07.AED.Caminhos em Grafos.ppsx

(1)

Mestrado em

Ciência da Computação

Algoritmos e Estrutura de Dados

Caminhos e Conexidade em

grafos:

Conceitos e algoritmos

Prof. Rodrigo L. S. Silva, D.Sc. Prof. Stênio Sã R. F. Soares, D.Sc.

(2)



Em muitas aplicações é essencial que se

estabeleça o se verifique a conexidade de vértices,

bem como a ocorrência de propriedades

relacionadas à conexidade.

 Existe um caminho para ir de um objeto a outro

seguindo as conexões?

 Qual é a menor distância entre um objeto e outro

objeto?

 É possível sair de um dado nó e visitar todos os demais

Motivação

(3)



Alguns exemplos de problemas :



envio de mensagens por uma rede;



melhorar a robustez de um serviço de comunicação;



descobrir qual é o roteiro mais curto para visitar um

conjunto de clientes;



melhorar a segurança e eficiência em comunicação

de dados;



. . .

Aplicações

(4)

Seja um grafo G=(V,E),

um passeio em G é uma sequência finita e não

vazia W=v

₀

e

₁

v

₁

e

₂

...e

_k

v

_k

, cujos termos são vértices

e arestas dispostos alternadamente e que, para

i=1 ... k, a aresta e

_i

conecta o vértice v

_i-1

ao vértice

v

_i

.

Como trataremos apenas de grafos simples,

podemos representar um passeio apenas pelos

vértices: W=v

₀

v

₁

...v

_k

, onde os vértices v

₀

e v

_k

são a

4

(5)

Caminhos e conexidade

(6)

6

(7)

7

Seja P={P

₁

, P

₂

, ..., P

_q

} uma partição de V tal que

P

_i

≠ para i = 1, ..., q, sendo que se dois nós

∅

u e v

são conectados u e v pertencem a uma mesma

participação e vice-versa.

Nestas condições, dizemos que estas partições P

_i

são componentes conexas.

Grafo com três componentes conexas

(8)

(9)

Ciclos

(10)

(11)

Ciclos

11

Existe um grafo G que:

● É Euleriano mas não é Hamiltoniano? ● É Euleriano e Hamiltoniano?

● É Hamiltoniano mas não é Euleriano?

(12)

(13)

13

Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

• Caminhar/percorrer um grafo:

visitar todos os nós e arestas

Enquanto for possível, aprofundar-se no grafo. Quando não for mais possível, recuar.

BUSCA EM PROFUNDIDADE BUSCA EM PROFUNDIDADE 8 9 1 5 4 2 6 3 7 10 1 4 6 7 8 3 2 10 5 9 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 13

(14)

Caminhamento em

Grafos

8 9 1 5 4 2 6 3 7 10 1 4 6 7 8 3 2 10 5 9 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 1 4 6 5 7 8 3 2 10 9 14

(15)

15

Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

• A ordem em que os nós e arestas são visitados depende: • _{do nó inicial}

• da ordem em que os nós e as arestas aparecem na estrutura de dados

(16)

Caminhamento em

Grafos

Algoritmo recursivo para busca a partir de um nó

Procedimento PROF(nó v) visitado(v)  sim

Para cada nó w adjacente a v faça Se visitado(w) = não então

PROF(w) fim-para

Fim

(17)

17 Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

Exemplo: D A E B C F G H A B C D E F G H B C A B H F G A D E B H C H C H D E F G 1 A D E B C F G H 2 3 4 5 6 7 8 X X X X X X X X não visitado visitado 17

(18)

Caminhamento em

Grafos

Exemplo: D A E B C F G H 1 A D E B C F G H 2 3 4 5 6 7 8 A B E F D H C G Árvore de busca em profundidade Árvore de busca em profundidade 18

(19)

19 Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

Procedimento BUSCA-PROF Para i = 1,...,n faça visitado(i)  não fim-para Para i = 1,...,n faça

Se visitado(i) = não então PROF(i)

fim-para Fim

Algoritmo de busca em profundidade

(20)

Caminhamento em

Grafos

Exemplo: 1 8 2 3 1 7 5 6 4 11 9 14 12 10 13 8 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 2 7 9 8 9 14 10 11 11 1012 13 13 12 14 20

(21)

21

Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

Aplicações de busca em profundidade, grafo G=(V,E): G é acíclico?

