Estudo da topologia de microlentes gravitacionais e a descoberta de exoplanetas do tipo Terra na zona habitável

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(1)universidade federal do rio grande do norte centro de ciências exatas e da terra departamento de física teórica e experimental programa de pós-graduação em física. ESTUDO DA TOPOLOGIA DE MICROLENTES GRAVITACIONAIS E A DESCOBERTA DE EXOPLANETAS DO TIPO TERRA NA ZONA HABITÁVEL. Leandro de Almeida. natal-rn 2017.

(2) Leandro de Almeida. ESTUDO DA TOPOLOGIA DE MICROLENTES GRAVITACIONAIS E A DESCOBERTA DE EXOPLANETAS DO TIPO TERRA NA ZONA HABITÁVEL. Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de mestre em Física.. Orientador: Prof. Dr. José Dias do Nascimento Jr.. natal-rn 2017.

(3) Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede Almeida, Leandro de. Estudo da topologia de microlentes gravitacionais e a descoberta de exoplanetas do tipo Terra na zona habitável / Leandro de Almeida. 2017. 101f.: il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Programa de PósGraduação em Física. Natal, RN, 2017. Orientador: José Dias do Nascimento Júnior. 1. Microlentes gravitacionais - Dissertação. 2. Exoplanetas Dissertação. 3. Detecção - Dissertação. I. Nascimento Júnior, José Dias do. II. Título. RN/UF/BCZM. CDU 524.3:520.3.

(4) À minha família. i.

(5) Agradecimentos • Agradeço em primeiro lugar à minha querida mãe Lúcia, por todo o suporte emocional e físico nesses 5 anos longe de casa que me trouxeram até aqui. • Ao meu orientador, Dr. José Dias do Nascimento Jr. pelos aconselhamentos e por me guiar durante essa jornada que foi escrever essa dissertação. • Ao Professor e bom amigo João Leão, pelas críticas construtivas e pelo apoio que vem desde a graduação. • Aos meus colegas da pós-graduação de física da UFRN e aos muitos cafés que tomamos. E também à todos os meus companheiros e companheiros do Grupo de Estrutua e Evolução Estelar (GE 3 ). • Ao meu querido irmão Martin Cruisk por todas as discussões científicas e momentos de ping = 10ms . E também ao outro irmão Juninho por mais 1 ano de café e arroz (com cebola dessa vez). • À linda Alexia Thamy pelo companheirismo e principalmente pelos ótimos debates (e os muitos jantares gourmet que inventamos). • À minha amiga Mariana e ao meu amigo Apollo por esses mais de 10 anos de muitos papos e aventuras. • À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro.. i.

(6) Eu não quero acreditar, eu quero conhecer.. Carl Sagan.

(7) Resumo Na última década, o número de exoplanetas descobertos cresceu exponencialmente, principalmente devido as observações realizadas pela missão Kepler e K2, que no ano de 2016, anunciou 1284 planetas confirmados de uma só vez. Estas descobertas foram feitas utilizando o método de trânsito planetário, que não possui sensibilidade para planetas de baixa massa muito distantes de suas estrelas. A maioria destas descobertas apresentam planetas gigantes com órbitas próximas às suas estrelas. Por outro lado, a técnica de detecção através de microlentes gravitacionais é sensível à planetas de baixa massa em órbitas de 0.5 AU até 10 AU . Esta técnica pode detectar planetas em estrelas de baixa luminosidade pois, depende apenas do campo gravitacional combinado da estrela-planeta, o que seria difícil para as outras técnicas que dependem da luz emitida pela estrela. Até o momento, foram descobertos 47 planetas através desta técnica, que é uma quantidade relativamente pequena comparada com os outros métodos. Nesta dissertação mostramos de maneira detalhada as equações por detrás da teoria de microlentes gravitacionais e suas aplicações na detecção de planetas de baixa massa. Nos focamos na caracterização e análise de sistemas com topologia fechada, em que o planeta tem entre 10−5 e 10−6 da massa da estrela e com seu semi-eixo maior em torno de 1 AU , que são sistemas com características de massa e distância parecidos com o sistema Sol-Terra. Também apresentamos uma sugestão de parametrização para o parâmetro de impacto µ0 e o ângulo de impacto α de forma a reduzir o tempo de busca em curvas de luz geradas a partir de sistemas com topologia fechada. Apresentamos ainda os principais passos para o desenvolvimento de dois códigos que utilizam o método semi-analítico de resolução da equação da lente e o método de simulação por força bruta "Inverse Ray Shooting"(IRS) respectivamente. Esses códigos simulam a topologia e curva de luz de eventos de microlentes gravitacionais, e foram usados para produzir todas as figuras e gráficos apresentados nesta dissertação. Ao final, demonstramos a capacidade do modelo semi-analítico na simulação de curvas teóricas e comparamos essas curvas com eventos reais de microlentes gravitacionais. Palavras-chave: Microlentes Gravitacionais, Exoplanetas, detecção.. iii.

(8) Abstract. In the last decade, the number of exoplanets discovered has grown exponentially, mainly due to Kepler observations which, along with observations of the K2 mission, announced the discovery of 1284 planets at once in 2016. These discoveries were done using the planetary transit method, which has low sensitivity for low-mass planets far away from their stars. Thus most of the discoveries of giant planets was of orbits close to their stars. In contrast, the gravitational microlensing technique is sensitive to low-mass planets orbiting between 0.5 AU and 10 AU . Because it depends only on the combined gravitational field of the star-planet, this technique can detect planets around low brightness stars, which would be difficult for other techniques that depend on star emitted light. Until now, astronomers have discovered 47 planets through this technique, which is relatively low number, when compared to the other methods like transit and radial velocity. In this dissertation we show in detail the equations behind the gravitational microlensing theory and its applications to detect distant low-mass planets. We focus on the characterization of systems with closed topology, where the planet has between 10−5 and 10−6 of the mass of the star and with a semi-major axis about 1 AU (planet with Earth-like mass around 1AU of a star with Sun-like mass). We also present a suggestion of parameterization for the impact parameter µ0 and the impact angle α in order to reduce the search time consuming for light curves generated from systems with close topology. We present the main steps for the development of two algorithms that use the semi-analytical method of solution of the lens equation and the brute force of simulation method Inverse Ray Shooting (IRS) respectively. These codes simulate the topology and light curve of microlensing events, and were used to simulate our systems presented in this dissertation. As a main result, we demonstrate the hability of the model to generate theoretical curves and compared these light curves with real microlensing events.. Keywords: Gravitational Microlensing, Exoplanets, Detection iv.

(9) Lista de Figuras. 1.1. Planetas descobertos por método por ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12. Diagrama do caminho da luz . . . . . . . . . . . Diagrama da luz Detalhe . . . . . . . . . . . . . Anel de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama Luz Offset . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama da luz Offset detalhe . . . . . . . . . Projeção das imagens . . . . . . . . . . . . . . . Projeção das imagens 2 . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Magnificação Single Lens . . . . . Magnificação de M± . . . . . . . . . . . . . . . Trajeto da fonte para lente singular . . . . . . . OGLE-2012-BLG-0371 . . . . . . . . . . . . . . Parametrização do trajeto da fonte para n lentes. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5. Distribuição de pontos randômicos . . . . . Tipos de Distribuição . . . . . . . . . . . . . Mapa de Magnificação Randômico . . . . . . Mapa de Magnificação de Vogel . . . . . . . Mapa de Magnificação para várias Curvas de. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8. 3. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 9 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20 24. . . . . . . . . . . . . Luz. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 35 36 37 37 38. Imagens formadas para n = 1 . . . . . . . . . . . . Trajetória das imagens para n = 1 . . . . . . . . . . Topologia de sistema binário . . . . . . . . . . . . . Trajeto das Imagens para n = 2 . . . . . . . . . . . Paridade das imagens ao cruzar a linha da caustica Topologia geral de sistemas binários A . . . . . . . Topologia geral de sistemas binários B . . . . . . . Topologias aberta, ressonante e fechada . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 40 41 42 42 43 44 45 45. v.

