

Partindo desse pensamento, propomos mostrar aos alunos de que é possível aprender matemática de forma divertida e prazerosa. Diante desse contexto, o professor ganha um papel de destaque, facilitar a transmissão e construção do conhecimento. Para isso, é preciso ter além do domínio sobre o conteúdo a ser ministrado uma abordagem que desperte a curiosidade, prenda a atenção e que permita participação ativa e constante do aluno na aula. Em outras palavras, através das observações dos resultados encontrados em suas explorações o aluno é capaz de construir seu próprio conhecimento e fazer suas próprias conclusões.

Diante dos inúmeros temas que a matemática possui optamos em trabalhar com Relações de recorrência, pois esse possui uma abordagem histórica e a diversidade de exemplos a serem explorados e trabalhados é grande não só na matemática, mas em outras ciências.

ABSTRACT

The teaching of mathematics It is undoubtedly a great challenge for the teacher today. The same can also be said for the students since, for most of them, is seen as a complicated and difficult subject to learn / understand. Thus, it is up to us to show that this thinking is erroneous and that mathematics is present in day-to-day anyone.

Based on this thinking, we propose to show students that it is possible to learn math fun and exciting way. In this context, the professed gained a prominent role, facilitate the transmission and construction of knowledge. For this, we need beyond the field of content to be taught an approach to arouse curiosity, hold your attention and to allow active and constant participation of the student in class. On the other hand, through the observations of the results found in their student holdings are able to build their own knowledge and make your own conclusions.

In the face of the numerous themes that mathematics has opted to work with Recorrence relations, because this has a historical approach and the diversity of examples to be explored and worked is great not only in mathematics, but in other sciences.

Sumário

3.1 O problema dos coelhos . . . 5 3.2 A lenda do jogo de xadrez . . . 6

4 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 9

4.1 Sequências . . . 9 4.2 Recorrência . . . 10 4.3 Relações de recorrência lineares . . . 11 4.3.1 Soluções para relações de recorrência lineares de 1a _{ordem . . . . 12} 4.3.2 Solução para relações de recorrência lineares de 2a _ordem

ho-mogêneas . . . 15

5 PROBLEMAS E APLICAÇÕES 16

RESULTADOS 23

CONCLUSÃO 25

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

Durante o exercício da docência muitos professores, principalmente os de matemática, são questionados com as seguintes perguntas: Para que serve a Matemática? Onde vou usar isso que estou estudando? Essas perguntas são muito frequentes entre estu-dantes do Ensino Fundamental (anos …nais) e Médio. Diante dessa situação existem dois caminhos possíveis. O primeiro caminho é convencer o aluno de que o que está estudando é importante e que em algum momento da sua vida vai precisar desses con-teúdos para resolver questões. Essa resposta geralmente não convence o aluno, além de ocasionar desinteresse pelo conteúdo e, por consequência, pela disciplina lecionada. O nosso pensamento é corroborado por Granja e Pastore (2012, p. 9) quando a…rmam que “a ansiedade típica dos jovens não permite ao estudante vislumbrar a utilidade de uma aplicação futura provocando um desinteresse pelo assunto”. O segundo caminho é mostrar através de exemplos práticos e experimentos de que a matemática é útil, que está presente em nossa vida e pode ser utilizada para solucionar problemas.

Por outro lado, a matemática ensinada nas escolas em geral, é vista como uma matéria difícil de aprender/entender, sem sentido e que não é utilizada por outras disciplinas ou em qualquer outro lugar que se conheça a não ser no ambiente escolar. Olhando por esse ângulo, concordamos com o pensamento do aluno e seu ponto de vista: a matemática não serve para nada. Esse pensamento é reforçado pela postura de alguns professores que in-sistem em ministrar em suas aulas apenas a matemática teórica, deixando a matemática aplicada de lado, sem nenhuma ligação com outras ciências.

A utilização de problemas relacionados ao seu cotidiano e conhecimentos adquiridos para ensinar conteúdos de Matemática em sala de aula desperta o interesse do aluno pelo conteúdo ministrado e, assim, aprende de forma signi…cativa os mesmos. Vale salientar, que fazer uma aula diferente não é garantia de que todos participarão ou que vai empolgar toda a classe, mas é um recurso didático com resultados garantidos e com boa aceitação na sala de aula.

Capítulo 2

DESENVOLVIMENTO

Entender e aprender os principais conceitos e de…nições sobre relações de recorrência e seus elementos tais como termos da sequência, termo geral, e solução através das de…nições formais encontradas nos livros didáticos é uma tarefa difícil para os estudantes e, em especial, aqueles alunos que estão estudando esse conteúdo pela primeira vez.

Por essa razão, dispor de uma aula diferente com exemplos práticos para iniciar o conteúdo constitui, sem dúvida, uma importante ferramenta metodológica, pois facilita o aprendizado e compreensão dos conceitos e elementos que formam uma recorrência, além de motivar os alunos. O exemplo adequado e a motivação possibilita ao aluno …xar em sua mente o conteúdo a ser estudado.