G é conexo?

Quais são as componentes conexas de G? Quais são os pontos de articulação de G?

(22)

Caminhamento em

Grafos

Procedimento COMPONENTES-CONEXAS Para i = 1,...,n faça visitado(i)  0 fim-para componente  0 Para i = 1,...,n faça Se visitado(i) = 0 então componente  componente + 1 PROF(i, componente) fim-se fim-para

Algoritmo para encontrar as componentes conexas

(23)

23

Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

Procedimento PROF(v, marca) visitado(v)  marca

Para cada nó w adjacente a v faça Se visitado(w) = 0 então

PROF(w, marca) fim-se

fim-para Fim

Algoritmo para encontrar as componentes conexas

(24)

Caminhamento em

Grafos

Exemplo: Problema do mosaico

• Quantos e quais mosaicos intermediários existem entre dois mosaicos específicos?

• Novas configurações (mosaicos) são obtidas através do movimento de um elemento para a posição vazia.

4 5 3 8 2 7 1 6 ■ 1 2 3 4 5 7 6 8 ■ 4 5 3 8 2 7 1 6 ■ 24

(25)

25 Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

4 ■ 6 2 7 5 1 3 8 4 5 6 2 7 ■ 1 3 8 4 5 6 ■ 7 2 1 3 8 1 2 3 4 5 ■ 6 8 7 4 5 6 2 7 3 1 ■ 8 4 5 6 2 7 1 ■ 3 8 4 5 6 2 7 1 8 3 ■ 4 5 6 2 ■ 1 7 3 8

?

25

(26)

2 8 3 6 ■ 4 1 7 5

Caminhamento em

Grafos

■ 8 3 2 6 4 1 7 5 2 8 3 ■ 6 4 1 7 5 2 8 3 1 6 4 ■ 7 5 2 8 3 1 ■ 4 7 6 5 2 8 3 1 6 4 7 ■ 5 2 8 3 ■ 1 4 7 6 5 2 ■ 3 1 8 4 7 6 5 2 8 3 1 4 ■ 7 6 5 2 8 3 1 6 4 7 5 ■ ■ 8 3 2 1 4 7 6 5 2 8 3 7 1 4 ■ 6 5 ■ 2 3 1 8 4 7 6 5 2 3 ■ 1 8 4 7 6 5 8 ■ 3 2 6 4 1 7 5 2 ■ 3 6 8 4 1 7 5 2 8 3 6 4 ■ 1 7 5 2 8 3 6 7 4 1 ■ 5 8 ■ 3 2 1 4 7 6 5 2 8 3 7 1 4 6 ■ 5 1 2 3 ■ 8 4 7 6 5 8 3 ■ 8 6 3 ■ 2 3 2 3 ■ 2 8 ■ 2 8 3 2 8 3 2 8 3 8 3 ■ 8 1 3 2 8 3 2 8 3 1 2 3 1 2 3 NÓ INICIAL NÓ INICIAL Busca em profundidade 1 2 3 4 5 6 7 10 11 13 14 16 17 8 9 ₁₂ ₁₅ 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 26

(27)

27

Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

Enquanto for possível, examinar todos os nós à mesma distância do nó inicial. Quando não for mais possível, aprofundar.