(10) LISTA DE FIGURAS 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20. Topologia de um sistema aberta . . . . . . . . . . . Topologia de um sistema aberta com q < 1 . . . . . Topologia fechada de um sistema . . . . . . . . . . Topologia de um sistema fechada (s << 1) . . . . . Topologia de um sistema ressonante A . . . . . . . Topologia de um sistema ressonante B . . . . . . . Degenerescência do trajeto . . . . . . . . . . . . . . Curva de luz com detecção de planeta . . . . . . . . Topologia e Região de Interesse para q << 1 . . . . Evolução da área de influência com s . . . . . . . . Diagrama µ0 x α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas de Luz de um sistema de topologia fechada. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 46 47 48 49 50 50 51 52 53 56 57 58. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5. Curva de Luz OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53 . . . . . Modelo OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53 . . . . . . . . . Mapa de Magnificação OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53 Curva de Luz OGLE-2011-BLG-0265Lb . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo OGLE-2011-BLG-0265Lb . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 63 63 64 65 65. D.1 Distribuição de Vogel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. vi.

(11) Lista de Tabelas. E.1 Planetas Descobertos a Partir de Microlentes Gravitacionais . . . . . . . . 84. vii.

(12) Conteúdo. Agradecimentos. i. Resumo. iii. Abstract. iv. Lista de Figuras. vi. Lista de Tabelas. vii. Conteúdo. ix. 1 Introdução 1.1 Métodos de detecção de planetas . . 1.1.1 Velocidade radial . . . . . . . 1.1.2 Astrometria . . . . . . . . . . 1.1.3 Trânsito . . . . . . . . . . . . 1.2 O princípio das lentes gravitacionais .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 2 Microlentes Gravitacionais 2.1 O ângulo de deflexão da Luz . . . . . . . . . . 2.2 Raio de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 A equação da lente (singular) . . . . . . . . . 2.4 Magnificação pontual e dependência temporal 2.5 Múltiplas lentes (notação complexa) . . . . . . 2.6 Magnificação para sistemas múltiplos . . . . . 2.7 Trajeto da fonte para múltiplas lentes . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. 1 2 3 4 4 5. . . . . . . .. 7 7 8 10 14 20 21 23. 3 Soluções da Equação da lente 25 3.1 Resolução semi-analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1 A equação da lente para o caso n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 viii.

(13) CONTEÚDO. 3.2. 3.1.2 Curvas críticas e causticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Inverse ray shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Tipos de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 4 Topologia e Região de Interesse 4.1 Fonte finita para o caso de n = 1 . . . . . . . . . . . . . 4.2 Imagens e causticas para o caso de n = 2 . . . . . . . . . 4.3 Curvas críticas e causticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Sistemas abertos ou (wide) . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Sistemas fechados ou (close) . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Sistemas ressonantes . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Regiões de interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Parametrização de α e µ0 . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Curvas de luz de sistemas com topologia fechada . 5 Modelização de Sistemas Reais 5.1 Modelização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 O algoritmo TedLens . . . . . . . . . . . . . 5.2 Simulação de sistemas reais . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53 5.2.2 OGLE-2011-BLG-0265Lb . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. 39 39 41 44 46 47 49 51 53 57. . . . . .. 59 59 60 62 62 64. 6 Conclusões e Perspectivas. 66. Referências bibliográficas. 68. A Jacobiano. 72. B Deflexão da Luz (Relatividade). 75. C Polinômio da Lente. 77. D Método de Vogel. 81. E Exoplanetas Descobertos com Microlentes Gravitacionais. 83. F Estrutura e Utilização do Código TedLensAn. 85. ix.

(14) Cap´ıtulo. 1. Introdução "O maior inimigo do conhecimento não é a ignorância, mas sim a ilusão do conhecimento.". Stephen Hawking. Há 50 anos, a possibilidade da existência planetas em outras estrelas, que não o Sol, era assunto de ficção científica para a maioria das pessoas. A descoberta dos primeiros planetas nos anos 90, mudou o nosso entendimento sobre o tema e sepultou o pensamento de que somos especialmente privilegiados, apesar dos poucos planetas descobertos apresentarem pouca semelhança com o nosso sistema (orbitas muito próximas de suas estrelas, curto período e massas da ordem da massa de Júpiter). Temos hoje um catálogo de mais de 3.000 planetas1 orbitando os mais variados tipos de estrelas e com órbitas e características bem diferentes do nosso sistema Solar. Sabemos hoje que, planetas gigantes podem migrar para mais próximo da estrela e podem apresentar órbitas variadas assim como suas massas (Michtchenko et al., 2013). Saímos de uma era do pensamento de Giordano Bruno que defendia: "deve haver outros planetas por ai... certo?"para um novo paradigma "é provável que haja mais planetas do que estrelas no nosso universo"(Muirhead et al., 2012). Imaginando um universo recheado de planetas, das mais diversas massas, composições, órbitas e períodos, esperamos que, pelo menos uma parcela desses, seja de planetas do tipo terrestre, ou seja, estejam em torno de 1 AU de uma estrela com características parecidas com a do Sol, tenham a mesma massa, tamanho e composição da terra. Atualmente existe uma série de características que precisam ser checadas para classificarmos um exoplaneta como sendo do tipo "terrestre". Como proposto por Schulze-Makuch et al. (2011), pri1. http://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/. 1.

(15) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO meiro teríamos que considerar o índice de similaridade terrestre ESI 2 , que nos permite filtrar características tais como massa, raio e temperatura, além da distância do exoplaneta até sua estrela. Depois precisaríamos classificar os exoplanetas segundo o índice de habitabilidade PHI 3 que classifica os exoplanetas segundo a energia disponível, a química e composição do planeta e a capacidade de manter certas substâncias líquidas. Todas essas características dependem do primeiro parâmetro, ESI, que classifica um primeiro grande grupo de exoplanetas similares à terra. As técnicas de detecção utilizadas hoje, trabalham em conjunto para fornecer dados tais como massa, raio e período necessários para a classificação ESI, e nesse contexto, cada técnica possui especializações e limitações, que juntas estabelecem o conjunto estatístico de planetas que temos hoje.. 1.1. Métodos de detecção de planetas. Atualmente, temos seis principais técnicas de detecção de exoplanetas que podem ser divididas em 2 categorias, são elas detecção direta e detecção indireta. Sem dúvida, a maneira mais difícil de detectar um planeta fora do sistema solar é diretamente, pois a luz da estrela é milhares de vezes mais brilhante do que a maior porção de luz que um planeta pode refletir. É como tentar enxergar um vagalume ao lado de um farol de sinalização de barcos. A grande maioria dos exoplanetas detectados até hoje, foram descobertos por técnicas indiretas como velocidade radial, transito planetário, pulsar timing, microlentes gravitacionais e astrometria. No dia 10 de maio de 2016, a NASA publicou, de uma só vez, a descoberta de 1284 exoplanetas que haviam sido colocados em status de candidatos no ano de 2015 (Morton et al., 2016). A figura 1.1 mostra a quantidade de exoplanetas descobertos por método em função do ano. No primeiro quadro da figura 1.1 aparece a quantidade de exoplanetas descobertos por ano das principais técnicas de detecção. O quadro da direita mostra em detalhe apenas os métodos de microlente gravitacional, imagem direta, pulsar e astrometria. Como o objetivo desta dissertação é o estudo da técnica de microlentes gravitacionais, falaremos resumidamente sobre alguns dos métodos indiretos, e maiores informações podem ser encontradas nas referências no final do manuscrito. 2 3. ESI do inglês: Earth Similarity Index PHI do inglês: Planetary Habitability Index. 2.