Partindo do pressuposto de que um exemplo introdutório permite um melhor en-tendimento sobre o conteúdo a ser abordado e buscar atrair o aluno para despertando nele o interesse pelo estudo de matemática propomos trabalhar na sala de aula com duas atividades, a saber: o estudo do crescimento dos coelhos e a lenda do jogo de xadrez. Essas atividades têm por …nalidade motivar os alunos e iniciar o conteúdo a ser minis-trado. A primeira atividade diz respeito ao crescimento dos coelhos ou como ocorre a reprodução dos coelhos e a segunda mostra como surgiu o jogo de xadrez ou como foi criado. Em ambos os casos queremos mostrar que a matemática está presente no nosso dia-a-dia, mesmo que de forma discreta.

Durante o desenvolvimento das atividades foram levantados os seguintes questiona-mentos: o que seria uma relação de recorrência? É sempre possível encontrar a solução de uma relação de recorrência? Quais as principais recorrências que existem? Existe exemplo que utiliza esse tipo de conteúdo? As respostas para essas perguntas serão dadas na conclusão. Passemos agora para o objetivo geral.

DESENVOLVIMENTO 4

2.1

Objetivo geral

Saber o que é relação de recorrência linear e como encontrar sua solução.

2.1.1

Objetivos especí…cos

Para alcançar o objetivo geral foram elaborados os seguintes objetivos especí…cos: Saber o que sequência;

Saber como calcular os termos de uma sequencia dada por recorrência; Saber Identi…car/classi…car uma recorrência linear e não linear;

Saber Identi…car/classi…car uma recorrência homogênea e não homogênea; Encontrar a solução de uma recorrência linear.

Capítulo 3

MOTIVAÇÃO

3.1

O problema dos coelhos

As recorrências têm seu lugar de destaque na matemática como podemos comprovar ao longo de sua história. Entre os inúmeros personagens de destaque em seu estudo um nome se sobressai e merece destaque entre os demais. Estamos falando a respeito do conhecido Leonardo de Pisa um matemático adepto dos algarismos indo-arábicos. Os estudos sobre os números despertaram nele o interesse pela reprodução dos coelhos (GUEDJ, 1999, p. 261).

No livro História da Matemática de Carl B. Boyer encontramos um dos problemas so-bre recorrência que mais inspirou os matemáticos ao longo dos anos. Trata-se da famosa Sequência de Fibonacci do matemático italiano Leonardo de Pisa mais conhecido como Fibonacci. Ao estudar como se dá a reprodução dos coelhos Fibonacci queria determinar a quantidade de coelhos gerados por um único casal ao …nal de um ano de acordo com as seguintes hipóteses: um casal se reproduz ao …nal de um mês, cada novo casal gera outro casal a partir do segundo mês do seu nascimento e cada casal gera os casais posteriores segundo o padrão de um por mês. No livro de sua autoria Liber abaci o problema é apresentado com o seguinte enunciado “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtível a partir do segundo mês?” (BOYER, 1974, p. 196). Esse problema deu origem aos números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . e mais tarde …caram conhecidos como Sequência de Fibonacci onde, cada termo a partir do terceiro é dado como a soma dos dois números imediatamente anteriores.

A Sequência de Fibonacci ganhou destaque por causa das suas propriedades notáveis, por exemplo, pode se provar que dois termos consecutivos são primos entre si, o limite lim_n!1 an 1

an =

p 5 1

MOTIVAÇÃO 6 crescimento orgânico, no qual podemos destacar que algumas plantas crescem segundo o padrão de sua sequência.

Outro ponto relevante sobre o estudo da reprodução dos coelhos de Fibonacci é mostrado no livro o teorema do papagaio no qual a…rma que “exibindo essa sequencia de casais de coelhos, Fibonacci inventava a noção matemática de sequência de números, que teria muito futuro” (GUEDJ, 1999, p. 261). Logo, podemos a…rmar que Fibonacci foi um dos percursores das conhecidas sequências numéricas dadas por recorrência.

3.2

A lenda do jogo de xadrez

Uma das mais belas estórias sobre a origem do jogo de xadrez é encontrada no livro o homem que calculava de Malba Tahan. A lenda do jogo de xadrez é narrada pelo protagonista Beremiz Samir. A lenda discorre sobre um rei Iadava que perdeu seu precioso …lho Adjamir na guerra e …cou inconsolável tranca…ado nos aposentos do seu palácio. Saía somente para resolver questões relevantes com os seus conselheiros sobre o reino.

Certa vez, diante deste cenário de grande tristeza, surgiu um jovem brâmane chamado Lahur Sessa (inventor do jogo de xadrez) com um jogo. Sua intenção era ajudar o rei a superar a perda e ajudar o reino, pois

"Grande mal será para esse país, pensei, se o nosso dedicado sobe-rano se enclausurar, como um brâmane cego, dentro de sua própria dor. Deliberei, pois inventar um jogo que pudesse distraí-lo e abrir seu coração as portas de novas alegrias. É esse o desvalioso presente que desejo neste momento oferecer ao nosso rei Iadava"(TAHAN, 2004, p. 117)

Diante da presença do rei o jovem Sessa apresentou o tabuleiro de malha quadriculada e dois conjuntos de peças distintas nas cores preta e branca e com vários formatos. Cada peça do conjunto poderia se movimentar no tabuleiro segundo regras especí…cas, mas o propósito principal de todas elas era proteger o rei. Rapidamente Iadava apreendeu todas as regras do jogo de xadrez e passava horas e horas em disputas de partidas e derrotava seus adversários com exímia habilidade.

