Cap15 Sec3

Capítulo 15

15.3

Integrais Duplas

sobre Regiões Gerais

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Nesta seção, nós aprenderemos:

Como usar integrais duplas para encontrar as áreas das regiões de formas diferentes.

INTEGRAIS DE UMA VARIÁVEL

Para as integrais

de funções

de uma

variável

real, a região

sobre

a qual

integramos

é

sempre

um intervalo.

INTEGRAIS DUPLAS

Porém, para integrais duplas, queremos integrar a função f não somente sobre

retângulos, como também sobre uma região D de forma

mais geral, como a ilustrada.

Vamos supor que D seja uma região limitada.

ƒ O que significa que D está contida em uma região retangular R como na figura.

Definimos então uma nova função F, com

domínio R, por

Se F for integrável em R, então definimos a

integral dupla de f em D por

onde F é dada pela Equação 1.

( , )

( , )

D R

f x y dA

=

F x y dA

∫∫

∫∫

INTEGRAIS DUPLAS

A Definição 2 faz sentido porque R é um

retângulo e, portanto,

já foi definida na Seção 15.1.

( , )

F x y dA

O procedimento usado é razoável, pois os valores de F(x, y) são 0 quando (x, y) está fora da região D e dessa forma não

contribuem para o valor da integral.

ƒ Isso significa que não importa qual o retângulo

R tomado, desde que contenha D.

No caso em que f(x, y) ≥ 0, podemos ainda

interpretar

como o volume do sólido que está acima de

D e abaixo da superfície z = f(x, y) (o gráfico

de f ).

( , )

f x y dA

∫∫

Você pode constatar que isso é razoável

comparando os gráficos de f e F nas figuras

e lembrando que é o volume

abaixo do gráfico de F. ( , ) R F x y dA

∫∫

REGIÕES DO TIPO 1

Uma região plana D é dita do tipo I se for a

região entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja,

D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}

Alguns exemplos de regiões do tipo I estão mostrados.

Para calcular quando D é do

tipo I, escolhemos um retângulo

R = [a, b] x [c, d] que contenha D e

consideramos a função F definida na Equação 1; ( , ) D f x y dA

∫∫

Ou seja, F coincide com f em D e F é 0 fora

da região D.

Então, pelo Teorema de Fubini,

( , )

( , )

f x y dA

=

F x y dA

∫∫

∫∫

∫ ∫

Observe que F(x, y) = 0 se y < g₁(x) ou y > g₂(x) porque (x, y) nessas condições

está fora da região D.

Assim, porque F(x, y) = f(x, y) quando g (x) ≤ y ≤ g (x). 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )

( , )

( , )

( , )

F x y dy

F x y dy

f x y dy

=

=

∫

∫

∫

Portanto, temos a seguinte fórmula, que nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada.

Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} então 2 1 ( ) ( )

( , )

( , )

f x y dA

=

f x y dy dx

∫∫

∫ ∫

A integral do lado direito de (3) é uma

integral iterada semelhante às consideradas na seção anterior, exceto que na integral de dentro consideramos x constante não só em f (x, y), mas também nos limites de

integração g₁(x) e g₂(x).

Consideraremos também regiões planas do tipo II, que podem ser expressas como

D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}

onde h₁ e h₂ são contínuas.

Dois exemplos de região do tipo II

estão ilustrados.

Utilizando o mesmo método que usamos

para estabelecer (3), podemos mostrar que

onde D é uma região do tipo II dada pela

Equação 4. 2 1 ( ) ( )

( , )

( , )

f x y dA

=

f x y dx dy

∫∫

∫ ∫

Calcule

onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.

(

2 )

D

x

+

y dA

∫∫

As parábolas se interceptam quando 2x2 _{= 1 + x}2_{, ou seja, x}2 _{= 1.}

ƒ Logo, x = ±1.

Observamos que a região D, ilustrada na

figura, é uma região do tipo I, mas não do tipo II, e podemos escrever que:

D = {(x, y) | –1 ≤ x ≤ 1,

2x2 _{≤ y ≤ 1 + x}2_}

Como a fronteira de baixo é

y

= 2x

e

a de cima é

y

= 1 + x

,

resultado que segue.