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1400. 25 Transito. 1200 1000. Imagiação. Microlensing Microlentes Imagiação. 800. Microlensing Microlentes. 20. Velocidade Radial. 15. Pulsar. Pulsar. Astrometria. 600. Astrometria. 10. 400 5. 200 0. 0 1988. 1995. 2002. 2009. 2016. 1988. 1995. 2002. 2009. 2016. Figura 1.1: Distribuição de descobertas de exoplanetas por ano por cada técnica de detecção. Dados retirados de: http://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/. 1.1.1. Velocidade radial. A técnica de velocidade radial depende, em sua essência, do efeito Doppler da luz. Se observarmos uma estrela que não esteja conectada gravitacionalmente com nenhum outro corpo, o espectro da sua luz será sempre4 o mesmo. Mas se a estrela for uma binária ou tiver um planeta, ambos orbitarão o centro de massa do sistema, ou seja, a estrela também sofre um movimento orbital. Podemos inferir esse movimento da estrela analisando o efeito Doppler sofrido por sua luz. Analisando radialmente, quando o espectro se desloca para o vermelho a estrela está se afastando e quando se desloca para o azul, está se aproximando de nós. Analisando cuidadosamente essa variação no espectro, sabendo a inclinação do sistema em relação a nossa linha de visada, podemos determinar o tamanho da órbita estelar e assim determinar a massa relativa do planeta e a sua distância até a estrela. Como a interação entre a estrela e o planeta acontece gravitacionalmente, é mais fácil detectar planetas com grande massa que resultam maiores amplitudes na variação da velocidade radial da estrela. Quanto mais curta for a órbita do planeta, mais fácil ele será detectado, já que o período será menor e podemos detectar várias órbitas em menos tempo. O primeiro planeta a ser descoberto com essa técnica foi detectado em 1988 por Campbell et al. (1988) que identificou variações na velocidade residual de um sistema binário, mas atribuiu essas variações à atividade estelar. A descoberta do planeta veio a ser confirmada 15 anos depois por Hatzes et al. (2003). O primeiro planeta descoberto em torno de uma estrela do tipo Solar foi detectado utilizando esta técnica por Mayor & Queloz (1995). Este planeta, nomeado de 51 Peg b, orbita uma estrela análoga Solar na sequência principal chamada de 51 Pegasi (abreviada como 51 Peg) localizada à 50 anos luz de nosso Sol na constelação de Pegasus. 4. Se a estrela está se distanciando ou aproximando de nós, por seu movimento orbital em torno da galáxia, apresentará também efeito Doppler, porém não irá variar. O espectro de uma estrela pode variar por outros motivos que não sejam o efeito Doppler. 3.

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 1.1.2. Astrometria. Uma outra maneira de tirar vantagem do fato de que planetas afetam o movimento de suas estrelas é utilizando o método da Astrometria. Este método consiste em analisar a variação da posição da estrela em relação à outras estrelas. A ideia então é a mesma da velocidade radial, relacionar o movimento da estrela com um proposto planeta que causa esse movimento por interação gravitacional. Este método não é muito eficiente pois depende de instrumentos extremamente precisos e até o presente momento apenas 1 planeta foi detectado usando esta técnica (Muterspaugh et al., 2010).. 1.1.3. Trânsito. Imaginando uma situação parecida com o caso de velocidade radial, mas que o plano do sistema estelar esteja quase que perfeitamente alinhado com a nossa linha de visada. Quando o planeta passar em frente à estrela, o brilho aparente irá diminuir de uma quantidade relativa ao tamanho do planeta. Esse é o método do Transito, em que o que é analisado é a variação do brilho da estrela. Este método foi descrito detalhadamente pela primeira vez por Rosenblatt (1971) com uma visão um tanto otimista para as possíveis detecções. Posteriormente Borucki & Summers (1984) descreveram taxas de detecções mais realistas. Podemos ilustrar este método lembrando do transito de mercúrio que aconteceu no dia 9 de maio de 2016 em que o primeiro planeta do nosso sistema solar passou entre a Terra e o Sol, causando uma pequena diminuição no brilho solar. Se fizermos um gráfico da curva de luz de um transito planetário, veremos uma pequena queda na magnitude aparente da estrela observada. Analisando a profundidade e a extensão dessa curva, podemos inferir propriedades do corpo que está causando essa variação. Grandes planetas bloqueiam uma maior parcela da luz da estrela, então eles criam quedas mais profundas na curva de luz da estrela. Quanto mais longe estiver o planeta, mais tempo ele demorará para eclipsar a estrela e então maior será a extensão da variação na curva. Está técnica detecta mais facilmente planetas gigantes com órbitas próximas de suas estrelas pois, quanto maior o planeta, maior será a profundidade da variação na curva de luz, e quanto menor for a distância, menor será o período, possibilitando o registro de várias órbitas em pouco tempo. Uma das principais desvantagens desse método é que o planeta tem que estar alinhado com a nossa linha de visada no momento do trânsito e quanto maior for a órbita desse planeta, menor será a probabilidade de haver esse alinhamento. Para um planeta do tamanho de Júpiter em uma órbita 20 vezes menor do que a órbita da terra ou seja, com período orbital de 4 dias, a probabilidade de um alinhamento com nossa linha de visada seria de 10%, já para o caso de um planeta do tamanho da Terra, na distancia em que estamos, a probabilidade seria de 0.5% (Horne, 2002). 4.

(18) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 1.2. O princípio das lentes gravitacionais. O fenômeno de lentes Gravitacionais foi descrito corretamente pela primeira vez por Einstein (1936) em seu artigo intitulado "Lens-like action of a star by the deviation of light in the gravitational field" (A ação do tipo lente de uma estrela pelo desvio da luz em seu campo gravitacional) que descrevia algumas consequências devido ao desvio da luz ao passar por objetos de muita massa (desvio esse teorizado em sua teoria da relatividade geral) como: múltiplas imagens de um mesmo objeto astronômico localizado atrás de outro de muita massa; e se os dois objetos estivessem perfeitamente alinhados na linha de visada, veríamos a formação de um anel. Mas o próprio Einstein deixou claro que esse tipo de fenômeno nunca poderia ser observado diretamente. Historicamente, essa não foi a primeira vez que algo havia sido escrito sobre esse fenômeno. O primeiro registro que se tem para a deflexão da luz devido à gravidade data de 1804 em um artigo de Soldner (1804) intitulado “On The Deflection Of Light Ray From Its Straight Motion Due To The Attraction Of A World Body Which It Passes Closely” (Sobre a deflexão do movimento retilíneo de um raio de luz devido à atração sofrida ao passar próximo de um corpo). Utilizando mecânica clássica Soldner chega em um valor de 0.84 segundos de arco de deflexão para um raio de luz que passasse próximo ao Sol. Em 1911 Einstein, sem saber dos valores encontrados por Soldner, escreveu uma concisa descrição de uma das mais importantes consequências da deflexão da luz, a possibilidade da existência de lentes gravitacionais (Einstein, 1911). Einstein chegou independentemente ao mesmo valor que Soldner para a deflexão da luz passando perto do Sol. A primeira tentativa observacional de testar a previsão de Einstein para a deflexão de um raio de luz passando perto do Sol seria em 1914 durante um eclipse solar. Mas essa observação nunca aconteceu. Após completar sua teoria Geral da Relatividade, Einstein refez seus cálculos e chegou no valor correto para a deflexão que é discutido no capítulo 2 deste manuscrito. Essa deflexão da luz é a base do que foi denominado "teoria de lentes gravitacionais"(Blandford & Kochanek, 1987) e hoje, astrônomos utilizam as ideias de lentes gravitacionais no chamado método de microlentes gravitacionais para detectar planetas orbitando estrelas distantes, que não são possíveis de detectar com as outras técnicas mencionadas anteriormente. Em suma, podemos dizer que das diversas técnicas existentes, a técnica de microlentes gravitacionais é a mais sensível em relação a massa do planeta. É também a única técnica que permite a detecção em sistemas distantes de nós (20 mil anos luz) e como todas as outras técnicas, também tem suas desvantagens e limitações. Eventos de microlente gravitacional, por si só, já haviam sido detectados diversas vezes e o potencial na detecção de exoplanetas já era conhecido, porém foi somente no ano de 2003 que os grupos Optical. 5.