Satisfeito com presente recebido o rei queria recompensar Sessa “... quero recompensar-te por esrecompensar-te maravilhoso presenrecompensar-te... dize-me, pois o que deseja, para que eu possa de-monstrar o quão sou grato àqueles que se mostram dignos de recompensa” (TAHAN, 2004, p.119). No entanto, Sessa não queria nada, apenas a satisfação de ter ajudado o rei a superar tamanho mal que lhe assolava. Contudo, o rei insistiu e ele achou por bem

MOTIVAÇÃO 7 aceitar e o pagamento seria feito em grãos de trigo da seguinte forma: 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e, assim sucessivamente até a sexagésima quarta casa.

Diante de tal pedido insigni…cante todos os presentes riam-se muito do desapego material do jovem. O rei autorizou o pagamento e mandou chamar seus algebristas para calcular a porção de trigo. Após exaustivos cálculos, os algebristas chegaram à conclusão de que

"... o número de grãos de trigo que constituirá o pagamento de Sessa, e obtivemos um número cuja grandeza é inconcebível para a imaginação humana. Avaliamos, com maior rigor, a quantas ceiras corresponderia esse número total de grãos, e chegamos a seguinte conclusão: a porção de trigo que deve ser dada a Lahur Sessa equi-vale a uma montanha , que tendo por base a cidade de Taligana seria cem vezes mais alta que o Himalaia! A Índia inteira, semeando todos os seus campos, taladas todas as cidades, não produziriam em dois mil séculos a quantidade de trigo, que pela vossa promessa, cabe, em pleno direito, ao jovem Sessa"(TAHAN, 2004, p. 122) Conhecida a quantidade de grãos devida deixou todos os presentes surpresos, ninguém podia imaginar um simples pedido, a princípio poderia equivaler a todo o reino.

Essa lenda nos deixa a valiosa lição de que a matemática não pode ser subestimada, pois ela pode nos surpreender.

No problema dos coelhos encontramos a sequência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . correspondente a quantidade de coelhos em cada mês e na lenda do jogo de xadrez os números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . . Correspondente a quantidade de trigo devida em cada casa do tabuleiro. Para ambos os casos são apresentados problemas que envolvem uma sequência de números que podem ser determinados facilmente por uma construção especí…ca a partir do número anterior, isto é, conhecida a regra para calcular os seus elementos em função dos anteriores, …ca fácil determinar os próximos termos da sequência dada. As sequências em que é possível determinar os termos a partir dos valores anteriores são chamadas de relação de recorrência. Uma de…nição formal de sequências e recorrências será apresentada no Capítulo 4.

Dessa forma, podemos concluir o seguinte em relação a recorrências: os números são fáceis de serem calculados, mas é difícil de calcular termos altos ou algum termo especí…co, pois é preciso conhecer os termos precedentes/anteriores. Por exemplo, para calcular a quantidade de casais de coelhos no …nal do 12o_{mês é preciso saber a quantidade} de casais de todos os 11 meses anteriores.

MOTIVAÇÃO 8 Portanto, chegamos a seguinte questão: é possível determinar uma fórmula que per-mita calcular qualquer número da sequência de Fibonacci ou da quantidade de grãos sem a necessidade de calcular os termos anteriores? Essa é pergunta que tentaremos responder no desenvolvimento desse trabalho.

Capítulo 4

DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA

Neste capítulo apresentaremos os principais conceitos e de…nições sobre sequência e recorrência que serão utilizados no decorrer neste trabalho.

4.1

Sequências

De…nição 4.1.1 _{Uma sequência de números reais é uma função a : N ! R , que para} cada n 2 N associa um número an pertencente aos reais chamado n-ésimo termo.

É denominada …nita, a sequência que possui um número limitado de termos. Do contrário a sequência é chamada in…nita.

Usualmente representamos estes casos, respectivamente, como (a1; a2; a3; : : : ; an) e (a1; a2; a3; an; : : :).

Nem sempre uma dada sequência apresenta uma regra ou lei de formação de…nida ou conhecida. Nos casos em que tal regra é de…nida, ela pode ser apresentada principalmente das seguintes maneiras:

Por meio de uma propriedade exclusiva dos termos da sequência. Exemplo: a sequência dos números primos, (an) = (2; 3; 5; 7; 11; : : :);

Por meio de uma expressão matemática que associa a cada n um determinado valor de an. Exemplo: an= 2n 3, (an) = ( 1; 1; 3; 5; 7; : : :);

Por meio de uma relação de recorrência que, a partir de um certo termo, determina cada termo seguinte em função dos anteriores. Exemplo: a sequência em que o primeiro termo da sequência é a1 = 3 e cada termo a partir do segundo é dado por an= 2an 1+ 1, (an) = (3; 7; 15; 31; 63; : : :).

DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 10

4.2

Recorrência

Considere a seguinte sequência que começa com o número 3, e cada um dos termos seguintes é obtido pela multiplicação por 2 do termo anterior:

3; 6; 12; 24; 48; 96; : : : (4.1) Ela pode ser de…nida recursivamente por

a1 = 3; an = 2an 1 para n 2 Para a sequência dada temos que

a2 = 2a1 a3 = 2a2 a4 = 2a3 .. . an = 2an 1 logo, a3 = 2a2 = 2 2a1 = 22a1 a4 = 2a3 = 2 2 a2 = 2 2 2a1 = 23a1 .. . an = 2an 1= 2 2 an 2= = n 1termos z }| { 2 2 2 : : : 2 a1 = 2n 1a1. Por …m, como a1 = 3 chegamos a expressão

an= 2n 1 3. (4.2)

A Equação (4:2) nos dá o n-ésimo termo da sequência dada na Equação (4:1) sem que seja necessário calcular o termo prévio.