2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 4 3 2 1 1 5 4 3 2 ( 2 ) ( 2 ) [ ] [ (1 ) (1 ) (2 ) (2 ) ] ( 3 2 1) D x x y x y x x y dA x y dy dx xy y dx x x x x x x dx x x x x dx + − = + = − − − + = + = + = + + + − − = − − + + + ⎤

∫∫

∫ ∫

∫

∫

∫

OBSERVAÇÃO

Quando escrevemos uma integral dupla

como no Exemplo 1, é essencial desenhar um diagrama.

ƒ Frequentemente é útil desenhar uma seta vertical.

Assim, os limites de integração da integral de

dentro podem ser lidos do diagrama desta

forma

:

ƒ a seta começa na

fronteira de baixo y = g₁(x),

que fornece o extremo inferior da integral.

ƒ a seta termina na fronteira de cima y = g₂(x), que dá

Para uma região do tipo II, a seta é

desenhada horizontalmente da fronteira esquerda para a fronteira direita.

REGIÕES DO TIPO 1 EXEMPLO 2

Determine o volume do sólido que está

abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da

região D do plano xy limitada pela reta y = 2x

Da figura vemos que D é uma região do tipo I

e D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}

ƒ Portanto, o volume abaixo de z = x2 _{+ y}2 _{e acima de D}

é calculado como a seguir.

2 2 2 2 2 2 2 0 2 3 2 2

(

)

(

)

3

V

x

y

dA

x

y

dy dx

y

x y

dx

=

+

=

+

⎡

⎤

=

_⎢

+

_⎥

⎣

⎦

∫∫

∫ ∫

∫

3 2 3 2 2 2 2 0 6 3 2 4 0 2 7 5 4 0

(2 )

(

)

(2 )

3

3

14

3

3

7

21

5

6

x

x

x

x

x x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

⎡

⎤

=

_⎢

+

−

−

_⎥

⎣

⎦

⎛

⎞

=

_⎜

−

−

+

_⎟

⎝

⎠

⎤

= −

−

+

⎥⎦

∫

∫

Da figura, vemos que D pode ser descrita

como uma região do tipo II:

D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 4, ½y ≤ x ≤

ƒ Logo, segue outra expressão para V.

y

1 y 2 1 2 4 2 2 2 2 0 3 4 2 0 3/ 2 3 3 4 5 / 2 0

(

)

(

)

3

3

24

2

V

x

y

dA

x

y

dx dy

x

y x

dy

y

y

y

y

dy

=

+

=

+

⎡

⎤

=

_⎢

+

_⎥

⎣

⎦

⎛

⎞

=

_⎜

+

−

−

_⎟

⎝

⎠

∫∫

∫ ∫

∫

∫

INTEGRAIS DUPLAS

Aqui mostramos o sólido cujo volume é calculado no Exemplo 2. Ele está:

ƒ acima do plano xy;

ƒ abaixo do paraboloide

z = x2 + y2;

ƒ entre o plano

y = 2x e o cilindro

Calcule

onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6

D

xy dA

∫∫

A região D está representada.

ƒ Novamente, D pode ser vista tanto como uma região do tipo I como uma região do tipo II.

Mas, a descrição de D como região do tipo I é mais complicada, porque a fronteira inferior é constituída de duas partes.

Portanto preferimos expressar D como uma

região do tipo II:

D = {(x, y) | –2 ≤ y ≤ 4, 1/2y2 – 3 ≤ x ≤ y + 1}

ƒ Assim, (5) fornece o resultado a seguir.

Se tivéssemos expressado D como uma

região do tipo I, obteríamos:

ƒ mas isso daria muito mais trabalho que o outro método. 1 2 6 5 2 6 3 2 6 1 1 x x x x D

xydA

xy dy dx

xy dy dx

=

+

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4

Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos

x + 2y + z = 2 x = 2y x = 0 z = 0

Em uma questão como essa, é prudente desenhar dois diagramas:

ƒ um do sólido tridimensional;

ƒ outro da região plana D sobre a qual o sólido se encontra.

A figura mostra o tetraedro T limitado pelos

planos coordenados x = 0, z = 0, pelo plano

vertical x = 2y, e pelo plano x + 2y + z = 2.