(19) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Gravitational Lensing Experiment (OGLE) e Microlensing Observations in Astrophysics (MOA) (Bond et al., 2004) confirmaram pela primeira vez a presença de um planeta gigante com semi-eixo maior de 4.3 AU em torno de uma estrela do tipo espectral K no evento OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53 utilizando esta técnica. Apresentamos no Apêndice E todos os exoplanetas descobertos até julho de 2016 utilizando esta técnica. Nesta dissertação exploramos a teoria de microlentes gravitacionais e sua utilização na detecção de planetas e especificamente na detecção de planetas de baixa massa orbitando estrelas de massa Solar. Algumas técnicas de análise e modelos foram desenvolvidos no processo desta dissertação e são produto final do trabalho realizado durante o mestrado. Aplicando a teoria e equações demonstradas nesta dissertação, produzimos dois códigos que simulam os sistemas de microlentes gravitacionais por completo, e analisamos a topologia dos sistemas simulados em comparação com dados reais.. 6.

(20) Cap´ıtulo. 2. Microlentes Gravitacionais "Tudo que sabemos sobre física é apenas uma boa aproximação de como o universo realmente funciona". Anônimo. Como já mencionado anteriormente, a técnica de microlentes gravitacionais relaciona a amplificação aparente da luz de uma estrela com o efeito de lente criado pela passagem de um outro objeto massivo entre a linha de visada do observador e a estrela. Este efeito é causado pela deflexão da luz ao passar por objetos de muita massa. Analisando cuidadosamente as curvas de luz geradas por esses eventos, podemos detectar a presença de exoplanetas orbitando tais objetos. Neste capítulo faremos uma revisão dos fundamentos da teoria de microlentes gravitacionais.. 2.1. O ângulo de deflexão da Luz. Com sua publicação da Teoria da Relatividade Geral em 1915, Einstein derivou correntamente a deflexão de um raio de luz que passa por um objeto de massa M à uma distância r, chegando a conclusão que a deflexão da luz que passasse próxima ao Sol seria de 1.74 segundos de arco. Em 1919, o astrônomo Eddington confirmou esse valor durante a observação de um eclipse total solar registrado no sul da África (Eddington, 1919). Apesar da simplicidade da eq. 2.1, sua derivação não é trivial e exige entendimento da teoria da relatividade geral que é apresentado no Apêndice B, onde temos que a deflexão da luz é dada por:. ∆φ =. 4GM c2 R 7. (2.1).

(21) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS Onde, M é a massa do Sol expressa em gramas e R é o raio do Sol expresso em centímetros. Sabendo que M

(22) = 1.99 × 1033 gramas (Williams, 2013) e R

(23) = 6.96 × 1010 centímetros (Haberreiter et al., 2008), podemos calcular a deflexão que um raio de luz sofreria passando rente ao Sol. Este valor seria de 1.75 segundos de arco.. 2.2. Raio de Einstein. Na relatividade geral de Einstein, o campo gravitacional em volta de um objeto massivo pode ser descrito em termos do raio de Schwarzschild RS . Este valor define o tamanho do "horizonte de eventos"de um buraco negro de massa M . O raio de Schwarzschild é diretamente proporcional à massa do objeto e não depende de nenhum outro valor variável e, basicamente é a distância a partir do centro de massa do objeto em que nem mesmo a luz conseguiria escapar. A equação que descreve esse raio é:. RS =. 2GM , c2. (2.2). onde G é a constante Gravitacional e c é a velocidade da luz. Qualquer objeto físico observável deve ter o RS menor do que seu tamanho pois, se não, todo o seu conteúdo estaria dentro do RS e nada conseguiria sair, ou seja, um buraco negro. Por exemplo, o Sol possui um RS de apenas 3 km. Podemos usar a eq. 2.1 vista na última seção para mostrar que, um raio de luz de uma estrela distante (fonte) que passa próxima à linha de visada entre o observador e outra estrela (lente) no meio do caminho, terá seu caminho defletido por um ângulo α dado por:. α=. 2RS , rE. (2.3). valor este que é igual ao da eq. 2.1. Como vimos na seção anterior, os ângulos trabalhados em eventos de microlentes gravitacionais são muito pequenos, então podemos usar a aproximação da forma tan θ ' θ. Assim, a partir da figura 2.1 podemos concluir que:. tan θ =. rE rE ⇒θ' DL DL. 8. (2.4).

(24) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. Figura 2.1: Os raios de luz são emitidos a partir da fonte definida como S e passam pela lente (L) fazendo um ângulo θ com o observador à esquerda. DL é a distância do observador até a lente L, DS é a distância do observador até a fonte S e (DS − DL ) é a distância entre a lente L e a fonte S. α é a deflexão sofrida pela luz ao passar à uma distância rE da lente L. Analisando a figura 2.2, vemos que α = θ + ϕ e que ϕ = rE /(DS − DL ). Usando esses dois valores, podemos encontrar outra expressão para α na eq. 2.3:. α=. α=. rE rE + DL DS − DL. (2.5). rE DS DL (DS − DL ). (2.6) Figura 2.2: Diagrama da projeção do caminho da luz provinda da fonte S fazendo um ângulo ϕ Se igualarmos as equações 2.6 e 2.3, teremos: com rE rE DS 2RS = , rE DL (DS − DL ). (2.7). e encontrando a solução para rE , temos,. 2RS (DS − DL ) =. rE2 DS DL ⇒ rE2 = 2RS (DS − DL ) DL DS 9. (2.8).

(25) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. Figura 2.3: Formação do anel de Einstein devido a lente e a fonte estarem perfeitamente alinhadas. O painel da esquerda mostra a formação do anel vetorizado enquanto que o painel da direita mostra uma simulação da formação do anel com um mapa de magnificação de grade igual à 500 pixels quadrados.. r rE =. 2RS. DL (DS − DL ) DS. (2.9). onde rE é o raio do anel que se formaria se a fonte e a lente estivessem perfeitamente alinhadas. Desta forma veríamos a formação de um anel como na figura 2.3. Podemos substituir a eq. 2.9 em θ = rE /DL para chegar no ângulo de Einstein:. r θE =. 2.3. 2RS (DS − DL ) DL DS. (2.10). A equação da lente (singular). Para que a técnica de microlentes gravitacionais possa ser aplicada de maneira geral, temos que analisar o caso em que a fonte e a lente estão desalinhadas, pois como as estrelas em nossa galáxia estão em constante movimento, o alinhamento perfeito entre fonte, lente e observador é um evento relativamente raro. A seção anterior tratou da geometria de um sistema em que a fonte e a lente estavam perfeitamente alinhadas com o observador, gerando assim um anel de Einstein com raio dado pela eq. 2.9. Agora vamos analisar 10.

(26) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS o caso de um sistema em que a fonte e a lente estão desalinhadas com o observador por uma distância aparente s com ângulo aparente relativo β.. Figura 2.4: Diagrama do caminho da luz se a lente e a fonte têm uma separação aparente s com ângulo aparente relativo β. A figura 2.4 mostra os angulos de deflexão α+ e α− que possuem valores diferentes relativos ao ângulo β que é relativo à distância de separação aparente s entre a lente e a fonte. Quando o sistema se encontra fora de alinhamento, teremos a formação de duas imagens I+ e I− que são as estrelas superior e inferior respectivamente na figura 2.4. Analisando a figura 2.5 vemos que podemos reescrever α = θ + ϕ com θ = r/DL . Assim chegamos aos valores β = s/DS , s = βDS , h = r − s e ϕ = h/(DS − DL ), ou seja:. ϕ=. r − βDS . DS − DL. (2.11). Sabendo que α = θ + ϕ e substituindo θ por r/DL , chegamos em:. α=. r r − βDS + . DL DS − DL. (2.12). Igualando as equações 2.12 e 2.3 e voltando que r = θDL , isolando β, chegamos em: 11.

(27) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. Figura 2.5: Diagrama do caminho da luz se a lente e a fonte têm uma separação aparente s com ângulo aparente relativo β. Decomposição de r em h e s. θ 2 DS DL θDS DL β 2RS = − DS − DL DS − DL. (2.13). 1 2RS (DS − DL ) . DS DL θ. (2.14). β =θ−. Utilizando a eq. 2.10, vemos que 2RS (DS − DL )/(DL DS ) na eq. 2.14 é igual à θE 2 , portanto,. β =θ−. θE2 , θ. (2.15). esta equação é conhecida como a equação da lente. A equação da lente pode ser usada para determinar a posição da fonte uma vez que se saiba as posições das imagens porém, em geral estamos interessados em resolver o problema contrário, que consiste em encontrar as posições das imagens quando se sabe a posição da fonte. Podemos rearanjar a eq. 2.15 na forma de um polinômio de segundo grau e encontrar duas soluções para os valores de θ+ e θ− . 12.