Tomando por base a sequência em (4:1) temos o seguinte:

A equação an = 2an 1 onde cada termo da sequência é de…nido em função dos termos anteriores da sequência, é chamada relação de recorrência;

A equação a1 = 3, que atribui um valor especí…co a um dos termos da sequência, é dita condição inicial ;

DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 11 A função an= 2n 1 3, que dá uma fórmula para an como função de n, e não dos termos prévios, é dita solução da relação de recorrência;

Podem existir muitas sequências satisfazendo a relação de recorrência dada em (4:1). Por exemplo, 1; 2; 4; 8; 16; : : : e 7; 14; 28; 56; 112; : : : são soluções da relação recursiva an = 2an 1. Todas essas soluções formam a solução geral da relação de recorrência;

Por outro lado, só pode existir uma única solução para uma relação recursiva que também satisfaz a condição inicial a1 = 3 que produz unicamente a solução 3; 6; 12; 24; 48; 96; : : : da relação de recorrência an = 2n 1a1.

Para …ns de estudo, não será feito um estudo aprofundado sobre relações de recor-rência. Vamos trabalhar apenas os casos mais comuns que aparecem com frequência na sala de aula como é o caso da sequência de Fibonacci.

4.3

Relações de recorrência lineares

Uma relação de recorrência de ordem k é uma função da forma

an = (an 1; an 2; an 3; : : : ; an k; n) (4.3) isto é, o n-ésimo termo an da sequência é uma função dos k termos precedentes, e possivelmente de n.

Em particular, uma relação de recorrência para a sequência (an)é linear se ela puder ser escrita da forma

an= f1(n) an 1+ f2(n) an 2+ + fk(n) an k+ g (n) (4.4) onde os fi’s e g podem ser expressos envolvendo n. Se an não puder ser escrita da forma dada em 4.4 ela é dita não-linear.

Quando f1(n) = c1, f2(n) = c2,. . . , fk(n) = ck (ck 6= 0) onde ci’s são constantes reais chamados de coe…cientes constantes, temos que a sequência

an= c1an 1+ c2an 2+ + ckan k+ g (n) (4.5) é chamada de relação de recorrência linear de ordem k com coe…cientes constantes. Finalmente, uma relação de recorrência é homogênea se g(n) = 0 para todo n. Vamos trabalhar agora com alguns casos especiais de recorrência lineares de 1a_ordem.

DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 12

4.3.1

Soluções para relações de recorrência lineares de 1

or-dem

Temos que uma relação de recorrência linear de 1a _{ordem de acordo com a Equação} (4:4) é dada por:

an = f1(n) an 1+ g (n) ;8n 2 N, n 2 (4.6) Para g(n) = 0 e f1(n) = c, c 6= 0 constante e an 16= 0, obtemos a recorrência

an= can 1, (4.7)

que é classi…cada como relação de recorrência linear de ordem 1 com coe…cientes cons-tantes homogênea, onde ,n 2 N, n 2.

Expandindo os termos an, vem

a2 = ca1 a3 = ca2 a4 = ca3 .. . an = can 1 logo, a3 = ca2 = c ca1 = c2a1 a4 = ca3 = c ca2 = c c ca1 = c3a1 .. . an = can 1= c can 2 = = n 1termos z }| { c c c : : : c a1 = cn 1a1. Por …m, chegamos à expressão

an = cn 1 a1 (4.8) que é a solução geral das recorrências conhecidas como progressões geométricas.

Progressão geométrica

De…nição 4.3.1 Chama-se progressão geométrica (P.G.) uma sequência (an) dada pela seguinte relação de recorrência

(

a1 = a

an= an 1 q, 8n 2 N, n 2 em que a e q são números reais.

DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 13 Assim, uma P.G. é uma sequência em cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante q dada.

Em outras palavras, em uma P.G. an an 1

= q_{, 8n 2 N, n} 2

De acordo com a Equação (4:8) para c = q e a1 = a, obtemos

an = a qn 1 (4.9)

que é a expressão do termo geral de uma progressão geométrica de razão q.

A sequência dada no problema inicial da Seção 3:2 é uma P.G de razão 2 e condição inicial a1 = 3.

De acordo com Equação (4:6), para g(n) = c e f1(n) = 1, c constante e an 1 6= 0, obtemos a seguinte recorrência

an = an 1+ c (4.10) que é classi…cada como relação de recorrência linear de ordem 1 com coe…cientes cons-tantes não-homogênea, onde ,n 2 N, n 2.

Para encontrar a solução de 3.10 vamos expandir os termos de an, assim

a2 = a1+ c a3 = a2+ c a4 = a3+ c .. . an = an 1+ c logo, a3 = a2+ c = a1+ c + c = a1+ 2c a4 = a3+ c = a2+ c + c = a1+ c + c + c = a1+ 3c .. . an = an 1+ c = an 2+ c + c = = a1+ n 1termos z }| { c + c + c + : : : + c = a1+ (n 1) c. Por …m, chegamos à expressão

an = a1+ (n 1) c (4.11) que é a solução geral das recorrências conhecidas como progressões aritméticas.

DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 14 De…nição 4.3.2 Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma sequência (an) dada pela seguinte relação de recorrência

(

a1 = a

an = an 1+ r, 8n 2 N, n 2 em que a e r são números reais.

Assim, uma P.A. é uma sequência em cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior por uma constante r dada.

Em outras palavras, em uma P.A.

an an 1 = r, 8n 2 N, n 2

De acordo com a Equação (4:11) para c = r e a1 = a, obtemos

an = a + (n 1) r (4.12) que é a expressão do termo geral de uma progressão aritmética de razão r.

De acordo com Equação (4:6), para g(n) = 0 e f1(n) = n 1, n 2 N e an 1 6= 0, obtemos a seguinte recorrência

an = (n 1) an 1 (4.13) que é classi…cada como relação de recorrência linear de ordem 1 não-homogênea, onde n_{2 N, n} 2.

Para encontrar a solução de (4:13) vamos expandir os termos de an, assim a2 = 1a1 a3 = 2a2 a4 = 3a3 .. . an = (n 1) an 1 logo, a3 = 2a2 = 2 1 a1 a4 = 3a3 = 3 2 a2 = 3 2 1 a1 .. . an = (n 1) an 1= (n 1) (n 2) an 2 = : : : = (n 1) (n 2) : : : 2 1 a1.

DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIA 15 Por …m, chegamos à expressão

an = a1(n 1)! (4.14) que é a solução da recorrência a an = (n 1) an 1. Se a1 = 1, a sequência (an) que de…ne a fatorial de um número (n 1), isto é, (n 1)! = (n 1)(n 2) : : : 2 1.

4.3.2

Solução para relações de recorrência lineares de 2

ordem

homogêneas

Consideremos uma relação de recorrência homogênea de 2a ordem com coe…cientes constantes de acordo com (4:5) tem a forma

an = san 1+ tan 2;8n 2 N; n 3e t 6= 0. (4.15) Veja que a Equação (4:15) pode ser reescrita da forma

an san 1 tan 2 = 0. (4.16) A Equação (4:16) associamos os seguinte polinômio quadrático

(x) = x2 sx t. (4.17) O polinômio (x) na Equação (4:17) é chamado de polinômio característico da relação de recorrência, e as raízes de (x) são chamadas raízes características.

Teorema 4.3.3 Suponha que o polinômio característico (x) = x2 _{sx t da relação} an= san 1+ tan 2 tem raízes distintas r1 e r2. Então a solução geral para a relação de recorrência é dada por

an = c1(r1)n+ c2(r2)n (4.18) onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Lembramos que as constantes c1 e c2 são unicamente determinadas pelas condições iniciais.

Teorema 4.3.4 Suponha que o polinômio característico (x) = x2 _{sx t da relação} an = san 1+ tan 2 tem raízes iguais r1 = r2. Então a solução geral para a relação de recorrência é dada por

an = c1(r1)n+ c2n (r1)n (4.19) onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Lembramos que as constantes c1 e c2 são unicamente determinadas pelas condições iniciais.

Para o caso em que (x) tem raízes complexas o Teorema 4.3.3 também é válido, mas não será considerado nesse trabalho.

Capítulo 5

PROBLEMAS E APLICAÇÕES

Problema 1 Cálculo de juros simples por recorrência

O juro em termos simples é uma quantia que se paga sobre o dinheiro que se toma emprestado. Por exemplo, se uma pessoa toma emprestada a quantia de R$ 1:000; 00 a uma taxa de juros simples de 15% ao mês signi…ca dizer que todo mês a pessoa tem que pagar R$ 150; 00 de juros. Ao …nal de determinado período é feito a contagem de quantos meses a pessoa demorou a pagar o empréstimo, e por …m, contabilizar quanto de juros ela deverá pagar.

Suponhamos que uma pessoa toma emprestada a quantia de R$ 1:500 a uma taxa de juros simples de 35% ao mês. Quanto essa pessoa pagará de juros se pagar o empréstimo ao …nal de 1 mês, 2 meses, 3 meses, 4 meses, 5 meses e n meses?

Solução: Vamos representar o total de juros a serem pagos no mês n por J (n). Temos que ao …nal do 1o mês a pessoa deverá pagar 35% sobre o valor total, assim no 1o mês de empréstimo a pessoa pagará 0; 35 1:500 = R$ 525; 00. Portanto, J (1) = R$ 525; 00. No …nal do 2omês a pessoa deve pagar R$ 525; 00 do 1omês + 0; 35 1:500 = R$ 525; 00do 2o mês, ou seja,

J (2) = 0; 35 1:500 + J (1).

Ao …nal do 3o _{mês a pessoa deve pagar os juros dos 2 meses passados e 0; 35 1:500 =} R$ 525; 00de juros do 3o _{mês, logo}

J (3) = 0; 35 1:500 + J (2) = 0; 35 1:500 + (0; 35 1:500 + J (1)) = 2(0; 35 1:500) + J (1) = 1:575:

Ao …nal do 4o _{mês a pessoa deve pagar os juros dos 3 meses passados e 0; 35 1:500 =} R$ 525; 00de juros do 4o _{mês, logo}

PROBLEMAS E APLICAÇÕES 17

J (4) = 0; 35 1:500 + J (3) = 3(0; 35 1:500) + J (1) = 2:100,

Ao …nal do 5o mês a pessoa deve pagar os juros dos 4 meses passados e 0; 35 1:500 = R$ 525; 00de juros do 5o mês, logo

J (5) = 0; 35 1:500 + J (4) = 4(0; 35 1:500) + J (1) = 2:625: Desssa forma, ao …nal do n-ésimo mês a pessoa deverá pagar de juros

J (n) = 0; 35 1:500 + J (n 1) = (n 1)(0; 35 1:500) + J (1) = (n 1) 525 + J (1); mas, J (1) = 525, logo

J (n) = (n 1) 525 + 525 = n 525, ou

J (n) = n 525 = n (0; 35 1:500):

Portanto, ao …nal do n-ésimo mês a pessoa pagará um total de juros de n (0; 35 1:500)reais.