Como x + 2y + z = 0 intercepta o plano xy

(cuja equação é z = 0) na reta x + 2y = 2,

vemos que:

ƒ T está acima da

região triangular D no plano xy limitado

pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0.

O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y, de modo que o volume pedido

está sob o gráfico da função z = 2 – x – 2y e

acima de

D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x/2 ≤ y ≤ 1 – x/2}

Portanto, 1 1 / 2 0 / 2 1 _{1 / 2} 2

(2

)

(2

2 )

2

Volume do tetraedro

x

y dA

x

y dy dx

y

xy

y

dx

=

− −

=

− −

=

⎡

_⎣

−

−

⎤

_⎦

∫∫

∫ ∫

∫

(

)

2

1

1

2

2

2

4

2

1

3

1

x

x

x

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

⎡

_⎛

_{⎞ ⎛}

_⎞

⎤

=

_⎢

− −

_⎜

−

_{⎟ ⎜}

− −

_⎟

− +

+

_⎥

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎣

⎦

=

−

+

⎤

=

−

_{+ ⎥}

⎦

∫

∫

Calcule a integral iterada

ƒ Se tentarmos calcular a integral na forma pela qual ela se apresenta, teremos inicialmente de resolver o problema de calcular ∫ sen(y²)dy.

ƒ Mas isso é impossível de fazer em termos finitos, uma vez que ∫ sen(y²)dy não é uma função

Precisamos então mudar a ordem de integração, o que pode ser conseguido

escrevendo-se inicialmente a integral iterada dada como uma integral dupla.

Usando (3) na ordem inversa, temos

Esboçamos essa região D na figura.

Então, desta figura, vemos que um modo alternativo de descrever D é

D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

ƒ Isso nos permite usar (5) para exprimir a integral dupla como

uma integral iterada na

PROPRIEDADES DE INTEGRAIS DUPLAS

Suponha que todas as seguintes integrais existam.

ƒ As primeiras três propriedades das integrais

duplas sobre uma região D seguem imediatamente da Definição 2 e das Propriedades 7, 8 e 9 da

PROPRIEDADES 6 E 7

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

,

,

,

,

f x y

g x y dA

f x y dA

g x y dA

+

=

+

∫∫

∫∫

∫∫

(

,

)

(

,

)

cf x y dA

=

c

f x y dA

∫∫

∫∫

PROPRIEDADE 8

Se f(x, y) ≥

g

(x, y)

( , )

( , )

f x y dA

≥

g x y dA

∫∫

∫∫

PROPRIEDADES

A próxima propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de

uma função de uma variável real, dada pela equação

( )

( )

( )

b c b

a

f x dx

=

f x dx

+

f x dx

PROPRIEDADE 9

Se D = D₁ ∪ D₂, onde D₁ e D₂ não se

sobrepõem exceto talvez nas fronteiras, então

(

)

(

)

(

)

,

,

,

f x y dA

=

f x y dA

+

f x y dA

∫∫

∫∫

∫∫

PROPRIEDADE 9

A Propriedade 9 pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que

PROPRIEDADE 10 Equação 10

A próxima propriedade de integrais diz que, se integrarmos a função constante f(x, y) = 1

sobre uma região D, obteremos a área de D:

( )

1

dA

=

A D

A figura ilustra por que a Equação 10 é verdadeira:

ƒ um cilindro sólido, cuja base é D e altura 1, tem volume A(D) . 1 = A(D).

ƒ Mas, sabemos que

também podemos

escrever seu volume

como

∫∫

Finalmente, podemos combinar as

Propriedades 7, 8 e 10 para demonstrar a seguinte propriedade (veja o Exercício 57): Se m ≤ f(x, y) ≤ M para todo (x, y) em D, então

(

)

( )

( )

,

mA D

≤

∫∫

f x y dA

≤

MA D

Utilize a Propriedade 11 para estimar a integral

∫∫

D

e

dA

onde D é o disco com centro na origem e

raio 2.

Como –1 ≤ sen x ≤ 1 e –1 ≤ cos y ≤ 1,

temos que –1 ≤ sen x cos y ≤ 1. Portanto,

e–1 ≤ e sen x cos y ≤ e1 = e

Assim, usando m = e–1 = 1/e, M = e, e

A(D) =

π