(28) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. θ2 − βθ − θE2 = 0,. β θ± = ± 2. r. (2.16). β2 + θE2 . 4. (2.17). onde θ± é o ângulo que as imagens I± fazem com a origem do sistema dependente de β. Analisando a figura 2.6 em relação à figura 2.4, podemos substituir s = β/θE e r = θ/θE e chegar em uma equação reduzida da lente singular, da forma. 1 s = r − ., r. (2.18). que, por sua vez, terá soluções:. s r± = ± 2. r. Figura 2.6: Projeção das imagens I± se a lente e a fonte estão desalinhadas por um fator s.. s2 + 1, 4. (2.19). onde essas duas soluções retornam a distância entre as duas imagens I± até a origem do sistema. Para encontrarmos as reais posições de I± em coordenadas cartesianas, precisamos parametrizar a posição da fonte em relação à s. A partir da figura 2.7, podemos ver que:. s2 = x2S + yS2 ,. s=. q. x2S + yS2 .. (2.20). (2.21). Substituindo a eq. 2.21 na eq. 2.19, chegamos em uma expressão para as imagens em coordenadas cartesianas, onde. r p x2S + yS2 x2S + yS2 r± (xS , yS ) = ± + 1. 2 4. 13. (2.22).

(29) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. Figura 2.7: Projeção das imagens I± se a lente e a fonte estão desalinhadas por um fator s. r± são as distâncias das imagens até a lente. A figura na direita mostra uma parametrização em coordenadas cartesianas. 2.4. Magnificação pontual e dependência temporal. As duas imagens encontradas na eq. 2.19 contribuem com a luz total recebida pelo observador, e essa contribuição é diretamente proporcional às suas áreas. A deflexão sofrida pela luz provinda da fonte não altera as propriedades do brilho da mesma. Se considerarmos a fonte como um disco aparente de brilho uniforme, a magnificação causada pela lente será a razão entre a área total das imagens e a área da fonte. Para calcularmos as áreas das imagens, podemos analisar a figura 2.8. Em coordenadas polares, podemos calcular uma área infinitesimal da imagem na posição r definindo seu comprimento infinitesimal como dr e seu arco infinitesimal como rdθ. Sua área então será dA = rdrdθ. Então a área da I± será dAI± = r± dr± dθ. Da mesma maneira, a área infinitesimal da fonte será dAS = sdsdθ. A magnificação de cada elemento é então:. M± =. r± dr± dθ r± dr± = sdsdθ sds. (2.23). Para encontrarmos a razão dr± /ds a partir eq. 2.23, temos que diferenciar a eq. 2.19 14.

(30) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. Figura 2.8: Diagrama de magnificação: O arco azul representa uma fração da área da fonte, os arcos vermelhos representam a fração da área das imagens à distância r± em relação à variável s e substituirmos o valor de volta na eq. 2.23, a derivada das soluções em relação a s é: √ dr± s ± s2 + 4 = √ , ds 2 s2 + 4. (2.24). de forma que se substituirmos os valores da eq. 2.24 de volta na eq. 2.23, teremos as magnificações relativas das imagens positiva e negativa.. M+ =. 1 s2 + 2 + √ , (2.25) 2 2s s2 + 4. Figura 2.9: O primeiro quadro mostra a evolução 1 s2 + 2 M− = − √ . (2.26) de M+ delimitado pelo limite inferior 1 no eixo x. 2 2s s2 + 4 O segundo quadro mostra a evolução da equação de M− (A curva em vermelho representa o módulo para O primeiro quadro da figura s > 0).. 15.

(31) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS 2.9 mostra o comportamento da eq. 2.25. Se avaliarmos somente as soluções em que s > 0, teremos a solução da curva que compreende somente o primeiro quadrante da figura. Fazendo um limite da eq. 2.25 com s tendendo ao infinito, teremos uma convergência para o valor 1, ou seja, se a fonte encontra-se suficientemente distante da lente, a razão entre a área da imagem I+ e a área da fonte será 1 e como só é detectado a imagem, não haverá magnificação real. Por outro lado, se s se aproxima de 0, a função diverge para magnificação infinita. O segundo quadro da figura 2.9 mostra o comportamento da eq. 2.26, com a linha azul representando os valores da magnificação para −∞ < s < +∞. Como estamos interessados nos valores absolutos de magnificação, devemos multiplicar a eq. 2.26 por (−1) e calcular a curva somente para s > 0, o que nos gera uma curva que vem do infinito em s com zero magnificação, e vai até 0 também em s com magnificação infinita (curva vermelha no segundo quadro da figura 2.9). Ou seja, quando se trata da imagem de paridade negativa I− , a razão entre sua área e a área da fonte será zero se a fonte estiver muito longe da lente, e será infinita se s = 0. Para calcularmos a magnificação total devido a soma das razões entre as áreas das imagens e a fonte, devemos considerar apenas o módulo de M+ e M− . Como M+ sempre será positivo para s > 0, precisamos multiplicar por (−1) a magnificação de paridade negativa relativa a I− antes de somar M± .. MT = |M+ | + |M− | =. s2 + 2 1 s2 + 2 1 + √ + (− ) + √ , 2 2s s2 + 4 2 2s s2 + 4. s2 + 2 MT = |M+ | + |M− | = √ , s s2 + 4. (2.27). (2.28). onde MT é a magnificação total causada pelas soma das áreas das duas componentes infinitesimais das imagens. Se a fonte pode ser tratada como uma fonte pontual de luz, então a eq. 2.28 também descreve a magnificação total da fonte. Vemos que a magnificação total da fonte depende somente da distância s de separação aparente entre a lente e a fonte. A eq. 2.18 nos fornece a relação entre a posição de um ponto no plano da imagem e o seu ponto gerador no plano da fonte. Do cálculo vetorial, sabemos que se uma área infinitesimal dsdθ for mapeada no plano da fonte, sua área projetada drdθ pode ser calculada através do determinante Jacobiano. O Jacobiano especifica a mudança em uma área infinitesimal quando passa por uma dada transformação. A sua derivação para o nosso caso pode ser encontrada no apêndice A. O Jacobiano retorna a razão entre um elemento de área infinitesimal no plano da fonte dividido por sua área correspondente no plano da imagem, desta forma, para encontrar a magnificação, que é a razão entre a área. 16.

(32) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS infinitesimal da imagem e a seu elemento gerador fonte, fazemos o inverso do Jacobiano,. MT =. X 1 1 1 = + . |J |J |J i| +| −| I. (2.29). Mas como, no caso de uma única lente, podemos ter duas imagens, a magnificação total será a soma do inverso dos Jacobianos relativos à cada imagem. A paridade da imagem é dada pelo sinal na raiz da eq. 2.19 e utilizamos o valor absoluto do Jacobiano para chegar ao valor correto positivo da magnificação. Como visto no apêndice A, calculamos o Jacobiano através das derivadas parciais da equação da lente, onde. J=. ∂sx ∂sy ∂sx ∂sy − ∂x ∂y ∂y ∂x. (2.30). Onde sx e sy representam a equação da lente decomposta em x e y respectivamente. Para podermos proceder com as derivadas parciais, precisamos então decompor a eq. 2.18, logo. sx = x −. y x , sy = y − 2 2 |~r| |~r|. (2.31). Agora podemos realizar as derivadas parciais necessárias para calcular o Jacobiano. ∂sx 2x2 1 = 4 − 4 +1 ∂x |~r| |~r| ∂sy 2y 2 1 = 4 − 2 +1 ∂y |~r| |~r| ∂sx 2xy = 4 ∂y |~r| ∂sy 2xy = 4 ∂x |~r| Agora, inserindo os valores das derivadas na eq. 2.30, teremos:. J =1−. 2(x2 + y 2 ) 2(x2 + y 2 ) 2 + − |~r|2 |~r|4 |~r|6. Como (x2 + y 2 = |~r|2 ), podemos simplificar a eq. 2.32 em:. 17. (2.32).