Problema 2 Quão rápido uma notícia ou boato se espalha

O primeiro …lho de um casal acabou de nascer e o pai quer contar para seus amigos. Suponhamos que ele mande a notícia para duas pessoas e as duas pessoas que receberam a notícia repassam a mesma para outras duas pessoas e essas outras pessoas repassem para outras duas e, assim sucessivamente, sendo que cada pessoa que receber a notícia repassa para outras duas. Determinar a quantidade de pessoas que receberam a mensagem depois de 10 envios e depois de n envios.

Solução: Seja Q(n) a quantidade de pessoas que receberam a mensagem no envio n. Assim, depois do 1o envio duas pessoas receberam a notícia, isto é, Q(1) = 2. No 2o envio cada uma das duas pessoas que receberam a mensagem enviam para outras duas totalizando 4 pessoas, Q(2) = 4. Cada uma das 4 pessoas enviaram para outras duas cada uma totalizando no 3o envio 8 pessoas, Q(3) = 8. Veja que a quantidade de pessoas que receberam a mensagem é o dobro da quantidade anterior. A quantidade de pessoas Q (n) que receberam a mensagem no envio n são mostrados na Tabela 5.0.1 onde n assume os valores 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Ainda na Tabela 5.0.1 apresentamos a solução da relação de recorrência Q (n).

PROBLEMAS E APLICAÇÕES 18 envio n Quantidade de pessoas no envio n que receberam a mensagem Q (n) 1 Q (1) = 2 2 Q (2) = 2Q (1) = 2 2 = 22 _{= 4} 3 Q (3) = 2Q (2) = 2 22 = 23 = 8 4 Q (4) = 2Q (3) = 2 23 _{= 2}4 _{= 16} 5 Q (5) = 2Q (4) = 2 24 _{= 2}5 _{= 32} 6 Q (6) = 2Q (5) = 2 25 _{= 2}6 _{= 64} 7 Q (7) = 2Q (6) = 2 26 _{= 2}7 _{= 128} 8 Q (8) = 2Q (7) = 2 27 = 28 = 256 9 Q (9) = 2Q (8) = 2 28 _{= 2}9 _{= 512} 10 Q (10) = 2Q (9) = 2 29 _{= 2}10 _{= 1024} .. . ... n Q (n) = 2Q (n 1) = 2 2n 1 _{= 2}n

Tabela 5.0.1: Quantidade de pessoas Q(n) que receberam a mensagem no envio n.

Portanto, o total de pessoas que receberão a mensagem no envio 10 serão 1024 pessoas e no n-ésimo envio a quantidade de pessoas que receberão a mensagem será de Q(n) = 2n pessoas.

O Problema 2 pode ser adaptado para os alunos conhecerem a rapidez que um boato se espalha, pois estamos supondo que a pessoa que recebeu a mensagem envia para outras duas, mas a realidade é bem diferente. Podemos usar o aplicativo whatsapp para simular um exemplo na sala.

Outro exemplo bastante proveitoso é a quantidade de movimentos que devem ser feitos na Torre de Hanói de acordo com o total de peças dadas.

Problema 3 Solução da Sequência de Fibonacci

Mostraremos agora como encontrar a solução da Sequência de Fibonacci. Os números da sequência de Fibonacci são: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... . Note que cada elemento a partir do terceiro é a soma dos dois termos anteriores. Podemos representar a Sequência em questão pela seguinte fórmula de recorrência:

an= an 1+ an 2, a1 = 1 e a2 = 1, n 2 N e n 3 (5.1) Uma vez que se conhece como os números da recorrência são determinados é fácil determinar os seus termos, contudo se quisermos saber qual é o 100o _{termo de uma} sequência dada por recorrência é preciso calcular os outros 99 termos anteriores e essa tarefa é um pouco trabalhosa. Com isso, temos o seguinte: é possível e até se sabe como

PROBLEMAS E APLICAÇÕES 19 calcular/determinar os termos de Fibonacci, mas os cálculos para termos de ordem maior …cam quase impossíveis de serem calculados. Nesse sentido dispor de uma fórmula que permita calcular os termos da recorrência em função da ordem do termo e não dos termos anteriores seria de grande ajuda. Essa fórmula é a solução da recorrência.

A Sequência de Fibonacci é classi…cada como uma recorrência linear de ordem 2 com coe…cientes constantes homogênea e, de acordo com a Equação (4:4) temos que f1(n) = 1, f2(n) = 1 e as condições iniciais são a1 = 1 e a2 = 1.