BUSCA EM AMPLITUDE BUSCA EM AMPLITUDE 8 9 1 5 4 2 6 3 7 10 1 4 6 7 8 3 2 10 5 9 1 4 7 10 8 6 5 9 3 2 27

(28)

Caminhamento em

Grafos

Exemplo: D A E B C F G B C A F D

Árvore de busca em profundidade (pilha)

D E A

C B

Árvore de busca em amplitude (fila)

(29)

29 Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

Procedimento BUSCA-AMPL(v) visitado(v)  sim

Colocar v em uma fila

Enquanto fila não vazia faça

w  retirar o elemento da frente da fila

Para cada vértice i adjacente a w faça Se visitado(i) = não então

visitado(i)  sim

Colocar i no final da fila fim-se

fim-para fim-enquanto Fim

Algoritmo de busca em amplitude

(30)

Caminhamento em

Grafos

Exemplo: D A E B C F G H A B C D E F G H B C A B H F G A D E B H C H C H D E F G 1 A D E B C F G H 2 4 8 5 6 3 7 não visitado visitado Fila A w = B A B C B C DE D C C D E F F E D G D E F G H E F G H 30

(31)

31 Teoria de Grafos

Caminhamento em

Grafos

Exemplo: D A E B C F G H 1 A D E B C F G H 2 4 8 5 6 3 7 Árvore de busca em amplitude (fila) Árvore de busca em amplitude (fila) D A E B C F G H 31

(32)

2 8 3 6 ■ 4 1 7 5

Caminhamento em

Grafos

■ 8 3 2 6 4 1 7 5 2 8 3 ■ 6 4 1 7 5 2 8 3 1 6 4 ■ 7 5 2 8 3 1 ■ 4 7 6 5 2 8 3 1 6 4 7 ■ 5 2 8 3 ■ 1 4 7 6 5 2 ■ 3 1 8 4 7 6 5 2 8 3 1 4 ■ 7 6 5 2 8 3 1 6 4 7 5 ■ ■ 8 3 2 1 4 7 6 5 2 8 3 7 1 4 ■ 6 5 ■ 2 3 1 8 4 7 6 5 2 3 ■ 1 8 4 7 6 5 8 ■ 3 2 6 4 1 7 5 2 ■ 3 6 8 4 1 7 5 2 8 3 6 4 ■ 1 7 5 2 8 3 6 7 4 1 ■ 5 8 ■ 3 2 1 4 7 6 5 2 8 3 7 1 4 6 ■ 5 1 2 3 ■ 8 4 7 6 5 8 3 ■ 8 6 3 ■ 2 3 2 3 ■ 2 8 ■ 2 8 3 2 8 3 2 8 3 8 3 ■ 8 1 3 2 8 3 2 8 3 1 2 3 1 2 3 Busca em amplitude 1 2 8 3 1 4 ■ 7 6 5 2 3 4 1 8 ■ 7 6 5 2 8 ■ 1 4 3 7 6 5 2 8 3 1 4 5 7 6 ■ 2 ■ 8 1 4 3 7 6 5 2 8 3 1 4 5 7 ■ 6 2 8 3 1 ■ 6 7 5 4 2 8 ■ 1 6 3 7 5 4 2 8 3 ■ 1 6 7 5 4 2 ■ 3 1 8 6 7 5 4 2 8 3 1 5 6 7 ■ 4 2 ■ 8 1 6 3 7 5 4 NÓ INICIAL NÓ INICIAL 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Exemplo do mosaico: 32

(33)

1. Seja o problema de verificar se um grafo possui ciclos. Apresente um algoritmo para este problema e mostre a sua complexidade considerando cada uma das estruturas de armazenamento vistas em sala.

2. Apresente um algoritmo para o problema de verificar se um dado nó de um grafo é um nó de articulação. Demonstre a complexidade do seu algoritmo.

3. Considere um grafo ponderado G=(V,E). Apresente um algoritmo para obter um subgrafo G´=(V,E´), que seja G´ seja conexo, sem ciclo e que a soma dos pesos das arestas de E´ seja mínima. Apresente a complexidade do seu algoritmo.

Exercícios

(34)

4. Dado um grafo G=(V,E), apresente um algoritmo para verificar se G é euleriano. Caso a resposta seja sim, seu algoritmo deve apresentar o circuito euleriano.

5. Considere o problema em que uma instituição de ensino deseja utilizar o menor número de dias para aplicar as provas de k disciplinas para um grupo de n alunos. Neste problema, como existem alunos que cursam disciplina em comum, as provas destas disciplinas não podem ocorrer em um mesmo dia. Modele este problema como