(33) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. Figura 2.10: O círculo azul representa a fonte em uma posição específica de seu trajeto representado pela linha vermelha pontilhada e a uma distancia s da fonte. Os círculos brancos são posições da fonte no decorrer do trajeto. J =1−. 1 |~r|4. (2.33). Onde ~r é a solução da equação da lente encontrada na eq. 2.19. Então, inserindo a eq. 2.19 no somatório do Jacobiano e somando as paridades + e −, MT = 1/|J+ | + 1/|J+ | encontramos:. MT =. 1−. s 2. +. 1 q. s2 4. −4 +. 1−. +1. s 2. −. 1 q. s2 4. −4. (2.34). +1. Fazendo uma análise mais cuidadosa da eq. 2.34, chegamos a conclusão que ela tem o mesmo valor da eq. 2.28 que chegava no valor da magnificação a partir do cálculo vetorial. Esta igualdade é necessária pois, para o caso de uma única lente, é possível usar o método do calculo vetorial para chegar na razão entre a área das imagens e a área da fonte porém, no caso de múltiplas lentes precisamos de uma análise mais simplificada. Na próxima seção trataremos novamente do caso das razões das áreas utilizando o método do Jacobiano, mas para o caso geral de múltiplas lentes. 18.

(34) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS Considerando que os componentes do nosso sistema (fonte, lente e observador) estão todos em movimento em relação uns aos outros, seu alinhamento é temporal. O tempo de um evento de lente gravitacional em que a fonte é magnificada depende do tempo em que a fonte demora para atravessar o raio angular de Einstein θE . Este tempo é conhecido como tE e depende da velocidade relativa entre os objetos e do raio angular de Einstein.. tE =. rE θE = µrel vrel. (2.35). Onde µrel é a velocidade relativa entre a fonte e a lente, e vrel é a velocidade transversal aparente da fonte em relação a lente fixa na origem. O trajeto que a fonte faz no plano da lente pode ser parametrizado de acordo com a figura 2.10. O momento t0 , quando a magnificação é máxima, será quando a fonte estiver na distância µ0 conhecida como "parâmetro de impacto". A posição em que a fonte atravessa a distância rE é u(t0 + tE ) e u(t0 − tE ). A variação do caminho ∆u em relação ao tempo será u(t) − u(t0 ), e sabendo que vrel = rE /tE , teremos:. ∆u = u(t) − u(t0 ) vrel vrel t− t0 = rE rE 1 1 = t − t0 , tE tE. ∆u =. t − t0 . tE. (2.36). Usamos então o teorema de Pitágoras para encontrar a variação da distância s em relação à t, t0 , tE e µ0 , da forma. s s(t) =. . µ20. +. t − t0 tE. 2 .. (2.37). Agora, podemos então reescrever a eq. 2.28 em termos de s(t), da formma. MT (s) =. s(t)2 + 2 p , s(t) s(t)2 + 4. 19. (2.38).

(35) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. Figura 2.11: Exemplo da curva de luz do evento de microlente gravitacional OGLE-2012-BLG-0371. Os dados foram obtidos pelo observatório OGLE no ano de 2012 e o ajuste dos dados foram feitos usando o modelo de Paczynski (1986) nos pipelines próprios do observatório. (Grafico gerado automaticamente no link http://ogle.astrouw.edu.pl/ogle4/ews/2012/blg-0371.html). 2 0 +2 µ2 + t−t tE r . MT (t) = r 2 2 t−t t−t µ20 + tE 0 µ2 + tE 0 + 4. (2.39). Este modelo de curva de luz padrão foi definido por Paczynski (1986) e modela a maioria dos eventos de microlentes gravitacionais singulares observados. A figura 2.11 ilustra um exemplo da aplicação deste modelo.. 2.5. Múltiplas lentes (notação complexa). Na seção anterior, chegamos na equação da lente singular analisando a geometria da deflexão da luz ao passar por uma objeto massivo e chegamos na eq. 2.18 que é a equação da lente singular. Podemos escrever agora as mesmas equações em notação complexa para facilitar a generalização em múltiplas lentes. Se olharmos novamente para as figuras 2.4 20.

(36) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS e 2.6, fazendo w = (xS , yS ) correspondente à posição da fonte e z = (x, y) correspondente às posições das imagens, temos que w = β/θE e z± = θ± /θE . Aplicando isso na eq. 2.15:. w=. z 1 =z− 2 |z| z¯. (2.40). Essas posições podem ser expressadas em termos de suas componentes complexas w = xS + iyS e z = x + iy, como sugerido por Witt (1990). Podemos analisar ainda, a situação de escolhemos a origem de forma que a lente se encontre agora em uma posição r da origem. Dessa forma podemos transformar as posições de w e z para w − r e z − r respectivamente. Então, sob essas transformações, a eq. 2.40 se torna:. w=z−. 1 z¯ − r¯. (2.41). Onde r¯ é o complexo conjugado da posição complexa da lente. Se generalizarmos então a eq. 2.41 para n lentes, temos:. w=z−. n X j=1. j z¯ − r¯j. (2.42). Onde rj é a posição da enésima lente em relação à origem, e j é a fração de massa da enésima lente de forma que a soma de todas as massas seja a massa total do sistema e igual a 1. Assim, podemos chegar na equação da lente para um sistema com duas lentes (um sistema binário ou uma estrela com um planeta):. w=z−. 1 2 − , z¯ − r¯1 z¯ − r¯2. (2.43). onde 1 e 2 são as frações de massa das duas lentes e r¯1 e r¯2 são o complexo conjugado das posições complexas das duas lentes. Schneider & Weiss (1986) foi o primeiro a considerar esta generalização para a equação binária da lente.. 2.6. Magnificação para sistemas múltiplos. A magnificação da luz da estrela que passa por um sistema múltiplo de lentes pode ser encontrada utilizando a mesma ideia discutida no final da seção 2.4. Lembrando que 21.

(37) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS o Jacobiano especifica a variação em uma unidade de área infinitesimal gerada por uma transformação. Como precisamos das derivadas parciais da equação da lente para utilizar o Jacobiano da eq. 2.30, decompomos a equação da lente geral eq 2.42 em coordenadas cartesianas sx e sy , da forma. sx = x −. n X. j. x − xj , |~r − r~j |2. (2.44). j. y − yj , |~r − r~j |2. (2.45). j=1. sy = y −. n X j=1. onde, semelhante ao caso geral para uma única lente, |~r − r~j | é a distância entre a enésima lente j e a fonte dada por: q |~r − r~j | = (x − xj )2 + (y − yj )2 Precisamos encontrar então as derivadas parciais relativas ao Jacobiano dessas equações generalizadas. Fazendo as derivadas, encontramos: n j ∂sx X 2(x − xj )2 = −1 +1 ∂x |~r − r~j |2 |~r − r~j |2 j=1 n ∂sy X j 2(y − yj )2 = −1 +1 ∂y |~r − r~j |2 |~r − r~j |2 j=1 n. ∂sy ∂sx X 2j (x − xj )(y − yj ) = = 4 ∂y |~r − r~j | ∂x j=1 Esta é a forma geral das derivadas parciais do Jacobiano para n lentes. Se consideramos um sistema com apenas duas lentes e voltarmos à notação complexa, podemos simplificar o Jacobiano para a forma.

(38)

(39) 2

(40)

(41) ∂w ∂ w¯ ∂w ∂ w¯ 1 2

(42)

(43) . J= + − =1−

(44) ∂z ∂ z¯ ∂ z¯ ∂z (z − r1 )2 (z − r2 )2

(45). (2.46). Uma maneira de avaliarmos a validade deste Jacobiano, é imaginarmos um sistema em que 2 = 0, dessa forma o segundo componente da equação desaparece e então 1 = 1, colocando a lente na origem r1 = 0, o que teremos é:. 22.