Pela Equação (4:17) o polinômio característico da relação de recorrência da Equação (5:1) é dado por

(x) = x2 x 1 (5.2)

e as raízes características r1e r2 são

r1 =

1 +p5

2 e r2 =

1 p5

2 (5.3)

Como o polinômio característico possui duas raízes reais e distintas, de acordo com o Teorema 4.3.3 a solução geral da recorrência da Equação (5:1) é

an= c1 1 +p5 2 !n + c2 1 p5 2 !n (5.4) A solução única da sequência é determinada pela obtenção das constantes c1 e c2 através da substituição das condições iniciais a1 = 1 e a2 = 1 na Equação (5:4), dessa forma c1 1 +p5 2 !1 + c2 1 p5 2 !1 = 1 (5.5) c1 1 +p5 2 !2 + c2 1 p5 2 !2 = 1 (5.6)

Das Equações (5:5) e (5:6) vem c1 = p 5 2 e c2 = p 5 2 . (5.7)

Portanto, a solução da Sequência de Fibonacci é dada pela expressão an= p 5 2 1 +p5 2 !n p 5 2 1 p5 2 !n (5.8) Para encontrar qualquer termo de Fibonacci basta substituir o valor de n e calcular an através da Equação (5:8) sem a necessidade de calcular os termos anteriores da sequência.

PROBLEMAS E APLICAÇÕES 20 Problema 4 O problema dos encontros

Numa confraternização entre os n funcionários de uma empresa, cada um deles leva um brinde para ser sorteado e cada um dos participantes recebe apenas um único brinde no sorteio. Qual a probabilidade de que ao serem aleatoriamente escolhidos os brindes, nenhum participante selecione seu próprio brinde?

Solução: Consideremos as pessoas numeradas de 1 a n, com o i-ésimo presente pertencente a pessoa com o número i. Seja E o evento que nenhum dos participantes sorteie seu próprio presente. Calculemos a probabilidade de E condicionado na escolha de um participante qualquer, o número 1 por exemplo, escolher ou não o seu próprio presente. Seja M o evento de que o participante de número 1 escolha o presente de número 1, ademais consideremos para todo i 2 f1; 2; : : : ; ng a notação f(i) = i se o participante i escolheu o presente i. Temos:

E = E_{\ M [ M}C = (E_{\ M) [ E \ M}C como os eventos E \ M e E \ MC _{são disjuntos segue-se que}

P (E) = P (E_{\ M) + P E \ M}C mas P (E \ M) = P (M) P (EjM) e P E \ MC _{= P M}C _{P E}

jMC _{, logo}

P (E) = P (M ) P (E_{jM) + P M}C P E_jMC (5.9) Veja que E \ M = ?, dessa forma da Equação (5:9), com pn := P (E), segue-se que: pn= P (E) = P MC P EjMC (5.10) Acontece que MC _{corresponde ao evento em que o participante 1 não escolhe o seu} presente de número 1, f (1) 6= 1, cuja probabilidade é

P MC = P (f (1)_{6= 1) = 1} P (f (1) = 1) (5.11) A probabilidade de P (f (1) = 1)) é dada pelo total de possibilidades de escolha dos (n 1) presentes entre os (n 1) participantes, o participante escolheu o presente 1, e o total de possibilidades de escolhas dos n presentes entre os n participantes. Os (n 1) participantes podem escolher os (n 1) presentes de (n 1)! maneiras, pois o participante de número 2 tem (n 1) presentes para escolher, o número 3 tem (n 2) até chegar no participante de número n que tem apenas 1 presente para escolher entre 1 presente restante. Os n participantes podem escolher os n presentes de n! Maneiras. Sendo assim

P (f (1) = 1) = (n 1)! n! =

1

PROBLEMAS E APLICAÇÕES 21 Substituindo a Equação(5:12) na Equação(5:11)

P MC = P (f (1)_{6= 1) = 1} 1 n =

n 1

n . (5.13)

Para calcularmos P EjMC _{= P (E}

jf (1) 6= 1), isto é, a probabilidade de que nen-hum participante sorteie seu próprio presente dado que o participante 1 sorteou um presente que não é o presente 1. Consideremos então, sem perda de generalidades, que o participante 1 escolheu o presente 2, f (1) = 2. Ou seja, temos agora os participantes 2; 3; : : : ; n 1; n e os presentes 1; 3; : : : ; n 1; n. Há duas possibilidades, mutualmente exclusivas, de troca de presentes na qual nenhum dos participantes recebe seu próprio presente, a saber: o participante 2 sorteia o presente 1, f (2) = 1, ou o participante escolhe um presente diferente de 1, f (2) 6= 1.

Se o participante 2 escolher o presente 1, f (2) = 1, visto que o participante 1 escolheu o presente 2, f (1) = 2, resta ao demais n 2 participantes (3; 4; : : : ; n), escolherem seus n 2 presentes (3; 4; : : : ; n). Assim segue que