(46) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. J =1−. 1 |z|4. (2.47). Que é a eq. 2.33 para uma única lente na forma complexa. Assim como no caso de uma única lente discutido na seção 2.4, para encontrarmos a magnificação, precisamos inserir a solução da equação da lente no Jacobiano e fazer o seu inverso. Porém, para o caso de múltiplas lentes, a resolução da eq. 2.42 não é trivial como no caso de uma única lente. A dificuldade na inversão da equação é que ela se rearranja em um polinômio de n2 + 1 graus. Então, para o caso de duas lentes n2 + 1 = 5, precisamos encontrar a solução de um polinômio de quinto grau, que não pode ser resolvido analiticamente. A técnica de resolução numérica das raízes desse polinômio é apresentada no capítulo 3.. 2.7. Trajeto da fonte para múltiplas lentes. Vimos anteriormente que para o caso de uma única lente, quando vamos definir o trajeto da fonte, precisamos apenas da distância mínima (parâmetro de impacto µ0 ) entre o trajeto e a lente primária (que se encontra na origem do sistema). Para o caso de múltiplas lentes, precisamos definir uma inclinação do trajeto α (ângulo de impacto). Imaginando um sistema cuja lente principal se encontra na origem (figura 2.12), a fonte fará um trajeto retilíneo com inclinação α e que deverá passar a uma distância mínima µ0 da lente principal (na origem). Encontramos que o ponto onde o caminho cruza o eixo y é então:. 23.

(47) CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS. 𝑌𝑖. 𝑢(𝑡0 + 𝑡𝐸 ). 𝑢(𝑡0 ). 𝑢(𝑡). 𝛼. 𝜇0 𝛼. 𝛼. 𝑠. 𝜇0 𝛼 𝑥𝑖. 𝑢(𝑡0 − 𝑡𝐸 ). Figura 2.12: Parametrização do trajeto da fonte dependente de α e µ0 . O quadro da direita mostra uma visão mais clara para análise trigonométrica. A reta tracejada em vermelho mostra o caminho da fonte, α é o ângulo de impacto e µ0 é a menor distância aparente entre a fonte e a lente.. cos α =. µ0 µ0 ⇒ Yi = Yi cos α. A equação da reta diz que y = mx + b, onde m é tan α e b = Yi . Então podemos escrever a equação da reta parametrizada com os parâmetros α e µ0 , onde. y = x tan α +. µ0 . cos α. (2.48). Podemos agora variar a eq. 2.48 em relação ao tempo característico do evento ∆u que depende de t. Assim, x(t) = cos α∆u, logo o caminho feito pela fonte parametrizado em α, µ0 , t0 , tE e t será da forma. y(t) = tan α cos α. t − t0 tE. +. µ0 . cos α. (2.49). Como visto anteriormente, tE é o tempo que a fonte demora para atravessar o raio angular de Einstein θE e t0 é o momento em que o caminho chega mais perto da origem e sua distância é µ0 . Tendo todas essas equações em mãos, basta "simplesmente"resolver a equação da lente para n lentes e utilizar a eq. 2.49 para definir o caminho da fonte dependendo de α, µ0 , t0 , tE e t. No próximo capítulo, veremos como resolver a equação da lente para n lentes e particularmente a resolução para 2 lentes.. 24.

(48) Cap´ıtulo. 3. Soluções da Equação da lente "A Física está se tornando muito difícil para os Físicos". David Hilbert. O capítulo anterior apresentou a teoria geral por detrás da equação que rege o comportamento da luz ao passar por um sistemas de lentes. Vimos que para o caso de uma única lente posta na origem e uma fonte passando à uma distância s, a inversão da equação, bem como as soluções para as imagens e magnificações da fonte são, de certa forma, triviais. Já para o caso de múltiplas lentes, precisamos de outros métodos mais sofisticados. Este capítulo visa discutir e apresentar os diferentes métodos de resolução da equação da lente para n lentes e particularmente a resolução para duas lentes, que seria o caso de um sistema binário com duas estrelas ou um sistema com uma estrela e um planeta.. 3.1. Resolução semi-analítica. A técnica de resolução semi-analítica lida com inversão da equação da lente em um polinômio complexo, cujas soluções retornam diretamente a posição das imagens dada uma determinada configuração das massas, posições das lentes e da posição da fonte. Como visto anteriormente, a inversão da eq. 2.42 gera um polinômio de grau (n2 + 1). Não existe uma solução geral analítica para a resolução das raízes de polinômios de grau maior que quatro, dessa forma um sistema de múltiplas lentes deve ser resolvido numericamente. Este método de rearranjar a equação da lente em um polinômio complexo foi demonstrado pela primeira vez para 2 lentes por Witt (1990). Em seguida Rhie (2002) desenvolveu um método para demonstrar as expressões e coeficientes para o caso de três 25.

(49) CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE lentes, que gera um polinômio de décimo grau. Este método pode ser generalizado para a encontrar os coeficientes para quaisquer número de lentes. A seguir demonstramos também um resumo do método para n lentes baseado no método demonstrado por Chote (2011) e Miller (2013). A demonstração detalhada se encontra no Apêndice C . Para que seja possível escrevermos o polinômio da equação de n lentes, precisamos primeiramente escrever a eq. 2.42 sem o complexo conjugado das posições das imagens z¯. Podemos simplesmente fazer o complexo conjugado desta mesma equação e rearranjar o z¯. Reescrevendo a equação 2.42 e evidenciando o termo w − z e então fazendo o seu complexo conjugado teremos. w−z =−. n X j=1. w¯ − z¯ = −. n X j=1. j , z¯ − r¯j. (3.1). j . z − rj. (3.2). Podemos então definir zj = z −rj e simplificar o somatório na eq. 3.2. Se imaginarmos um sistema com 3 lentes da forma. w¯ − z¯ = −. 1 2 3 − − , z1 z2 z3. (3.3). em que z1 , z2 e z3 são z − r1 , z − r2 e z − r3 respectivamente. Podemos reescrever esta equação da forma:. w¯ − z¯ = −. 2 z1 z3 3 z1 z2 1 z2 z3 − − , z1 z2 z3 z2 z1 z3 z3 z1 z2. (3.4). e simplificar em somatórios e produtórios da forma. P3 w¯ − z¯ = −. Q. j=1 j i6=j Q3 j=1 zj. zi. .. (3.5). Podemos definir então 2 polinômios auxiliares denominados G e H, da forma. n X k=0. k. Gk z = G =. n X j=1. j. Y i6=j. zi ,. n X k=0. 26. k. Hk z = H =. n Y j=1. zj ,. (3.6).

(50) CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE que são combinações lineares dos termos do somatório da eq 3.2. Vemos que o polinômio H possui grau n, enquanto que o polinômio G possui grau n − 1. Então, podemos reescrever a eq. 3.2 utilizando esses polinômios auxiliares G e H:. z¯ = w¯ +. G . H. (3.7). Para simplificar em relação ao termo z¯, substituímos a eq. 3.7 de volta na equação complexa eq. 3.1 e multiplicamos por (−1), temos assim que. z−w =. n X G j=1 H. j . +w ¯ − r¯j. (3.8). Definindo um auxiliar variável w¯i = r¯i − w, ¯ podemos rearranjar a eq. 3.8 como n n Y X Y (z − w) (G − w¯i H) − Hj (G − w¯i H) = 0. i=1. j=1. (3.9). i6=j. Similarmente ao que foi feito para os polinômios G e H, podemos compor 2 outros polinômios auxiliares X e V para representar o primeiro e segundo termo da eq. 3.9 de forma que:. V =. n X. j. j=1. n Y Y (z − w¯i ), X = (z − w¯j ). (3.10). j=1. i6=j. Escrevendo 0 = (z − w)X − V , e definindo um novo polinômio W como W = wX − V , podemos expandir a eq. 3.9 e reescreve-la da forma:. z. n X. i. GH. (n−i). Xi − w. i=0. n X. Gi H (n−i) Wi = 0. (3.11). i=0. Para que possamos encontrar os coeficientes desse novo polinômio, basta expandirmos G e H e então os termos ηi,l são definidos como o enésimo coeficiente do produto polinomial Gi H (n−i) . Substituindo isso de volta na eq. 3.11, e após algum trabalho algébrico podemos representar esse polinômio de forma reduzida como:. 2 +1 nX. cl z l = 0.. l=0. 27. (3.12).

(51) CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE Esta é a forma polinomial da equação da lente para o caso de n lentes. Os coeficientes deste polinômio geral são dados pela expressão:. cl =. n X. (ηi,l−1 Xi − ηi,l Wi ). (3.13). i=0. Em que o l varia de 0 até (n2 + 1). As equações 3.12 e 3.13 são a base por detrás da implementação e solução da equação da lente desenvolvida nesta dissertação. Sua resolução para o caso de n = 2 encontra-se em detalhes no apêndice C. Podemos confirmar a validade dessa forma polinomial para a equação da lente verificando o caso de n = 1. Nesse caso, o polinômio terá grau 2 assim como visto no capítulo anterior e então a eq. 3.12 tomará a forma:. 2 X. cl z l = 0 ⇒ c0 + c1 z + c2 z 2 = 0.. (3.14). l=0. Para descobrirmos quais são os coeficientes desse polinômio de segundo grau, basta utilizarmos a eq. 3.13 com i variando de 0 até 1 para cada coeficiente c0 , c1 e c2 . A equação dos coeficientes toma a seguinte forma:. cl = η0,l−1 X0 − η1,l−1 X1 − [η0,l W0 − η1,l W1 ]. (3.15). Neste ponto, precisamos determinar os valores de η0,l−1 , η0,l , η1,l−1 e η1,l para l = 0, 1, 2. Precisamos expandir o produto polinomial Gi H (n−1) para encontrarmos os três valores de P l. Como n = 1, Gi H (n−i) = Gi para i = 1, e lembrando que G = nl=0 Gl z l , temos que produto expandido para i = 0, 1 se simplifica em: G0 H 1 = z, i = 0 G1 H 0 = , i = 1 De forma que G0 = , G1 = 0, H0 = 0 e H1 = 1 ou seja, η0,0 = 0, η1,0 = com i = 0 e η0,1 = 1, η1,1 = 0 com i = 1. Os coeficientes do polinômio então são: c0 = [W1 ] c1 = X1 + [W0 ] c2 = −X0 28.

(52) CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE Para chegar nos valores de W0 e W1 , expandimos os polinômios X e V na forma 1 Y X= (z − w¯j ) = z − w¯1 , j=1. V =. 1 X j=1. j. Y (z − w¯i ) = . i6=j. Podemos concluir então que X0 = −w¯1 , X1 = 1, V0 = 1 e V1 = 0. Sabendo que W = wX + V , chegamos em W0 = −ww¯1 + 1 e W1 = w. Assim, os coeficientes ficam da forma c0 = −w, c1 = w¯1 w, c2 = w¯1 . Substituindo os coeficientes encontrados de volta na eq. 3.14 e simplificando, lembrando que w¯1 = z¯1 − w¯ em que z¯1 é a posição da lente que se encontra na origem (para o caso de uma única lente) de forma que w¯1 = −w, ¯ chegamos na exata solução encontrada na eq. 2.40 do capítulo anterior onde. z 2 − wz ¯ − 1 = 0.. 3.1.1. (3.16). A equação da lente para o caso n = 2. Podemos agora usar a forma polinomial da equação da lente vista na equação 3.12 para o caso de um sistema de duas lentes. Nesse caso, o polinômio é de quinto grau (5 = n2 + 1) e a equação da lente fica na forma. 5 X. cl z l = 0 ⇒ c0 + c1 z 1 + c2 z 2 + c3 z 3 + c4 z 4 + c5 z 5 = 0.. (3.17). l=0. Em que seus coeficientes serão dados de acordo com a eq. 3.13:. cl = η0,l−1 X0 − η1,l−1 X1 + η2,l−1 X2 − [η0,l W0 − η1,l W1 + η2,l W2 ] 29. (3.18).

(53) CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE Tratando-se de um sistema com duas lentes, não é tarefa fácil encontrar todos os termos ηi,l , constituídos pelos polinômios auxiliares Gi , Hi , assim como os Wi , constituídos por Xi e Vi . Os passos detalhados e todos os termos e polinômios encontram-se no Apêndice C. Utilizando as equações 3.17 e 3.18 chegamos nos coeficientes do polinômio de quinto grau da equação da lente para n = 2.. c0 = −w(−z2 1 − 2 z1 )2 + (w(−w¯2 − w¯1 ) + 1)z1 z2 (z2 1 + 2 z1 ) − z12 z22 (−w¯2 1 + ww¯1 w¯2 − 2 w¯1 ). c1 = (−z2 1 − 2 z1 )2 + (w(−w¯2 − w¯1 ) + 1)((−z2 − z1 )(z2 1 + 2 z1 ) − z1 z2 )+ (−w¯2 − w¯1 )z1 z2 (−z2 1 − 2 z1 ) − 2w(−z2 1 − 2 z1 ) − 2z1 (−z2 − z1 )z2 (−w¯2 + ww¯1 w¯2 − 2 w¯1 ) + w¯1 w¯2 z12 z22. c2 = (w(−w¯2 − w¯1 ) + 1)((z2 1 + 2 z1 ) − (−z2 − z1 )) + (−w¯2 − w¯1 ) ((−z2 − z1 )(−z2 1 − 2 z1 ) + z1 z2 ) + 2(−z2 1 − 2 z1 ) + (−2z1 z2 − (−z2 − z1 )2 )(−w¯2 1 + ww¯1 w¯2 − 2 w¯1 ) + 2w¯1 w¯2 z1 (−z2 − z1 )z2 − w. c3 = (−w¯2 − w¯1 )((−z2 1 − 2 z1 ) + (−z2 − z1 )) − 2(−z2 − z1 )(−w¯2 1 + ww¯1 w¯2 − 2 w¯1 ) + w¯1 w¯2 (2z1 z2 + (−z2 − z1 )2 ) − (w(−w¯2 − w¯1 ) + 1) + 1 c4 = −(−w¯2 1 + ww¯1 w¯2 − 2 w¯1 ) + 2w¯1 w¯2 (−z2 − z1) + (−w¯2 − w¯1 ) c5 = w¯1 w¯2 Assim como no caso anterior, os coeficientes do polinômio dependem exclusivamente da variável w que é a posição da fonte. Respectivamente z1 e z2 são as posições das lentes em relação a origem do sistema. Uma vez definidos todos os coeficientes para o polinômio de grau 5, foi possível implementar a resolução de suas raízes de forma numérica em nosso programa que será discutido no capítulo de resultados. A eq. 3.17 sempre irá retornar 5 soluções, mas isso não significa que todas as raízes refletem situações físicas reais. A quantidade de soluções válidas (3 ou 5) não é conhecida inicialmente, sendo preciso retornar os valores das raízes na equação da lente para verificar sua validade. Agora que sabemos as possíveis soluções z da equação da lente, podemos calcular então a magnificação, como visto no capítulo anterior. A magnificação depende da posição da fonte em relação à lente, que irá gerar as imagens relativas às raízes do polinômio de (n2 +1) 30.

(54) CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE graus. Vimos que para o caso de duas lentes, o polinômio tem grau 5, e retorna cinco raízes que serão as cinco soluções para uma única posição da fonte. Se desejamos a magnificação da fonte para uma dada posição w = x + iy, precisamos também definir q como a fração 1 entre a massa das lentes de maneira que 1 + 2 = 1 e d = ((x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ) 2 que é a distância entre as duas lentes. Podemos simplificar essa distância simplesmente colocando a primeira lente na origem do sistema. Cada posição w da fonte retornará 5 soluções na equação da lente, e essas soluções precisam ser somadas no inverso do Jacobiano para dar origem a magnificação total para essas coordenadas. Nem todas as raízes serão válidas, apenas 3 ou 5, por isso em cada passo é preciso verificar a validade das soluções aplicandoas de volta na equação da lente. Para cada posição da fonte, calculamos a soma do inverso da a eq. 2.46 para as 3 ou 5 soluções da equação da lente e chegamos na magnificação total.. MT =. 1

(55)