P (f (2) = 1_{jf (1) = 2) =} 1 n 1, e P (f (i)_{6= ijf (1) = 2; f (2) = 1) = p}n 2, 8i 2 (3; 4; : : : ; n) logo P (f (2) = 1; f (i)_{6= ijf (1) = 2)} = P (f (2) = 1_{jf (1) = 2) P (f (i) 6= ijf (1) = 2; f (2) = 1)} isto é P (f (2) = 1; f (i)_{6= ijf (1) = 2) =} 1 n 1 pn 2 (5.14) Se o participante 2 não escolhe o presente 1, f (2) 6= 1, visto que o participante 1 escolheu o presente 2, f (1) = 2, a …m de que nenhum participante (2; 3; : : : ; n) escolha o brinde que comprou (1; 3; : : : ; n) devemos considerar o conjunto das funções bijetoras f : _{f2; 3; : : : ; ng ! f3; 4; : : : ; ng tal que f(2) 2 f3; 4; : : : ; ng e para todo i > 3 e f(i) 2} f1; : : : ; ngnfi; 2g, ou seja, permutar caoticamente n 1 elementos, cuja probabilidade de termos tal con…guração entre n 1 elementos é pn 1. Dessa forma

P (f (2)_{6= 1; f (i) 6= ijf (1) = 2) = p}n 1. (5.15) Das Equações (5:14) e (5:15) segue-se que

P E_jMC = 1

PROBLEMAS E APLICAÇÕES 22 De (5:13) e (5:16) em (5:10) obtemos que pn = n 1 n 1 n 1 pn 2+ pn 1 pn = 1 npn 2+ n 1 n pn 1 (5.17) pn pn 1 = 1 n(pn 1 pn 1) (5.18) A relação de recorrência dada em (5:17) é classi…cada como recorrência linear de ordem 2 homogênea. Note que se o número de participantes for 1, n = 1, a probabilidade p1 é 0, pois só existe um presente. Se o número de participantes for 2, n = 2, a probabilidade p2 escolher um presente diferente do seu é igual a 1=2. Nesse caso, para n = 3; 4; : : :com p1 = 0 e p2 = 1=2, tem-se pela Equação (5:18) que

p3 p2 = 1 3(p2 p1) = 1 3 1 2 = 1 3! ) p3 = 1 2! 1 3! p4 p3 = 1 4(p3 p2) = 1 4 1 3 = 1 4! ) p4 = 1 2! 1 3! + 1 4! p5 p4 = 1 5(p4 p3) = 1 5 1 4! = 1 5! ) p5 = 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! p6 p5 = 1 6(p5 p4) = 1 6 1 5! = 1 6! ) p6 = 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! + 1 6! pn = 1 2! 1 3!+ 1 4! 1 5!+ 1 6! + + ( 1)n n! = n X k=0 ( 1)k k! (5.19)

RESULTADOS

De acordo com o que foi proposto no objetivo geral o resultado foi satisfatório, pois foi possível de…nir e classi…car os diferentes tipos de recorrência que existem de acordo com a sua ordem, tipo e linearidade, além de mostrar as soluções de algumas recorrências clássicas como as progressões aritméticas, geométricas e a fatorial.

Para …ns didáticos procuramos trabalhar com problemas que pudessem remeter a recorrências e mostras que elas fazem parte do nosso dia a dia mesmo que de forma discreta.

Por …m, ainda neste trabalho, chamamos a atenção para a solução apresentada para o problema dos encontros, uma vez que, foi mostrado como obter uma relação de recor-rência e como resolver a mesma.

CONCLUSÃO

A utilização de problemas didáticos que despertem o interesse do aluno pela matemática constitui, sem dúvida, um importante recurso para o professor de Matemática ensinar determinados conteúdos. É o caso das recorrências. Os seus conceitos, de…nições e principais elementos são difíceis de entender/compreender somente com a leitura do material disponível nos livros didáticos.

A possibilidade de apresentar ao discente um problema que possa ser entendido torna o aprendizado mais signi…cativo. É mais proveitoso mostrar como encontrar as fórmulas do que simplesmente traduzir os símbolos como muitos professores fazem. Nesse ponto deve ser observado o nível gradativo das questões e aos poucos introduzir a linguagem matemática. Começamos com exemplos simples até chegar exemplos mais avançados. Outro ponto que deve ser destacado é a participação ativa do aluno, isso facilita o processo de ensino e aprendizagem.

Sobre os questionamentos levantados no início do texto concluímos que: relação de recorrência são casos particulares de sequências onde a determinação dos seus termos depende dos termos anteriores. Quanto â existência de solução de uma recorrência não se pode a…rmar que sempre existe uma solução, mas mostramos como encontrar as soluções de diversos tipos de recorrência de 1a _{e de 2}a _{ordem. As principais recorrências} que existem são as progressões aritméticas e geométricas por causa das suas aplicações e por ser um dos componentes curriculares da disciplina Matemática. De acordo com os Problemas 1, 2, 3 e 4 as recorrências são encontradas nos mais variados problemas.

Portanto, de acordo com a experiência vivenciada, para entender os conteúdos minis-trados os alunos participar ativamente da aula, e fazer suas próprias conclusões a partir de questionamentos lançados.

Dessa forma, foi possível veri…car que a melhor estratégia para compreender o con-teúdo ministrado é lançar perguntas relevantes sobre o tema em questão. Depois, deixar os alunos realizar pesquisas e experimentos sobre as perguntas e fazer as conclusões a partir do que eles conseguiram fazer/obter. Nesse caso, estamos instigando a pesquisa, pois quando estiverem com dúvidas serão capazes de buscar o conhecimento necessário e fazer suas próprias conclusões a partir de suas pesquisas e, desse modo, garantir uma

PROBLEMAS E APLICAÇÕES 25 aprendizagem signi…cativa.

REFERÊNCIAS

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TAHAN, Malba. O homem que calculava. 65a ed. Rio de janeiro: Record 2004.